Operaciones Basicas Con Numeros Racionales 6n2n45

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL YARACUY PROGRAMA DE EDUCACION SEMIPRESENCIAL

CIENCIA DEL DEPORTE CURSO INTRODUCTORIO - MATEMÁTICA-

GUIA DIDACTICA

Operaciones Básicas de Números Racionales Autor: Prof. Dennar Oropeza San Felipe, Septiembre 2009

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DEL YARACUY PROGRAMA DE EDUCACION SEMIPRESENCIAL

CIENCIA DEL DEPORTE CURSO INTRODUCTORIO - MATEMÁTICA-

GUIA DIDACTICA

Operaciones Básicas de Números Racionales Datos de Identificación Elaborado por: Dennar Oropeza e-mail: [email protected]; Fecha Elaboración: Septiembre de 2010 Fecha de Última Actualización: Enero de 2011

Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Tabla de Contenidos Introducción .......................................................................................................................................... 3 Objetivos Específicos de Aprendizaje ........................................................................................... 3 Contenidos ............................................................................................................................................ 4 Operaciones Básicas de los Números Racionales (Q) .......................................................... 4 Desarrollo del Aprendizaje ................................................................................................................ 4 Operaciones Básicas de los Números Racionales .................................................................. 4 1. Conjunto de Números Racionales (Q) ............................................................................ 4 1.1. Fracciones Reducibles e Irreducibles ........................................................................... 7 1.2. Operaciones de los Números Racionales ................................................................... 9 1.2.1. Adición o Suma y Resta o Sustracción en Q............................................................... 10 1.2.2. Multiplicación o Producto en Q. ....................................................................................... 13 1.2.3. División o Cociente en Q .................................................................................................... 14 1.2.4. Potenciación en Q ............................................................................................................ 15 1.3. Las expresiones decimales ...................................................................................................... 16 1.3.1. Las décimas ..................................................................................................................22 1.3.2. Las centésimas .............................................................................................................23 1.3.3. Las milésimas ................................................................................................................23 Referencias Bibliográficas ............................................................................................................... 37

Introducción Ahora seguimos con el repaso de los Números Racionales (Q), sus operaciones básicas de adición, sustracción, producto y cociente, donde afianzaremos la Ley de los Signos. Sigue trabajando y con mucho ánimo estudiarás esta guía. Cualquier duda o interés en particular, puedes escribir un correo electrónico a tu facilitador.

Pues, a trabajar!!!!

Objetivos Específicos de Aprendizaje Luego de culminar esta unidad de estudio, amigo estudiante serás capaz de:  Determinar Fracciones Reducibles y convertirlas en Irreducibles  Identificar las propiedades de las adición, sustracción, producto y cociente en Q  Resolver las operaciones básicas en Q, aplicando sus propiedades  Aplicar la ley de signos en la resolución de las operaciones básicas en Q.

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Contenidos Operaciones Básicas de los Números Racionales (Q) 1. Conjunto de Números Racionales (Q) 1.1. Fracciones Reducibles e Irreducibles 1.2. Operaciones de los Números Racionales 1.2.1. Adición o Suma y Resta o Sustracción en Q 1.2.2. Multiplicación o Producto en Q. 1.2.3. División o Cociente en Q 1.2.4. Potenciación en Q 1.3. Las expresiones decimales 1.3.1. Las décimas 1.3.2. Las centésimas 1.3.3. Las milésimas

Desarrollo del Aprendizaje Operaciones Básicas de los Números Racionales 1. Conjunto de Números Racionales (Q) Cuando existe insuficiencia de encontrar soluciones de la división o cociente entre dos números enteros en el conjunto de números enteros, se muestra la necesidad de a ampliarlo. El símbolo , lo denominaremos Fracción o Número Racional de b numerador a y denominador b, donde a  Z y b  Z*; por lo tanto, el conjunto de Números Racionales, es denotado por la letra Q, y está conformado por todas estas fracciones ya definidas; es decir: Q= Por ejemplo: EMBED Equation.3

;

a  a ( Z y b ( Z*; ( b

EMBED Equation.3 4 2 Q ; Q ; 9 5

;

EMBED Equation.3

2 0 Q ; Q 0 0 Porque el denominador de una fracción debe ser diferente de cero (0).

En cambio:

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Actividad de Control: ¿Cuánto es tres cuarto de cuatro novenos? Ahora, en este conjunto de números se pueden encontrar expresiones matemáticas no tan parecidas que ofrecen un mismo resultado, son las denominadas Fracciones Equivalentes. Una muestra de ello es: 1 Que gráficamente está representado por y 2 2 Que gráficamente está representado por 4

Ambas fracciones representan la misma porción del rectángulo, por lo tanto son equivalentes: 1  2 2 4 Caso contrario sucede con 1 Que gráficamente está representado por 3

y

2 Que gráficamente está representado por 3

Ambas fracciones NO representan la misma porción del rectángulo, por lo tanto NO son equivalentes: 1  2 3 3 Otra forma de comprobar es revisando si el producto del numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción es igual al producto del denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción, o dicho de otra forma, que sus productos cruzados son iguales. Por ejemplo lo mismos casos anteriores: 1 2 1 y , Así: 1 * 4  4  2 * 2   2 2 4 2 4 Caso contrario sucede con 1 2 y ; Así: 3 3

1* 3  3 3* 2  6  3  6



1 3



2 3

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Otros ejemplos son:

Actividad de Control: Es tu turno!!!!!! Indica qué pares de fracciones son equivalentes justificando gráficamente: a.

1 5

y

3 ; 15

b.

7 2

d.

8 6

y

8 6

e.

3 4

49 ; 14

y

y

18  24

Actividad de Control: Indica cuál es el número simétrico de: -110/2;

c.

9 12

f.

 63  27

3/-67;

3 4

y

y

-5/-6

7 3

y

10/2.

Ahora observa con detenimiento la siguiente imagen y verás en algunos ejemplos las relaciones “mayor que” y “menor que” en las fracciones:

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Actividad de Control: Revisa esta lectura, tiene información importante y entretenida para ti EL HOMBRE QUE CALCULABA (Capitulo XX)

1.1. Fracciones Reducibles e Irreducibles Al hablar de fracciones, se pueden encontrar un grupo de ellas que se pueden expresar de una forma más simple, mediante la reducción tanto su numerador como su denominador por un mismo número; a éstas se les llama Fracciones Reducibles. Caso contrario se denominan Fracciones Irreducibles. Estos casos se pueden entender mejor mostrando un ejemplo.

100 es una fracción reducible, porque se tanto el numerador como el 60 denominador pueden dividirse por un mismo número. Así: Ejemplo:

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 100 = 60

100 /10  60 /10

10 / 2 10   6/2 6

5 3

En este caso, primero se dividió por diez (10) tanto numerador como denominador porque ambos son múltiples de 10, seguido de una división por 2 porque tanto 5 numerador como denominador tienen mitad. En consecuencia es una fracción 3 irreducible porque el numerador tiene quinta parte (divisible por cinco) y el denominador tiene tercera parte (divisible por 3) y deben tener divisibilidad por un mismo número. Otra forma:

100 = 60

100 / 2  60 / 2

50  30

50 / 2  30 / 2

25 / 5  15 / 5

25  15

5 3

Como ambos números tienen mitad, se dividen entre 2. El resultado siguiente también tienen mitad, entonces se divide entre 2 otra vez. A continuación observamos que ambos números terminan en cinco (5), por lo que ambos son 5 divisibles entre cinco (5). Finalmente se obtiene la fracción irreducible 3

Otro Ejemplo:

70 = 105

70 / 5 105 / 5

=

14 = 21

14 / 7 21/ 7

=

2 3

De la misma forma se analiza este ejemplo: Ambos números terminan en cinco (5), por lo que ambos son divisibles entre cinco (5). Seguidamente se observa que el numerador tiene mitad pero el denominador tiene tercera parte, entonces, ni mitad y ni tercera parte; no terminan en cinco, por lo que no tienen quinta parte, A continuación el numero primo que sigue es siete (7) y al chequear ambos números son divisibles entre siete (Son múltiples de 7), entonces se divide entre 7. Finalmente 2 se obtiene la fracción irreducible . 3

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Actividad de Control: Para comprobar que entendiste, encuentra la fracción irreducible de: a.

12 15

b.

505 75

c.

120 840

d.

242 154

1.2. Operaciones de los Números Racionales. Las operaciones matemáticas de los números racionales cumplen las mismas propiedades que los números naturales y enteros. Lo particular es que los números racionales son fracciones que pueden o no poseer el mismo denominador y ese detalle hace que las operaciones realicen con más detenimiento.

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 1.2.1. Adición o Suma y Resta o Sustracción en Q.  Si las fracciones tienen IGUAL DENOMINADOR, se coloca el denominador común y se suman algebraicamente los numeradores. Si es posible se simplifica la fracción obtenida. Vamos a resolver los siguientes ejemplos: 1 6 17 a. =   2 2 2 Solución: 1 6 17 1 6  17 = (Se coloca el denominador común, en el numerador   2 2 2 2 todos los valores de las fracciones) 18  6 = (Se suman positivos con positivos y negativos con negativos) 2 12 = (Se restan porque tienen diferentes signos) 2 =

b.

6.

(Como el numerador es divisible por el denominador entonces se pudo reducir la fracción)

5 7 9 8 =    10 10 10 10

Solución: Se coloca el denominador común, en el numerador todos los valores de las fracciones con sus respectivos signos:

5 7 9 8 5798 =    10 10 10 10 10 Se suman positivos con positivos y negativos con negativos 12  17 = 10 Se restan porque tienen diferentes signos, y se coloca el signo del número mayor 5 = 10 Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Tanto el numerador como el denominador son divisibles por cinco (5), entonces se puede reducir la fracción; además el signo negativo del numerador se divide por el signo positivo del denominador, así =

 5/ 5  10 / 5

=



1 . 2

 Si las fracciones poseen DIFERENTES DENOMINADOR, se reducen las fracciones a común denominador mediante el uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre ellos, y posteriormente se suman los numeradores. Ahora fíjate en los siguientes ejemplos: a.

3  2 7 1     = 5  3 18 4 

Solución: Lo primero que se hace es eliminar el paréntesis, recordando la multiplicación del signo de cada fracción con el signo que está fuera del paréntesis a.

3  2 7 1     = 5  3 18 4 

3 2 7 1    5 3 18 4 Ahora encontramos el m.c.m. de los denominadores, así: m.c.m.(5, 3, 18, 4) = 180 (Este valor será el denominador común)

Con este valor en el denominador, resolvemos de la siguiente forma: Dividimos 180 entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador formando la suma algebraica.

180  3 = 108 5

;

180 180  2 = 120;  7 = 70; 3 18 =

180  1 = 45 4

3 2 7 1 108  120  70  45    = 5 3 18 4 180

En el numerador se suman positivos con positivos y negativos con negativos, manteniendo igual el denominador Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π =

153  190 180

Finalmente se restan porque tienen diferentes signos, quedando una fracción irreducible  37 37 =   180  180

Resumiendo

a.

3  2 7 1     = 5  3 18 4 

3 2 7 1 108  120  70  45 153  190 37 = = =     5 3 18 4 180 180 180

y ahora, 2 4 2 1 3 b.       = 3 5 5 7 4 Solución: De manera análoga lo resolvemos: 2 4 2 1 3 2 4 2 1 3      =     3 5 5 7 4 3 5 5 7 4 =

2 4 2 1 3     3 5 5 7 4

(Se elimina el paréntesis) (Se agrupan para restar porque tiene el mismo denominador)

=

2 2 1 3    3 5 7 4

m.c.m. (3, 4, 5, 7) = 420

(Se realiza la operación algebraica) (Se determina el m.c.m. de los denominadores)

Se escribe en el denominador el valor del m.c.m. y el numerador está conformado por los resultados de dividir 420 entre el denominador y multiplicarlo por el numerador de cada fracción:

420 x2  280; 3

420 x2  168; 5

420 x1  60; 7

420 x3  315 4

Entonces: Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π =

280  168  60  315 420

=

763  60 420

=

703 420

(Se sustituye)

(Se suman los términos de igual signo)

(Se resta porque los términos son de diferentes signo resultando una fracción irreducible)

Resumiendo 2 4 2 1 3 2 4 2 1 3 2 4 2 1 3 2 2 1 3      =     = .     =    3 5 5 7 4 3 5 5 7 4 3 5 5 7 4 3 5 7 4

=

280  168  60  315 763  60 703 = = 420 420 420

1.2.2. Multiplicación o Producto en Q.

a c y , solo se debe b d a c a. c multiplicar numeradores y denominadores entre si, es decir: .  b d b. d 4 7 4 . 7 28 Por ejemplo: .   7 5 7 . 5 35 Para realizar el producto entre dos números racionales

Y si observas un poco, la fracción resultante es reducible, porque tanto 28 como 35 son divisibles por cinco (5), entonces: 28 28 / 7 4    35 35 / 7 5 Otra forma de operar en el ejemplo, es que si chequeamos en el momento de la multiplicación en el numerador existe un valor igual a uno ubicado en el denominador, por lo que se pueden simplificar:

4 7 4.7 4 .   7 5 7. 5 5 ¿Crees tú que simplificar dos números en una fracción significa que al multiplicar y dividir por un mismo número resultará la unidad? Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Observa esto:

1.2.3. División o Cociente en Q. a c a c Para dividir y , solo se debe multiplicar por la fracción inversa de , es decir b d b d d a c a d a. d , por lo que: dice que para   .  b d b c b. c c

a c y , b d se debe multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y este producto irá en el numerador del resultado; y el multiplicar el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda irá ubicado en el denominador del resultado. Esto se conoce como producto en cruz. Un ejemplo de ello es: Otra forma de visualizar esta operación matemática, se dice que para dividir

4 7   7 5

4 7   7 5

4. 5  7. 7

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 1.2.4. Potenciación en Q.

a a es un racional y n un número natural, la potencia de elevado a la n es el b b n a a a a a a a a (n veces) . producto n veces de :    . . . . ... b b b b b b b b Si

Recordemos que lo manejamos en la Guía Didáctica de potenciación en N. Sin embargo, acá tenemos algunos ejemplos: 3 3 3 3 3 3 27 3 a.    3  . .  2 2 2 8 2 2

3 (5)3 (-5) (-5) (-5)  125 125  5 . .   b.     3  3 3 3 27 27 3  3

Actividad de Control: Ya tienes que ejercitar!!!! Efectúa y expresa el resultado como una fracción irreducible. a.

3 1 9    5 5 5

c.

3 1  10 1       6 7  5 6

3 1 . . 1 6 7  3 1 . - 36  g.    .  6 3 5 2 i.    7 5 4 4 3 k.   .   3  4  e.

b.

3 1  9 1      7 7 5 2

 1 9  77 1    d.     7    8 3  11 2  3 1 f.   1 6 7 12  1    h.  6  6  4  1 j.      5

 1 9    77 2  l.     2       2 3    11 2 

60 60 Km los sábados y km los domingos. ¿Cuántos 9 9 Kilómetros recorre Elisa en 3 sábados y 3 domingos? m. Elisa recorre en bicicleta

16 Kg de azúcar. Si los quiere colocaren 3 recipientes con igual 3 cantidades cada uno. ¿Cuántos Kilogramos debe colocar en cada recipiente? n. Maribel tiene

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 1.3. Las expresiones decimales Las expresiones decimales es otra forma de escribir las fracciones, quebrados o números racionales. Resulta del cociente o división entre el numerador y el denominador (Recordando que el denominador debe ser diferente de cero). Un número decimal consta de dos partes: una parte entera seguida de una coma y posterior a ella la parte decimal. Un ejemplo de ello es:

27  3,375 8

ES DECIR,

27 8 30 3,375 60 40 00

En el siglo XVI D.C., los matemáticos europeos comenzaron a notar la facilidad con la cual se efectuaban los cálculos con números fraccionarios cuyos denominadores fueran potencias de 10. Por ejemplo:

Ciertamente, para sumar las fracciones anteriores bastaba con tomar 10.000 como denominador común y se resolvía:

Entonces, este tipo de fracción se llama fracción decimal. Un ingeniero y matemático holandés llamado Simón Stevin inventó en el S. XVI un método para hacer cálculos con fracciones decimales sin usar el denominador. Por ejemplo, escribía

como

como

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π como

Al sumar estos números, se obtenía:

En realidad su método no fue muy aplicado, pero su idea fue tomada por un gran matemático escocés, Napier, quien desarrolló, a partir de la proposición de Stevin, otra forma de escribir las fracciones decimales. Al principio, colocó una línea debajo de los dígitos del numerador, de esta manera:

Posteriormente en 1617, este matemático propuso el uso de una coma o un punto para separar la parte entera de la parte decimal:

Esta última idea de Napier fue la que se adoptó definitivamente para escribir los que hoy se llaman números decimales. A partir de esto, se encontró la forma de expresar cualquier fracción como un número decimal. Pero también recuerda lo siguiente: en el sistema inglés, este número es expresado usando un punto entre el entero y el decimal; mientras que en el sistema internacional se usa una coma, acá usaremos dicho sistema. No obstante, es bueno que lo identifiques y que estamos hablando del mismo número.

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Sistema Internacional

Sistema Inglés Punto

Entero

Decimal

La mayor facilidad para los cálculos radica en que sólo se efectúan las operaciones con números enteros y no ya con fracciones. Ejemplo de ello es: En la forma decimal, se obtiene (2,5)(0,03), sólo se requiere que se multipliquen los números enteros y luego se le coloca la coma de forma que se corra la coma 3 dígitos o espacios ocupados a la derecha: O sea:

Los números decimales se usaron y se siguen usando no sólo para representar fracciones decimales, sino cualquier fracción en general. Para obtener un número decimal, es necesario dividir el numerador de una fracción por su denominador (como decimos: entre el denominador) Por ejemplo, 1 2 10 0,5 0

5 2 10 2,5 0

Ocurre con algunas fracciones algo curioso: cuando se realiza la división del numerador entre el denominador, se obtienen cifras decimales que se repiten indefinidamente, como en el caso de . Al efectuar la división, en cada paso se obtiene resto igual a 2 y así, la expresión decimal en cuestión es:

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

=

20 3 20 6,666 20 20 2 Los puntos suspensivos indican que la sucesión de 6 ¡no tiene fin! Esta expresión se llama expresión decimal periódica. El número que se repite, en este caso, el 6, es llamado el período de la expresión decimal. En algunos casos, el período tiene más de una cifra, por ejemplo:

El período de la expresión decimal periódica

de es 142857.

Hay casos en los que la expresión decimal periódica tiene esta forma: En este ejemplo, el período comienza después de las cifras decimales: 01. Estas dos cifras conforman el anteperíodo de la expresión decimal. Se verá a continuación cómo se logra expresar como fracción, un número que está escrito en su expresión decimal, bien sea con un número finito de cifras decimales, o por un período. No obstante, existen números que en su expresión decimal tenga una cantidad infinita de cifras decimales no periódicas, es decir, que las cifras no se repitan con ningún patrón y que sea ilimitado su número. Tales números sí existen y son llamados irracionales. Un número irracional es un número no racional porque no se puede poner como cociente de dos números enteros La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es Ã; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo (φ es aproximadamente igual a 1,6818); la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional p (pi). Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Actividad de Control: Revisa este video, tiene información importante y entretenida para ti El número áureo La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas. Ejemplo:

  3,1415926535897932384626433832795... 2  1,4142135623730950488016887242097...

e  2,7182818284590452353602874713527... Es muy importante saber reconocer, entre dos números decimales, cuál es mayor. Por ejemplo, entre 5,9 y 6,1, sabemos reconocer a 6,1 como el mayor de los dos, porque la parte entera de 6,1 es 6, que es mayor que 5, y no importa que la parte decimal de 6,1 sea 1, mientras que la de 5,9 es 9, que es mayor que 1. Para visualizar un poco de lo hablamos, observa esta imagen, es la recta real donde ubicamos los decimales, se muestran otros ejemplos:

Para leer un decimal, hay que considerar las posiciones de sus dígitos y en esta gráfica se puede ver con facilidad: Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Notación de mayor a menor: Si dos o más números decimales tienen un entero del mismo valor, será mayor aquel que tenga el primer número mayor después de la coma; y si este es igual, será mayor aquel que tenga el siguiente número más grande.. Ejemplos (ordenado de mayor a menor): 4,90000000123 4,78000008 4,69 4,67 4,64759 4,5678 4,45 4,32 4,0000786789 4,0000000000000234 En el cubo hay 10 capas o placas. Cada placa es la décima parte del cubo: 1/10 = 0,1. Un cubo tiene 10 capas; 1 unidad = 10 décimas, El cubo se compone de 100 columnas o tiras. Cada tira es la centésima parte del cubo: 1/100 = 0,01. Un cubo tiene 100 tiras; 1 unidad = 100 centésimas. Cada placa se compone de 10 tiras: 1 décima = 10 centésimas.

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π El cubo se compone de 1000 cubitos. Cada cubito es la milésima parte del cubo: 1/1000 = 0,001.1 unidad = 1000 milésimas. 1 unidad = 10 décimas; 1 décima = 10 centésimas; 1 centésima = 10 milésimas. Actividad de Control: Escribe en milésimas estos decimales.

 1 unidad =        

1 décima = 1 centésima = 1 décima = 1 unidad = 1 centésima = 1 unidad = 1 unidad = 1 unidad =

1.3.1. Las décimas Un cubo tiene 10 placas. Una unidad = 10 décimas. 1 décima = 0,1. Lo números decimales tienen una parte entera separada por una coma de la parte decimal. Ejemplo: 2,7 se lee: dos enteros y siete décimas o dos coma siete. Actividad de Control: ¿A qué número corresponde esta expresión?

 Un entero y seis décimas =  Dos enteros y cinco décimas =  Siete enteros y ocho décimas =  Cero enteros y dos décimas =  Catorce enteros y tres décimas =  Ciento siete enteros y nueve décimas =

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

1.3.2. Las centésimas El cubo tiene 100 columnas o tiras. 1 unidad = 100 centésimas. 1 centésima = 0,01 1,52 se lee: Un entero y cincuenta y dos centésimas o uno coma cincuenta y dos.

Actividad de Control: Realiza esto:



Un entero y cuarenta y dos centésimas =

 Dos enteros y veintidós centésimas =    

Catorce enteros y tres centésimas = Trece enteros y siete décimas = Ocho enteros y cinco centésimas = Ciento siete enteros y seis décimas =

1.3.3. Las milésimas El cubo tiene 1000 cubitos. Cada cubito es la milésima parte del cubo. 1 unidad = 1000 milésimas. 1 milésima = 0,001. 6,125 se lee: Seis enteros y ciento veinticinco milésimas o seis coma ciento veinticinco.

Actividad de Control: Realiza esto:

 Cinco enteros y doscientas veintitrés milésimas =  Siete enteros y treinta y dos centésimas =  Catorce enteros y cinco décimas =  Ciento siete enteros y ocho centésimas = Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π  Tres mil enteros y tres milésimas =  Veinte enteros y doscientas siete milésimas=  Setenta enteros y cinco décimas =  Sesenta enteros y seis centésimas =  Ciento ocho enteros y cuatro décimas =  Seis enteros y tres centésimas = En el deporte, es muy importante tener claro este aspecto matemático porque los records, las posiciones en la tabla de competencia que indica ganadores, los tiempos, las velocidades, distancias, así como otras tantas variables son medidas en números decimales y pequeños valores en ellos marcan una gran diferencia. Las calificaciones de una atleta en Gimnasia Olímpica en una de sus ejecuciones son basadas en una escala de 1 al 10 con tres decimales. Ejemplo de ello: En su primera ejecución obtuvo 8,991, la segunda: 9,001 y la tercera 8,981. La media de ella es 8,991; la mejor ejecución fue la segunda seguida de la primera y por última la tercera ejecución. Se leen de una manera sencilla:  9,001: Nueve enteros con una milésima  8,991: Ocho enteros con novecientos noventa y un milésimas  8,981: Ocho enteros con novecientos ochenta y un milésimas. Pero también se encuentra en lo cotidiano, en un puesto de venta de hortalizas como se ve en la imagen:

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Donde la lechuga tiene un valor de 0,56$ (cero entero con cincuenta y seis centésimas, o simplemente cincuenta y seis centésimas); así como el tomate vale uno con cinco décimas (1,5 $) Lo importante es recordar cómo escribir una cifra numérica y posicionarla según convenga. Recuerda que no se pueden sumar lapiceros con balones. Tampoco podemos sumar enteros con décimas y centésimas. Hay que sumar enteros con enteros, décimas con décimas y centésimas con centésimas. Por eso has de escribir los enteros debajo de los enteros y los decimales debajo de los decimales. Ejemplo: 2,7 + 1,85 ________

0,37 + 14,013 ________

¿Están bien o mal colocados estos números decimales para la suma?

3,25 +1,835 13,08 Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π +1,29 121,2 + 14,37 121,2 + 14,37 12,3 +124,7

Escribe estos números en un papel y resuelve las sumas: 2,3 + 5 = 1,108 + 0,017 = 7 + 0,45 = 25,508 + 18,36 = 5,75 + 0,3 =

Transforma las expresiones de palabras a números decimales y súmalos. siete enteros y seis centésimas MÁS ciento cinco enteros = treinta y seis milésimas MÁS tres enteros y dos décimas = doce milésimas MÁS trece décimas = ocho enteros y seis centésimas MÁS doce enteros y dos décimas = Un entero y cuatro milésimas MÁS siete centésimas =

Actividad de Control : Consulta cómo se hacen problemas y luego resuelve éstos: Juan tiene 5,5 dólares y su madre le dio 7 dólares. ¿Cuántos tiene ahora? El lunes ando 112,50 metros y el martes 310,45 metros. ¿Cuántos m. he andado entre los dos días? Un pan pesa 1,05 kilos y otro 0,95 kilos. ¿Cuánto pesan entre los dos? Una botella contiene 0,75 litros y otra 1,5 litros. ¿Cuántos litros contienen entre las dos?

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Una manzana pesa 0,35 kilos, otra 0,251 kilos y la tercera 0,1 kilos. ¿Cuánto pesan entre las tres?

Para hacer la resta de números decimales ten en cuenta tres cosas: 1. Se coloca el sustraendo (el menor) debajo de minuendo (el mayor) de forma que coincidan en columna las comas y las unidades del mismo orden. 2. Si el minuendo y el sustraendo no tienen el mismo número de cifras decimales, se agregan al minuendo o al sustraendo los ceros necesarios para que ambos tengan igual número de cifras decimales. 3. Se efectúa la resta como si fueran dos números enteros, colocando la coma en el resultado debajo de la columna de las comas. Ejemplo:

3 - 1,25 _______ 1,75

-> -> ->

3,00 1,25 ______ 1,75

Recuerda que el minuendo = sustraendo + diferencia (o resultado) y comprueba que la resta está bien hecha. ¿Están bien o mal colocados estos números decimales para la resta? 4,25 -3,128 4,00 -1,83 3,85 7 3,450 - 4,128 8,37 - 5,00 Escribe estos números en un papel y resuelve las restas: 3,24 - 1,18 = 5 - 4,55 = 12,3 - 9,38 = Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 7,376 - 5 = 25 - 13,5 = Transforma las expresiones de palabras a números decimales y réstalos. Ejemplo: cinco enteros MENOS cuatro enteros y cinco décimas: 5 - 4,5 = 0,5 

dos enteros y setenta y cinco centésimas MENOS cero enteros veinticinco centésimas =



cinco enteros MENOS ocho milésimas =



catorce enteros y seis centésimas MENOS ochenta milésimas =



cincuenta enteros MENOS dos enteros y tres décimas =



veintiocho centésimas MENOS treinta y dos milésimas =

Actividad de Control : Consulta cómo se hacen problemas y luego resuelve éstos:



Miguela tiene 2,50 euros y se gasta 1,25 euros en chucherías. ¿Cuánto le queda?



Una cuerda mide 1,35 metros y otra 0,75. ¿Cuánto miden entre las dos si se colocan una a continuación de otra?



Esteban tenía 5,25 dólares y se gastó 4 dólares. ¿Cuánto le queda?



El jueves hice un paseo de 1,35 kilómetros y el domingo otro de 2,3 kilómetros. ¿Cuántos km. hice entre los dos días?



Una botella contiene 1,5 litros. Si sacamos 0,5 litros. ¿Cuántos litros le quedan?

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Para multiplicar un número entero por 10 se le añade un cero a la derecha. Ejemplo: 65 x 10 = 650 Cuando el entero se multiplica por 100 se le añaden dos ceros: Ejemplo: 7 x 100 = 700 Para multiplicar un entero por 1000 se le añaden tres ceros. Ejemplo: 523 x 1000 = 523000

Resuelve estas multiplicaciones: 5 x 100 = 48 x 10 = 7 x 1000 = 32 x 10 = 128 x 100 =

Para multiplicar un número decimal por 10, 100, 1000..., se corre la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. Si es necesario se completan los lugares con ceros. Ejemplo: 5,4 x 10 = 54; 0,7 x 100 = 70; 0,123 x 1000 = 123 0,01 x 100 = 15,3 x 1000 = 0,00025 x 10 = 2,1 x 100 = 0,25 x 1000 =

Para multiplicar un número decimal por un número entero se multiplica como si ambos números fueran enteros y en el producto se separan tantas cifras decimales como tiene el número decimal multiplicado Ejemplo: 2,57 x 6 -------15,42 Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Escribe estas operaciones sobre un papel y resuelve las operaciones. 127 x 9,5 = 6,25 x 5 = 1,26 x 17 = 9,20 x 15 = 147 x 12,1 =

Para multiplicar un número decimal por otro decimal, los multiplicamos como si no tuvieran coma, osea, como si fuesen enteros. Luego, contamos las cifras decimales que hay entre los dos números y separamos el mismo número de cifras en el producto. Ejemplo: 13,5 x 0,03 -------0,405 Realiza estos ejercicios en un papel y selecciona la respuesta: 5,3 x 1,12 = 3,4 x 6,12 = 1,15 x 12,25 = 1,125 x 300,7 = 8,32 x 1,01 =

Consulta cómo se hacen problemas y luego resuelve éstos: 

Un padre dio a cada uno de sus tres hijos 2,55 euros a cada uno. ¿Cuánto dinero les dio a todos?



Una botella de vino contiene 1,50 litros y otra 2,50 litros. ¿Cuánto tienen entre las dos?



Un pan pesa 0,75 kilogramos. ¿Cuánto pesarán siete panes?



Santiago tenía 8,75 dólares y se gastó 3,25 dólares en material escolar. ¿Cuánto le queda?

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π 

Una pera pesa 0,12 kilos. ¿Cuánto pesarán 9 peras?

Para dividir un número que acaba enteros por 10 se tacha un cero. Ejemplo: 70 : 10 = 7 Para dividir un número terminado en ceros por 100, se tachan dos ceros. Ejemplo: 800 : 100 = 8 Para dividir por 1000 se tachan tres ceros. Ejemplo: 5000 : 1000 = 5 Resuelve estas divisiones: 20 : 10 = 4000 : 100 = 12000 : 1000 = 1500 : 100 = 10000 : 1000 =

Para dividir un número entero por 10, se separa con una coma la última cifra. Ejemplo: 26 : 10 = 2,6 Para dividir un número entero por 100, se separan con una coma las dos últimas cifras. 809: 100 = 8,09 Para dividir un número por 1000, se separan las tres últimas cifras. Ejemplo: 5437 : 1000 = 5,437 8 : 10 = 123000 : 10 = 1027 : 100 = 6324 : 1000 = 254 : 100 =

Para dividir un número decimal por un número natural, se hace la división como si el dividendo y el divisor fueran números naturales, pero se pone una coma en el cociente al bajar la primera cifra decimal. Ejemplo 7,32 |_4___ 33 1,83 12 0

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Escribe estas operaciones sobre un papel y resuelve las operaciones. 14,52 : 3 = 10,75 : 5 = 22,512 : 6 = 5,4 : 12 = 46,17 : 9 = Actividad de Control: Consulta cómo se hacen problemas y luego resuelve éstos: 

En un vaso ponemos 0,12 litros de agua; en otro vaso 0,18 y en otro 0,17. ¿Cuánto hay entre los tres?



El padre de Juan entregó 10,75 euros a sus cinco hijos. ¿Cuánto le tocó a cada uno?



José Luis tenía 12,05 euros y gastó 3,25 en un bolígrafo. ¿Cuánto le queda?



Una bolsa de pipas vale 0,55 dólares. ¿Cuánto costarán 7 bolsas?



Pedro tenía que recorrer 7,25 kilómetros y por la mañana hizo 3,3 km. ¿Cuánto le falta?



El tío de Andrés quiere repartir 14,52 euros entre sus tres sobrinos. ¿Cuánto dará a cada uno?



Un cuaderno vale 0,35 bolívares. ¿Cuánto costarán 6 cuadernos?



En una botella hay 1,45 litros y en otra 0,85 litros. ¿Cuánto hay entre las dos?



Un profesor reparte 21,85 bolívares entre los 19 alumnos de la clase. ¿Cuánto dará a cada uno?



Un lápiz vale 0,15 bolívares. ¿Cuánto costarán 7 lápices?

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Para dividir un entero por un número decimal, se suprime la coma del divisor y a la derecha del dividendo se ponen tanto ceros como cifras decimales tenga el divisor. Después se continúa la división como si fueran números naturales. Ejemplo: de 138 : 1,9 pasamos a 1380: 19 Resuelve estas divisiones: 525 : 1,5 = 30 : 1,2 = 208 : 0,4 = 543 : 0,3 = 45 : 0,09 =

Para dividir dos números decimales, se suprime la coma del divisor y se desplaza la coma del dividendo tantos lugares a la derecha como cifras tenga el divisor. Ejemplo En el dibujo superior pasamos de 10,83 : 1,9 De 11,83 : 2,7 pasamos a 118,3 : 27

a 108,3 : 19

1,024 : 0,16 = 9,72 : 0,09 = 102,4 : 0,32 = 23,8 : 0,13 = 10,83 : 1,9 =

Vamos a repasar los números decimales. ¿A qué número corresponde esta expresión? diez enteros y tres centésimas Un entero y nueve décimas Un entero y veinticuatro milésimas Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Transforma estos decimales a unidades. 435 centésimas = 2,5 décimas = 6 milésimas =

Resta estos decimales: 3 - 2,025 = 4,5 - 0,45 = 17,1 - 3,75 =

Multiplica estos decimales: 0,2 x 1,12 = 3,1 x 0,7 = 0,05 x 700 =

Actividad de Control: Realiza esto: Consulta cómo se hacen problemas y luego resuelve éstos:

 Un plátano pesa 0,14 kilogramos. ¿Cuánto pesarán 8 plátanos?  Mariano tenía 7,25 euros y se gastó 3,5 euros en cuadernos. ¿Cuánto le queda?  Un señor repartió 6,75 euros entre sus tres hijos. ¿Cuánto le tocó a cada

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π uno?  En una botella hay 1,18 litros y en otra 1,2 litros. ¿Cuánto litros hay entre las dos?  El profesor reparte 18,9 euros entre los 18 alumnos de su clase. ¿Cuánto dará a cada uno? Además, Actividad de Control: Escribe estas cifras en números y ubícalas en la recta real. a) Mil doscientos cincuenta con doce centésimas b) Dieciocho milésimas c) Un entero con setecientos diezmilésimas. Ahora, escribe con palabras las siguientes cifras, ubícalas en la recta real: a) 2,12 b) 87,0176 c) 9,08977 Otra cosa, ordena en forma creciente las siguientes cantidades: 1251,0012; 1251,012; 1251,12; 1251,0021; 1250,9991; 1251,013; 1251,

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π

Video de Números Decimales: http://www.youtube.com/watch?v= vgrj436JX64

Si has acertado en todas tus respuestas, ¡felicitaciones! has hecho un buen progreso en tu camino a través del mundo de los números. Si has cometido algunos errores, asegúrate de comprender la causa de los mismos, para no cometerlos nuevamente en el futuro.

Referencias Bibliográficas Para el estudio de los números racionales te presentamos un valioso contenido que debes reforzar con cualquier texto de Matemática de 7mo, 8vo y/o 9no año de Educación Básica. Sin embargo, les mostramos algunas de ellos:     

Baldor, A. 2000. Algebra. Edit. Cultura Venezolana, S.A. Baldor, A. 2000. Aritmética. Edit. Cultura Venezolana, S.A. Grupo Editorial Girasol. 2007. Guía- Teórica-Práctica Matemática 7. Terra editores. Grupo Editorial Girasol. 2007. Guía- Teórica-Práctica Matemática 9. Terra editores. Suárez, E; Durán, D. 2008. Matemática 9. Editorial Santilana. Caracas

Además pueden revisar estas direcciones electrónicas:  http://www.mamutmatematicas.com/muestras/Fracciones_2_Indice.pdf  http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=80 Matemática – Operaciones Básicas de Números Racionales -

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◊ Α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ α ◊ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π Δ π     

http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/fracciones-2.php http://www.funbrain.com/fract/index.html http://www.dositey.com/2008/math/mistery2.html http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/fracciones.php www.MamutMatematicas.com

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