Optimizacion Problemas Vitutor 1xj22

1 Obtener el triángulo isósceles de á rea máxima inscrito en un círculo de ra dio 12 cm.

2 Un triá ngulo isósceles de perímetro 30 cm, gira a lrededor de su a ltura engendra ndo un cono. ¿Qué va lor debe da rse a la base pa ra que el volumen del cono sea má ximo?

3 S e pretende fa brica r una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de ca pa cida d. ¿Cuá les deben ser sus dimensiones pa ra que se utilice el mínimo posible de metal?

4 D escomponer el número 44 en dos sumandos ta les que el quíntuplo del cua dra do del prime ro má s el séxtuplo del cua dra do del segundo sea un mínimo.

5 S e tiene un a la mbre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos pa ra forma r con uno de ellos un círculo y con el otro un cua dra do. D etermina r la longitud que se ha de da r a ca da uno de l os trozos pa ra que la suma de las á rea s del círculo y del cua dra do sea mínima .

6 Ha llar la s dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por ba se 10 cm y por a ltura 15 cm.

7 Ha llar la s dimensiones que ha cen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de pa ra lelepípedo rectangula r sa biendo que su volumen ha de ser 9 m 3 , su a ltura 1 m y el coste de su construcción por m 2 es de 50 € pa ra la base; 60 pa ra la eta pa y 40 pa ra ca da pa red latera l.

8 Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de ca rtón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cua dra do de la do x y dobla ndo convenientemente (véase figura ), se construye una ca ja . Ca lcula r x para que volumen de dicha ca ja sea má ximo.

9 Una hoja de pa pel debe tener 18 cm 2 de texto impreso, má rgenes superior e inferior de 2 cm de a ltura y má rgenes la tera les de 1 cm de a nchura . Obtener ra zona da mente la s dimensiones que minimizan la superficie del pa pel.

10 El beneficio neto mensua l, en millones de euros, de una empresa que fa brica a uto buses viene dado por la función:

B (x)= 1. 2x − (0. 1x) 3

donde x es el número de autobuses fa bricados en un mes.

1 Ca lcula la producción mensua l que ha cen máximo el beneficio. 2 El beneficio má ximo correspondiente a dicha producción.

11 Una huerta tiene actua lmente 25 á rboles, que producen 600 frutos ca da uno. S e ca lcula que por ca da á rbol a diciona l pla ntado, la producción de ca da á rbol disminuye en 15 frutos. C a lcula r: 1 La producción a ctua l de la huerta. 2 La producción que se obtendría de ca da á rbol si se planta n x á rboles más. 3 La producción a la que ascendería el tota l de la huerta si se planta n x á rboles má s. 4 ¿C uá l debe ser el número tota l de á rboles que debe tener la huerta pa ra qué la producción sea má xima ?

12 Un sector circula r tiene un perímetro de 10 m. Ca lcula r El ra dio y la a mplitud del sector de mayor á rea.

Desarrollo

Ejercicio 1 resuelto

Obtener el triángulo isósceles de área má xima inscrito en un círculo de radio 12 cm.

Ejercicio 2 resuelto

Un triá ngulo isósceles de perímetro 30 cm, gira a lrededor de su a ltura engendra ndo un cono. ¿Qué va lor debe da rse a la base pa ra que el volumen del cono sea má ximo?

Ejercicio 3 resuelto

S e pretende fa brica r una la ta de conserva cilíndrica (con ta pa ) de 1 litro de ca pacida d. ¿Cuá les deben ser sus dimensiones pa ra que se utilice el mínimo posible de meta l?

Ejercicio 4 resuelto

D escomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cua dra do del primero má s el séxtuplo del cua dra do del segundo sea un mínimo.

Ejercicio 5 resuelto

S e tiene un a la mbre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos pa ra forma r con uno de ellos un círculo y con el otro un cua dra do. D etermina r la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos pa ra que la suma de las á rea s del círculo y del cua drado sea mínima.

Ejercicio 6 resuelto

Ha llar la s dimensiones del ma yor rectángulo inscrito en un triá ngulo isósceles que tiene por ba se 10 cm y por a ltura 15 cm.

A l tener d os triángu los semejan tes se cumple que:

Ejercicio 7 resuelto

Ha llar la s dimensiones que ha cen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de pa ra lelepípedo rectangula r sa biendo que su volumen ha de ser 9 m 3 , su a ltura 1 m y el coste de su construcción por m 2 es de 50 € pa ra la ba se; 60 pa ra la eta pa y 40 pa ra cada pa red latera l.

Ejercicio 8 resuelto

Recortando convenientemente en cada esquina de una lá mina de ca rtón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cua dra do de lado x y dobla ndo convenientemente (véase figura ), se construye una ca ja . Ca lcula r x para que volumen de dicha ca ja sea má ximo.

Ejercicio 9 resuelto

Una hoja de pa pel debe tener 18 cm 2 de texto impreso, má rgenes superior e inferior de 2 cm de a ltura y má rgenes la tera les de 1 cm de a nchura . Obtener ra zona da mente las dimensiones que minimiza n la superficie del papel.

Ejercicio 10 resuelto

El beneficio neto mensua l, en millones de euros, de una empresa que fa brica a utobuses viene da do por la función:

B (x)= 1. 2x − (0. 1x) 3

donde x es el número de autobuses fa bricados en un mes.

1 Ca lcula la producción mensua l que ha cen máximo el beneficio. 2 El beneficio má ximo correspondiente a dicha producción.

Ejercicio 11 resuelto

Una huerta tiene actua lmente 25 á rboles, que producen 600 frutos cada uno. S e ca lcula que por ca da á rbol a diciona l planta do, la producción de ca da á rbol disminuye en 15 frutos. Ca lcula r:

1 La producción a ctua l de la huerta.

P roducción a ctua l: 25 · 600 = 15 000 frutos.

2 La producción que se obtendría de ca da á rbol si se planta n x á rboles más.

S i se planta n x á rboles más, la producción de ca da á rbol será: 600 − 15x .

3 La producción a la que ascendería el tota l de la huerta si se planta n x á rboles má s.

P (x) = (25 + x)(600 − 15x) = − 15 x 2 + 225x + 1500

4 ¿C uá l debe ser el número tota l de á rboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima ?

P ′(x) = − 0 x + 225 − 30x + 225 = 0 x = 7. 5

P ′′ (x) = −30 < 0

La producción será má xima si la huerta tiene 25 + 7 = 32 o 25 + 8 = 33 árbo les

Ejercicio 12 resuelto

Un sector circula r tiene un perímetro de 10 m. Ca lcula r El radio y la amplitud del sector de ma yor á rea .