Practica T H 5f44g

Fundamentos de Robótica

Práctico de TRANSFORMACIONES HOMOGÉNEAS Fecha de inicio:

Alumno: ........................................

Fecha de entrega:

Ejemplo: a) A partir de las siguientes transformaciones homogéneas básicas Tras x , 2 = Trasu , 2

1 0 = 0 0

0 0 2 0 − 1 1 0 1 0 0  Rot z ,π = Rot w,π =  2 2 0 1 0 0 0  0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0  Tras y ,1 = Trasv ,1 =  1 0 0  0 0 1

0 0 0 1 0 1  0 1 0 0 0 1

obtener, gráfica y numéricamente, las siguientes transformaciones homogéneas compuestas. Verifique los resultados.

1. Trasx,2; Rotz,π/2; Trasy,1 T = Tras y ,1 ⋅ Rot z ,π ⋅ Tras x , 2 ⋅ I 4×4 2

0 - 1 1 0 T = 0 0 0 0

0 0 0 3  1 0 0 1

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2. Trasx,2; Trasy,1; Rotz,π/2 T = Rot z ,π ⋅ Tras y ,1 ⋅ Tras x , 2 ⋅ I 4×4 2

0 1 T = 0 0

1 0 - 1 0 0 2  0 1 0 0 0 1 

3. Trasx,2; Trasy,1; Rotw,π/2 T = Tras y ,1 ⋅ Tras x , 2 ⋅ I 4×4 ⋅ Rot w,π

2

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0 − 1 1 0 T = 0 0 0 0

0 2 0 1  1 0 0 1

4. Trasx,2; Rotw,π/2; Trasy,1 T = Tras y ,1 ⋅ Tras x , 2 ⋅ I 4×4 ⋅ Rot w,π

2

0 − 1 1 0 T = 0 0 0 0

0 2 0 1  1 0 0 1

Problemas propuestos: a) Rotz,π/4; Trasu,1; Trasv,1; Rotw,π/4 b) Rotz,π/4; Trasu,1; Trasy,1; Rotw,π/4 c) Trasu,0.707; Trasy,0.707; Rotw,π/4

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d) La localización del extremo del matriz homogénea. − 1 0 T′=  0  0

robot viene determinada por la siguiente 0

0

5 1 0 10  0 −1 5  0 0 1  con respecto al sistema de coordenadas situado en la base. Obtener la localización del extremo si éste sufre en primer lugar una traslación de un vector p(5,10,5)T y posteriormente un rotación de –90º con respecto al eje y, expresando ambas transformaciones con respecto al sistema de coordenadas de la base del robot.

e) Obtener la matriz de transformación que representa al sistema obtenido a partir de un sistema de referencia fijo sobre el que se ha aplicado un giro de 90º alrededor del eje x, un giro de 180º alrededor del eje y (estas dos rotaciones se realizan respecto al sistema de coordenadas fijo); y por último un giro de –90º alrededor del eje v del sistema transformado. f) El vector p a,Mb , con las siguientes coordenadas, a(4,3,2)T y b(6,2,4)T, se traslada una distancia de 5 unidades a lo largo del eje xM, y –3 unidades a lo largo del eje zM. Determinar la nueva posición del vector. g) Determinar la matriz de transformación homogénea T que representa una rotación de αº respecto del eje x, seguida por una traslación de b unidades a lo largo del eje v. h) Encontrar una matriz de transformación homogénea T que represente una rotación de αº respecto del eje x, seguida por una traslación de b unidades a lo largo del eje x, seguida por una traslación de d unidades a lo largo del eje z, seguida por una rotación de θº respecto de z. Verifique el resultado con un ejemplo. i) Obtener al menos dos secuencias de transformaciones homogéneas básicas distintas que permitan llevar el paralelepípedo de la posición 1 a la posición 2. Verificar el resultado.

Posición 1

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Posición 2

j) Para la figura 1, encontrar las matrices de transformación homogénea para i= 1,2,3,4,5 y 0A5

i-1

Ai

Figura 1. k) Ha sido preparada una estación de trabajo de un robot con una vídeo-cámara (ver figura 2). La cámara puede ver el origen del sistema de coordenadas de la base donde está montado un robot de 6 articulaciones. Puede también ver el centro de un objeto (supuesto que es un cubo) que va ha ser manipulado 5 de 6

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por el robot. Si se ha establecido un sistema de coordenadas local en el centro del cubo, este objeto tal como lo ve la cámara se puede representar mediante una matriz de transformación homogénea T1. Si el origen del sistema de coordenadas de la base tal como lo ve la cámara se puede expresar también mediante una matriz de transformación homogénea T2. 0 − 10 0 1 0 1  1 0 1 0 0 10 0 − 1 0 20    T1 =  T2 =  0 0 − 1 9  0 0 − 1 10  0 0 0 1  0 0 0 1  ¿Cuál es la posición del centro del cubo con respecto al sistema de coordenadas de la base?

Figura 2.

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