Prisma 1u3r32

BAB II PEMBAHASAN

A. Definisi prisma

Prisma adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas dan tutup identik berbentuk segi-n dan sisi-sisi tegak berbentuk persegi atau persegi panjang. Dengan kata lain prisma adalah bangun ruang yang mempunyai penampang melintang yang selalu sama dalam bentuk dan ukuran. Prisma segi-n memiliki n + 2 sisi, 2n titik sudut, dan 3n rusuk. Prisma dengan alas dan tutup berbentuk persegi disebut balok sedangkan prisma dengan

alas

dan

tutup

berbentuk

lingkaran

disebut

tabung.

(www.wikipedia.com)

Prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang segi banyak (segi-n) yang sejajar dan kongruen serta bidang-bidang tegak yang menghubungkan bidang segi banyak tersebut. (idkf.bogor.net)

Jadi dapat di simpulkan dari kedua definisi di atas bahwa prisma adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua buah bidang segi banyak (segi-n) yang sejajar dan kongruen serta bidang-bidang tegak yang berbentuk persegi atau persegi panjang yang menghubungkan bidang segi banyak tersebut.

5

B. Unsur-unsur prisma Macam-macam prisma berdasarkan bentuk alas dan tutup nya adalah sebagai berikut: 1. Prisma Segitiga ABC.DEF

Gambar 2.1 (sumber: makalah) Prisma segitiga ABC.DEF seperti gambar 1.1 di atas memiliki unsur-unsur sebagai berikut: 

Mempunyai 6 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, dan F



Mempunyai 9 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, dan AC; Rusuk atas DE, EF, dan DF Rusuk tegak AD. BE, dan CF



Mempunyai 5 bidang sisi, yaitu : Sisi alas ABC ; sisi atas DEF dan Sisi tegak ABED, BCFE dan ACFD

2. Prisma Segiempat ABCD. EFGH

6

Gambar 2.2 (sumber: makalah) Prisma segiempat ABCD.EFGH seperti gambar 1.2 di atas memiliki unsur-unsur sebagai berikut: 

Mempunyai 8 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, F, G dan H



Mempunyai 12 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, CD dan DA; Rusuk atas EF, FH, GH, dan EG Rusuk tegak EA. FB, HC, dan GD



Mempunyai 8 bidang sisi, yaitu : sisi alas ABCD ; sisi atas EFGH dan sisi tegak ABFE, BCGF, CDHG dan ADHE



Mempunyai 12 diagonal bidang, yaitu : AC, BD, EG, HF, BG, CF, CH, DG, AH, DE, AF, dan BE.



Mempunyai 4 diagonal ruang, yaitu: AG, CE, BH dan DF

3. Prisma Segilima ABCDE.FGHIJ

Gambar 2.3 (sumber: makalah) Prisma segilima ABCDE.FGHJI seperti gambar 1.3 di atas

7

memiliki unsur-unsur sebagai berikut: 

Mempunyai 10 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, F, G, H, I, dan J



Mempunyai 15 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, CD, DE dan EA Rusuk atas FG, GH, HI, IJ dan JF Rusuk tegak FA. GH, HI, IJ dan JE



Mempunyai 7 bidang sisi, yaitu : Sisi alas ABCDE ; sisi atas FGHIJ Sisi tegak ABGF, BCHG, CDIH, DEJI, dan AEJF

4. Prisma Segienam ABCDEF.GHIJKL

Gambar 2.4 (sumber: makalah) Prisma segienam ABCDEF.GHIJKL seperti gambar 1.4 di atas memiliki unsur-unsur sebagai berikut: 

Mempunyai 12 titik sudut, yaitu : Titik A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, dan L



Mempunyai 18 rusuk , yaitu : Rusuk alas AB, BC, CD, DE, EF dan FA ; Rusuk atas GH, HI, IJ, JK, KL dan LG Rusuk tegak GA. HB, IC, JD, KE dan LF



Mempunyai 8 bidang sisi, yaitu : Sisi alas ABCDEF ; sisi atas GHIJKL dan Sisi tegak ABHG, BCIH, CDJI, DEKJ, EFLK dan FAGL

8

Macam-macam jaring prisma berdasarkan bentuk alas dan tutup adalah sebagai berikut: 1.

Prisma segitiga ABC.DEF

Gambar 2.5 gambar 2.6 (sumber: makalah) (sumber: makalah) Pada gambar 2.5 adalah bangun ruang prisma segitiga, jika kita ingin mencari jaring-jaringnya, maka kita dapat membuka bangun ruang prisma tersebut. Sehingga akan diperoleh jaring-jaring seperti pada gambar 2.6.

2.

Prisma segiempat ABCD.EFGH

9

Gambar 2.7 Gambar 2.8 (sumber: makalah) (sumber: makalah) Pada gambar 2.7 adalah bangun ruang prisma segiempat, jika kita ingin mencari jaring-jaringnya, maka kita dapat membuka bangun ruang prisma tersebut. Sehingga akan diperoleh jaring-jaring seperti pada gambar 2.8. 3.

Prisma segilima ABCDE.FGHIJ

Gambar 2.9 Gambar 2.10 (sumber: makalah) (sumber: makalah) Pada gambar 2.9 adalah bangun ruang prisma segilima, jika kita ingin mencari jaring-jaringnya, maka kita dapat membuka bangun ruang prisma tersebut. Sehingga akan diperoleh jaring-jaring seperti pada gambar 2.10.

4.

Prisma segienam ABCDEF.GHIJKL

10

Gambar 2.11 Gambar 2.12 (sumber: makalah) (sumber: makalah) Pada gambar 2.11 adalah bangun ruang prisma segienam, jika kita ingin mencari jaring-jaringnya, maka kita dapat membuka bangun ruang prisma tersebut. Sehingga akan diperoleh jaring-jaring seperti pada gambar 2.12.

C. Rumus Prisma 1.

Rumus Volume Prisma Rumus umum Prisma : Volume Prisma = Luas alas x tinggi Untuk menentukan rumus umum volume sebuah prisma, marilah kita tinjau rumus volume prisma segitiga. Rumus volume prisma segitiga dapat diturunkan dari rumus volume balok. Perhatikanlah gambar berikut ini.

Gambar 2.13 gambar 2.14 gambar 2.15 (sumber: makalah) (sumber: makalah) (sumber: makalah) Jika balok ABCD.EFGH pada gambar (a) dibagi dua melalui bidang

11

diagonal ACGE maka akan diperoleh dua buah prisma segitiga, yaitu prisma ACD.EGH dan prisma ABC.EFG. Karena bidang diagonal balok membagi balok menjadi dua bagian sama besar, maka volume balok sama dengan dua kali volume prisma segitiga. Maka volume prisma segitiga dapat dirumuskan: Volume prisma segitiga

1 = × volume balok ABCD.EFGH 2 1 = × AB × BC × CG 2

1 = × luas bidang ABCD × CG 2 1 = × (luas∆ABC + luas∆ACD) × CG 2 1 = × (2 × luas∆ABC) × CG 2 = luas∆ABC × CG = luas alas × tinggi prisma Apakah untuk menentukan rumus volume prisma yang lain dapat menggunakan rumus volume prisma segitiga? Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar 2.16 (sumber: makalah) Jika prisma segienam beraturan kita iris pada bidang diagonal ADJG,

12

bidang diagonal BEKH, dan bidang diagonal CFLI, maka kita akan mendapatkan enam buah prisma segitiga beraturan. Maka volume prisma segienam dapat dinyatakan dalam bentuk berikut. Volume prisma segienam ABCDEF.GHIJKL = 6 × volume prisma segitiga BCO.HIT = 6 × luas BCO×TO = luas segienam ABCDEF×TO = luas alas × tinggi prisma Maka untuk setiap prisma berlaku rumus: Volume prisma = luas alas × tinggi prisma Jika kita ingin menentukan volume prisma, terlebih dulu kita mencari luas alas prisma. Luas alas dicari sesuai dengan bentuk alas. Kemudian kita mencari tinggi prisma. Setelah luas alas dan tinggi prisma diketahui, kita dapat mencari volume prisma dengan mengalikan luas alas prisma dengan tinggi prisma. Rumus volume prisma berdasarkan bentuk alas dan tutupnya: a.

Rumus volume prisma untuk segitiga Volume prisma segitiga = (½ x alas segitiga x tinggi segitiga)×tinggi prisma

b.

Rumus volume prisma untuk segiempat sama sisi Volume prisma segi empat sama sisi = (sisi x sisi) x tinggi prisma

c.

Rumus volume prisma segi empat Volume prisma segi empat = (panjang x lebar) x tinggi prisma

d.

Rumus volume prisma segi lima Volume prisma segi lima= 5 x (1/2 x alas segitiga x tinggi segitiga) x tinggi prisma.

e.

Rumus volume prisma segi enam Volume prisma segi enam = 6 x (1/2) x alas segitiga x tinggi segitiga)

13

x tinggi prisma. 2.

Rumus Luas Permukaan Prisma Rumus luas permukaan prisma : Luas permukaan prisma = (2 × luas alas) + (keliling alas × tinggi prisma) Misalkan kita memiliki prisma segilima ABCDE.FGHIJ seperti terlihat pada gambar 2.17 dan bentuk jaring-jaringnya pada gambar 2.18. Maka luas permukaan prisma adalah sebagai berikut.

Gambar 2.17 Gambar 2.18 (sumber: makalah) (sumber: makalah) Luas permukaan prisma segilima ABCDE.FGHIJ = luas bidang EABCD + luas bidang IHGFJ + luas bidang EDIJ + luas bidang DCHI + luas bidangCBGH + luas bidangBAFG + luas bidangAEJF. Karena bidang alas dan bidang tutup prisma kongruen, maka luas EABCD = luas IHGFJ, sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk berikut. Luas permukaan prisma= luas bidang EABCD + luas bidang EABCD +a×t+a×t+a×t+a×t+a×t = 2 × luasEABCD + (a + a + a + a + a) × t = (2 × luas alas) + (keliling alas × tinggi prisma) Maka untuk setiap prisma berlaku rumus: Luas permukaan prisma = (2 × luas alas) + (keliling alas × tinggi prisma) Selain cara di atas dapat juga luas permukaan di cari menggunakan tabel sebagai berikut: Prisma segi

Luas alas atau tutup

Jumlah luas sisi tegak

14

tiga empat lima enam . .

1 xaxt 2 S2 5 xaxt 2 6 xaxt 2 . . .

3x(pxl) 4x(pxl) 5x(pxl) 6x(pxl) . . .

n Luas alas segi-n nx(pxl) karena bentuk alas dan tutup prisma tersebut sama, jadi rumus luas permukaan prisma = ( 2 x luas alas segi n + jumlah luas sisi tegak n )

D. Contoh soal dan pembahasan a. Contoh soal SMP dan pembahasannya 1.

Alas sebuah prisma berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi masing-masing 9 cm, 12 cm, dan 15 cm. Jika tinggi prisma 10 cm, hitunglah luas permukaan prisma itu!

Jawab :

Luas permukaan prisma

15

= ( 2 x luas alas ) + (keliling alas x tinggi) = [2 x ( x 9 x 12 )] +[(9 + 12 + 15) x 10] = (2 x 54) + (36 x 10 ) = 108 + 360 = 468 Jadi, luas permukaan prisma adalah 468 cm2

2.

Alas sebuah prisma berbentuk belah ketupat dengan panjang sisi 10 cm dan panjang diagonalnnya masing-masing 12 cm dan 16 cm. Jika tinggi prisma 20 cm, hitunglah luas permukaan prisma tersebut !

Jawab: Luas permukaan prisma = (2 x luas alas) + (keliling alas x tinggi)

  12 x 16   =  2x  + [(4 x 10) x 20] 2     = (2 x 96) + (40 x 20) = 192 + 800 = 992 Jadi, luas permukaan prisma adalah 992 cm2.

3.

Alas sebuah prisma berbentuk segitiga sama sisi dengan panjang sisi-sisinya 6 cm. Hitunglah luas permukaan prisma tersebut, jika

16

tinggi prisma 8 cm!

Jawab:

Terlebih dahulu kita hitung tinggi segitiga alas, yaitu: h2 = 62 - 32 = 36 – 9 h2 = 27 h =

27

h = 5,20

atau h =

 9 x 3

= 3 3

tinggi segitiga alas adalah 5,20 cm atau 3 3 cm. Luas permukaan prisma = (2 x luas alas) + (keliling alas x tinggi) = [2 x (

1 x 6 x 5,20)] + [(6 + 6 + 6) x 8] 2

= (2 x 15,60) + (18 x 8) = 31,20 + 144 = 175,20 cm2 atau Luas permukaan prisma = [2 x (

1 x 6 x 3)] + [(6 + 6 + 6) x 8] 2

= (2 x 9 3 ) + (18 x 8)

17

= ( 18 3 + 144) cm2

4. Alas sebuah prisma berbentuk segitiga sama kaki dengan panjang sisi alas segitga 7 cm dan tinggi 10 cm. Jika tinggi prisma 12 cm,

hitunglah volume prisma tersebut!

Jawab: V = Lt =(

1 x alas x tinggi segitiga) x tinggi prisma 2

=(

1 x 7 x 10) x 12 2

= 35 x 12 = 420 Jadi, volume prisma adalah 420 cm3

5.

Pada prisma ABCD.EFGH di bawah, panjang AB = 12 cm, BC = 8

cm,

AD = 4 cm, dan AE = 6 cm. Hitunglah volume prisma tersebut! Jawab:

18

Alas prisma adalah trapesium ABCD dengan AD // BC, dan tinggi trapesium ABCD adalah AB. Luas alas prisma adalah =

(AD  BC) x AB 2

=

(4  8) x 12 2

=

144 2

= 72

Volume prisma

= luas alas x tinggi = luas trapesium ABCD x AE

= 72 x 6 = 432 Jadi, volume prisma tersebut adalah 432 cm3.

6.

Alas sebuah prisma berbentuk trapesium sama kaki dengan panjang sisi-sisi

19

sejajarnya adalah 12 cm dan 20 cm, serta sisi miringnya 5 cm. Jika tinggi prisma tersebut 25 cm, hitunglah volume prisma! Jawab:

Sebelum mencari volume prisma, kita harus mencari luas alas prisma tersebut. 2a  20  12  8 a  4 cm t  52  4 2  25  16  9  3 cm Luas alas =

(20  12) 32 x3 = x 3 = 16 x 3 = 48 cm2 2 2

Jadi, volume prisma adalah: V

= luas alas x tinggi prisma = 48 x 25 = 1.200 cm3

7.

Alas sebuah prisma berbentuk persegi panjang dengan panjang 8 cm

lebar 6 cm. Jika tingginya 12 cm, tentukan luas permukaan

dan

prisma

tersebut. Jawab: Luas permukaan prisma = (2 x luas alas) + (keliling alas x tinggi prisma) = (2 x (8 x 6)) + ((8 + 6 + 8 +6) x 12)

20

= 96 + 336 = 432 cm2

8.

Sebuah prisma alasnya berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisinya 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. Jika tinggi prisma 25 cm, tentukan volume prisma tersebut. Jawab: Luas alas prisma =

1 x 6 x 8 = 24 cm2 2

Volume prisma = luas alas x tinggi = 24 x 25 = 600 cm2

9.

Alas prisma berbentuk belah ketupat dengan panjang diagonal 18 cm

dan

24 cm. Jika tingginya 10 cm, volume prisma tersebut adalah.... Jawab: Luas alas prisma =

1 x 18 x 24 = 216 cm2 2

volume prisma = luas alas x tinggi = 216 x 10 = 2160 cm3 10.

21

ABCD EFGH pada gambar di atas adalah prisma dengan ABFE sejajar DCGH. Panjang AB= 4 cm, BC = 5 cm, AE = 6 cm, dan BF = 3 cm. Luas permukaan prisma adalah.... Jawab: Luas permukaan = (2 x luas alas) + (keliling alas x tinggi) =(2x(

ab x t)) + ( (AB+ BF + FE + AE) x t ) 2

=(2x(

63 x 4) + ( (4 + 6+ 5 + 3) x 5) 2

= ( 2 x 18) + ( 18 x 5 ) = 36 + 90 = 126 cm2

b. Contoh soal SMA dan pembahasannya 1.

Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Volume prisma tersebut adalah ... cm3

Alas prisma berbentuk segitiga. Luas segitiga adalah... Jawab:

22

1 x  AB  BC  AC 2 1 s  x  5  7  8 2 s  10 s

L  s  s  AB  s  BC   s  AC L  10 10  5 10  7  10  8 L  10  5  3  2 L  300 L  10 3 cm 2 V  La x t V  10 3 x 10 V  100 3 cm 3 Jadi volume prisma adalah 100 3 cm3

2.. Diketahui prisma tegak segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 2 7 cm, dan CF = 8 cm. Volume prisma tersebut adalah ....

23

Jawab: a = 6 cm, b = 2 7 cm, c = 4 cm

b 2  a 2  c 2  2ac cos B

2

7



2

 6 2  4 2  2 6   4  cos B

28  36  16  48 cos B 48 cos B  52  28 48 cos B  24

24 48 1 cos B  2 0 B  60 cos B 

Luas Segitiga ABCadalah 1 a.c sin B 2 1 LABC   6   4  sin 600 2  1  LABC  12  3  2  LABC 

LABC  6 3

Volume Prisma Segitiga V  L.alas x tinggi V  6 3  8 V  48 3 cm 3

3.

Suatu prisma tegak mempunyai bidang alas segitiga sama sisi dengan panjang sisinya 6 cm. Jika tinggi prisma tersebut 8 cm, tentukan:

24

a. Volume prisma

c. Luas permukaan prisma

b. Luas sisi tegaknya Jawab :

Bidang alas berbentuk segitiga sama sisi dengan sisinya 6 cm. sin 600 =

t 6  1  3  = 3 3 cm.  2 

t = 6 sin 600= 6 

Luas bidang alas =

 

1  6 3 3 cm2 2

= 9 3 cm2. a.

Volume prisma = luas alas x tinggi

 

= 9 3  8 cm3 = 72 3 cm3

b.

Luas satu sisi tegak = 6 . 8 cm2 = 48 cm2

Luas sisi tegak = 3 (48 cm2) = 144 cm2 c.

Luas permukaan = luas alas + luas sisi tegak +luas atas

25

= 9 3 + 144 + 9 3 = 144 + 18 3 cm2.

4.

Hitunglah luas permukaan dan volume prisma tegak segitiga yang tingginya 4 cm dan panjang rusuk-rusuk alasnya adalah 5 cm, 12 cm,

dan

13 cm. Jawab:

Misalkan prisma tersebut adalah prisma ABC.DEF dengan AB= 5 cm,BC= 12 cm, AD = 4 cm. ∆ ABC adalah segitiga siku-siku di B karena AC2 = AB2 + BC2 AC2= 52 + 122 AC2= 25 + 144 AC2 = 169 AC = 169 AC=13 cm Luas selimut prisma = keliling alas x tinggi = (5 + 12 + 13) x 4 cm2 = 120 cm2

26

Luas alas =

1 x 5 x 12 cm2 = 30 cm2 2

Luas per mukaan prisma = luas selimut + 2 luas luas = 120 cm2 + 2.30 cm2 = 180 cm2 Volume

= luas bangun alas x tinggi = 30 cm2 x 4 cm = 120 cm3

5.

Prisma tegak dengan alas segienam beraturan dengan jari-jari lingkaran luar 12 cm. jika tinggi prisma tersebut 20 cm, tentukan volume prisma tersebut! Jawab: Luas segienam

= 6/2r2 sin 3600/6 = 3 x 122 x sin 600 = 3 x 144 x ½ √3 = 216 3 cm2

Volume prisma = luas alas x tinggi = 216 3 cm2 x 20 cm = 4320 3 cm3

6.

Sebuah bak mandi berbentuk prisma segilima berisi air 8 liter. Berapakah tinggi alas segitiga tersebut jika tinggi prisma tersebut 10 cm? Diketahui: v = 8 liter = 8000cm3 , t=10cm Ditanya: tinggi alas segitiga?

27

Jawab : V

= luas alas x tinggi prisma

8000 = luas alas x10 luas alas =

8000 10

luas alas = 800cm2  1  x alas segitiga x tinggi segitiga   2 

 5x 

Luas alas segilima

800 cm2 800 5

 1  x alas segitiga x tinggi segitiga   2 

 5x 

1 = x alas segitiga x tinggi segitiga 2 160 cm2 160 x 2

320

=

= alas segitiga x tinggi segitiga

= alas segitiga x tinggi segitiga Tinggi segitiga =

7.

1 x alas segitiga x tinggi segitiga 2

320 alas segitiga

Sebuah prisma segitiga ABC.DEF dengan volume 120 cm3 dengan tinggi 10 cm, alas segitiga adalah 6 cm. Berapakah panjang AE?

28

Jawab : V

= luas alas prisma x tinggi

1200 cm3 = luas alas prisma x 10 Luas alas prisma= 1200/10=120 cm2 Luas alas prisma = 1/2 x alas segitiga xtinggi segitiga 120 cm2

= 1/2 x 6 x tinggi segitiga

120 cm2

= 3 x tinggi segitiga

Tinggi segitiga = 120/3 Tinggi segitiga Panjang AE2

= AB2 + BE2

Panjang AE2

= 402 +102

Panjang AE2

= 1600 +100

Panjang AE Panjang AE

8.

= 40 cm

= 1700 = 10 17 cm

Sebuah alas segi enam beraturan memiliki luas alas a dan tinggi prisma 2a .Berapakah a jika volume prisma tersebut 600 cm3. Jawab : V = luas alas x tinggi V = a x 2a 600 cm2 =2a2 2a2 = 600 cm2 a2 = 600/2 cm2 a2 =300 cm2 a =10 3 cm2

29

9.

Sebuah prisma dengan luas alas 100 cm2 dan tinggi 5 cm. Berapakah volume prisma tersebut ? Jawab : V = alas x tinggi V =100 cm2 x 5 cm V=500 cm3

10. jika sebuah prisma segiempat memiliki tinggi 10 cm,panjang alas 12 cm dan luas alas 120 cm2, tentukan luas permukaan prisma! Jawab : Luas alas = p x l 120 cm2 = 12 cm x l l=

120 cm 2 12 cm

l = 10 cm Luas permukaan prisma = (2 x luas alas) + (keliling alas x tinggi) = (2 x 120 cm2) + ((12 + 10 + 12 + 10) x 10 cm) = 240 cm2 + 4400 cm2 = 4640 cm2 Jadi, luas permukaan prisma tersebut adalah 4640 cm2

30