Produto Infinito Do Seno 4c3q61

Uma demonstra¸c˜ao para o produto infnito do seno de Euler Israel Meireles Chrisostomo 10 de Janeiro, 2015

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Introdu¸ c˜ ao

Nesse pequeno artigo apresento a minha demonstra¸c˜ao para o produto infinito do seno.Ao final da demonstra¸c˜ao fica claro um ponto interessante nessa demonstra¸c˜ ao: tanto pode ser uma prova para o produto infinito do seno, quanto pode ser uma prova para s´erie de Taylor de senx.Nesse u ´ltimo caso, tomamos como j´ a conhecido o produto ifinito do seno e obtemos uma demonstra¸c˜ao da s´erie de Taylor de senx.

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Demonstra¸ c˜ ao

Tome a representa¸c˜ ao complexa do seno: sen(θ) =

cis(θ) − cis(−θ) 2i

Fazendo θ = zn , com n inteiro, vem sen(nz) =

cis(nz) − cis(−nz) 2i

Usando a f´ ormula de Moivre, vem: sen(zn) =

(cis(z))n − (cis(−z))n 2i

Tomando n=2m+1, substituindo no lado direito e expandindo pelo binˆomio de Newton, vem: 2m+1

2m+1

(cis(z)) − (cis(−z)) sen((2m + 1)z) = 2i ! 2m+1 2m+1 X 2m + 1 X 2m + 1 1 2m+1−k k 2m+1−k k = (cos(z)) (isen(z)) − (cos(z)) (isen(−z)) = 2i k k k=0 k=0 ! 2m+1 2m+1 X 2m + 1 X 2m + 1 1 2m+1−k k 2m+1−k k k (−1) (cos(z)) (isen(z)) (cos(z)) (isen(z)) − k 2i k k=0

k=0

Observe que os termos pares se cancelam e os ´ımpares se conservam, sendo assim, temos: m 1 X 2m + 1 2m+1−(2k+1) 2k+1 sen((2m + 1)z) = (cos(z)) (isen(z)) i 2k + 1 k=0 m 1 X 2m + 1 2m−2k 2k+1 (i)2k+1 (cos(z)) (sen(z)) sen((2m + 1)z) = 2k + 1 i k=0 m 1 X 2m + 1 2m−2k 2k+1 sen((2m + 1)z) = (i)2k i (cos(z)) (sen(z)) i 2k + 1 k=0 m i X 2m + 1 2 k 2m−2k 2k+1 sen((2m + 1)z) = (i ) (cos(z)) (sen(z)) i 2k + 1 k=0 m X 2m + 1 2m−2k 2k+1 sen((2m+1)z) = (−1)k (cos(z)) (sen(z)) .....Igualdade I 2k + 1 k=0

Dividindo ambos os lados da igualdade por cos2m (z)sen(z), temos: m X sen((2m + 1)z) 1 2m + 1 2m−2k 2k+1 = (−1)k (cos(z)) (sen(z)) cos2m (z)sen(z) cos2m (z)sen(z) 2k + 1 k=0

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m 2m−2k 2k+1 sen((2m + 1)z) X 2m + 1 (sen(z)) k (cos(z)) = (−1) cos2m (z)sen(z) cos2m (z)sen(z) 2k + 1 k=0 m sen((2m + 1)z) X 2m + 1 = (−1)k tan2k (z).......Igualdade II cos2m (z)sen(z) 2k + 1 k=0

Pegando a Igualdade I e dividindo por sen2m+1 (z), vem: m X 1 2m + 1 sen((2m + 1)z) 2m−2k 2k+1 = (−1)k (cos(z)) (sen(z)) sen2m+1 (z) sen2m+1 (z) 2k + 1 k=0 m 2m−2k 2k+1 sen((2m + 1)z) X 2m + 1 (−1)k (cos(z)) (sen(z)) = sen2m+1 (z) sen2m+1 (z) 2k + 1 k=0 m 2m−2k sen((2m + 1)z) X 2m + 1 (−1)k (cos(z)) = sen2m+1 (z) 2k + 1 sen(2m+1)−(2k+1) (z) k=0 m 2m−2k sen((2m + 1)z) X 2m + 1 (−1)k (cos(z)) = sen2m+1 (z) sen2m−2k (z) 2k + 1 k=0 m 2m−2k sen((2m + 1)z) X 2m + 1 (−1)k (cos(z)) = sen2m+1 (z) 2k + 1 (sen(z))2m−2k k=0 m sen((2m + 1)z) X 2m + 1 (−1)k (cot(z))2m−2k = 2k + 1 sen2m+1 (z) k=0 m sen((2m + 1)z) X 2m + 1 = (−1)k (cot2 (z))m−k sen2m+1 (z) 2k + 1 k=0

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Fazendo cot (z) = ζ, vem m sen((2m + 1)z) X 2m + 1 = (−1)k ζ m−k = P (ζ) sen2m+1 (z) 2k + 1 k=0

Que ´e um polinˆ omio de grau m em ζ.Como ζ est´a em fun¸c˜ao de z, podemos encontrar as ra´ızes deste polinˆomio pelo seno ao lado esquerdo, pois como se trata de uma igualdade o mesmo ˆangulo que anula o esquerdo anula tamb´em o direito.Sendo assim as ra´ızes saem do seno ao lado esquerdo, ent˜ao, vem: sen((2n + 1)z) = 0 ⇒ (2n + 1)z = kπ ⇒ z =

kπ , com k = 1, 2, 3, ... 2n + 1

Sendo asim, temos que as ra´ızes s˜ao: kπ 2 ζk = cot 2m + 1 ´ Pelo teorema fundamental da Algebra podemos fatorar um polinˆomio pelas suas ra´ızes.Em verdade, um polinˆomio P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 de ra´ızes xk , pode ser fatorado como P (x) = an (x − x1 )(x − x2 )...(x − xn ) , sendo assim podemos fatorar o polinˆomio P (ζ) como:

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P (ζ) =

m 2m + 1 Y (ζ − ζk ) 1 k=1

kπ , vem: 2m + 1 m m Y 2m + 1 Y 2m + 1! kπ kπ 2 2 2 2 P (ζ) = = cot (z) − cot = cot (z) − cot 1 2m + 1 1!(2m + 1) − 1! 2m + 1 k=1 k=1 m Y kπ (2m + 1) cot2 (z) − cot2 2m + 1 2

Como ζ = cot (z) e ζk = cot2



k=1

sen((2m + 1)z) , vem que: sen2m+1 (z) m Y sen((2m + 1)z) kπ 2 2 = (2m + 1) cot (z) − cot sen2m+1 (z) 2m + 1 Lembrando que P (ζ) =

k=1

Multiplicando os dois lados da Igualdade por tan2m (z) , vem m Y kπ sen((2m + 1)z) 2 2 2m cot (z) − cot = (2m + 1)tan (z) tan (z) sen2m+1 (z) 2m + 1 k=1 m Y kπ sen((2m + 1)z) 2 2 2 2 = (2m + 1) tan (z)cot (z) − tan (z)cot cos2m (z)sen(z) 2m + 1 k=1 m Y sen((2m + 1)z) kπ = (2m + 1) 1 − tan2 (z)cot2 2m cos (z)sen(z) 2m + 1 k=1 ´ E f´ acil ver, comparando a Igualdade II com a Igualdade acima que: 2m

m m X Y 2m + 1 kπ (−1)k tan2k (z) = (2m + 1) 1 − tan2 (z)cot2 2k + 1 2m + 1 k=0 k=1 z Substiuindo z por arctan , vem: 2m + 1 2k m m Y X z2 kπ 2m + 1 z k 2 = (2m+1) 1− (−1) cot 2m + 1 (2m + 1)2 2m + 1 2k + 1 k=1 k=0 m m X 2m + 1 Y z 2k z2 kπ (−1)k = 1− cot2 2k+1 2 2k + 1 (2m + 1) (2m + 1) 2m + 1

k=0

k=1

Multiplicando os dois lados por z, vem: m m X Y 2m + 1 z 2k+1 z2 kπ 2 (−1)k = z 1 − cot 2k + 1 (2m + 1)2k+1 (2m + 1)2 2m + 1

k=0

k=1

Tomando o limite de m tendendo ao infinito nos dois lados da igualdade, vem:

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m m X Y 2m + 1 z 2k+1 kπ z2 k 2 lim (−1) = lim z cot 1− m→∞ m→∞ 2k + 1 (2m + 1)2k+1 (2m + 1)2 2m + 1 k=0

k=1

Usando o Tanery’s Theorem para s´eries no lado esquerdo, vem: m X k=0

m Y kπ 2m + 1 z 2k+1 z2 2 k = lim z cot lim (−1) 1− m→∞ m→∞ 2k + 1 (2m + 1)2k+1 (2m + 1)2 2m + 1 k=1

2m + 1 1 , tome k=0, vem: Observe (−1)k (2m + 1)2k+1 2k + 1 2m + 1 1 2m + 1! 1 = =1 1 2m + 1 1!(2m + 1 − 1)! 2m + 1 Agora, tome k=1, vem: 2m + 1! 2m + 1 1 1 = lim = lim − m→∞ 3!(2m + 1) − 3! (2m + 1)3 m→∞ 3 (2m + 1)3 (2m + 1)(2m)(2m − 1)(2m − 2)! 1 (2m + 1)(2m)(2m − 1) lim = lim = 3 m→∞ m→∞ 3!2m − 2! (2m + 1) 3!(2m + 1)3 1 1 − 2m 1 (2m)(2m − 1) 1 1 (2m)(2m − 1) = lim = lim lim = 1 1 2 m→∞ 3! (2m + 1)(2m + 1) m→∞ 3! (1 + m→∞ 3! (2m + 1) 2m )(1 + 2m ) 1−0 1 1 = 3! (1 + 0)(1 + 0) 3! Procedendo assim cont´ınuamente, obtemos uma seq¨ uencia de rec´ıprocos dos fatoriais ´ımpares, ou seja, teremos que: lim

m→∞

m X (−1)k z 2k+1

2k + 1!

k=0

= lim z m→∞

m Y k=1

z2 1− cot2 (2m + 1)2



kπ 2m + 1



Imediatamente associamos a s´erie ao lado esquerdo com a s´erie de Taylor do seno,portanto, substituindo a s´erie pelo seno, obtemos: m Y senz = lim z 1− m→∞

k=1

z2 cot2 (2m + 1)2



kπ 2m + 1



Agora vamos aplicar o Tanery’s Theorem para produtos infinitos no produt´ orio ao lado direito. ∞ Y

senz = z

k=1

lim 1 −

m→∞

z2 cot2 (2m + 1)2



kπ 2m + 1



´ f´ E acil calcular esse limite.Calculando esse limite, obtemos: ∞ Y z2 senz = z 1− 2 2 k π k=1

C.q.d. 5