Resolucion De Problemas Ii 2m18o

1.) La edad de una madre es el triple de la de su hijo. Dentro de 10 años su edad será el doble. ¿Qué edad tiene cada uno? Para resolver este problema vamos a utilizar una tabla. ACTUALMENTE

DENTRO DE 10 AÑOS

EDAD DEL HIJO

x

x + 10

EDAD DE LA MADRE

3x

3x + 10

“Dentro de 10 años la edad de la madre será el doble de la edad del hijo” ⇔ 3x + 10 = 2 ( x + 10 )

x = 10

CONCLUSIÓN: Actualmente tienen 10 y 30 años.

2.) Si sumamos 5 unidades al doble de un número el resultado es el mismo que si le sumáramos 7 unidades a dicho número. ¿Cuál es el número? Número buscado: x

2x + 5 = x + 7 ⇒ x = 2 CONCLUSIÓN: El número buscado es el 2.

3.) Queremos repartir un dinero entre varios chicos. Si damos 100 € a cada uno sobran 15 €, mientras que si les damos 125 € faltan 35 €. ¿Cuántos chicos hay? ¿Cuánto dinero tenemos? Número de chicos: x Si damos 100 € a cada uno sobran 15 € ⇒ Total del dinero ⇔ 100 ⋅ x + 15 Si les damos 125 € faltan 35 € ⇒ Total del dinero ⇔ 125 ⋅ x − 35

100 ⋅ x + 15 = 125 ⋅ x − 35 x=2 CONCLUSIÓN: Son 2 chicos y tenemos 215 €.

4.) En un rectángulo de base 70 m y altura 30 m se disminuyen 10 m de la base. ¿Cuánto debe aumentar la altura para que resulte la misma superficie?

30 m

x 70 m

60 m

30 ⋅ 70 = 60 ⋅ x x = 35 CONCLUSIÓN: La altura debe medir 35 cm. matematicas-3eso.blogspot.com

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5.) El tronco de un gato mide de largo 1/2 de su longitud total y la cabeza mide igual que la cola, 6 cm. ¿Cuánto mide el gato? Cola : 6

Tronco :1/2 x

Cabeza : 6

Longitud total : x x 6+ +6 = x 2 x = 24 CONCLUSIÓN: El gato mide 24 cm.

6.) Mi hermano tiene 6 años y yo tengo 15. Si mi padre tiene 41 años, ¿dentro de cuántos años será la suma de la edad de mi hermano y mía igual a la edad de mi padre? Normalmente recurrimos a tablas para resolver los problemas de edades. ACTUALMENTE

DENTRO DE x AÑOS

6

6+x

MI EDAD

15

15 + x

EDAD DE MI PADRE

41

41 + x

EDAD DE MI HERMANO

“Dentro de x años la suma de la edad de mi hermano y mía será igual a la edad de mi padre” ⇔ 6 + x + 15 + x = 41 + x

x = 20 CONCLUSIÓN: Deberán pasar 20 años. 7.) Para hacer un uso razonable del agua, en casa de Javi han decidido que el consumo diario se distribuya de la siguiente manera: a) La mitad a higiene personal. b) Una quinta parte para la lavadora. c) Una décima parte para beber. d) Diez litros de agua se pierden por diversas causas, cocinar, regar plantas, etc. ¿A cuántos litros de agua limitan el consumo? Litros consumidos de agua: x

a) La mitad a higiene personal. ⇒

x x x + + + 10 = x - 2 5 10 x = 50

x 2

b) Una quinta parte para la lavadora. ⇒ c) Una décima parte para beber. ⇒

x 5

x 10

d) Diez litros de agua se pierden por diversas causas. ⇒ 10

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CONCLUSIÓN: Se consumen 50 litros de agua.

8.) En un hotel consumen el vino de un tonel del siguiente modo: El domingo consumen la cuarta parte del tonel; el lunes los dos séptimos del resto; el martes los tres décimos de lo que queda; el miércoles un tercio de lo que queda; y, finalmente, el jueves terminan los 140 litros que sobran. ¿Qué capacidad tenía el tonel? Capacidad del tonel en litros: x El domingo consumen la cuarta parte del tonel:

Queda en el tonel: x −

2 3x 3x ⋅ = 7 4 14

El lunes los dos séptimos del resto:

El martes los tres décimos de lo que queda:

El miércoles un tercio de lo queda:

x 4

3 15x 9x ⋅ = 10 28 56

x 3x = 4 4

Queda en el tonel:

3x 3x 15x − = 4 14 28

Queda en el tonel:

15x 9x 3x − = 28 56 8

1 3x x ⋅ = 3 8 8

El jueves 140 litros: 140

x 3x 9x x + + + + 140 = x 4 14 56 8 x = 560 CONCLUSIÓN: El tonel contenía 560 litros.

9.) La quinta parte de una huerta está plantada de cebollas, las dos terceras partes de tomates y el resto de lechugas. Sabiendo que las cebollas ocupan 200 metros cuadrados más que la parte que ocupan las lechugas, hallar la superficie de la huerta. Sol: 3.000 m

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Superficie de la huerta: x La quinta parte de una huerta está plantada de cebollas: Las dos terceras partes de tomates: El resto de lechugas: x −

x 5

2x 3

x 2x 2x − = 5 3 15

“Las cebollas ocupan 200 metros cuadrados más que la parte que ocupan las lechugas”: ⇔

x 2x = + 200 5 15 x = 3000 CONCLUSIÓN:

La superficie de la huerta es de 3 000 m

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10.) Blanca y Elena se llevan 4 años. Dentro de 10 años, la suma de sus edades será 50. Calcula la edad de cada una. CONCLUSIÓN: Tienen13 y 17 años.

11.) Con un golpe de martillo un clavo penetra en una pared los 2/5 de su longitud. Con un segundo golpe penetra 1,4 cm y aún queda fuera 1 cm para clavarlo totalmente. Halla la longitud del clavo.

1 cm

2/5 x

1,4 cm

1 + 1,4 +

2x =x 5

x=4 Longitud clavo : x CONCLUSIÓN: El clavo mide 4 cm.

12.) Encuentra un número tal que el cuádruplo de su cuadrado sea igual a diez veces ese número más 6. Número buscado: x “Cuádruplo de su cuadrado sea igual a diez veces ese número más 6” ⇔ 4x 2 = 10x + 6

4x 2 − 10x − 6 = 0 x=

− ( −10 ) ±

( −10 )2 − 4 ⋅ 4 ⋅ ( −6 ) 2⋅4

 4 1 x= =  −10 ± 14  8 2 = = 8 −24  x = 8 = −3 CONCLUSIÓN: Las soluciones son –3 y 1/2. 2

13.) Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 3 cm más que el otro. Si el área del triángulo es 54 cm , ¿cuánto miden los catetos? Medida de un cateto: x Medida del otro cateto: x + 3

A=

x ⋅ ( x + 3) x = −12 b ⋅h ⇒ 54 = ⇒ 108 = x 2 + 3x ⇒ x 2 + 3x − 108 = 0 ⇒  2 2  x=9 La solución de la ecuación x = –12 no será solución del problema.

CONCLUSIÓN: Los catetos miden 9 y 12 cm.

14.) Halla tres números enteros consecutivos tales que al multiplicar el menor por el intermedio se obtiene el mayor aumentado en 34. Tres números enteros consecutivos: x,x + 1,x + 2

x ( x + 1) = x + 2 + 34 ⇒ x 2 − 36 = 0 ⇒ x = ±6 matematicas-3eso.blogspot.com

Hay dos soluciones.

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CONCLUSIÓN: Los números son 6, 7 y 8. También –6, –5 y –4.

15.) La suma de los cuadrados de la edad actual y de la que tendrá dentro de 2 años un muchacho es de 580. ¿Cuántos años tiene el chico? Edad actual: x Edad dentro de 2 años: x + 2

 x = −18 2 x 2 + ( x + 2 ) = 580 ⇒ 2x 2 + 4x − 576 = 0 ⇒   x = 16 La solución de la ecuación x = –18 no será solución del problema. CONCLUSIÓN: 16 años.

16.) Al añadir a un número 3 unidades y multiplicar por sí mismo el valor resultante se obtiene 100. Calcula dicho número. Número buscado: x “Añadir a un número 3 unidades”: x + 3 “Multiplicar por sí mismo el valor resultante se obtiene 100”: ( x + 3 ) = 100 2

( x + 3 )2

 x + 3 = 10 ⇒ x = 7 = 100 ⇒ x + 3 = ± 100 ⇒ x + 3 = ±10 ⇒   x + 3 = −10 ⇒ x = −13

Dos soluciones. CONCLUSIÓN:

El número puede ser 7 o –13. 17.) Se va a vallar un terreno de forma de triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 13 m y sus catetos se diferencian en 7 m. ¿Cuántos metros de valla necesitarán? Catetos: x,x + 7 Hipotenusa: 13

 x = −12 2 Teorema de Pitágoras. ⇒ x 2 + ( x + 7 ) = 132 ⇒ 2x 2 + 14x − 120 = 0 ⇒  x = 5 La solución de la ecuación x = –12 no será solución del problema.

CONCLUSIÓN: Necesitarán 30 m de valla. 18.) Halla la medida de los lados del triángulo rectángulo.

x +1

x −1

x = 0 2 2 Teorema de Pitágoras. ⇒ x 2 + ( x − 1) = ( x + 1) ⇒ x 2 − 4x = 0 ⇒  x = 4 La solución de la ecuación x =0 no será solución del problema.

x CONCLUSIÓN: Los lados miden 3, 4 y 5 unidades de longitud. matematicas-3eso.blogspot.com

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