Resumen Teoria De Conjuntos m2q4b

SEMANA ….: TEORIA DECONJUNTOS 1. Concepto: El término conjunto es aceptado en matemáticas como un concepto primitivo; es decir, se acepta sin definición. Intuitivamente, un conjunto es una colección o agrupación de objetos llamados elementos. 2. Notación: Generalmente los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A, B, C, ... etc., y los elementos por letras minúsculas, mayúsculas u otros símbolos, separados por comas y encerrado entre llaves. Ejm.: A = {lunes; miércoles, viernes, domingo}, B = {2; 5; 12; 18}. 3. Relación de pertenencia (): Si un elementos está en un conjunto o es parte de él, diremos que “pertenece” a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo “” y en el caso de no pertenecer por “”. Ejm.: Dado el conjunto: A = {2; 5; 7; 8} Entonces: 2  A, 4  A, 7  A 4. Determinación de conjuntos: Existen 2 formas de determinar un conjunto: 4.1) Por extensión: Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto. Ejm.: A = {a, e, i, o , u}, B = {6, 8, 10, 12, 14} 4.2) Por comprensión: Cuando se menciona una o mas características comunes a todos los elementos del conjunto. Ejm: A = {x/x es una vocal}, B ={x/5 < x z 18  x es par} 5. Conjuntos especiales 5.1) Conjunto vacío o nulo: Es aquel conjunto que carece de elementos. Se le denota por:  ó { }. Ejm.: A = { }, B = {x/4 < x < 6  x < 8} 5.2) Conjunto unitario: Es aquel conjunto que tiene un solo elemento. Ejm.: A = {3}, B = {x/x  N  6 < x < 8} 5.3) Conjunto universal: Es aquel conjunto que se toma como referencia, para un problema determinado, en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando. Se denota por la letra U. Ejm.: A = {2; 6; 10; 12}, B = {x + 3/x es impar  0 < x < 10} 6. Relaciones entre conjuntos: 6.1) Igualdad: Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. Se denota por A = B Ejm.: A = {x/x es una vocal}, B = {a, e, i, o, u} 6.2) Inclusión (): Se dice que un conjunto A esta incluido () en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B; en caso contrario; se dirá que no está incluido (). Se denota: A  B

Ejm.: A = {2, 4, 6}, B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, C = {1, 2, 3, 4, 5} Entonces: A () B, A () C Propiedades: i) A  A  A ( A: para todo conjunto A). ii) A  B y B  C  A  C. iii)   A,  A importante !! 7. Conjunto potencia: Dado el conjunto A, se denomina conjunto potencia de A y se denota por P(A), al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. Ejm.: Si A = {1, 2}; entonces todos los subconjuntos de A son: : {1}, {2}; {1, 2} Entonces P(A) = {;{1};{2};{1;2}} 8. SUBCONJUNTO PROPIO: Si a P(A) no se le considera el subconjunto , subconjuntos restantes conforman el subcojunto propio Entonces S.P.P(A) = {{1};{2};{1;2}} 9. Diagramas de Venn.

Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la relación matemática o lógica entre diferentes grupos de cosas (conjuntos), representando cada conjunto mediante un óvalo o círculo. 10. Recta Numérica.

Se utiliza para representar a los conjuntos numéricos. [-3,3] RESUMEN Relación de Pertenencia (elemento  conjunto) Relación de Inclusión (conjunto conjunto) El conjunto vacío está incluido en todo conjunto (  A) M = {x/3  x < 6; x  N} esta en comprensión. M = {3, 4, 5} en extensión El número de elementos de M o su cardinal C (M) = 3 Para el conjunto potencia (todos los subconjuntos de M) usamos 2n Elementos de P (M) = 23 = 8 P (M) = {, {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4, 5}, M = {3, 4, 5}} Podemos decir que: 3 M, {3} P(M),   M

SEMANA ….: TEORIA DE CONJUNTOS PROBLEMAS A RESOLVER EN CLASE 1) Halla el cardinal de: A = {x/-6< 2x<10} a) 14 b) 15 c) 6 d) 7 2) Si A es un conjunto unitario. A = {4a+1; 2b+9; 3a+4}. Halla (a+b). A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 2 3 3) Si A = B, A = {a +a; 120}, B = {b +b; 90} y C es unitario, C = {a+b+a.b; c2-5}. Calcula: a+b+c A) 22 B) 20 C) 17 D) 11 4) Dado los conjuntos unitarios: A = {x-2; 6-3x}, B = {2y+1; y-8} Hallar : x + y A) -7 B) 7 C) 9 D) -9 5) Si A y B son iguales. A = {6; 2x-5} B = {9; 5y-4} Hallar: x + y A) 9 B) 4 C) 5 D) 11 2 6) Hallar: 2x + y, sabiendo que: A = {2x+y; 2y-x; 3x-6}; es unitario. A) 9 B) 8 C) 5 D) 1 7) Hallar: m + n; si “M” es unitario. M = {(4m–3); 25; (3n+13)} A) 10 B) 11 C) 13 D) 9 3 8) Si : B = {(x -2)  x<5 } Hallar: n(B) A) 8 B) 9 C) 7 D) 3 9. Dado el conjunto A={2, 6, 7} determinar V ó F según convenga. I) 2  A ii) 7  A iii) {6}  P(A) iv) {2, 7}  A A. VVVV B. FFFF C. VFVF D. FVFV 10. Dado el conjunto B= {m, t, a, r} Determinar la veracidad o falsedad de las proposiciones. I) {m}  P(B) ii) r  B iii) [t}  B iv) {m, a, r}  B A. VVVV B. FFFF C. VFVF D. VVFF 11. Dado el conjunto siguiente: A={4, {3}, [2}, 5}. Indicar verdadero o falso según corresponda. I) {3}  A II) {4}  A III) {4, {2}}  A IV) {{2}}  P(A) v) n (A) = 4 A. VFFVV B. FFFFF C. VVFVF D. VVFF 12. Dado A={1, {1,2}, 3} Indicar Verdad (V) o falso (F) según corresponda. i) {1, 2}  A ii) 1  A iii) 2  A iv) {2}  P(A) A. VVVV B. FFFF C. VFVF D. VVFF 13. Si A = {0, {1}, 1} Señala el subconjunto que no pertenece a P(A), A) {{1}} B. {1} C. {0, 1} D. {{0, 1}}

PROPUESTOS DE TEORIA DE CONJUNTOS 1. ¿Cuáles son verdaderos? Si A = {0; {}; 1; {1}} I)   A II) {}  A III)   A IV) {{0}, {1}}  P(A) V) {{1}}  A 2. Si L = {Ana; Karen, Brenda, Memo} y dadas las proporciones I) Brenda  L II) Karen  L III) Memo  {Ana, Karen, Brenda, Memo} IV) María  L V) {Ana}  L ¿Cuáles son falsas?. 3. Si se tiene el conjunto: S = {x+2 / x = 4m-2; m  N; 0 < m  2} Halla suma de todos los elementos de S 4. Indicar por extensión: A ={ x/x N, 5 < x< 12}, B ={x/x Z, 10 < x < 18}. C ={x/x N, x < 6}, D ={x/x  N, x > 10}. Indica el conjunto infinito. 5. Hallar la suma de elementos de cada conjunto: A ={x2 + 3/ x N, 5 < x < 10} B ={x2+ 1/x N, 3 < x < 7}, C ={ x² + 3x + 2/x  N, x < 4} 6. ¿Cuál es vacío? A ={x/x  N, 5 < x < 6}, B ={x/x  Q, 3 < x < 4} C ={x/x  Z, -6 < x < -4}, D ={x/x  N, -6 < x < 4} 7. ¿Cuál es unitario? M ={x/x  N, x < 1}, P ={x/x  Z, x < 1} Q ={x/x  N, -2 < x < 0}, R ={x/x  Q, 5 < x < 7} 8. Si U= universo. Hallar el cardinal de A, B y C. U ={x/x N, 1 < x < 10} A ={x²/x  N, x < 5}, B ={x+5/x  N, 3 < x < 7}. C ={x² + 1/x  N, x < 4} 9. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A? Si A ={0, {1}, 1} 10. Sean los conjuntos iguales A ={a² + 1, 7}, B ={a +b , 10} Y el conjunto unitario: C ={a² - 1, 8} Si “a” es primo Hallar a × b. 11. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene A? Si: A ={x/x  N, -5 < 3x - 2 < 10} 12. Dados: A ={ x - 2 /x es impar, 3 < x < 11}, B ={x + 1/x Z, -4 < x < 3}, Calcular n(B) - n(A) 13. Si el conjunto A ={m + 3, 8, n + m} es unitario, halle m - n: 14. Sabiendo que “A” es unitario: A ={a + b, a + 2b - 3, 12} calcular a² + b² 15. Si : A ={b + 1, 12} y B ={b + 3, a}. Son iguales, Halle: a + b 16. Dado A ={5,{5}, 7, {5, 1}} Indicar (V) o (F) según corresponda. i) {5}  A ii) {5, 7}  P(A) iii) {5, 1}  A iv) {7}  P(A) RESPUESTAS: 1.(VVFVF) 2.(FFFFF) 6.(A) 7.(M) 11.(15) 12.(3) 16.(FVFV)

3.(12) 8.(4, 3, 4) 13.(2)

4.(D) 9.(7) 14.(90)

5.(242, 80, 40) 10.(12) 15.(19)