Rotasi (perputa 6t111k

ROTASI (PERPUTARAN)

Transformasi Rotasi Rotasi atau perputaran adalah transformasi yang memetakkan setiap titik pada bidang geometri ke titik lainnya dengan cara memutar pada pusat titik tertentu .

Lambang dari rotasi adalah R(a, b), αRa, b, α yang artinya adalah rotasi dengan pusat (a, b) a, b dan sebesar αα . Jika pusat rotasinya titik asal (0, 0)0, 0 maka cukup ditulis RαRα .

Arah rotasi jika berlawanan arah dengan jarum jam, maka rotasinya bernilai positif , jika searah dengan jarum jam rotasinya bernilai negatif .

Jika tidak ada keterangan maka untuk sudut nya positif karena dianggap berlawanan arah dengan jarum jam.

Bayangan titik (x, y)x, y oleh rotasi dengan pusat (0, 0) 0, 0 sebesar αα adalah (x', y')x', y'

Dengan {x'=xcosα−ysinαy'=xsinα+ycosαx'=xcosα-ysinαy'=xsinα+ycosα

(x, y)−→−−−− Rα ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ x c os α−ysinαx', xsinα+ycos αy'⎞⎠⎟⎟x, y→ xcos α-ysinα⏟x', xsinα+ycos α⏟y'

Rα

Bayangan titik (x, y)x, y oleh rotasi dengan pusat (a, b) a, b sebesar αα adalah (x', y')x', y'

Dengan {x'−a=(x−a)cosα−(y−b)sinαy'−b=(x−a)sinα+(y−b)cosαx'-a=x-acosα-y-bsinαy'-b=x-asinα+y-bcosα

Untuk komposisi rotasi dengan pusat yang sama , maka besar sudutnya ditambahkan

Jadi : R(a, b),α o R(a, b),β=R(a, b),α+β Ra, b,α o Ra, b,β=Ra, b,α+β

Perhatikan contoh di bawah ini :

Tentukan bayangan dari titik A(4, 2)A4, 2 oleh

a . rotasi sebesar 60°60° terhadap titik asal ←R60°←R60°

b . rotasi sebesar 270°270° dengan pusat rotasi P(1, 5)P1, 5 ←R(1, 5), 270°←R1, 5, 270°

Jawab :

Bayangan A(4, 2)A4, 2 oleh rotasi sebesar 60°60° terhadap titik asal

A(4, 2)=⇒===

R60°

A'(x', y')A4, 2 ⇒

R60°

A'x', y'

{x'=xcosα−ysinαy'=xsinα+ycosαx'=xcosα-ysinαy'=xsinα+ycosα

{x'=4cos60°−2sin60°y'=4sin60°+2cos60°x'=4cos60°-2sin60°y'=4sin60°+2cos60° √sin60°=123 dan cos60°=12cos60°=12

{x'=2−3–√y'=23–√+1x'=2-3y'=23+1

sin60°=123–

Jadi bayangan A(4, 2)A4, 2 oleh R60°R60° adalah A'(2−3–√ , 23– √+1)A'2-3⏟, 23+1⏟

Bayangan A(4, 2)A4, 2 oleh rotasi sebesar 270°270° dengan pusat rotasi P(1, 5)P1, 5

A(4, 2)=⇒=====

R(1, 5),270°

A'(x', y')A4, 2 ⇒

R1, 5,270°

A'x', y'

{x'−a=(x−a)cosα−(y−b)sinαy'−b=(x−a)sinα+(y−b)cosαx'-a=x-acosα-y-bsinαy'-b=x-asinα+y-bcosα

{x'−1=(4−1)cos270°−(2−5)sin270°y'−5=(4−1)sin270°+(2−5)cos270°x'-1=4-1cos270°-2-5sin270°y'-5=41sin270°+2-5cos270°

{x'−1=3(0)+3(−1)y'−5=3(−1)−3(0)x'-1=30+3-1y'-5=3-1-30 cos270°=0cos270°=0

sin270°=−1sin270°=-1 dan

{x'−1=−3y'−5=−3x'-1=-3y'-5=-3

{x'=−2y'=2x'=-2y'=2

Jadi bayangan A(4, 2)A4, 2 oleh R(1, 5),270°R1, 5,270° adalah A'(−2, 2)A'-2, 2

Tentukan bayangan garis 4x+6y=94x+6y=9 oleh rotasi sebesar 90°90° dengan pusat (1, −2)1, -2 !

Jawab :

{x'−1=(x−1)cos90°−(y+2)sin90°y'+2=(x−1)sin90°+(y+2)cos90°x'-1=x-1cos90°-y+2sin90°y'+2=x1sin90°+y+2cos90° sin90°=1sin90°=1 cos90°=0cos90°=0

{x'−1=−y−2y'+2=x−1x'-1=-y-2y'+2=x-1

{y=−x'−1x=y'+3 y=-x'-1x=y'+3

Bayangan garis 4x+6y=94x+6y=9 adalah 4(y'+3)+6(−x'−1)=94y'+3+6-x'-1=9

4y'+12−6x'−6=94y'+12-6x'-6=9

Hilangkan tanda aksen 4y−6x−3=04y-6x-3=0

Jadi bayangannya adalah : 4y−6x−3=04y-6x-3=0