Series De Taylor Con Python 6xm4y

Proyecto final:Series de Taylor Diego Vidal 2008-11-24 Abstract En este documento se relata el procedimiento que se sigui´ o para poder usar series de Taylor en una computadora. El lenguaje usado fue Python1

1

Introducci´ on

En verdad no vamos a usar una serie de Taylor como tal, dado que la serie de Taylor es la siguiente T :=

n X f i (x) · xi

i!

i=0

Lo que se va a usar es un caso espec´ıfico de la serie de Taylor, este caso espec´ıfico se le denomina serie de Maclaurin, la cual es n X f i (0) · xi f (x) = i! i=0 Serie que es convenientemente u ´til dado que podemos conocer el valor de la funci´on en un punto s´olo con saber las derivadas de dicha funci´ on y cu´ anto vale la funci´on y sus derivadas en 0. Un ejemplo de esto, es el caso del coseno. cos(x) =

cos(0) · x0 sen(0) · x1 cos(0) · x2 sen(0) · x3 cos(0) · x4 sen(0) · x5 cos(0) · x6 − − + + − − + ··· 0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! cos(x) = 1 −

x2 x4 x6 + − + ··· 2! 4! 6!

Veamos unos ejemplos cos(0) = 1 3

4

6

π π π π cos( ) ≈ 1 − + − ≈ 1 − .574190 + .050107 − .001831 ≈ .474086 3 54 81 · 24 729 · 720 cos(π) ≈ 1 − 4.934802 + 4.058712 − 1.335262 ≈ −1.211235 La exactitud de los resultados depende en gran parte de a que t´ermino lleguemos en la serie 1 http://python.org

1

1.1

La f´ ormula de Euler

Una de las f´ ormulas mas bellas de las matem´aticas, la f´ ormula de Euler es una ecuaci´on que relaciona a los n´ umeros transcendentales (e), los imaginarios (i), los irracionales (π), los reales, negativos y la unidad (−1) y el cero, la f´ ormula es la siguiente eiπ + 1 = 0 Deducir dicha ecuaci´ on es algo muy sencillo con series de Taylor-Maclaurin Demostraci´ on Se tiene que eix =

iei0 · x1 i2 ei0 · x2 i3 ei0 · x3 i4 ei0 · x4 i5 ei0 · x5 ei0 · x0 + + + + + + ··· 0! 1! 2! 3! 4! 5!

Lo cual simplificando nos queda eix = 1 + ix −

x2 ix3 x4 ix5 − + + + ··· 2! 3! 4! 5!

(1)

Si se es lo suficientemente suspicaz, ya se habr´a identificado que parte de la f´ormula parece la serie de Taylor-Maclaurin del coseno. As´ı que veamos el desarrollo de las series para seno y coseno. cos(x) = 1 −

x2 x4 x6 x8 x10 + − + − + ··· 2! 4! 6! 8! 10!

(2)

x3 x5 x7 x9 + − + + ··· (3) 3! 5! 7! 9! Como podemos ver, las partes reales de (1), son la serie del coseno (2), y las partes imaginarias son la serie del seno (3) multiplicadas por i. Etonces podemos llegar al resultado sen(x) = x −

eix = cos(x) + isen(x) Por lo tanto eiπ = cos(π) + isen(π) = −1 QED

2

Programa

2.1

Derivada

El programa como se indica anteriormente fue hecho en Python, se le ense˜ n´o a derivar a la computadora directamente de la definici´ on de derivada, la cual es df f (x + ∆x) − f (x) = lim dx ∆x→0 ∆x Sin embargo se tuvo que hacer un peque˜ no ajuste el cual fue inspirado por Spivak2 el cual consiste en alterar un poco la definici´ on de derivada del modo que se muestra a continuaci´on df f (x + ∆x) − f (x − ∆x) = lim dx ∆x→0 2∆x 2 Michael

Spivak, Calculus, Editorial Revert´ e,Reimpresi´ on de octubre del 2007, ISBN:978-968-6708-18-9, p´ agina 225

2

Este ajuste fue hecho para buscar m´ as exactitud en los c´alculos, lo que hice en la parte del c´odigo donde ense˜ no a derivar a python fue tomar ∆x = ∆x 2 , por lo que, queda lo siguiente f (x + df = lim dx ∆x→0

∆x 2 )

− f (x − ∆x

∆x 2 )

Dado que la computadora no tiene noci´ on de l´ımites (y para este ejercicio no tiene caso ense˜ narle un concepto tan general), le damos un ∆x muy peque˜ no, con una millon´esima basta; a continuaci´on se muestra la parte del programa donde se define la derivada3 def derivada(f): def drf(x,dx=1e-6): return (f(x+dx/2)-f(x-dx/2))/dx return drf Entonces, si se usa def g(x): return 3*x*x*x dg = derivada(g) print dg(3) el comando print dg(3) nos d´ a como resultado 80.9999999944 ≈ 81, siendo d 3 3x |x=3 = 81 dx

2.2

Factorial

Otra parte fundamenteal de las series de Taylor-Maclaurin, es el factorial, al igualq ue la derivada, la computadora no sabe lo que es, por lo cual hay que ense˜ n´arselo. Aprovechando la definici´on recursiva de factorial, la cual es n! = n · (n − 1)! No se necesita modificar la definici´ on para ense˜ n´arsela a la computadora, el c´odigo queda del siguiente modo def fac(n): if n == 0: return 1 else: return n * fac(n-1) Como se puede apreciar en el codigo, fue una simple traducci´on de la definici´on matem´atica al lenguaje Python.

2.3 2.3.1

Problemas con Python Caracteres

Python es un lenguaje muy vers´ atil, pero por m´as que lo sea, no se puede esperar ning´ un grado de reflexi´ on por parte del mismo. Un problema con el cual me encontr´e al hacer el programa es que, cuando el escribe su funci´ on, Python la trata como texto, esto implica que no se vea como parte del c´odigo del programa, lo cual hace que nustra funci´ on no pueda ser valuada. La soluci´on al problema fu´e usar una funci´on que trae Ptyhon por defecto, dicha funci´ on es eval(), por lo cual ahora si trata lo que escribi´o el como funci´ on, ilustremos esto con un ejemplo. 3 Ver

la secci´ on 2.3.3 para ver una aclaraci´ on en cuanto al tama˜ no de la ∆x

3

a=raw_input("Escribe tu funcion: ") def f(x): a return print f(4) Digamos que la funci´ on que escribi´ o el fue f (x) = x2 , por lo cual f (4) = 16, y entonces esperariamos que print f(4), imprimiera un 16 en pantalla, el problema es que no lo hace, mas bien imprime un x*x, que es x2 , la funci´ on que escribi´ o el . Para resolver esto, se usa eval(), ve´amos como a=raw_input("Escribe tu funcion: ") def f(x): eval(a) return print f(4) En este caso, ahora print f(4) si imprime en la pantalla un 16. 2.3.2

Exponentes

Otro problema que vale la pena mencionar dado que fue el que m´as tiempo tom´o detectar, es que seg´ un Python 00 = 1, esto di´ o bastantes problemas, por lo cual cuando se programa en python hay que tener esto en cuenta y poner un ciclo if para solucionar esto. 2.3.3

Tama˜ no de ∆x

Sabemos que ∆x tiene que ser peque˜ na, pero el problema es determinar que tanto. Su valor inicial el cual 1 , no result´ o muy bueno, dado que si se iteraba a mas de 5 pasos la serie de seno y mas era 1 × 10−6 = 1000000 de 3 la serie de coseno se obten´ıan resultados absurdos; por esto se tuvo que hacer el ajuste y se encontr´ o que el ajuste ´ optimo de ∆x = 1 × 102.5 , en general funciona bastante bien. Tambi´en hay un modo para que el modifique el valor de ∆x, el cual es def t(x): x**2 a=derivada(t) print a(3) #esto haria que se valuara la derivada en 3 print a(3,1e-4) #esto haria que se valuara a en 3 con un dx=1x10^(-4)

3

Resultados

Ahora veamos los resultados obtenidos por el programa, usar una funci´on polin´omica ser´ıa algo realmente trivial, por lo cual usemos dos funciones trigonom´etricas que conocemos muy bien, el seno y el coseno

3.1

Seno

He aqu´ı una tabla de valores obtenidos de la funci´on seno. Nota: A partir de 0, se hizo con los primeros 10 1 t´erminos de la serie; 90, se hizo con los primeros 9 t´erminos; a partir de 180, se tuvo que ajustar ∆x = 10 y hacer los primeros 15 t´erminos; a partir de 300 se ajusto a 14 t´erminos

4

Funci´ on sen(0) sen(30) sen(60) sen(90) sen(120) sen(150) sen(180) sen(210) sen(240) sen(270) sen(300) sen(330) sen(360)

Valor 0 0.5 0.866025403784439 1 0.866025403784439 .5 0 −.5 −0.866025403784438 −1 −0.866025403784439 −.5 0

Valor obtenido 0 0.49999916159 0.866564711227 1.02084265991 0.863831617308 0.484351280621 −0.0776703736148 −0.498935268698 −0.866297902296 −1.00363683506 −0.874273918033 −0.500303242676 0.0895497498962

Diferencia 0 8.3841 × 10−7 −5.3930 × 10−4 −2.0842 × 10−2 2.1937 × 10−3 1.5648 × 10−2 7.7670 × 10−2 −1.0647 × 10−3 2.7249 × 10−4 3.6368 × 10−3 8.2485 × 10−3 3.0324 × 10−4 −8.9549 × 10−2

Suponiendo que podamos arreglar el problema del ajuste de los t´erminos y ∆x, veamos el promedio de la diferencia, definido como P12 |Di | P = i=0 12 Donde Di son las diferencias obtenidas, se obtiene que P ≈ 1.8333 × 10−2 , es un valor bastante bajo, lo cual indica que las mediciones son buenas. La gr´ afica del comportamiento de las diferencias para el seno es la siguiente


Variaciones de diferencias para el seno

0.1
 0.08


Diferencia


0.06
 0.04
 0.02
 0
 0


50


100


150


‐0.02


200


250


300


350


400


Grados


Finalmente, vamos a ver que tan exacto fue nuestro programa, se define el error como E=

|V0 − V | V0

Donde V0 es el valor esperado y V es el valor obtenido, haciendo el c´alculo, nos queda que el promedio de E, es E ≈ 3.91 × 10−2 o en porcentaje E ≈ 3.91%

3.2

Coseno

Finalmente aqu´ı est´ a la tabla de los valores obtenidos de la funci´on coseno Nota: A partir de 150 ∆x = 1 × 10−1 ; a partir de 330 ∆x = 1 5

Funci´ on cos(0) cos(30) cos(60) cos(90) cos(120) cos(150) cos(180) cos(210) cos(240) cos(270) cos(300) cos(330) cos(360)

Valor 1 0.866025403784439 .5 0 −.5 −0.866025403784439 −1 −0.866025403784439 −0.5 0 .5 0.866025403784438 1

Valor obtenido 1 0.866026351695 0.499968136978 −0.000890322958366 −0.508754724135 −0.865607657172 −1.00167335603 −0.865513071157 −0.49396812212 0.0344747316528 0.64778274139 0.724440731698 0.965251687094

Diferencia 0 −9.4791 × 10−7 3.1863 × 10−5 8.9032 × 10−4 8.7547 × 10−3 −4.1774 × 10−4 1.6733 × 10−3 −5.1233 × 10−4 −6.0318 × 10−3 −3.4474 × 10−2 −1.4778 × 10−1 1.4158 × 10−1 3.4748 × 10−2

El promedio de la diferencia para el coseno es P ≈ 3.0658333 × 10−2 Y la grafica del comportamiento del coseno es la siguiente

0.18



Variaciones de diferencias para el coseno

0.16
 0.14


Diferencia


0.12
 0.1
 0.08
 0.06
 0.04
 0.02
 0
 ‐0.02
 0


50


100


150


200
 Grados


250


300


350


400


El promedio de error para coseno es de E ≈ .0511 o en porcentaje E ≈ 5.11%

4

Conclusiones

Si se implementa un m´ odulo en el programa el cual sea capaz de lidiar con el error como se lidi´o manualemnte en esta ocasi´ on, entonces ocurre algo bastante curioso, al parecer el error tiene un comportamiento peri´ odico como pudimos observar en la gr´ afica del seno. Esto se debe a que la correcci´on del error ocurre cuando ´este es intolerable, por tanto tiene un peque˜ no margen para crecer; si quisi´eramos que siempre estuviera en las mejores condiciones probablemente la computadora se sobrecargar´ıa y ser´ıa demasiado tedioso usar el programa. Sin embargo creo que hay que pulir los m´argenes de error, dado que aunque el mayor es de 5%, el cual es un margen bastante aceptable, se puede mejorar.

5

C´ odigo fuente

from math import * 6

"""Este es el bloque de funciones del progrmama, en esta seccion se encuentra la derivada, el factorial y la funcion definida por el """ #Defino la funcion derivada, simplemente es la definicion de derivacion def derivada(f): def drf(x,dx=1e-2): return (f(x+dx/2)-f(x-dx/2))/dx return drf #defino como funcion la funcion que el quiso aproximar def f(x): return eval(e) #defino la funcion factorial def fac(n): if n == 0: return 1 else: return n * fac(n-1) #estas son las variables que se van a usar en el programa p=input("De cuantos pasos quieres la serie de Taylor-Maclaurin?: ") e=raw_input("Cual es la funcion que deseas aproximar (Por favor dala en terminos de x)?: ") F=0 f0=0 f1=0 a=input("En que punto la deseas valuar?: ") t=derivada(f) #esta es la serie de Taylor-Maclaurin for y in range(p): MTd=0 MTm=(a**y)/fac(y) if y==0: MTm=0 else: MTd=t(0) t=derivada(t) F+=(MTd*MTm) RF=f(0)+F print "El resultado es" print RF

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