Sistem Persamaan Linear 3 Variabel 1o2433

Sistem Persamaan Linear 3 Variabel omson | September 17, 2014 | Comments Of

Sistem persamaan linear 3 variabel, merupakan himpunan 3 buah persamaan dengan variabel sebanyak 3. Bentuk ini satu tingkat lebih rumit dibandingkan sistem persamaan linear 2 variabel Metoda meyelesaikan persamaan 1. Metoda Eliminasi 2. Metoda subtitusi 3. Metoda determinan 4. Metoda matriks 5. Metoda operasi baris elementer

Metoda Eliminasi Supaya lebih mudah langsung saja kita masuk ke contoh-contoh

Contoh soal 1 : 2x + 3y – z = 20 3x + 2y + z = 20 x + 4y + 2z = 15 Jawab : Ketiga persamaan bisa kita beri nama persamaan (1), (2), dan (3) 2x + 3y – z = 20 ………………………..(1) 3x + 2y + z = 20 ………………………..(2) x + 4y + 2z = 15 ………………………..(3)

Sistem persamaan ini harus kita sederhanakan menjadi sistem persamaan linear 2 variabel. Untuk itu kita eliminasi variabel z Sekarang persamaan (1) dan (2) kita jumlahkan 2x + 3y – z = 20 3x + 2y + z = 20_____ + 5x + 5y = 40 x + y = 8 ………………….(4) Selanjutnya persamaan (2) dikali (2) dan persamaan (3) dikali (1) sehingga diperoleh 6x + 4y + 2z = 40 x + 4y + 2z = 15____ _ 5x = 25 x=5 Nilai x ini kita subtitusi ke persamaan (4) sehingga x+y=8 5+y=8 y=3 selanjutnya nilai x dan y yang ada kita subtitusikan ke persamaan (2) 3x + 2y + z = 20 3.5 + 2.3 + z = 20 15 + 6 + z = 20 z = -1 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, 3, -1)}

Contoh soal 2 : Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x + 4y – 3z = 3 2x – y + 4z = 21 5x + 2y + 6z = 46 Jawab : Agar lebih mudah, ketiga persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3) 3x + 4y – 3z = 3 …………………………….(1) 2x – y + 4z = 21 …………………………….(2) 5x + 2y + 6z = 46 …………………………….(3) Selanjutnya persamaan (1) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 4, sehingga diperoleh 3x + 4y – 3z = 3

|1| → 3x + 4y – 3z = 3

2x – y + 4z = 21

|4| → 8x – 4y+16z = 84

.

+

11x + 13z = 87 ……………..(4)

Berikutnya persamaan (3) dikali 1 dan persamaan (2) dikali 2, sehingga diperoleh 5x + 2y + 6z = 46 2x – y + 4z = 21 .

|1| → 5x + 2y + 6z = 46 |2| → 4x – 2y + 8z = 42

+

9x + 14z = 88 …………..(5)

Sekarang persamaan (5) dikali 11 dan persamaan (4) dikali 9 sehingga diperoleh 9x + 14z = 88 |11| 99x +154z = 968 11x + 13z = 87 |9| .

99x + 117z=783 37z = 185

_

.

z=5

Nilai z=5 kita subtitusi ke persamaan (4) 11x + 13z = 87 11x + 13.5 = 87 11x + 65 = 87 11x = 22 x=2 Nilai x=2 dan z=5 kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga 5x +2y +6z = 46 5.2 +2y +6.5 = 46 10 + 2y + 30 = 46 2y = 6 y=3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3, 5)}

Metoda subtitusi Contoh soal 3 Himpunnan penyelesaian sistem persamaan 2x + 5y + 4z = 28 3x – 2y + 5z = 19 6x + 3y – 2z = 4 adalah … Jawab :

Sekarang setiap persamaan kita beri nama (1), (2), dan (3) 2x + 5y + 4z = 28 ……………………………………..(1) 3x – 2y + 5z = 19……………………………………….(2) 6x + 3y – 2z = 4…………………………………………(3) Persamaan (1) bisa kita ubah sebagai berikut 2x + 5y + 4z = 28 4z = 28 – 2x – 5y ………………………………………..(4) Selanjutnya persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (2) sehingga 3x – 2y + 5z = 19

Jika kedua ruas dikali dengan 4 maka diperoleh 12x – 8y + 140 – 10x – 25y = 76 2x -33y = -64 ……………………………………….(5) Sekarang persamaan (4) kita subtitusikan ke persamaan (3) sehingga 6x + 3y – 2z = 4

Jika kedua ruas dikali 4 maka 24x + 12y – 56 + 4x + 10y = 16 28x + 22y = 72 14x + 11y = 36 11y = 36 – 14x

…………………………………………(6) Sekarang persamaan (6) kita subtitusikan ke persamaan (5) sehingga 2x -33y = -64

2x – 108 + 42x = -64 44x = 44 x=1

Jadi, himpunan penyelesaiaannya adalah {(1, 2, 4)}

Paling sedikit ada lima cara / metode untuk mencari solusi sistem persamaan linier.

    

Eliminasi Substitusi Grafik Matriks Invers Eliminasi Gauss/ Eliminasi Gauss-Jordan

soal no 1:

Penyelesaian:

Hasil perhitungan dengan dolinear

Baca juga:Menciptakan code Program

aplikasi calculator SPL Menggunakan

Bahasa Delphi /pascal soal no 2: 2a+b+c=d a+2b+c=e jika soalnya seperti ini.. ini hanya bisa diselesaikan apabila salah satu nilai variabelnya diketahui karna dalam penyelesaian PL3V pada prinsifnya adalah menyederhanakan PL3V menjadi PL2V untuk menemukan nilai setiap variabelnya.. contoh: nilai var a =10 soal 2a+b+c=30 a+2b+c=45 2(10)+b+c=30 >> b+c=30-20 >>> b+c=10 10+2b+c=45 >> 2b+c=45-10 >>>2b+c=35 ________________________________nah sekarang sudah menjadi PL2V bisa langsung eliminasi b+c=10 pers(1) 2b+c=35 pers(2)

__________ – -1b=-25 b=-25 /-1 b=25 subtitusi b ke pers(1) atau pers(2) b+c=10 25+c=10 c=10-25 c=-15 subtitusi b dan c ke pers a+2b+c=45 a+2(25)+(-15)=45 a+50-15=45 a+35=45 a=45-35 a=10 uji kebenaran nilai variabel 2a+b+c=30 2(10)+25-15=30 20+10=30 30 <=> 30 >>>>sama

Soal no 3:

Tentukan Hp dari SPL x – 2y + z = 0…….(Pers1) 3x + y – z = 5…….(Pers2) x – 3y – 2z = – 15….(Pers3) Penyelesaian: langkah1: eleminasi pers1 dan pers2 ====>>>eleminasi variabel Z x – 2y + z = 0 3x + y – z = 5 ____________ + …………..==>> kenapa (+) bukannya(-),itu dikarenakan kedua varibel 4x – y = 5

……..(Pers4)

memiliki tanda yg berbeda (+z) dan (-z)

langkah2.eleminasi pers1 dan pers 3 …..eleminasi var z (eleminasilah yg menurut anda lebih mudah dihilangkan seperti variabel x ,lebih mudah dieleminasi . .

x – 2y + z = 0 |x2| 2x – 4y +2 z = 0 x – 3y – 2z = -15 |x1| x – 3y -2z = -15 ______________ +

3x – 7y = -15

(pers5)

langkah3.eleminasi pers4 dan pers5 (ingat :”selalu pilih yg paling mudah dieleminasi karna dapat mempersingkat waktu pengerjaan”) eleminasi var y 4x – y = 5

|x7| 28x -7y = 35

3x – 7y = -15

|x1|

3x – 7y = -15 __________ – 25x = 50 x = 50 / 25 x=2

langkah4.subtitusi nilai var yang didapat kepers 4 atau pers 5 (karna hanya 2 variabel== lebih cepat) 3x – 7y = -15 …………pers5 3(2) – 7y = -15 6 -7y = -15 -7y = -15 -6 -7y = -21 y =-21 / -7 y=3 langkah5.subtitusi nilai var yang didapat kepers 1 atau pers 2 =0 2 – 2(3) + z = 0 2 – 6 + z =0 -4 + z = 0 z=4

Maka kita dapatkan HP {2,3,4}untuk ketiga persamaan x – 2y + z = 0…….(Pers1) 3x + y – z = 5…….(Pers2) x – 3y – 2z = – 15….(Pers3)

x – 2y + z

Hasil perhitungan dengan DoLinear

Baca juga:contoh soal dan pembahasan sistem persamaan linear 2 variabel Baca juga:source code calculator sistem persamaan linear 2 variabel

Bagi sobat yang suka cara praktis ITsystemID telah menciptakan kalkulator untuk menghitung SP3V, saya akan kasih link calculatornya disini Untuk kalkulator offline nya sedang saya kembangkan .insyaallah akan segera saya .. Berikut SCREENSHOOT software kalkulator persamaan linear 3 variael ala ITsystemID :

Himpunan penyelesaian Dari sistem 3x-2y+2=-11 2x+y-2z=23 -x+3y+z=6 Tentukan nilai x,y,znya Tentukan persamaan linear tiga variabel 2z+y+z=18 3x-y+2z=17 4x+2y-z=1 Tentukan x,y,z 2z+y+z=18 ====> y + 3z = 18 …artinya kita harus eleminasi x 3x-y+2z=17 4x+2y-z=1 Tentukan x,y,z

3x – y + 2z = 17 |x4| 12x – 4y + 8z = 68 4x + 2y -z = 1 |x3| 12x + 6y -3z = 3 —————– – -10y + 11z = 65 y + 3z =18 |x10| 10 y + 30z =180 -10y + 11z = 65 |x1 | -10y + 11z =65 ————– – 41z =245 z=5,9 y + 3z = 18 y + 3(5,9) = 18 y = 18 – 17.7 y =0.3 4x+2y-z=1 4x + 2y -z =1 4x +2 (0.3) – 17.7 =1 4x + 0,6 – 17.7 = 1 4x = -17.7 + 1 -0.6 4x=18.1 x=18/4 x=4,5 dicek lagi pekerjaannya bro mahmud dan mbak eva.. 2z+y+z=18 3x-y+2z=17 4x+2y-z=1 —————– perhatikan persamaan pertama, (2z+y+z=18 )itu tidak sesuai rumus umum SPL3V. sekedar mengingat kembali rumus umum SPL3V a1X + b1Y + c1z =d1 a2X + b2Y + c2z =d2 a3X + b3Y + c3z =d3 ————————artinya dalam setiap persamaan,harus memiliki variabel x,y,dan z. tapi jika mbak eva salah ketik,itu x bukannya z maka dapat diselesaikan 2x+y+z=18 3x-y+2z=17 4x+2y-z=1 2x+y+z=18 ….. |x2 | …. 4x + 2y + 2z = 36 3x-y+2z=17 …. |x1 | …. 3x – y + 2z =17

—————————————— – …………………………….x + 3y = 19 2x + y + z=18 4x + 2y – z=1 ——— + 6x + 3y =19 x + 3y = 19 6x + 3y =19 ————– – -5x=0 x=0/-5 x=0 x + 3y = 19 0 + 3y = 19 3y =19 y=19/3 y=6,3 4x+2y-z=1 4(0) + 2(6,3) -z =1 0 + 12.6 -z =1 0 +12.6-1 =z 11.6 =z z=11.6 uji validasi variabel 4x+2y-z=1 4(0) + 2(6,3) -11.6=1 0 + 12.6 – 11.6 =1 1=1 …..benar 2x+y+z=18 2(0) + 6,3 + 11.6 =18 17.9 =18 18=18 ………benar 3x-y+2z=17 3(0) – 6,3 + 2(11.6)=17 0- 6,3 + 23.2 =17 16,9 = 17 17=17 ……benar jadi nilai x,y,z adalah (0,6.3,11.6)

kalo pake kalkulator dolinear..hasilnya juga sama kok.. ini saya bukan ngasih jawaban ya.. [-( anggap aja sebagai contoh soal. 3x-y+2z=1 x+2y-3z=-11 -2x+2y-4z=-10 3x – y + 2z=1 |x3| 9x – 3y + 6z=3 x + 2y- 3z=-11 |x2| 2x + 4y – 6z=-22 ………………..————— + ………………….. 11x +y = -19 3x – y + 2z=1 |x2| 6x -2y + 4z =2 -2x + 2y – 4z=-10 |x1| -2x + 2y – 4z =-10 …………………… ————– + …………………… 4x + 0 =-8 …………………… 4x=-8 …………………… x=-8/4 …………………… x=-2 11x +y =-19 11(-2) +y =-19 y=-19 +22 y=3 3x – y + 2z =1 3(-2) – 3 +2z=1 -6 -3 +2z=1 2z =1 +9 2z=10 z=5 validasi hasil pekerjaan: 3x – y + 2z=1 3(-2) -3 +2(5)=1 -6 -3 +10=1 1=1……..benar x+2y-3z=-11 -2 + 2(3) -3(5) =-11 -2+6 -15=-11 6 -17 = -11 -11=-11…..benar -2x+2y-4z=-10

-2(-2) + 2(3) -4(5) =-10 4 + 6 -20 =-10 10-20=-20 -10=-10…..benar sebuah toko alat tulis menyediakan spidol aneka warna perbandingan antara bnyak spidol biru dan merah adalah 3:4 perbandingan antara spidol kuning adalah 4:5 jumlh ketiga spidol tersebut 430 buah jika x mnyatakan bnyak spidol biru, dan z mnyatakan bnyak spidol kuning, SPLTV yg mnyatakan ketiga jenis spidol adalah

Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari persamaan berikut! 3x - y + 2z = 15 ........(i) 2x + y + z = 13 ........(ii) 3x + 2y + 2z = 24 .......(iii)

Penyelesaian: Gunakan metode eliminasi terhadap 2 persamaan terlebih dahulu: 3x - y + 2z = 15 | X 1 → 3x - y + 2z = 15 2x + y + z = 13 | X 2 → 4x + 2y + 2z = 26 ____________________ -x - 3y = -11 ..........(iv) 2x + y + z = 13 | X 2 → 4x + 2y + 2z = 26

3x + 2y + 2z = 24 | X 1 → 3x + 2y + 2z = 24 ________________________ x = 2.......(v) Karena dari persamaan (v) kita sudah mendapatkan nilai x, sekarang tinggal gunakan metode substitusi terhadap persamaan (iv) -x - 3y = -11 -(2) - 3y = -11 3y = -11 + 2 3y = 9 y =3 Sekarang kita sudah mendapat nilai y. Langsung saja subtitusikan nilai x dan ypada salah satu persamaan i, ii, atau iii untuk mengetahui nilai z: 2x + y + z = 13 2(2) + 3 + z = 13 4 + 3 + z = 13 7 + z = 13 z = 13 - 7 z =6 Maka himpunan penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut adalah {2; 3; 6}

2.