Taller Regresion Lineal Y Multiple 1i8j

REGRESION LINEAL Y MULTIPLE

JOSE LUIS DIAZ SOTO JORGE LORA ISAURA FERNANDEZ

Tutor (a) MARCOS CASTRO

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA Programa: ISTRACIÓN FINANCIERA Área: MODELO INFERENCIAL VI SEMESTRE CERETE 2014

2

1. Sobre un conjunto de conductores se ha realizado una encuesta para analizar su edad (Y) y el número de accidentes que han sufrido (X). A partir de la misma, se obtuvieron los siguientes resultados: X/Y 0 1 2

(20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 74 82 78 72 7 7 6 5 6 5 3 2 2 1 1

A partir de estos datos, se le pide que determine para esta distribución las curvas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y. Sea y: la variable edad(x) X: la variable números de accidentes (y) PROMEDIO DE EDAD 25 35 45 55 65 25 35 45 55 65 25 35 45 55 65

NUMERO DE ACCIDENTES 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

NUMERO DE PERSONAS 74 82 76 72 7 7 6 5 6 5 3 2 2 1 1

La curva de y sobre x es

b= ∑

b= a=

∑

∑ ∑

∑

, a=

∑ ,

∑

,

∑

∑

∑

= =

∑

∑

= -2.23880

= 47.089

y/x= -2,23880x+47.089 3

=196

ahora de x/y ∑

∑

,

∑

,

∑

∑

b=

= =

= 0.000000001

a=

=

0.933

=455625

x/y=0.000000001x+0.933

2. Para la economía española, disponemos de los datos anuales redondeados sobre consumo final de los hogares a precios corrientes (Y) y renta nacional disponible neta (X), tomados de la Contabilidad Nacional de España base 1995 del INE , para el período 1995-2002, ambos expresados en miles de millones de euros: AÑO

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

Yt

258’6

273’6

289’7

308’9

331’0

355’0

377’1

400’4

Xt

381’7

402’2

426’5

454’3

486’5

520’2

553’3

590’0

Considerando que el consumo se puede expresar como función lineal de la renta (Yt=a + b ·Xt), determine:

a) Los parámetros a y b de la recta de regresión. Sea y’: la variable consumo X: la variable renta Los parametros son

b=

∑

n=8

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

b= 4

b= b= 0.6834

a=

∑

∑

=

a= a= 160138 b) La varianza de la variable consumo y su descomposición en varianza explicada y no explicada por el modelo.

∑ = =

= 2235.966094

La varianza explicada es: ∑ El modelo es:

y= 0.6834x-1.60

5

=

= 9658,88

La varianza del no explicada del modelo es: ∑

= 0.44842

=

c) el coeficiente de determinacion

Donde Sxy= ∑

∑

Sxx= ∑

∑

Syy= ∑

∑

∑

= = =0.999800

d) si la renta para x=650.00 millones de euros, entonces las predicciones y^= 0.6834x-1.60 y^=0.6834(650.000)-1.60 =444208.4 millones de euro 6

e) r=

√

donde

∑

Sxx= ∑

Syy= ∑ Sxy= ∑

∑

∑

∑

Sxx= Sxx =38289.638 Syy= Syy =17887.72 Sxy= Sxy =26168.26375 r=

√

=

=3.16

3. Se supone que se puede establecer cierta relación lineal entre las exportaciones de un país y la producción interna de dicho país. En el caso de España, tenemos los datos anuales (expresados en miles de millones de pesetas) para tales variables correspondientes al quinquenio 1992-96 en la siguiente tabla: Años Producción Exportacione 52.654 s 10.420 1992 53.972 11.841 1993 57.383 14.443 1994 61.829 16.732 1995 65.381 18.760 1996 A partir de tal información, y considerando como válida dicha relación lineal, se pide: a) Si la producción para el año 1997 fue de 2.210.6100 millones de pesetas, ¿cuál sería la predicción de las exportaciones para este año? ¿Qué grado de precisión tendría dicha predicción? 7

b) Si sabemos que las exportaciones para 1997 fueron de 69.045.704 millones de pesetas, ¿cuál sería la producción interna aproximada para ese año? ¿Qué grado de confianza daría usted a esta predicción? c) ¿Qué tanto por ciento de la varianza de las exportaciones no vienen explicadas por la Producción interna, y se debe a otro tipo de variables? d) e) El coeficiente de correlación sea y: variable produccion X: variable exportacion

Y=bx + a #=bx + n a) Para saber la produccion de las exportaciones calculamos el modelo de regresion de la forma:

Y: bx + a donde b= a=

∑

n=5 ∑ ∑ ∑ ∑ b= b=

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

b=1.55070 a=

= 179.2643

luego el modulo de regresion es: y^= 1.55070x +179.2643 1. Como la produccion para el año 1997 fue de 2210.6100 millones de pesetas. 2210.6100= 1.55070x+179.2643 2210.6100-179.2643=1.55070x 2031.345604=1.55070x

X= X=1309.953959 millones de exportaciones

2. Para el grado de precision hacemos Y-t

√

<

t

Para x= 1309.95 Y=1.55070(1309.95)+ 179.2643 =2210.60 Con

1-

√

----t

t0.05/2= 0,025, n=5

.025, v=n-1 ------t0,025,

4=2,776

∑ √

=√

=√ ∑

Sxx= ∑ =1089.28=46.830

2210.60-(2.776√ +

<

√ +

a) Como las exportaciones para el año 1997 son de 69045704 millones, entonces la produccion interna seria para este año de: Y=1.55070(69045709)+ 179.2643 Y =1070693525 millones de pesetas, comparando este valor y el del punto anterior el grado se confianza sea de 95%. 3. Para esto calculamos Ry/x= r2= S2xy= S2xy =

S2xy =

∑

∑

∑

S2xy = 5273.78 ∑

Sxx= ∑ Sxx= 1089.28 Syy= ∑

= 46.830870 ∑

=

= 114.0283

r2= r2= r2=0,9876 r2=98.76% 100-98.76%=1.24% de varianza que no es explicada por las variables. Coeficiente de correlacion r=

√

r=

=

=

√

√

= 0.9937

4. De una distribución de dos variables se conocen los siguientes datos: rxy = 0’9; sx = 1’2; sy = 2’1; x =5; y =10 A partir de los mismos, obténganse las rectas de regresión mínimo cuadráticas de X sobre Y y de Y sobre X. rXy=0.9,

sx= 1,2 ,

sy=2,1

, x=5,

y=10

como rxy=

=

mxy= rxsxsy

mxy=(0.9)(1.20)(2.10) mxy =2,26 bxy=

= bxy=

=0.51

x=bxy(y-y^)+x x =0,51(y-10)+5 x =0,51(y-10)+5 x =0,51y-5,1+5 X= 0,51y-0,1

Y para y sobre x y= bxy(x-x)+y y=0.51(x-5)+10 y =0,51x – 2,25 + 10 y =0,51x – 7,45 5. A partir de un conjunto de valores de las variables X e Y, se ha

determinado la regresión de Y sobre X, obteniéndose la siguiente recta: Y*=10+0’45X; R2=0’9; x =20 Se pide que, a partir de la definición de la anterior recta, determine los parámetros de la recta de regresión de X sobre Y. sea y= 10 + 0.45x ,

un r2= 0,9

, x=20

Hallar los parametros a y b de la ecuacion y= bx + a a= y – bx de la ecuacion bxy 0,45, pero x=bxy(y-y) + x sobre y. como bxy= 0,45 axy= 10 dyx= y – bxy X r2= byxbxy entonces 0.9= byxbxy byx=

byx=2 entonces ayx= 10 – 0,45(20) ayx =1 luego los parametros son ayx=1 , byx=2 7.

Se han observado, en varios modelos de automóviles, los datos de potencia del motor (X), en caballos, y la aceleración (Y), medida en el número de segundos necesarios para acelerar de 0 a 100 Km./h. La tabla adjunta refleja los valores obtenidos. X Y

50 15

75 12

90 10’5

100 10

120 9

150 8

A partir de tales datos, se ha decidido expresar la aceleración en función de la potencia mediante el ajuste de una función potencial (mediante el correspondiente cambio logarítmico). Bajo esta hipótesis: a) Determine la función de ajuste y el ECM conseguido. b) Si aumenta la potencia de un motor en un 10%, ¿en qué porcentaje repercutirá dicho aumento en la aceleración prevista? ¿Depende ello de la potencia que tenga el motor en cuestión? c) El coeficiente de correlación.

Sea y: variable aceleración X: variable motor a) Para determinar la función de ajuste y ECM mediante el modelo Ȳ = bx + a ∑

b=

a=

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

=

=

=

= -0.06796

= 20.85132, luego la función

de ajuste es: Ȳ = -0.06796x + 20.85132 El error cuadratico medio es: ∑

= ∑

SSE =

∑

∑

[

∑

=

]

SSE = 30.875 – 28.11845 = 2.75655 b) si x= 10 y se aumenta en 10% entonces x= 10.1 Ȳ= -0.06796(10.1) + 20.85132 = 20.1649 Ȳ= -0.06796(10) + 20.85132 = 20.17

Repercutirá en el aumento significativo de 0.01 o 1% en la aceleración prevista, si clara a mayor potencia mayor aceleración.}

c)

√

∑

=∑

Sxx = ∑

∑

∑

= 5875 -

= 63125 -

= -413.75 = 6087.5

Syy = ∑ √

∑

= 724.25 =

= 30.875 = -0.9530

√

8. En un nuevo proceso artesanal de fabricación de cierto artículo que está implantado, se ha considerado que era interesante ir anotando periódicamente el tiempo medio (medido en minutos) que se utiliza para realizar una pieza (variable Y) y el número de días desde que empezó dicho proceso de fabricación (variable X). Con ello, se pretende analizar cómo los operarios van adaptándose al nuevo proceso, mejorando paulatinamente su ritmo de producción conforme van adquiriendo más experiencia en él. A partir de las cifras recogidas, que aparecen en la tabla adjunta, se decide ajustar una función exponencial que explique el tiempo de fabricación en función del número de días que se lleva trabajando con ese método. X 10 20 30 40 50 60 70 Y 35 28 23 20 18 15 13 Desde el correspondiente ajuste propuesto, se pide que determine: a) ¿Qué tiempo se predeciría para la fabricación del artículo cuando se lleven 100 días? b) ¿Qué tiempo transcurriría hasta que el tiempo de fabricación que se prediga sea de 10 minutos? c) ¿Qué porcentaje de tiempo se reduce por cada día que pasa? d) El coeficiente de correlación sea:

Y: la variable tiempo medio para realizar una pieza X: la variable número de dias del proceso de fabricación. a) Determinar el modelo que prediga la

∑ ∑

∑ ∑

∑

donde ∑

∑

b= a=

= ∑

y

∑

∑

= -0.34642

∑

= 35.5714

Ȳ = 35.5714- 0.34642(X) Ahora para x = 100 días, el tiempo medio de fabricación de la pieza es de: Ȳ = 35.5714- 0.34642 (100) = 0.9294 b) Cuando y = 10 minutos, el tiempo transcurrido de fabricación de la pieza es:

Ȳ = 35.5714- 0.34642(X) 10 - 35.5714 = -0.34642(X) - 25.5714 = 0.34642(X) X= c) El coeficiente de correlación es:

√

∑

∑

=

= 2800

∑

∑

=

= 355.428

∑

√

∑

∑

√

10. Un estudiante de la Escuela Universitaria de Estudios Empresariales de la 10. Universidad de Sevilla, para poder pagarse sus estudios, debe trabajar como camarero en un bar de copas de su localidad. A este establecimiento, suelen acudir todos los jóvenes de la zona. Este año, con los conocimientos aprendidos, decide por fin estudiar la relación existente entre la cantidad de sal de las galletas saladas y el consumo de bebidas, ya que es costumbre dar al cliente este aperitivo cuando pide una consumición. Se sabe que las galletas no pueden tener una concentración de sal superior a 3'5 gramos por cada 1000 galletas y, por ello, decide ir variando a partir de 1 gramo la concentración de 0'5 en 0'5 gramos cada semana e ir anotando el incremento en caja semanalmente, obteniendo la siguiente tabla: Gramos de sal por 1000 1 galletas 1,5 2 2,5 3

Ingresos 140300 (pesetas) 150000 165000 175000 200000

A partir de tales cifras, se quiere conocer: a) ¿Considera justificado el planteamiento de un modelo lineal para expresar la relación entre las variables? b) Si el propietario desea unos ingresos de 160.000 pesetas, ¿qué cantidad de sal debería aportar por cada 1000 galletas? Si aporta el máximo permitido de sal, ¿cuál sería el ingreso en caja? Explicar cuál de las dos predicciones le merece mayor confianza. c) ¿Cuál sería la variación porcentual de los ingresos cuando la cantidad de sal aumenta en un 1% sobre el último valor de la tabla? Si aumentamos en 1gr. la sal por cada 1000 galletas, ¿cuánto variarán los ingresos? d) El coeficiente de correlación Sea: y: La variable ingreso x: La variables gramos de sal

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

= 1732800

∑

= 10

∑

= 830300

∑

= 22.5

∑

∑

Luego el modelo es Ȳ = bx +a entonces Ȳ = 28880x + 108300 Si los ingresos son y=160000 pesetas 160000 = 28880x + 108300 160000 – 108300 = 28880x

Si se aparta el máximo de sal el ingreso será: Ȳ = 28880(3.5) + 108300 = 209380 pesetas El modelo formal explica mejor el comportamiento de los ingresos ya que está más ajustado. c)

Si se aumenta en 1% sobre el último valor tenemos: Ȳ = 28880 (3.03) + 108300 = 195806.4 pesetas Para x=3 Ȳ = 28880 (3) + 108300 = 194940 pesetas Luego la variación porcentual es:

d) El coeficiente de correlación es:

|

|

√

√ ∑

∑

=

∑

∑

=

∑

∑

= 2.5 = 2154472000

∑