Vectores Propios 1gr2g

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE ESCUELA ACADEMICO DEINGENIERIA CIVIL

PROFESIONAL

GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ALGEBRA INFORME DE INVESTIGACIÓN Eigenvalores y Eigenvectores Rotación, Traslación y reflexión de figuras

Presentado por: Chávez Rubio, Alexánder Cotrina Mendoza, Alex La Torre Soriano, Fabiola Intor Villatty, Khoraly Ramirez Senmache, Carlos Gregorio Santos Atahualpa Yupanqui Pizarro Cornelio Tres Cachos

2013

Valores y vectores propios

I.

INTRODUCCIÓN:

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian

su

dirección.

Este

escalar

recibe

el

nombre valor

propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.1 El valor propio de un yujndfnhpropio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado. Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio. Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio es el eje de giro. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que es un número real. Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V → V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V yc es un escalar tales que Av = cv Entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c. Observe además que un espacio propio Z es GRUPO N°

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Valores y vectores propios un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el vector Aw también pertenece a Z.

Los conceptos básicos (valores propios y vectores propios) son útiles en todas las áreas de la matemática básica, pura y aplicada; y aparecen en contextos mucho más generales que los que consideramos en la realidad. Los valores propios también se usan para estudiar ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos continuos, proporcionan información crítica en el diseño de ingeniería y se presentan naturalmente en campos como la física y la química.  Aunque, en general, la imagen de un vector bajo una transformación de un espacio vectorial en sí mismo no es un vector paralelo al vector inicial, existen vectores especiales para los cuales la acción de la transformación es muy sencilla: el vector y su imagen tienen la misma dirección. Estos vectores especiales los denominamos vectores propios y conocerlos son de gran ayuda en el análisis de la transformación puesto que en la dirección de ellos, la transformación sólo “encoge” o “estira” los vectores, cambiando, en algunos casos, el sentido de ellos.

II.

OBJETIVOS

 

Explicar de forma clara los valores propios de una matriz Analizar a partir del discriminante en qué casos la cónica puede representar una elipse, una parábola o hipérbola.  Proponer o plantear ejercicios desarrollados que contribuyan al entendimiento completo del uso del discriminante. III.

MARCO TEÓRICO III.1.

ANALISIS:

DEFINICIÓN: GRUPO N°

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Valores y vectores propios Un vector propio de una matriz A de n × n es un vector x diferente de cero tal que Ax = λx para algún escalar λ. Un escalar λ se llama valor propio de A si existe una solución no trivial x de Ax = λx; una x como ésta se denomina vector propio correspondiente a λ.1 Definici´on Sea A una matriz cuadrada, un n´umero real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor caracter´ıstico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x tal que: Ax = λx Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicaci´on por A el vector resultante mantiene su direcci´on, posiblemente s´olo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x se llama vector propio o eigenvector asociado al valor propio λ.

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Valores y vectores propios

III.2. DETERMINACIÓN DE LOS VALORES PROPIOS: Sea λ0 un valor propio de la matriz cuadrada A, Así existe un vector diferente de cero de x0 tal que: Ax0 = λ0x0 = λ Inx0 Por tanto: Axo − λoInxo = (A − λoIn) xo = 0 Si B = A − λoIn lo anterior significa que el sistema homogéneo n × n Bx = 0 Tiene además de la solución trivial otra solución (x = xo 6= 0). Por consiguiente, no tiene solución única. Y por tanto, el determinante de la matriz B debe ser cero: det(B) = det (A − λoIn) = 0. GRUPO N°

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Valores y vectores propios Resumiendo: Todo valor propio λo debe ser raíz del polinomio característico asociado a A: pA(λ) = det (A − λIn) (1) y un vector propio asociado al valor propio λ debe ser solución al sistema homogéneo: (A − λIn) x = 0 (2)

III.3.

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DESARROLLO DE EJERCICIOS:

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Valores y vectores propios

Aplicaciones

Los valores y vectores característicos tienen muchas aplicaciones en la tanto en el ramo de las matemáticas como física, mencionaremos algunos temas en donde también se pueden emplear: Orbitales moleculares, Análisis factorial, Tensor de inercia, Tensor de tensión y Valores propios de un grafo, En ecuaciones lineales, matrices, etc. Algunos de estos campos de aplicación son: - Ecuaciones diferenciales - Estabilidad de sistemas lineales GRUPO N°

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Valores y vectores propios - Sistemas eléctricos (componentes simétricas) - Polos y ceros de funciones transferencia - Diagonalización de matrices

IV.

CONCLUSIONES:  Los valores y vectores característicos juegan un papel muy importante en el ramo de las matemáticas como en el de la física, ya que a través de estos podemos resolver muchas dificultades que se nos presentan en la vida.  Nos dimos cuenta de las diferentes propiedades que poseen los valores y vectores característicos, así como las diferentes formas de resolverlos.  Entendimos que no podemos dejar a tras todo lo aprendido en el curso, porque todo va ligado a cada tema. Con esto podríamos decir que hemos aprendido a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para comprender y analizar y poder poner en práctica los temas futuros.

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