Vector Gradiente 1v63y

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

DERIVADAS DIRECCIONAL Y GRADIENTEAS

PROYECTO “DERIVADAS DIRECCIONAL Y GRADIENTES”

DOCENTE: Delia Antonieta, Alcántara Ortiz.

ALUMNOS:     

CHILON PONPA, CHARLIZ WILY LUNA BLANCO, ALEX YOEL SAAVEDRA TUESTA MILTON TAFUR TAFUR, WALTER. TORRES MAMANI MAYCOL.

CURSO: CALCULO III

2016 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CURSO: CALCULO III

PROYECTO DERIVADAS DIRECCIONAL Y GRADIENTES

RESUMEN En la confección y elaboración de este sencillo proyecto, que como se podrá observar en las páginas que siguen .Dicha secuencia es la siguiente: como primer punto son los Datos Preliminares, con todas sus subdivisiones; posteriormente se detalla el desarrollo del proyecto donde se da a conocer paso a paso la teoría y aplicación de los temas tanto DERIVADAS DIRECCIONALES COMO GRADIENTES, seguidamente plateamos 10 problemas de aplicación para dar a entender mejor el dominio de los temas, y como últimos puntos tenemos las conclusiones, anexos y referencias bibliográficas.

INTRODUCCIÓN Gradiente es la generalización de derivada a funciones de más de una variable. Es útil en física e ingeniería. También lo es la derivada direccional, con la que el gradiente está relacionado. Para facilitar la comprensión de ambos conceptos, nos ocupamos de ellos aquí pensando principalmente en sus aplicaciones. En este comentario utilizaremos ideas del artículo Conceptos de derivada y de diferencial de esta misma sección Comentarios Técnicos, por lo que puede convenir su previa lectura. Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación geométrica es sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente a la gráfica de la función en dicho punto. Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una función h(x, y), que representa la altura de los puntos de una montaña. Si nos situamos en un punto de la ladera, ¿qué significa la "pendiente" de la montaña? Hay no una, sino infinitas pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia los puntos situados a la misma altura que en el que estamos, o en cualquier dirección intermedia. La cosa es aún más complicada para campos escalares, dependientes de las tres coordenadas, ya que en ese caso ni siquiera podemos imaginar qué significa una pendiente. Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares debe hacerse de una forma específica. Podemos definir una derivada a lo largo de una dirección determinada, pero nada más.

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OBJETIVOS:

  

Estudiar y conocer las derivas direccionales y gradiente. Dar a conocer cuánto nos es útil saber derivadas direccionales y gradiente. Determinar las formulas y aplicarlas adecuadamente.

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Antecedentes. BREVES ACONTECIMIENTO DE LA DERIVADAS. En la antigua Grecia (siglo III a.C) empezaron a tener complicaciones con la resolución de algunos problemas de cálculo infinitesimal que, no encontrando un sistema de método para la resolución de aquellos problemas. Las derivadas fue unos de los problemas que tuvieron por más de 20 siglos, ya que cuando se tocaban con problemas donde tenían que resolver diferentes tipos de derivadas, no lograban poder desarrollarla, fue entonces

que en el año 1823 el

matemático Francés Augustin- Louis Cauchy definió estos clases de ejercicios en nombre

de Derivadas y esta a su vez desarrollo técnicas para poder resolver estos problemas. El aporte de otros matemáticos de la época como el Matemático Griego Constantin Carathéodory con su trabajo “Teoria de funciones de variables complejas en, 1954” El matemático Francés Maurice Fréchet con su trabajo “Diferencial Total, en 1963”

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El matemático Francés Rene Gâteaux con su trabajo “derivada direccional en, 1925” Fueron estos trabajos que le dio un repunte muy alto a las derivadas ya que la gente de la época desconocía su utilización y resolución. Las derivadas están centradas en el pensamiento evolucionado de cálculo diferencial, aspecto que no es de agrado para los estudiantes de ingeniería por su alto grado de complejidad que tienen su resolución, es por eso que existen diferentes técnicas para una mayor comprensión de la misma. Queremos estudiar la variación de la función (f) en el punto P cuando el argumento varía en la dirección marcada por el vector

⃗ ∇ . Para ello partimos de la idea del concepto de

derivada de funciones de una variable “el límite, cuando el incremento de la variable tiende a cero, del cociente del incremento de la función dividido entre el incremento de la

variable”, es decir:

DESARROLLO DEL PROYECTO

 Para poder hablar de derivadas direccionales primeramente tenemos que conocer y tener dominio de las derivadas parciales, ya que los temas DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES son aplicaciones de las derivadas parciales, para ello vamos a empezar con el desarrollo dando una breve definición de las derivadas parciales y seguidamente nos centraremos a explicar los temas principales. DERIVADAS DIRECCIONALES

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Las derivadas parciales fx(x, y) y fy(x, y), representan, respectivamente, la pendiente de la superficie z = f(x, y) en las direcciones del eje OX y del eje OY . Para hallar la pendiente en cualquier otra dirección se utilizan las derivadas direccionales. Es decir, las derivadas parciales nos dan una medida de la variación de una función solamente en la dirección de cada eje coordenado. Es natural buscar un concepto más general de derivada a fin de que nuestras consideraciones no queden restringidas a las direcciones particulares de los ejes coordenados y nos permita estudiar la razón de incrementos en una dirección cualquiera. La derivada direccional responde a este propósito. Queremos estudiar la variación de la función

f

en el punto

argumento varía en la dirección marcada por el vector

P

cuando el

⃗ ∇ . Para ello partimos de

la idea del concepto de derivada de funciones de una variable “el límite, cuando el incremento de la variable tiende a cero, del cociente del incremento de la función dividido entre el incremento de la variable”, es decir:

D ⃗v f ( P )=lim

x→ p

Donde

X

f ( X ) −f ( P) t

es un punto próximo ha

marcada por el vector

P

y además situado en la dirección

⃗ ∇ , y t es la longitud orientada del segmento ⃗ PX

decir, la longitud de este segmento con signo positivo, si el vector misma dirección que el vector

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⃗ PX

, es

tiene la

⃗ ∇ , y con signo negativo en caso contrario.

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(Imagen de Derivadas Direccionales)

Para la derivada notaciones:

direccional

usaremos

cualquiera

de

las

∂f D ⃗v f ( P )= ⃗ (P) ∂∇

Cálculo de la derivada direccional conocido el vector director: 1. Vector director unitario

⃗v : Si el vector director es unitario

resulta:

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]

‖⃗ px‖=|t| ⇒⃗ px=t ⃗u ⇒ x−p=t u⃗ ⇒ x =p+ t ⃗u ‖⃗u‖=1 De donde

D ⃗v f ( P )=lim t →0

f ( p+ t ⃗u )−f (P) t

2. Vector director no unitario

⃗v : Si el vector no es unitario,

resulta:

]

‖⃗ px‖=|t| ⇒⃗ px ≠tv ‖⃗v‖=1

Luego no podemos hacer la sustitución anterior. Por lo tanto, si el vector no es unitario, hallamos el vector unitario de la misma dirección y sentido que el dado, y a ese nuevo vector hallado le aplicamos el resultado anterior.

u⃗ =

v⃗ ‖⃗v‖

Cálculo de la derivada direccional conocido el ángulo director. Conocido el ángulo

θ

que forma el vector director con la dirección positiva del eje OX,

se tienen inmediatamente las coordenadas del vector director unitario.

⃗u=(cosθ , senθ)

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DERIVADA DIRECCIONAL: sea abierto

D

Rn

de

y sea

f : D ⊆ Rn → R p∈ D

un punto dado de

unitario dado. Se define la derivada de la función

⃗u , denotada

una función definida en el conjunto

f

en

p

D . Sea

⃗u

un vector

de la dirección del vector

∂f (P) , como el siguiente limite, si existe u es finito. ∂ u⃗

D ⃗v f ( P )=lim t →0

f ( p+ t ⃗u )−f (P) t

Teorema: Si f es una función diferenciable de x y y, entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u = (a, b) y DU f (x, y)  f x (x, y) a  f y (x, y) b Teorema: Si

f : D ⊆ Rn → R

es

una

función

diferenciable

entonces la

derivada direccional se calcula por la formula. 

En una función de una variable. Para: D u⃗ f ( P )=x 1 , x 2 ,−−−−−, x n

D u⃗ f ( P )=



⃗u=u 1 , u2 ,−−−−−, un

∂f ∂f −−−−−−−+∂ f .u + .u + . un ∂ x1 1 ∂ x2 2 ∂ xn

En una función de dos variables. Para:

D u⃗ f ( P )=

y

f xy y u⃗ =u1 ,u 2 ,

∂f ∂f . u 1+ .u 2 ∂x ∂y

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D u⃗ f ( P )=

∂f ∂f . cos θ+ . sen θ ∂x ∂y

GRADIENTE El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables. Esta función tiene múltiples aplicaciones importantes. Supongamos que f es una función de dos variables x y y cuyas derivadas parciales f(x) y f(y) existen. Entonces el gradiente de f se define como:

Propiedades del gradiente: Sea f una función diferenciable en el punto (x,y) 1. ∇f(x, y)=0 entonces Duf(x, y)=0 para todo vector unitario u. 2. La dirección de máxima tasa de cambio de crecimiento de f esta dad por ∇f(x, y) y el valor máximo de Duf(x, y) es ‖∇f(x, y) II. 3. La dirección de máxima tasa de cambio de decrecimiento de f está dada por -∇f(x, y) y el valor mínimo de Duf(x, y) es -‖∇f(x, y) II. 4. El vector gradiente ∇f(a,b) es perpendicular a la curva de nivel que pasa por el punto (a,b)

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN.

Gradiente y derivada direccional. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dado:

a) f(x; y) = xy, (x0; y0) = (e; e), d = 5i + 12j b) f(x; y) = exy + yz, (x0; y0; z0) = (1; 1; 1), d = (1; -1; 1)

SOLUCIÓN

a) Recordando que Duf(x0) = f(x0)·u, debemos hallar el gradiente de la función y un vector unitario en la dirección dada.

  y  y    log x y  log x y    y log x  y log x  x ; x     e  ; y  e     x e ; y e   y   x  x    y y log x   y  e ;  log x  e y log x    x y ;  log x  x y   f (e; e)   e e ; e e  x   x 

f ( x; y )   

 

u

d (5;12)  5 12    ;  d 5 2  12 2  13 13 

 5 12  17 D u f (e; e)  f (e; e)·u   e e ; e e · ;   e e  13 13  13 b)

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b) En este caso tendremos:

  x     e  yz ;  e x  yz ;  e x  yz     e x ; z; y   f (1;1;1)  (e;1;1) y z  x 

f ( x; y; z )  

u

 1 1 1  d (1;1;1)    ; ;  d 12  (1) 2  12  3 3 3 

 1 1 1  e D u f (1;1;1)  f (1;1;1)·u  (e;1;1)· ; ;   3  3 3 3 1) Suponer que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico z = c - ax2 - by2 , donde a, b y c son constantes positivas, x y y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y y z están medidas en metros). En el punto (1; 1), ¿en qué dirección aumenta más rápido la altitud? Si se suelta una canica en (1; 1), ¿en qué dirección comenzará a rodar?

SOLUCIÓN Una función aumenta más rápidamente en la dirección del vector gradiente, y disminuye más rápidamente en la dirección opuesta al mismo. En nuestro caso:

f ( x; y )  (2ax;2by )  f (1;1)  (2a;2b)  u 

f (1;1)    f (1;1) 

a a b 2

2

;



b  

a b  2

2

Ésa es la dirección de máximo crecimiento. La canica rodará en la dirección en la cual más rápidamente disminuya la altura, es decir, la opuesta a la recién hallada:

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

a 

a 2 b 2

 u  

;



b  

a 2 b 2 

Máximo decrecimiento

2) El capitán Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la nave, cuando él está en la posición (x; y; z), viene dada por

T ( x; y ; z )  e  x

2

 2 y 2 3 z 2

, donde x, y y z vienen dados en metros. Actualmente está en el punto (1; 1; 1).

a) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápidamente la temperatura? b) Si la nave viaja a e8 m/s, ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura si avanza en esa dirección? c) Desafortunadamente el metal del casco se cuarteará si se enfría a una tasa mayor que

14e 2 grados por segundo. Describir el conjunto de direcciones posibles en que puede avanzar para bajar la temperatura a una tasa no mayor que ésa.

Solución

a) La dirección de máximo decrecimiento u será la dirección unitaria opuesta al vector gradiente.



2

T ( x; y; z )   2 xe x  2 y

2

3 z 2

2

;4 ye  x  2 y

2

3 z 2

2

2

2



;6 ze  x 2 y 3 z  Normalizndo 

2 3   1 ; ;   14 14 14 

 T (1;1;1)  e 6 (2;4;6)  T (1;1;1)  e 6 (2;4;6)  u  

b) El valor de e8 m/s que nos dan es la rapidez (módulo de la velocidad) de la nave. El vector velocidad vendrá dado por el producto de ese módulo por la dirección unitaria de avance. Así: DEPARTAMENTO DE CIENCIAS CALCULO III

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  dx dy dz  ; ;   e 8u  e8   dt dt dt  

v

1 14

2

;

14

;

3  

14 

Queremos obtener la tasa de variación de la temperatura, y lo logramos mediante la regla de la cadena:

En ( x ; y ; z )  (1;1;1)

dT T dx T dy T dz    dt x dt y dt z dt





 2e

6

e8 14

 4e

6

2e 8 14

 6e

6

3e 8 14

 2 14e 2

c) En el punto anterior vemos que la máxima velocidad de crecimiento de la temperatura es el doble de lo que la nave puede tolerar. Para que no se cuartee, es necesario avanzar en otra dirección, cuyo vector unitario podemos llamar u = (a; b; c). En ese caso tendremos que el vector velocidad será v = (a; b; c)e8, y podremos escribir:

dT  T ·v    2e 6 ;4e 6 ;6e 6 · ae 8 ; be 8 ; ce 8   (2a  4b  6c)e 2 dt

Esta tasa de variación de la temperatura debe ser negativa y su módulo debe ser menor

14e 2 que

. Por lo tanto:

 14e 2 

dT  0   14e 2  (2a  4b  6c)e 2  0   14  2a  4b  6c  0 dt

Moviéndose en cualquier dirección unitaria u = (a; b; c) que cumpla con esas condiciones el cohete se enfriará sin cuartearse.

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CONCLUSIONES: En conclusión llegamos que todo lo expuesto y aprendido nos es útil en nuestras vidas diarias.

FERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 

https://sites.google.com/site/calculointegraljagn/home/pla



http://natovector.blogspot.pe/p/bibliografia.html

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

www.dma.uvigo.es/~lino/CAL3_10_11.pdf



ANALISIS MATEMATICO III EDUARDO ESPINOZA RAMOS.

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