2.- Metodo Directo De Matriz De Rigidez 1wn4m
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Universidad José Carlos Mariátegui
Análisis Estructural II
METODO DIRECTO DE MATRIZ DE RIGIDEZ
CONCEPTO: Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de un modelo matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando la masa de los elementos estructurales en los nudos. · Se desarrolló con base en uno de los principios del equilibrio: La compatibilidad Fuerza-Desplazamiento · Las ecuaciones se escriben en función de los Grados de Libertad (GL) del sistema. · La matriz estática de rigidez tiene el orden igual a los GL del sistema (libres o restringidos) · La relación fuerza-desplazamiento se puede representar por : [F]=[K]{U} [ K ] = Matriz de rigidez [ F ] =Vector de fuerzas { U } = Vector de desplazamiento Rigidez: Fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitaria en la dirección de la fuerza aplicada.
1. SISTEMA DE COORDENADAS Se utiliza un sistema ortogonal, cartesiano y de mano derecha (Dextrógiro), se usan 2 sistemas: 1.1 Sistema de coordenadas globales: Se utiliza para referenciar toda la estructura, nudos, cargas, desplazamientos y reacciones. Se usan 2 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de estructuras.
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Análisis Estructural II
1.2 Sistema de coordenadas locales Se utiliza para referenciar los elementos estructurales; como dimensiones, áreas, inercias, cargas aplicadas, fuerzas internas. Se define un nudo inicial y final, se define un vector de posición: dirección y sentido (positivo o negativo). Relación entre coordenadas locales y globales. Øx, Øy, Øz: Cosenos directores
2. MÉTODO DE LA RIGIDEZ [F]=[K]{U}
{ U } = Vector de desplazamiento { Un } = Vector de desplazamiento en los nudos libres { Fn } = Vector de carga aplicada { Fa } = Reacciones de los apoyos { Ua } = Vector de desplazamiento de los nudos restringido, generalmente iguales a cero o grados de libertad prescritos. Expandiendo: [ Fn ] = [ Knn ] { Un } + [ Kna ]{ Ua }
(1)
{ Fa } = [ Kan ]{ Un } + [ Kaa ]{ Ua }
(2)
De (1) despejo { Un } [ Kun ]{ Un } = { Fn } – [ Kna ]{ Ua } { Un } = [ Knn ]-1 { Fn } – [ Knn ]-1[ Kna ]{ Ua }
(3)
Reemplazo en (2) { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn } – [ Kan ][ Knn ]-1[ Kna ]{ Ua } + [ Kaa ]{ Ua } Factorizo : { Ua }
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Análisis Estructural II
{ Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn } – [[ Kan ][ Knn ]-1[ Kna ]+[ Kaa ]]{ Ua } (4) Para desplazamientos iguales a cero en los apoyos: { Un } = [ Knn ]-1{ Fn } { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn } - Se supone el siguiente elemento en coordenadas locales: i, j = nudos
- Fuerzas de extremo:
- Grados de libertad del elemento:
Existen 3 grados de libertad libres por nudo en el caso plano.
3. MÉTODO DE LA RIGIDEZ DE UNA BARRA PRISMÁTICA
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Análisis Estructural II
U = desplazamiento axial A = sección transversal L = longitud E = módulo de elasticidad
Fuerza en el resorte Rigidez axial, fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario U=1
La matriz de rigidez en coordenadas locales se arma de la siguiente manera: Se suelta un extremo, y se le da un desplazamiento unitario Uj = 1
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Análisis Estructural II
Kij = Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en j Uxj = 1. Se suelta el nudo i :
Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en i.
Esta matriz se aplica en armaduras o cerchas espaciales. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA CERCHA PLANA Grados de libertad globales
Fuerzas locales
En coordenadas locales: { FL } = [ K ]L { UL }
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Análisis Estructural II
Se proyectan las leyes globales sobre los ejes locales en el nudo i y j. UxiL = Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø UyiL = - Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø
C = Cos Ø
UxjL = Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø
S = Sen Ø
UyjL = - Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø Reemplazando: en { FL } = [ K ]L { UL }
Para las fuerzas se tiene: { FL } = [ T ]{ F } [ T ] = Matriz de transformación { F } = [ T ]-1{ FL } Para matrices simétricas y ortogonales [ T ]-1 = [ T ]T { F } = [ T ]T{ FL } Para los desplazamientos { UL } = [ T ]{ U }
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Análisis Estructural II
{ U } = [ T ]-1 { UL } { U } = [ T ]T { UL } Reemplazando en { F } = [ T ]T{ FL } { FL } = [ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T[ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T[ K ]L[ T ]{ U } [ K ] = [ T ]T[ K ]L[ T ] Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento.
PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Equilibrio: La matriz relaciona desplazamientos de extremo de un elemento con unas fuerzas de extremo en equilibrio. Cualquier desplazamiento ocasiona un conjunto de fuerzas en equilibrio.
Movimiento de un Cuerpo Rígido
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Análisis Estructural II
Si a un punto se le genera un desplazamiento correspondiente a un cuerpo rígido, no se desarrollaran fuerzas sobre los extremos de los elementos. No hay cambio de longitud del elemento.
Reemplazando en la columna respectiva
Reemplazando en la matriz completa del elemento y despejando: Fyi = Fyj = 0 ; Fxi = Fxj = 0 ; Mi = Mj = 0
Singularidad La matriz de rigidez de un elemento es singular, osea que no tiene inversa, es decir que es autoequilibrante para cualquier conjunto de desplazamientos, matemáticamente significa que las columnas 1 y 4, 2 y 5, 3 y 6 son linealmente dependientes, y esta es la base de la definición de una matriz singular. En este sistema hay 3 reacciones independientes y las otras 3, son el resultado de una combinación lineal. La matriz de rigidez del sistema estructural estará formada por matrices singulares de los elementos, pero para solucionar el sistema los movimientos del sistema deben de estar restringidos por soportes externos. Simetría Consecuencia del teorema reciproco de Maxwell, también demostrable por el teorema de Castigliano, que indica que los términos fuera de la diagonal son iguales y por lo tanto simétricos.
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CARGAS EQUIVALENTES ELEMENTO
Análisis Estructural II
EN
LAS
JUNTAS
PARA
CARGAS
SOBRE
EL
{F}=[K]{U} { F } = Vector de carga que debe generar el mismo desplazamiento { U } que las cargas reales.
Caso 1 : Cargas reales
Caso 2 : Cargas reales + conjunto de cargas restrictivas para impedir rotación y traslación de juntas. La suma de 2 y 3: es estáticamente igual al sistema real
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Análisis Estructural II
Caso 3: Cargas equivalentes en las juntas. Para cancelar cargas restrictivas. De magnitud igual pero sentido opuesto. Producen los mismos desplazamientos que las cargas reales.
Las cargas equivalentes se calculan a partir de las acciones de extremo fijo. Sobre los extremos de los elementos (F.E.A.), no pueden desplazarse ni girar (empotrado) El equilibrio en el nudo será:
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Análisis Estructural II
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BAJO FLEXIÓN Y CORTANTE Ocurre un desplazamiento U y un giro θ en un extremo, las fuerzas de extremo producido por el desplazamiento serán:
U = desplazamiento extremo Θ = Rotación en un extremo Del método de la viga conjugada y haciendo un desplazamiento unitario Uy = 1
Ensamblando la matriz de rigidez.
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Análisis Estructural II
PROBLEMA N° 01 - VIGA: Para la viga mostrada en la figura dibujar los DMF. y DFC. Considerar EI=constante.
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento.
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Análisis Estructural II
Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura:
Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento:
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Análisis Estructural II
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Análisis Estructural II
Diagrama de momento flector y fuerza cortante:
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Análisis Estructural II
PROBLEMA N° 02 – MARCO PLANO: En el marco plano de la figura 11.9 actúa la carga uniforme distribuida de magnitud 4.41 T/m sobre el elemento 2 como se indica en la figura 11.9. Resolver este problema considerando el mismo sistema de coordenadas Q - q y P - p del ejemplo 4. En consecuencia la matriz de rigidez de la estructura es la misma debiendo iniciar el cálculo a partir del vector de cargas generalizadas.
SOLUCIÓN
En éste caso existe problema primario el mismo que se presenta en la figura 11.10. Por lo tanto para calcular las fuerzas y momentos finales habrá que sumar a las cargas del problema complementario las acciones del problema primario. Los vectores Q de cargas generalizadas y q de coordenadas generalizadas que se obtienen a partir de la ecuación básica de estructuras Q = K q resultan.
Para calcular las deformaciones
p se realiza: p A q
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Análisis Estructural II
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
Con los valores obtenidos la solución del problema complementario es la siguiente:
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Análisis Estructural II
Solución del Problema complementario Al efectuar la suma algebraica del problema primario indicado en la figura 11.10 con la solución del problema complementario que se acaba de indicar se encuentra la solución final.
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METODO DIRECTO DE MATRIZ DE RIGIDEZ
CONCEPTO: Consiste en describir matemáticamente una estructura continua, por medio de un modelo matemático discreto de múltiples ecuaciones simultaneas, concentrando la masa de los elementos estructurales en los nudos. · Se desarrolló con base en uno de los principios del equilibrio: La compatibilidad Fuerza-Desplazamiento · Las ecuaciones se escriben en función de los Grados de Libertad (GL) del sistema. · La matriz estática de rigidez tiene el orden igual a los GL del sistema (libres o restringidos) · La relación fuerza-desplazamiento se puede representar por : [F]=[K]{U} [ K ] = Matriz de rigidez [ F ] =Vector de fuerzas { U } = Vector de desplazamiento Rigidez: Fuerza o momento necesario para producir un desplazamiento o rotación unitaria en la dirección de la fuerza aplicada.
1. SISTEMA DE COORDENADAS Se utiliza un sistema ortogonal, cartesiano y de mano derecha (Dextrógiro), se usan 2 sistemas: 1.1 Sistema de coordenadas globales: Se utiliza para referenciar toda la estructura, nudos, cargas, desplazamientos y reacciones. Se usan 2 sistemas de coordenadas globales dependiendo del tipo de estructuras.
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Análisis Estructural II
1.2 Sistema de coordenadas locales Se utiliza para referenciar los elementos estructurales; como dimensiones, áreas, inercias, cargas aplicadas, fuerzas internas. Se define un nudo inicial y final, se define un vector de posición: dirección y sentido (positivo o negativo). Relación entre coordenadas locales y globales. Øx, Øy, Øz: Cosenos directores
2. MÉTODO DE LA RIGIDEZ [F]=[K]{U}
{ U } = Vector de desplazamiento { Un } = Vector de desplazamiento en los nudos libres { Fn } = Vector de carga aplicada { Fa } = Reacciones de los apoyos { Ua } = Vector de desplazamiento de los nudos restringido, generalmente iguales a cero o grados de libertad prescritos. Expandiendo: [ Fn ] = [ Knn ] { Un } + [ Kna ]{ Ua }
(1)
{ Fa } = [ Kan ]{ Un } + [ Kaa ]{ Ua }
(2)
De (1) despejo { Un } [ Kun ]{ Un } = { Fn } – [ Kna ]{ Ua } { Un } = [ Knn ]-1 { Fn } – [ Knn ]-1[ Kna ]{ Ua }
(3)
Reemplazo en (2) { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn } – [ Kan ][ Knn ]-1[ Kna ]{ Ua } + [ Kaa ]{ Ua } Factorizo : { Ua }
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{ Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn } – [[ Kan ][ Knn ]-1[ Kna ]+[ Kaa ]]{ Ua } (4) Para desplazamientos iguales a cero en los apoyos: { Un } = [ Knn ]-1{ Fn } { Fa } = [ Kan ][ Knn ]-1{ Fn } - Se supone el siguiente elemento en coordenadas locales: i, j = nudos
- Fuerzas de extremo:
- Grados de libertad del elemento:
Existen 3 grados de libertad libres por nudo en el caso plano.
3. MÉTODO DE LA RIGIDEZ DE UNA BARRA PRISMÁTICA
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Análisis Estructural II
U = desplazamiento axial A = sección transversal L = longitud E = módulo de elasticidad
Fuerza en el resorte Rigidez axial, fuerza necesaria para producir un desplazamiento unitario U=1
La matriz de rigidez en coordenadas locales se arma de la siguiente manera: Se suelta un extremo, y se le da un desplazamiento unitario Uj = 1
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Kij = Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en j Uxj = 1. Se suelta el nudo i :
Rigidez en el nudo i debido a un desplazamiento en i.
Esta matriz se aplica en armaduras o cerchas espaciales. MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA CERCHA PLANA Grados de libertad globales
Fuerzas locales
En coordenadas locales: { FL } = [ K ]L { UL }
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Se proyectan las leyes globales sobre los ejes locales en el nudo i y j. UxiL = Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø UyiL = - Uxi Cos Ø + Uyi Sen Ø
C = Cos Ø
UxjL = Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø
S = Sen Ø
UyjL = - Uxj Cos Ø + Uyj Sen Ø Reemplazando: en { FL } = [ K ]L { UL }
Para las fuerzas se tiene: { FL } = [ T ]{ F } [ T ] = Matriz de transformación { F } = [ T ]-1{ FL } Para matrices simétricas y ortogonales [ T ]-1 = [ T ]T { F } = [ T ]T{ FL } Para los desplazamientos { UL } = [ T ]{ U }
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{ U } = [ T ]-1 { UL } { U } = [ T ]T { UL } Reemplazando en { F } = [ T ]T{ FL } { FL } = [ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T[ K ]L{ UL } { F } = [ T ]T[ K ]L[ T ]{ U } [ K ] = [ T ]T[ K ]L[ T ] Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento.
PROPIEDADES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ Equilibrio: La matriz relaciona desplazamientos de extremo de un elemento con unas fuerzas de extremo en equilibrio. Cualquier desplazamiento ocasiona un conjunto de fuerzas en equilibrio.
Movimiento de un Cuerpo Rígido
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Si a un punto se le genera un desplazamiento correspondiente a un cuerpo rígido, no se desarrollaran fuerzas sobre los extremos de los elementos. No hay cambio de longitud del elemento.
Reemplazando en la columna respectiva
Reemplazando en la matriz completa del elemento y despejando: Fyi = Fyj = 0 ; Fxi = Fxj = 0 ; Mi = Mj = 0
Singularidad La matriz de rigidez de un elemento es singular, osea que no tiene inversa, es decir que es autoequilibrante para cualquier conjunto de desplazamientos, matemáticamente significa que las columnas 1 y 4, 2 y 5, 3 y 6 son linealmente dependientes, y esta es la base de la definición de una matriz singular. En este sistema hay 3 reacciones independientes y las otras 3, son el resultado de una combinación lineal. La matriz de rigidez del sistema estructural estará formada por matrices singulares de los elementos, pero para solucionar el sistema los movimientos del sistema deben de estar restringidos por soportes externos. Simetría Consecuencia del teorema reciproco de Maxwell, también demostrable por el teorema de Castigliano, que indica que los términos fuera de la diagonal son iguales y por lo tanto simétricos.
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CARGAS EQUIVALENTES ELEMENTO
Análisis Estructural II
EN
LAS
JUNTAS
PARA
CARGAS
SOBRE
EL
{F}=[K]{U} { F } = Vector de carga que debe generar el mismo desplazamiento { U } que las cargas reales.
Caso 1 : Cargas reales
Caso 2 : Cargas reales + conjunto de cargas restrictivas para impedir rotación y traslación de juntas. La suma de 2 y 3: es estáticamente igual al sistema real
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Caso 3: Cargas equivalentes en las juntas. Para cancelar cargas restrictivas. De magnitud igual pero sentido opuesto. Producen los mismos desplazamientos que las cargas reales.
Las cargas equivalentes se calculan a partir de las acciones de extremo fijo. Sobre los extremos de los elementos (F.E.A.), no pueden desplazarse ni girar (empotrado) El equilibrio en el nudo será:
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MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO BAJO FLEXIÓN Y CORTANTE Ocurre un desplazamiento U y un giro θ en un extremo, las fuerzas de extremo producido por el desplazamiento serán:
U = desplazamiento extremo Θ = Rotación en un extremo Del método de la viga conjugada y haciendo un desplazamiento unitario Uy = 1
Ensamblando la matriz de rigidez.
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PROBLEMA N° 01 - VIGA: Para la viga mostrada en la figura dibujar los DMF. y DFC. Considerar EI=constante.
SOLUCIÓN: Ensamblamos la matriz de rigidez de cada elemento.
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Análisis Estructural II
Ensamblamos la matriz de rigidez de la estructura:
Vector de fuerzas de empotramiento perfecto de cada elemento:
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Análisis Estructural II
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Análisis Estructural II
Diagrama de momento flector y fuerza cortante:
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Análisis Estructural II
PROBLEMA N° 02 – MARCO PLANO: En el marco plano de la figura 11.9 actúa la carga uniforme distribuida de magnitud 4.41 T/m sobre el elemento 2 como se indica en la figura 11.9. Resolver este problema considerando el mismo sistema de coordenadas Q - q y P - p del ejemplo 4. En consecuencia la matriz de rigidez de la estructura es la misma debiendo iniciar el cálculo a partir del vector de cargas generalizadas.
SOLUCIÓN
En éste caso existe problema primario el mismo que se presenta en la figura 11.10. Por lo tanto para calcular las fuerzas y momentos finales habrá que sumar a las cargas del problema complementario las acciones del problema primario. Los vectores Q de cargas generalizadas y q de coordenadas generalizadas que se obtienen a partir de la ecuación básica de estructuras Q = K q resultan.
Para calcular las deformaciones
p se realiza: p A q
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Análisis Estructural II
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
Con los valores obtenidos la solución del problema complementario es la siguiente:
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Solución del Problema complementario Al efectuar la suma algebraica del problema primario indicado en la figura 11.10 con la solución del problema complementario que se acaba de indicar se encuentra la solución final.
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