Cuadra Tica n1t1q
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- Words: 5,864
- Pages: 11
–9– 7.
m15/5/MATME/SP2/eng/TZ2/XX
[Maximum mark: 8] Let f ( x) = kx 2 + kx and g ( x) = x − 0.8 . The graphs of f and g intersect at two distinct points. Find the possible values of k .
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–2–
No se otorgará necesariamente la máxima puntuación a una respuesta correcta que no esté acompañada de un procedimiento. Las respuestas deben estar sustentadas en un procedimiento o en explicaciones. Aun cuando una respuesta sea errónea, podrán otorgarse algunos puntos si el método empleado es correcto, siempre que aparezca por escrito. Por lo tanto, se aconseja mostrar todo el procedimiento seguido.
Sección A Conteste todas las preguntas en las casillas provistas. De ser necesario, se puede continuar desarrollando la respuesta en el espacio que queda debajo de las líneas. 1.
[Puntuación máxima: 6] La siguiente figura muestra una parte del gráfico de la función cuadrática f .
y
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
El vértice se encuentra en (3 , −1) y los puntos de corte con el eje x están en 2 y en 4. La función f se puede escribir en la forma f (x) = (x − h)2 + k . (a)
Escriba el valor de h y el de k .
[2]
La función se puede escribir también en la forma f (x) = (x − a) (x − b) . (b)
Escriba el valor de a y el de b .
[2]
(c)
Halle el punto de corte con el eje y .
[2]
(Esta pregunta continúa en la página siguiente)
16EP02
–4– 2.
M17/5/MATME/SP1/ENG/TZ1/XX
[Maximum mark: 5] Let f (x) = 5x and g (x) = x2 + 1 , for x ∈ . (a)
Find f -1 (x) .
[2]
(b)
Find ( f ° g) (7) .
[3]
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12EP04
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Do not write solutions on this page.
Section B Answer all questions in the answer booklet provided. Please start each question on a new page. 8.
[Maximum mark: 17] A line L1 es through the points A (0 , 1 , 8) and B (3 , 5 , 2) . →
(a) (i) Find AB . (ii)
Hence, write down a vector equation for L1 .
[4]
1 p = r 13 + s 0 . (b) A second line L2 , has equation -14 1
9.
Given that L1 and L2 are perpendicular, show that p = 2 .
[3]
(c)
The lines L1 and L2 intersect at C (9 , 13 , z) . Find z .
[5]
(d)
(i)
Find a unit vector in the direction of L2 .
(ii)
Hence or otherwise, find one point on L2 which is
5 units from C.
[5]
[Maximum mark: 14] A quadratic function f can be written in the form f (x) = a (x - p) (x - 3) . The graph of f has axis of symmetry x = 2.5 and y-intercept at (0 , -6) . (a)
Find the value of p .
[3]
(b)
Find the value of a .
[3]
(c)
The line y = kx - 5 is a tangent to the curve of f . Find the values of k .
[8]
Turn over 12EP11
–8– 6.
M17/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX
[Puntuación máxima: 8] Sean f (x) = x2 - 1 y g (x) = x2 - 2 , para x ∈ . (a)
Muestre que ( f ° g) (x) = x4 - 4x2 + 3 .
[2]
(b)
En la siguiente cuadrícula, dibuje aproximadamente el gráfico de ( f ° g) (x) , para 0 ≤ x ≤ 2,25 .
[3]
y 10
5
0
(c)
1
2
x
La ecuación ( f ° g) (x) = k tiene exactamente dos soluciones, para 0 ≤ x ≤ 2,25 . Halle los posibles valores de k .
(Esta pregunta continúa en la página siguiente)
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[3]
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N15/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX
No escriba soluciones en esta página.
Sección B Conteste todas las preguntas en el cuadernillo de respuestas provisto. Empiece una página nueva para cada respuesta. 8.
[Puntuación máxima: 16] La siguiente figura muestra una parte del gráfico de la función cuadrática f . y
x
(0, c) (1, –9) El vértice está situado en (1 , −9) , y el gráfico corta al eje y en el punto (0 , c) . La función se puede escribir de la forma f (x) = (x − h)2 + k . (a)
Escriba el valor de h y el de k .
[2]
(b)
Halle el valor de c .
[2]
Sea g (x) = −(x − 3)2 + 1 . El gráfico de g se obtiene realizando una simetría del gráfico de f
p q
respecto al eje x , seguida de la traslación . (c)
Halle el valor de p y el de q .
[5]
(d)
Halle la coordenada x de los puntos de intersección de los gráficos de f y g .
[7]
16EP10
–2–
N16/5/MATME/SP1/ENG/TZ0/XX
Full marks are not necessarily awarded for a correct answer with no working. Answers must be ed by working and/or explanations. Where an answer is incorrect, some marks may be given for a correct method, provided this is shown by written working. You are therefore advised to show all working.
Section A Answer all questions in the boxes provided. Working may be continued below the lines if necessary. 1.
[Maximum mark: 6] Let f (x) = x2 − 4x + 5 . (a)
Find the equation of the axis of symmetry of the graph of f .
[2]
The function can also be expressed in the form f (x) = (x − h)2 + k . (b) (i) (ii)
Write down the value of h . Find the value of k .
[4]
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12EP02
–8– 7.
N16/5/MATME/SP1/ENG/TZ0/XX
[Maximum mark: 7]
1 , for x ≠ 0 . The line y = x − m intersects the graph of f in two distinct x points. Find the possible values of m . Let f ( x) = m −
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12EP08
– 11 –
M14/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX
NO escriba soluciones en esta página. SECCIÓN B Conteste todas las preguntas en el cuadernillo de respuestas provisto. Empiece una página nueva para cada respuesta. 8.
[Puntuación máxima: 15]
Sea f ( x) = 3 x 2 − 6 x + p . La ecuación f ( x) = 0 tiene dos raíces iguales. (a)
(i)
Escriba el valor del discriminante. [3]
(ii) A partir de lo anterior, muestre que p = 3 .
El vértice del gráfico f está situado sobre el eje x .
(b) Halle las coordenadas del vértice del gráfico de f .
(c)
[4] [1]
Escriba la solución de f ( x) = 0 .
(d) La función se puede escribir de la forma f ( x) = a ( x − h) 2 + k . Escriba el valor de (i)
a ;
(ii) h ;
(e)
(iii) k .
[3]
El gráfico de la función g se obtiene a partir del gráfico de f , mediante una simetría 0 de f respecto al eje x , seguida de una traslación por el vector . Halle g , de la 6 forma g ( x) = Ax2 + Bx + C .
[4]
Véase al dorso 16EP11
– 10 –
m15/5/MATME/SP1/eng/TZ2/XX
Do not write solutions on this page.
Section B Answer all questions in the answer booklet provided. Please start each question on a new page. 8.
[Maximum mark: 15]
Let f ( x ) = a ( x + 3)( x − 1) . The following diagram shows part of the graph of f .
y
12
f
p
q
x
The graph has x-intercepts at ( p , 0) and ( q , 0) , and a y-intercept at (0 , 12) .
(a)
(i)
Write down the value of p and of q .
(ii)
Find the value of a .
(b)
Find the equation of the axis of symmetry of the graph of f .
[3]
(c)
Find the largest value of f .
[3]
The function f can also be written as f ( x ) = a ( x − h)2 + k .
(d)
[6]
Find the value of h and of k .
[3]
12EP10
–7– 6.
m15/5/MATME/SP1/eng/TZ1/XX
[Maximum mark: 6]
Let f ( x) = px 2 + (10 − p ) x +
5 p −5. 4
(a) Show that the discriminant of f (x) is 100 − 4p2 .
[3]
(b) Find the values of p so that f (x) = 0 has two equal roots.
[3]
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Turn over 12EP07
m15/5/MATME/SP2/eng/TZ2/XX
[Maximum mark: 8] Let f ( x) = kx 2 + kx and g ( x) = x − 0.8 . The graphs of f and g intersect at two distinct points. Find the possible values of k .
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M16/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX
–2–
No se otorgará necesariamente la máxima puntuación a una respuesta correcta que no esté acompañada de un procedimiento. Las respuestas deben estar sustentadas en un procedimiento o en explicaciones. Aun cuando una respuesta sea errónea, podrán otorgarse algunos puntos si el método empleado es correcto, siempre que aparezca por escrito. Por lo tanto, se aconseja mostrar todo el procedimiento seguido.
Sección A Conteste todas las preguntas en las casillas provistas. De ser necesario, se puede continuar desarrollando la respuesta en el espacio que queda debajo de las líneas. 1.
[Puntuación máxima: 6] La siguiente figura muestra una parte del gráfico de la función cuadrática f .
y
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
El vértice se encuentra en (3 , −1) y los puntos de corte con el eje x están en 2 y en 4. La función f se puede escribir en la forma f (x) = (x − h)2 + k . (a)
Escriba el valor de h y el de k .
[2]
La función se puede escribir también en la forma f (x) = (x − a) (x − b) . (b)
Escriba el valor de a y el de b .
[2]
(c)
Halle el punto de corte con el eje y .
[2]
(Esta pregunta continúa en la página siguiente)
16EP02
–4– 2.
M17/5/MATME/SP1/ENG/TZ1/XX
[Maximum mark: 5] Let f (x) = 5x and g (x) = x2 + 1 , for x ∈ . (a)
Find f -1 (x) .
[2]
(b)
Find ( f ° g) (7) .
[3]
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12EP04
– 11 –
M17/5/MATME/SP1/ENG/TZ1/XX
Do not write solutions on this page.
Section B Answer all questions in the answer booklet provided. Please start each question on a new page. 8.
[Maximum mark: 17] A line L1 es through the points A (0 , 1 , 8) and B (3 , 5 , 2) . →
(a) (i) Find AB . (ii)
Hence, write down a vector equation for L1 .
[4]
1 p = r 13 + s 0 . (b) A second line L2 , has equation -14 1
9.
Given that L1 and L2 are perpendicular, show that p = 2 .
[3]
(c)
The lines L1 and L2 intersect at C (9 , 13 , z) . Find z .
[5]
(d)
(i)
Find a unit vector in the direction of L2 .
(ii)
Hence or otherwise, find one point on L2 which is
5 units from C.
[5]
[Maximum mark: 14] A quadratic function f can be written in the form f (x) = a (x - p) (x - 3) . The graph of f has axis of symmetry x = 2.5 and y-intercept at (0 , -6) . (a)
Find the value of p .
[3]
(b)
Find the value of a .
[3]
(c)
The line y = kx - 5 is a tangent to the curve of f . Find the values of k .
[8]
Turn over 12EP11
–8– 6.
M17/5/MATME/SP2/SPA/TZ0/XX
[Puntuación máxima: 8] Sean f (x) = x2 - 1 y g (x) = x2 - 2 , para x ∈ . (a)
Muestre que ( f ° g) (x) = x4 - 4x2 + 3 .
[2]
(b)
En la siguiente cuadrícula, dibuje aproximadamente el gráfico de ( f ° g) (x) , para 0 ≤ x ≤ 2,25 .
[3]
y 10
5
0
(c)
1
2
x
La ecuación ( f ° g) (x) = k tiene exactamente dos soluciones, para 0 ≤ x ≤ 2,25 . Halle los posibles valores de k .
(Esta pregunta continúa en la página siguiente)
16EP08
[3]
– 10 –
N15/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX
No escriba soluciones en esta página.
Sección B Conteste todas las preguntas en el cuadernillo de respuestas provisto. Empiece una página nueva para cada respuesta. 8.
[Puntuación máxima: 16] La siguiente figura muestra una parte del gráfico de la función cuadrática f . y
x
(0, c) (1, –9) El vértice está situado en (1 , −9) , y el gráfico corta al eje y en el punto (0 , c) . La función se puede escribir de la forma f (x) = (x − h)2 + k . (a)
Escriba el valor de h y el de k .
[2]
(b)
Halle el valor de c .
[2]
Sea g (x) = −(x − 3)2 + 1 . El gráfico de g se obtiene realizando una simetría del gráfico de f
p q
respecto al eje x , seguida de la traslación . (c)
Halle el valor de p y el de q .
[5]
(d)
Halle la coordenada x de los puntos de intersección de los gráficos de f y g .
[7]
16EP10
–2–
N16/5/MATME/SP1/ENG/TZ0/XX
Full marks are not necessarily awarded for a correct answer with no working. Answers must be ed by working and/or explanations. Where an answer is incorrect, some marks may be given for a correct method, provided this is shown by written working. You are therefore advised to show all working.
Section A Answer all questions in the boxes provided. Working may be continued below the lines if necessary. 1.
[Maximum mark: 6] Let f (x) = x2 − 4x + 5 . (a)
Find the equation of the axis of symmetry of the graph of f .
[2]
The function can also be expressed in the form f (x) = (x − h)2 + k . (b) (i) (ii)
Write down the value of h . Find the value of k .
[4]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12EP02
–8– 7.
N16/5/MATME/SP1/ENG/TZ0/XX
[Maximum mark: 7]
1 , for x ≠ 0 . The line y = x − m intersects the graph of f in two distinct x points. Find the possible values of m . Let f ( x) = m −
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12EP08
– 11 –
M14/5/MATME/SP1/SPA/TZ0/XX
NO escriba soluciones en esta página. SECCIÓN B Conteste todas las preguntas en el cuadernillo de respuestas provisto. Empiece una página nueva para cada respuesta. 8.
[Puntuación máxima: 15]
Sea f ( x) = 3 x 2 − 6 x + p . La ecuación f ( x) = 0 tiene dos raíces iguales. (a)
(i)
Escriba el valor del discriminante. [3]
(ii) A partir de lo anterior, muestre que p = 3 .
El vértice del gráfico f está situado sobre el eje x .
(b) Halle las coordenadas del vértice del gráfico de f .
(c)
[4] [1]
Escriba la solución de f ( x) = 0 .
(d) La función se puede escribir de la forma f ( x) = a ( x − h) 2 + k . Escriba el valor de (i)
a ;
(ii) h ;
(e)
(iii) k .
[3]
El gráfico de la función g se obtiene a partir del gráfico de f , mediante una simetría 0 de f respecto al eje x , seguida de una traslación por el vector . Halle g , de la 6 forma g ( x) = Ax2 + Bx + C .
[4]
Véase al dorso 16EP11
– 10 –
m15/5/MATME/SP1/eng/TZ2/XX
Do not write solutions on this page.
Section B Answer all questions in the answer booklet provided. Please start each question on a new page. 8.
[Maximum mark: 15]
Let f ( x ) = a ( x + 3)( x − 1) . The following diagram shows part of the graph of f .
y
12
f
p
q
x
The graph has x-intercepts at ( p , 0) and ( q , 0) , and a y-intercept at (0 , 12) .
(a)
(i)
Write down the value of p and of q .
(ii)
Find the value of a .
(b)
Find the equation of the axis of symmetry of the graph of f .
[3]
(c)
Find the largest value of f .
[3]
The function f can also be written as f ( x ) = a ( x − h)2 + k .
(d)
[6]
Find the value of h and of k .
[3]
12EP10
–7– 6.
m15/5/MATME/SP1/eng/TZ1/XX
[Maximum mark: 6]
Let f ( x) = px 2 + (10 − p ) x +
5 p −5. 4
(a) Show that the discriminant of f (x) is 100 − 4p2 .
[3]
(b) Find the values of p so that f (x) = 0 has two equal roots.
[3]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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