Derivada De Orden Superior E Implicita 5io58

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR La derivada de orden superior es la derivada de otra derivada. Por ejemplo, la derivada segunda será la derivada de la primera derivad, la tercera de la segunda, la cuarta de la tercera y así sucesivamente hasta la derivaba enésima que será la derivada de su anterior. Se denotan : F``(x) = ylL = = F```(x) = ylll = F`(x) = yl = Así sucesivamente hasta Fn(x) = yn = Una función puede ser derivada tantas veces como se quiera o hasta donde se pueda, ya que hay funciones que pueden derivarse solo una vez, o tres, mas y hasta infinitas veces. Ejemplos: a) Hallar la

de la siguiente función

F(x) =

√

√

√ √

+

√2

-5

Para resolver este tipo de ejercicios es muy importante invertir tiempo en arreglas antes de derivar. Adamas de quitar las raíces debemos, para aligerar y facilitar el cálculo, evitar los productos, los cocientes y las reglas de la cadena. Para ello debemos subir las variables, usar multiplicación de polinomios, y separas las raíces, Veamos como:

F(x) =

√

-

√2

+

5

Multiplicando las bases y sumando los exponentes nos queda:

√2

F(x) =

5

Ahora si procedemos a derivar, Buscamos la primera derivada:

3√ 2

Y`= Buscamos la segunda:

6√ 2

Y`` = Finalmente la tercera derivada

2

Y``=

6√2

Quitando los exponentes negativos y fraccionados nos queda: Y```=

=

√

√

b) Halle la ylll =

de la

siguiente función

F(x) =

Podemos resolverla tal como está o tratar de simplificar para derivar cómodamente. Simplificamos.

Sacamos factos común, factorizamos y simplificamos. F(x)

= Æ f`(x)

F`(x) = Buscamos la segunda derivada F``(x) =8 Finalmente buscamos la tercera F```=(x) = 16 f```(x) =

Æ

4

DERIVADA IMPLÍCITA Se utiliza cuando la función esta expresad de forma implícita f(x,y)=0 y no podemos convertirla en una función explicita y= f(x) ó x= f(y). Por ejemplo 4x2y-2x4+x3y2 -3y=0

Como tanto x y y pertenecen a la función podemos derivar cualquiera de las dos por lo tanto si nos piden la derivamos implícitamente. Para ello debemos seguir los siguientes pasos: • Ambas variables se derivan. Por lo tanto si xy y se multiplican ó dividen hay que usar la regla del producto o del cociente según el caso. • Dependiendo del diferencial pedido:

voy a

multiplicarlo, al derivarlo, por sí mismo; es decir si me piden por

cada vez

`

que derive x voy a multiplicarlo

y si me piden

voy a multiplicarlo por

cada vez que derive y

=y

• Una vez derivada la función, agrupando términos y sacando factor común despejamos el diferencial, y esa será la derivada implícita de la función. Como recomendación para facilitar el cálculo evitemos regla de la cadena y cocientes.

Ejemplo Halle

y

de la función 4x2y-2x4+x3y2 -3y=0

Buscamos primero multiplicamos por

es decir que cada vea que derivemos x ó por x`, como da lo mismo en los ejemplos

multiplicaremos por x` por ser más cómodo. (8x2x`)(y) + (4x2)(1)-8x3x`+(3x2x`)(y2)+(x3)(2y) -3=0 Despejamos el diferencial en este caso lo llamamos x`, para ello agrupamos términos y sacamos factor común. 8x2x`y-8x3x`+3x2x`y2 = - 4x2- x32y +3 X`( 8x2y-8x3+3x2y2) = - 4x2- 2x3y +3 Finalmente al despejar

nos queda

X`= Buscamos ahora

básicamente es lo mismo, solo que ahora

cuando derivemos “y” multiplicamos por

ò por y` que es lo

mismo. Derivamos la función dada: 4x2y-2x4+x3y2 -3y=0 (8x2)(y) + (4x2)(y`)-8x3 +(3x2)(y2)+(x3)(2yy`) -3y`=0

4x2y` + 2x32yy` - 3y`= -8x2y +8x3-3x2y2 Y`( 4x2 + 2x32y – 3) = -8x2y +8x3-3x2y2

Finalmente al despejar

Y`=

nos queda

=

Nótese que el resultado de uno es el inverso negativo del otro.