Derivadas Sucesivas 4a6k6p

DERIVADAS SUCESIVAS df ó f ' , si ahora derivamos dx la derivada de la función hemos encontrado la derivada de la derivada, es decir, la segunda d2 f derivada de f con respecto a x y se denota como en donde d 2 f nos dice que estamos 2 dx 2 derivando dos veces la función f y dx nos dice que las dos veces estamos derivando con respecto a x . La derivada de una función f  x  con respecto a x se denota como

Otra forma de denotar la segunda derivada es f ''  x  sin embargo con este tipo de notación en una función implícita no sabemos con respecto a que variable estamos derivando; este tipo de notación se utiliza cuando suponemos que las dos veces estamos derivando con respecto a x . Así como encontramos la segunda derivada derivando la primera derivada, si derivamos la segunda derivada encontramos la tercera derivada de f con respecto a x . Si repetimos este proceso de derivación estamos calculando las derivadas sucesivas de una función f con respecto a x.

En general la expresión

Ejemplo 1 Calcular

la

dn f representa la enésima derivada de f con respecto a x . dx n

segunda

derivada

de

f  x   3x 2

la

primera

derivada

es

primera

derivada

es

df d2 f  3(2) x 21  6 x y la segunda derivada es 6. dx dx 2 Ejemplo 2 Calcular

la

tercera

derivada

de

g  x   5x4

la

dg d 2g  5(4) x 41  20 x3 la segunda derivada es  20  3 x 31  60 x 2 y la tercera 2 dx dx 3 d g derivada es  60  2  x 21  120 x . dx 3 Ejemplo 3 Calcular la segunda derivada de f  x    2 x 5  x  definimos 5

u  x   2x  x 5

y

5

para calcular la primera derivada f  u   u5 ,

entonces

4 df du d    2 x 5  x   5u 4   10 x 4  1  5  2 x 5  x    10 x 4  1 , para calcular la dx du dx

segunda derivada utilizamos regla de la cadena y la segunda derivada es 4 d 4 d2 f d  5  2 x 5  x    10 x 4 1  10 x 4 1 5  2 x5 x   2 dx dx dx  5  2 x5  x 

4

 40 x    10 x 3

4

 1 20  2 x5  x   10 x 4  1  200 x 3  2 x 5  x   20  10 x 4  1 3

4

2

 2x

5

 x

Ejemplo 4 Encuentra la tercera derivada de h( x)  5 sen x la primera derivada es: d h '( x)  5 sen x  5 cos x , la segunda derivada es: dx d h ''( x)  5 cos x  5  sen x   5sen x y la tercera derivada es: dx d h '''( x)  5 sen x  5cos x . dx cuarta derivada de g ( x)   tan x la primera derivada es: d g '( x)   tan x   sec 2 x , la segunda derivada por regla de la cadena es: dx d g ''( x)   sec 2 x   2sec x sec x tan x  2 sec 2 x tan x y la tercera derivada la dx calculamos por regla de la cadena y tenemos: d d   g '''( x)  2  sec 2 x tan x  tan x sec 2 x  dx dx  

Ejemplo 5 Calcular

la

 2  sec 2 x sec 2 x  tan x  2sec x sec x tan x    2  sec 4 x  2 tan 2 x sec 2 x Ejemplo 6 Calcular la segunda derivada de f  x   2 x 3  5 para calcular la primera derivada utilizamos la regla de la cadena y tenemos que 1 1   df 1   2 x 3  5  2  6 x 2  3 x 2  2 x 3 5  2 siguiendo el mismo procedimiento para dx 2 calcular la segunda derivada tenemos  12  12 d d2 f 2 d 3 3  3 x 2 x  5  2 x  5 3x 2      2 dx dx dx 3 3  1  1  1 3  3 x 2    2 x 3  5 2   2 x 3  5  2 6 x   x 2  2 x 3  5  2  6 x  2 x 3  5  2 2  2 

Ejemplo 7 Calcular la segunda derivada de

h( x )  sen 2

x 2

su primera derivada es:

x x 1 x x h '  x   2sen cos   sen cos y la segunda 2 2 2 2 2 x d x x d x h ''  x   sen cos  cos sen  2 dx 2 2 dx 2 x x 1 x x 1 1 x 1 x h ''  x   sen  sen    cos cos    sen 2  cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

derivada

es:

3

Ejemplo 8 Calcular la cuarta derivada de f ( x)  cos 6 x por regla de la cadena la primera f '  x   sen6 x  6  6 sen 6 x , la segunda derivada es: derivada es: f ''  x   6 cos 6 x 6  36 cos6 x

la

f '''  x   36  sen6 x  (6)  216 sen6 x

tercera y

la

derivada

cuarta

derivada

es: es:

f IV  x   216 cos 6 x  6   1296 cos 6 x

cuarta derivada de h( x)  6 ln x la primera derivada d 6 h '( x)  6 ln x   la segunda derivada dx x d  1 6  1 h ''( x)  6  2 la tercera derivada    6   2 dx  x x  x d  1 1 12 h '''( x)  6 y la cuarta derivada  2  6  2  3   3 dx  x  x x d  1 1 36 h IV ( x)  12  3  12  3  4  4 . dx  x  x x

Ejemplo 9 Calcular

Ejemplo 10

la

g ( x) 

Calcular la quinta derivada de

es: es: es: es:

 2x e , la primera derivada es: 2

 2x e  2    e 2x , la segunda derivada es: g ''( x)   e 2x  2   2 e 2x , la 2 2x 2x tercera derivada es: g '''( x)  2 e  2   4 e , la cuarta derivada es: g '( x) 

g IV ( x)  4 e 2x  2   8 e 2x y la quinta derivada es: g V ( x)  8 e 2x  2   16 e 2x .

Ejercicios para llevar resueltos al aula (3-dic-2013) 10 1. Encuentra la tercera derivada de f  x   2 x a) 20x 9 b) 180x8 c) 1440x 7 5 2. Encuentra la cuarta derivada de f  x   3 x 5040 630 630 a) b)  9 c) 9 9 x x x

d) 10080x 6

d) 

3 4 3. Encuentra la cuarta derivada de f  x   ax  2 x a) 6a b) 6a  48 c) 6a  48 x

5040 x9

d) 48

4. Encuentra la cuarta derivada de f  x   5 x 2 5

75 a) - 16 x

 12

b) - 758 x

 12

c) -

75 8

x

 32

8 4 5. Encuentra la tercera derivada de f  x   3 x  2 x  1

75 d) - 16 x

 32

a) 1008 x 6  48 x 2

b) 168 x 6  24 x 2

c) 168 x 5  24 x

6. Encuentra la tercera derivada de f  x    2 x  1 a) 48 x  24 b) 24 x  48 c) 24

3 32

b)

2

d) 48

4

3  x  1 32

8. Encuentra la cuarta derivada de f  x    3 x  4  a) 1620  3 x  4 

3

 x  1   4  3 1 c)  x  1 32

7. Encuentra la cuarta derivada de f  x    a)

d) 1008 x5  48 x

b) 9720  3x  4 

d)

3 2  x  1 32

5

c) 9720  3x  4 

2

d) 1620  3 x  4 

9. Encuentra la tercera derivada de f  x   3 x 4 a) 

8 27 3 x 5

b)

8

c)

27 3 x 5

93 2 x 4

d) 

10. Encuentra la tercera derivada de f  x    3 x 2  2  a) 216x

b) 108x

b) 15 x 4  2  x 5 

d) 108 x 2  24 3

3 5 c) 30 x  2  x 

2

12. Encuentra la tercera derivada de f  x    3x 3  3 3 a) 54 x  5 x  2 

2

c) 108x 2

11. Encuentra la segunda derivada de g  x    2  x 5  4 5 a) 15 x  2  x 

1  13. Encuentra la tercera derivada de h  x      5 x  2 2750 165000 165000 a) 12 b)  13 c) 13  5 x  3  5 x  3  5 x  3 14. Encuentra la segunda derivada de h( x)   x 2  6  b) 12 x 2  24

3 d) 54  5 x  2 

10



a) 12x 2

3 5 5 d) 30 x  2  x   7 x  4 

2

3 c) 108  5 x  2 

b) 1080 x 3  108

93 2 x 4

d) 

2750

 5 x  3

12

2

2 c) 4  x  6 

15. Encuentra la segunda derivada de f  x   2  x 2  x 

2

2 d) 4 x  x  6 

a)

4  10 x 2  10 x  3 x 4  x  1

b) 

4

4  10 x 2  10 x  3 x 4  x  1

c)

4

4  2 x  1

x 3  x  1

3

d) 

4  2 x  1

x3  x  1

3

16. Encuentra la tercera derivada de g ( x)  sen x 2 a) 8 x 3 cos x 2  12 x sen x 2 b) 8 x 3 cos x 2  12 x sen x 2 c) 8 x 3sen x 2  12 x cos x 2 d) 8 x 3sen x 2  12 x cos x 2 17. Encuentra la sexta derivada de f ( x)  cos x a) cos x b)  cos x c) sen x

d) sen x

18. Encuentra la cuarta derivada de y  e 3 x  4 . a) 27e 3 x  4 b) 81e 3 x  4 c) 81e 3 x  4

d) 27e 3 x  4

cos x 19. Encuentra la segunda derivada de h  x   e . a) cos x ecos x  sen 2 x ecos x b) cos x ecos x  sen 2 x ecos x c) cos x ecos x  sen 2 x ecos x d) cos x ecos x  sen 2 x ecos x

20. Encuentra la tercera derivada de h  x   3e  x . 2

2

a) 24 x 3e  x  36 xe  x 2 2 c) 24 x3e  x  36 xe x

2

2

2

b) 24 x3e  x  36e  x 2 2 d) 24 x 3e  x  36e  x

21. Encuentra la quinta derivada de f ( x)  sen x a) cos x b)  cos x c) sen x

d) sen x

22. Encuentra la tercera derivada de g ( x)  sen x 2 a) 8 x 3cos x 2  12 x sen x 2 b) 8 x 3sen x 2  12 x cos x 2 c) 8 x 3sen x 2  12 x cos x 2 d) 8 x 3sen x 2  12 x cos x 2 23. Encuentra la cuarta derivada de f ( x )  cos 6 x a) 1296 sen 6x b) 1296 cos 6x c) 1296 cos 6x

d) 1296 cos 6x

24. Encuentra la segunda derivada de h( x)  tan x 3 6 x cos x3  18 x 4 sen x 3 cos3 x3 6 x cos x3  18 x 4 sen x 3 c) cos 3 x3 a)

6 x cos x3  18 x 4 sen x 3 cos3 x3 6 x cos x 3  18 x 4 sen x 3 d) cos3 x 3 b)

25. Encuentra la tercera derivada de g ( x)  tan x

a) 6 tan 4 x  8 tan 2 x  2 c) 6 tan 4 x  8 tan 2 x  2

8 6  2 2 tan x tan 4 x 8 6  2 d) 2 tan x tan 4 x b) 

26. Encuentra la segunda derivada de f ( x)  cos x 4 a) 16 x 6 cos x 4  12 x 2 sen x 4 b) 16 x 6 cos x 4  12 x 2 sen x 4 c) 16 x 6 cos x 4  12 x 2 sen x 4 d) 16 x 6 cos x 4  12 x 2 sen x 4 2 27. Encuentra la tercera derivada de g ( x)  12 sen x a) 4 cos x sen x b) 4 cos x sen x c)  cos x sen x

d) cos x sen x

28. Encuentra la tercera derivada de h( x)  x sen 3 x a) 27 x cos 3 x  27 sen 3 x b) 27 x cos 3 x  27 sen 3 x c) 27 x cos 3 x  27 sen 3 x d) 27 x cos 3x  27 sen 3 x 29. Encuentra la cuarta derivada de g  x   ln 3 x 2 2 6 a)  3 b) 3 c)  4 x x x 2 30. Encuentra la quinta derivada de h  x   ln x 48 48 12 a) 5 b)  5 c)  4 x x x

Más ejercicios para practicar

d)

6 x4

d)

12 x4

2 Encuentra la tercera derivada de g  x   ln  x  3

1.

4 x  x2  9

a)

 x 2  3

b) 

3

4x  x2  9

 x 2  3

c) 

3

2  x 2  3

x

2

 3

d)

2

Encuentra la tercera derivada de f  x   ln 7  x 2

2. a) 

x2  7

x

2

 7

b)

2

x2  7

x

2

 7

c) 

2

2 x  x 2  21

x

2

 7

3

Encuentra la cuarta derivada de h  x   5ln  3 x  2  270 270 2430 a) 3 b)  3 c)  4  3x  2   3x  2   3x  2 

d)

2  x 2  3

x

2

 3

2

2 x  x 2  21

x

2

 7

3

3.

3 Encuentra la quinta derivada de g  x   x ln x 6 6 b)  c) x x

4. a) 

6 x2

2430

 3x  2 

4

d)

6 x2

d)

26  24 ln x x5

Encuentra la tercera derivada de h  x  

5. a)

ln x x2 24 ln x  26 c) x5

d)

5  6 ln x x4

b)

6 ln x  5 x4

2 x 6. Encuentra tercera la derivada de g  x   xe a) 8 xe 2 x  12e2 x b) 8 xe 2 x  12e 2 x c) 8 xe 2 x  12e2 x

Encuentra la tercera derivada de f  x   e3x

7. 2

a) 6 x 2 e3 x  36e3 x 8. 1  12 x a) e 16 9.

2

2

b) 36 x 2 e3 x  6e3 x

2

2

2

1

1  12 x b)  e 16

1  12 x c) e 32

1  12 x d)  e 32

x 3 Encuentra la segunda derivada de g  x   e  x  3

3 x 2 x x c)  x  3 e  6 x e  6 xe

2

c) 108 x3e3 x  216 xe3 x d) 216 x 3e3 x  108 xe3 x

Encuentra la quinta derivada de y  e  2 x

3 x 2 x x a)   x  3 e  6 x e  6 xe

10.

2

d) 8 xe 2 x  12e 2 x

3 x 2 x x b)  x  3 e  6 x e  6 xe

3 x 2 x x d)   x  3 e  6 x e  6 xe

Encuentra la segunda derivada de g  x  

ex  4 ex  5

2

a)

ex  ex  4

e

x

 5

b) 

3

ex  ex  4

e

x

 5

c) 

3

e x  e x  5

e

 5

x

d)

3

Encuentra la cuarta derivada de 2 x  1 3 3 15 a)  b) c)  5 5 7  2 x  1  2 x  1  2 x  1

e x  e x  5

e

x

 5

3

11.

Encuentra la tercera derivada de g  x    x 2  3

12.

2 a) 48 x  x  3

6 a  x

a

2

 x2 

b)

2

6  a2  2x 

 a2  x2 

c)

2

a) 720 x  x 2  3 c) x  x 2  3

2

x

2

2

x

2

 1

 1

d)  x 2  3

2

x

7

3

a

 x2 

2

 a2  x2 

b) 720  x 2  3

 2 x  1

2 2 d) 8 x  x  3  7 x  9 

2

12  5x 2  a 2 

Encuentra la tercera derivada de  x 2  3

14.

15

4

2 2 c) 48 x  x  3  7 x  9 

Encuentra la segunda derivada de g  x  

13. a)

2 b) 48 x  7 x  9 

d)

d) 

4

12  5x 2  a 2 

a

2

 x2 

4

5

2

2

x

 1

2

 1

Encuentra la tercera derivada de ln 7 x 14 ln 6 x  126 ln 5 x  210 ln 4 x 14 ln 6 x  126 ln 5 x  210 ln 4 x a) b) x3 x3 14 ln 6 x  126 ln 5 x  210 ln 4 x 14 ln 6 x  126 ln 5 x  210 ln 4 x c) d) x3 x3 15.

Encuentra la tercera derivada de h  x   e x

16. 2

a) 8 x 3e x  12 xe x 17. a) 32e 2 x

18.

2

2

b) 12 x 3e x  8 xe x

2

2

2

c) 4 x 3e x  2 xe x

Encuentra la quinta derivada de f  x   e b) 32e 2 x

3 ex

2

d) 2 x 3e x  4 xe x

2x

c) 16e 2 x

Encuentra la cuarta derivada de g  x  

2

d) 16e 2 x

2

a) 

19.

12e x e2 x

b)

12e x e2 x

 x cos 2 x  2 sen xcos x  x sen 3 x  x cos 2 x  2 sen x cos x  x c) sen 3 x

x sen x 2 x cos x  2 sen x cos x  x b) sen 3 x x cos 2 x  2 sen x cos x  x d) sen 3 x x tan x 2 x cos x  2 sen x b) sen 3 x 2 x cos x  2 sen x d) sen 3 x

Encuentra la segunda derivada de g  x  

2 x cos x  2 sen x sen 3 x 2 x cos x  2 sen x c) sen 3 x a)

3 ex

Encuentra la segunda derivada de f  x  

a)

20.

c) 

d)

3 ex