Ef - Experimento Fatorial 3z315k

Universidade Federal do Piauí Campus Universitário Profa Cinobelina Elvas



EXPERIMENTOS FATORIAIS

Profa. Gisele Rodrigues Moreira Enga. Agrônoma Dra. Genética e Melhoramento E-mail: [email protected]

1. INTRODUÇÃO São aqueles em que são estudados dois ou mais fatores simultaneamente, cada um deles com dois ou mais níveis. Exemplo: Fator → variedade Níveis → V1, V2, V3, etc. Fator → formulação (doses) Níveis → F1, F2, F3, etc.

1

Classificação dos fatores: - QUALITATIVOS - QUANTITATIVOS Ex: Fator qualitativo Fator → variedade Níveis → V1, V2, V3, etc. Ex: Fator quantitativo Fator → formulação Níveis → F1, F2, F3, etc.

Aplicação do esquema fatorial

Quando se quando se deseja estudar a influência de dois ou mais fatores sobre a variável resposta e o relacionamento entre eles.

2

Simbologia: Indicada pelo produto dos níveis dos fatores em teste. Exemplo: Fator → variedade; Níveis → V1, V2, V3 Fator → formulação; Níveis → F1, F2, F3, F4 Fatorial 3 x 4

OBS: Quando o número de níveis é igual para todos os fatores: nF Em que, F é o número de fatores n é o número de níveis de cada fator Exemplo: Fator → variedade; Níveis → V1, V2, V3 Fator → formulação; Níveis → F1, F2, F3 Fatorial 32

3

Obtenção dos Tratamentos: A partir da combinação dos níveis dos fatores. Exemplo: Fator → variedade; Níveis → V1, V2, V3 Fator → formulação; Níveis → F1, F2, F3 V1F1, V1F2, V1F3, V2F1, V2F2, V2F3, V3F1, V3F2, V3F3

Importante: O fatorial NÃO é um delineamento!!!! É um tipo de esquema, ou seja, uma das maneiras de organizar os tratamentos, e depois distribuídos às unidades experimentais segundo um tipo de delineamento.

4

2. EFEITOS ESTUDADOS NO FATORIAL EFEITO PRINCIPAL É o efeito de cada fator, independentemente do efeito dos outros. EFEITO DE INTERAÇÃO É o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável em estudo. Ocorre interação entre os fatores quando os efeitos dos níveis de um fator são modificados pelos níveis de outros.

Demonstração de quando não há e quando há INTERAÇÃO Suponha um experimento fatorial 2 x 3, em DIC, com os seguintes resultados médios para a variável altura de plantas (cm). 1a situação ⇒ Não há interação V1

Variedade V2

V3

E1

8

10

12

E2

6

8

10

Espaçamento

5

Espaçamento

V1 8 6

E1 E2

Variedade V2 10 8

V3 12 10

12 10 Altura de plantas em cm 8 6

E1 E2

4 2 0 V1

V2

V3

Quando não há interação as diferenças entre os resultados dos níveis de um fator são estatisticamente iguais para todos os níveis do outro fator.

Demonstração de quando não há e quando há INTERAÇÃO

2a situação ⇒ Há interação

E1

V1 2

Variedade V2 4

V3 6

E2

5

10

2

Espaçamento

6

Variedade

Espaçamento E1

V1 2

V2 4

V3 6

E2

5

10

2

10 9 8 7 6 Altura de 5 plantas em cm 4 3 2 1 0

E1 E2

V1

V2

V3

Quando há interação as diferenças entre os resultados dos níveis de um fator dependem dos níveis do outro fator.

3. QUADRO DE TABULAÇÃO DE DADOS

Depende do tipo de delineamento! - DIC - DBC - DQL

7

3.1 QUADRO DE TABULAÇÃO DE DADOS (DIC) Fatores A1

B1 B2 ... Bj

... AI

B1 B2 ... Bj

1 Y111 Y121 ... Y1j1 … Yi11 Yi21 ... Yij1

REPETIÇÕES 2 ... k Y112 ... Y11k Y122 … Y12k ... ... ... Y1j2 … Y1jk … … Yi12 ... Yi1k Yi22 … Yi2k ... ... ... Yij2 … Yiik

Totais Y11. Y12. ... Y1j. ... Yi1. Yi2. ... Yij.

3.2 QUADRO DE TABULAÇÃO DE DADOS (DBC) 1 Y111 Y121

BLOCOS 2 ... k Y112 ... Y11k Y122 … Y12k

... Bj

... Y1j1 …

... Y1j2 …

... …

... Y1jk …

... Y1j. ...

B1 B2

Yi11 Yi21

Yi12 Yi22

... …

Yi1k Yi2k

Yi1. Yi2.

... Bj

... Yij1

... Yij2

... …

... Yiik

... Yij.

Yi.1

Yi.2

...

Yi.k

G

Fatores A1

B1 B2

... AI

Totais

Totais Y11. Y12.

8

4. MODELO ESTATÍSTICO (DIC)

Yijk = m + αi + βj + (αβ αβ) αβ ij+ eijk EM QUE: Yij é o valor observado para a variável resposta referente a k-ésima repetição da combinação do i-ésmio nível do fator A com o j-ésimo nível do fator B; m é a média de todos os valores possíveis da variável resposta; αi é o efeito do i-ésimo nível do fator A no valor observado Yijk; βj é o efeito do j-ésimo nível do fator B no valor observado Yijk; (αβ)ij é o efeito da interação do i-ésimo nível do fator A com o jésimo nível do fator B; eij é o erro experimental associado ao valor observado Yijk.

4. MODELO ESTATÍSTICO (DBC)

Yijk = m + αi + βj + (αβ αβ) αβ ij+ bk + eijk EM QUE: Yij é o valor observado para a variável resposta referente a k-ésima repetição da combinação do i-ésmio nível do fator A com o j-ésimo nível do fator B; m é a média de todos os valores possíveis da variável resposta; αi é o efeito do i-ésimo nível do fator A no valor observado Yijk; βj é o efeito do j-ésimo nível do fator B no valor observado Yijk; (αβ)ij é o efeito da interação do i-ésimo nível do fator A com o jésimo nível do fator B; bk é o efeito do bloco k no valor observado Yijk; eij é o erro experimental associado ao valor observado Yijk.

9

5. ANÁLISE DE VARIÂNCIA É uma análise estatística que permite decompor a variação total, ou seja a variação existente, na variação devido à diferença entre efeitos dos tratamentos (efeitos principais e interação), ao bloco (quando o experimento for em DBC) e na variação devido ao acaso (erro experimental ou resíduo).

Pressuposições: os efeitos do modelo devem ser aditivos; os erros experimentais devem ser normalmente distribuídos [eij ~ N (0, 1) e independentes.

Quadro da ANOVA (DIC) Fonte de GL SQ QM F variação Fator A I–1 SQA SQA/GL Fator B J-1 SQB SQA/GL AxB (I – 1)(J-1) SQAxB SQAxB/GL QMAxB/QMR (Tratamento) (IJ – 1) SQTrat Resíduo

IJ(K– 1)

SQR

SQR/GL

-

TOTAL

IJK - 1

SQT

-

-

10

Quadro da ANOVA (DBC) Fonte de variação

GL

Fator A Fator B AxB (Trat.)

I–1 J-1 (I – 1)(J-1) (IJ – 1)

Bloco

SQ

QM

F

SQA SQA/GL SQB SQA/GL SQAxB SQAxB/GL QMAxB/QMR SQTrat -

(K – 1)

SQB

-

-

Resíduo

(IJ – 1)(K – 1)

SQR

SQR/GL

-

TOTAL

IJK - 1

SQT

-

-

Importante: Na análise de dados de um experimento fatorial, para qualquer delineamento utilizado, deve-se sempre proceder inicialmente o teste F para a interação entre os fatores. Interação não-significativa Interação significativa

11

Se, interação não-significativa ⇒ os efeitos dos fatores atuam de forma independente e devese proceder o teste F para cada fator. Se, interação significativa ⇒ os efeitos dos fatores atuam de forma dependente, não se faz o teste F para cada fator, e sim deve-se proceder outras ANOVAs em que se faz o desdobramento do efeito da interação (A/B e B/A).

Hipóteses testadas na ANOVA (interação) Hipótese de nulidade (Ho): Os fatores A e B atuam independente sobre a variável resposta em estudo.

Hipótese alternativa (Ha): Os fatores A e B não atuam independente sobre a variável resposta.

12

5.1. Interação não significativa Fonte de variação

GL

SQ

QM

F

QMA/QMR Fator A I–1 SQA SQA/GL QMB/QMR Fator B J-1 SQB SQB/GL AxB (I – 1)(J-1) SQAxB SQAxB/GL Não significativo (Tratamento) (IJ – 1) SQTrat Resíduo

IJ(K– 1)

SQR

SQR/GL

-

TOTAL

IJK - 1

SQT

-

-

Obs: quadro para um experimento em DIC

I ;J ;K

I

∑A

2 i

SQA =

(

i =1

−

JK

I ; J ;K

J

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

)

∑B

2

SQB =

IJK

j =1

IK

2 j

( −

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

)2

IJK

SQAxB = SQTrat − SQA − SQB I ;J

∑Y SQTrat =

i ; j =1

K

I ;J ;K

I ; J ;K 2 ij .

( −

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

IJK

)

(

2 I ; J ;K

SQT =

∑Y

2 ijk i =1; j ; k =1

−

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

)2

IJK

SQR = SQT − SQTrat

13

Se os fatores A e B forem qualitativos (Ex.: variedade, raça) e o teste F para A e/ou B for não significativo, a aplicação do teste de médias é desnecessária. Porém se for significativo para A e/ou B, deve-se aplicar um teste de médias para comparar os níveis do fator em questão.

Em que as estimativas das médias dos níveis dos fatores são obtidas por:

Fator A : mˆ Ai = Fator B : mˆ B j =

Ai JK Bj IK

14

Fórmulas para os testes de médias dos fatores A e/ou B Teste de Tukey

Fator A : ∆ = q

QMR JK

q(α %;I ,n2 )

Fator B : ∆ = q

QMR IK

q(α %; J , n2 )

Fórmulas para os testes de médias dos fatores A e/ou B Teste de Duncan

Fator A : Di = Z

QMR JK

Z (α %;n A ,n2 )

Fator B : Di = Z

QMR IK

Z (α %;nB ,n2 )

15

Fórmulas para os testes de médias dos fatores A e/ou B Teste t

Fator A : t =

Fator B : t =

YˆA − YA QMR I 2 ∑ ai JK i =1 Yˆ − Y B

B I

QMR ai2 ∑ IK i =1

t(α %;n2 )

t(α %;n2 )

Fórmulas para os testes de médias dos fatores A e/ou B Teste de Sheffé

QMR I 2 Fator A : S = ( I − 1).Ftab . ∑ ai JK i =1

Fα %[(I −1;n2 )]

QMR I 2 ∑ ai IK i =1

Fα %[( J −1;n2 )]

Fator B : S = ( J − 1).Ftab .

16

Exemplo: Experimento em DIC, no esquema fatorial 22 (A1: ração com cálcio e A2: ração sem cálcio; B1: ambiente à noite com luz artificial e B2: ambiente à noite sem luz artificial), com 6 repetições ⇒ variável resposta: No de ovos/poedeira

B1 B2 B1

1 50 49 42

2 52 52 44

REPETIÇÕES 3 4 5 48 54 52 50 48 46 46 43 44

B2

40

40

38

Fatores A1 A2

39

41

6 Totais 50 306 45 290 45 264 43

241

Pode-se afirmar que o tipo de ração e o tipo de ambiente atuam independentemente na produção de ovos? Proceder a ANOVA

17

I. Hipóteses Hipótese de nulidade (Ho): Os fatores A e B atuam independente sobre a variável resposta em estudo.

Hipótese alternativa (Ha): Os fatores A e B não atuam independente sobre a variável resposta.

II. ANOVA Fonte de variação Fator A Fator B AxB (Trat.)

GL

SQ

QM

F

I – 1 =1

SQA

SQA/GL

-

J – 1 =1 SQB SQB/GL (I – 1)(J-1) =1 SQAxB SQAxB/GL (IJ – 1) =3 SQTrat -

QMAxB/QMR -

Resíduo

IJ(K– 1) =20

SQR

SQR/GL

-

TOTAL

IJK – 1 =23

SQT

-

-

Fator A ⇒ 2 níveis, logo I = 2 Fator B ⇒ 2 níveis, logo J = 2 Repetições 6, logo k = 6

18

I ;J ;K

I

∑A

2 i

SQA =

(

i =1

−

JK

I ; J ;K

J

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

)

∑B

2

SQB =

IJK

j =1

IK

2 j

( −

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

)2

IJK

SQAxB = SQTrat − SQA − SQB I ;J

∑Y SQTrat =

i ; j =1

K

I ;J ;K

I ;J ;K 2 ij .

( −

∑Y

)

ijk i =1; j ; k =1

(

2 I ; J ;K

SQT =

IJK

∑Y

2 ijk i =1; j ; k =1

−

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

)2

IJK

SQR = SQT − SQTrat

SOMA DE QUADRADOS DO FATOR A

I ;J ;K

I

∑A

2 i

SQA =

i =1

JK

( −

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

)2

IJK

19

SOMA DE QUADRADOS DO FATOR B

I ;J ;K

J

∑ B 2j SQB =

j =1

IK

( −

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

)2

IJK

SOMA DE QUADRADOS DE SQTrat

I ;J

I ; J ;K

∑ Yij2. SQTrat = i ; j =1 K

( −

∑Y

ijk i =1; j ;k =1

)2

IJK

20

SOMA DE QUADRADOS DA INTERAÇÃO A x B

SQAxB = SQTrat − SQA − SQB

SOMA DE QUADRADOS TOTAL

I ;J ;K

(

I ;J ;K

SQT =

∑Y

2 ijk i =1; j ; k =1

−

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

)2

IJK

21

SOMA DE QUADRADOS DO RESÍDUO

SQR = SQT − SQTrat

II. ANOVA Fonte de variação Fator A

GL

SQ

QM

F

1

345,05

345,05

-

Fator B AxB (Trat.)

1 1 3

63,00 2,41 410,46

63,00 2,41 -

0,61 -

Resíduo

20

80,17

4,01

-

TOTAL

23

490,63

-

-

α = 5%

F(1;20) = 4,35

22

III. Nível de significância Fonte de variação Fator A

GL

SQ

QM

F

1

345,05

345,05

-

Fator B AxB (Trat.)

1 1 3

63,00 2,41 410,46

63,00 2,41 -

0,61 -

Resíduo

20

80,17

4,01

-

TOTAL

23

490,63

-

-

Como 0,61 < 4,35, teste F não significativo, então não se rejeita Ho ao nível de 5% de probabilidade. Ou seja, os fatores A e B atuam independentemente sobre a variável resposta.

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO FV Fator A Fator B AxB (Trat.) Resíduo TOTAL

GL 1 1 1 3 20 23

SQ 345,05 63,00 2,41 410,46 80,17 490,63

CV % = CV % =

QM 345,05 63,00 2,41 4,01 -

F 0,61 -

QMR .100 mˆ 4,01 .100 = 4,36% 45,88

23

Como o teste F para a interação foi nãosignificativo, ou seja, os fatores A e B atuam independentemente sobre a variável resposta, deve-se proceder o teste F para cada fator.

Hipóteses para o fator A: Ho: mA1 = mA2 Ha: mA1 ≠ mA2

Hipóteses para o fator B: Ho: mB1 = mB2 Ha: mB1 ≠ mB2

24

ANOVA FV

GL

SQ

QM

F

Fator A

1

345,05

345,05

86,05*

Fator B

1

63,00

63,00

15,70*

AxB (Trat.)

1 3

2,41 410,46

2,41 -

0,61 -

Resíduo

20

80,17

4,01

-

TOTAL

23

490,63

-

-

α = 5%

F(1;20) = 4,35

Conclusão para o fator A: Como 86,05 > 4,35, teste F significativo, então rejeita-se Ho ao nível de 5% e probabilidade. Ou seja, existe diferença entre as médias dos níveis A.

Conclusão para o fator B: Como 15,70 > 4,35, teste F significativo, então rejeita-se Ho ao nível de 5% de probabilidade. Ou seja, existe diferença entre as médias dos níveis B.

25

Como o teste F para a interação os dois fatores A e B foram significativos deve-se proceder o teste de comparação de médias para cada fator.

Teste de TUKEY

26

5.2. Interação significativa

FV

GL

SQ

QM

F

Fator A Fator B

I–1 J-1

SQA SQB

SQA/GL SQA/GL

-

AxB (I – 1)(J-1) SQAxB SQAxB/GL (Tratamento) (IJ – 1) SQT Resíduo

IJ(K– 1)

SQR

SQR/GL

Significativo

-

Obs: quadro para um experimento em DIC

Se, interação significativa ⇒ os efeitos dos fatores atuam de forma dependente, não se faz o teste F para cada fator, e sim deve-se proceder outras ANOVAs em que se faz o desdobramento do efeito da interação (A/B e B/A).

27

Desdobramento da interação: Níveis de A dentro de cada nível de B (A/B)

FV

GL

SQ

QM

F

A/B1 A/B2

I–1 I-1

SQA/B1 SQA/B2

(SQA/B1)/GL (SQA/B2)/GL

(QMA/B1)/QMR (QMA/B2)/QMR

... A/Bj

... I-1

... SQA/Bj

... (SQA/Bj/GL)

...

(QMA/Bj)/QMR

IJ(K– 1)

SQR

SQR/GL

-

Resíduo

Obs: quadro para um experimento em DIC

Hipóteses testadas na ANOVA

Hipótese de nulidade (Ho): mA1/Bj = mA2/Bj = ... = mAi/Bj

Hipótese alternativa (Ha): não Ho

28

Desdobramento da interação: Níveis de B dentro de cada nível de A (B/A) FV B/A1 B/A2 ... B/Ai Resíduo Total

GL SQ J–1 SQB/A1 J-1 SQB/A2 ... ... J-1 SQB/Ai IJ(K– 1) SQR IJK - 1 SQT

QM (SQB/A1)/GL (SQB/A2)/GL ... (SQB/Ai/GL) SQR/GL -

F (QMB/A1)/QMR (QMB/A2)/QMR ...

(QMB/Ai)/QMR -

-

Obs: quadro para um experimento em DIC

Hipóteses testadas na ANOVA

Hipótese de nulidade (Ho): mB1/Ai = mB1/Ai = ... = mBj/Ai

Hipótese alternativa (Ha): não Ho

29

Fórmula geral para obter SQA/Bj e SQB/Ai I

I

∑X SQA / B j =

(∑ X i ) 2

2 i

i =1

−

K J

IK J

∑X SQB / Ai =

i =1

j =1

K

(∑ X j ) 2

2 j

−

j =1

JK

Se os fatores A e B forem qualitativos (Ex.: variedade, raça) procede-se ao teste F para cada fonte de variação do desdobramento. Nas fontes de variação em que o teste F foi significativo e o fator tem mais de dois níveis, aplica-se um teste de médias.

30

Em que as estimativas das médias dos níveis dos fatores são obtidas por:

Fator A : mˆ Ai = Fator B : mˆ B j =

Ai K Bj K

Fórmulas para os testes de médias para o fator A (A/B) e o fator B (B/A) Teste de Tukey

Fator A : ∆ = q

QMR K

q(α %;I ,n2 )

Fator B : ∆ = q

QMR K

q(α %; J , n2 )

31

Fórmulas para os testes de médias para o fator A (A/B) e o fator B (B/A) Teste de Duncan

Fator A : Di = Z

QMR K

Z (α %;n A ,n2 )

Fator B : Di = Z

QMR K

Z (α %;nB ,n2 )

Fórmulas para os testes de médias para o fator A (A/B) e o fator B (B/A) Teste t

Fator A : t =

Fator B : t =

YˆA − YA QMR I 2 ∑ ai K i =1 Yˆ − Y B

B I

QMR ai2 ∑ K i =1

t(α %;n2 )

t(α %;n2 )

32

Fórmulas para os testes de médias para o fator A (A/B) e o fator B (B/A) Teste de Sheffé

Fator A : S = ( I − 1).Ftab .

QMR I 2 ∑ ai K i =1

Fα %[(I −1;n2 )]

Fator B : S = ( J − 1).Ftab .

QMR I 2 ∑ ai K i =1

Fα %[( J −1;n2 )]

Exemplo: Experimento em DIC, no esquema fatorial 3 x 2 (A1: saco plástico pequeno e A2: saco plástico grande; A3: laminado e B1: Eucalyptus citriodora e B2: Eucalyptus grandis), com 4 repetições ⇒ variável resposta: altura média das mudas (cm) aos 80 dias de idade.

Fatores A1 A2 A3

1

REPETIÇÕES 2 3 4

Totais

B1 B2

26,2

26,0

25,0

25,5

102,6

24,8

24,6

26,7

25,2

101,3

B1 B2

25,7

26,3

25,1

26,4

103,5

19,6

19,6

19,0

18,6

78,3

B1 B2

22,8

22,8

18,8

19,2

80,2

19,8

21,4

22,8

21,3

85,3

33

Pode-se afirmar que o recipiente e o tipo de espécie de Eucalytus atuam independentemente sobre a altura média das mudas aos 80 dias de idade? Proceder a ANOVA

I. Hipóteses Hipótese de nulidade (Ho): Os fatores A e B atuam independente sobre a variável resposta em estudo.

Hipótese alternativa (Ha): Os fatores A e B não atuam independente sobre a variável resposta.

34

II. ANOVA FV Fator A Fator B AxB (Trat.)

GL

SQ

QM

F

I – 1 =2

SQA

SQA/GL

-

J – 1 =1 SQB SQB/GL (I – 1)(J-1) =2 SQAxB SQAxB/GL (IJ – 1) =5 SQT -

Resíduo

IJ(K– 1) =18

SQR

SQR/GL

TOTAL

IJK – 1 = 23

SQT

-

QMAxB/QMR -

Fator A (recipientes) ⇒ 3 níveis, logo I = 3 Fator B (espécies) ⇒ 2 níveis, logo J = 2 Repetições 4, logo K = 4

I ;J ;K

I

∑A

2 i

SQA =

(

i =1

−

JK

I ; J ;K

J

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

)

∑B

2

SQB =

IJK

j =1

IK

2 j

( −

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

)2

IJK

SQAxB = SQTrat − SQA − SQB I ;J

∑Y SQTrat =

i ; j =1

K

I ;J ;K

I ;J ;K 2 ij .

( −

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

IJK

)

(

2 I ; J ;K

SQT =

∑Y

2 ijk i =1; j ; k =1

−

∑Y

ijk i =1; j ; k =1

)2

IJK

SQR = SQT − SQTrat

35

II. ANOVA FV

GL

SQ

QM

F

Fator A

2

92,86

46,43

-

Fator B

1

19,08

19,08

-

AxB (Trat.)

2 (5)

63,76 (175,70)

31,88 -

24,91 -

Resíduo

18

23,09

31,88

-

TOTAL

23

198,79

-

-

III. Nível de significância

FV

GL

SQ

QM

F

Fator A

2

92,86

46,43

-

Fator B AxB (Trat.)

1 2 (5)

19,08 63,76 (175,70)

19,08 31,88 -

24,91 -

Resíduo

18

23,09

31,88

-

TOTAL

23

198,79

-

-

α = 5%

F(2;18) = 3,55

36

IV. Conclusão FV Fator A

GL 2

SQ 92,86

QM 46,43

F -

Fator B AxB

1 2

19,08 63,76

19,08 31,88

24,91*

(Trat.) Resíduo TOTAL

(5) 18 23

(175,70) 23,09 198,79

31,88 -

-

Como 24,91 > 3,55, teste F significativo, então rejeita-se Ho ao nível de 5% e probabilidade. Ou seja, os fatores A e B não atuam independentemente sobre a variável resposta.

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO FV Fator A

GL 2

SQ 92,86

QM 46,43

F -

Fator B AxB (Trat.) Resíduo

1 2 (5) 18

19,08 63,76 (175,70) 23,09

19,08 31,88 31,88

24,91* -

TOTAL

23

198,79

-

-

CV % = CV % =

QMR .100 mˆ 31,88 .100 = 24,58% 22,97

37

Como o teste F para a interação foi significativo, ou seja, os efeitos de recipientes (A) dependem da espécie (B) utilizada e os efeitos das espécies dependem do recipiente, deve-se proceder outras ANOVAs em que se faz o desdobramento do efeito da interação (A/B e B/A).

Desdobramento da interação para estudar o comportamento dos recipientes (A) dentro de cada espécie (B) (A/B)

Fonte de variação A/B1 A/B2

GL

SQ

QM

F

I–1 I-1

SQA/B1 SQA/B2

(SQA/B1)/GL (SQA/B2)/GL

(QMA/B1)/QMR (QMA/B2)/QMR

SQR

SQR/GL

-

Resíduo IJ(K– 1)

38

REPETIÇÕES

Fatores A1 A2 A3

B1 B2 B1 B2 B1 B2

1

2

3

4

Totais

26,2

26,0

25,0

25,5

102,6

24,8

24,6

26,7

25,2

101,3

25,7

26,3

25,1

26,4

103,5

19,6

19,6

19,0

18,6

78,3

22,8

22,8

18,8

19,2

80,2

19,8

21,4

22,8

21,3

85,3

1 (286,3) 2 2 2 2 SQ Re c. / Esp.1 = (102,6 + 103,5 + 80,2 ) − = 87,12 12 4 1 (264,9) 2 SQ Re c. / Esp.2 = (101,32 + 78,32 + 85,32 ) − = 69,50 4 12

Desdobramento da interação para estudar o comportamento dos recipientes (A) dentro de cada espécie (B) (A/B) FV Recipiente/Esp.1 Recipientes/Esp.2 Resíduo

GL

SQ

QM

F

2 2 18

87,12 69,50 23,09

43,56 34,75 1,28

34,03* 27,15*

α = 5%

F(2;18) = 3,55

39

FV

GL

SQ

QM

F

Recipiente/Esp.1 Recipientes/Esp.2

2 2

87,12 69,50

43,56 34,75

34,03* 27,15*

Resíduo

18

23,09

1,28

1) Os três recipientes têm efeitos diferentes (α = 5%) sobre o desenvolvimento de mudas de Eucalyptus citriodora (E1); 2) Os recipientes têm efeitos diferentes (α = 5%) sobre o desenvolvimento de mudas de Eucalyptus grandis (E2).

Como nas fontes de variação do desdobramento Recipientes/Esp.1 e Recipientes/Esp.2 o teste F foi significativo e o fator “recipiente” tem três níveis, aplica-se um teste de médias para comparar as médias dos recipientes dentro de E. citriodora (E1) e dentro de E. grandis (E2).

40

Teste de TUKEY (Recipientes/Esp.1)

Recipientes dentro de E. citriodora (E1) Obtenção das estimativas das médias:

R1 E1 = 102,6 / 4 = 25,65cm R2 E1 = 103,5 / 4 = 25,88cm R3 E1 = 80,4 / 4 = 20,05cm

41

I. Definição das hipóteses de nulidade (Ho) e alternativa (Ha)

Ho: mR1/E1 = mR2/E1 = mR3/E1 Ha: mR1/E1 ≠ mR2/E1 ≠ mR3/E1

Estimativas dos contrastes

mˆ R2 E1 = 25,88; mˆ R1E1 = 25,65; mˆ R3 E1 = 20,05 Yˆ = mˆ R2 E1 − mˆ R1E1 = 0,23 Yˆ = mˆ R2 E1 − mˆ R3 E1 = 5,83 Yˆ = mˆ R1E1 − mˆ R3 E1 = 5,60

42

III. Fixação do nível de significância (α), obter o valor tabelado de q e o valor da d.m.s, representada por ∆;

α = 5% Tabela de Tukey ⇒ valor tabelado q: I = número de níveis do fator A (recipientes) n2 = número de graus de liberdade do resíduo α = 5% ⇒ I = 3 n2 = 18

q = 3,61

III. Fixar o nível de significância (α), obter o valor tabelado de q e o valor da d.m.s, representada por ∆;

Fator A : ∆ = q

q = 3,61

QMR K

∆ = 3,61

1,28 4

∆ = 2,06

43

IV. Comparar o valor de ∆ com as estimativas dos contrastes e concluir quanto à rejeição ou não de Ho.

mˆ R2 E1 = 25,88 a

Yˆ = mˆ R2 E1 − mˆ R1E1 = 0,23

mˆ R1E1 = 25,65 a

Yˆ = mˆ R2 E1 − mˆ R3 E1 = 5,83 ∆ = 2,06

mˆ R3 E1 = 20,05 b

Yˆ = mˆ R1E1 − mˆ R3 E1 = 5,60

Se Yˆ > ∆ ⇒ as duas médias testadas no contraste diferem entre si ao nível de 5% de probabilidade. ˆ

Se Y < ∆ ⇒ as duas médias testadas no contraste NÃO diferem entre si ao nível de 5% de probabilidade

CONCLUSÃO para o teste de Tukey recipientes dentro de E. citriodora (E1)

mˆ R2 E1 = 25,88 a mˆ R1E1 = 25,65 a mˆ R3 E1 = 20,05 b

As médias seguidas pela mesma letra não diferem entre si, pelo teste de Tukey a 5% de probabilidade.

Para o E. citriodora (E1), os melhores recipientes foram: o saco plástico pequeno (R1) e o saco plástico grande (R2), que determinaram desenvolvimento de mudas significativamente maior que o laminado (R3).

44

Teste de TUKEY (Recipientes/Esp.2)

Recipientes dentro de E. grandis (E2) Obtenção das estimativas das médias:

R1 E2 = 101,3 / 4 = 25,33cm R2 E2 = 78,3 / 4 = 19,58cm R3 E2 = 85,3 / 4 = 21,33cm

45

I. Definição das hipóteses de nulidade (Ho) e alternativa (Ha)

Ho: mR1/E2 = mR2/E2 = mR3/E2 Ha: mR1/E2 ≠ mR2/E2 ≠ mR3/E2

Estimativas dos contrastes

mˆ R1E2 = 25,33; mˆ R3 E2 = 21,33; mˆ R2 E2 = 19,58 Yˆ = mˆ R1E2 − mˆ R3 E2 = 4,00 Yˆ = mˆ R1E2 − mˆ R2 E2 = 5,75 Yˆ = mˆ R3 E2 − mˆ R2 E2 = 1,75

46

III. Fixação do nível de significância (α), obter o valor tabelado de q e o valor da d.m.s, representada por ∆;

α = 5% Tabela de Tukey ⇒ valor tabelado q: I = número de níveis do fator A (recipientes) n2 = número de graus de liberdade do resíduo α = 5% ⇒ I = 3 n2 = 18

q = 3,61

III. Fixar o nível de significância (α), obter o valor tabelado de q e o valor da d.m.s, representada por ∆;

Fator A : ∆ = q

q = 3,61

QMR K

∆ = 3,61

1,28 4

∆ = 2,06

47

IV. Comparar o valor de ∆ com as estimativas dos contrastes e concluir quanto à rejeição ou não de Ho.

mˆ R1 E 2 = 25 ,33 a

Yˆ = mˆ R1E2 − mˆ R3E2 = 4,00

mˆ R3 E 2 = 21,33 b

Yˆ = mˆ R1E2 − mˆ R2 E2 = 5,75

mˆ R2 E 2 = 19 ,58 b

∆ = 2,06

Yˆ = mˆ R3 E2 − mˆ R2 E2 = 1,75

Se Yˆ > ∆ ⇒ as duas médias testadas no contraste diferem entre si ao nível de 5% de probabilidade. ˆ

Se Y < ∆ ⇒ as duas médias testadas no contraste NÃO diferem entre si ao nível de 5% de probabilidade

CONCLUSÃO para o teste de Tukey recipientes dentro de E. grandis (E2)

mˆ R1 E 2 = 25 ,33 a mˆ R3 E 2 = 21,33 b mˆ R2 E 2 = 19 ,58 b

As médias seguidas pela mesma letra não diferem entre si, pelo teste de Tukey a 5% de probabilidade.

Para o E. grandis (E2), os melhores recipientes foram: o saco plástico pequeno (R1), que determinou desenvolvimento de mudas significativamente maior que o saco plástico grande (R2) e o laminado (R3).

48

Desdobramento da interação para estudar o comportamento das espécies (B) dentro de cada recipiente (A) (B/A)

Fonte de GL SQ variação B/A1 J–1 SQB/A1 B/A2 J-1 SQB/A2 B/A3 J-1 SQB/A3 Resíduo IJ(K– 1) SQR

A2 A3

F

(SQB/A1)/GL (SQB/A2)/GL (SQB/A3)/GL SQR/GL

(QMB/A1)/QMR (QMB/A2)/QMR (QMB/A3)/QMR -

REPETIÇÕES

Fatores A1

QM

B1 B2 B1 B2 B1 B2

1

2

3

4

Totais

26,2

26,0

25,0

25,5

102,6

24,8

24,6

26,7

25,2

101,3

25,7

26,3

25,1

26,4

103,5

19,6

19,6

19,0

18,6

78,3

22,8

22,8

18,8

19,2

80,2

19,8

21,4

22,8

21,3

85,3

1 ( 203,9) 2 (102,6 2 + 101,32 ) − = 0,21 4 8 1 (181,8) 2 SQEsp / Re c.2 = (103,52 + 78,32 ) − = 79,38 4 8 1 (165,5) 2 2 2 SQEsp / Re c.3 = (80,2 + 85,3 ) − = 3,25 4 8 SQEsp / Re c.1 =

49

Desdobramento da interação para estudar o comportamento das espécies (B) dentro de cada recipiente (A) (B/A) FV

GL

SQ

QM

F

Espécies/Rec.1 Espécies/Rec.2 Espécies/Rec.3 Resíduo

1 1 1 18

0,21 79,38 3,25 23,09

0,21 79,38 3,25 1,28

0,16 62,02* 2,54 -

α = 5%

F(1;18) = 4,41

FV

GL

SQ

QM

F

Espécies/Rec.1 Espécies/Rec.2 Espécies/Rec.3 Resíduo

1 1 1 18

0,21 79,38 3,25 23,09

0,21 79,38 3,25 1,28

0,16 62,02* 2,54 -

1) Quando se utiliza os recipientes saco plástico pequeno (R1) e laminado (R3), não há diferença significativa (α = 5%) para o desenvolvimento das mudas das duas espécies;

2) Quando se utiliza o recipiente saco plástico grande (R2), há diferença significativa (α = 5%) para o desenvolvimento das mudas das duas espécies.

50

Na fonte de variação do desdobramento Espécies/Rec.2 o teste F foi significativo, porém o fator “espécie” tem apenas dois níveis, então não é necessário aplicar um teste de médias. Logo, o recipiente saco plástico grande (R2) proporciona melhor para Eucalyptus citriodora (E1). Espécies

Recipiente R2

E. citriodora

25,88 a

E. grandis

19,58 b

CONCLUSÃO FINAL DO TESTE DE TUKEY

Espécies

Recipientes R1

R2

R3

E1

25,65 aA

25,88 aA 20,05 bA

E2

25,33 aA

19,58 bB 21,33 bA

E1 = Eucalytus citriodora; E2 = E. grandis; R1 = recipiente saco plástico pequeno; R2 = recipiente saco plástico grande; R3 = recipiente laminado. As médias seguidas pela mesma letra MINÚSCULA, na linha, e mesma letra MAIÚSCULA, na coluna, não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% de probabilidade.

51

6. VANTAGENS E DESVANTAGENS DO EF Vantagens: Permite o estudo dos efeitos principais e o efeito da interação entre fatores;

O número de graus de liberdade associado ao

resíduo é alto quando comparado com os experimentos simples dos mesmos fatores, o que contribui para diminuir a variância residual, aumentando a precisão do experimento.

6. VANTAGENS E DESVANTAGENS DO EF

Desvantagem: Requer maior número de unidades experimentais em relação aos experimentos simples.

52