Ejercicio 2o1l5h

Universidad Nacional del Este Facultad Politécnica

Ingeniería Eléctrica Planeamiento y Control de la Calidad de Producción

Trabajo Práctico

Por: -

Víctor Manuel Barrios

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Matías Arguello

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Jorge Benítez

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Juan Lidio Avalos

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Joel Cabo

Profesor: Dr. Anastacio Sebastián Arce Encina

Ciudad del Este, Alto Paraná. Paraguay. Octubre, 2018.

Descripción del problema Una asociación agrícola tiene dos parcelas: la parcela P1 tiene 400 ha de tierra utilizable y dispone de 500 𝑚3 de agua, mientras la parcela P2 tiene 900 ha de tierra utilizable y dispone de 1200 𝑚3 de agua. Los cultivos aconsejados son: remolacha y algodón. La remolacha consume 3 𝑚3 de agua por ha, con un beneficio de 700 u.m. por ha; el algodón consume 2 𝑚3 de agua por ha, con un beneficio de 500 u.m. por ha. Se ha establecido una cuota máxima por ha para cada cultivo: 800 para la remolacha y 600 para el algodón, siendo el porcentaje total de terreno cultivado el mismo en cada parcela. Extracción de datos del problema En la Tabla 1.1 se observan los recursos disponibles de la asociación agrícola, y en la Tabla 1.2 las características de cada cultivo aconsejado. Tabla 1.1 Datos de Recursos Parcelas P1 P2

Terreno Disponible 400 900

Agua Disponible 500 1200

Tabla 1.2 Datos de Cultivo Cultivo Remolacha Algodón

Cantidad Maxima 800 600

Consumo de Agua 3 2

Rendimiento 700 500

Formulación del Problema de Programación Lineal (PPL) El principal objetivo del problema es la maximización del rendimiento total. Para la formulación del problema se tiene como variables de decisión 𝑥𝑗 (𝑗 = 1,2,3,4), los cuales representan las unidades que se muestran en la Tabla 1.3. Tabla 1.3 Variables de decisión del problema Cultivos Remolacha x1 Algodón x3

Parcelas 1 x2 x4

2

La función objetivo busca maximizar el rendimiento de los cultivos, y se representa de la siguiente manera: 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 700(𝑥1 + 𝑥2 ) + 500(𝑥3 + 𝑥4 )

Sujeto a las siguientes restricciones: 1. Terreno para uso en cada Parcela 𝑥1 + 𝑥3 ≤ 400 𝑥2 + 𝑥4 ≤ 900 2. Asignación de Agua en cada Parcela 3𝑥1 + 2𝑥3 ≤ 500 3𝑥2 + 2𝑥4 ≤ 1200 3. Hectáreas para cada cultivo 𝑥1 + 𝑥2 ≤ 800 𝑥3 + 𝑥4 ≤ 600 4. Igualdad de proporción de área plantada 𝑥1 +𝑥3 400

=

𝑥2 +𝑥4 900

∴

9 𝑥 4 1

9

+ 4 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥4 = 0

5. No negatividad 𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1,2,3,4 Resolución del Problema de Programación Lineal Para encontrar la solución del problema se utilizó la herramienta informática Solver de Microsoft Excel 2016, eligiendo el método Simplex. En la Figura 1 se observa detalladamente la hoja de cálculo de Excel donde fue resuelto el problema, primeramente, se observan las variables de decisión, la función objetivo y las restricciones del problema. Variables x1 x2 x3 x4 FO Restricciones 1 P1 P2 Restricciones 2 p1 p2 Restricciones 3 c1 c2 Restricciones 4 Proporcion Restricciones 5 x1 x2 x3 x4

Xi 28,2051282 138,461538 207,692308 392,307692 416666,667 235,897436 <= 530,769231 <=

400 900

500 <= 1200 <=

500 1200

166,666667 <= 600 <=

800 600

0= 28,2051282 >= 138,461538 >= 207,692308 >= 392,307692 >=

0 0 0 0 0

Figura 1. Hoja de cálculo para la utilización del Solver de Excel.

Resultados y Análisis La asignación de hectáreas por cultivo para cada parcela se resume en la Tabla 1.4, donde se observa que las dos parcelas de la asociación agrícola solo serán utilizadas en un 58,9% de su totalidad, siendo esta estrategia la más eficaz en términos de producción. Tabla 1.4 Asignación optima de hectáreas. Parcelas Cultivo Remolacha Algodón

1 2 28,2051282 138,461538 207,692308 392,307692

Aplicando la estrategia del cultivo consistente en 28,2 ha de cultivo de Remolacha en la primera parcela y 138,46 ha en la segunda, 207,69 ha de algodón en la primera parcela y 392,30 ha en la segunda, se obtiene el valor óptimo de la función objetivo que es Z=416.666,667, es decir, el rendimiento total del cultivo es de 416.666,667 unidades monetarias (u.m).

Conclusión Las optimizaciones de producción por medio de herramientas informáticas facilitan el desarrollo de los mismos, ya que los avances de estos programas están diseñados hacia un entorno donde los conocimientos de lenguajes de programación ya no es un requisito obligatorio, se busca una interfaz más amigable y sencilla entre hombre y máquina que pueda ser operado y aprovechado con niveles básicos de informática. De esta forma, en una organización donde se requiere maximizar la utilidad de los recursos, solo es necesario el conocimiento para formular el problema de programación lineal, en donde se invierte en la mejor estrategia teniendo en cuenta los factores que se han analizado para este problema como el terreno disponible y el agua.

Anexo

Ejercicio planteado sobre series temporales Una papelería anotó sus ventas trimestrales en los dos últimos años: t(trimestre) 1 2 3 4 5 6 7 8 Venta(miles) 33 36 23 28 32 18 22 28 a) Construir un gráfico de dispersión de los datos; b) Calcule la Tendencia usando una recta de regresión; c) ¿Cuál de los modelos aditivo o multiplicativo, parece sugerir el gráfico?, ¿Por qué? d) Calcule los índices estacionales, usando el modelo multiplicativo. e) Calcule la componente Cíclica más la Irregular; f) ¿Las variaciones anteriores deben ser atribuidas básicamente a cuál de las componentes? ¿Por qué?; g) ¿La venta del 6° semestre quedó encima o por debajo de la expectativa generada en el modelo? h) El próximo año, la empresa pretende trabajar con productos importados, y los es creen que la contribución de los nuevos productos, aumentará las ventas en 20%. Estimar las ventas para el 2° trimestre del próximo año. i) ¿Cómo puede ser interpretado el coeficiente angular de la recta de la Tendencia calculada anteriormente? Desarrollo a)

b) trimestre venta

1 33

2 36

3 23

4 28

5 32

6 18

7 22

8 28

Sumatorias 36 220

trimestre2 venta * trimestre

1 33

4 72

9 69

16 112

25 160

36 108

49 154

64 224

204 932

Ajustar a T = a + bt 𝑔1 (t) = 1 𝑔1 (t) = t α1 = 𝑎 α2 = 𝑏 8𝑎 + 36𝑏 = 220 8𝑎 + 204𝑏 = 932 𝑎 = 33,714 𝑏 = −1,391 𝐓 = −𝟏, 𝟑𝟗𝟏𝐭 + 𝟑𝟑, 𝟕𝟏𝟒 c) El grafico sugiere el modelo aditivo, porque la venta en los trimestres proporcionados en el problema no fue aumentando o disminuyendo con respecto a la tendencia.

d) t (trimestre) 1 2 3 4 5 6 7 8

1er Trimestre 2do Trimestre 3er Trimestre 4to Trimestre

Venta(miles) Funcion Ajustada 33 32.333 36 30.952 23 29.571 28 28.19 32 26.809 18 25.428 22 24.047 28 22.666

1.107 0.935 0.846 1.114

V/FA 1.021 1.163 0.778 0.993 1.194 0.708 0.915 1.235

MEDIA

INDICES AJUSTADOS 1er Trimestre 2do Trimestre 3er Trimestre 1.106 0.935 0.846

AÑO 1

AÑO 2

1.001

4to Trimestre 1.113

e) Cíclica más Irregular (método aditivo)

t (trimestre) 1 2 3 4 5 6 7 8

Y 33 36 23 28 32 18 22 28

T 32.333 30.952 29.571 28.19 26.809 25.428 24.047 22.666

S 2.929 -1.191 -4.310 2.572 2.929 -1.191 -4.310 2.572

Y-T-S=C+I -2.262 6.239 -2.262 -2.762 2.263 -6.238 2.263 2.763

Cada año tiene 4 trimestres. f) En la tabla anterior podemos observar que en los dos años las variaciones son de la misma amplitud, siguiendo a la tendencia, en donde se observa que la venta va disminuyendo. Las variaciones pueden ser atribuidas a los datos obtenidos en esos trimestres, ya que graficando a partir de esos números ya presentados por el problema ya se observan dichas transiciones. g) La expectativa de generación de acuerdo al modelo se da por la función de la Tendencia en donde se introduce T (6) y da 25,5mil aproximadamente, donde la venta en ese trimestre quedo muy por debajo siendo de 18mil nada más de acuerdo a los datos proporcionados por el problema.

h) El 2° trimestre del año siguiente (t=10) si la venta aumenta en un 20%. Estimar la venta. Solución: Se calcula la tendencia para 𝑡 = 10 𝑇 = 33,714 − 1,381(10) = 19,904 Sumando a la tendencia el índice correspondiente al 2° trimestre (-1,191) tenemos la demanda proyectada 𝑦 = 19,904 + (−1,191) = 18,713 Se le suma el 20% de la venta por los productos importados. 𝑦 = 18,713 + 3,7426 = 𝟐𝟐, 𝟒𝟓𝟔 (Demanda proyectada para el siguiente año) i) El coeficiente angular de la recta indica que al pasar los trimestres la venta va disminuyendo, observando el grafico de ítem a, se puede apreciar claramente ese decrecimiento.