Ejercicios De Fenomenos De Transporte De Bird 1y311p

“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación”

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN Ingeniería química Escuela Académico Profesional de Ingeniería Química

Trabajo encargado (problemas): 10.B-8, 10.B-18, 10.C-1, 10.C-2, 10.D-1 Asignatura: Fenómenos de transporte II Docente:

Mgr. Pedro Cornejo del Carpio

Integrantes (GRUPO 10): -

Hugo Quispe Jinchuña Yenifer Alexandra Churaira Condori 36038

Tacna-Perú 2015

1-1

2012-

10B.8 Calentamiento eléctrico de un tubo (figura 10B.8). En la manufactura de tubos de acero cubiertos de vidrio, es práctica común calentar primero el tubo hasta el intervalo de fusión del vidrio y luego hacer entrar en o la superficie caliente del tubo con gránulos de vidrio. Estos gránulos se funden y humedecen la superficie del tubo, formando un recubrimiento no poroso bastante adherente. En un método de precalentamiento del tubo, a lo largo de éste se hace pasar una corriente eléctrica, con el resultado de que se calienta el tubo (como en 10.2). Para los objetivos de este problema, hacer las siguientes suposiciones: ke i. La conductividad eléctrica del tubo , es constante sobre el intervalo de temperaturas de Se interés. Entonces, la velocidad local de producción de calor eléctrico , es uniforme en toda la pared del tubo. ii. Las partes superior e inferior del tubo se tapan, de forma que las pérdidas por calor a través de ellas son despreciables. iii. La pérdida de calor desde la superficie externa del tubo hacia el entorno está dada por la qr  h  T1  Ta  . ley de enfriamiento de Newton: Aquí, h es un coeficiente de transmisión de calor idóneo. ¿Cuánta potencia eléctrica se requiere para mantener la superficie interna del tubo a alguna T , k , Ta , h temperatura deseada, si se conocen y las dimensiones del tubo?

P



 1   R    R 2

2h

Respuesta:



 R 2 1   2 L  T  Ta  4k

2



1  2   1   2  2  ln     

Figura 10B.8 Calentamiento eléctrico de un tubo Solución Para este problema se puede asumir que la longitud del tubo es lo suficientemente larga de manera que la temperatura es solamente función de r. Así mismo, para el estado estacionario, la T  T temperatura del tubo se mantiene a , por lo tanto el interior del tubo se mantiene a temperatura constante y no existe transferencia hacia el interior, entonces:

1-2

qr

kR

 k

dT 0 dr

Con esto podemos hacer un balance de calor en un radio diferencial del tubo - Flujo de calor que ingresa en r 2 rL qr r r  r

-

Flujo de calor que sale en 2 rL qr r r

-

Flujo de calor transferido por el calentado eléctrico  2 rLr  Se

Entonces el balance de calor: 2 rL qr r   2 rLr  S e  2 rL qr r qr

r r

1  r qr  r 

r  r

 r qr r   r r  Se

 r qr r  Se   r 

r r

1 d  rqr   Se r dr

d  rqr   rSe dr Integrando tenemos: rqr  12 Se r 2  C1

qr   k k

C dT 1  2 Se r  1 dr r

C dT 1  2 Se r  1 dr r

dT   T 

 1

Se r C dr  1 dr 2k kr

Se r 2 C1  ln r  C2 4k k

 2

Con las condiciones límite:

dT 0 dr

para r   R; C.L.1:

0  12 Se   R   En (1):

C1 R

C1   12 Se   R 

 3

2

1-3

para r  R;

C.L.2:

Se  R 

T1  

remplazando

C1

T  T1 2



4k

C1 ln R  C2 k

C2

y despejando

:

S   R Se R  e ln R 4k 2k 2

2

C2  T1 

 4

Remplazando (4) y (3) en (2): T  T1 

Se R 2 4k

 

2  r   2  r  1   2        ln   R    R   

 5

Por lo tanto todo el calor recibido por el tubo debe salir por la superficie externa por la ley de enfriamiento de Newton, entonces: P  VSe  Ah  T1  Ta 





P  L  R 2   2 R 2 Se   2 RL  h  T1  Ta 



Despejando

Se



P  L R 2 1   2 S e   2 RL  h  T1  Ta 

 6

de la ecuación (6): P Se  2 L R 1   2



 7

de la segunda parte de la ecuación (6): R 1   2 Se  Ta  T1 2h

 8



Despejando

T1





Remplazando (8) en (5): R 1   2 Se S R2 T  Ta  e 2h 4k





 

2  r   2  r  1        2  ln   R    R   

Remplazando (7) en la ecuación anterior: R 1  2 P R2 P T  T  a 2hL R 2 1   2 4kL R 2 1   2











 

 r   1    R  



T r R pero si , entonces evaluamos la ecuación anterior para 2   R 1  2 P R2 P  R    R  2 T   T  1   2  ln    a      R     R  2hL R 2 1   2 4kL R 2 1   2  

Como no se conoce

T1

 2  r    2  ln    R   

2











1-4



 T  Ta  







2 L R 2 1   2 





2 L R 2 1   2  T  Ta 



h 





h

2

 R

  2 2  ln     



  1      2k 

2

  2 2  ln     





 R  2 1       2 2  ln     2k   









L R 2 1   2  T  Ta 

1  R  R

 1      4k  

2

2h

P



 P

  1    2k 

2 L R 2 1   2  T  Ta 



P

 R

 1  2 

 1 2

R

h



R

P



 1  2

RP

2

2



 2 2  ln  





 R 2 1   2 L  T  Ta 

 1   R    R 2

2h

4k

2



1  2   1   2  2  ln     

10B.18 Perfiles de temperatura en un reactor con densidad de flujo axial (figura 10B.18). a. Demostrar que para una fuente de calor que depende linealmente de la temperatura, las m  m ecuaciones 10.5-6 a 10.5-14 tienen las soluciones (para ) m m  exp m  exp m   I  1  2  exp   m m  Z  10B.18  1 m  exp m  m2 exp m

 II  III 



m  exp m   exp m Z   m  exp m   exp m Z  m2 exp m  m2 exp m m2  m2 exp  m  m  m2 exp m  m2 exp m

m  12 B 1  1   4 N / B 



 m  m 

 10B.18  2   10B.18  3

B  0Cˆ p L /  ef , zz .

Aquí , donde algunos perfiles calculados a partir de estas ecuaciones.

1-5

En la figura 10B.18 se muestran

Figura 10B.18 Perfiles de temperatura que se predicen en un reactor de lecho fijo con flujo axial para B = 8 y varios valores de N. b. Demostrar que, en el límite cuando B tiende a infinito, la solución anterior concuerda con la de las ecuaciones 10.5-21 a 10.5-23. c. Efectuar comparaciones numéricas de los resultados en la ecuación 10.5-22 y la figura 10B.18 para N = 2 en Z = 0,0; 0,5; 0,9 y 1,0 d. Suponer que la ecuación 9.6-9 es válida. Demostrar que los resultados en la figura 10B.18 corresponden a un lecho catalizador de longitud L igual al diámetro de 4 L / Dp partículas. Debido a que en reactores industriales la relación rara vez es menor que 100, se concluye que una suposición razonable en cálculos de diseño en estado

 ef , zz

estacionario es despreciar

.

Solución a. Para una fuente de calor que depende linealmente de la temperatura tenemos:  T  T0 Sc  Sc1    Sc1  T1  T0 Sc1 y T0 Donde son constantes para las condiciones dadas en la entrada al reactor. Tenemos el siguiente cambio de variables Z  z / L  LZ  z  LdZ  dz N  Sc1 L /  Cˆ p0  T1  T0   T  T0   T1  T0





 T1  T0    T  T0



 T1  T0  d   dT

B  0Cˆ p L /  ef , zz . Realizando el siguiente cambio de variable en las ecuaciones (10.5-6,7 y 8).

1-6

 z  0

dT I d 2T I  Cˆ p0   ef , zz dz dz 2

 10.5  6 

d I d 2 I  Cˆ p0  T1  T0    ef , zz  T1  T0  2 2 LdZ L dZ

 ef , zz d 2  I d I  dZ  Cˆ p0 L dZ 2 1 d 2I d I  B dZ 2 dZ

 0  z  L

 1

dT II d 2T II  Cˆ p0   ef , zz  Sc1 F    dz dz 2

 Cˆ p0

 T1  T0  d II LdZ

  ef , zz

 10.5  7 

 T1  T0  d 2 II 2

L dZ

2

 Sc1 II

 ef , zz d 2 II LSc1 d  II   II 2 ˆ ˆ dZ L  C p0 dZ  C p0  T1  T0  1 d 2 II d  II   N  II  0 2 B dZ dZ

 z  L

 Cˆ p0

 2

dT III d 2T III   ef , zz dz dz 2

 T  T  d  Cˆ p0 1 0 LdZ

III

  ef , zz

 10.5  8  T1  T0  d 2 III L2 dZ 2

 ef , zz d 2 III d III  dZ L  Cˆ p0 dZ 2 1 d 2  III d III  B dZ 2 dZ

 3

Con las condiciones límite dadas en las ecuaciones en z  , T I  T1 C.L.1: en z  0 T I  T II C.L.2: dT I dT II en z  0  ef , zz   ef , zz dz dz C.L.3: en z  L T II  T III C.L.4: dT II dT III en z  L  ef , zz   ef , zz dz dz C.L.5:

1-7



I  1 en Z  



 I   II en Z  0



d  I d  II  en Z  0 dZ dZ



II  III en Z  1



d  II d  III  en Z  1 dZ dZ

C.L.6:

T III  finita

en z  



 III  finite en Z  

Resolviendo la ecuación (1) tenemos: 1 d 2I d I  B dZ 2 dZ y haciendo

d I dZ

1 dy y B dZ



dy  BdZ y

d I  C1e BZ dZ

I 



 ln y  BZ  ln C1

 y  C1e BZ

d I  C1e BZ dZ

C1 BZ e  C2 B

 4

Resolviendo la ecuación (2) tenemos: 1 d 2 II d  II   N  II  0 2 B dZ dZ Entonces

m 2  Bm  BN  0

m 

B  B 2  4 BN 2



m  12 B 1  1   4 N / B 



Por lo tanto la solución será:  II  C3e m Z  C4 em Z para m  m

 5

Derivando tenemos: d II  m C3e m Z  mC4 e m Z d Resolviendo la ecuación (3): 1 d 2  III d III  B dZ 2 dZ y haciendo

d  III dZ

1 dy y B dZ



dy  BdZ y

 ln y  BZ  ln C1

1-8

 y  C5e BZ

d  III  C5e BZ dZ

 III 



d  III  C5e BZ dZ

C5 BZ e  C6 B

 6

Empleando C.L.1 en (4): C 1  1 e   C2 B

 7

C2  1 Empleando C.L.3 con (4) y (5): m 0 m 0 C1e 0  m C3e     m C4e   

 8

C1  m C3  m C4 Empleando C.L.2 con (4) y (5): C1  0  0 0 e  1  C3e   C4e  B

 m C3  mC4  B

 1  C3  C4

B   B  m  C3   B  m  C4 B  m C3  m C4

donde m  m  B

 9

Empleando C.L.6: con (6): C finito  5 e  C6 B

 10 

C5  0 Empleando C.L.5: con (5) y (6): m C3e m  m C4 em  0 C4  

m C3em  m m

 11

Remplazando en (9):  m  B  m C3  m    C3e m  m  m 





Bm em  m2 em  m2 e m C3

C3 

Bm em m2 e m  m2e m

 12 

Remplazando (12) en (11):

1-9

C4  

m m m  Bm e m  e  2 m 2 m m  m e  m e 

C4  

m e m B m2 e m  m2 em

 13

Remplazando (12) y (13) en (8): Bm e m m e m B C1  m 2 m  2 m  m 2 m  m e   m e  m e   m2 e m

C1 



m m B em  e m m2 em



 14 

 m2e m

Empleando C.L.4 con (5) y (6): C3e m  C4 e m  C6

C6  C6 

Bm em em Bm em em  m2 e m  m2 e m m2 e m  m2 e m Be m  m  m  m 

 15

m2 em  m2 e m

Remplazando las constantes tenemos: De la ecuación (4): m m em  em e BZ I   1 m2e m  m2 e m I

 









m m e m  e m e

m  m  Z

1

m2 e m  m2 e m

 10B.18  1

De la ecuación (5):

 II 

II

 

II 

Bm e m m e m B m Z e  em Z m2e m  m2e m m2 e m  m2e m



B m e m e m Z  m e m e m Z m2 em

m e 

m m Z

e



 m2 e m

 m e m e m Z

m2e m

m



 m2 em

De la ecuación (6) tenemos: Bem  m  m  m   III  m2 e m  m2 e m

1-10

 m 

 10B.18  2 

 m  m   m  m  em  m 

III 



b. Para

B

III



m2 em  m2e m

m 

2 



 m2 e m  m

m2 e m

 10B.18  3

 m2 e m

tenemos:









lim  m   lim  B  

1 2

B 1  1   4 N / B    12    1  1  0   

lim  m   lim  B  

1 2

B 1  1   4 N / B  

B 

B 



 lim 

1 2

B  





 lim  B  





1 1   4N / B   1

B 1







B 4N / B



 



  2 1  1   4 N / B  

lim  m  

B 

4N



2 1 1 0







 1   4 N / B    1   4N / B 





 B 1  1   4N / B 

 lim  B  



  4N    lim  2 1  1  4 N / B B     







2 1  1   4 N / B   



4N N 2  2

 17 

Remplazando los límites en las ecuaciones 10B.18-1,2,3:  m m em  em e m  m  Z  I lim   lim   1  1 B  B    m2 e m  m2 e m  



 16 



 18

Ya que para esta zona Z es negativo.  m e m e m Z  m e m e m Z  m  m   lim  II  lim  B  B    m2 em  m2 e m   m Z  1   m Z m  e   m e e  / m  1  m / m    lim  II  lim  B  B    1  m2 e m / m2e m  







lim 

B 

Ya que

 Z  1

II

e 

NZ





 Ne N e  /   1  N /   2 N

1 N e / 

e 

NZ



 0  1  0 1 0

 e NZ

siempre es negativo para la zona II.  m2  m2 e m  m  1  m2 / m2 e m    lim  lim III  lim  B  B   m 2 e m  m 2 e m  B   1  m2e m / m2 e m      







1-11



 19 

lim  III 

1 N

B 

2



/ 2 e N

2 N

1 N e / 

 eN

Para comprobar la ecuación (19) remplazamos 1 d   NZ F  

F    

 20  en la ecuación 10.5-22:



1



II

d  II  NZ

ln  II  NZ



Lo que demuestra el valor obtenido, si que concuerda con la ecuación 10.5-23. c.

 II  e NZ Z 1

, la ecuación (21) es igual a la ecuación (20), lo

De la ecuación 10.5-22 tenemos: II 1 d   NZ I F   

 

II



Para este caso:

ln

Para

 I  1, N  2

I

d  NZ 

II  NZ I



II  e NZ I 

y diversos valores de Z tenemos la siguiente tabla: Z  II  I e NZ 0,0 0,5 0,9 1,0

 21

1,0000 2,7183 6,0496 7,3890

Graficando tenemos:

1-12



T  T0 T1  T0 Z  z / L 10

1

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.1

Que es tiene pocas variaciones con la gráfica 10B.18-1

10C.1 Calentamiento de un alambre eléctrico cuyas conductividades eléctrica y térmica dependen de la temperatura. Encontrar la distribución de temperatura en un alambre que se caliente eléctricamente, cuando las conductividades eléctrica y térmica varían con la temperatura como sigue: k  1  1   2 2  .... k0  10C.1  1 ke  1  1   2  2  .... ke0

 10C.1  2 

   T  T0  / T0 T0 son los valores de las conductividades a la temperatura , y  i y i una elevación adimensional de la temperatura. Los coeficientes son constantes. Estos desarrollos en serie son útiles sobre intervalos de temperatura moderados.

Aquí

k 0 y ke 0

a. Debido al gradiente de temperatura en el alambre, la conductividad eléctrica es una ke  r  . función de la posición, Por tanto, la densidad de la corriente también es una I  r   ke  r  .  E / L  , función de r: y la fuente de calor eléctrico también depende de la 2 S e  r   ke  r  .  E / L  . posición: Entonces, la ecuación para la distribución de temperatura es

1-13

1 d  dT  E   rk  r    ke  r   r dr  dr  L

2

 10C.1  3

Ahora, introducir las cantidades adimensionales demostrar entonces que la ecuación 10C.1-3 se vuelve k 1 d  k d     B e   d   k0 d  ke 0

  r /R y B  ke 0 R 2 E 2 / k 0 L2T0

y

 10C.1  4 

Cuando en esta ecuación se insertan las expresiones en desarrollo en serie de potencias para las conductividades, se obtiene 1 d  d  2 2   1  1   2   ...    B 1  1   2  ...  d  d   10C.1  5 









Esta es la ecuación que debe resolverse para la distribución adimensional de temperatura. i i b. Empezar observando que si todas las y las fuesen cero (es decir, que ambas conductividades fuesen constantes), entonces la ecuación 10C.1-5 se simplificaría a 1 d  d      B  d   d   10C.1  6    finita Cuando esta ecuación se resuelve con las condiciones límite de que en   0,   0 en   1, se obtiene 2 1   4 B 1   10C.1  7 





Ésta es la ecuación 10.2-13 en notación adimensional. Nótese que la ecuación 10C.1-5 tendrá la solución de la ecuación 10C.1-7 para valores pequeños de B; es decir, para fuentes de calor débiles. Para fuentes de calor más poderosas, postular que la distribución de temperatura puede expresarse como una serie de potencias en la intensidad adimensional B de la fuente de calor:   14 B 1   2 1  B1  B 2 2  ...  10C.1  8 







 n Aquí las son funciones de pero no de B. Sustituir la ecuación 10C.1-8 en la ecuación 10C.1-5 e igualar los coeficientes de potencias semejantes de B para obtener n , con n  1, 2,3,... . un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias para las Estas  n  finita   0 ecuaciones pueden resolverse con las condiciones límite de que y  1 n  0 en . De esta manera, obtener   14 B 1   2  1  B 18 1 1   2  161 1 3   2  O B 2   10C.1  9   



 



 



O B2

donde

significa “términos del orden de

1-14



B2



 

y superiores”.

c. Para los materiales descritos por la ley de Wiedemann-Franz-Lorenz (véase 9.5), la k / keT razón es una constante (independiente de la temperatura). Por tanto, k k  0 keT ke 0T0  10C.1  10  Combinar esta ecuación con las ecuaciones 10C.1-1 y 10C.1-2 para obtener 1  1   2 2  ...  1  1   2 2  ...  1     10C.1  11





Igualar los coeficientes de potencias semejantes de la temperatura adimensional para i i 1  1  1,  2  1   2 , obtener relaciones entre las y las : etc. Usar estas relaciones para obtener   14 B 1   2  1  161 B  1  2    1  2   2  O B 2   10C.1  12   









 

Solución a.

Para adimensionalizar r tenemos:  r/R  k R2 E 2 B  e0 2 k0 L T0 

T  T0 T0

r  R



k0T0 B  RE   ke 0  L



T0  T  T0

 1

dr  Rd 

 2

 2 

T0d   dT

 3

Remplazando (1) en la ecuación (10C.1-3): 2 1 d  dT   E   R k      ke      R Rd   R d   L 1 d  dT  RE    k      ke       d  d  L

2

Remplazando (2) y (3): 

 k0 T0 B T0 d  1 d   k      ke       ke 0   d   d    



k 1 d  k d    B e   d   k0 d ke 0

 10C.1  4 

Remplazando las ecuaciones 10C.1-1 y 10C.1-2 en 10C.1-4: 1 d  d  2 2   1  1   2   ....    B 1  1   2  ...  d  d 





Que es la ecuación solicitada.

1-15





 10C.1  5 

b.

Para

 i  i  0

tenemos en la ecuación 10C.1-5: 1 d  d  2 2   1   0     0    ....    B 1   0     0    ...  d  d 





1 d  d     B  d   d 







 10C.1  6 

 d  d      B d   d  

integrando:

d 

 d   d   B   d  d  2   B  C1  2  d 



C  d    B d  1 d 2  realizando una segunda integración: B d d    d  C1 2 









B 2   C1 ln   C2 4

 4

Con las condiciones límite  0   finita C.L.1: en B 2     0   C1 ln  0   C2 4 remplazando:   C1     C2 por lo tanto C.L.2:

C1  0   0 en   1 0

B 2  1  C2 4

C2 

B 4

 5

remplazando en (4): 

B 2 B   4 4

1-16





B 1  2 4



 10C.1  7 

Para fuentes de calor más grandes, esta ecuación puede expresarse como serie de potencias:   14 B 1   2 1  B1  B 2 2  ...  10C.1  8 







Remplazando esta ecuación en 10C.1-5 tenemos: 1 d  1  1  14 B 1   2 1  B1  B 2 2  ...    d



 2  d  d 







1 4











1 4

1 d    d  d  1  d  4 



B 1   2 1  B1  B 2 2  ... 

 B 1  1   2 



B 1   2 1  B1  B 2 2  ... 

1 4





1 4



2





 ...  



B 1   2 1  B1  B 2  2  ...







B 1   2 1  B1  B 22  ... 









2



 ...  









 1  1  B 1   2 1  B  B 2   ...  1  B 2  1   2 1  B  B 2   ...  1 2 1 2 4 1 16 2   

1    B  B  2



2

1

 B 3 2  ... 





 B



2

 14 B 3  2  1   2 1  B1  B 2 2  ...  

1 4





B 2  1 1   2 1  B1  B 2 2  ...  

2



 ...

B1

Tomando los términos que contienen tenemos:  1 d  d  1   1   4 1   2  B    B   d  d 



B B



1 d   1  2  B  d  2 

1  B 



BB

 6

B2 Tomando los términos que contienen tenemos: 1 d  d  1  14 1 B 1   2  1  B1      d  d







  14 B 2 1  1   2   







 1     B  B   2

2

1









1 d  d B  14 1 B 2 1   2      d  d



1 d   d     d    d 

1 4

1 4

 1     B  B   2

2

1

1 4

 1     1  B  2

1





 14 1 1   2 

d  d  

1 4

 

1 4

1     B 2





B 2 1 1   2   2

  14 B 2 1  1   2   

1-17



  B 31      





 ... 



1 d  2 d  B  d   d 

1 4

 1      2



1

d d  14 1 B 2 1   2    d  d



1 



1 4

 1     2









  14 B 2 1 1   2 B2

 B2

1 d  d    d   d  

1 4

1 d  d    d   d 

 1     

 14 1 B 2

2

1

1 4

 1      2

1

  2 



  14 B 2 1 1   2



1 d  d

 14 1 B 2

1 2



4







1 2 3     14 B 2 1 1   2 

 1 d  d   1   2 1      d   d 

 1 2 2  1  1 1   2





 d   d  1   2 1     d 





















 1 2 3   d   1    3 d

Integrando por primera vez:   2  4  2 d   2  1   2 1  1   4    1      C1  d  2  4  2 4





  3     3 d d  1   2 1  1    d  1   d  C1     2 2  2 4





Integrando por segunda vez:



  4  2   2  4    1    C1 ln   C2 4 4 16  8  



1   2 1  1 

Aplicando las condiciones límite tenemos:   0  1  finita C.L.1:  04 0 2  0 2 0 4 1  02 1  1     1    C1 ln  0   C2 4 4 16  8  





1  C1     C2

ya que C.L.2:

1  finita

C1  0 , entonces   1  1  0 

4





2

 1  1   0     18  14    2

1







1

12 14    C2 4 16 

 1 1  1 1    1    C2  8 4  4 16 

0  1 

1-18

 7

1 3 C2  1  1 8 16

Con lo que la ecuación (7):   4  2   2  4 1 3    1    1  1 4 4 16 8 16  8  

1  

 1 

1  

1 1  1  4  2 2  1  1  4  4 2  3 8 16

2

1

2

1























1 1   2  1 1  1  2  1  2  1  1  2  1  2  3 8 16







1 1 1   1  2  1  1  2  3 8 16





 8

Con lo que la ecuación 10C.1-8 queda de la siguiente manera  1   1    14 B 1   2  1  B   1  2  1  1  2  3  O B 2  16  8   











  1  

  14 B 1   2  1  B 

1 8

2

1

 

O B2

c.



donde significa “términos del orden de Tenemos la temperatura adimensional: T  T0 T   1 T0 T0

B2



1 16



1 3   2



 

   O  B  2

 10C.1  9 

y superiores”.

T   1 T0

 9

Asimismo de la ecuación 10C.1-10: k k  0 keT ke 0T0 

k T k  e k0 ke 0 T0

 10 

entonces remplazando (9), 10C.1-1 y 10C.1-2 en (10) tenemos: 1  1   2 2  ...  1  1   2 2  ...    1





 10C.1  11

Desarrollando tenemos: 1  1   2  2  ...    1 2   2 3  ...  1  1   2 2  ...



 



1  1   2 2  ...  1    1  1   2   2  1   ... Igualando los exponentes similares de 1    1  1 1 Para 1  1  1



tenemos:

 11

1-19

Para

 2 2  2   2  1 

2

 12 

 2   2  1 Remplazando (11) en 10C.1-9:











  2  2  2 















 









 

  14 B 1   2  1  B    14 B 1   2  1  B 

1 8

 1  1  1   2   161 1  3   2    O  B 2 

1 16

1

1

2





 2 2  161 1 3   2



   O  B  2

 

  14 B 1   2  1  161 B 21  2  21 2  2 2  31  1 2  O B 2      14 B 1   2  1  161 B  1  2  1 2  2 2  O B 2   

  14 B 1   2  1  161 B  1  2    1  2   2  O B 2   

 10C.1  12 

Que es la ecuación solicitada.

10C.2 Calentamiento viscoso con viscosidad y conductividad térmicas que dependen de la temperatura (figuras 10.4-1 y 10.4-2). Considérese la situación de flujo que se muestra en la figura 10.4-2. Tanto la superficie estacionaria como la superficie móvil se mantienen a una T0  temperatura constante . Entonces, las dependencias de k y respecto a la temperatura están dadas por: k  1  1   2 2  ... k0  10C.2  1

0    1  1   2  2  ...  0 donde las

i

y las T  T0

i

son constantes,

 10C.2  2 

 1/ 

es la fluidez, y el subíndice "0" significa    T  T0  / T0 "evaluado en ". La temperatura adimensional se define como . a) Demostrar que las ecuaciones diferenciales que describen el flujo viscoso y la conducción de calor pueden escribirse en las formas d   d   0 d   0 d  10C.2  3 2

d  k d    d    Br   0 d   k 0 d  0  d 

1-20

 10C.2  4 

   z / b ,   x / b y Br  0b2 / k0T0

donde (el número de Brinkman). b) La ecuación para la distribución adimensional de temperatura puede integrarse una vez d / d   C1   / 0  , C1 a fin de obtener donde es una constante de integración. Luego, esta expresión se sustituye en la ecuación de energía para obtener d  d  2 2 2  1  1   2   ..   Br C1 1  1   2   ...  0 10C.2  5 d  d   









Primero obtener los dos primeros términos de una solución en la forma    , Br   Br 1     Br 2  2     ...

   , Br   0  Br 1     Br 2 2     ...

 10C.2  6   10C.2  7 

C1 Además, se sugiere que la constante de integración también se desarrolle como una serie de potencias en el número de Brinkman, para llegar a C1  Br   C10  Br C11  Br 2 C12  ...  10C.2  8  y b qx  0 c) Repetir el problema, cambiando la condición límite en a (en vez de especificar la temperatura). Respuestas:     121 Br 1   3 2  2 3  ... b)   12 Br    2  18 Br 2 1  2  2 3   4  241 Br 2 1   2 2  2 3   4  ...





















    16 Br 1 2  3 2   3  ... c)









  Br   12  2  81 Br 2 1 4 2  4 3   4 

1 24





Br 2 1 8  8 2  4 3   4  ...

Solución Tenemos las figuras

Figura 10.4-2 Modificación de una porción del sistema de flujo en la figura 10.4-1, donde se desprecia la curvatura de las superficies que delimitan el sistema. a.

Tenemos la ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares (según la figura 10.4-2) para el eje z:

1-21

  z  z  z  z  p       x  y  z    xz   yz   zz   g z   t x y z  z  x y z   



d z d     0 dx  dx 

 1

Asimismo la ecuación de energía para el eje z:  q  T q y   ln   q  T T T   Cˆ p   x  y  z   x   z      t  x y z  y z   x   ln T  

p

Dp    :   Dt

 d  dT   k     :   dx   dx 

0  

  y    y    x    x    x    xy    xz    yx     yy           x   y   x   z   y     

  :     xx  Donde

  y 

 yz   

  :     

d z dx

  z    z    z   zy    zz     zx        z   x   z   y 

 d z  dx   

Remplazando tenemos:  d  dT   d z  d  z 0  k       dx  dx     dx  dx 

 2

De las variables adimensionales tenemos:   z   z  b b



d z  b d



x b



dx  bd 



T  T0 T0



T0  T  T0

0b2 k0T0



b2 Br k0  T0 0

Br 

x  b



 3  4



dT  T0 d 

 5  6

Remplazando (3) y (4) en (1) tenemos: b d d     0 bd   bd  d   d    0 d   0 d

 10C.2  3

Remplazando (3), (4) y (5) en (2):

1-22



 b d    b d d  T0 d    k      bd   bd     bd   bd  

0 0

T0  d  d   b2  d    d k        b 2  d   d   b 2  d    d 

b2  d  d  d   k     d   d  T0  d 

2

0

Remplazando (6): Br k0  d  d  d    k   d   d 0  d 

2

0 2

d  k d    d    Br   0 d   k 0 d  0  d  b.

 10C.2  4 

Integrando la ecuación 10C.2-3 d   d    0 d   0 d 

 d  C1 0 d  Remplazando la ecuación 10C.2-2: d  C1 1  1   2  2  ... d





 7

Remplazando (7) y 10C.2-2 en 10C.2-4: d  k d  Br C1 1  1   2 2  ...    d   k 0 d  1  1   2  2  ...

  





2

0

Remplazando 10C.2-1: d  d  2 2 2  1  1   2   ...   BrC1 1  1   2   ...  0 10C.2  5 d  d   









Remplazando las ecuaciones 10C.2-6 y 8 en 10C.2-5 tenemos:











2 d  1  1 Br 1     Br 2  2     ...   2 Br 1     Br 2  2     ...  ...  d  2 d  Br 1     Br 2  2     ...   Br C10  Br C11  Br 2 C12  ...  d





















2



 1  1 Br 1     Br 2  2     ...   2 Br 1     Br 2 2     ...  ...  0

Agrupamos los términos según el exponente de Br. Para

Br1

en

1

:

1-23

d d 

 







2 2   1  1 Br 1     Br  2     ...   2 Br 1     Br  2     ...  







d Br 1     Br 2  2     ...   Br C10  Br C11  Br 2 C12  ...  d



Br





2

  ... 

2

   1  1 Br 1     Br 2  2     ...   2 Br 1     Br 2  2     ... 







2

  ...  0 

d  d 1 2  Br  C10   0   d  d 

 d 1 2    C10  d   d 

d

Integrando por primera vez: d 1 2    C10    C2 d d 1    C10   d   C2 d  2

Integrando por segunda vez: 1    C10 

2

2  C2  C3 2

 8

Con las condiciones límite:  0  1  0 Para 2 2 0 0    C10   C2 0  C3 2 0  C3

 1

Para



0    C10  C2 

2

1  0

12  C2  1 2

1 2  C10  2

Remplazando 1    C10 

2

 C10 

2

1 

Br 0

1 2

2 2   C10  2 2

  

 9

2

0

Para en : Remplazando las ecuaciones 10C.2-6,7 y 8 en (7) tenemos:

1-24

d 0  Br 1     Br 2 2     ...   C10  Br C11  Br 2 C12  ...  d   1  1  Br 1     Br 2 2     ...   2  Br 1     Br 2 2     ...  ...   2



 

d 0  Br 1     Br 2 2     .. .  C10  Br C11  Br 2 C12  ... d



  1  1  Br 1     Br 2  2     ...   2  Br 1     Br 2  2     ...  .. .   2

d  0   C10 d d  0   C10 d 

 10 

0  C10  C4 Con las condiciones límite:  0   0 Para 0  C10  0   C4 C4  0

 1   1

Para

Para

1  C10  1

Br 2

en

C10  1

 10a 

0  

 11

2

: d  1  1 Br 1     Br 2  2     ...   2 Br 1     Br 2  2     ...   d   2 d  Br 1     Br 2  2    ...   Br C10  Br C11  Br 2 C12  ...  d





 











   1  1 Br 1     Br 2  2     ...   2 Br 1     Br 2 2     ... 

d   1 1 Br d  d d

1





d Br 1 Br 2 d



2

  









 Br C102  2 Br C10C11  Br 2 C112  1  1 Br 1   0

1-25

2

2

  ... 

  ...  0 

Br  C10 Br C11   1 1 Br 1  0

 d  d 2 2 3  d  Br 1  Br  2  11 d  Br 1  Br  2   







2



Br 2

Br 2





d 1 d  d 2  11  Br C102  Br 2 1C102 1  2 Br 2 C10C11  2 Br 3 C10C1111  0 d   d  d  

d 1 d  d 2  11  Br 2 1C102 1  2 Br 2 C10C11  0   d  d d 

d 22 d 1 d  2  1  1   1C10 1  2C10C11  0 2 d  d  d

 12 

Calculando el segundo término de la ecuación (12) tenemos: d 1  d  d 1 d  1 2 2 2 C   2   1    2  C10     2  10   d  d  d d 







d 1 d  4 d 1  1   4  C10  d  d  d

       1  2  

d 1 d   1   d  d 



1 4

 C10  4



2

d   3 2  2 3 d

d 1 d  4 2 1  1   4  C10  1  6  6 d  d 







 13

Remplazando (9), (10a) y (13) en (12): d 22 1  4 1 1  6  6 2  12 1    2  2C11  0 2 d









 d 2 2 2 1 1    4 1 1  6  6 d  2 1    d  2C11d d   



d





Integrando por primera vez: d 2   14 1   3 2  2 3  12 1 d











 2  13  3  2C11  C2

1 2





d  2   14 1   3 2  2 3 d  12 1



1 2



 2  13  3 d  2C11 d  C2 d

Integrando por segunda vez:  2   14 1 12  2   3  12  4  12 1



Con las condiciones límite:  0  2  0 Para 0   14 1 12 02  03  12 04  12 1

03  121 0 4  C11 0 2  C2 0  C3











1 6

1 6

0  C3 Para

 1



0   14 1  12  1 

2  0 1 2

  12 1  61  121   C11  C2

1-26



 3  121  4  C11 2  C2  C3



 14 

C2 

1 24

1  C11

Quedando la ecuación (14) de la siguiente manera: 2   14 1 12  2   3  12  4  12 1



 2   14 1

Para

Br1

en

1

:





1 2





1 6



 3  121  4  C11 2   241 1  C11  







 2   3  12  4  241 1   2 3   4  C11  2  



     1    Br      Br      ...    Br      Br      ... 

 *



d 0  Br 1     Br 2 2     ...  C10  Br C11  Br 2 C12  ... d 2

1

1

2

2

2

1

2

2

 ... 

d  Br 1    C10  Br C11   1  1 Br 1  d

 



d  Br 1   C10  Br C11  Br 1C10 1  Br 2 1C111 d d1  C11  1C10 1 d Remplazando (9) y (10a) en (15): d1  C11  1 12    2 d



  15 



d1  C11d   12 1     2  d 

1  C11  12 1  12  2  13  3   C2

Integrando: Con las condiciones límite:   0  1  0 Para  0   C11  0   12 1  12  0   13  0    C2 C2  0 Para

  1  1  0 0  C11  12 1  12  13 

 15a 

C11   121 1 Con lo que obtenemos: 1    121 1    12 1  12  2  13  3 

1   121 1  12 1  12  2  13  3 

1-27

1   121 1    3 2  2 3 

 16 

Finalmente remplazando (9) y (*) en 10C.2-6:   Br 12  C10   Br 2   14 1 



   

2

1 2

2

Remplazando (15a): 2   12 Br  C10     2  Br 2   14 1 





1 2











 2   3  12  4  241 1   2 3   4  C11  2     ... 













 2   3  12  4  241 1   2 3   4    121 1   2     ... 













  12 Br    2  14 Br 2 1

1 2







 2   3  12  4  241 Br 2 1   2 2  2 3   4  ...







  12 Br    2  12 Br 2 1  2  2 3   4  241 Br 2 1   2 2  2 3   4  ...

Asimismo remplazando (11) y (16) en 10C.2-7:     121 Br 1   3 2  2 3  ...



c.

Para

x b

tenemos: qx  0

Para

Br1

en

1



d 0 d



:

C3  0 En la ecuación (8) para : d 1  C102   C2 d

 1 Para

d 0 d



0  C102  1  C2 C2  C102

Por lo tanto: 1  C102

2  C102  2





1    12  2

Br 2

 17 

2

Para en : El segundo término de la ecuación (12) será:

1-28

d 1 d  d  1    d  d  d 

 

2

1 2

 dd   

1 2

  2 



d 1 d  d    12  2  1     1    d  d  d 





d 1 d  d    32  2  21  3  1    d  d  d 

d 1 d  3 2  1   1  3  2  d  d  Remplazando en (12), junto a la ecuación (17): d 22  1 1  3  32  2  1C102   12  2  2C10 C11  0 d 2









d  d 2 3 2 1 2    1 1  3  2   1   2   2C11 d  d 









 d 2 3 2 1 2   1 1  3  2  d   1   2  d  2C11d  d   



d



Integrando por primera vez: d 2  1   32  2  12  3  1 d













1 2









 2  16  3  2C11  C2

d 2  1   32  2  12  3 d  1

Integrando por segunda vez: 2  1 12  2  12  3  81  4  1



1 6



1 2



 2  16  3 d  2C11 d  C2 d



 3  241  4  C11 2  C2  C3

Con las condiciones límite:  0  2  0 Para 1 0  1  12  0   12  0   81  0    1  16  0   24  0    C11  0   C2  0   C3 0  C3

 1 Para



d 2 0 d

0  1  1  32  12   1  12  16   2C11  C2

C2  13 1  2C11

Quedando la ecuación (19) de la siguiente manera: 1  2  1 12  2  12  3  81  4  1 61  3  24  4  C11 2   13 1  2C11  







1-29

 18 



 19 











 2   12 1  2   3  14  4  13 1   12  3  81  4  C11 2   2

Br1



 20 

1

Para en : Remplazando (17) en (15): d1  C11  1   12  2 d





d1  C11d   1    12  2  d 

1  C11  1  12  2  16  3   C2

Integrando: Con las condiciones límite:   0  1  0 Para 0  C11  0   1  12  0   16  0    C2 C2  0 Para

  1  1  0 0  C11  1  1  12  16 

 21

C11   62 1 Con lo que obtenemos: 1   26 1  1  12  2  16  3 

1  16 1  2  3 2   3 

 22 

Finalmente remplazando (17) (20) y (21) en 10C.2-6:

















  Br   12  2  Br 2   12 1  2   3  14  4  13 1   12  3  18  4  26 1 2   2   ...  













  Br   12  2  12 Br 2 1  2   3  14  4  13 Br 2 1    2  12  3  18  4  ...













  Br   12  2  18 Br 2 1 4 2  4 3   4  241 Br 2 1 8  8 2  4 3   4  ...

Asimismo remplazando (11) y (22) en 10C.2-7:    , Br     16 Br 1 2  3 2   3  ...





10D.1 Pérdida de calor desde una aleta circular (figura 10D.1). T  r a) Obtener el perfil de temperatura para una aleta circular de espesor 2B sobre un tubo T0 cuya temperatura en la pared exterior es . Hacer las mismas suposiciones que se hicieron en el estudio de la aleta rectangular en 10.7.

1-30

b) Deducir una expresión para la pérdida de calor total desde la aleta.

Figura 10D.1 Aleta circular sobre un tubo calentado. Solución

a.

Realizando un balance de calor sobre un anillo de espesor

r

tenemos: 2 r  2 B 

- Flujo de calor por conducción que ingresa por la superficie 2 r  2 B  qr r 2 r  2 B  - Flujo de calor por conducción que sale por la superficie 2 r  2 B  qr r r

r

r r

- Flujo de calor por convección que sale por los costados de la aleta (ambos lados): Cálculo del área de transferencia, restando el área de la circunferencia mayor y la menor tenemos: A   r22   r12    r2  r1   r2  r1  Como

r2  r1  r

es un área infinitesimal, entonces A    r2  r1   r2  r1     2r   r 

Entonces el flujo de calor por convección será: 2    2r   r  qhz 2    2r   r  h  T Ta  4 r rh  T  Ta 

1-31

r2  r1  r

, por lo tanto:

Sumando tenemos: 2 r  2 B  qr r  2 r  2 B  qr Dividiendo entre 

4 Br



r qr

:

r r

 qr

r

r

r r

 4 r rh  T  Ta   0

  rh  T  T   0 a

B

Tomando límites obtenemos: d rh   rqr    T  Ta   0 dr B qr   kdT / dr

Aplicando la ley de Fourier d  kdT rh   r    T  Ta   0 dr  dr  B

d  dT rh  T  Ta   0  r  dr  dr Bk

 1

Adimensionalisamos las variables de la siguiente manera: r   r  R0  dr  R0 d  R0 

 T  Ta   T0  Ta 



 T0  Ta     T  Ta 

Remplazado en (1) tenemos:  T0  Ta  d  R0 h d  R0    T0  Ta    0 R0 d  Bk R0 d     R02 h d  d    0     d   d  Bk

Remplazando

 2  R02 h / Bk

y desarrollando tenemos:  d 2  d     2  0 2 d  d   d 2  d    2 2  0 2 d  d 

2 

Que tiene la forma de la ecuación de Bessel, con solución general a  1; b  0; c  0; d    2 ; r  0; s  1 Donde: d / s    2  (imaginario)

1-32



 T0  Ta  d   dT

d /s 

 2 / 1   2

p

1  1  a 1 1  1   c    s  2  1 2

2

0 0

(entero) Por lo tanto la ecuación diferencial tendrá un resultado de la forma:   C1 I 0     C2 K 0   

 2

Que tiene las siguientes condiciones límite: T  T0 en r  R0    1 en   1 C.L.1: 1  C1 I 0     C2 K 0    C2 

1  C1 I 0    K0   

T  T1 en r  R1

C.L.2:

 3 

R d  0 en   1 d R0

  C1 I 0     C2 K 0   

d      0   0  C1   I1       I 0     C 2   K1      K 0     d  x   x     d  C1 I1     C2  K1    d



 3

   R1 R 0  C1 I1   1  C2  K1   R  R0   0

Usando la ecuación (3):

 1  C1 I 0     R  R1 0  C1 I1   1     K1   R  K 0      R0   0

  I   R    R R 1 0  C1  I1   1  0 K1  1    K1  1 K0     R K0       R0  0   R0 C1  I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0   K1   R1 / R0 

C1 

K1   R1 / R0 

I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0 

Remplazando (4) en (3): C2 

1

K0   

  I 0     K1   R1 / R0      K 0     I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0 



1-33

 4

C2 

C2 

C2 

I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0   I 0    K1   R1 / R0  K 0     I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0  I1   R1 / R0  K 0    K 0     I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0  I1   R1 / R0 

I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0 

Remplazando (4) y (5) en (2): 

 b.

K1   R1 / R0  I 0   

I1   R1 / R0  K 0     I0    K1   R1 / R0 



 5 I1   R1 / R0  K 0   

I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0 

K1   R1 / R0  I 0     I1   R1 / R0  K 0    I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0 

 6

Todo el calor que se pierde por la aleta, necesariamente pasa a través de la superficie 2 R0  2 B  r  R0 en , por lo tanto, empleando la ecuación de Fourier:   T  T  d   dT Q  2 R0  2 B  qr r  R  2 R0  2 B   k   4 R0 B  k 0 a  0 R0 d    1  dr 





 d    d   1

Q  4 Bk  T0  Ta  

La derivada se obtiene de la ecuación (3a) remplazando los valores de las constantes:

 K1   R1 / R0  I1     I1   R1 / R0  K1    d   d  I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0  I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0 

 K   R1 / R0  I1     I1   R1 / R0  K1    d  1  d  I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0  

  K   R1 / R0  I1     I1   R1 / R0  K1    Q  4 Bk  T0  Ta     1   I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0      Remplazando:

 K1   R1 / R0  I1     I1   R1 / R0  K1      I1   R1 / R0  K 0     I 0    K1   R1 / R0 

Q  4 B  k  T0  Ta  

1-34

 

 

 1