Fenomenos De Transporte - R Byron Bird 1j1x3w

I. F UNDAMENTOS DOS F ENÔMENOS DE TRANSPORTE Sumário 1. Conceituação.............................................................................................................................................. I-1 2. Objeto de Estudo......................................................................................................................................... I-1 3. Campos...................................................................................................................................................... I-1 4. Fluxo e Densidade de Fluxo......................................................................................................................... I-1 5. Intensidade de Campo ................................................................................................................................. I-1 6. Equações das Variações - Forma Unidimensional.......................................................................................... I-2 6.1. Equação de Newton da viscosidade........................................................................................................ I-2 6.2. Equação de Fourier da Condução de Calor ............................................................................................. I-2 7. Unidades de Medida.................................................................................................................................... I-3 7.1. Sistemas............................................................................................................................................... I-3 7.2. Escalas de Temperatura ........................................................................................................................ I-3 7.3. Unidades de Energia ............................................................................................................................. I-3 7.4. Consistência entre as Unidades.............................................................................................................. I-4 8. Resumo das Leis da Termodinâmica ............................................................................................................ I-4 8.1. Lei Zero da Termodinâmica .................................................................................................................. I-4 8.2. Primeira Lei da Termodinâmica............................................................................................................. I-4 8.3. Segunda Lei da Termodinâmica - Entropia ............................................................................................. I-4 9. Equação de Balanço - Leis de Conservação ................................................................................................. I-4 9.1. Finalidade ............................................................................................................................................ I-4 9.2. Definições............................................................................................................................................ I-5 9.3. Quantidades de um sistema ................................................................................................................... I-5 9.4. Formulação .......................................................................................................................................... I-5 9.5. Postulados Fundamentais ...................................................................................................................... I-5 10. Taxas de Transporte.................................................................................................................................. I-6 10.1. Transporte de massa ........................................................................................................................... I-6 10.2. Propriedades específicas...................................................................................................................... I-6 10.3. Transporte de Energia, Entropia e Momentum ...................................................................................... I-6 11. Balanço de Massa ..................................................................................................................................... I-7 12. Balanço de Energia ................................................................................................................................... I-7 12.1. Trabalho e Calor. ................................................................................................................................ I-7 12.2. Formas de Energia .............................................................................................................................. I-8 13. Balanço de Entropia .................................................................................................................................. I-8 14. Balanço de Momentum.............................................................................................................................. I-9 15. Considerações Finais ................................................................................................................................I-10 15.1. Sistema Fechado................................................................................................................................I-10 15.2. Equações Temporais Vs. de Variação..................................................................................................I-10 16. Referências..............................................................................................................................................I-11

21/02/02 16:34

Profs. Dalton Vinicius Kozak (PUR) e Sérgio Bordalo (UNICAMP)

Fenômenos de Transporte

FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE T RANSPORTE

1. Conceituação Fenômenos de transporte envolvem o transporte ou transferência de massa, calor e momentum (quantidade de movimento) através de um meio. Qualquer processo de transferência é caracterizado pela tendência ao equilíbrio, que é uma condição em que não ocorre nenhuma variação. Uma "força motriz", o movimento no sentido do equilíbrio, e o transporte de alguma quantidade são fatos comuns a todos os processos de transferência. A massa do material através do qual as variações ocorrem afeta a velocidade do transporte, e a geometria do material afeta a direção do processo. equilíbrio

Superfície, T1

Troca de calor líquida pela radiação entre duas superfícies

Superfície, T2

q1” q2”

3. Campos Um campo é uma região onde "acontecem coisas"coisas observáveis. Por exemplo, existe o campo térmico, descrito pela temperatura nos diversos pontos em determinada região dos espaço; o campo gravitacional, descrito pelo valor da força de atração (peso) conforme a posição de um corpo ou partícula; o campo fluido ou de escoamento, descrito pelas velocidades em diferentes locais do fluido.

desequilíbrio maior T

T-Temperatura T3 < T1 T4 > T2

T3

T1

T2

T1 < T2

T4

O estudo dos fenômenos de transporte centraliza-se na análise desses diversos processos de transferência e como eles ocorrem.

2. Objeto de Estudo Os assuntos geralmente abordados em fenômenos de transporte incluem: • tópicos da termodinâmica, visto que suas leis fundamentais continuam válidas e são úteis na análise dos processos de transferência; • mecânica dos fluidos, pois ao escoamento de fluidos estão associados o transporte das várias quantidades: massa, calor e momentum; • transferência de calor pelos mecanismos de condução, convecção e radiação (abaixo). T1 > T2

Condução através de um sólido ou de um fluído estacionário1

Fluido em movimento, T∞

q”

Campo térmico: cada cor está associada a uma temperatura.

T

TS > T ∞ TS

T1

T2

q”

Convecção de uma superfície para um fluido em movimento

Pois bem. A análise do comportamento de cada tipo de campo fornece os subsídios para o estudo dos fenômenos de transferência das quantidades associadas àquele campo.

4. Fluxo e Densidade de Fluxo O fluxo f é a taxa de transferência, no tempo, de alguma quantidade. No caso de fluidos, como a água, pode ser l/s, ou m3 /s (mais conhecido como vazão nesse caso particular). No caso da transferência de calor, pode ser J/s (Watt). Quando essa quantidade é expressa por unidade de área de superfície através da qual o fluxo a perpendicularmente, define-se a densidade de fluxo Df como ∆f D f = lim n ∆ S →0 ∆S onde n é um vetor unitário da normal à superfície S. Das definições acima, percebe-se que o fluxo é uma quantidade escalar, ao o que a densidade de fluxo é vetorial. Assim sendo, conforme o campo em consideração - térmico, fluido, etc. - estaremos tratando em nosso estudo de determinados tipos de fluxo, ou densidade de fluxo, pertinente ao problema em questão. Por exemplo, em um campo térmico, a determinação do fluxo de calor e sua densidade é pertinente.

5. Intensidade de Campo

1

q" é o fluxo de calor por unidade de área perpendicular à direção da transferência - veja densidade de fluxo, a seguir. 21/02/02 16:34

A intensidade de um campo de determinada propriedade P, expressa por ∇P (gradiente de P), permite determinar a densidade de fluxo da grandeza associada a essa propriedade. Por exemplo, a quantidade de calor transferida através de uma superfície é diretamente proporcional ao gradiente de temperatura. Num campo fluido em escoamento, a tensão de I-1

Fenômenos de Transporte

FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE T RANSPORTE

2

cisalhamento é diretamente proporcional ao gradiente de velocidades. De forma genérica, um fluxo estará relacionado à uma determinada propriedade P do campo pela relação D f = −C ∇P

(1)

onde ∇ - operador gradiente - é definido por ∇≡i

∂ ∂ ∂ + j +k ∂x ∂y ∂z

estando a tensão atuando no plano perpendicular ao eixo y e paralelo a x, onde u é a velocidade do fluido na direção x e µ é a viscosidade absoluta. A tensão de τyx u+du cisalhamento y partícula dy está associada de fluido ao fluxo de u τ yx momentum.

(2)

num sistema de coordenadas retangulares, e C é uma constante de proporcionalidade; i, j e k são vetores unitários em direções ortogonais entre si. Quando C for positivo, o sinal negativo indica que o fluxo está na direção da intensidade decrescente do campo. O gradiente de P é algumas vezes denominado de gradiente de potencial, e representa uma força motriz. A constante de proporcionalidade C depende do campo considerado, assim como a intensidade de campo e a densidade de fluxo. Seu valor pode depender da temperatura, da pressão e, se o meio não for homogêneo e isotrópico3 , também da posição.

x

Exemplo 1 Dois discos coaxiais horizontais com diâmetro de 2 ft (pés) estão separados por uma distância de 0.050 in (polegadas). O disco inferior está fixo e o superior gira a 5 revoluções por segundo, necessitando de um torque de 8.62 ft.lbf . Desprezando-se os efeitos laterais, calcule a viscosidade do óleo que preenche o espaço entre os discos. Solução O esquema desse problema pode ser visto na figura abaixo dθ

ω = 10π rad/s T = 8.62 ft.lbf

dr

A

A

6. Equações das Variações - Forma Unidimensional

∂P (3) D f x = −C ∂x onde D f x pode representar a densidade de fluxo de quantidade de movimento, de massa ou de calor, dependendo do campo sendo considerado. A derivada ∂P/∂x é o gradiente de potencial, a intensidade da respectiva força motriz. Na seqüência algumas equações são apresentadas mostrando a analogia entre alguns tipos de transferências. 6.1. Equação de Newton da viscosidade A tensão de cisalhamento τ, decorrente do atrito entre duas camadas fluidas adjacentes que deslizam em velocidades diferentes, em condições estacionárias pode ser calculada pela expressão

2

∂u ∂y

(4)

A tensão de cisalhamento é decorrência da força atuando tangencialmente a uma superfície. Ocorre em escoamentos, quando duas "lâminas adjacentes" de fluido tem velocidades diferentes, o que ocasiona atrito. 3 Um "meio isotrópico" é aquele onde as propriedades não mudam conforme a direção; "meio homogêneo" é aquele que apresenta as mesmas propriedades físicas em toda a sua extensão. 21/02/02 16:34

r

0.050 in

A eq. (1) é uma equação geral que descreve de forma adequada o comportamento de um campo fluido, um campo térmico, um campo de difusão mássica ou mesmo um campo elétrico ou magnético. Na forma unidimensional, essa equação se reduz à

τ yx = µ

dF

2 ft

Vista AA

Supondo uma distribuição linear de velocidade (∂u/∂y=cte.), tem-se dF dA

=µ

du dy

=µ

u=rω

u h

h

onde u é a velocidade local, isto é, a u=0 velocidade de um ponto (ou elemento de área) situado num raio r. A força elementar dF varia com o raio do disco, uma vez que a área de cisalhamento cresce com o raio. Portanto dF rω =µ dA h onde a velocidade local é u = rω. Porém, dA = r dr dθ; e a integração em relação a θ fornece ω 2 2π 2πµω 2 dF = µ r dr ∫0 dθ = r dr h h e o torque dT = rdF é

T= µ=

2πµω R 3 π µω 4 R ∫0 r dr = h 2 h 2 hT

=

2 (0 .050 in )( 8. 62 ft.lb f )(1 ft )

πωR 4 π(10 π / s )(1 ft 4 )(12 in ) -4 µ = 7.27·10 lbf ·s/ft2

6.2. Equação de Fourier da Condução de Calor A quantidade de calor transferida através de uma área na direção x, ou fluxo de calor, é proporcional ao gradiente da temperatura. No estado estacionário, a relação é ∂T q   = q ,,x = −k ∂x  A x

(5)

I-2

Fenômenos de Transporte

FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE T RANSPORTE

onde a constante de proporcionalidade k (não negativa) é a condutividade térmica que, para algumas substâncias, varia linearmente com a temperatura. O símbolo q" significa fluxo de calor por unidade de área perpendicular à direção de transferência. O sinal negativo na relação (5) indica que o calor é transferido no sentido do decréscimo da temperatura, em obediência à 2a lei da Termodinâmica (veja item 8.3). Exercício 1 Uma face de uma placa de cobre de 3 cm de espessura é mantida a 400o C, e a outra face é mantida a 100o C. Qual a densidade de fluxo de calor transferido através da placa? Solução A condutividade térmica do cobre é 370 W/(m·o C) à 250o C. Da equação de Fourier

Sistema

F=(Ma)/gc 1N =

S.I.4 Inglês (1)

1 lb

1 kg

f

=

s (1 slug)(1 ft)

N Kg Kgf m s

-

2

s (9.8067 Kg)(1 m)

1 din =

C.G.S.

onde:

m

2

1 lb f =

Inglês (2) Métrico5

(1 Kg)(1 m)

s2 ( 32 .174 lb )(1 ft)

=

f

gc

s2 (1 g)(1 cm)

1 Kg·m/(N·s2 ) 32.174 lbm ·ft/( lbf ·s2 ) 1 slug·ft/( lbf ·s2 ) 9.8067 Kg·m/(Kgf ·s2 ) 1 g·cm/( din·s2 )

s2

Newton Kilograma-massa Kilograma-força metro segundo

lbm lbf slug din

-

libra-massa libra-força 32.174 lbm dina

Às unidades fundamentais da mecânica deve-se adicionar mais uma: a temperatura. Com essas quatro unidades fundamentais, e sua combinação, todas as grandezas envolvidas em nosso estudo podem ter uma medida. 7.2. Escalas de Temperatura As escalas mais conhecidas são mostradas abaixo.

7. Unidades de Medida 7.1. Sistemas Embora o Sistema Internacional - S.I. - venha se firmando ao longo dos anos como tendência na padronização do sistema de unidades, em muitos países, e em diversas das referências utilizadas na área de fenômenos de transporte e da engenharia em geral, outros sistemas ainda são bastante utilizados, como visto no Exemplo 1, onde foram utilizadas as unidades do sistema inglês. Portanto, é importante saber como realizar a conversão das unidades (medidas) de uma determinada dimensão (grandeza) entre esses diversos sistemas. Na mecânica costuma-se definir as chamadas unidades fundamentais - massa, comprimento e tempo (das quais derivam todas as outras) - com base na lei de Newton F=

Ma gc

Temperatura de referência congelamento da água Ebulição da água

Escala de temperatura Linear Kelvin Farenheit Rankine

0o C

273.16 K

32o F

491.69o R

100o C

373.16 K

212o F

671.69o R

Por serem escalas lineares, relações entre as temperaturas de uma escala para outra podem ser obtidas diretamente através de uma simples "regra de três". Abaixo, algumas dessa relações. 9o C + 32 5

o

F=

o

R = o F + 459.69

(b)

K = o C + 273.16

(c)

9o K 5

(d)

o

(6)

onde F é a força, M a massa, a a aceleração e g c a constante gravitacional. A tabela a seguir resume a relação entre as unidade fundamentais de cada sistema.

Celsius

R=

(a)

(7)

7.3. Unidades de Energia Como nesse texto a energia (trabalho e calor) será muito abordada, convém conhecer alguns fatores de conversão de um sistema para outro (tabela abaixo).

4

O S.I. é uma versão do antigo sistema MKS - Metro-Kilo-Segundo. No sistema métrico-gravitacional a força é uma unidade fundamental, ao invés da massa, denominada UTM - unidade técnica de massa - equivalendo a 9.8067 Kg. 5

21/02/02 16:34

I-3

Fenômenos de Transporte

Sistema

FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE T RANSPORTE

Unidade de Energia

Fatores de Conversão

N·m = 1 Joule (J)

1 Btu = 778.16 lbf ·ft

Inglês(1)

lbf ·ft

1 Btu = 1055 J

Inglês(2)

lbf ·ft

1 cal = 4.184 J

Métrico

Kgf ·s = 9.8067 J

1 lbf ·ft = 1.356 J

din·cm = erg

1 Btu = 252 cal

S.I.

cgs

Note que nessa tabela existem também a caloria (cal) e o Btu (British Thermal Units), ainda bastante utilizados como unidades de energia. 7.4. Consistência entre as Unidades Atenção sempre deve ser dada no uso de unidades consistentes, ou seja, pertencentes a um mesmo sistema de unidades. Algumas vezes os dados de determinado problema podem ser fornecidos ou estar disponíveis em tabelas com unidades de sistemas diferentes. Para aplicar as diversas fórmulas e obter resultados coerentes, todas as grandezas envolvidas devem estar descritas em unidades do mesmo sistema. Exemplo 2 O peso de uma peça de metal é 100.0 N em um local onde a aceleração da gravidade g é 10.60 m/s2 . Qual é a massa dessa peça, em Kg, e qual o seu peso na superfície da Lua, onde g = 1.67 m/s2 . Solução Como gc é 1 Kg·m/(N·s2 ) no S.I., a segunda lei de Newton pode ser escrita na forma F = mg. Assim F 100 .0 (N) N m= = = 9 .434 = 9 .434 Kg g 10 .60 (m/s 2 ) m/s 2 A massa é uma constante, mas o peso dependerá da aceleração local da gravidade. Dessa forma , na Lua

peso = F Lua = mg = 9.434 (kg) ⋅1.67 (m/s2 ) = 15. 8 N Exercício 2 O peso de uma peça de metal é 220.5.0 lbf em um local onde a aceleração da gravidade g é 30.50 ft/s2 . Qual é a massa dessa peça, em Kg, e qual o seu peso na superfície da Lua, onde g = 5.48 ft/s2 . Solução

8. Resumo das Leis da Termodinâmica 8.1. Lei Zero da Termodinâmica Se dois corpos A e B estão em equilíbrio térmico6 com um terceiro corpo C, ou seja, TA = TC e TB = TC , então esse dois corpos estão também em equilíbrio térmico: TA = TB . 8.2. Primeira Lei da Termodinâmica Essa lei trata da conservação de energia de um sistema de massa fixa que interage com sua vizinhança através de sua fronteira (veja item 9.2 para essas definições). A energia total do sistema no estado 1 é denotada por E1 , e no estado 2 é denotada por E2. A 1a lei pode ser expressa pela seguinte relação (8) ∆E = E2 - E1 = W12 + Q12 onde W12 e Q12 representam o trabalho e calor que cruzaram a fronteira do sistema entre os estados 1 e 2 (no item 12.1 se voltará a falar sobre trabalho e calor, e sobre as convenções de sinal). 8.3. Segunda Lei da Termodinâmica - Entropia Como massa e energia, todo sistema possui entropia, que é uma espécie de medida do grau de desordem microscópica (incerteza sobre o estado microscópico) do sistema. É uma propriedade extensiva: a entropia de um sistema é igual ao total da soma das entropias de suas partes. Ao contrário da massa e energia, a entropia pode ser produzida, mas nunca destruída. A 2a lei estabelece que a entropia de um sistema e suas vizinhanças (sistema isolado - veja item 9.2) nunca pode diminuir, ou seja (9) ∆S sist.isolado ≥ 0 A entropia tem utilidade no estudo de processos termodinâmicos7 , porém não pode ser diretamente medida. Pode-se dizer, entretanto, que no zero absoluto (0K ou -273.16o C) todas as substâncias tem valor zero para essa propriedade.

9. Equação de Balanço - Leis de Conservação 9.1. Finalidade Análise de sistemas com fluxos de massa, momentum, energia e entropia. Essas equações são, portanto, fundamentais no estudo dos fenômenos de transferência.

6 7

21/02/02 16:34

Com mesma temperatura. Especialmente aqueles envolvendo os gases perfeitos. I-4

Fenômenos de Transporte

FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE T RANSPORTE

9.2. Definições 8 • Sistema - objeto da análise; ocupa volume e possui massa; pode ser fixo ou móvel, rígido ou deformável, isolado (sem troca de energia9 e massa com o exterior), fechado (com troca de energia, mas não de massa, com o exterior) ou aberto (com troca de energia e massa com o exterior). • Fronteira - superfície que delimita o sistema; define o interior e exterior; pode ser fixa ou móvel, rígida ou deformável, fechada ou aberta (conforme definições do parágrafo acima), isolante ou diatérmica10 . • Vizinhança - tudo o que pertence ao exterior e interage com o sistema. superfície de controle

exterior

Q W

Sistema Fechado

•

kg

volume

V

m3

energia

E

J (Nm) (Ws) (kg m2 /s2 )

entropia

S

J/K

r L

momentum

δN prod

W

a variação de N; a variação induzida por agentes externos; a quantidade de N transportada para/do sistema (entra/sai); a quantidade de N produzida/consumida no interior do sistema.

N

Volume de Controle - região do espaço escolhida para a realização da análise termodinâmica, conveniente para analisar dispositivos ou equipamentos onde há fluxo de massa (M). Superfície de Controle - análoga à fronteira do sistema, porém com a possibilidade de existir fluxo mássico através dela. tubo

pistão

sistema fechado volume de controle

A escolha do uso de conceitos como de sistema aberto, fechado ou de volume de controle depende do problema a ser analisado, mas qualquer que seja a escolha, as leis de conservação (e da Termodinâmica) sempre serão aplicáveis. 9.3. Quantidades de um sistema Para os estudos a serem realizados, as grandezas mostradas abaixo serão relevantes.

kg m/s (Ns) (vetorial)

9.4. Formulação r Seja N uma das grandezas do sistema - m, E, S ou L cuja variação deseja-se estudar. Considere-se num intervalo de tempo dt o seguinte11

vizinhança

•

Unidade SI

m

δN trans Q

Símb.

massa

dN dN ext

fronteira

M Volume de Controle

Grandeza

dNext

dN

N

δNe

δNprod dt

t

δNs

Tem-se que dN = dN ext + δ N trans + δ N prod

(10)

de onde se obtém dN  dN  =  + N& trans + Ρ& N (11) dt  dt ext Conceitualmente, pode-se escrever esta equação de balanço da seguinte forma  taxa de variação  taxa de   taxa de        taxa de      de N induzida   transporte  produção  variação =  +   +     no sistema por   de N para  de N no   de N         agenteexterno   o sistema   sistema 

9.5. Postulados Fundamentais Os postulados conhecidos, respectivamente, por lei de conservação de massa, lei de conservação de energia, lei de conservação de momentum e lei de geração de entropia dizem respeito ao termo de produção de massa, energia, momentum e entropia que aparece na equação de balanço; são eles

8

Alguns conceituados autores (Irving Shames, Van Wylen et all.) em suas obras definem sistema como sendo uma quantidade identificada, ou fixa, de matéria. Nesse ponto de vista, um sistema sempre será fechado, e o que aqui chamamos de sistema aberto é equivalente ao volume de controle (massa cruzando a fronteira). Isso não constitui problema desde que as leis de conservação e da termodinâmica sejam aplicadas corretamente. 9 Na forma de calor e trabalho. 10 Que permite a troca de calor. 21/02/02 16:34

11

A notação dN refere-se à taxa de variação de uma grandeza, e a notação δN está associada ao transporte ou produção da grandeza N dentro do sistema ou volume de controle de questão, que geralmente depende do processo (ou "caminho"). I-5

Fenômenos de Transporte

Ρ& m = 0 Ρ& E = 0 r& PL = 0

FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE T RANSPORTE (a)

10. Taxas de Transporte

(b)

10.1. Transporte de massa Define-se fluxo de massa, ou vazão mássica, como

(12) (c)

(d) Ρ& S ≥ 0 Em outras palavras, massa, energia e momentum não aparecem do nada, e a entropia pode ser gerada, mas nunca "consumida".

Exercício 3 Assuma que, na equação (11), N represente a carga elétrica Q. Aplique essa equação ao volume de controle (VC) abaixo e comente o resultado. Considere que a carga elétrica não pode ser acumulada no interior do VC e que não existe agente externo que induza variação de carga no interior do VC. fluxo de carga

V.C.

Solução

δmtrans (13) dt que representa a taxa de transporte de massa, isto é, a quantidade de massa transportada por unidade de tempo (kg/s). 10.2. Propriedades específicas r As grandezas V, E, S e L são ditas extensivas porque as suas quantidades em um corpo dependem da massa do corpo. Definem-se, então, propriedades específicas da matéria associadas às grandezas extensivas, que são independentes da quantidade de massa da substância. Assim, sendo N uma grandeza extensiva, tem-se a propriedade específica m& =

δN (14) δm que representa a quantidade de N contida numa unidade de massa. Volume específico - volume ocupado por unidade de massa (m3 /kg): n=

δV δm Energia específica - energia por unidade de massa (J/Kg): v=

δE δm Entropia específica - entropia por unidade de massa ((J/K)/Kg): e=

(15)

(16)

δS (17) δm Momentum específico - momentum por unidade de massa (velocidade - m/s): r r δL (18) l= δm A densidade de uma substância representa a quantidade de massa contida em um volume unitário (Kg/m3 ); portanto, obtém-se: s=

ρ=

δm 1 = δV v

(19)

10.3. Transporte de Energia, Entropia e Momentum A taxa de transporte de uma grandeza extensiva N& pode ser descrita em termos do fluxo de massa: (20) &n N& = m Energia (J/s = W): &e E& = m

(21)

Entropia ((J/K)/s): S& = m& s 21/02/02 16:34

(22) I-6

Fenômenos de Transporte

Momentum ( kg r& r &l L=m

m/s2

FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE T RANSPORTE

= N): (23)

11. Balanço de Massa Seguindo a formulação dada em (11), escreve-se dm  dm  =  + m& + Ρ& m dt  dt ext

(24)

12. Balanço de Energia

Baseando-se no postulado fundamental da massa (12a), e no desconhecimento de um mecanismo de alteração da massa provocada por um agente externo, e itindo-se a possibilidade de múltiplos fluxos de massa tem-se dm & (25) = Σm dt No somatório, considera-se positivo ou negativo, respectivamente, o fluxo de massa que entra ou sai do sistema. Utilizando-se a notação m& e e m& s para o fluxo entrando e fluxo saindo, em valores absolutos, pode-se reescreve-ser o balanço de massa na forma dm &s = Σm& e − Σm dt

(26)

& m e1

& m s1

& m e2

& m s2

10 Kg/s

Tanque com água

m& = ? 10 Kg/s

Solução

10 Kg/s

dE  dE  =   + E& + Ρ& E (27) dt  dt  ext Utilizando o postulado fundamental da energia (12b), e inserindo o conceito de energia específica dada em (22) na expressão para a taxa de transporte de energia associada a vários fluxos de massa, obtém-se dE  dE  =  + Σm& e dt  dt ext

(28)

12.1. Trabalho e Calor. Os estudos de mecânica e termodinâmica demonstram a possibilidade de agentes externos alterarem a energia de um sistema fechado através de trabalho e calor; isso é expresso por (veja 8.2) ∆ E ext = Q + W

Exercício 4 Qual é o valor e direção do fluxo de massa indicado na figura abaixo? O tanque está cheio, e a água é um fluido incompressível.

5 Kg/s 1 Kg/s 2 Kg/s

Ainda de acordo com a formulação (11), tem-se

(29)

O Trabalho está associado a deslocamentos (movimento) induzidos e mantidos pela ação de uma força. Mais precisamente, um sistema realiza trabalho (termodinâmico) quando o único efeito12 externo ao sistema (sobre as suas vizinhanças) puder ser traduzido por uma elevação de peso13 . Também é definido como a forma de energia em trânsito não associada com transferência de massa, e devido a uma diferença de um potencial que não seja temperatura. O trabalho é positivo14 quando realizado sobre o sistema (energia adicionada ao sistema) e negativo quando realizado pelo o sistema (energia que deixa o sistema). O símbolo utilizado é W (Work) e a Unidade S.I. é o Joule - J (Nm). A taxa de realização de trabalho (J/s = W: Watt) expressa-se por15 (30) W& = δW dt O Calor está associado à transferência de energia térmica por efeito de uma diferença de temperatura (condução de calor), ou por ondas eletromagnéticas (radiação), não estando associada à transferência de massa. A troca de calor é positiva se o calor é adicionado ao sistema ou volume de controle, e negativo quando 12

Único efeito: só trabalho, sem geração de calor. Energia elétrica pode atravessar a fronteira do sistema e acionar um motor externo que levantará um peso. Portanto, a energia elétrica realiza trabalho. 14 Existe um convenção de sinal que, por razões históricas, assume que o trabalho realizado pelo sistema é positivo. Nesse caso, a expressão (29) deve ser mudada para ∆Eext = Q - W. 15 A variação de trabalho é uma diferencial inexata, pois depende do "caminho" em que o trabalho é realizado; por isso δW e não dW. 13

21/02/02 16:34

I-7

Fenômenos de Transporte

FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE T RANSPORTE

removido.O símbolo tradicionalmente usado é Q, e a unidade S.I. é o Joule (outra unidade comum é a caloria: 1 cal = 4.184 J). A taxa de transferência de calor (Watt) expressa-se por 16 (31) Q& = δQ dt Trabalho e calor serão vistos novamente mais adiante. Por hora, o balanço de energia fica dE &e = ΣQ& + ΣW& + Σm dt

(32)

Exemplo 3 A energia total de um sistema fechado aumenta em 55.0 KJ durante um processo enquanto trabalho é realizado sobre o sistema numa quantidade de 100.0 KJ. Quanto calor é transferido durante esse processo, e ele é removido ou adicionado ao sistema? Solução Nesse problema deve-se considerar o princípio de conservação de energia, que para sistemas fechados é expresso pela segunda lei da termodinâmica na forma da eq. (29) ∆ Eext = Q + W Substituindo os valores, tem-se 55.0 = Q + 100.0 → q = -45.0 KJ O sinal negativo indica que o calor é removido do sistema. Exercício 5 Cite um exemplo corriqueiro de um processo onde ocorre realização de trabalho sobre o sistema com liberação de calor. Solução

12.2. Formas de Energia As diferentes "formas" de energia serão abordadas ao longo desse trabalho. Por enquanto, vale ressaltar as formas mais conhecidas. Energia

Simb.

cinética gravitacional

Ec Eg

térmica

U

Conceito: energia associada à... velocidade da massa posição da massa no campo gravitacional atividade térmica das partículas da massa

Energia específica ec eg u

(34)

Notar que as variações tanto de Ec como de Eg estão associadas à realização de trabalho. Exemplo 4 Um pedaço de gelo de massa M na temperatura de fusão (Tf = 0o C) está dentro de uma cavidade cúbica de aresta L. A espessura das paredes dessa cavidade é e, e a condutividade térmica, k. No instante t = 0, a superfície externa da parede fica na temperatura T1 > Tf . Obter uma expressão para o intervalo de tempo necessário para fundir completamente o gelo. Solução Hipóteses: 1. a superfície interna da parede da cavidade é Tf durante todo o processo; 2. as propriedades são constantes; 3. a condução de calor é unidimensional através de cada parede; 4. a área de condução de cada parede é aproximadamente L2 (e << L). Seção A-A A

A

q”

k

dE dt

Mistura gelo-água (Tf )

L

T1 e

Como o sistema é fechado e não há trabalho sendo realizado, e sim apenas adição de calor, o balanço de energia fornece dE = ΣQ& dt Uma vez que as temperaturas T1 e Tf mantém-se constante durante o processo, o fluxo de calor por unidade de área q" também é constante no tempo. Assim sendo (veja equação (5)) T −T ∆E Energia p / fusão 1 f 2 ΣQ& = q "⋅ A = k ⋅ 6 L = cte = = e ∆t Tempo p / fusão O aumento de energia no interior do sistema se deve exclusivamente à variação da energia latente associada à conversão do sólido em líquido. A quantidade de energia necessária para efetuar essa modificação, por unidade de massa do sólido, é o calor latente de fusão hsf . Portanto, o aumento de energia é dado por ∆E = M hsf A incógnita do problema é ∆t. Das duas últimas expressões obtém-se a relação procurada eM h sf ∆t = 2 6 kL (T − T ) 1

f

13. Balanço de Entropia Mais uma vez, partindo-se da formulação (11), tem-se

No balanço de energia tem-se E = Ec + Eg + U

e = ec + eg + u

(33)

dS  dS  =   + S& + Ρ& S (35) dt  dt  ext O postulado fundamental da entropia estabelece que a produção de entropia é sempre positiva ou nula

A variação de calor também é uma diferencial inexata; por isso δQ e não dQ. 16

21/02/02 16:34

I-8

Fenômenos de Transporte

FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE T RANSPORTE

(veja (12.d)). Os estudos de termodinâmica demonstram que Ρ& = 0 processos reversíveis S

Ρ& S > 0 processos irreversíveis17 Ou seja, os processos só acontecem na direção onde a entropia total (dos sistemas envolvidos) é mantida ou cresce, mas nunca no sentido de sua diminuição (veja item 8.3). Além disso, verifica-se que um agente externo pode alterar a entropia de um sistema, e que esta alteração está relacionada com transferência de calor, de acordo com ∆S ext =

Q

(36)

onde Ts é a temperatura do ponto onde o fluxo de calor entra/sai do sistema. Entropia será vista novamente mais adiante; no momento, é o bastante expressar o balanço de entropia como dS Q& = Σ + Σm & s + Ρ& S dt Ts

(37)

Alguns autores escrevem este balanço na seguinte forma equivalente dS Q& ≥ Σ + Σm& s dt Ts

(38)

Exemplo 5 Mostre que qualquer transferência de calor entre dois reservatórios de calor às temperaturas TH e TC , TH > TC , deve acontecer do reservatório mais quente para o mais frio. Solução Um reservatório de calor é, por definição, um corpo com capacidade calorífica infinita, ou seja, capaz de absorver ou libertar quantidades ilimitadas de calor sem qualquer variação de temperatura, e sem irreversibilidades ("efeitos dissipativos"). A variação de entropia é dada por (36) independente se o reservatório é fonte ou sumidouro de calor. Dessa forma, Q ∆S = T Seja Q a quantidade de calor que a de um reservatório para o outro. O valor absoluto de Q é o mesmo para ambos os reservatórios, mas QH e QC têm sinais opostos, porque o calor fornecido a um reservatório (considerado positivo) é calor extraído do outro (considerado negativo). Portanto, QH = -Q C . Logo Q −Q Q C ∆ SH = H = e ∆ SC = C T T T H

total

= ∆S

H

+ ∆S

C

=

−Q

C

T

+

H

Q

C

T

C

 TH − TC  T T  H C

   

=Q  C

A segunda lei da termodinâmica diz que a variação de entropia de qualquer sistema e seu exterior, considerados juntos, é sempre positiva, ou seja, ∆Ssist.isolado ≥ 0. Como existe diferencial de temperatura, há fluxo de calor; isso implica em se ter Q C (TH − TC ) > 0 Como TH > TC , então QC só pode ser positivo; ou seja, o calor a do reservatório quente para o frio, conforme observado na prática18 .

14. Balanço de Momentum

Q Ts

Ts

H

∆S

C

Assim

Finalmente, partindo-se da formulação (11), tem-se r r r& r& dL  d L  (39) =   + L + ΡL dt  dt  ext Os termos de produção e transporte são obtidos, como anteriormente, de (12c) e (23). A taxa de variação de momentum induzida pela ação de um agente externo é simplesmente a força exercida por este agente externo, segundo os conceitos da dinâmica newtoniana. Na realidade, esta é a própria definição de força. Seu símbolo é F, e a unidade S.I. é o Newton - N. Portanto, o balanço de momentum escreve-se como r r r dL (40) = ΣFext + Σm &l dt Exemplo 6 O cientista russo Konstantin Tsiolkovsky é considerado pai da "foguetaria teórica". Em 1903 publicou a sua famosa equação do foguete, mais conhecida como Equação de Tsiolkovsky. Essa equação é válida para o foguete de massa M em vôo no espaço livre, onde a força gravitacional é desprezada e a resistência ao avanço inexiste, sendo a variação de velocidade do foguete devido apenas à velocidade de escape dos gases, c, que deixam o foguete a uma taxa mássica m& . Sabendo-se disso, deduza essa equação. Solução A situação física idealizada pode ser vista na figura abaixo. V.C.

& c m,

u

itindo o volume de controle mostrado, e considerando que o problema pode ser analisado unidimensionalmente, a equação do balanço de momento (40) reduz-se a du   dL  dt = F = Ma = M dt  = [m& c ] dM du dM Como m& = − M& = − , então M =− c ou dt dt dt

17

Há algumas formas de trabalho que são inerentemente irreversíveis como, por exemplo, o trabalho devido às forças de atrito, onde há geração de calor, típico fenômeno da irreversibilidade. Exemplo: agitando-se uma colher dentro de um copo d'água (trabalho), o líquido aquece; ao contrário, será que se a água for aquecida a colher será agitada? 21/02/02 16:34

18

Esse exemplo serve para ilustrar o significado da 2a Lei da Termodinâmica, que é uma "lei direcional": indica o sentido em que um processo termodinâmico pode ocorrer. I-9

Fenômenos de Transporte

FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE T RANSPORTE

dM M itindo-se que, para t = 0, u = uo e M = Mo , então du = − c

M u − u = − c(ln M − ln M ) = c ln  0 0 0  M 

   

ou

 M0  M 

u = c ln 

 +u  0 

que é a equação de Tsiolkovsky. Nota. Com freqüência satélites, como os de telecomunicações, precisam realizar ajustes e correções de órbitas. Isso é realizado através de incrementos ou decrementos de velocidade, e a equação de Tsiolkovsky é uma ferramenta para determinar a quantidade de combustível (como hidrazina) que deve ser consumida para obter a variação de velocidade desejada. Exercício 6 Um satélite de telecomunicações, para realizar um pequeno ajuste de órbita, precisa ter um acréscimo de velocidade de 75 m/s. Sabendo-se que a massa do satélite é 220 Kg, e que a velocidade de escape dos gases do motor de correção é cerca de 2500 m/s, quanto propelente deve ser consumido para realizar esse ajuste. Calcule essa massa com 2 casas decimais. Solução

15. Considerações Finais Resumindo, as equações de balanço são dm & = Σm dt

(a)

dE &e = ΣQ& + ΣW& + Σm dt

(b) (41)

dS Q& = Σ + Σm & s + Ρ& S dt Ts r r r dL = ΣFext + Σm &l dt

(c)

(d)

15.1. Sistema Fechado Para sistemas fechados, i.e., sem fluxo de massa, obtém-se dm = 0 ou m = constante dt

(a)

dE = ΣQ& + ΣW& dt

(b) (42)

dS Q& (c) = Σ + Ρ& S dt Ts r r dL (d) = ΣFext dt Assim, para uma certa quantidade de massa constante, as três últimas equações são expressões de conhecidas leis da física (certamente já estudadas anteriormente pelo estudante de fenômenos de transporte), a saber • 1a lei da termodinâmica; • 2a lei da termodinâmica; • 2a lei da dinâmica newtoniana. 15.2. Equações Temporais Vs. de Variação. As equações anteriores para sistemas de massa fixa estão escritas na forma de derivadas temporais; de forma alternativa, podem ser escritas na forma de variações finitas. ∆E = Q + W

(a)

∆ S = Φ S + ΡS

(b)

r r ∆L = Ι F

(c)

(43)

onde o calor total recebido é dado por Q = Σ ∫ Q& dt = Σ ∫ dQ

o trabalho total recebido é dado por W = Σ∫ W& dt = Σ ∫ dW o influxo total de entropia é dado por Q& dQ Φ S = Σ ∫ dt = Σ ∫ Ts Ts

21/02/02 16:34

(44)

(45)

(46)

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Fenômenos de Transporte

FUNDAMENTOS DOS FENÔMENOS DE T RANSPORTE

a produção total de entropia é dada por Ρ = Σ∫ Ρ& dt = Σ ∫ dΡ S

S

S

(47)

e o impulso total das forças aplicadas é dado por r r Ι = Σ ∫ F dt

(48)

e as integrais referem-se ao período considerado, em que o sistema evolui entre os estados inicial e final do processo em questão.

16. Referências 1. Notas de Aula do Professor Sérgio Bordalo, da Unicamp. 2. Wark, K.: Thermodynamics. McGraw Hill Kokakusha Ltd., 1977. 3. Van Wylen, G.J., Sonntag, R.E. e Borgnakke, C.:: Fundamentos da Termodinâmica Clássica. Editora Edgard Blücher Ltda, 5a edição, 1998. 4. Sisson, L.E e Pitts, R.P.: Fenômenos de Transporte. Editora Guanabara, 1979. 5. Incropera, F.P. e DeWitt, D.P.: Fundamentos da Transferência de Calor e Massa. Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, 4a edição, 1998. 6. Cornelisse, J.W, et all.: Rocket Propulsion and Spaceflight Dynamics. Pitman Publishing Limited, London (UK), 1979.

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