Ejercicios Estadistica 203n5e

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

1. Sean A , B y C tres eventos cualesquiera de un espacio muestral S, expresar cada una de los siguientes eventos compuestos en términos de operaciones entre A, B y C : a) Ocurra por lo menos uno de los eventos AUBUC b) Ocurra todos los eventos

𝐴∩𝐵∩𝐶 c) Ocurra exactamente uno de los eventos (A∩B’∩C’)U(A’∩B’∩C) d) No ocurra ninguno de los eventos (AUBUC)C

2. Cada uno de cuatro amigos elige una bebida al azar de la cafetería. Describa el espacio muestral del experimento si hay disponibles en tres sabores denominados por L, N, y f ¿Cuántos elementos tienes?

𝑆 = {𝑋1𝐿, 𝑋1𝑁, 𝑋1𝐹, 𝑋2𝐿, 𝑋2𝑁, 𝑋2𝐹, 𝑋3𝐿, 𝑋3𝑁, 𝑋3𝐹, 𝑋4𝐿, 𝑋4𝑁, 𝑋4𝐹}

S= 12

3. Un experimento consiste en lanzar 4 monedas, describa el espacio muestral en lanzar del número de caras obtenidas. 𝑪𝑪𝑪𝑪, 𝐶𝐶𝐶𝑆 , 𝐶𝐶𝑆𝐶 , 𝐶𝐶𝑆𝑆, 𝐶𝑆𝐶𝐶 , 𝐶𝑆𝐶𝑆 , 𝐶𝑆𝑆𝐶, 𝐶𝑆𝑆𝑆 , 𝑆𝐶𝐶𝐶 𝑆={ } , 𝑆𝐶𝐶𝑆𝑆𝐶𝑆𝐶, 𝑆𝐶𝑆𝑆, 𝑆𝑆𝐶𝐶, 𝑆𝑆𝐶𝑆, 𝑆𝑆𝑆𝐶, 𝑆𝑆𝑆𝑆

4. Un lote de N artículos contiene K defectuosos, describir el espacio muestral del número de artículos extraídos hasta obtener el ultimo defectuoso.

5. Desarrollar: ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

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Describa el espacio muestral del funcionamiento del siguiente sistema: A1

A2

A3

Donde Ai= 0; si está descompuesto i= 1, 2, 3 Rpta:

(Ω) = {(w1, w2, w3)/ wi = 0, 1, i = 1, 2, 3} n (Ω) = 28 elementos.

6. Describa los eventos A: “por lo menos una componente funciona “, y B: todo el sistema funciona”. ¿Son A y B mutuamente excluyentes?

A={(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1);(1,1,0);(0,1,1);(1,0,1);(1,1,1)} B = {(1, 1, 1)} A ∩ B = {(1, 1, 1)} ≠ ∅ =⇒ A y B no son mutuamente excluyentes

OJO: f = P(Ω) = 2Ω tiene 28 = 256 elementos.

7. En un edificio de 10 pisos entran al ascensor al primer piso 3 personas. Cada una baja al azar a Partir del segundo piso. ¿De cuántas maneras estas personas pueden bajar en pisos diferentes? Solución: En este caso tenemos, variación con repetición cuando los dígitos no se repiten. Por lo tanto: 𝑉79 = 9 × 8 × 7 = 504 Respuesta = 504.

8. Cierto producto se arma en tres etapas. En la primera hay 5 líneas de ensamblado, en la segunda 6, y en la tercera 4. ¿De cuántas maneras distintas puede hacerse circular el producto durante el proceso de ensamblado? Solución: En este caso, sería de la siguiente forma: 𝑉 = 5 × 6 × 4 = 120 ESTADISTICA Y PROBABILIDADES

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Respuesta = 120 9. Una caja contiene 8 dulces de piña, 6 de naranja y 4 de fresa. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que resulta de extraer al azar un dulce de cada sabor?. Solución: Para la solución de este ejercicio, utilizamos la fórmula de combinaciones con repetición, que es la siguiente: 𝐶𝑅kn =

(𝑛 + 𝑘 − 1) 𝑘! (𝑛 − 1)!

Aplicando, obtenemos lo siguiente: 𝐶18 𝐶16 𝐶14 = 192 Por lo tanto: Respuesta =192 10. Cinco alumnos forman cola en la ventanilla de la secretaría de la facultad. a) ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacer la cola? b) ¿De cuántas maneras si el más alto debe estar al comienzo? c) ¿De cuántas maneras si el más alto y el más bajo deben estar en extremos opuestos?. d) ¿De cuántas maneras si el más alto y el más bajo no deben estar juntos? Solución: a) En este caso, si queremos obtener la cantidad máxima sería 5! = 120 b) Aquí tenemos un punto fijo entonces sería: (𝑛 − 1)! (5 − 1)! = 4! = 24 c) Aquí tenemos dos puntos fijos: (𝑛 − 2))! (2) = 3! 2 = 12 d) Sería de la sgte. forma: (𝑛)! − (𝑛 − 1)! 2 = 5! − 4! 2 = 72 Respuestas a) 5! =120 b) 4! =24 c)3!2=12 d) 5! - 4!2=72

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ESTADISTICA Y PROBABILIDADES 11. Cierta marca de sierra eléctrica es calificada por especialistas, en cuanto a rendimiento, como: "Muy buena", (B l); o, "buena", (B2); o "regular", (B3), y en cuanto al precio, como "cara", (Cl), o "barata"; (C2). ¿De cuántas maneras es calificada la sierra eléctrica por los especialistas? Solución: En el rendimiento tenemos: B1, B2 Y B3 que son 3 clasificaciones. En el precio tenemos C1 Y C2 que son 2 clasificaciones. Entonces: 3×2=6 Respuesta = 6 12. Un vendedor de automóviles acaba de recibir un embarque de 15, de los cuales 10 son del modelo A y 5 del modelo B. ¿De cuántas maneras puede vender 4 de los automóviles, a) Si los 4 son del mismo modelo?. b) Si dos son del modelo A?. c) Si al menos uno es del modelo B?. Solución: a) En este caso es una combinación simple, por lo tanto sería: 𝐶410 + 𝐶45 b) Similar al anterior: 𝐶210 𝐶25 c) Otra combinación simple: 4

∑

10 𝐶k5 𝐶4−k

𝑘=1

Respuestas a) 𝐶410 + 𝐶45 b) 𝐶210 𝐶25 10 c) ∑4𝑘=1 𝐶k5 𝐶4−k

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13 .- Suponga que una urna contiene 10 fichas de color blando . 10 de color r ojo .10 de color amarillo y 10 de color negro las fichas del mismo color van numeradas de 1 a 10 .Un experimento consiste en extraer al azar una de las fichas dela urna .Dado los eventos A : “color blanco “ B “ número menor que “ 4 y C “ numero de par “ determinar el número muéstrales de los siguientes eventos compuestos 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐶, 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶, 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 ,∩ 𝐴𝐶 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶, 𝐴𝐶 ∩ 𝐵𝐶 ∩ 𝐶 𝐶 , 𝐴𝐶 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 𝐶 , 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 ∩ 𝐶 𝐶 , 𝐴 ∪ 𝐵𝐶 ∪ 𝐶 𝐶

14.- ¿De cuantas maneras diferentes pueden colocarse en un estante 6 libros de matemática , 2 de historia y 4 de lógica si los libros de la misma materia deben estar juntos y si

a) no se distingue entre los libros dela misma materia? Solución:

12 𝑝6,2.4 =

12! 6! × 2! × 4!

12 𝑝6,2.4 = 13.860

a) se distingue entre los libros de la misma materia? Solución: (6! × 2! × 4)3! = 207.360

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15.- De 8 hombres y 7 mujeres ¿cuantos comités de 10 se puede formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos 5 mujeres? Solución: 𝐶58 𝐶57 + 𝐶48 𝐶67 + 𝐶38 𝐶77 8! 7! 8! 7! 8! 7! + + 5! (8 − 5)¡ 5! (7 − 5)¡ 4! (8 − 4)¡ 6! (8 − 6)¡ 3! (8 − 3)¡ 7! (8 − 7)¡

𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 . − 𝐶58 𝐶57 + 𝐶48 𝐶67 + 𝐶38 𝐶77 = 1772

16.- ¿cuantas parejas se puede elegir de 4 hombres y 6 mujeres si cierto varón rehúsa tener como pareja a dos delas mujeres? Datos  4 hombres  6 mujeres

Solución: 𝐶14 + 𝐶13 𝐶16 𝑛! 𝑘! (𝑛 − 𝐾)¡

4! 3! 6! + ( )( ) 1! (4 − 1)¡ 1! (3 − 1)¡ 1! (6 − 1)¡

𝐶14 + 𝐶13 𝐶16 = 22

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17.- seis hombres y seis mujeres compiten realizando cierta tarea si los seis primeros puestos son ocupados por 4 hombres y dos mujeres determine el número de casos. Solución: 6¡ 𝐶46 𝐶26

𝑛! 𝑘! (𝑛 − 𝐾)¡ 6! 6! 6¡ 𝐶46 𝐶26 = ( ) 4! (6 − 4)¡ 2! (6 − 2)¡

6¡ 𝐶46 𝐶26 = 162.00

18 .- ¿Cuántas sumas diferentes de dinero se pueden formar con cuatro monedas cada una de distintos valor? Solución: 𝐶51 + 𝐶52 + 𝐶53 + 𝐶54 + 𝐶55 = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 𝐶51 + 𝐶52 + 𝐶53 + 𝐶54 + 𝐶55 =

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19.- Una compañía desea ascender a 3 de sus 10 gerentes a posiciones de visiprecidentes de ventas de manu facturas y de finanzas, Hallar en números de formas distintas de efectuar los ascensos?

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20. ¿De cuantas maneras diferentes puede un padre dividir 8 regalos entre sus 3 hijos si el mayor debe recibir 4 y los menores 2 cada uno? Solución: 𝐶48 𝐶24 𝐶22 = 70 × 6 × 1 = 420 21. Dados los conjuntos A de 4 elementos y B de 8 elementos, ¿Cuántos conjuntos de 6 elementos se pueden formar si cada conjunto debe contener:

a) Solo un elemento de A? Solución: 𝐶14 𝐶58 = 4 × 56 = 224 b) Cuando menos un elemento de A? Solución: 𝐶14 𝐶58 + 𝐶24 𝐶48 + 𝐶34 𝐶38 + 𝐶44 𝐶28 = 224 × 420 × 224 × 28 = 896 22. Calcule el número de formas diferentes en que se pueden hacer: i) Una selección, ii) Un ordenamiento con 4 letras de las palabras: Solución: a) Cloroformo o=4 r=2 i) Selección combinación 3 iguales y 1 una diferente 𝐶16 = 6 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 2 iguales y 2 iguales 𝐶22 = 2 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 2 iguales y 2 diferentes 𝐶24 𝐶25 = 60 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 4 diferentes 𝐶46 = 15𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 6+2+60+15 = 83 ii)

Un ordenamiento: 4! 𝑃4!2! =

10! = 75600 4! 2!

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ESTADISTICA Y PROBABILIDADES b) Eliminación i=3 n=2 i) Selección combinación 3 iguales y 1 una diferente 𝐶15 = 5 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 2 iguales y 2 iguales 𝐶22 = 2 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 2 iguales y 2 diferentes 𝐶23 𝐶27 = 63 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 4 diferentes 𝐶48 = 70𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑠 5+2+63+70=140 ii)

Un ordenamiento:

4! 𝑃3!2! =

4! =2 3! 2!

23. Un estudiante debe contestar 5 de 7 preguntas de un examen. ¿De cuántas manera diferentes puede escoger las cinco: Solución: a) Sin ninguna restricciones? 𝐶57 = 21 b) Si las dos primeras son obligatorias? 𝐶35 = 10 c) Si debe contestar 3 de las 4 primeras? 𝐶34 𝐶23 = 4 × 3 = 12

24. Un estudiante planea matricularse en los cursos A, B, y C. Los horarios de A son a las 8, 11 y 15 horas. Los de B son a las 8, 10 y 15 horas y los de C a las10, 12 y 15 horas. Si las clases son de una hora, ¿cuántos horarios distintos puede preparar en los 3 cursos de manera que no haya cruces?

Solución:

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1 0

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HORARIO

B

C

A

10-15

10-12

8-11-15

C

B

10-12-15

8-10-15

A

C

B

8-11-15

10-12-15

8-10-15

C

A

10-12-15

8-11-15

A

B

C

8-11-15

8-10-15

10-12-15

B

C

8-10-15

10-12-15

Solución ABC:2 ACB:3BAC:4 BCA:4CAB:1 Total 14

25. De cuantas formas pueden instalarse en línea 5 focos blancos y 6 focos rojossi deben colocarse Solución: a) Alternativamente 𝑃5 × 𝑃6 5! × 6! = 86400 b) Los blancos juntos 𝑃7 × 𝑃5 7! × 5! = 6048800

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26. Un microbús tiene 29 asientos para pasajeros, distribuidos en 6 filas de 4 asientos, de cada uno, con un pasillo en el medio y al final 5 asientos juntos. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse 25 pasajeros de modo tal, que los 14 asientos que dan a las ventanillas y los asientos del fondo queden ocupados? Solución:

25 15 𝑉14 × 𝑉11

27. De un conjunto de n objetos numerados de 1 al n ( 𝑛 ≥ 4 ) . se seleccionan k objetos ala ves ¿en cuántos casos ? Solución: a) Todos son menores de que m ( 1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛? ) 𝑛 ≥ 4 puede ser 4

1≤𝑚≤𝑛

ckm−1 =

𝑛! 𝑘! (𝑛 − 𝐾)¡

c34−1 =

4! 3! (4 − 3)¡

1≤𝑚≤4 ⟹1≤2≤4

ckm−1 = 4

𝑀=2

b) Solo 3 son mayores a m (𝑘 ≥ 3) 𝑖

∑ 𝑐𝑘 𝑚 𝑐1−𝑘 𝑛 = c1m+n 𝑘=0

ckm+n =

𝑚 + 𝑛! 𝑘! (𝑛 − 𝐾)¡

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1 2

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES c12−4 =

2 − 4! 1! (4 − 1)¡

c12−4 = −3.666

Respuestas

a) ckm−1

𝑏) ckm+n

28. Se tiene 40 fichas. Donde hay 4 de color rojo. Si se reparan estas fichas entre 4 niños, de manera que a cada uno toque 10 fichas ¿en cuántos casos a cada uno toca una ficha roja? Caso 1: son 40 fichas menos 4 de que son color rojo 4 de obtienes 36

Solución: 𝐴 = (𝑛 − 1 )

∆=

4! × 36! (9)¡4

𝐴 = (10 − 1 ) 𝐴 = 9

RESPUESTA

∆=

4! × 36! (9)¡4

∆= 5.1486 × 1020

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29. Un grupo de 5 hombres y 10 mujeres se divide al azar en 5 grupos de 3 personas cada una. Calcular el número de maneras en que cada grupo contenga un nombre

Datos 5 hombres 10 mujeres Solución: (C51 C102) (C41 C82) (C31 C62) (C21 C42) (C11 C22)

30. Se tiene n objetos iguales numerados de 1 a n, n > 3 {1,..., n}

CASO 1 Seis 2-subconjuntos: {1, 𝑛}, {𝑛, 3} , { 𝑛 . 𝑛 }

b) Si se permuta lso n objetos ¿de cuantas maneras k (k
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c) Si se tiene 3 cajas en las cuales se distribuyen los objetos ¿de cuantas maneras diferentes se puede distribuir a fin de que solo una caja quede vacía?

Caso 1 : nos dice que es 1 𝑎 𝑛, ( 𝑛 > 3) Caso 2 : y el numero de objetos 𝑘 (𝑘 < 𝑛)

Solución: {1, 𝑛}𝑜 {𝑛, 1 }, (2𝑛 − 2)!) 𝐶𝑘𝑛

31 . Se distribuye K bolas numeras de 1 a K en 𝑛 (𝐾 < 𝑛 ) cajas alineadas ¿de cuantas maneras K cajas vecinas contienen una sola bola cada una? Datos  K bolas  1ª k enumerados  𝑛 (𝐾 < 𝑛 ) Solución:

(𝑛 − 𝐾 + 1 )𝑘! "

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