Ejercicios Resueltos De Circuitos Mediante Variables De Estado Y Ecuaciones Diferenciales 641267

UNIVERSIDAD DE CUENCA

SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES

RAUTOR: JOSE GEOVANNY CARDENAS C. ESTABILIDAD, OBSERVABILIDAD, CONTROLABILIDAD Y RESPUESTA A LA SALIDA 1 En el circuito de la figura determinar la estabilidad, controlabilidad y observabilidad encontrar el voltaje en la R2, aplicando convolución mediante variables de estado y mediante transformada de Laplace de variables de estado, finalmente aplicando convolución de ecuaciones diferenciales.

10Ω 2

100

5000μ

12 cos5 0.5

Condiciones iniciales nulas. Variables de estado







2

!

! 2 !

2

!1 !1 1 % & ' ( ) " # $ 1 !2 0 *0 2 + & '

Reemplazando valores de los elementos

10Ω





Matriz de variable de estado



2

2

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SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES !20 !200 20 " # & ' & ' & ' 10 !200 0



*0

Estabilidad 2

20+ & '

det/ ! 01 0

!20 ! 1 10

!200 20 !200 ! 1

1 2201 600 0 1 !31.89

1 !188.1

Para que sea estable el sistema, los valores característicos deben ser menores a cero. 1 7 0

1 7 0 Por lo tanto el sistema es estable.

Controlabilidad

89 *: /: … /<= :+ 20 !400 : & ' /: & ' 0 200 89 &

Si el det 89 ? 0 el sistemas es controlable. det 89 2

Por lo tanto el sistema es controlable.

Observabilidad

20 !400 ' 0 200

20 !400 2 4000 ? 0 0 200

9 9/ 8@ A B ..

9 *0 20+

8@ &

Si el det 8C ? 0 el sistemas es observable.

.

9/<=

9/ *200 !4000+

0 20 ' 200 !4000

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SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES 0 20 det8@ 2 2 !4000 ? 0 200 !4000

Por lo tanto el sistema es observable.

Respuesta mediante convolución de variables de estado E

9D F0 G 9D /E=H : HJH K /E

I

Ya que las condiciones iniciales son nulas 9D /E F0 0 además K 0 Obteniendo D /E=H

L1 det/ ! 01 1 2201 600 0 1 !31.89

1 !188.1

Por Cayley-Hamilton D /E MN 0 M / M / ⋯ M<= /<= También D PE MN M 1 M 1 ⋯ M<= 1<= D =Q.RSE MN ! 31.89M

D =RR.E MN ! 188.1M

Resolviendo el sistema: M

MN D =Q.RSE 31.89M

D =Q.RSE ! D =RR.E 0.0064D =Q.RSE ! 0.0064D =RR.E 156.21

MN D =Q.RSE

188.1 =Q.RSE 188.1 =RR.E D ! D 156.21 156.21

MN 2.2D =Q.RSE ! 1.2D =RR.E

Ahora aplicamos D /E MN 0 M / D /E "2.2D

! 1.2D =RR.E 0 # =Q.RSE 0 2.2D ! 1.2D =RR.E =Q.RSE =RR.E =Q.RSE =RR.E "!0.128D=Q.RSE 0.128D=RR.E !1.28D =Q.RSE 1.28D =RR.E # 0.064D ! 0.064D !1.28D 1.28D =Q.RSE

D /E "2.072D =Q.RSE ! 1.072D =RR.E 0.064D ! 0.064D =Q.RSE

=RR.E

D /E=H "2.072D =Q.RSE=H ! 1.072D =RR.E=H 0.064D ! 0.064D =Q.RSE=H

=RR.E=H

0.92D =Q.RSE 0.08D =RR.E # 0.92D =Q.RSE 0.08D =RR.E

0.92D =Q.RSE=H 0.08D =RR.E=H # 0.92D =Q.RSE=H 0.08D =RR.E=H

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Obteniendo 9D /E=H : 9D /E=H

*0 20+ "2.072D =Q.RSE=H ! 1.072D =RR.E=H 0.064D ! 0.064D =Q.RSE=H

=RR.E=H

9D /E=H *1.28D =Q.RSE=H ! 1.28D =RR.E=H

9D /E=H : *1.28D =Q.RSE=H ! 1.28D =RR.E=H Resolviendo el integral:

0.92D =Q.RSE=H 0.08D =RR.E=H # 0.92D =Q.RSE=H 0.08D =RR.E=H

18.4D =Q.RSE=H 1.6D =RR.E=H +

20 18.4D =Q.RSE=H 1.6D =RR.E=H + & 0 '

9D /E=H : 25.6D =Q.RSE=H ! 25.6D =RR.E=H E

G 9D /E=H : HJH I

E

GU25.6D =Q.RSE=H ! 25.6D =RR.E=H V12 cos5 H 0.5JH I

9.516 cos5 0.34 ! 1.632 cos5 0.47 ! 8.95D =Q.RSE 1.45 D =RR.E

Reduciendo mediante identidades trigonométricas tenemos que:

9.516 cos5 0.34 ! 1.632 cos5 0.47 7.51 cos5 ! 2.43 sin5

Finalmente la respuesta es:

1.45D =RR.E ! 8.95D =Q.RSE 7.51 cos5 ! 2.43 sin5

Respuesta mediante la transformada de Laplace de variables de estado La transformada de Laplace de las variables de estado está dada por:

YZ 9Z0 ! /= F0 *9Z0 ! /= : K+[ Z

[ Z \* + \*12 cos5 0.5+

10.531Z ! 2.731 Z 25

Ya que las condiciones iniciales son nulas 9Z0 ! /= F0 0 además K 0 YZ *0

1 20+ ]Z & 0

YZ 9Z0 ! /= :[ Z

0 !20 !200 = 20 10.531Z ! 2.731 '!& '^ & ' 1 10 !200 0 Z 25

Z 20 200 = 20 10.531Z ! 2.731 YZ *0 20+ & ' & ' !10 Z 200 0 Z 25

10.531Z ! 2.731 Z 200 !200 20 YZ *0 20+ & '& ' 10 Z 20 0 Z 25Z 220Z 6000

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10.531Z ! 2.731 20 YZ *200 20Z 400+ & ' 0 Z 25Z 220Z 6000 YZ *4000+ YZ

Z

10.531Z ! 2.731 25Z 220Z 6000

Z

42124Z ! 2.731 25Z 220Z 6000

Donde la respuesta es la transformada inversa de Laplace \ = *YZ+

\ = *YZ+ 1.45D =RR.E ! 8.95D =Q.RSE 7.5 cos5 ! 2.46 sin5

Respuesta mediante convolución de ecuaciones diferenciales 10Ω

1

_`a _E

2

2

b J



_cd _E

3



J 1 G J J

La ecuación 3 reemplazando en la ecuación 2







J J G J J J

J J G J J J

J J J J J e f G e f J J J J J J

Tenemos que el voltaje en es:



2



2

J J J 2 J J 2 2 J 2

gg

e

Reemplazando valores de los elementos: 1 4000

gg



f 2

g



g



3 2

11 200

3 2





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SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES gg

220

g

6000 4000

h 220h 6000 4000

Encontrando la respuesta al impulso i

h 220h 6000 0 h !31.89

h !188.1

i D =Q.RSE D =RR.E j

Condiciones iniciales del impulso

i0 0

ig 0 1

i0 0

ig 0 !31.89 ! 188.1 1 0.0064

La respuesta al impulso es:

!0.0064

i 0.0064D =Q.RSE ! 0.0064D =RR.E j

La respuesta a la salida es:

E

G i ! H HJH I

E

G 4000U0.0064D =Q.RSE=H ! 0.0064D =RR.E=H V12cos 5H 0.5 JH k 0 I

E

GU25.6D =Q.RSE=H ! 25.6D =RR.E=H V12 cos5 H 0.5JH I

9.516 cos5 0.34 ! 1.632 cos5 0.47 ! 8.95D =Q.RSE 1.45 D =RR.E

Reduciendo mediante identidades trigonométricas tenemos que:

9.516 cos5 0.34 ! 1.632 cos5 0.47 7.51 cos5 ! 2.43 sin5

Finalmente la respuesta es:

1.45D =RR.E ! 8.95D =Q.RSE 7.51 cos5 ! 2.43 sin5

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SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES

2 En el circuito de la figura determinar la estabilidad, controlabilidad y observabilidad además encontrar el voltaje en la R2, aplicando convolución mediante variables de estado y mediante transformada de Laplace de variables de estado, finalmente aplicando ecuaciones diferenciales.

20Ω

50Ω

2000μ

5000μ

Condiciones iniciales nulas. Variables de estado



j









!

j

j

! e

!

1 1 1 1 f j

!

1 1 1 n! e q f 1 p m " # & ' ( ) j 1 1 p m ! 0 l o

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SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES

Reemplazando valores de los elementos:

*1

!1+ & '

*1

!1+ & '



!35 10 25 " # & ' & ' & ' j 0 4 !4

Estabilidad



det/ ! 01 0

!35 ! 1 2 4

10 20 !4 ! 1

1 391 100 0 1 !2.75

1 !36.24

Para que sea estable el sistema, los valores característicos deben ser menores a cero. 1 7 0

1 7 0 Por lo tanto el sistema es estable.

Controlabilidad

89 *: /: … /<= :+ 25 !875 : & ' /: & ' 0 100 89 &

Si el det 89 ? 0 el sistemas es controlable. det 89 2

Por lo tanto el sistema es controlable. Observabilidad

25 !875 ' 0 100

25 !875 2 2500 ? 0 0 100

9 9/ 8@ A .. B

9 *1 !1+

8@ &

Si el det 8C ? 0 el sistemas es observable.

.

9/<=

9/ *!39 14+

1 !1 ' !39 14

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SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES 1 !1 det8@ 2 2 !25 ? 0 !39 14

Por lo tanto el sistema es observable.

Respuesta mediante convolución de variables de estado E

9D F0 G 9D /E=H :jHJH Kj /E

I

Ya que las condiciones iniciales son nulas 9D /E F0 0 además K 0 Obteniendo D /E=H

L1 det/ ! 01 1 2201 600 0 1 !2.75

1 !36.24

Por Cayley-Hamilton D /E MN 0 M / M / ⋯ M<= /<= También D PE MN M 1 M 1 ⋯ M<= 1<= D =.rsE MN ! 2.75M

D =Qt.uE MN ! 36.24M

Resolviendo el sistema y reemplazando en la ecuación de Cayley Hamilton tenemos: D /E=H "0.037D =.rsE=H 0.962D =Qt.uE=H 0.119D ! 0.119D =.rsE=H

=Qt.uE=H

Obteniendo 9D /E=H :

0.298D =.rsE=H ! 0.298D =Qt.uE=H # 0.962D =.rsE=H 0.037D =Qt.uE=H

9D /E=H : 25*1.081D =Qt.uE=H ! 0.082D =.rsE=H +

Resolviendo el integral:

E

E

G 9D /E=H :jHJH I

G 25*1.082D =Qt.uE=H ! 0.082D =.rsE=H + JH k 0 I

0.74D =.rsE ! 0.74D =Qt.uE

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SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES

Respuesta mediante la transformada de Laplace de variables de estado La transformada de Laplace de las variables de estado está dada por:

YZ 9Z0 ! /= F0 *9Z0 ! /= : K+vZ vZ \*j+

1 Z

Ya que las condiciones iniciales son nulas 9Z0 ! /= F0 0 además K 0 YZ 9Z0 ! /= :vZ

YZ *1 !1+ ]Z & YZ *1

YZ *1 !1+ & YZ *Z

1 0 !35 10 = 25 1 '!& '^ & ' 0 1 0 Z 4 !4

!1+ &

Z 35 !10 = 25 1 ' & ' !4 Z4 0 Z

1 Z 4 !10 25 '& ' 4 Z 35 0 ZZ 39Z 100 !Z ! 25+ &

YZ *25Z+ YZ

1 25 ' 0 ZZ 39Z 100

ZZ

Z

1 39Z 100

25 39Z 100

Donde la respuesta es la transformada inversa de Laplace \ = *YZ+ \ = *YZ+ 0.74D =.rsE ! 0.74D =Qt.uE

Respuesta mediante convolución de ecuaciones diferenciales

j

j

j j



J J J J

J J J J



J J J J J J

1 G J



J J J G J G J J J J







1 G J

UNIVERSIDAD DE CUENCA

SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES

j

j



J J





1 G J

J 1 e 1f G J J

J J 1 e 1f J J

Reemplazando valores de los elementos: 1 25 gg

gg

39 25



39

g

g



J j J

4 jg

100 25jg

h 39h 100 25hj

Encontrando la respuesta al impulso i

h 39h 100 0 h !2.75

h !36.24

i D =.rsE D =Qt.uE j

Condiciones iniciales del impulso

i0 0

ig 0 1

i0 0

ig 0 !2.75 ! 36.24 1 0.029

!0.029

i 0.029D =.rsE ! 0.029D =Qt.uE j

La respuesta al impulso es i hi ya que en la ecuación diferencial la entrada está hj i hi

J 0.029D =.rsE ! 0.029D =Qt.uE j J

Haciendo con todos los decimales tenemos:

i 1.0824D =Qt.uE ! 0.0824D =.rsE j

La respuesta está dada por:

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SISTEMAS LINEALES Y SEÑALES E

E

G i ! H jHJH I

G 25*1.082D =Qt.uE=H ! 0.082D =.rsE=H + JH k 0 I

OBSERVACION

0.74D =.rsE ! 0.74D =Qt.uE

En los dos ejercicios realizados anteriormente, obviamente mediante los tres métodos de calcular la respuesta, esta va a ser la misma, sin embargo mediante variables de estado se vuelve más fácil calcular la respuesta, ya sea por convolución de variables de estado o ya sea por la transformada de Laplace de variables de estado, pero más aún si se usa esta última. Si resolvemos por convolución de ecuaciones diferenciales la dificultad radica en encontrar la ecuación diferencial del circuito, en circuitos que contengan más de tres elementos variables en el tiempo, encontrar la ecuación diferencial del circuito se vuelve bastante laboriosa, es por ello que se recomienda resolver mediante variables de estado.