Examen Final Algebra Lineal 6o1c18

Universidad Nacional Mayor de San Marcos ´rica) (Universidad del Per´ u, Decana de Ame

Facultad de Ciencias F´ısicas

Asignatura: Docente:

Algebra Lineal Msc. Milton Angelino Aycho Flores Examen Final Tiempo:120 minutos

1. Calcular el determinante de la matriz:     A=   

(4 ptos) −1 2 −3 1 1 2 −1 1 2 0 0 1 0 0 −2 0 0 −2

1 2 2 0 0 0

1 −9 −1 0 4 1

−4 −7 −1 1 3 0

       

2. Encontrar la forma diagonal de la matriz:

(4 ptos) 

−1 A= 0 3

3 2 −3

 3 0  −1

3. Demostrar que:

(4 ptos)

(a) A ∈ Rn×n es inversible si y solo si todo autovalor de A es distinto de 0. (b) Si T : V −→ V es una transformacion lineal y λ, µ son autovalores distintos de T , entonces los subespacios vectoriales Sλ = {w ∈ V / T w = λw} y Sµ = {w ∈ V / T w = µw} satisfacen Sλ ∩ Sµ = {0}. 4. Sea V un R- espacio vectorial con producto interno (·, ·) y consideremos u, v ∈ V . Demuestre que (u, v) = 0 si y solo si ku + αvk ≥ kuk para todo α ∈ R. (4 ptos) 5. Desarrollar:

(4 ptos)

(a) Hallar una base ortogonal del subespacio W = {(x, y, z) ∈ R3 /x − y + z = 0}. (b) Si {u1 , u2 , · · · , un } es una base ortonormal de un R-espacio vectorial V . Demostrar que

2 n n

X

X

2 a u = |ai |

i i

i=1

i=1

para cada a1 , a2 , · · · , an ∈ R.

Ciudad Universitaria, 30 de junio del 2018 Hecho en LATEX