Guia 2 De Algebra 6z1r6q
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Guía 2 Álgebra (Cs. Económicas)
2014 Bienvenido a la serie de guías resueltas de Exapuni! Esta serie de guías resueltas fue hecha por estudiantes de la comunidad Exapuni para facilitar el estudio y con la mejor intención de ayudar. Esperamos que te sean útiles. Podés buscar todo el material, responder tus dudas y mucho más durante toda tu carrera en www.exapuni.com, sumate! Ejercicio 1:
a) Decidir cuáles de los puntos… Los puntos que son solución del sistema deben verificar todas las ecuaciones. Es decir, cuando se sustituyen los puntos en las ecuaciones, las igualdades se tienen que cumplir. { (
)
{ ⟹
no es solución del sistema. (
)
{ ( ) ( ) ⟹
es solución del sistema. (
)
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{ ( ( ⟹
) ) no es solución del sistema. (
)
( )
(
)
{ ( )
(
)
⟹
es solución del sistema.
b)
{
(
)
{
⟹
es solución del sistema. (
)
{
⟹
no es solución del sistema. (
)
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1
{ ⟹
(
)
(
) es solución del sistema.
(
) ( ( (
{ ⟹
) ) )
no es solución del sistema.
En algunos casos, no es necesario verificar todas las ecuaciones, con que una de las ecuaciones no se verifique, el punto propuesto no puede ser solución del sistema. Ejercicio 2: Dar la forma paramétrica…
a) {
De la primera ecuación,
Sustituyendo en la primera,
Resulta entonces, (
)
(
)
(
)
Lo que hicimos fue ver qué nos quedaba en cada coordenada. El conjunto solución nos queda:
(
)
*
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2
*En todos los ejercicios, para que nos quede más prolijo, siempre que tengamos un coeficiente , vamos a reemplazar por alguna letra. b) { De la primera ecuación, +4 Sustituyendo en la primera,
Resulta entonces, (
)
(
)
El conjunto solución nos queda:
( (
) )
( (
) )
Es importante notar que ambos ítems son parecidos, solo cambian en los números del segundo término. En el primer caso tenemos todos ceros, a estos sistemas se los llama sistemas homogéneos. En el segundo caso, tenemos un sistema donde tenemos valores no nulos, a estos los llamamos sistemas no homogéneos. Lo importante de este ejercicio es verificar un teorema que dice que una solución de un sistema no homogéneo se puede escribir como una solución del sistema homogéneo asociado* más una solución particular. * El sistema homogéneo asociado es el sistema que tiene las mismas ecuaciones pero con los términos independientes (los números del segundo término) nulos. En nuestro caso, ⏟(
)
( ⏟
)
c) Todo lo que necesitás para tu carrera encontralo en www.exapuni.com!
3
{ De la última ecuación,
Sustituyendo en la segunda ecuación,
Sustituyendo en la primera ecuación, (
)
(
La solución es el punto
)
Este tipo de sistemas “escalonados”, se llaman sistemas triangulares. Se llaman así por la forma de la matriz del sistema. Por ejemplo, en este caso: ( ⏟
) ( )
(
)
En este caso, los ceros están por debajo de la diagonal y la matriz se llama triangular superior. En el caso en que los ceros están por encima, se llama triangular inferior. Lo bueno de estos sistemas es poder ir de una ecuación a la siguiente sustituyendo y resolviendo muy fácilmente. d) { Sustituyendo la tercera ecuación en la segunda,
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4
Sustituyendo en la primera ecuación,
Nos queda, entonces, (
)
(
) (
La solución es:
( )
) (
)
e) { De la primera ecuación,
De la segunda ecuación,
Finalmente, (
)
(
La solución es:
) (
)
(
(
)
(
)
)
f) { De la primera ecuación,
De la segunda ecuación,
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Finalmente, (
)
( (
La solución es:
) )
( (
) )
(
)
(
)
Ejercicio 3: Aplicar el método de Gauss…
a) { (
| )
(
| )
Teniendo el sistema triangulado,
Reemplazando en la primera ecuación, (
) (
)
Finalmente, (
) (
)
(
)
(
)
(
)
b) {
(
| )
(
|
)
(
|
)
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De la última ecuación,
Sustituyendo en la segunda ecuación, (
)
Sustituyendo en la primera ecuación,
(
La solución es
)
c) {
(
| )
(
| )
(
| )
De la segunda ecuación,
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Sustituyendo en la primera ecuación, (
)
Finalmente, (
) (
)
(
(
)
(
)
)
Ejercicio 4: Para cada una de las matrices…
a) Comenzamos triangulando la matriz,
(
)
(
(
)
(
)
)
Rango: 4 b)
(
)
(
)
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→(
(
)
(
)
(
)
)
Rango: 3 (tenemos una fila nula). c)
(
)
(
)
(
)
→ (
)
(
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)
9
→ (
)
(
)
Rango: 5 d)
(
)
(
(
(
)
)
)
Rango: 3 Ejercicio 5: Para cada uno de los siguientes sistemas …
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{ a) Reescribiendo en una matriz ampliada, (
|
)
|
)
Triangulando, (
(
|
(
)
|
( ⏟
)
|
)
b) Rango: 3 c) El sistema es compatible determinado, dado que el rango es igual a la cantidad de incógnitas. d) Vamos a reescribir la matriz ampliada *, para poder resolver el sistema: *{ De la última ecuación,
Sustituyendo en la segunda ecuación,
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Sustituyendo en la primera ecuación,
Como habíamos dicho, el sistema es compatible determinado, por lo que la solución es única. (
)
{ a) Reescribiendo en una matriz ampliada,
(
|
)
(
|
)
(
|
)
El sistema es incompatible (mirar la última fila).
{
a)
(
|
)
(
|
)
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(
|
)
(
|
)
(
|
)
⏟
b) Rango: 4 c) El sistema es compatible determinado. d)
{
De la última ecuación,
Sustituyendo en la tercera ecuación,
Sustituyendo en la segunda ecuación, (
)
Sustituyendo en la última ecuación, (
Finalmente,
)
(
)
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{
a)
(
(
| )
| )
(
(
| )
(
| )
| )
b) Rango: 3. c) Como el rango es menor que la dimensión de la matriz, el sistema es compatible indeterminado. d) De la tercera ecuación,
De la segunda ecuación,
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De la primera ecuación,
Finalmente, (
) (
(
)
)
{
(
| )
(
| )
(
(
| )
| )
b) Rango: 4 c) El sistema es compatible determinado.
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d) De la última ecuación, ( ).
y si continuamos sustituyendo, llegamos a la solución
La solución es única, porque el sistema es compatible determinado. { a) (
|
)
(
|
)
(
|
)
b) Rango: 3 c) El sistema es compatible indeterminado. d) De la segunda ecuación,
De la primera ecuación,
Finalmente, (
) (
)
(
(
)
(
)
)
{
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a)
(
|
(
)
(
|
|
)
(
)
|
)
b) Rango: 3. c) El sistema es incompatible (mirar la última fila).
http://www.exapuni.com/for os/mpost/69/105/Gu%C3%A Da%20N%C2%BA2:%20Ejercic io%205
Si te quedaste con alguna duda de este ejercicio, hacé tu consulta en el foro a través del QR.
Ejercicio 6: Hallar las soluciones del sistema…
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{ Si
, el sistema nos queda:
{ De la última ecuación,
Sustituyendo en la segunda ecuación,
(
La solución es:
)
Ejercicio 7: Encontrar las coordenadas de los puntos…
Para que los puntos de la recta sean solución del sistema de ecuaciones, tienen que verificar cada una de las ecuaciones. Para ello, vamos a tener que reemplazar cada variable en el sistema. Tenemos que reescribir la ecuación de la recta para ver qué hay en cada variable. (
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
Sustituyendo en el sistema, {
(
) (
( )
) (
(
)
)
Simplificando, {
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La última ecuación no nos da ninguna información, pero se la primera podemos despejar .
Sustituimos en la ecuación de la recta y obtenemos el punto que satisface el sistema de ecuaciones: (
)
(
)
(
)
Ejercicio 8: Dadas las ecuaciones…
{ Vamos a verificar que el punto sea solución del sistema: (
{
(
) )
Para que el sistema sea compatible determinado, necesito una tercera ecuación que no ). sea una combinación de las anteriores y que tenga como solución posible ( Una posibilidad es
.
Ejercicio 10: Las harinas de soja…
Comenzamos por definir las variables: { Vamos a pensar la opción I: Dado que para Soji, el es soja, para Garbi su y para Burgui su hay que utilizar toneladas de soja. La ecuación resulta: ⏟
⏟
y en total
⏟
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Para el caso de los garbanzos, Soji es
, Garbi
Para el último, el trigo de burgul, se tiene Soji resulta:
y Burgui
, Garbi
. La ecuación resulta:
y Burgui
. La ecuación
El sistema queda de la siguiente manera: { En el caso de la opción II, solo cambian las cantidades, los porcentajes se mantienen constantes: {
{
Ejercicio 11: Un turista que viajó…
Antes de comenzar, definimos las variables: { Los gastos de hospedaje, son los precios por día por la cantidad de días de cada lugar: ⏟
Lo mismo para los gastos de alimentos: ⏟
Para gastos varios, lo mismo, a diferencia de que destinó lo mismo para cada ciudad: Todo lo que necesitás para tu carrera encontralo en www.exapuni.com!
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⏟
Armando el sistema de ecuaciones: { Si dividimos todo el sistema por cómodos:
, las igualdades se mantienen y trabajamos más
{ Ahora solo falta resolver el sistema y ver cuánto tiempo permaneció en cada lugar: (
|
)
(
|
)
(
|
)
De la última ecuación,
Sustituyendo en la segunda ecuación,
Sustituyendo en la última ecuación,
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Es decir, estuvo
días en Berlín,
en Roma y
en Praga.
Ejercicio 12: Para cada ítem …
I) Una compañía de detergentes… Comenzamos definiendo variables,
{
En stock, hay 60 de la sustancia AS. Para producir la sustancia LAV se requieren , para hacer la sustancia BRI, se requieren , y así sucesivamente, de acuerdo a lo que dice la tabla. Por lo tanto, ya tenemos una ecuación:
Con la misma lógica, armamos las ecuaciones de SP y TS:
Armamos la matriz y resolvemos, {
(
|
)
(
|
)
(
|
)
De la última fila (ecuación),
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De la segunda ecuación,
(
)
Sustituyendo en la primera fila (ecuación),
(
)
(
)
Finalmente, ( Los valores de coordenada.
) tienen que ser tales que no me quede ningún valor negativo en alguna
II) Una empresa… Como siempre, comenzamos definiendo variables,
{
Para producir una unidad de , se requiere una hora de uso de la máquina I; para , dos horas; para , una hora; para , dos horas. El total de horas requeridas es de ocho horas. La ecuación nos queda determinada:
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Haciendo lo mismo para las otras dos máquinas, nos queda:
Como en el punto anterior, armamos la matriz y resolvemos: {
(
| )
(
| )
De la última fila (ecuación),
De la segunda ecuación,
Sustituyendo en la primera ecuación,
(
)
Finalmente, ( Los valores de coordenada.
)
(
)
(
)
tienen que ser tales que no me quede ningún valor negativo en alguna
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III) Una compañía de transportes… Comenzamos definiendo variables, { Es necesario transportar máquinas de clase , en los camiones en los entran . La ecuación queda:
entran 2, en los
y
Haciendo lo mismo con las máquinas de clase ,
Armamos el sistema de ecuaciones y resolvemos, { De la segunda ecuación, http://www.exapuni.com/for os/mpost/70/105/Gu%C3%A Da%20N%C2%BA2:%20Ejercic io%2012
Sustituyendo en la primera ecuación, (
)
Finalmente, ( Los valores de
)
(
)
(
)
tienen que dar para cada coordenada, valores positivos enteros.
Si te quedaste con dudas de este ejercicio, podés consultar en el foro a través del QR o entrando al link. Ejercicio 13: Una empresa…
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Definimos variables: { Para preparar 100 kg de se requieren 40 kg de hueso molido, para , se necesitan 40 kg y para , 20 kg. El total de hueso molido es 660 kg:
Si se suman las cantidades para ,
y , para la carne disecada, tenemos:
Para calcular la cantidad de cereal que se necesita para
y :
Finalmente, la ecuación resulta:
Continuamos armando el sistema, { Dividimos miembro a miembro por 10 para simplificar: { Armamos la matriz y resolvemos, (
|
)
(
|
)
(
|
)
De la última fila,
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Reemplazando en la ecuación de la segunda fila,
Reemplazando en la ecuación de la primera fila,
Finalmente, resulta:
Ejercicio 14: Determinar todos los valores…
a) { Solo hace falta armar la matriz y resolver, como venimos haciendo: (
|
)
(
|
)
(
Para salvarnos de un absurdo, necesitamos que
|
)
.
Finalmente, para este sistema tenemos dos opciones, Todo lo que necesitás para tu carrera encontralo en www.exapuni.com!
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{ Ejercicio 15: Determinar los valores de k…
El sistema que tenemos de dato es: { El sistema homogéneo asociado es: { El sistema homogéneo asociado es el que tiene ceros en el segundo término. (
|
)
(
|
)
(
|
)
Hay dos opciones de solución: { Ejercicio 16: Determinar los valores de k…
Pedir que el sistema tenga infinitas soluciones es lo mismo que pedir que el sistema sea compatible indeterminado. El sistema que tenemos de dato es: { Comenzamos como siempre, armando la matriz y triangulando: (
|
)
(
|
)
(
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| )
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Para que el sistema sea compatible indeterminado, vamos a hacer que toda la última columna sea nula:
Por último, también se pide resolver el sistema: De la segunda fila,
Reemplazando en la ecuación de la primera fila,
(
)
(
(
)
)
(
)
Recordar que la solución escrita formalmente es (
{
)
(
)
}
Ejercicio 17: Encontrar, en cada caso, todos los valores…
a) Comenzamos triangulando: (
| )
(
|
)
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Observar que si , entonces, tiene que valer cero también. De otra forma, el sistema sería incompatible. Es decir, mirando la ecuación correspondiente: Si
,
Pero no hay valores posible de
y
.
Es decir, para que el sistema sea compatible: puede tomar cualquier valor, pero si .
(lo que hace que
) entonces
b) (
|
)
Hacemos lo mismo que en el punto anterior, si la última fila es nula, necesitamos que toda la fila sea nula, incluyendo el valor para que el sistema tenga solución. Si
y
⟹
Si esos dos valores son nulos, necesitamos que
sea también nulo:
Finalmente, para que el sistema sea compatible: Si
⟹
Ejercicio 18: Se sabe que…
{ ) sea solución del sistema, necesitamos que verifique todas las Para que ( ecuaciones del sistema: Tomamos la primera ecuación y sustituimos:
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(
)⏟
Haciendo lo mismo para la segunda ecuación:
Sustituyendo en *, ( (
)
) (
)
Ya podemos armar el sistema, sustituyendo los valores de
y
hallados:
{ Hallamos la solución del sistema pero esta vez, el sistema es muy sencillo y no vale la pena ponernos a triangular. De la primera ecuación:
Sustituyendo en la segunda ecuación:
(
)
La solución: ( {
) (
( )
) (
( )
) }
Ejercicio 19: Determinar…
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(
| )
(
| )
(
|
(
)
|
(
)
|
)
Como requisito para que el sistema sea compatible,
, requisito para que el sistema sea compatible. Ejercicio 20: Encontrar los puntos…
Por la definición de la recta, los puntos de la misma son de la forma: (
)
(
)
(
)
(
)
Sustituyendo en el sistema, {
{ Triangulamos,
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(
|
)
(
|
)
(
|
)
Nuevamente, para que el sistema tenga solución,
Los puntos para los que el sistema tiene solución son: (
)
(
)
(
)
Ejercicio 21: Decidir qué valores …
Este ejercicio viene con la mecánica de todos los anteriores, si tenés alguna duda, podés consultarlo en el foro a través del QR.
http://www.exapuni.com/for os/mpost/71/105/Gu%C3%A Da%20N%C2%BA2:%20Ejercic io%2021
Ejercicio 22: Hallar los valores de y …
{
{ Vamos a hallar las soluciones del sistema y pedir que esas soluciones sean también soluciones de (sustituyendo en el sistema).
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(
|
)
(
|
)
( ⏟
|
)
A partir de este momento, tenemos dos opciones: 1) 2) 1) Vamos a analizar cada opción, en el primer caso:
De la última ecuación, (
)
De la segunda ecuación,
De la primera ecuación,
La solución es (
)
Ahora, como dijimos al principio del ejercicio, vamos a hacer que esta sea una solución de , sustituyendo. {
(
) (
)
La primera ecuación se verifica siempre, en cambio, para la segunda:
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(
)
2) Vamos a analizar el segundo caso.
Sustituimos en el sistema *: (
|
)
Resolviendo el sistema, de la segunda ecuación:
Sustituyendo en la primera ecuación, (
)
es (
La solución de
)
(
)
(
) ⏟ (
) Reemplazamos en el sistema
para que sea solución del mismo:
De la primera ecuación,
(
)
Se cumple para cualquier valor de . Para la primera ecuación:
(
)
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(
(
)
( (
)
)
( )
Las soluciones son de la forma: ( Finalmente, forma (
y
son tales que ).
) )
si
. Si
las soluciones son de la
Esta guía fue hecha con la mejor intención, con la mayor profesionalidad posible y como un aporte útil para la comunidad. Si encontrás algún detalle, podés dejarnos tus comentarios en www.exapuni.com para que mejoremos el material al máximo!
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Guía 2 Álgebra (Cs. Económicas)
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a) Decidir cuáles de los puntos… Los puntos que son solución del sistema deben verificar todas las ecuaciones. Es decir, cuando se sustituyen los puntos en las ecuaciones, las igualdades se tienen que cumplir. { (
)
{ ⟹
no es solución del sistema. (
)
{ ( ) ( ) ⟹
es solución del sistema. (
)
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{ ( ( ⟹
) ) no es solución del sistema. (
)
( )
(
)
{ ( )
(
)
⟹
es solución del sistema.
b)
{
(
)
{
⟹
es solución del sistema. (
)
{
⟹
no es solución del sistema. (
)
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1
{ ⟹
(
)
(
) es solución del sistema.
(
) ( ( (
{ ⟹
) ) )
no es solución del sistema.
En algunos casos, no es necesario verificar todas las ecuaciones, con que una de las ecuaciones no se verifique, el punto propuesto no puede ser solución del sistema. Ejercicio 2: Dar la forma paramétrica…
a) {
De la primera ecuación,
Sustituyendo en la primera,
Resulta entonces, (
)
(
)
(
)
Lo que hicimos fue ver qué nos quedaba en cada coordenada. El conjunto solución nos queda:
(
)
*
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2
*En todos los ejercicios, para que nos quede más prolijo, siempre que tengamos un coeficiente , vamos a reemplazar por alguna letra. b) { De la primera ecuación, +4 Sustituyendo en la primera,
Resulta entonces, (
)
(
)
El conjunto solución nos queda:
( (
) )
( (
) )
Es importante notar que ambos ítems son parecidos, solo cambian en los números del segundo término. En el primer caso tenemos todos ceros, a estos sistemas se los llama sistemas homogéneos. En el segundo caso, tenemos un sistema donde tenemos valores no nulos, a estos los llamamos sistemas no homogéneos. Lo importante de este ejercicio es verificar un teorema que dice que una solución de un sistema no homogéneo se puede escribir como una solución del sistema homogéneo asociado* más una solución particular. * El sistema homogéneo asociado es el sistema que tiene las mismas ecuaciones pero con los términos independientes (los números del segundo término) nulos. En nuestro caso, ⏟(
)
( ⏟
)
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3
{ De la última ecuación,
Sustituyendo en la segunda ecuación,
Sustituyendo en la primera ecuación, (
)
(
La solución es el punto
)
Este tipo de sistemas “escalonados”, se llaman sistemas triangulares. Se llaman así por la forma de la matriz del sistema. Por ejemplo, en este caso: ( ⏟
) ( )
(
)
En este caso, los ceros están por debajo de la diagonal y la matriz se llama triangular superior. En el caso en que los ceros están por encima, se llama triangular inferior. Lo bueno de estos sistemas es poder ir de una ecuación a la siguiente sustituyendo y resolviendo muy fácilmente. d) { Sustituyendo la tercera ecuación en la segunda,
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4
Sustituyendo en la primera ecuación,
Nos queda, entonces, (
)
(
) (
La solución es:
( )
) (
)
e) { De la primera ecuación,
De la segunda ecuación,
Finalmente, (
)
(
La solución es:
) (
)
(
(
)
(
)
)
f) { De la primera ecuación,
De la segunda ecuación,
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5
Finalmente, (
)
( (
La solución es:
) )
( (
) )
(
)
(
)
Ejercicio 3: Aplicar el método de Gauss…
a) { (
| )
(
| )
Teniendo el sistema triangulado,
Reemplazando en la primera ecuación, (
) (
)
Finalmente, (
) (
)
(
)
(
)
(
)
b) {
(
| )
(
|
)
(
|
)
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De la última ecuación,
Sustituyendo en la segunda ecuación, (
)
Sustituyendo en la primera ecuación,
(
La solución es
)
c) {
(
| )
(
| )
(
| )
De la segunda ecuación,
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Sustituyendo en la primera ecuación, (
)
Finalmente, (
) (
)
(
(
)
(
)
)
Ejercicio 4: Para cada una de las matrices…
a) Comenzamos triangulando la matriz,
(
)
(
(
)
(
)
)
Rango: 4 b)
(
)
(
)
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→(
(
)
(
)
(
)
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Rango: 3 (tenemos una fila nula). c)
(
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(
)
(
)
→ (
)
(
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→ (
)
(
)
Rango: 5 d)
(
)
(
(
(
)
)
)
Rango: 3 Ejercicio 5: Para cada uno de los siguientes sistemas …
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10
{ a) Reescribiendo en una matriz ampliada, (
|
)
|
)
Triangulando, (
(
|
(
)
|
( ⏟
)
|
)
b) Rango: 3 c) El sistema es compatible determinado, dado que el rango es igual a la cantidad de incógnitas. d) Vamos a reescribir la matriz ampliada *, para poder resolver el sistema: *{ De la última ecuación,
Sustituyendo en la segunda ecuación,
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11
Sustituyendo en la primera ecuación,
Como habíamos dicho, el sistema es compatible determinado, por lo que la solución es única. (
)
{ a) Reescribiendo en una matriz ampliada,
(
|
)
(
|
)
(
|
)
El sistema es incompatible (mirar la última fila).
{
a)
(
|
)
(
|
)
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(
|
)
(
|
)
(
|
)
⏟
b) Rango: 4 c) El sistema es compatible determinado. d)
{
De la última ecuación,
Sustituyendo en la tercera ecuación,
Sustituyendo en la segunda ecuación, (
)
Sustituyendo en la última ecuación, (
Finalmente,
)
(
)
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13
{
a)
(
(
| )
| )
(
(
| )
(
| )
| )
b) Rango: 3. c) Como el rango es menor que la dimensión de la matriz, el sistema es compatible indeterminado. d) De la tercera ecuación,
De la segunda ecuación,
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14
De la primera ecuación,
Finalmente, (
) (
(
)
)
{
(
| )
(
| )
(
(
| )
| )
b) Rango: 4 c) El sistema es compatible determinado.
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15
d) De la última ecuación, ( ).
y si continuamos sustituyendo, llegamos a la solución
La solución es única, porque el sistema es compatible determinado. { a) (
|
)
(
|
)
(
|
)
b) Rango: 3 c) El sistema es compatible indeterminado. d) De la segunda ecuación,
De la primera ecuación,
Finalmente, (
) (
)
(
(
)
(
)
)
{
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a)
(
|
(
)
(
|
|
)
(
)
|
)
b) Rango: 3. c) El sistema es incompatible (mirar la última fila).
http://www.exapuni.com/for os/mpost/69/105/Gu%C3%A Da%20N%C2%BA2:%20Ejercic io%205
Si te quedaste con alguna duda de este ejercicio, hacé tu consulta en el foro a través del QR.
Ejercicio 6: Hallar las soluciones del sistema…
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17
{ Si
, el sistema nos queda:
{ De la última ecuación,
Sustituyendo en la segunda ecuación,
(
La solución es:
)
Ejercicio 7: Encontrar las coordenadas de los puntos…
Para que los puntos de la recta sean solución del sistema de ecuaciones, tienen que verificar cada una de las ecuaciones. Para ello, vamos a tener que reemplazar cada variable en el sistema. Tenemos que reescribir la ecuación de la recta para ver qué hay en cada variable. (
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
Sustituyendo en el sistema, {
(
) (
( )
) (
(
)
)
Simplificando, {
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18
La última ecuación no nos da ninguna información, pero se la primera podemos despejar .
Sustituimos en la ecuación de la recta y obtenemos el punto que satisface el sistema de ecuaciones: (
)
(
)
(
)
Ejercicio 8: Dadas las ecuaciones…
{ Vamos a verificar que el punto sea solución del sistema: (
{
(
) )
Para que el sistema sea compatible determinado, necesito una tercera ecuación que no ). sea una combinación de las anteriores y que tenga como solución posible ( Una posibilidad es
.
Ejercicio 10: Las harinas de soja…
Comenzamos por definir las variables: { Vamos a pensar la opción I: Dado que para Soji, el es soja, para Garbi su y para Burgui su hay que utilizar toneladas de soja. La ecuación resulta: ⏟
⏟
y en total
⏟
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19
Para el caso de los garbanzos, Soji es
, Garbi
Para el último, el trigo de burgul, se tiene Soji resulta:
y Burgui
, Garbi
. La ecuación resulta:
y Burgui
. La ecuación
El sistema queda de la siguiente manera: { En el caso de la opción II, solo cambian las cantidades, los porcentajes se mantienen constantes: {
{
Ejercicio 11: Un turista que viajó…
Antes de comenzar, definimos las variables: { Los gastos de hospedaje, son los precios por día por la cantidad de días de cada lugar: ⏟
Lo mismo para los gastos de alimentos: ⏟
Para gastos varios, lo mismo, a diferencia de que destinó lo mismo para cada ciudad: Todo lo que necesitás para tu carrera encontralo en www.exapuni.com!
20
⏟
Armando el sistema de ecuaciones: { Si dividimos todo el sistema por cómodos:
, las igualdades se mantienen y trabajamos más
{ Ahora solo falta resolver el sistema y ver cuánto tiempo permaneció en cada lugar: (
|
)
(
|
)
(
|
)
De la última ecuación,
Sustituyendo en la segunda ecuación,
Sustituyendo en la última ecuación,
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21
Es decir, estuvo
días en Berlín,
en Roma y
en Praga.
Ejercicio 12: Para cada ítem …
I) Una compañía de detergentes… Comenzamos definiendo variables,
{
En stock, hay 60 de la sustancia AS. Para producir la sustancia LAV se requieren , para hacer la sustancia BRI, se requieren , y así sucesivamente, de acuerdo a lo que dice la tabla. Por lo tanto, ya tenemos una ecuación:
Con la misma lógica, armamos las ecuaciones de SP y TS:
Armamos la matriz y resolvemos, {
(
|
)
(
|
)
(
|
)
De la última fila (ecuación),
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22
De la segunda ecuación,
(
)
Sustituyendo en la primera fila (ecuación),
(
)
(
)
Finalmente, ( Los valores de coordenada.
) tienen que ser tales que no me quede ningún valor negativo en alguna
II) Una empresa… Como siempre, comenzamos definiendo variables,
{
Para producir una unidad de , se requiere una hora de uso de la máquina I; para , dos horas; para , una hora; para , dos horas. El total de horas requeridas es de ocho horas. La ecuación nos queda determinada:
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Haciendo lo mismo para las otras dos máquinas, nos queda:
Como en el punto anterior, armamos la matriz y resolvemos: {
(
| )
(
| )
De la última fila (ecuación),
De la segunda ecuación,
Sustituyendo en la primera ecuación,
(
)
Finalmente, ( Los valores de coordenada.
)
(
)
(
)
tienen que ser tales que no me quede ningún valor negativo en alguna
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24
III) Una compañía de transportes… Comenzamos definiendo variables, { Es necesario transportar máquinas de clase , en los camiones en los entran . La ecuación queda:
entran 2, en los
y
Haciendo lo mismo con las máquinas de clase ,
Armamos el sistema de ecuaciones y resolvemos, { De la segunda ecuación, http://www.exapuni.com/for os/mpost/70/105/Gu%C3%A Da%20N%C2%BA2:%20Ejercic io%2012
Sustituyendo en la primera ecuación, (
)
Finalmente, ( Los valores de
)
(
)
(
)
tienen que dar para cada coordenada, valores positivos enteros.
Si te quedaste con dudas de este ejercicio, podés consultar en el foro a través del QR o entrando al link. Ejercicio 13: Una empresa…
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25
Definimos variables: { Para preparar 100 kg de se requieren 40 kg de hueso molido, para , se necesitan 40 kg y para , 20 kg. El total de hueso molido es 660 kg:
Si se suman las cantidades para ,
y , para la carne disecada, tenemos:
Para calcular la cantidad de cereal que se necesita para
y :
Finalmente, la ecuación resulta:
Continuamos armando el sistema, { Dividimos miembro a miembro por 10 para simplificar: { Armamos la matriz y resolvemos, (
|
)
(
|
)
(
|
)
De la última fila,
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26
Reemplazando en la ecuación de la segunda fila,
Reemplazando en la ecuación de la primera fila,
Finalmente, resulta:
Ejercicio 14: Determinar todos los valores…
a) { Solo hace falta armar la matriz y resolver, como venimos haciendo: (
|
)
(
|
)
(
Para salvarnos de un absurdo, necesitamos que
|
)
.
Finalmente, para este sistema tenemos dos opciones, Todo lo que necesitás para tu carrera encontralo en www.exapuni.com!
27
{ Ejercicio 15: Determinar los valores de k…
El sistema que tenemos de dato es: { El sistema homogéneo asociado es: { El sistema homogéneo asociado es el que tiene ceros en el segundo término. (
|
)
(
|
)
(
|
)
Hay dos opciones de solución: { Ejercicio 16: Determinar los valores de k…
Pedir que el sistema tenga infinitas soluciones es lo mismo que pedir que el sistema sea compatible indeterminado. El sistema que tenemos de dato es: { Comenzamos como siempre, armando la matriz y triangulando: (
|
)
(
|
)
(
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| )
28
Para que el sistema sea compatible indeterminado, vamos a hacer que toda la última columna sea nula:
Por último, también se pide resolver el sistema: De la segunda fila,
Reemplazando en la ecuación de la primera fila,
(
)
(
(
)
)
(
)
Recordar que la solución escrita formalmente es (
{
)
(
)
}
Ejercicio 17: Encontrar, en cada caso, todos los valores…
a) Comenzamos triangulando: (
| )
(
|
)
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Observar que si , entonces, tiene que valer cero también. De otra forma, el sistema sería incompatible. Es decir, mirando la ecuación correspondiente: Si
,
Pero no hay valores posible de
y
.
Es decir, para que el sistema sea compatible: puede tomar cualquier valor, pero si .
(lo que hace que
) entonces
b) (
|
)
Hacemos lo mismo que en el punto anterior, si la última fila es nula, necesitamos que toda la fila sea nula, incluyendo el valor para que el sistema tenga solución. Si
y
⟹
Si esos dos valores son nulos, necesitamos que
sea también nulo:
Finalmente, para que el sistema sea compatible: Si
⟹
Ejercicio 18: Se sabe que…
{ ) sea solución del sistema, necesitamos que verifique todas las Para que ( ecuaciones del sistema: Tomamos la primera ecuación y sustituimos:
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30
(
)⏟
Haciendo lo mismo para la segunda ecuación:
Sustituyendo en *, ( (
)
) (
)
Ya podemos armar el sistema, sustituyendo los valores de
y
hallados:
{ Hallamos la solución del sistema pero esta vez, el sistema es muy sencillo y no vale la pena ponernos a triangular. De la primera ecuación:
Sustituyendo en la segunda ecuación:
(
)
La solución: ( {
) (
( )
) (
( )
) }
Ejercicio 19: Determinar…
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31
(
| )
(
| )
(
|
(
)
|
(
)
|
)
Como requisito para que el sistema sea compatible,
, requisito para que el sistema sea compatible. Ejercicio 20: Encontrar los puntos…
Por la definición de la recta, los puntos de la misma son de la forma: (
)
(
)
(
)
(
)
Sustituyendo en el sistema, {
{ Triangulamos,
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32
(
|
)
(
|
)
(
|
)
Nuevamente, para que el sistema tenga solución,
Los puntos para los que el sistema tiene solución son: (
)
(
)
(
)
Ejercicio 21: Decidir qué valores …
Este ejercicio viene con la mecánica de todos los anteriores, si tenés alguna duda, podés consultarlo en el foro a través del QR.
http://www.exapuni.com/for os/mpost/71/105/Gu%C3%A Da%20N%C2%BA2:%20Ejercic io%2021
Ejercicio 22: Hallar los valores de y …
{
{ Vamos a hallar las soluciones del sistema y pedir que esas soluciones sean también soluciones de (sustituyendo en el sistema).
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(
|
)
(
|
)
( ⏟
|
)
A partir de este momento, tenemos dos opciones: 1) 2) 1) Vamos a analizar cada opción, en el primer caso:
De la última ecuación, (
)
De la segunda ecuación,
De la primera ecuación,
La solución es (
)
Ahora, como dijimos al principio del ejercicio, vamos a hacer que esta sea una solución de , sustituyendo. {
(
) (
)
La primera ecuación se verifica siempre, en cambio, para la segunda:
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(
)
2) Vamos a analizar el segundo caso.
Sustituimos en el sistema *: (
|
)
Resolviendo el sistema, de la segunda ecuación:
Sustituyendo en la primera ecuación, (
)
es (
La solución de
)
(
)
(
) ⏟ (
) Reemplazamos en el sistema
para que sea solución del mismo:
De la primera ecuación,
(
)
Se cumple para cualquier valor de . Para la primera ecuación:
(
)
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(
(
)
( (
)
)
( )
Las soluciones son de la forma: ( Finalmente, forma (
y
son tales que ).
) )
si
. Si
las soluciones son de la
Esta guía fue hecha con la mejor intención, con la mayor profesionalidad posible y como un aporte útil para la comunidad. Si encontrás algún detalle, podés dejarnos tus comentarios en www.exapuni.com para que mejoremos el material al máximo!
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