Sistemas Eléctricos Método De Superposición Con Ejercicios Resueltos 6v5s1u

INGENIERÍA ELECTRÓNICA MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN 

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En el análisis de circuitos, el teorema de superposición se aplica para circuitos lineales (circuitos resistivos) que tienen más de una fuente indepentiente conectada. El teorema cita lo siguiente: ”La respuesta total del circuito (RT) debida a las n fuentes de excitación (fuentes de voltaje y de corriente) conectadas al circuito, es igual a la sumatoria algebraica de las respuestas individuales del circuito (Ri), donde la respuesta individual corresponde a la respuesta debida a tener solo una fuente conectada al circuito ” 𝑛

𝑅𝑇 = ∑ 𝑅𝑖 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑛 𝑖=1

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Se denomina respuesta a la variable de interés que se desea calcular en el circuito, puede ser una caída de tensión o una corriente, en un elemento del circuito. La variable de interés se debe calcular por cada una de las fuentes independientes que contenga el circuito, si el circuito tiene n fuentes, se deben hallar n respuestas. Para ello se deja una fuente encendida y las otras se apagan. Apagar una fuente de voltaje corresponde a reemplazarla por un corto y apagar una de corriente a reemplazarla por circuito abierto. Para hallar cada una de las respuestas se puede emplear análisis de mallas o de nodos. EJERCICIOS RESUELTOS EMPLEANDO EL MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN

EJ. 1. Usando el teorema de superposición encuentre el valor de la corriente I.

Solución: Para aplicar el teorema de superposición se hace el análisis del circuito por cada una de las fuentes independientes que contenga. Las otras fuentes independientes se apagan (fuente de voltaje se reemplaza por un corto circuito, fuente de corriente se reemplaza por un circuito abierto). La respuesta total del circuito corresponderá a la sumatoria algebraica de las respuestas individuales proporcionadas por cada una de las respuestas de las fuentes independientes. 𝐼 = 𝐼 ′ + 𝐼 ′′ donde I, es la respuesta total, I’ corresponde a la respuesta de la fuente de corriente de 2A, e I’’, corresponde a la respuesta de la fuente de voltaje de 4V.

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INGENIERÍA ELECTRÓNICA Calculo de I’

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Ecuación para la malla 1. 𝐼1 = 2 𝐴 Ecuación para la malla 2. LKV: 5𝐼2 + 𝑉𝑅 − 3𝑉𝑅 = 0 5𝐼2 − 2𝑉𝑅 = 0 Donde, 𝑉𝑅 = 2𝐼𝑅 ; según LKC: 𝐼2 = 𝐼1 + 𝐼𝑅 ; 𝐼𝑅 = 𝐼2 − 𝐼1 Reemplazando VR en la ecuación de la malla 2, tenemos,

Calculo de I’’

5𝐼2 − 2(2(𝐼2 −𝐼1 )) = 0 5𝐼2 − 4𝐼2 + 4𝐼1 = 0 𝐼2 + 4(2) = 0 𝐼2 = −8 𝐴 ′ 𝐼 = 𝐼2 = −8 𝐴

5𝐼 ′′ + 4 + 𝑉𝑅 − 3𝑉𝑅 = 0 5𝐼 ′′ − 2𝑉𝑅 = −4 5𝐼 ′′ − 2(2𝐼 ′′ ) = −4 𝐼 ′′ = −4 𝐴 Calculo de I 𝐼 = 𝐼 ′ + 𝐼 ′′ = −8 − 4 = −12 𝐴 Comprobación mediante análisis de mallas

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INGENIERÍA ELECTRÓNICA  

Ecuación para la malla 1. 𝐼1 = 2 𝐴 Ecuación para la malla 2. LKV: 5𝐼2 + 4 + 𝑉𝑅 − 3𝑉𝑅 = 0 5𝐼2 − 2𝑉𝑅 = −4 5𝐼2 − 2(2(𝐼2 −𝐼1 )) = −4 5𝐼2 − 4𝐼2 +4𝐼1 = −4 𝐼2 + 4(2) = −4 𝐼2 = −4 − 8 𝐼2 = −12 𝐴 𝐼 = 𝐼2 = −12 𝐴

EJ 2 Usando el teorema de superposición encuentre el valor de la corriente Ia.

Solución: La respuesta total del circuito corresponderá a la sumatoria algebraica de las respuestas individuales proporcionadas por cada una de las respuestas de las fuentes independientes. 𝐼𝑎 = 𝐼𝑎′ + 𝐼𝑎′′ donde Ia, es la respuesta total, Ia’ corresponde a la respuesta de la fuente de corriente de 2A, e Ia’’, corresponde a la respuesta de la fuente de voltaje de 10V. Cálculo de Ia’

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Ecuación para el nodo 1.

𝑖′𝑎 = 𝐼1 + 𝐼2 + 2 0 − 𝑉1 𝑉1 − 0 𝑉1 − 𝑉2 = + +2 3 6 8

Multiplicando la ecuación anterior por 24 se tiene, −48 = 8𝑉1 + 4𝑉1 + 3𝑉1 − 3𝑉2 −48 = 15𝑉1 − 3𝑉2 

Ecuación para la nodo 2.

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𝐼2 + 2 = 𝐼3

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INGENIERÍA ELECTRÓNICA 𝑉1 − 𝑉2 𝑉2 − 0 +2= 8 4 Multiplicando la ecuación anterior por 8 se tiene, 𝑉1 − 𝑉2 + 16 = 2𝑉2 16 = −𝑉1 + 3𝑉2 Sumando la ecuación anterior con la ecuación resultante del nodo uno se tiene, −48 = 15𝑉1 − 3𝑉2 16 = −𝑉1 + 3𝑉2 −32 = 14𝑉1 −32 = 𝑉1 14 −2,3 = 𝑉1 0 − 𝑉1 = 𝑖′𝑎 3 0 − (−2,3) = 𝑖′𝑎 3 0,76 𝐴 = 𝑖′𝑎 Cálculo de Ia’’

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Ecuación para la malla 1. Ecuación para la malla 2.

𝑖′′𝑎 = 𝐼1 10 = 9𝐼1 − 6𝐼2 0 = −6𝐼1 + 18𝐼2

Multiplicando la ecuación de la malla 1 por 3 y sumándola con la ecuación de la malla 2 se tiene, 30 = 27𝐼1 − 18𝐼2 0 = −6𝐼1 + 18𝐼2 30 = 21𝐼1 30 = 𝐼1 21 1,43 𝐴 = 𝐼1 𝑖𝑎 = 0,76 + 1,43 = 2,19 𝐴

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INGENIERÍA ELECTRÓNICA Comprobación mediante el método de nodos

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Ecuación para el nodo 1.

𝑖𝑎 = 𝐼1 + 𝐼2 + 2 10 − 𝑉1 𝑉1 − 0 𝑉1 − 𝑉2 = + +2 3 6 8

Multiplicando la ecuación anterior por 24 se tiene, 80 − 48 = 8𝑉1 + 4𝑉1 + 3𝑉1 − 3𝑉2 32 = 15𝑉1 − 3𝑉2 

Ecuación para la nodo 2.

𝐼2 + 2 = 𝐼3 𝑉1 − 𝑉2 𝑉2 − 0 +2= 8 4

Multiplicando la ecuación anterior por 8 se tiene, 𝑉1 − 𝑉2 + 16 = 2𝑉2 16 = −𝑉1 + 3𝑉2 Sumando la ecuación anterior con la ecuación resultante del nodo uno se tiene, 32 = 15𝑉1 − 3𝑉2 16 = −𝑉1 + 3𝑉2 48 = 14𝑉1 48 = 𝑉1 14 3,43 = 𝑉1 10 − 𝑉1 = 𝑖𝑎 3 10 − 3,43 = 𝑖𝑎 3 2,19 𝐴 = 𝑖𝑎

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