6 Divide N (n+1) (n+2) - Solução 16c6b

Problema Demonstrar, usando o princípio da indução finita, que 6|n(n+1)(n+2), ∀ n ∈ ℕ.

Resolução completa (principal) Requer-se demonstrar que 6|n·(n+1)·(n+2), ∀ n ∈ ℕ. Para se alcançar isso, pretende-se usar a propriedade de que 2|(m+1)·(m+2), ∀ m ∈ ℕ. Como dá para se perceber, precisa-se primeiro provar essa propriedade, evidentemente através de indução matemática completa (outro nome da indução matemática finita). Seja P(m) a proposição de que 2|(m+1)·(m+2), ∀ m ∈ ℕ. [α] Verifica-se P(m) para m = 0: (0+1)·(0+2) = 2 ⇒ 2 | (0+1)·(0+2) ⇒ P(0) é verdadeira [β] Supõe-se que, dado um k ∈ ℕ, P(k) seja verdadeira, ou seja,  2|(k+1)·(k+2). Para se provar a veracidade da P(k+1), percebe-se antes que: (k+2)·(k+3) = (k+2)·(k+1+2) = (k+2)·[(k+1)+2] = (k+2)·(k+1)+(k+2)·2 = = (k+1)·(k+2)+2·(k+2) ⇒  (k+2)·(k+3) = (k+1)·(k+2)+2·(k+2) Com a hipótese inicial (), a propriedade de que 2|2·(k+2) — por atender à definição de “divide” (“|”) — e a igualdade observada logo acima (), tem-se que: 2|(k+1)·(k+2) e 2|2·(k+2) ⇒ 2|[(k+1)·(k+2)+2·(k+2)] ou 2|(k+2)·(k+3) ⇒ P(k) é verdadeira Então, deduz-se que P(m) é verdadeira, ∀ m ∈ ℕ. Com a propriedade anterior provada, em seguida, faz-se a demonstração requisitada, usando-se indução finita, por um possível modo. Seja Q(n) a afirmação de que 6|n·(n+1)·(n+2), ∀ n ∈ ℕ. [χ] Verifica-se Q(n) para n = 0: 0·(0+1)·(0+2) = 0 ⇒ 6 | 0·(0+1)·(0+2) ⇒ Q(0) é verdadeira [δ] Supõe-se que, dado um k ∈ ℕ, Q(k) seja verdadeira, ou seja,  6|k·(k+1)·(k+2). Para se provar a veracidade da Q(k+1), nota-se antes que: P(k) é válida ⇒ 2|(k+1)·(k+2) ⇒ 3·2|3·(k+1)·(k+2) ou  6|3·(k+1)·(k+2) (k+1)·(k+2)·(k+3) = [(k+1)·(k+2)]·(k+3) = [(k+1)·(k+2)]·k + [(k+1)·(k+2)]·3 = = (k+1)·(k+2)·k + (k+1)·(k+2)·3 ⇒  (k+1)·(k+2)·(k+3) = k·(k+1)·(k+2)+3·(k+1)·(k+2) Com a hipótese inicial () e as propriedades de divisibilidade () e de igualdade () notadas logo acima, obtém-se que: 6|k·(k+1)·(k+2) e 6|3·(k+1)·(k+2) ⇒ 6|k·(k+1)·(k+2)+3·(k+1)·(k+2) ou 6|(k+1)·(k+2)·(k+3) ⇒ ⇒ Q(k) é verdadeira Portanto, conclui-se que Q(n) é verdadeira, ∀ n ∈ ℕ. CQD.

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http://www.youtube.com/watch?v=U4lgWORL6Oc e http://www.youtube.com/watch?v=7x-UgndYFrA, lembrando que, por exemplo, mercúrio é um elemento encontrado em concentrações preocupantes em peixes e pode causar falhas de memória, dificuldade de prestar atenção, etc e até efeito desastroso no sistema nervoso. E, p/ quem gosta do planeta (beleza natural, etc) e das conquistas humanas (artes, conhecimento, etc), há outro vídeo do mesmo canal com msg importante de pessoas influentes e bem-sucedidas: http://www.youtube.com/watch?v=6q4ynXjr4h4 ou (só em inglês — até pessoal de Hollywood) http://www.youtube.com/watch?v=UneYgIsTjwQ. Fim!

Resolução resumida (alternativa) Para se conseguir a demonstração a ser feita, pretende-se usar a propriedade de que 2|(m+1)·(m+2), ∀ m ∈ ℕ. Como dá para se perceber, precisa-se primeiro provar essa propriedade, evidentemente através de indução matemática completa (outro nome da indução matemática finita). Seja P(m) essa proposição, ∀ m ∈ ℕ. Pulando-se a etapa inicial de demonstração de P(m) pelo princípio da indução (extremamente essencial, mas relativamente trivial, o que facilita a sua omissão aqui para se encurtar a digitação), parte-se para a 2ª e última etapa, onde se supõe que, dado um k ∈ ℕ, P(k) seja verdadeira, a fim de se provar a veracidade da P(k+1). Com a relação de que (k+2)·(k+3) = (k+2)·(k+1+2) = (k+2)·(k+1)+(k+2)·2 = (k+1)·(k+2)+2·(k+2), a hipótese inicial [2|(k+1)·(k+2)] e a propriedade de que 2|2·(k+2), tem-se que 2|(k+2)·(k+3). Então, deduz-se que P(m) é verdadeira. Com a propriedade anterior provada, em seguida, faz-se a demonstração requisitada, usando-se indução finita, por um possível modo. Seja Q(n) a afirmação a ser provada neste exercício, ∀ n ∈ ℕ. Pulando-se a etapa inicial de demonstração de Q(n) pelo princípio da indução (também muitíssimo essencial, mas um tanto trivial, o que facilita a sua omissão aqui para se encurtar a digitação), parte-se para a 2ª e última etapa, onde se supõe que, dado um k ∈ ℕ, Q(k) seja verdadeira, a fim de se provar a veracidade da Q(k+1). Com a relação de que (k+1)·(k+2)·(k+3) = (k+1)·(k+2)·k + (k+1)·(k+2)·3 = k·(k+1)·(k+2)+3·(k+1)·(k+2), a hipótese inicial [6|k·(k+1)·(k+2)] e a propriedade de que 6|3·(k+1)·(k+2) basicamente por P(k) ser válida, obtém-se que 6|(k+1)·(k+2)·(k+3). Logo, conclui-se que Q(n) é verdadeira. CQD.

Fonte Foi consultado o título Números: uma Introdução à Matemática (edição de 1991, apostila disponível em http://www.livrariadafisica.com.br/detalhe_produto.aspx?id=12266), q menciona o outro nome da indução finita (“indução completa”).

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