Integral De 3·x^5 + Raiz(4·x^3) - [2 Sobre Raiz(x)] - Solução 6k3z54

Problema Calcular

∫



3 x 54  x 3−



2 dx . x

Resolução





2 dx , precisa-se x usar as técnicas conhecidas de primitivação. Usando-se as “técnicas” de integração da soma de funções e de função multiplicada por constante {para quaisquer funções f e g e constante c, ∫ [ f  x g  x ] dx = ∫ f  x dx∫ g  x dx e ∫ c f  x dx = c ∫ f  x dx , implicitamente conhecidas a partir da definição sobre primitiva de função e com base em regras de derivação}, tem-se que: Normalmente, para se calcular integrais indefinidas parecidas com

∫



3 x 54  x 3−





3

1

∫

3 x 54  x 3−



3

1

− − 2 dx = ∫ 3 x 54 x 2 −2 x 2 dx = ∫ 3 x 5 dx∫ 4 x 2 dx∫ −2 x 2  dx = x 3 2

−

= 3∫ x dx4∫ x dx−2∫ x 5

1 2

dx

Daí, pretende-se usar as primitivas imediatas conhecidas; nesse caso, basta se lembrar que, com x α1 α 0 ≠ α ≠ −1 , ∫ x dx = α1 k (onde k é uma constante) ― se quiser, como α 1−1 α 1 x α 1 ' α1 x = = x α , então a família de primitivas de x α é x k de acordo com a α1 α1 α1

 

definição sobre primitiva. Então tem-se que:

∫



3 x 54  x 3−



1 − 1 2

2 x x x dx = 3 k 14 k 2−2 k 3 = 51 3 1 x 1 − 1 2 2 5 2

6

3 1 2

51

1 2

6

5 2

1

x x x x 8x = 3 4 −2 k 1k 2k 3 =  −4 x 2 k ⇒ 6 5 1 2 5 2 2 ⇒

Observação 1 (sobre as “técnicas” de integração) Como já expressado, as “técnicas” de integração da soma de funções e de função multiplicada são implicitamente conhecidas, talvez não tendo sido apresentadas de modo formal. A parte envolvendo essas técnicas é facultativa, dependendo da praticidade e necessidade dentro dos cálculos a serem efetuados. Por exemplo, para a dada integral e outras parecidas, geralmente bastariam os seguintes cálculos (sem a parte das 2 “técnicas”):

∫





3

1



3

1

1 − 1

− 2 3 x 51 4 x 2 2x 2 5 3 5 3 x 4  x − dx = ∫ 3 x 4 x 2 −2 x 2 dx =  − k = 51 3 1 x 1 − 1 2 2



=

5 2

1 2

5 2

1

3x 4x 2x x 8x 2 x6 8 x5  − k =  −4 x 2 k ⇒ ∫ 3 x 54  x 3− dx=   −4  xk 6 5 1 2 5 2 5 x 2 2 6

6





Observação 2 (sobre a definição de primitiva e integral indefinida) Por definição, para qualquer função f definida num intervalo I, se existe uma função F em I tal que d F  x = f  x  ], então se diz que F é uma primitiva de f em I, sendo também F '  x= f  x [ ou dx identificada como uma integral indefinida de f. Costuma-se usar a notação ∫ f  x  dx=F  x k (onde k é uma constante) ao se indicar a família de primitivas de f, além de poder se referir ∫ f  x  dx como a integral indefinida de f.

Observação 3 (sobre algumas regras de derivação) Dadas duas funções f e g deriváveis em p e uma constante c, duas das regras básicas de derivação (demonstráveis a partir da definição de derivada) são: {1} {2}

 f g '  p= f '  p g '  p c f '  p=c f '  p

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Fonte Foi consultado o título Um Curso de Cálculo Vol. 1 (2ª edição, de 1987 e reimpressa em 1991 pela 2ª vez, livro disponível em http://www.livrariadafisica.com.br/detalhe_produto.aspx?id=4997).