[sen(a)]^2+[sen(b)]^2+[sen(c)]^2=2·[1+cos(a)·cos(b)·cos(c)], Dados Os ângulos Internos A, B E C De Um Triângulo - Solução 8322m

Problema Dados os ângulos internos A, B e C de um triângulo, provar a seguinte igualdade: sen 2  Asen2  Bsen2 C =2⋅[1cos A⋅cos  B⋅cosC ]

Resolução Sabendo-se que A, B e C são os ângulos internos de um triângulo, quer-se chegar à igualdade sen 2  Asen2  Bsen2 C =2⋅[1cos A⋅cos  B⋅cos C ] . Primeiro, pretende-se usar alguma(s) propriedade(s) decorrente(s) para os ângulos internos de um triângulo. Supondo-se α, β e γ como esses ângulos distintos entre si para um certo mesmo triângulo, temse que: α βγ=π ⇒ cos α βγ =cos π  ⇒ ① cos[α β γ ]=cos π  α βγ=π ⇒ α β=π −γ ⇒ ② cos α β =cos π −γ  Usando-se algumas identidades trigonométricas [ cos  pq=cos  p⋅cos  q−sen p⋅sen q e sen  pq=sen  p⋅cos qsen q⋅cos  p  ] e certa propriedade trigonométrica para o ângulo π [ cos π =−1 ] em ① , a-se a ter que: cos α β ⋅cos γ −sen α β ⋅sen γ=−1 ⇒ cos α β ⋅cos γ−sen α β ⋅sen γ=−1 ⇒ ⇒ [cos α ⋅cos  β−sen α⋅sen  β ]⋅cos γ −[sen α⋅cos  β sen  β⋅cos α ]⋅sen γ =−1 ⇒ ⇒ ③ cos α ⋅cos  β ⋅cos γ −sen α ⋅sen  β ⋅cos γ −sen α ⋅cos  β⋅sen γ  −cos α⋅sen  β⋅sen γ =−1 Em seguida, substitui-se os ângulos de ③ com os ângulos fornecidos A, B e C: ④ cos  A⋅cos  B⋅cos C −sen  A⋅sen  B⋅cos C −sen  A⋅cos B ⋅sen C  −cos A⋅sen  B⋅sen C =−1 Usando-se algumas identidades trigonométricas [ cos  pq =cos  p⋅cos q −sen p⋅sen q e cos  p−q =cos  p⋅cos q sen p⋅sen q ] em ② e aplicando-se depois certas propriedades trigonométricas para o ângulo π [ sen π =0 e cos π =−1 ], a-se a ter que: cos α β =cos π −γ ⇒ cos α ⋅cos  β −sen α⋅sen β =cos π ⋅cos γ sen π ⋅sen γ  ⇒ ⇒ cos α ⋅cos  β −sen α ⋅sen β =−1⋅cos γ 0⋅sen γ  ⇒ ⑤ cos α ⋅cos  β−sen α ⋅sen β =−cos γ  Depois, multiplica-se os dois membros de ⑤ por cos γ  : 2

⑥ cos  α⋅cos  β⋅cos  γ−sen α ⋅sen  β ⋅cos γ =−cos γ  Daí, substitui-se os ângulos de ⑥ (de 3 diferentes formas) com os ângulos dados A, B e C: 2

cos  A⋅cos  B⋅cos C−sen  A⋅sen  B⋅cos C=−cos C  ⇒ ⇒ ⑦ cos  A⋅cos  B⋅cos C−sen  A⋅sen  B⋅cos C=−cos 2 C  2

cos  A⋅cos C⋅cos B−sen  A⋅sen C ⋅cos B=−cos  B ⇒ ⇒ ⑧ cos  A⋅cos  B⋅cos C−sen  A⋅cos  B⋅sen C=−cos 2  B 2

cos  B⋅cos C ⋅cos A−sen  B⋅sen C ⋅cos A=−cos  A ⇒ 2 ⇒ ⑨ cos  A⋅cos  B⋅cos C−cos  A⋅sen  B⋅sen C=−cos  A

Soma-se ⑦ , ⑧ e ⑨ membro a membro: ⑩ 2⋅cos  A⋅cos  B⋅cos C cos  A⋅cos B⋅cosC −sen  A⋅sen B⋅cosC  −sen  A⋅cos  B⋅senC −cos  A⋅sen  B⋅sen C =−cos 2  A−cos 2  B−cos 2 C  Por fim, usando-se a informação de ④ em ⑩ e aplicando-se depois a identidade trigonométrica −cos2  q=sen 2  p−1 , obtém-se que: 2⋅cos  A⋅cos  B⋅cosC −1=−cos 2  A−cos2  B−cos 2 C ⇒ ⇒ 2⋅cos  A⋅cos  B⋅cos C −1=sen2  A−1sen 2  B−1sen 2 C −1 ⇒ 2 2 2 ⇒ 2⋅cos  A⋅cos  B⋅cos C  – 13=sen  Asen  Bsen C  ⇒ 2 2 2 ⇒ 2⋅[cos  A⋅cos  B⋅cos C 1]=sen  Asen  Bsen C CQD

Aproveito p/ sugerir q matemática e qq outra matéria é mais fácil de ser estudada se tivermos QI maior; um modo gratuito de garantir q nosso QI não diminua é mudar nosso estilo de vida p/ um mais feliz, saudável e saboroso  : http://youtube.com/watch?v=Xe_oNnBAtcs&cnl_tv=Supreme Master TV (informações da Mensa Internacional — a maior e mais antiga sociedade que reúne pessoas com alto QI do mundo — exibidas em um canal de TV global via satélite q traz entrevistas sobre vários temas importantes c/ renomados especialistas locais, regionais, nacionais ou até internacionais dos vários cantos do mundo), http://youtube.com/watch?v=U4lgWORL6Oc e http://youtube.com/watch?v=7xUgndYFrA, lembrando q, por exemplo, mercúrio é um elemento encontrado em concentrações preocupantes em peixes e pode causar falhas de memória, dificuldade de prestar atenção, etc e até efeito desastroso no sistema nervoso. E, p/ quem gosta do planeta (beleza natural, etc) e das conquistas humanas (artes, conhecimento, etc), saiba ajudar a acabar com as crises mundiais: http://crisis2peace.org/pt (livro on-line) e http://SupremeMasterTV.com/pt/worldvegan (oficial) ou http://youtube.com/watch?v=QeGOXaQYvw (alternativo). Fim!

Fonte A princípio, as melhores (mais familiares, recomendáveis ou até confiáveis, etc) fontes para consultar as dúvidas são os livros-textos e as anotações de aula. Contudo, se não estiver com eles à mão ou se realmente precisar consultar dúvidas rápidas, talvez algumas outras fontes como impressos alternativos ou até páginas eletrônicas (encontradas pela internet) possam ajudar também; por exemplo, aqui serviu o título Um Curso de Cálculo Vol. 1 (2ª edição, de 1987 e reimpressa em 1991 pela 2ª vez, livro disponível em http://www.livrariadafisica.com.br/detalhe_produto.aspx?id=4997).