Monografia 02 Líneas Trigonométricas En Las Razones Trigonométricas 372z19

CARÁTULA “Año del buen servicio al ciudadano”

COLEGIO MARIA INMACULADA

MONOGRAFIA

LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS EN LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

CURSO

: MATEMÁTICA

PROFESOR

: ALFREDO TOVAR G.

ALUMNA

: MILENIA AQUINO JULCAPARI

GRADO

: 5to.

SECCIÓN

: “E”

HUANCAYO - PERU 2017

1

ÍNDICE

CARÁTULA ........................................................................................................ 1 ÍNDICE ............................................................................................................... 2 DEDICATORIA ................................................................................................... 3 INTRODUCCIÓN ............................................................................................... 4 CAPÍTULO I LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS EN LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 1.1.

Definición: ................................................................................................. 5

1.2.

Líneas trigonométricas: ............................................................................ 7

1.3.

Las razones trigonométricas..................................................................... 7

1.4.

Fórmulas trigonométricas ....................................................................... 10

1.5.

Razones de ángulos ............................................................................... 10

1.6.

Razones de los ángulos de 30°, 45° y 60° ............................................. 11

1.7.

Circunferencia goniométrica: .................................................................. 11

1.8.

Ejercicios prácticos: ................................................................................ 14

CONCLUSIONES............................................................................................. 16 BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................ 17 ANEXOS .......................................................................................................... 18

2

DEDICATORIA

A

todos

los

profesionales

que

buscan un futuro mejor para nuestro país y que día a día se esfuerzan por ser mejores personas.

3

INTRODUCCIÓN

Trigonometría es la parte de las Matemáticas que tiene por objeto el estudio de las relaciones existentes entre los ángulos y los lados de un triángulo. Según sabemos, en todo triángulo existen tres ángulos y tres lados, si bien para la determinación de un triángulo no es preciso establecer el valor de estos seis elementos, sino que, fijados tres, los restantes pueden deducirse a partir de ellos. Pues bien, esta circunstancia supone que entre los lados y los ángulos de un triángulo existen ciertas relaciones, cuyo estudio constituye el objeto de la Trigonometría. Descubrieron la manera de repartir el peso de la techumbre entre tres vigas, de tal manera que el trabajo que realizaba cada una al trabajar conjuntamente, era muy inferior que les correspondería si se distribuyese entre las tres colocadas como vigas planas. Y según el trabajo que hacen, así las nombraron: a las dos vigas que sostienen la techumbre las llamaron catetos, porque tienden a ir hacia abajo (kazíemi); y a la viga de abajo la llamaron hipotenusa porque es la que lira (tenusa) por abajo (hipo) de las otras dos para que no se abran. Los ángulos que miden 30°; 45° y 6 (r son muy utilizados en Trigonometría. Podemos calcular los valores de las seis razones trigonométricas de estos ángulos notables sin necesidad de utilizar tablas o calculadoras.

LA ESTUDIANTE

4

CAPÍTULO I LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS EN LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 1.1.

Definición: Cuando el ángulo está en posición normal, las líneas trigonométricas son los segmentos que coinciden con cada una de las funciones trigonométricas de éste (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Las razones trigonométricas deducidas en un círculo goniométrico se corresponden con los valores de ciertos segmentos de recta que se denominan líneas trigonométricas. A continuación vamos a colegir las líneas trigonométricas en el primer cuadrante . La forma de obtener las

líneas trigonométricas en los otros tres cuadrante es similar.

Los triángulos AOQP, AOSR, ATWO y AOVT son semejantes: los cuatro son rectángulos y tienen un ángulo agudo común (y, por ende el tercero también). La consecuencia inmediata de esto es que las razones entre dos de los lados de uno cualquiera de los triángulos es igual a la razón de los lados homólogos en los otros dos triángulos. Teniendo esto presente, y el hecho de que el radio del círculo mide 1, vamos a deducirlas seis líneas trigonométricas: 5

Considerado un ángulo a, en una circunferencia cuyo radio es la unidad, las definiciones de las seis líneas trigonométricas son: -

Seno:

Es

la

distancia

existente

entre

el

extremo

del

arco

correspondiente y el eje horizontal. -

Coseno: Es la distancia existente entre el centro de la circunferencia y el extremo inferior del seno.

-

Tangente: Trazada la recta tangente a la circunferencia por el punto D, origen de arcos, la tangente trigonométrica es el segmento comprendido entre dicho punto y la intersección de la recta tangente con la prolongación del radio correspondiente al extremo del arco.

-

Cotangente: Trazada la recta tangente a la circunferencia por el punto E, extremo del primer cuadrante, la cotangente es el segmento comprendido entre dicho punto y la intersección de la recta tangente con la prolongación del radio correspondiente al extremo del arco.

-

Secante: Es la distancia existente entre el centro de la circunferencia y el extremo de la tangente.

-

Cosecante: Es la distancia existente entre el centro de la circunferencia y el extremo de la cotangente. 6

1.2.

Líneas trigonométricas: Es bueno recordar de manera general como se determinan las líneas trigonométricas: a) Línea del seno: Dado que la función seno se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa y que el triángulo rectángulo construido tiene hipotenusa igual a un radio (r=1) el segmento SENO corresponde al cateto opuesto a el ángulo agudo con vértice en el origen. b) Línea del coseno: De la misma forma que se determinó la línea del seno se puede observar que la línea del coseno corresponde al cateto adyacente del ángulo agudo con vértice el origen en el triángulo rectángulo construido dentro del círculo unitario. c) Línea de la tangente: Se traza una recta tangente a la circunferencia por el punto (1,0) y se extiende la hipotenusa del triángulo rectángulo hasta que se interseca con la recta tangente, el segmento que va desde el eje horizontal hasta el punto de intersección corresponde a la línea tangente. d) Línea de la cotangente: De manera similar a la línea de la tangente, se traza una recta tangente a la circunferencia esta vez por el punto (0,1) y se haya la intersección entre esta recta y la hipotenusa; el segmento desde el punto de intersección al eje vertical es la línea de la cotangente. e) Línea de la secante: El segmento que va desde el origen hasta el punto de intersección con la tangente sobre la recta de la hipotenusa, corresponde a línea trigonométrica de la tangente. f) Línea de la cosecante: De igual forma que la secante, el segmento que une el centro con el punto de intersección con la cotangente, es la línea trigonométrica de la cosecante.

1.3.

Las razones trigonométricas Dado un ángulo cualquiera, se definen seis razones trigonométricas del mismo denominadas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, que abreviadamente se expresan: -

Seno................................sen. 7

-

Coseno..............................cos

-

Tangente............................tag

-

Cotangente.........................cotag

-

Secante...............................se...

-

Cosecante...........................cose...

Dibujamos una circunferencia de radio r= 1. Tomamos un sistema de coordenadas con el origen en el centro de la circunferencia. Dividimos la circunferencia en 4 cuadrantes, los numeramos en sentido contrario a las agujas del reloj. Observa en la figura la equivalencia entre grados y ti radianes. Dibujamos un ángulo a en el primer cuadrante, su vértice coincide con el centro de la circunferencia y uno de sus lados coincidiendo con el semieje positivo de lasx. Para obtenerlas razones trigonométricas del ángulo a leemos en el sentido de la flecha de la figura.

Para expresar que el ángulo a se encuentra en el primer cuadrante escribimos 0°<90°. Mira la figura superior fíjate que el ángulo atiene como catetos x e y. La hipotenusa es el radio r de la circunferencia.

8

9

1.4.

Fórmulas trigonométricas

1.5.

Razones de ángulos RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Grados

0º

Radianes

90º

180º

270º

30º

45º

60º

2π π ⁄ 2

π

3π ⁄ 2

π⁄6

π⁄4

π⁄3

Seno

0

1

0

-1

1⁄2

√2 ⁄ 2

√3 ⁄ 2

Coseno

1

0

-1

0

√3 ⁄ 2

√2 ⁄ 2

1⁄2

Tangente

0

∞

0

−∞

√3 ⁄ 3

1

√3

10

1.6.

Razones de los ángulos de 30°, 45° y 60° 

Es conveniente utilizarlas razones de 30°, 45° y 60° con raíces.



Estas razones nos sirven para ver después su equivalencia con ángulos situados en otros cuadrantes.



El seno de 30° es el coseno de 60°, y el coseno de 30° es el seno de 60°. Son ángulos complementarios.



El seno y el coseno de 45° tienen el mismo valor.



Los valores de las tangentes se pueden ir obteniendo dividiendo el valor del seno entre el valor del coseno y racionalizando cuando sea necesario.

1.7.

Circunferencia goniométrica:

A cada valor de t le corresponderán sendos valores de x e y con las siguientes relaciones: x = cos t y = sen t

11

Se tiene así un procedimiento gráfico para determinar valores aproximados del seno y coseno de un ángulo; así: Ver figura 1. - Se traza una circunferencia con centro O en el origen de coordenadas y de radio unidad:

Ejemplo: 1 dm. - Partiendo de O, se traza una recta OS de amplitud t que cortará a la circunferencia en el punto P. - El punto P, se proyecta sobre OX en el punto A. OAP forma un triángulo rectángulo. El número expresado en dm (unidad de medida utilizada en el trazado de la circunferencia) de la longitud del segmento OA = x, abcisa de P, es el coseno de t. El número expresado en dm de la longitud del segmento AP = y, ordenada de P, es el seno de t. Observación: Siguiendo el criterio dado en las coordenadas cartesianas el sentido de los segmentos nos ofrecerá el signo que corresponde a cada línea trigonométrica.

Teniendo en cuenta las propiedades de los triángulos semejantes se pueden construir las demás líneas trigonométricas; así: Figura 2

12

El eje OX corta a la circunferencia en el punto B. Desde este punto se levanta una perpendicular a OX, hasta que corte a OS en el punto C. El número expresado en dm de la longitud del segmento BC, es la tangente de t. El número expresado en dm de la longitud del segmento OC, es la secante de t.

El eje OY corta a la circunferencia en el punto D. Desde este punto se levanta una perpendicular a OY, hasta que corte a OS en el punto E. 13

El número expresado en dm de la longitud del segmento DE, es la cotangente de t. El número expresado en dm de la longitud del segmento OE, es la cosecante de t. Con los procesos antes reseñados se han trazado las líneas trigonométricas de un ángulo en el primer cuadrante. Análogamente se pueden trazar las líneas trigonométricas de cualquier ángulo siguiendo el mismo procedimiento. Como ejemplo se trazan las líneas de un ángulo en cada cuadrante. En el primero se han trazado las líneas de dos ángulos y para respetar la asignación dada en el proceso, a las letras del segundo ángulo se tildan así. 1.8.

Ejercicios prácticos: 1. De un triángulo rectángulo se sabe que uno de sus ángulo agudos es 40º y que el cateto opuesto a éste mide 10m. Calcula el ángulo y los lados que faltan. Lo primero es hacer un dibujo que nos aclare la situación y ponerle nombre a los lados y ángulos. Esta sería nuestra situación. Para empezar los más fácil es sacar el ángulo que falta, y aplicando que la suma de los tres es 180, el ángulo B vale 50º. Vamos a calcular ahora por ejemplo el lado "b". Si me fijo en el ángulo C, el

lado que sé es el cateto opuesto y el que pretendo calcular es el contiguo. Como la razón trigonométrica en la que intervienen estos es la tangente, voy a calcularla con la calculadora y despejar a partir de ahí: 14

Por tanto ya tenemos el lado "b". Para calcular el lado "a" podríamos aplicar Pitágoras o sacarlo por alguna razón. Vamos a seguir este camino que será más corto. Por ejemplo voy a fijarme en el lado "c" y el ángulo "C", aunque ya podría utilizar cualquiera de los datos que tengo. Para el ángulo "C" sé cateto opuesto y quiero hipotenusa; así que habrá que utilizar el seno:

2. El seno de cierto ángulo α del segundo cuadrante vale 0,45. Calcula el coseno y la tangente. Para resolver este ejercicio tenemos que recurrir a las relaciones trigonométricas. De la primera sacaremos el valor del coseno y una vez que lo tengamos sacaremos la tangente: Sacamos el valor del coseno despejándolo de la fórmula:

sen2α + cos2α =

1. Como nuestro ángulo está en el segundo cuadrante y en ese cuadrante el coseno es negativo, tenemos que quedarnos con el signo -, por tanto cos α = 0,893.

Para calcular el valor de la tangente, aplicamos la segunda fórmula:

15

CONCLUSIONES

1. Seno:

Es

la

distancia

existente

entre

el

extremo

del

arco

correspondiente y el eje horizontal.

2. Coseno: Es la distancia existente entre el centro de la circunferencia y el extremo inferior del seno.

3. Tangente: Trazada la recta tangente a la circunferencia por el punto D, origen de arcos, la tangente trigonométrica es el segmento comprendido entre dicho punto y la intersección de la recta tangente con la prolongación del radio correspondiente al extremo del arco.

4. Cotangente: Trazada la recta tangente a la circunferencia por el punto E, extremo del primer cuadrante, la cotangente es el segmento comprendido entre dicho punto y la intersección de la recta tangente con la prolongación del radio correspondiente al extremo del arco.

5. Secante: Es la distancia existente entre el centro de la circunferencia y el extremo de la tangente.

6. Cosecante: Es la distancia existente entre el centro de la circunferencia y el extremo de la cotangente.

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BIBLIOGRAFÍA Autores: 1. Cortés Espinosa de los Monteros, Nuria. Ediciones Didácticas y Pedagógicas S. L., ed. Actividades para unidad didáctica sobre trigonometría [Recurso electrónico] (2008). 2. Domínguez Muro, Mariano. Universidad de Salamanca. Ediciones Universidad Salamanca, ed. Trigonometría activa: 2 BUP (1985).

Páginas web consultadas: 

http://mauripides.blogspot.pe/2010/04/lineas-trigonometricasconstruccion.html



https://aula.tareasplus.com/Roberto-Cuartas/Curso-TrigonometriaPlana/Definicion-general-de-las-razones-trigonometricas



http://www.vadenumeros.es/cuarto/razones-trigonometricas.htm



http://ieszaframagon.com/matematicas/4_eso/trigonometria/web/problem as.htm

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ANEXOS RAZONES TRIGO MÉTRICAS

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