S3.equivalencias E Inferencias Lógicas 5rfv

EQUIVALENCIAS E INFERENCIAS LÓGICAS

CASO :

Dada la proposición: “Si la tormenta continúa o anochece, nos quedaremos a cenar o a dormir; si nos quedamos a cenar o a dormir no iremos mañana al concierto; pero sí iremos mañana al concierto. Así pues, la tormenta no continúa.

LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión el estudiante será capaz de: 1. Identificar las principales leyes de equivalencia y los aplica en la solución de ejercicios sobre proposiciones equivalentes. 2. Obtener la conclusión válida de un argumento a partir de un conjunto de premisas bien formadas, aplicando correctamente las equivalencias lógicas y las reglas de inferencia.

SABERES PREVIOS

Proposición. Formalización.

TEMARIO

 Leyes

del

algebra

proposicional. Simplificación de formulas

La inferencia. Representación

de

Inferencia. Inferencias Notables.

una

TABLA DE VERDAD DE LOS CONECTORES LÓGICOS p q

  



/

V V

v v

F

V F

v v

F v

F

F

V

F F

F

F

F

  v v v v F F v F v v F F v v v v F

F F V

v v

A toda fórmula lógica; cuyo valor de su matriz final es siempre verdadera, se llamará que ella es una TAUTOLOGÍA y se denotará por “V”. Ejemplo: Verificar que la fórmula lógica: es una tautología

p

q

V V F F

V F V F

 p V V F F

 V V F F



p  q V V V F

 

 p 





p

V V V V

V V F F

p  q    p

La fórmula lógica si es una

tautología

Dos fórmulas lógicas: F y G son equivalentes, si las matrices resultantes de sus tablas de verdad de cada una de ellas son idénticas o que al unirlas mediante la bicondicional su matriz final resulte una tautología; en cuyo caso se simboliza por:

F G

Ejemplo: ¿La fórmula

p  q es equivalente a la fórmula q   p

?

SOLUCIÓN:

p  q  q   p

Son ciertas equivalencias lógicas, cuya demostración es fácil de realizar exhibiendo sus tablas de verdad correspondientes.

 Leyes para el operador " " 1) p  p  p ; " Ley deidempotencia " 2) p  q  q  p ; " Ley conmutativa " 3) p   p  F 4) p  V  p 5) p  F  F 6) p   q  r    p  q   r ; " Ley asociativa " 7) p   q  r    p  q    p  r  ; " Ley distributiva "

 Leyes para el operador " " 1) p  p  p ; " Ley deidempotencia " 2) p  q  q  p ; " Ley conmutativa " 3) p   p  V 4) p  V  V 5) p  F  p 6) p   q  r    p  q   r ; " Ley asociativa " 7) p   q  r    p  q    p  r  ; " Ley distributiva "

 Leyes de " Morgan " 1)   p  q    p  q 2)   p  q    p  q CASOS :    p  q  p  q    p / q  p  q

 Leyes de " Absorción " 1) p   p  q   p 2) p   p  q   p

 Leyes adicionales 1) p  q   p  q ;" Ley dela condicional " 2) p  q  q   p ;" Ley dela contraposición " 3) p  q   p  q    q  p  ;" Ley dela bicondicional " 3) p  q   p  q    q   p  ;" Ley del disyuntor  "

La simplificación de una fórmula lógica, es el resultado de la correcta utilización de las leyes lógicas. Ejemplo: Simplificar la fórmula lógica:   p  q    r   r     q SOLUCIÓN:

  p  q    r   r     q     p  q    F     q ; Ley del condicionador | r  r  F  p  q    F     q ; Ley de Morgan  p  q     q q ; Ley de Absorción   p  q    r   r     q  q

Ejercicios Resueltos 1. (4HT) La proposición: “Siempre que suba el dólar, es obvio que el salario pierde su poder adquisitivo”; equivale a: a) Es falso que si el dólar no sube por lo tanto el salario no pierde su poder adquisitivo. b) Es inisible que el dólar no suba pero el salario gana poder adquisitivo. c) Si el salario no pierde el poder adquisitivo, no sube el dólar. d) Siempre que el salario pierde su poder adquisitivo por consiguiente sube el dólar. e) N.A

2. (1HT) ¿Qué fórmula equivale a? “p  – q” A) q  p

B)p  q C)–p  q D) –(p  –q) E) –(p  q)

Solución :A) q  p  –p  –q

Ley de Contraposición

B) p  q  –p  q

Def. Condicional

C) –p  q  p  q D) –(p  –q)  –p  q pq E) –(p  q)  –p  –q  p  –q

Def. Condicional Ley de Morgan Def. Condicional Ley de Morgan Def. Condicional

RPTA: CLAVE E

3. (6HT)La proposición: “La matemática es de gran ayuda para la ciencia económica, pero la ciencia económica es una ciencia aplicada”. Equivale a: a) La ciencia económica es una ciencia aplicada. b) La ciencia económica es una ciencia aplicada aunque la matemática sea es de gran ayuda para la ciencia económica. c) Es innegable que la ciencia económica no sea una ciencia aplicada. d) Es falso que, la ciencia económica no sea una ciencia aplicada a no ser que la matemática no sea de gran ayuda para la ciencia económica. e) La matemática no es de gran ayuda para la ciencia económica a pesar que la ciencia económica es una ciencia aplicada. Son ciertas: A) Todas B) 1 y 3 C) 2 y 4 D) 1, 2, 3 y 4 E) 3, 4 y 5

La inferencia o deducción es una estructura de proposiciones, donde a partir de una o más proposiciones llamadas premisas se obtiene otra proposición llamada conclusión.

Ejemplo:

P1: Todos los hombres son mortales P2: Pánfilo es hombre C: Pánfilo es mortal

REPRESENTACIÓN DE UNA INFERENCIA A. Forma Vertical: Ubicamos una premisa sobre la otra y la separamos de la conclusión mediante una línea horizontal. P 1

P2 P3 Pn C

B. Forma Horizontal: Unimos en forma horizontal al conjunto de premisas mediante el operador conjuntor; luego las unimos con la conclusión mediante la operación condicional. ( P1  P2  …  Pn )  C

INFERENCIAS NOTABLES Son aquellas que al llevar su esquema a una tabla de verdad resulta tautología.

MODUS PONENDO PONENS (MPP)

pq p 

q

Ejemplo: Si Perú exporta a China,crecerá economicamente. Perú exporta a China. Perú crecerá economicamente.

MODUS TOLLENDO TOLLENS (MTT)

pq q  p Ejemplo: Si el PBI del Perú crece1%,entonces la pobreza se reduce en 0.6%. La pobreza nose reduce en 0.6%. El PBI delPerú no crece en1%.

MODUS TOLLENDO PONENS (MTP)

pq q  p Ejemplo: Steven exporta calzado a Colombia o a Brasil. Steven no exporta calzado a Brasil. Steven exporta calzado a Colombia.

MODUS PONENDO TOLLENS (MPT)

pq q p Ejemplo: Mañana es Jueves o Viernes. Mañana es Viernes. Mañana no es Jueves.

SILOGISMO HIPOTÉTICO PURO

pq q r  p r Ejemplo: Si no llueve, se perderá la cosecha. Si se pierde la cosecha, nose podrá cancelar la deuda. Si no llueve, nose podrá cancelar la deuda.

DILEMA CONSTRUCTIVO COMPUESTO

pq r s pr q  s Ejemplo: Si Carlos toma bebidas heladas, se resfriará. Si Rosa no llega a tiempo,se quedará sin ver la obra. Carlos toma bebidas heladas o Rosa no llegó a tiempo Carlosse resfriará o Rosa se quedará sin ver la obra.

Ejercicios Resueltos

1. De las premisas: “Si Gaby estudia la carrera de istración y negocios internacionales, se infiere que trabajará en empresas exportadoras e importadoras. Pero se sabe que es falso que trabaje en empresas importadoras y exportadoras”. Se concluye que: a) Gaby no estudia la carrera de istración y negocios internacionales. b) Es totalmente incierto que Gaby estudia la carrera de istración y negocios internacionales. c) Es inaudito que Gaby estudia la carrera de istración y negocios internacionales. d) Gaby es falso que estudia la carrera de istración y negocios internacionales. e) Es innegable que Gaby no estudia la carrera de istración y negocios internacionales Son ciertas: A) 1, 2 y 3 B) 3, 4 y 5 C) 4 y 5 D) 1, 4 y 5 E) Todas

2.- De las premisas: “Si el Perú es un país productivo, entonces es competitivo. Del mismo modo no es cierto que sea competitivo el Perú”. Se concluye que: a) Es absurdo que el Perú es un país productivo. b) Es falso que el Perú es un país productivo. c) Es absurdo que el Perú sea competitivo. d) El Perú es un país productivo. e) El Perú es un país competitivo. Son ciertas: A) 1, 2 y 3 B) 1, 2 y 4 C) 4 y 5 D) 2 y 4 E) 1 y 2

Solución:

3.

- De las premisas: “O Liliana ejecuta operaciones

aduaneras o gerencia compras internacionales. Sin embargo Liliana gerencia compras internacionales”. Se concluye que: a) Liliana no ejecuta operaciones aduaneras. b) Es absurdo que Liliana no ejecuta operaciones aduaneras. c) Liliana es inisible que ejecute operaciones aduaneras. d) Liliana ejecuta operaciones aduaneras. e) Es incoherente que Liliana no ejecuta operaciones aduaneras Son ciertas: A) 1 y 2 B) 2 y 3 C) 1 y 3 D) 1 y 4 E) 4 y 5

¿PODRÍAS AHORA RESOLVER EL CASO 01

Dada la proposición: “Si la tormenta continúa o anochece, nos quedaremos a cenar o a dormir; si nos quedamos a cenar o a dormir no iremos mañana al concierto; pero sí iremos mañana al concierto. Así pues, la tormenta no continúa. Formalización

EVALUACIÓN TRABAJO DE EQUIPO: En grupo contesta las preguntas formuladas por el docente.

EVALUACIÓN 1) Verificar, si la siguiente fórmula lógica es TAUTOLÓGICA.

 p  q   q   p 2) Simplificar la siguiente fórmula lógica:

    p  q    q   q 3) Un abogado dice a su patrocinado: “Si pides perdón te absolverán. Si eres ofensivo, te condenarán. Pero pides perdón a menos que seas ofensivo”. En realidad, el abogado quiso decir: A) Es innegable que te absolverán no obstante nadie te condenará. B) Te absolverán a no ser que te condenarán. C) Si te absuelven, no te condenarán. D) Al no pedir perdón, entonces te condenarán. E) No te absolverán o de lo contrario te condenarán.