Inferencias Logicas Y Silogisticas 4o5s3q

>. El descubrimiento de lo evidente se caracteriza porque se considera inmediato, lo que significa que no hay pasos intermedios para descubrir el concepto. La intuición intelectual se caracteriza porque no posee error, algo es verdadero o falso, no existen valores intermedios. 2. Regla del análisis: "Dividir cada una de los problemas en tantas partes como sea posible para obtener una mejor solución." Nota: En la segunda regla apreciamos que cualquier problema que estudiemos está formado a su vez por subproblemas que al poder tratarse por separado facilitan el trabajo y ayudan a obtener soluciones mejores y más fiables. Para ello intentaremos transformar las ideas complejas en ideas simples.

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3. Regla de la síntesis: "Comenzar el razonamiento por los objetos más simples y más fáciles de conocer, para ir ascendiendo poco a poco hasta el conocimiento de los más compuestos." Nota: Una vez hemos llegado a descomponer el problema en ideas sencillas tenemos que aplicar la tercera regla, volveremos a juntar todos los subproblemas descubiertos en la segunda regla, y que ya hemos solucionado, para intentar en esta ocasión solucionar el problema origen o problema "padre". Es aquí donde entra en acción el proceso deductivo. 4. Regla de las enumeración: "Hacer en todo momento enumeraciones completas y revisiones generales." Para finalizar y para evitar posibles errores, se realizarán comprobaciones de todo el proceso recorrido. Este recorrido se centrará sobre todo en las partes de análisis y síntesis que es donde se producen la mayoría de los errores. El sistema de conocimiento resultante transmite la verdad en todos los pasos, por lo que tendremos garantía de certeza al final del proceso.

3.4 Momentos de la realización del método cartesiano. En el momento de la realización del método cartesiano es necesario tomar una dirección en base a estos dos momentos: - Análisis. - Síntesis. El momento final de cualquier decisión será una Demostración.

3.4.1 Momento del Análisis. Consiste en el estudio de los casos singulares para llegar a una ley Universal. Coincide con el proceso de Inducción.

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Este es el momento más adecuado para las ciencias físicas, biología, químicas, etc. 3.4.2 Momento de la Síntesis. Es el momento que va de las leyes a los hechos particulares, es considerado como el apropiado para las matemáticas y la filosofía.

Coincide con el proceso de la síntesis.

3.4.3 Momento de Demostración. Es el momento final después del análisis o síntesis, y es el momento final de toda ciencia. Demostración: Es el raciocinio que se funda en principios ciertos y concluye en una proposición cierta. Gutiérrez Sáenz, Raúl, Introducción a la lógica

Ejercicio: De acuerdo a las reglas y momentos del método cartesiano analiza la imagen que se anexa y comenta sobre los momentos en que se dan cada uno:

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Razonamiento de cómo se desarrollan las reglas y momentos del método cartesiano:

__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ Actividad: Entregar un ensayo que contenga un análisis de las reglas y momentos de desarrollo del método cartesiano, presentando un ejemplo de cómo se utiliza para demostrar un principio de una ciencia.

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Autoevaluación del alumno de los conceptos y habilidades del bloque. Criterios para evaluar el aprendizaje Conocí los antecedentes del método cartesiano.

Si lo desarrollo

No lo desarrollo

Identifique las reglas del método cartesiano. Reflexione sobre la importancia de utilizar el método cartesiano. Analice los momentos del método cartesiano. Utilice el método cartesiano para comprender los principios científicos.

Fuentes: BÁSICA: Escobar Valenzuela, Gustavo, Lógica, Editorial Mc Graw Hill. México, 1999. Gutiérrez Sáenz, Raúl, Introducción a la lógica, Editorial Esfinge. México, 1998. San José G., María del Carmen, Lógica, Editorial Esfinge. México, 2001.

COMPLEMENTARIA: Baena Paz, Guillermina. Metodología de la investigación, México, Editorial Cultural, 2002, Octava reimpresión 2005. Hernández Sampieri, Roberto; Fernández Collado, Carlos; Baptista Lucio Pilar. Metodología de la Investigación, Editorial Mc Graw Hill, Chile 2004. Albarán Vázquez, Mario; Escobar Valenzuela, Gustavo. Metodología de la Investigación, Editorial Cultural, 2003. Escobar Valenzuela, Gustavo, Lógica, Editorial Mc Graw Hill. México, 1999. Gutiérrez Sáenz, Raúl, Introducción a la lógica, Editorial Esfinge. México, 1998. San José G., María del Carmen, Lógica, Editorial Esfinge. México, 2001. ONTORIA A. et al. Potenciar la capacidad de aprender y pensar, Editorial Nancea. España, 2002. CaStañeda, Juan, Habilidades académicas, Editorial Mc Graw Hill. México, 2003. Copi, Irving M., Introducción a la lógica, Editorial Universitaria de Buenos Aries. Buenos Aires, 1969. De Gortari, Eli, Iniciación a la lógica, Editorial Grijalbo. México, 1974. Gorski D.P., Tavants P.V., Lógica, Editorial Grijalbo, México, 1970. Ortega, Esteban, Lógica, introducción a la Filosofía y la Ciencia, Editorial Diana. México, 1993. ELECTRÓNICA:

http://es.wikipedia.org http://www.liceodigital.com/filosofia/logica.htm http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/filosofia/filosofia.html http://ntic.educacion.es/w3//eos/MaterialesEducativos/mem2003/logica/

http://campusvirtual.unex.es/cala/epistemowikia/index.php?title=M%C3%A9todo_cartesiano Página 32 de 42

Instrumentos de evaluación. Producto: Reporte de investigación del concepto del método cartesiano y su importancia. Instrumentos: Lista de cotejo. Ponderación: 10 % Elementos de análisis

si

no

Observación

El alumno estableció el concepto del método cartesiano. El alumno aporta antecedentes del método cartesiano. El se estableció la aplicación del método cartesiano en la vida diaria. Se integro una postura personal sobre la importancia del método cartesiano. Se observa limpieza en el trabajo Se entrego en el tiempo señalado por el profesor Se observa buena ortografía. Contiene fuete bibliográfica. Producto: Ensayo sobre las reglas del método cartesiano y momentos de aplicación. Instrumentos: Rúbrica. Ponderación: 20 % Nivel de logo Excelente Bueno Cumple con todos los Cumple con la mayoría los requisitos de tiempo requisitos de tiempo pedidos por el profesor. pedidos por el profesor. Creatividad Utiliza bastante la Utiliza poca creatividad, creatividad, identifica ideas utilizando organización y utilizando diferentes marcación para distinguir materiales, con marcados. ideas. Sustentación del Se desarrollo una Se desarrollo una reporte investigación de todos los investigación de todos los parámetros en diferentes parámetros en una fuente fuentes bibliografías. (Dos bibliográfica. o más). Integra la forma de Integra un ejemplo donde Integra un ejemplo con aplicación del se demuestre un principio demostración incompleta. método cartesiano, de una ciencia con método utilizando ejemplos. cartesiana Criterios Entrega del reporte

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Regular No cumple con el requisito de tiempo y forma que se solicito. Presenta poca creatividad

Se desarrollo una investigación, sin especificar la fuente bibliográfica. Integra una mención de un principio, sin demostración.

Asignatura: LÓGICA II

BLOQUE: IV

Aplicas los géneros de la dialéctica.

Despeños a demostrar: •

Comprende los diferentes géneros de la dialéctica.

•

Reflexiona sobre la importancia de identificar los géneros de la dialéctica para argumentar.

•

Utilizas una argumentación correcta en un género de la dialéctica.

Competencias a desarrollar: •

Comprende los antecedentes de la dialéctica.

•

Comprende el discurso argumentativo.

•

Delimita los distintos tipos de géneros de la dialéctica.(Debate, foro, defensa jurídica, mesa redonda, conferencia y ponencia.)

• • •

Expresa ideas o juicios basados en los géneros dialecticos. Sustenta posturas personales sobre temas de interés social de manera crítica y reflexiva Aplica una organización metodológica de las ideas y enunciados que se utilizan en un género de la dialéctica.

•

Reflexión sobre la importancia las reglas o principios medulares de cada género dialectico.

Objeto de aprendizaje:  Géneros de la dialéctica. 4.1 Dialéctica. Antecedentes: Los antecedentes de la dialéctica se encuentran en Grecia, donde en la República, Platón establece una correlación entre los grados de conocimiento y los distintos grados de ser, ocupando las ideas la máxima jerarquía tanto gnoseológica como ontológica. Por ello, en esta primera concepción, la dialéctica, concebida como el camino y el método del conocimiento y de la ciencia lo es también de la libertad y la justicia. Sólo el filósofo, como máximo dialéctico, podrá liberar a la humanidad de las sombras de la caverna y traer la justicia al mundo. En su segunda acepción recogida en el Filebo, el Parménides y el Sofista, Platón concibe la dialéctica como un examen de las distintas ideas y de las relaciones que mantienen entre sí unas con otras, mostrando su trabazón (symploké) y comunicación (koinonía). Las ideas son los géneros de las Página 34 de 42

cosas, a partir de los cuales y por división (diaíresis) se definen las especies o determinaciones de las cosas. En Aristóteles consideraba a la dialéctica como aquellos silogismos que partiendo de premisas no ciertas son simplemente probables (lógica de lo probable). En la filosofía medieval, el concepto dialéctica se refería indistintamente al conjunto de elementos que integran a la lógica. Para Kant, será la dialéctica la lógica de la apariencia y su objeto son las tres ideas de: alma, mundo y Dios, sobre las cuales la mente no puede sino construir paralogismos y antinomias. Estos son algunos de los autores más reconocidos, aun cuando varios filósofos han aportados conceptos a esta figura. En la modernidad es el tratado por Marx, Engels, Lennin y otros. Concepto: Partiendo de los antecedentes desarrollados se puede definir a la dialéctica como una lógica basada en la 'identidad' y la 'inclusión' de conceptos. Aún no en la 'oposición' o contradicción, operación que se introduce a partir de la dialéctica hegeliana. Así también la palabra dialéctica procede del griego dialegomai, que significa diálogo, conversación, polémica. La dialéctica era la manera de llegar a la verdad mediante la discusión y la lucha de opiniones, tratando de descubrir contradicciones en las argumentaciones del interlocutor. Hegel estableció que un desarrollo no se da en línea recta, sino en espiral, un desarrollo a saltos, transformaciones de cantidad en calidad, de impulsos dados por contradicciones, de interdependencia e íntima concatenación de todos los aspectos de cada fenómeno. Por su etimología, el concepto remite a dos términos griegos: dia ("día": de lo uno a lo otro) y legein ("légein": decir, razonar, determinar, definir), por lo que su sentido más ordinario equivaldría a un "arte del diálogo" donde se produciría una contraposición o lucha entre dos o más lógoi o "razones".

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4.2 Géneros de la dialéctica para argumentar. DEBATE Es una técnica de comunicación oral donde se expone un tema y una problemática. Hay integrantes, un moderador, un secretario y un público que participa. No se aportan soluciones solo se exponen argumentos. La condición de un debate se da en el distinto punto de vista que guardan dos o más posiciones antagónicas en torno a un tema o problema. Es un texto argumentativo en el que se entrelazan los argumentos que sostienen la tesis en conflicto. Los argumentos se deben ir construyendo en estrecha relación conforme el oponente, así que el debate se trata de una argumentación de gran dificultad y rapidez mental.

Normas para su preparación • Elegir un tema de interés y que suscite controversia, y preparar los contenidos teóricos. • Escoger un coordinador o moderador, quien determina el esquema de trabajo que en algunos casos puede ser un cuestionario con preguntas elaboradas de tal manera que susciten la controversia. • Conformar grupos que defiendan o ataquen los planteamientos en pro y en contra. • Preparar el material y las ayudas. • Designar un secretario que será el que va anotando lo que se va opinando en el debate a qué hora y su coherencia. Normas para su realización Durante el debate el coordinador debe: • Poner en consideración el objetivo del sujeto. • Anunciar el tema y ubicarlo dentro del proceso. • Describir la actividad. Dar las instrucciones que rigen a los participantes y cerciorarse de que han sido comprendidas por todos. • Formular la primera pregunta y dar la palabra en orden a los participantes. • Desempeñar durante la discusión el papel de moderador, agotadas las opiniones sobre la primera pregunta, pasar a formular las siguientes. • Terminar el debate, el secretario tratara de que la asamblea llegue al consenso sobre las conclusiones. • Realizar la evaluación con la asamblea. Recomendaciones para debatir En toda actividad oral, tanto el emisor como el receptor deben tener presente lo siguiente: • Imponer el punto de vista personal. • Escuchar al otro antes de responder. • Ponerse en el lugar del otro. • Ser breve y concreto al hablar. • Ser tolerante respecto a las diferencias. Página 36 de 42

• No subestimar al otro. • No hablar en exceso para así dejar intervenir a los demás, evitando la tendencia al monólogo y la monotonía. • No burlarse de la intervención de nadie. • Evitar los gritos para acallar al interlocutor. • Hablar con seguridad y libertad, sin temor a la crítica. • Acompañar las críticas con propuestas. • Criticar para construir. • Oír atentamente al interlocutor para responder en forma adecuada. • Articular correctamente los sonidos, empleando un tono de voz adecuado a la situación concreta de entonación y al contenido del mensaje (interrogación, exclamación, sonidos indicativos de fin de enunciación, pausas, etc). • Adecuar el vocabulario que se posee a la situación comunicativa del momento y ampliarlo para conseguir precisión léxico-semántica. • Evitar las palabras y giros idiomáticos desgastados y los propios del registro informal, pues en la sala de clases o en la situación comunicativa de un debate se impone el registro formal. http://es.wikipedia.org/wiki/Debate

MESA REDONDA Esta técnica consiste en que un grupo de expertos sostienen puntos de vista divergentes o contradictorios sobre un mismo tema el cual exponen ante el grupo en forma sucesiva. Se utiliza cuando se desea dar a conocer a un auditorio los puntos de vista divergentes o contradictorios de varios especialistas sobre un determinado tema o cuestión. La Mesa Redonda ha sido difundida ampliamente por la televisión, donde, por ejemplo, políticos de diversos partidos exponen sus puntos de vista contradictorios acerca de un hecho o medida de gobierno. Los integrantes de la Mesa Redonda (que pueden ser de 3 a 6 personas, aunque generalmente son 4) deber ser elegidos, pues, sabiendo que han de sostener posiciones divergentes u opuestas sobre el tema a tratarse; ya sea individualmente o por parejas o bandos. Además, han de ser expertos o buenos conocedores de la materia, y hábiles para exponer y defender con argumentos sólidos su posición. La confrontación de enfoques y puntos de vista permitirá al auditorio obtener una información variada y ecuánime sobre el asunto que se trate, evitándose así los enfoques parciales, unilaterales o tendenciosos, posibles en toda conferencia unipersonal. La Mesa Redonda tiene un director o coordinador cuyas funciones se mencionaran más adelante. En cuanto a la duración, es conveniente que no se extienda más allá de los 60 minutos, para permitir luego las preguntas que desee formular el auditorio durante el lapso que se considere prudente. ¿Cómo se realiza?: Preparación:

Una vez decidido el tema, el organizador debe seleccionar a los expositores de los distintos puntos de vista, de acuerdo con los requisitos ya expuestos. Se hará una reunión previa con los participantes con el objeto de coordinar el desarrollo, establecer orden de exposición, tiempo, temas y subtemas por considerar, etc. La Mesa Redonda requiere esta preparación, a pesar de que en su desarrollo público se manifieste luego una situación espontánea. Página 37 de 42

El organizador debe prever asimismo el ambiente físico donde tendrá lugar, el equipo, los horarios, las invitaciones, etc. Los de la Mesa Redonda deben estar ubicados en un escenario donde puedan ser vistos por todo el auditorio. Generalmente el coordinador se sienta en el centro, detrás de una mesa amplia, y los expositores a su derecha e izquierda formando los respectivos "bandos" de opinión:

Desarrollo: 1. Ubicados en el escenario los participantes, el coordinador abre la sesión con palabras iniciales, mencionando el tema por tratarse, explica el procedimiento que ha de seguirse, hace la presentación de los expositores agradeciéndoles su cooperación, comunica al auditorio que podrán hacer preguntas al final, y ofrece la palabra al primer expositor. 2. Cada expositor hará uso de la palabra durante 10 minutos aproximadamente. El coordinador cederá la palabra a los integrantes de la Mesa redonda en forma sucesiva, y de manera que se alternen los puntos de vista opuestos o divergentes. Si un orador se excede demasiado en el uso de la palabra el coordinador se lo hace notar prudentemente. 3. Una vez finalizadas las exposiciones de todos los participantes, el coordinador hace un breve resumen de las ideas principales de cada uno de ellos, y destaca las diferencias más notorias que se hayan planteado. Para ello habrá tomado notas durante las exposiciones. 4. Con el objeto de que cada expositor pueda aclarar, ampliar, especificar o concretar sus argumentos y rebatir los opuestos, el coordinador los invita a hablar nuevamente durante unos dos minutos cada uno. En esta etapa los expositores pueden dialogar si lo desean defendiendo sus puntos de vista. 5. Minutos antes de expirar el plazo previsto, el coordinador da por terminada la discusión y expone las conclusiones haciendo un resumen final que sintetice los puntos de coincidencia que pudieran permitir un acercamiento entre los diversos enfoques, y las diferencias que quedan en pie después de la discusión. 6. El coordinador invita al auditorio a efectuar preguntas a los de la mesa sobre las ideas expuestas. Estas preguntas tendrán sólo carácter ilustrativo, y no se establecerá discusión entre al auditorio y la mesa. Las personas del auditorio tendrán derecho a una sola intervención.

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Sugerencias prácticas: •

•

El coordinador ha de ser imparcial y objetivo en sus intervenciones, resúmenes y conclusiones. Tendrá agilidad mental y capacidad de síntesis, y será muy prudente en el tiempo que tome para su participación (lo importante en la Mesa Redonda es conocer las ideas de los invitados). El coordinador debe ingeniarse para desalentar cordialmente las intenciones polémicas de algún integrante del auditorio. De la mejor manera posible insistirá en aclarar que las preguntas del público no deben convertirse a su vez en "exposiciones" sobre el tema, y que una vez contestadas no deben llevar a la discusión. http://www.gerza.com/tecnicas_grupo/todas_tecnicas/mesa_redonda.html

PONENCIA

Una ponencia es una propuesta o comunicación sobre un tema específico, que es analizada y examinada en una asamblea. La ponencia puede generar una resolución por parte de la asamblea en cuestión.

En el lenguaje cotidiano, se suele utilizar el concepto de ponencia para hacer referencia a cualquier discurso o presentación que una persona realiza frente a un auditorio. El lanzamiento de productos en el marco de un evento, las exposiciones científicas y la argumentación académica serían, en este sentido, distintos tipos de ponencias. Por lo general, una ponencia consiste en la presentación de un proyecto o una propuesta de trabajo. Como su intención es didáctica o persuasiva, resulta indispensable que el ponente conozca en profundidad los temas tratados. La ponencia debe tener una introducción (para llamar la atención de la audiencia), un cuerpo central (donde se desarrolle el mensaje que se quiere transmitir) y una conclusión (que suele resumir lo expresado en el cuerpo central). Es importante que la ponencia cuente con un adecuado soporte audiovisual que refuerce los conceptos o que ayude a la comprensión de los términos. Por ejemplo: el ponente puede apoyarse en diapositivas mientras habla, hacer pausas para mostrar pequeños videos, etc. Sobre el final de la ponencia, resulta necesario dejar espacio para las preguntas o el diálogo. El ponente debe invitar al auditorio a realizar consultas y tiene que ser claro en sus respuestas. De todas formas, debe tratar de no entablar diálogos personales (dejando de lado al resto de las personas presentes), sino que lo mejor es responder las inquietudes a nivel general y estableciendo vínculos con lo ya expuesto. http://definicion.de/ponencia

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CONFERENCIA Implica dialogar con tus oyentes, "conferencia" significa básicamente conversar y ese es el sentido principal para diferenciarla claramente del discurso.

Dicho sencillamente, una conferencia es una conversación. Pero primero entendamos lo que es un discurso, para ver la diferencia. El Diccionario de la Lengua Española de la Real Academia nos ayuda a entender que un discurso es la facultad de usar la mente (el razonamiento) para reflexionar o analizar los antecedentes, principios, indicios o señales de cualquier asunto con el fin de entenderlo. Cuando reflexionas, estás discursando, es decir, aplicando tu inteligencia, para entender un asunto y hasta para ser capaz de explicarlo inteligentemente a otras personas. Es una tarea que realizas en el interior de tu mente, una línea de razonamiento. Si anuncias tu presentación como un "discurso", pero al final del mismo permites tiempo para una sesión de preguntas y respuestas, el "discurso" se convierte en una "conferencia", porque hay un diálogo. Por eso, si anuncias tu presentación como un "discurso" pero al final del mismo permite una sesión de preguntas y respuestas, tú o el presidente de la reunión deberán indicar claramente el protocolo que seguirán a fin de que no producir desorden o confusión en la sala. Estas son algunas diferentes opciones de conferencia: 1) Se permitirá que el auditorio interrumpa en cualquier momento, ya sea para hacer preguntas y ofrecer comentarios cuando lo deseen, porque al final no habrá sesión de preguntas y respuestas. 2) Sírvanse anotar sus preguntas en una libreta, porque el orador invitará al auditorio a hacer preguntas y ofrecer comentarios al final de cada punto principal. 3) Sírvanse acercarnos sus preguntas y comentarios en una hoja de papel, porque el orador seleccionará las más relevantes y se concentrará en estas por 5 (10 ó 15 minutos) al final de su discurso. a) Esto es para que recuerden sus preguntas y, llegado el momento, las expresen a viva voz desde sus asientos.

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b) O para que el encargado recabe las preguntas y les sean alcanzadas por el presidente al orador por escrito. Recuerda: La "conferencia" es una conversación entre el orador y su auditorio, o entre los istas de un , o entre un entrevistador y su entrevistado. En cambio, un "discurso" es un monólogo en el que presenta o explica sus ideas y conclusiones sin mediar diálogo alguno con nadie. http://www.oratorianet.com/rsp/Index/Index_CONFERENCIAS.html

FORO El foro es un tipo de reunión donde distintas personas conversan en torno a un tema de interés común. Es, esencialmente, una técnica de comunicación oral o virtual, realizada en grupos, en base a un contenido de interés general que origine una "discusión". Es una técnica de dinámica de grupos que consiste en una reunión de personas donde se aborda de manera informal o formal un tema de actualidad ante un auditorio que, a menudo, puede intervenir en la discusión. Normalmente la discusión es dirigida por un moderador. El objetivo del foro es conocer las opiniones sobre un tema concreto

. Características           

Libre expresión de ideas y opiniones de los integrantes. Permite la discusión de cualquier tema. Es informal (casi siempre). Generalmente se realiza el foro a continuación de una actividad de interés general: Puede constituir también la parte final de una mesa redonda, simposio, entre otros. De acuerdo con la actividad anterior, la técnica se llamará foro-debate, cine foro, disco-foro, entre otros. Formula una pregunta concreta y estimulante referida al tema. Distribuye el uso de la palabra. Limita el tiempo de las exposiciones. Controla la participación espontánea, imprevisible y heterogénea de un público numeroso y desconocido. Lugar en el cual es planteada una serie de temas los cuales son de discusión, y entran todos los temas como economía, política, deportes, entre otros.

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Organización   

El moderador inicia el foro explicando con precisión sobre cuál es el problema para discutir. Señala las reglas del foro. El moderador hace una síntesis de las opiniones expuestas y extrae las posibles conclusiones.

Pasos para la organización del foro          

Anunciar el tema y el objetivo de la discusión. Presentar a los istas. Determinar el tiempo de la discusión y el de la realización de las preguntas. Iniciar la discusión. Mantenerla viva y animada. Evitar que los istas se salgan del tema. Evitar que los istas repitan lo que ya se compartió. Hacer resúmenes sobre el estado de la discusión. Finalizar la discusión. Conceder la palabra a los del auditorio, al terminar la discusión de los istas.

Moderador El moderador es una parte esencial en un foro. Entre sus funciones destacan: 1. Anuncia el tema, hecho, problema o actividad que se va a discutir o analizar y lo ubica dentro del proceso. 2. Describe la actividad que se va a realizar, da las instrucciones sobre las normas que regulan la participación de los asistentes. 3. Declara iniciado el foro, anima a los presentes a participar, propone preguntas que despierten su interés. 4. Cuando se considere que se ha agotado el tratamiento de un aspecto del tema, el coordinador o el secretario hace una síntesis de lo expuesto antes de seguir tratando los aspectos restantes. 5. Cerrar el foro.

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BLOQUE

V

Aplicas los principios de la lógica a diferentes materias

Desempeño a demostrar: • • •

Comprendes los diferentes conectivos lógicos Expresa soluciones a problemas utilizando conectivos lógicos para conocer la verdad Utiliza la lógica simbólica en la vida diaria, para llegar a la verdad.

Competencias a desarrollar: •

Comprende los diferentes conectivos lógicos conectivos lógicos

•

Comprendes la relación de la lógica simbólica con otras metería científica

•

Argumenta sus ideas, respecto a diversos fenómenos histórico – sociales, mediante procedimientos teóricos – metodológicos, utilizando proposiciones simples o compuestas.

•

Argumenta las repercusiones de los procesos y cambios políticos, económicos y sociales que ha dado lugar entorno socioeconómico actual, previo análisis de sus proposiciones para comprobar su validez por medio de conectivos lógicos. (Negación, conjunción, disyunción inclusivo y exclusiva, condicional, bicondicional)

•

Propone alternativas correctas y verdaderas, de solución a problemas de convivencia, de acuerdo a la naturaleza propia del ser humano y de su contexto histórico ideológico, político y jurídico, de acuerdo a la tabla de verdad.

Objeto de aprendizaje: •

Conoces la lógica simbólica

•

Conoces y aplicas los conectivos lógicos

•

Conoces y aplicas las tablas de verdad de los conectivos lógicos

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LA LÓGICA SIMBÓLICA OBJETO DE APRENDIZAJE. Que el alumno conozca y aplique las bases de la lógica simbólica La lógica simbólica es conocida también con los nombres de lógica moderna, lógica matemática o logística; esta nieva lógica nació de la insuficiencia de la lógica tradicional, utiliza una simbología más completa, diferencia entre lenguaje lógico y la realidad, posee un mayor grado de exactitud y una potencia lógica (es decir, operativa) superior. Escobar Valenzuela, Gustavo. Lógica, nociones y aplicaciones, 2008. México, ed. Mac Graw Hill, p, 203

¿En qué consiste el lenguaje natural o coloquial? ¿En que se caracteriza un lenguaje simbólico? ¿Conoces que ciencias utilizan el lenguaje lógico? ¿Cuál es la finalidad de construir lenguajes simbólicos o artificiales?

Actividades de Aprendizaje (básica) B5. Act_1. Con base a la siguiente teoría, realice en equipos mixtos, una investigación documental, donde se presente los antecedentes del lenguaje simbólico, la definición de la lógica simbólica y sus características. El trabajo se presentara a mano, en hojas tamaño carta, con consultas bibliográficas (3 fuentes) Después de ser evaluado por el maestro, anéxelo a su carpeta de evidencias.

• Antecedentes de la lógica simbólica Como ya se ha mencionado en capítulos anteriores, la lógica proposicional fue formulada por Aristóteles (siglo IV a J. C.), en su libro: El Organon (instrumento), esta lógica proposicional ese expresa por medio de palabras o proposiciones, se encuentran en el lenguaje cotidiano. Los estoicos (sobre salen Crispo, 280 -207 a J.C.) cultivaron la lógica proposicional entre las cuales se desarrollaba las reglas para deducción de proposiciones. Ya en la edad media sobresalen filósofos, tales como: Pedro Hispano, el cual escribió en el siglo XIII, las Súmulas Lógicas, donde deja establecer el uso de las cuatro vocales (A, E, I, O) para dedignar las proposiciones según su cualidad y cantidad, la extensión y la comprensión; y también los nombres a cada uno de los silogismos, conocidos como Modos del Silogismo, que se encuentran en cada figura. Por su parte Raimundo Lulio escribió en Ar Magna en el siglo XIV, el cual pretendió colocar a la lógica como

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ciencia universal y base de toda filosofía, ya que por medio de combinaciones lógicas de ciertas nociones quería deducir todo el contenido lógico filosófico La filosofía moderna empieza después del Renacimiento, en el siglo XVII, en donde destacan los filósofos como: Francis Bacón, con su obra el Novum Organum , se opone al método silogístico y pretende colocar el método inductivo como base del conocimiento científico. Por su parte René Descartes, en su libro: Le Discours de la Méthode (El Discurso del Método) también crítica a la lógica y a la filosofía aristotélica, ya que no sirven para lograr eficazmente nuevos descubrimientos, por lo cual fundamento sus Reglas del Método Gottfried Wilhelm Leibniz , por su parte se le reconoce como el precursor de la lógica matemática, el cual propone, a finales del S. XVII, un cálculo lógico (Mathesís Universalis) , en su obra: Nouveaux essais sur l'entendement humain (Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano), en donde se representan símbolos para representar a los pensamientos y sus relaciones. Con este tipo de métodos, Lebniz estaba convencido de la posibilidad de una certeza filosófica, así cesarían las disputas y se podría llegar a un total acuerdo, todo gracias al conocimiento de saber calcular cualitativamente. http://es.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz

Fig. 5.1. El Discurso del Método de René Descartes

Por su parte Emmanuel Kant (siglo XVII) pretendió darle un nuevo matiz y dirección a la lógica desde el momento que la define como un tratado de principios a priori del entendimiento. Las aportaciones de Georg Wilhelm Friedrich Hegel, en el siglo XIX, menciona en su obra: Fenomenología del espíritu (1807), es la identificación de la Lógica con la Metafísica, de acuerdo con su tesis central según la cual: Todo lo real es racional, y todo lo racional es real. Karl Marx, por su parte, retoma las ideas hegelianas para desarrollar la Lógica Dialéctica, en donde se formula el combatir el estado estático de la filosofía tradicional y hacer notar que mente y realidad trabajan de acuerdo con leyes dialécticas del dinamismo, la lucha de contrarios y el salto de lo cuantitativo a lo cualitativo. Por otra parte, Jhon Stuart Mill, durante el siglo XIX, en su obra: 1843: Un sistema de lógica, se inclina por métodos inductivos rechazando la deducción silogística y pretende fundamentar la lógica en la Psicología (Psicologismo), la cual fue refutada por Edmund Gustav Albrecht Husserl, en su obra: Investigaciones Lógicas . En la Lógica Simbólica o llamada también como Lógica Matemática, se encuentran teóricos más sobresalientes, tales como: George Boole, W.S. Jevons, Gottlieb Frege, Giusepp Peano, Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein, entre otros. Fig. 5.2. Georg Wilhelm Friedrich Hegel

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Algunos teóricos sobre la lógica proposicional. A) George Boole (1815 – 1864), publica en 1847 su Análisis Matemáticas de la Lógica, en la cual adopta, en sus cálculos lógicos, el punto de vista de la extensión en lugar del punto de vista de la comprensión, es decir, trata las relaciones entre clases, en lugar de relaciones entre esencias y sus propiedades, los cuales están tomados de Algebra y de la Aritmética, es decir extiende el proceso general del cálculo matemático al terreno de la lógica. B) William Stanley Jevons (1853 – 1882) escribió en su obra: Lógica pura o lógica de la cualidad y no de la cantidad. Pretende volver al punto de vista de la cualidad (o comprensión de la idea), apartándose del punto de vista de la extensión. C) Charles S. Peirce (1839 – 1914) contribuyo a la Lógica matemática en el terreno de las relaciones entre clases. Esta relación está en la inclusión de las variables: C, de tal manera que A, C, B, quiere decir: Todos los individuos contenidos en la clase A también están incluidos en la clase B, de aquí que se dé la axiomatización de la lógica, así como la definición de los conectores. Pierce también aporta las llamadas tablas de verdad. Fig. 5.3. George Boole fue un matemático y filósofo británico.

D) Schroeder (1841 – 1902) recopiló sistemáticamente en el fruto de la investigación de su tiempo en tres volúmenes titulados: Lecciones sobre el álgebra de la lógica. E) Gottlied Frege (1848 – 1925) vuelve al punto de vista intencional (comprensión o contenido de los conceptos) y funda así la lógica de los predicados. Establece las distinción entre ley (o axioma) y regla (procedimiento deductivo), dejando las bases de la axiomatización. F) Giuseppe Peano (1858 – 1932) con su libro: Principios de la Aritmética, (Arithmetices principie) publicada en 1889, establece un símbolo que luego será adaptado por Russell en su Principia Mathematica. G) Bertrand Russell (1872 – 1970) con su Principia Mathematica, escrito con la colaboración de Whitehead y publicado entre los años 1910 y 1913, sistematizada y perfecciona los avances de la lógica matemática realizada en el siglo XIX, y se aplica a los fundamentos de los fundamentos lógicos de las ciencias matemáticas. H) Ludwig Josef Johann Wittgenstein, en su libro: Tractatus logico-philosophicus, Según Wittgenstein, los hechos poseen una estructura lógica que permite la construcción de proposiciones que representen o figuren (del alemán Bild) ese estado de cosas. Página 4 de 54

• Definición de la Lógica simbólica, importancia y característica La lógica simbólica está caracterizada por el empleo de símbolos como lo hacen otras ciencias, como las matemáticas. Estos símbolos permiten la formación de modelos formales para representar argumentos y así facilitar el desarrollo y explicación de las demostraciones en el discurso lógico. La lógica simbólica, es también llamada lógica matemática o logística, la cual abarca temas como la lógica proposicional y la lógica cuantificaciónal o simbólica. Recordemos que la lógica tradicional es expuesta dentro de argumentos proposicionales, argumentos que son definidos como enunciados u oraciones declarativas donde unas son designadas como premisas y otras como conclusiones Por su parte en la lógica simbólica, el cálculo proposicional es definido como la operación, semejante a la que hacen las matemáticas, donde, de ciertos enunciados o premisas se puede obtener como conclusión otros enunciados, aplicando simbología, aplicando reglas y leyes establecidas. Es decir que el cálculo proposicional estudia las relaciones lógicas que se establecen entre las premisas y las conclusiones de un determinado argumento o razonamiento, por medio de un conjunto de cálculos, de símbolos lógicos, interrelacionados entre sí para construir argumentos o inferencias. Las Características de la lógica simbólica pueden ser:  La lógica tradicional es exclusiva de una lógica de términos y su nomenclatura y sintaxis están expresadas por medio de lenguaje común o natural. La lógica moderna, en cambio, posee una mayor amplitud y su terminología y sus sintaxis se manifiestan mediante un lenguaje artificial.  La lógica tradicional es exclusivamente una lógica de términos y su nomenclatura y sin sintaxis están expresadas por medio del lenguaje común o natural. La lógica moderna, en cambio, posee una mayor amplia y su terminología y su sintaxis se manifiestan mediante lengua artificial.  En la lógica tradicional se simboliza únicamente los términos (variables); en la lógica moderna, por el contrario, se representa tanto los términos como las proposiciones y los signos lógicos (variables y constantes).  Mediante la lógica tradicional el único modelo de la proposición que debe ser considerado es el tipo A es B o A no es B, y así, desde el punto de vista de esta lógica, todas las proposiciones han de ser reducidas al citado modelo o de lo contrario, carecen de validez. (A.M. López Molina y Pascal J. J. Abad, Filosofía, McGraw – Hill, Madrid, 1995, pp. 174 -175)

Un ejemplo de ello podemos verlo en la reducción de un ejemplo de la lógica tradicional Proposición = Los hombres son pensantes A es B Donde A = Todos los hombres B= Son todos los pensantes

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La lógica simbólica se caracteriza entonces por el empleo de símbolos como lo hacen otras ciencias, el símbolo permite la formación de modelos formales para representar argumentos En la lógica proposicional Representación de símbolos Lógica simbólica Lógica cuantificaciónal Lógica moderna Los argumentos son las proposiciones, enunciados u oraciones declarativas en donde unas son designadas como premisas y otras como conclusión. Ma o

T

Conceptos

t

Conceptos

Premisas mi

o

Conclusión

Concepto

A + B C

El cálculo proposicional se dan operaciones semejantes a las matemáticas, en donde ciertos enunciados o premisas se pueden obtener como conclusiones relacionados con otros enunciados aplicando reglas o leyes establecidas. El cálculo proposicional, como lenguaje simbólico formalizado, estudia las relaciones lógicas que se establece entre las premisas y las conclusiones de un determinado argumento o razonamiento. La lógica moderna o proposicional contiene nomenclaturas, sintaxis, expresiones por medio del lenguaje común o natural, simbolizándose por medio de términos variables. Recuerde que la utilidad que el estudio de la lógica brinda, se encuentra en organizar la función de nuestra mente y agilizar el trabajo en el campo de las matemáticas y obliga a conocerla en forma consciente y mediata.

B5. Act_1. Realice, en equipos mixtos, una investigación documental, donde se presente los antecedentes del lenguaje simbólico, la definición de la lógica simbólica y sus características. El trabajo se presentara a mano, en hojas tamaño carta, con consultas bibliográficas (3 fuentes). Después de ser evaluado por el profesor, anéxelo a su carpeta de evidencias

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CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES EN LA LÓGICA SIMBÓLICA OBJETO DE APRENDIZAJE. Que el alumno clasifique los tipos de proposiciones

Actividad de Aprendizaje (básica) B5. Act_2. Teniendo en cuanta las bases teóricas sobre los tipos de proposiciones, realiza 20 proposiciones, las cuales estarán clasificadas como simples o compuestas. Realiza la actividad en hojas tamaño carta. Después de ser evaluado por el maestro, anexa dicha actividad a la carpeta de evidencias.

• Clasificación de las proposiciones Las proposiciones son pensamientos o enunciados declarativos que pueden ser verdaderos o falsos. Los enunciados interrogativos, imperativos, irativos; no son proposiciones, por lo tanto no son verdaderas o falsas. En cambio las proposiciones u oraciones declarativas son susceptibles de ser verdaderas o falsas. Ejemplo:           

El acido sulfúrico corroe la madera Dos más dos son cuatro 1974 fue un año bisiesto Se prohíbe comer carne en Semana Santa ¿Qué comen los pájaros? Maldito aquel que hace maldad El mar es una gran cantidad de agua salada 7 + 10 = 17 La tierra es un planeta Charles De Gaulle no fue militar La malaquita no es carbono de cobre

 ¿Quién es Sócrates?  Dame tu mano  ¡Qué tragedia!

Declarativos

Proposiciones

Proposiones Verdaderas Proposiciones Falsas

Enunciados interrogativos Enunciados Imperativos Enunciado irativos

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No son proposiciones

División de las proposiciones A) Enunciados Simples (atómicos) Las proposiciones simples o atómicas no se componen de más proposiciones y carecen de términos de enlace o conectivos, es decir no tienen otras proposiciones como parte de su componente, excepto la negación. Ejemplo:     

La matemática es una ciencia formal El sol es una estrella 4 es un numero natural Todos los hombres piensan La matemática es una ciencia formal S

V

Estas proposiciones son enunciados que cuentan con un solo Sujeto, Verbo y Predicado. Estas carecen de conectivos o términos de enlace En estas proposiciones no es posible distinguir partes componentes que sean, a su vez, también proposiciones, es decir, afirmaciones verdaderas o falsas

P

 El sol es una estrella S

    

V

P

4 es un número natural La ballena es un pez 5 < 2 8 + 5 5 < 3=

B) Enunciados compuestos (moleculares) Las proposiciones compuestas o moleculares (llamadas también combinadas), como su nombre lo indica, se componen de dos o más proposiciones simples y, además como rasgo distintivo, tienen términos de enlace o conectivos lógicos, premisas mayores y menores. Estos enunciados llamados también como combinadas, también se caracteriza por tener un conectivo lógico representado con letra Y, o la simbolizada como ∧ ; así como la letra O, la cual representa la disyunción inclusiva y se simboliza con: V; la bicondicional si y solo si, representada por una flecha: , etc. Ejemplo: Cuba es una Isla y Baja California un Continente p ∧ q Cuba es una Isla o es una península p V q

p y q

p oq

Las ciencias son estudiadas solo si los hombres se dedican a su estudio p q Todos los hombres son mortales

Premisa mayor = T

y

∧

Juan es hombre

Premisa menor = t Página 8 de 54

T y t

No es cierto que el hombre es inmortal

~ p

Como podemos observar los enunciados compuestos o moleculares contienen otros enunciados como componentes, indican que hay más componentes y rasgos distintivos en los cuales se encuentran términos de enlaces o conectivos lógicos entre proposiciones. Ejemplo: Cuba es una isla y Baja California es un continente conectivo S V P S V P Proposición A (S v P) A

Y

∧

Proposición B (S v P)

B

Juan es estudiante de preparatoria y María es novia de Juan S

V

P

S

V

P

La proposición A es = Juan es estudiante de preparatoria Conectivo lógico proposicional = Y es la Conjunción La proposición B es = María es novia de Juan El conectivo lógico Y enlaza y forma la proposición molecular o compuesta, esta también puede recibir el nombre proposición Combinada. Ejemplo: A conectivo B Los niños juegan en el parque o estudian en el salón de clases S V P V P

A

o

B

C) Enunciados abiertos (generales) Los enunciados o proposiciones abiertas son aquellas que teniendo alguna de sus partes, ya sea en Sujeto o el Predicado, Universal o Particular; abarcan o se extienden a otros de su misma especie o genero. Estos enunciados pueden ser Atómicos o Moleculares. También se les puede reconocer por contener diferentes variables. Una variables un símbolo que representa un elemento o cosa no especificada de un conjunto dado. Dicho conjunto es llamado conjunto universal de la variable, universo o variar de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable; estas se pueden representar simbólicamente con las letras: A, B, C, D, F, G..etc

x, y, z,

p, q, r, s, t, u, v...etc.

a, b, c, d, e, f, g…etc.

También pueden ser las proposiciones que se extiende como universales, ya sean afirmativas o negativas. Ejemplo: Página 9 de 54

Todos los hombres piensan = Juicio Universal Afirmativo que abarca a todos los hombres Ningún pez sobrevive fuera del agua = JUN, abarca a todos los seres de una especie X es un número par

A + B = C y X + y = Z (oración molecular)

Y > que X

E= mc2

(oración atómica)

D) Enunciados cerrados (individuales) Son los enunciados o proposiciones que se limitan a uno o varios de un género o especie, es decir son particulares. Al igual que los enunciados abiertos, pueden ser atómicos o moleculares, En estos enunciados no se dan las variables, sino las constantes. En general, una constante es un valor de tipo permanente, que no puede modificarse, al menos no dentro del contexto o situación, es decir esta definido su contenido y por lo cual limitado. Ejemplo: Pedro es novio de María El Sr Gutiérrez es buen profesor de matemáticas

proposiciones atómicas

Las ballenas azules son los mamíferos más grandes 5 + 4 = 20 Guillermo es estudiante universitario y Luisa es la novia de Guillermo Los chimpancés son peludos pero los Chauchao lo son más

proposiciones moleculares

José es primo de Francisco y Francisco hermano de Norma

B5. Act_2. Clasifica las siguientes proposiciones, si estas son simple so compuestas. De la misma forma realiza 20 proposiciones, las cuales estarán clasificadas de la misma forma Realiza la actividad en hojas tamaño carta. Después de ser evaluado por el maestro, anexa dicha actividad a la carpeta de evidencias.

1. Clasifica las proposiciones en atómicas o moleculares, si es verdadera o falsa México es un continente La tierra es un planeta 8+1=9

Proposición: ________________Valor: _____________ _________________ _________________ Página 10 de 54

______________ ______________

Pedro es trabajador y su hijo estudiante

_________________

______________

(2+3) > (5 +8)

_________________

______________

2. Realiza 20 proposiciones (10 simples y 10 compuestas), menciona su valor (V o F) Tipo de proposición

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Valor

ELEMENTOS DEL LENGUAJE SIMBÓLICO OBJETO DE APRENDIZAJE. Que el alumno aplique los elementos del lenguaje simbólico

Actividades de Aprendizaje (complementaria) B5. Act_3. Con base en la teoría vista en este capítulo, realiza las actividades al final del tema. Después de ser evaluado por el maestro, anexa dicha actividad a la carpeta de evidencias.

• Lenguaje simbólico o vocabulario lógico El lenguaje lógico es un conjunto sistematizado de signos interpretados y reglas de formación de la relación entre las proposiciones y los signos. Esta serie de signos interpretados se refieren a las letras, números, símbolos convencionales, palabras, etc., y tratan de entablar las relaciones entre signos y formas de grupos correctos para lograr expresiones inteligibles, simbólicas y codificadas. Estos signos se les conocen como Primitivos o Elementales, cuando son parte de lenguaje natural. Ejemplo: Si hay sol y hace calor, entonces me pondré el sombrero y me quitare el suéter p

q

r

s

Está usando un lenguaje natural Hay una representación simbólica en cada proposición combinada y se codifica: (p . q)

(r . s)

La relación de las proposiciones, independientemente de su contenido se simboliza con las variables: p,q,r,s…. x,y,z, las proposiciones compuestas también son representadas por las mimas literales. •

Conectivas lógicas

Son las expresiones que sirven para formar proposiciones compuestas, a partir de proposiciones simples y son tomadas de los signos de cálculo matemático, clasificados de la siguiente manera.

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A) Elementos variables: son los signos primitivos o elementales que representan proposiciones formado por las letras o variables. p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z

Letras proposicionales o variables proposicionales

Las manzanas son arboles = p Veracruz es ciudad = q El hombre es pensante = r

Juan es estudiante = s El perro ladra fuerte = t Etc.

Las manzanas son árboles y Veracruz es una ciudad P q B) Elementos constantes: son las que permiten cambiar proposiciones atómicas para obtener proposiciones moleculares, llevan el nombre de conectivas lógicas, clasificados en. Conectivos singulares o cualquier tipo de negación Juan es mexicano

Negación

Juan no es mexicano

~ p

-p

Conectivos múltiples (binarias, terciarias) Yo leo y tu escribes p

. q

Conjunción

Y

p y q

p

.

q

p ^ q

Hace frio o hace calor p v q

Disyunción inclusiva p o q

V

p v q

O comes o juegas p v q

Disyunción exclusiva O p o q

V

p v q

Si me da hambre entonces como p q

Condicional p entonces q

p

Me cortare el pelo si y solo si me pagas dinero p q

Bicondicional

p

Lenguaje simbólico Negación Conjunción Disyunción inclusiva Disyunción exclusiva Condicional Bicondicional

p si y solo si q Conectivos lógicos no pyq poq O poq Si p entonces q P si y solo si q

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~p p^q p vq p v q p q p q

q

q

Ejemplo: Juan no es estudiante y María no es su novia ~p

^

~p ^ ~q

~q

Si Pedro es estudiante y Rosa es su novia entonces ambos son novios p

^

q

(p ^ q)

r

r

B5. Act_3. Con base en la teoría vista en este capítulo, realiza las actividades al final del tema. Después de ser evaluado por el maestro, anexa dicha actividad a la carpeta de evidencias. 1. Codifica en lenguaje simbólico las siguientes proposiciones Simbología Todos los hombres son mortales y son inteligentes

Estaremos en el concierto solo si compramos boletos

Juan y María no son novios

O comes tu sopa o no sales a jugar futbol

Si los mexicanos son machos entonces toman tequila

Estaré en la clase si y solo si hago la tarea

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RELACIÓN DEL LENGUAJE SIMBÓLICO CON OTRAS CIENCIAS OBJETO DE APRENDIZAJE. Que el alumno conozca la relación de la lógica simbólica con otras ciencias

Actividades de Aprendizaje • Relación con otra disciplinas A) Con relación a la lógica tradicional, la lógica simbólica se conecta gracias al formalismo y al tratamiento del pensamiento correcto. Gracias a la lógica simbólica, la lógica tradicional aristotélica se complementa, dando nuevas variables y propuestas al conocimiento humano B) Con las Matemáticas hay una relación con la lógica simbólica, ya que se estrecha en cuanto que la lógica proporciona los principios para fundamentar y desarrollar los modernos métodos matemáticos, a tal grado de que hoy en día se relaciona a la matemática como parte de la lógica. C) Con respecto a la Psicología, la Crítica del conocimiento y demás ramas de la Filosofía, se ha insistido en que la Lógica es independiente de estas ciencias, pero de la misma forma influye en su modo de concebir la verdad, la verificación, el alcance de las facultades cognoscitivas, los tipos de seres reales, el tipo de paralelismo, entre la mente y la realidad, por lo cual se necesita la interpretación, evaluación y aplicabilidad de las tesis lógicas, como en el caso de Ruseell, Hilbert o Cantor; los cuales lograron desarrollar una matemática basadas en principios lógicos. D) En el caso de la Geometría no euclidiana, axiomatizadas con independencia del 5to postulado de Euclides, la lógica polivalente, expone los criterios de verdad, ya sea verdadero V , o falso F, el cual le designan para el valor de verdad V el numero 1, por lo cual V = 1; en cuanto a la falsedad F, el valor de verdad será F = 0, lo mismo sucede en las tablas de verdad de Ludwig Josef Johann Wittgenstein y de Gerge Boole.

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CONECTIVOS LÓGICOS OBJETO DE APRENDIZAJE. Que el alumno conozca los conectivos lógicos

No hay un camino real para la lógica y las ideas realmente valiosas sólo se pueden obtener presentando atención cuidadosa. Chales Sander Peirce Como el lenguaje es confundente, lo mismo que difuso e inexacto, cuando se aplica a la lógica (para lo cual no fue creado) es absolutamente necesario un símbolo lógico para un tratamiento exacto de nuestro objeto Bertrand Russell Para evitar las desventajas de los lenguajes naturales respecto al análisis lógico, es necesario primero traducirlo a una nación más exacta. Alonzo Church

¿Conoces cuales son los conectivos lógicos? ¿Sabes cuales la finalidad de los conectivos lógicos? ¿Conoces la finalidad de los conectivos lógicos?

Actividades de Aprendizaje (Básica) B5. Act_4. Con base a la siguiente teoría, realiza de forma individual, un escrito de una cuartilla, donde se exprese la importancia de los conectivos lógicos y las tablas de verdad. El trabajo se presentara a mano, en hojas tamaño carta, con consultas bibliográficas (3 fuentes) Después de ser evaluado por el maestro, anéxelo a su carpeta de evidencias. De la misma forma realiza las actividades complementarias de cada conectivo lógico.

• Los conectivos lógicos y las tablas de verdad. Como mencionamos en el capitulo anterior tenemos conectivos lógicos que unen proposiciones las cuales pueden sustituirse por símbolos. Ejemplo: Negación Conjunción Disyunción inclusiva Disyunción exclusiva Condicional Bicondicional

No p y q p o q Opoq p entonces q p si y solo si q

~p p^q pVq pVq p p

q q

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A) Negación:

~ --

¬

~p

¬p

La negación o contradicción, se forma insertando un NO / No es el caso, en el enunciado original. Se puede expresar la negación de un enunciado prefijo la frase: Es falso que, No es el caso que

La simbología puede ser:

~ --

¬

La negación de una proposición p se denota de diferentes maneras en varios contextos de decisión y campos de aplicación. Entre estas variantes, tenemos las siguientes: Notación

Vocalización no p no p no p ene p p prima ,complemento de p p barra, barra p exclamación p

Ejemplo en una proposición P Todos los hombres son mortales Negación de la proposición No todos los humanos son mortales Algunos hombres no son mortales No es el caso que “ “ No es cierto que “ “ Etc.

Independientemente de la notación o símbolo utilizados, la negación ¬p / ~p se puede leer como "no es el caso que p", "no es cierto que p", o por lo común, simplemente (aunque no gramaticalmente) como "no p". La negación clásica es una operación sobre un valor de verdad, típicamente, el valor de una proposición, que produce un valor de verdadero cuando su operando es falso, y un valor de falso cuando su operando es verdadero. Por tanto, si el enunciado A es verdadero, entonces ¬A (pronunciado "no A") sería consecuentemente falso; y lo contrario, si ¬A es verdadero, entonces A sería falso. La tabla de verdad de ¬p es la siguiente: Tabla de verdad de ¬p p ¬p Verdadero Falso Falso Verdadero

Nota aclaratoria: la aclaración de cualquier enunciado verdadero es falso y la negación de cualquier enunciado falso es verdadero.

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La negación clásica se puede definir en términos de otras operaciones lógicas. Por ejemplo, ¬p se puede definir como p → F, donde "→" es una implicación lógica y F es una falsedad absoluta. Por el contrario, se puede definir F como p & ¬p para cualquier proposición p, donde "&" es una conjunción lógica. La idea aquí es que cualquier contradicción es falsa. Mientras estas ideas funcionan tanto en la lógica clásica como en la instuicionista, no funcionan en la [lógica paraconsistente], donde las contradicciones no son necesariamente falsas. En lógica clásica tenemos una identidad adicional: p → q se puede definir como ¬p ∨ q, donde "∨" es la disyunción lógica: "no p, o q". Algebraicamente, la negación clásica corresponde con el complemento en un álgebra booleana, y la negación intuicionista al seudocomplemento en un álgebra de Heyting. Estas álgebras proveen una semántica para la lógica clásica e intuicionista respectivamente. P

-P

V

F

F

V

Ejemplo: El plomo es radioactivo

El plomo no es radioactivo

p

~p

También se puede negar proposiciones compuestas, no solo las simples. Ejemplo:

El plomo no es radiactivo

~q

~~ q

(no, no q)

q es falsa (el plomo es radiactivo) q = F

q

~q ~~q

V

F

V

~q (el plomo no es radiactivo) ~ q = V ~ ~ q es falso (No es cierto que el plomo no es radiactivo) ~ ~ q = F ~q ~q Por lo tanto se puede decir que la negación de una proposición verdadera es falsa y la negación de una proposición falsa es verdadera. Ejemplo de proposiciones:

América es un continente El oro es maleable El hombre el mortal 4 >-4 9 es un numero par 5 = -5

(V) (V) (V) (V) (V) (F)

América no es un continente (F) No es cierto que el oro sea maleable (F) El hombre es inmortal (F) 4 >-4 (F) 9 es número impar (V) 5 = -5 (V)

Toda proposición tiene relación directa con el manejo de conjuntos, por lo que es necesario lo que es necesario tratar las operaciones de diferencias y complementos de conjuntos como consecuencia de la negación de una proposición lógica. Página 18 de 54

La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A, pero que no pertenecen a B. Toda diferencia se indica: A – B, y se lee “A diferencia B” También se indica:

A ~B, y se lee: “A negación o diferencia de B”

( X ~Y)

La representación grafica de un diagrama de Venn es: Se sombrea la parte donde se afirma, y simbólicamente se representa:

U A

X

x/x∈Ay x∉B

A~B=

B

A negación de B es igual a la conjunción de X tal que X que pertenece a A y x que no pertenece a B

Y

Ejemplo: El conjunto M = perro, caballo, gato, lobo y El conjunto N = lobo, coyote, leopardo, león

La diferencia entre M ~N es:

U

Perro Caballo Gato

M

M ~ N = perro, caballo, gato

La diferencia de N ~ M

Coyote Leopardo León

U

N

M

N

El término medio es

ELobo, ya que se

repite en los dos conjuntos

N –M=

coyote, leopardo, león

Otro ejemplo de un conjunto particular implícito en un conjunto universal. Teniendo en conjunto R = a, b, c, d, e, f, g, h, i La diferencia R ~ S =

b, c, d, f, g, h Página 19 de 54

y S=

a, e, i

Gráficamente:

U

U S R

R~S =

S

R

b, c, d, f, g, h

S ~R = ∅

la diferencia

En los conjuntos P= 1, 3, 5, 7, 9,

y Q=

2, 4, 6, 8, 10

La diferencia entre: P–Q

P ~Q = 1, 3, 5, 7, 9

la diferencia en Q ~ P =

U

2, 4, 6, 8, 10

U 1 3 5 7 9

P

2

4 6

8

5 10

Q

P

1 3 7 9

2

4 6

8

10

Q

La diferencia entre ambos diagramas es que los elementos de P y de Q son distintos y no hay un conectivo lógico o no están implícitos uno sobre otro. En el primer diagrama se niega Q y en el segundo se niega P, se sombrea la afirmación según sea su caso.

Actividad complementaria. Realiza los siguientes ejercicios para confirmar el tema 1. Escribe la negación de las siguientes proposiciones, anotando su valor de verdad. •

México pertenece a Norteamérica ___________________________ Valor:

•

Bolívar es un libertador: ___________________________________ Valor :

•

8 es un número impar: ____________________________________ Valor:

•

3 + 2 > 3 : ______________________________________________ Valor:

•

p _________________ Valor :

•

5 + 6 = 3 + 8 :___________________________________________ Valor:

~ q: _____________________ Valor:

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2 En tu cuaderno de notas halla la diferencia entre A ~ B, trazando el diagrama de Venn correspondiente, la terminar anéxalo a esta actividad complementaria. 1)

A=

rojo, azul, verde, blanco

2)

P = rosa, clavel, margarita, orquídea, crisantemo

3)

X= 3, 6, 9, 12, 15

B) Conjunción

∧ ·

B= blanco, negro, lila, café

Q = rosa, clavel

B= 7, 14, 21, 28

&

Y

p∧q

PδQ

p&q

p· q

Ya observamos que una posición puede ser afirmativa o negativa y esta se puede negar, según sea el caso. De la misma forma hay proposiciones o tipos de enunciados compuestos o combinados con otras proposiciones. En este aspecto cuando se da una unión entre dos oraciones bajo la letra “ Y ” como en el caso : p y q, se dice que la unión es una conjunción o conyunción. Ejemplo: Carlos es limpio y Pedro es ordenado p

∧

q

p y q p&q

p· q

p ∧ q

La palabra o letra Y, es una letra corta y conveniente, pero tiene otros usos aparte del consistente en conectar enunciados. Ejemplo: Lincoln y Grant fueron contemporáneos

Este ejemplo no es una conjunción, sino un enunciado simple que estable relación entre dos sujetos. Es decir es una oración simple con dos sujetos, un verbo y un predicado.

Para simbolizar la conjunción se utiliza el símbolo: ∧ o en su caso

·

un simple punto.

Cada enunciado tiene un valor de verdad, o bien es verdadero o bien es falso. Por lo tanto, decimos que cada enunciado tiene un valor de verdad, donde el valor de verdad de un enunciado verdadero y el valor de verdad de un enunciado falso es falso. Usando estos valores de verdad podemos dividir los enunciados compuestos en dos categorías distintas, según el valor de verdad este o no determinado complemente por los valores de verdad de sus partes p bien por algún otro caso diferente. El valor de verdad de la conjunción de dos enunciados esta determinado exclusiva y totalmente por los respectivos valores de verdad de sus componentes. Si ambos conyuntos son verdaderos, la conjunción o conyunción es verdadera; en cualquier otro caso es falsa, es por eso que se define la conjunción como un enunciado veritativo funcional y sus conyuntos son componentes veritativos funcionales; es decir todos sus componentes tienen que ser funcionales. Ejemplo de enunciados compuestos Página 21 de 54

p ∧ q =V

 El sol es brillante y genera calor o p=V ∧ q=V = V  La luna es un satélite y la tierra un planeta  La ballena es mamífero y tiene respiración pulmonar  8 es entero  4+5=9

y y

½ en una fracción 6+3=9

Como la conjunción es un enunciado veritativo funcional, el conectivo será un conectivo veritativo funcional, dando dos enunciados simples que se unen, p y q; teniendo como resultado cuatro conjuntos posibles de valores de ellos, que se pueden exhibir como:

Si p es verdadera y q es verdadera = p ∧ q es verdadera

Si p es verdadera y q es falsa = p ∧ q es falsa

Si p es falsa y q es verdadera = p ∧ q es falsa Si p es falsa y q es falsa = p ∧ q es falsa

Dos proposiciones 4 combinaciones de verdad 2 4 = 2 x 1= 2 x 2 = 4 Ejemplo: TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN Y p q p Si la luna es un satélite y la tierra es un planeta (V) (V) La luna es un satélite y la tierra un cometa (V) (F) La luna es una estrella y la tierra es un planeta (F) (V) La luna es una estrella y la tierra es un cometa (F) (F)

TABLA DE CÓDIGO BINARIO ∧ q

V F F F

Mediante la conjunción es posible relacionar tanto proposiciones simples como compuestas. Las siguientes palabras también pueden ser utilizadas como conjunciones Además También Pero Aun Mientras que

Sin embargo De la misma forma Más aun Ejemplo de proposiciones simples con combinadas: Página 22 de 54

Juan es un hombre estudioso y Pedro es su hermano pero ambos no viven juntos p q ~p (p ∧ q) ∧ ~p Como son dos proposiciones p y q, serán 4 combinaciones p V V

q V F

p ∧q V F

F

V

F

F

F

F

Conjunto A ( p ∧ q ) V V V V F F

F F F V F

F

A+B ∧

Conjunto B ~ p F F

F F F F

V V

Se pasan los valores de p y de q, se saca el resultado; resultado que será el conjunto A

•

Al momento de pasar los valores de p y al no tener relación con otra proposición, se tiene el resultado que será el conjunto B

El resultado final se encuentra entre la unión del conjunto A con el conjunto B

Pasos para construir tablas de verdad.

1) Anotar las 4 posibles combinaciones de los valores, si es que la estructura contiene las proposiciones simples que sirven para formar las proposiciones compuestas. 2) Analizar el sentido de la proposición compuesta para determinar cuál es su conectivo principal, en este caso hay dos conjuntos el A, que es una proposición compuesta y el B, que es una proposición B= ~p (p ∧ q) ∧ ~p simple. A = (p ∧ q)

3) Anotar el valor de verdad de las proposiciones componentes con respecto a la conectiva principal. En este caso se anotaran los valores de verdad de p y de q; teniendo en cuanta que la unión entre el conjunto A y el conjunto B está en la conjunción: A ∧ B 4) Anotar el valor de verdad de la conectiva principal en cada renglón. Al terminar de anotar cada valor de verdad, según el valor de la conectiva lógica, hay que combinar según la conectiva A y B , el resultado final será sombreado para identificar ducho resultado.

Aplicando el concepto de la conjunción en los diagramas de Venn tenemos los siguientes conjuntos. A=

2, 4, 6, 8, 10, 12,

B = 4, 8, 12, 16, 20,

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La proposición compuesta que se puede establecer a partir de los dos conjuntos propuestos, en realidad corresponde a la intersección de sus elementos comunes como se puede observar a continuación.  La proposición del conjunto A es: algunos números naturales son múltiples de 2  La proposición del conjunto B es: algunos números naturales son múltiplos de 4  La proposición compuesta es: algunos números naturales son múltiplos de 2 y múltiplos de 4 El conjunto de elementos de A y B que hacen verdadera la proposición compuesta es: A+B=C A C B C = 4, 8, 12, 6 4 16 2 8 20 A ∩ B = 4, 8, 12 10 12 A∩B=C Se lee: el resultado de A intersección de B es igual a C Los elementos que hacen la conjunción entre A y B, son aquellos que se repiten entre ambos, estos serán los conectivos lógicos de los Diagramas de Venn; por lo tanto: toda proposición compuesta formada por el conectivo Y, y siendo verdadera, cuando aplica a los elementos de un conjunto, determina su intersección

Actividad complementaria: forma proposiciones compuestas aplicando el uso del conectivo con los siguientes conjuntos. Al terminarlos anéxalo a la carpeta de evidencias. 1) A = 3, 6, 9, 12, 15, 18

B= 6, 12, 15, 18, 24

2) M = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19

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N=

2,3,5,7,11,13,17,19,

3) C =

a, b, c, d, e, f, g, h, i

C) Disyunción

D=

Inclusiva V

a, e, i,

exclusiva V

En la disyunción existen dos formas de relacionar las proposiciones las cuales pueden ser: Inclusiva = V que se representa son las letras O poq Exclusiva= V que se representa con las letras O….o Opoq Disyunción inclusiva

O

poq

PVQ

pVq

La disyunción o alternación, también llamada disyunción débil, de dos proposiciones o enunciados, se utiliza insertando la palabra O la cual es ambigua. Ejemplo: Pedro es fuerte o Pedro es débil p V q

=

pVq

Se dan entonces dos contratiempos a la vez, se exponen dos posibilidades en donde una sola será la correcta. Una disyunción es verdadera solamente cuando uno de los disyuntos sean verdaderos: solamente si los disyuntos son falsos darán un resultado falso. Ejemplo de la representación en la tabla de verdad.

Significa que si p es verdadera y q es verdadera, p V q es verdadera Si p es verdadera y q es falsa, p V q será verdadera Si p es falsa y q es verdadera, p V q será verdadera Si p es falsa y q es falsa, p V q será falsa

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Ejemplo en binario Ejemplo de proposiciones combinadas: El examen se hace en marzo o en abril p V q Enrique se sienta a comer o se va a jugar al parque 12/5 es una fracción o un racional entero -

p

q

pVq

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

8 es un número entero o número natural

p q Elsa come pastel o come helado (V) (V) Mario va al circo o va al cine (V) (F) Cecilia tiene una bicicleta o una moto (F) (V) Rafael tienen un tanque o un submarino (F) (F) Disyunción exclusiva

O.. o

p V q V V V

Interpretamos la disyunción inclusiva de dos enunciados como una afirmación de que por lo menos uno de ellos es verdadero.

F

Opoq

pVq

La letra O se puede utilizar en las proposiciones de una manera fuerte o exclusiva en el cual el significado no es por lo menos uno, sino uno y solo uno, el cual será verdadero pero no los dos al mismo tiempo. Cuando la precisión es vital, se escribe “pero no ambos” para referirse a este tipo de disyunción. Ejemplo de la tabla de verdad de la disyunción exclusiva. También se puede utilizar el símbolo

≡

Si p es verdadera y q es verdadera, entonces p V q es falsa Si p es verdadera y q es falsa, entonces p V q es verdadera Si p es falsa y q es verdadera, entonces p V q es verdadera Si p es falsa y q es falsa, entonces p V q es falsa Código Binario p q pVq p q pVq O el hombre es mortal o Superman es extra terrestre (V) (V) F 1 1 0 O el hombre es mortal o Superman es humano 1 0 1 (V) (F) V O el hombre es inmortal o Superman es de Criptón 0 1 1 (F) (V) V O el hombre es inmortal o Superman es humano 0 0 0 (F) (F) F Página 26 de 54

En una disyunción las alternativas pueden ser proposiciones simples, así como compuestas. Ejemplo de una proposición El maestro enseña historia, pero Ramón no pone atención o no le interesa la clase p ∧ ~p V ~q A

p V V F F

2 ∧

1 p V V F F

q V F V F

B

A+B

V V V F

3 4 ~p V F F F V V V V V

5 ~q F V F V

PASOS SEGUIDOS EN LA TABLA 1) Anotar las combinaciones de p y q en cada uno de los valores 2) Determinar las conectivas principales 3) Anotar el valor de verdad de las alternativas 4) Anotar el valor de verdad de la conectiva principal

Siempre en una tabla de verdad se debe poner la base de p y q, o la cantidad de proposiciones combinadas

Segundo ejemplo con Disyunción Exclusiva en una oración combinada

A p ∧ ~q ∧ Roberto es estudiante de preparatoria pero no es inteligente, más a pesar de eso o Roberto se pone a estudiar o reprobara la escuela p V q (p ∧ ~ q) ∧ (p V q) B

A p V V F F

B

q (p ∧ ~q) V V V F F V F V V F F F F F F V 1

2

3

∧ F F F F 4

( p V V F V V F V F F 5

6

q ) V F V F 7

A+B=C

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Si analizamos la estructura de esta oración nos daremos cuenta que el primer conjunto A es marcado por una coma, mientras que el segundo conjunto B, que se refiere al mismo sujeto de la oración, se le atribuyen otras características.

La aplicación de las proposiciones compuestas formadas por los conectivos lógicos de la disyunción inclusiva = O y disyunción exclusiva = O… o, con proposiciones simples verdaderas pueden ser representadas en los diagramas de Venn. Ejemplo: A= 3, 6, 9, 12, 15, 18

B=

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

La proposición del conjunto A es: X es múltiplo de 3 menor que 20 La proposición del conjunto B es: X es número par comprendido hasta 20 La proposición compuesta que se forma es: X es número múltiplo de 3 o es un número menor que 20 El conjunto que hace verdadera la proposición será:

U

A 19

AUB

B 6

2 12

3

A unión B

18

Toda proposición compuesta formada con el conectivo O, cuando es verdadera, aplicada a los conjuntos, determina la unión de estos

4 8

10 14 16

Actividad complementaria. Realiza las actividades que se te piden a continuación 1. Forme la proposición compuesta verdadera empleando los siguientes pares de conjuntos en diagramas de Venn A=

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

C=

m, n, p, r, s, t, x, y, z

B=

D=

2, 4, 6, 8, 10

a, e, i, o, u Página 28 de 54

2. Realiza las siguientes tablas de verdad de las proposiciones combinadas ( p V q ) ∧ ~p

~p ∧ ( p V q)

(p ∧ q) V (pVq)

(pVq) v (pV q)

D) Condicional

⇒

⊃

Si entonces…

p⇒q

Cuando se combinan dos enunciados por medio de una palabra Si al principio del primero y entonces, entre los dos enunciados compuestos resultantes se llama: Condicional o enunciado hipotético, implicación o enunciado aplicativo. En un enunciado condicional, el componente entre “Si” y el “Entonces” se llama antecedente (o implicante o mas raramente prótesis) y el componente que le sigue al entonces se llama consecuente (o implicado, mas raramente Apódosis). Ejemplo: Enunciado condicional, antecedente

p q Si el Sr, Juan es amigo del maquinista, entonces el Sr, Juan gana exactamente 3 veces lo que el maquinista El consecuente

Un enunciado afirma que si en cualquier caso en el que el antecedente sea verdadero también el consecuente será verdadero. Pero si el antecedente es verdadero, el consecuente será verdadero. Para entender este significado de un enunciado condicional, hay que entender la relación que implica. Página 29 de 54

El término “implicación” tiene más de un significado, pero será igual de útil distinguir sentidos de implicación o el si entonces. Ejemplo de implicaciones p q Si es de noche, entonces no brilla el sol Si estudias entonces obtendrás buenas calificaciones Si 15 es múltiplo de 5, entonces su división es exacta Si todos los humanos son mortales y Sócrates es humano entonces Sócrates es hombre Si comes a todas horas entonces enfermaras del estomago La primera proposición es llamada antecedente o hipótesis ( p ) y la segunda consecuente o tesis ( q ). Los valores de verdad para el conectivo de implicación serán:

Si p es verdadera y q es verdadera, entonces el resultado será verdadero. Si p es verdadera y q es falsa, entonces será falsa Si p es falsa y q es verdadera, entonces será verdadera Si p es falsa y q es falsa, entonces será verdadera

Ejemplo del código binario p

q

p

q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Cada uno de los diferentes enunciados afirma un tipo de diferente de implicación entre sus antecedentes y sus consecuentes, pero no son completamente diferentes, cada uno de ellos afirma tipos de implicación. Para buscar un significado se tiene que enfatizar la diferencia entre los 2 sentidos de esa palabra, contrastando la disyunción exclusiva con la inclusiva.

Cualquier enunciado condicional “si p entonces q” se conoce como falso en el caso de cualquier conjunción p ∧ ~ q que sea verdadera, entonces es, en el caso de que su antecedente sea verdadero y su consecuente falso. Pero para que una condicional sea verdadera entonces la conjunción debe ser falsa, es decir la negación ~ ( p ∧ ~ q ) debe ser verdadera, por lo cual para cualquier condicional “ Si entonces” sea verdadera en la negación de la conjunción de sus antecedentes con la negación de la consecuente debe ser verdadera.

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~ ( p ∧ ~ q ) parte del significado. Ejemplo de la tabla de verdad. a b c d

p V V F F

q V F V F

p V V F F A

∧ ~q F F V V F F F V C B

~ ( p ∧ ~q ) V F F V V F V F ~C

p

→

q

V F V V

C

El sentido de esta conectiva es señalar, que si la proposición antecedente es V, también lo será la proposición consecuente. Una proposición compuesta en la que la conectiva es condicional, será F si siendo V el antecedente, es F el consecuente. El símbolo → no se reconoce como denotativo el significado de “Si entonces” o representando las relaciones de implicación ya que son todos diferentes cualquier intento de abreviar todas ellos por medio de un solo símbolo lógico resulta ambiguo “Si entonces” o la palabra “implicación”, es decir hay una implicación material como en el ejemplo: ~ (p ∧ ~q) cuyo significado está incluido en la implicación. En este aspecto la conexión material no requiere ninguna conexión real entre el accidente y el consecuente. Todo lo que afirma es que un hecho que no es el caso que el antecedente sea verdadero cuando el consecuente es falso, aquí el símbolo de implicación material es un conectivo veritativo funcional. En los diagramas de Venn, la aplicación de la inferencia en dos conjuntos da lugar al siguiente ejemplo. A=

1, 2, 3, 5, 7

B=

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10

Tomando como hipótesis a los elementos del primer conjunto y como tesis a los del segundo conjunto, tenemos que. 1 2 3 5 7

∈ ∈ ∈ ∈ ∈

A A A A A

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

1 2 3 5 7

∉ ∉ ∉ ∉ ∉

B B B B B

B

4 8

9

6 A 1 2 3 5 7

10

A⊂ B B A

o bien

En todas y cada una de las proposiciones compuestas aquí simbolizadas, la hipótesis verifica a las tesis, por tal razón se forma una implicación. El conjunto A queda incluido en el conjunto B. A ⊂ B Página 31 de 54

Actividad complementaria. Determina la inferencia de los elementos de cada unos de los siguientes conjuntos trazando el Diagrama de Venn. De la misma forma termina las tablas de verdad que se te piden después de los ejercicios. 1)

2)

3)

A=

X=

a, e, i

B=

a, b, c, d, e, f, g, h, i,

regla, campana, goma

Y=

(~p

q)

(p V q)

(p V

q)

(p

x / x sea un material escolar

p

q)

(pVq)

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(pVq)

q

E) Bicondicional.

Si y sólo si

⇔

O…o

⇔Q

P

Opoq

Es también conocida con el nombre de doble implicación. Las proposiciones bicondicionales utilizan el conectivo lógico: “Si y solo si, que se simboliza: con dos fechas y que al relacionar las proposiciones indica el valor de ambas el cual puede ser V o F. Ejemplo. Una figura es llamada triangulo, si y sólo si, está limitada por 3 lados p q Dos líneas son paralelas si y solo si, equidistan en todos los puntos p q Un número es divisible por 5, solo si, termina en las cifras 0 o 5 p q Así, p q, se lee p si y solo si q, significa que si p es verdadero, entonces q también es verdadera, si q es verdadera entonces p también es verdadera. La conectiva condicional es la conjunción Y de dos proposiciones condicionales Si.. entonces. Esta proposición p q, tiene el mismo sentido que la proposición: (p

q)

(q

p)

Esto sucede cuando en las proposiciones la hipótesis puede convertirse en tesis, y la tesis en hipótesis, se forma una doble implicación o bicondicional que se convierte en una equivalencia. Si la proposición condicional se afirma en una proposición o antecedente, este será verdadero y por ende también lo será el consecuente. Tabla de verdad de la bicondicional

Si p es verdadera y q es verdadera, p Si p es verdadera y q es verdadera, p

q es verdadera q es falsa

Si p es falsa y q es verdadera, entonces p Si p es falsa y q es falsa, entonces p

q es falsa

q es verdadera

:

p q Juan es padre de Miguel, si y solo si, Miguel es hijo de Juan (V) (V) p q p q El hombre es enemigo del hombre solo si es devorador de seres humanos (V) (F) El agua es fría, si y solo si proviene de las montañas (F) (V) La radiación mata al hombre, si y solo si se maneja libremente (F) (F)

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p

q V F F V

En esta tabla de verdad encontramos que aplica a la conocida ley de los signos matemáticos. Ejemplo:

+ + -

+ + -

+ +

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Lenguaje binario La tabla de verdad p conjunción. La primera (p p) condicional suficiente Ejemplo:

q, es la combinación de dos condicionales, bajo el símbolo de la q) se llama condicional necesaria, y la segunda es denominada (q

A p V V F F

q V F V F

B

( p

q )

V V F F V F V R=A V

( q

V V V V V F F F V F R=B

V F F V

V F V F

p )

V F

A+B=C

Ejemplo de proposiciones combinadas A Ricardo será un hombre generoso solo si dona su dinero por convicción, mas es bien p q ∧ sabido que el Sr. Ricardo no es buna persona o no le interesa ayudar ¬ p V q B A

B C ∧

p

q

( p

V

V

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

q ) V

V

V V

R=A

F

( ¬ p F

F

F

A + B= C

V V

q ) V

F

R=B

Página 34 de 54

F

F

En el siguiente ejemplo ya no se ejemplifica con proposiciones compuestas, simplemente se utilizan los valores de p y de q, en forma de mayúsculas que están siendo negadas. De la misma forma los conjuntos A y B están siendo negados Se saca el resultado del conjunto A y se pasa negado

El resultado del conjunto B se pasa negado, ya que este conjunto tiene el símbolo de la negación en el lado derecho del paréntesis

Valores

Conjunto ~ A

P

Q

~ ( ~P

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

F

~A+ ~B

Conjunto ~ B

~Q )

V

~ ( ~P

V

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

F

F

V

F

F

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

F

V

F

V

V

V

R=A

~P )

R=B

Toda proposición bicondicional aplicada a los contenidos de los conjuntos establece una relación de igualdad, que podemos ejemplificar a continuación A=

Mario, Elena, Raúl, Cristina

B= Mario, Elena, Raúl, Cristina

Se observa que todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B, y todos los elementos del conjunto B pertenecen al conjunto A. Es decir: el conjunto A esta formado por los elementos del conjunto B los cuales son los mismos que forman el conjunto A, por lo cual son conjuntos iguales. Esto se representa

U

A=B

A

B

Mari Elena, Raúl Cristina


o bien

U

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La representación en el lenguaje lógico conjuntista se representa de la siguiente forma

∀ x∈

A

⇒xB

∀ x∈

y

B

⇒x ∈B

Para toda X que pertenece a A implica X que pertenece a B y para toda x que pertenece a B implica que x pertenezca a A, por lo tanto: x∈ A

⇔

xB

Actividad complementaria. Realiza las actividades que se te piden a continuación 1) Determina la igualdad desigualdad que originan las siguientes proposiciones, haciendo la representación por extensión y trazando los diagramas de Venn respectivos. A = Las figuras triangulares en función de la longitud de sus lados. B=

Conjunto formado por: triángulo, equilátero, isósceles y escaleno

M = Los números pares menores que 15 N = Los números múltiplos de 4 menores que 15 Página 36 de 54

2) Realiza las siguientes tablas de verdad. ~(p ⇒q)⇔ ¬p

( P ∧ Q ) V ~ ( ~ P ⇔ ~ Q)

B5. Act_4. Realiza de forma individual, un escrito de una cuartilla, donde se exprese la importancia de los conectivos lógicos y las tablas de verdad. El trabajo se presentara a mano, en hojas tamaño carta, con consultas bibliográficas (3 fuentes) Después de ser evaluado por el maestro, anéxelo a su carpeta de evidencias.

FORMULARIO DE LAS CONECTIVAS LOGICAS Conectiva Negación

Expresión en el lenguaje natural no

Ejemplo

y

Está lloviendo y está nublado.

Disyunción

o

Está lloviendo o está soleado.

Bicondicional Negación conjunta Disyunción excluyente

si... entonces si y sólo si ni... ni o bien... o bien

Simbolos alternativos

No está lloviendo.

Conjunción

Condicional material

Símbolo en este artículo

.

Si está soleado, entonces es de día. Está nublado si y sólo si hay nubes visibles. Ni está soleado ni está nublado. O bien está soleado, o bien está nublado.

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V

SIGNOS LÓGICO MATEMÁTICOS Símbolo

Nombre

se lee como

IGUALDAD

=

igual a

Categoría todos

x = y significa: x y y son nombres diferentes que hacen referencia a un mismo objeto o ente. 1+2=6–3 DEFINICION

≔ ≡ :⇔

se define como

x := y o x ≡ y significa: x se define como otro nombre para y (notar, sin embargo, que ≡ puede también significar otras cosas, como congruencia) P :⇔ Q significa: P se define como lógicamente equivalente a Q cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A ADICION

+

B)

¬(A

B)

más

aritmética

4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado, es 10. 43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9 SUBSTRACCION

−

todos

menos

aritmética

9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El símbolo 'menos' también se utiliza para denotar que un número es negativo. Por ejemplo, 5 + (−3) = 2 significa que si 'cinco' y 'menos tres' son sumados, el resultado es 'dos'. 87 − 36 = 51

× · *

MULTIPLICACION

÷ / :

DIVISION

por

aritmética

7 x 6 = 42 significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será 42. 4 x 6 = 24 ó 4 * 6 = 24 ó 4 · 6 = 24

entre

aritmética

significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y dos, cada pedazo será de tamaño siete. 24 / 6 = 4 SUMATORIA

∑

ak significa: a1 + a2 + ... + an

4 ∑k=1

k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

PRODUCTORIO

∏

⇒

suma sobre ... desde ... hasta ... de

n ∑k=1

aritmética

producto sobre... desde ... hasta ... de

n ∏k=1

ak significa: a1a2···an

4 ∏k=1

(k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

IMPLICACION MATERIAL O EN UN SOLO SENTIDO implica; si .. entonces; por lo tanto

aritmética

lógica proposicional

A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también; si B es verdadero entonces nada se dice sobre A. Página 38 de 54

→

→ puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para denotar funciones, como se indica más abajo. x = 2 ⇒ x² = 4 es verdadera, pero 4 = x² ⇒ x = 2 es, en general, falso (ya que x podría ser −2)

/ tal que ejemplo x/y se lee x tal que y

⇔ ↔ ∧ ∨ ¬ ~ -

Símbolo

DOBLE IMPLICACION

∃

∃!

x+5=y+2⇔x+3=y

CONJUNCION LOGICA o intersección en una reja

y

n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 cuando n es un número natural DISYUNCION LOGICA o unión en una reja

n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 cuando n es un número natural NEGACION LOGICA

o

lógica proposicional, teoría de rejas

no


la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa. una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un ¬ colocado a la izquierda. ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S ⇔ ¬(x ∈ S) Nombre

se lee como

Categoría

para todos; para cualquier; para cada

lógica de predicados

∀ x : P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x ∀ n ∈ N: n² ≥ n

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

existe por lo menos un/os


∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera. ∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL CON MARCA EXISTENCIAL existe un/os único/s


∃! x : P(x) significa: existe un único x tal que P(x) es verdadera. ∃! n ∈ N: n + 1 = 2

tal que


∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera. ∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

el conjunto de ...

teoría de conjuntos

{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c N = {0,1,2,...} NEGACION CONSTRUCTORA DEL DISCURSO

{:} {|}

lógica proposicional, teoría de rejas

la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposición es falsa.

DELIMITADOR DE CONJUNTOS CONJUNTOS

{,}


la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa.todo es verdadero de los valores

RELUZ

:

1

A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.

CUANTIFICADOR UNIVERSAL

∀

si y sólo si; sii, syss

el conjunto de los elementos ... tales teoría de conjuntos que ...

{x : P(x)} significa: el conjunto de todos los x para los cuales P(x) es verdadera. {x | P(x)} es lo mismo que {x : P(x)}. {n ∈ N : n² < 20} = {0,1,2,3,4}

Página 39 de 54

∅ {}

∈ ∉

⊆ ⊂

∪

∩

CONJUNTO VACIO

conjunto vacío

{} significa: el conjunto que no tiene elementos; ∅ es la misma cosa. {n ∈ N : 1 < n² < 4} = {}

PERTENENCIA DE CONJUNTOS

a ∈ S significa: a es elemento del conjunto S; a ∉ S significa: a no es elemento del conjunto S −1

−1

(1/2) ∈ N; 2 ∉ N SUBCONJUNTOS

es subconjunto de

A ∩ B ⊆ A; Q ⊂ R

UNION DE CONJUNTOS

la unión de ... y ...; unión


A ∪ B significa: el conjunto que contiene todos los elementos de A y también todos aquellos de B, pero ningún otro. A⊆B⇔A∪B=B

INTERSECCION DE CONJUNTOS

la intersección de ... y ...; intersección


A ∩ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos que A y B tienen en común. {x ∈ R : x² = 1} ∩ N = {1}

menos; sin


A \ B significa: el conjunto que contiene todos aquellos elementos de A que no se encuentran en B {1,2,3,4} \ {3,4,5,6} = {1,2} de

funciones

para aplicación de función: f(x) significa: el valor de la función f sobre el elemento x para agrupamiento: realizar primero las operaciones dentro del paréntesis. Si f(x) := x², entonces f(3) = 3² = 9; (8/4)/2 = 2/2 = 1, pero 8/(4/2) = 8/2 = 4 MAPEO FUNCIONAL

f:X→Y


A ⊆ B significa: cada elemento de A es también elemento de B A ⊂ B significa: A ⊆ B pero A ≠ B

APLICACION FUNCIONAL; AGRUPAMIENTO

() [] {}


en; está en; es elemento de; es miembro de; pertenece a

COMPLEMENTOS DE CONJUNTOS

\


de ... a

funciones

f: X → Y significa: la función f mapea el conjunto X al conjunto Y Considérese la función f: Z → N definida por f(x) = x²

NUMEROS NATURALES

N

N

N significa: {1,2,3,...}, pero véase el artículo números naturales para una convención diferente. {|a| : a ∈ Z} = N

NUMEROS ENTEROS

Z

R

Z

números

Q

números

R

números

Z significa: {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...} {a : |a| ∈ N} = Z

NUMEROS RACIONALES

Q

números

Q significa: {p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0} 3.14 ∈ Q; π ∉ Q

NUMEROS REALES R significa: {limn→∞ an : ∀ n ∈ N: an ∈ Q, el límite existe}

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π ∈ R; √(−1) ∉ R

NUMEROS COMPLEJOS

C

i = √(−1) ∈ C

la raíz cuadrada de; la principal raíz cuadrada de

√(x²) = |x| infinito

< > ≤ ≥

limx→0 1/|x| = ∞ números

|a + bi | = √(a² + b²) COMPARACION MAYOR QUE , MENOR QUE

es menor a, es mayor a

órdenes parciales

x < y significa: x es menor a y; x > y significa: x es mayor a y 3>45>4 COMPARACION

es menor o igual a, es mayor o igual a

órdenes parciales

x ≤ y significa: x es menor o igual a y; x ≥ y significa: x es mayor o igual a y x ≥ 1 ⇒ x² ≥ x

pi

Geometría euclideana

π significa: la razón de la circunferencia a su diámetro. A = πr² es el área de un círculo con radio r FACTORIAL

!

valor absoluto de

|x| significa: la distancia en la recta real (o en el plano complejo) entre x y zero

PI

π

números

∞ es un elemento de la recta real extendida mayor que todos los números reales; ocurre frecuentemente en límites VALOR ABSOLUTO

||

números reales

√x significa: el número positivo cuyo cuadrado es x INFINITO

∞

números

C significa: {a + bi : a, b ∈ R} RAIZ CUADRADA

√

C

factorial

combinatoria

n! es el producto 1×2×...×n 4! = 24 NORMA

norma de; longitud de

análisis funcional

x es la norma del elemento x de un espacio vectorial normado x+y ≤ x + y

INTEGRACION

∫

cálculo

∫a f(x) dx significa: el área, con signo, entre el eje-x y la gráfica de la función f entre x = a y x = b b

∫0 x² dx = b³/3; ∫x² dx = x³/3 DERIVACION

f'

integral desde ... hasta ... de ... con respecto a ...

b

derivada de f; f prima

cálculo

f '(x) es la derivada de la función f en el punto x, esto es, la pendiente de la tangente en ese lugar. Si f(x) = x², entonces f '(x) = 2x y f ' '(x) = 2 GRADIENTE

del, nabla, gradiente de

∇f (x1, …, xn) es el vector de derivadas parciales (df / dx1, …, df / dxn) Si f (x, y, z) = 3xy + z² entonces ∇f = (3y, 3x, 2z)

Página 41 de 54

cálculo

∇ ∂

⊥

DERIVACION

derivada parcial de

cálculo

Con f (x1, …, xn), ∂f/∂xi es la derivada de f con respecto a xi, con todas las otras variables mantenidas constantes. Si f(x, y) = x²y, entonces ∂f/∂x = 2xy PERPENDICULAR

es perpendicular a

ortogonalidad

x ⊥ y significa: x es perpendicular a y; o, más generalmente, x es ortogonal a y.

PERPENDICULAR

traspuesta

matrices y vectores

⊥ (a,b) con ⊥ al lado o a modo de potencia significa que el vector se debe colocar no de izquierda a derecha, sino de arriba a abajo. En numerosos trabajos de investigación se utiliza esta sintaxis al no poder representar en un documento vectores verticales.

⊥

FONDO

el elemento fondo

teoría de rejas

x = ⊥ significa: x es el elemento más pequeño.

Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B), es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.

Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B. Diferencia: (símbolo \) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A \ B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté en B. Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene. Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez. Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b perteneciente a B.

TABLAS DE VERDAD PROPOSICIONALES Página 42 de 54

OBJETO DE APRENDIZAJE. Que el alumno conozca y aplique las tablas de verdad

Actividad de Aprendizaje (básica) B5. Act_5. Teniendo en cuanta las bases teóricas sobre las diferentes tablas de verdad, realiza las actividades que se te piden. Proporcione enunciados donde se aplique una tabla de verdad, de acuerdo a los conectivos lógicos. Después de ser evaluado por el maestro, anexa dicha actividad a la carpeta de evidencias. •

Tablas de verdad

Dadas las proposiciones compuestas, de la cual ya conocemos tanto su forma como su contenido, no se necesita construir una tabla de verdad para saber si es verdadera o es falsa, cuando sabemos el valor de verdad de sus proposiciones simples componentes. Ejemplo: P ⇒ Q Si la ballena es un mamífero, entonces la ballena tiene respiración pulmonar Podemos representarlo como: r ⇒ s

r = V La Ballena es un mamífero s = V La Ballena tiene respiración pulmonar

Por lo tanto:

r ⇒s

=V

r +s= V

V+V=V

Venus es una estrella o Venus es un planeta P V P En esta proposición la estructura depende o está en función de los valores de verdad de las proposiciones simples que intervienen en las proposiciones compuestas en cuanto sus conectivas lógicas. Se pueden formar proposiciones compuestas a partir de una sola proposición simple ~p

Juan no es inteligente

1 proposición

Se pueden formar a partir de dos proposiciones simples para realizar una compuesta Página 43 de 54

p∧q

Juan es honrado y Pedro un delincuente

2 proposiciones

De la misma forma se pueden formar proposiciones simples combinadas entre sí con diferente conectivo lógico para realizar proposiciones combinadas o moleculares. Con = A (p V q) ∧ 1 2

Con = B (q ⇒s) 3

3 proposiciones Como la proposición q en el conjunto B se repite, esta no se toma en cuenta, y quedarían 3 proposiciones

También se pueden dar proposiciones combinadas de cuatro conjuntos. Ejemplo Conj = A (p V q) 1 2

Conj= B

⇔

(r ∧ s) 3 4

4 proposiciones

En los temas anteriores se menciono cada conectivo lógico con su respectiva tabla de verdad, así como su valor de verdad. Si tenemos proposiciones combinadas o compuestas, podemos retomar los valores de las tablas para realizar proposiciones potenciales combinadas Valores de las tablas de verdad de cada conectivo lógico p

⇔q

p V q

pVq

F

V

V

F

F

V

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

V

~p

~q

V V

F

V F F F

Significado Negación

•

p⇒q

p ∧ q

q

Conectivo lógico no

p

V

V

Simbología ~p

Conjunción

pyq

p^q

Disyunción inclusiva

poq

p vq

Disyunción exclusiva

O poq

p v q

Condicional

Si p entonces q

p

Bicondicional

P si y solo si q

p

Proposiciones potenciales combinadas Página 44 de 54

q q

En todas las tablas de verdad, de cualquier proposición compuesta, deben de anotarse los posibles valores de verdad de las proposiciones simples, pero a diferencia de las proposiciones donde solo hay 2 combinaciones, en estas las combinaciones se multiplicaran dependiendo la cantidad de proposiciones. 1 Cantidad

p

~P

1

V

F

2

F

V

=2x1=2

Si en una proposición compuesta hay 2 proposiciones como combinaciones de valores de verdad.

1

2

p

q

1

V

V

2

V

F

3

F

V

4

F

F

p ∧ q, entonces habrá 4

= 2 x 1= 2 x 2= 4

Si en un enunciado compuesto hay 3 proposiciones simples como: combinaciones. 1

2

3

p

q

r

1

V

V

V

2

V

V

F

3

V

F

V

4

V

F

F

5

F

V

V

6

F

V

F

7

F

F

V

8

F

F

F

p

q

r, serán 8 posibles

= 2 x 1= 2 x 2 = 4 x 2 = 8 En general, el numero de combinaciones de los valores de las proposiciones simples se pueden determinar de acuerdo con la formula

n = Es el numero de proposiciones simples que intervienen en una proposición compuesta

Página 45 de 54

Cuando hay 4 proposiciones simples con: p, q, r, s,

1

2

3

4

p

q

r

s

1

V

V

V

V

2

V

V

V

F

3

V

V

F

V

4

V

V

F

F

5

V

F

V

V

6

V

F

V

F

En los casos en las que hay 4 o más proposiciones simples componentes, determinaremos los posibles combinaciones y las anotaremos siguiendo el mismo procedimiento

7

V

F

F

V

1) Hacer tantas columnas como proposiciones

8

V

F

F

F

9

F

V

V

V

2) Determinar el número de combinaciones que obtendremos de acuerdo con las formas que vimos en la elevación de potencia

10 F

V

V

F

11 F

V

F

V

12 F

V

F

F

13 F

F

V

V

14 F

F

V

F

15 F

F

F

V

16 F

F

F

F

= 2 x 1= 2 x 2 = 4 x 2 = 8 X 2 = 16

3) Contar tantos renglones como combinaciones nos resulten 4) Empezar a llenar las últimas columnas, anotando primero un valor y luego otro. 5) Siempre se empieza todas las columnas con valor = V 6) Siempre se aplican la presentación de cada valor, en la columna que está a la izquierda de tabla.

Si ejemplificamos una tabla de verdad de 5 proposiciones, P, Q, R, S, T, se comenzara por la columna de la derecha con el valor de V y después F. Hay que tener en cuenta que no importa que las variables sean en mayúsculas o minúsculas, lo importante es representar simbólicamente la proposición en los enunciados compuestos.

Página 46 de 54

= 2 x 1= 2 x 2 = 4 x 2 = 8 X 2 = 16 X 2 = 32

1

2

3

4

5

p

q

r

s

t

1

V

V

V

V

V

2

V

V

V

V

F

3

V

V

V

F

V

4

V

V

V

F

F

5

V

V

F

V

V

6

V

V

F

V

F

7

V

V

F

F

V

8

V

V

F

F

F

9

V

F

V

V

V

10

V

F

V

V

F

11

V

F

V

F

V

12

V

F

V

F

F

13

V

F

F

V

V

1 V V

14

V

F

F

V

F

15

V

F

F

F

V

16

V

F

F

F

F

17

F

V

V

V

V

18

F

V

V

V

F

19

F

V

V

F

V

20

F

V

V

F

F

2 3 4 5 6 7 8

21

F

V

F

V

V

22

F

V

F

V

F

23

F

V

F

F

V

24

F

V

F

F

F

25

F

F

V

V

V

26

F

F

V

V

F

27

F

F

V

F

V

28

F

F

V

F

F

29

F

F

F

V

V

30

F

F

F

V

F

31

F

F

F

F

V

32

F

F

F

F

F

Cuando en las proposiciones combinadas se utiliza paréntesis, corchetes o llaves, se tiene que analizar la estructura para determinar la extensión o comprensión del escrito o proposición combinada. En el caso del paréntesis, se utiliza para indicar que una proposición compuesta se toma como un todo o conjunto. ( p y q )

(p o q )

(P ∧Q)⇒R son tomados como el antecedente de una condicional, cuyo consecuente será R. Pero si a la proposición p se le conjunta con la proposición combinada q ⇒ r , el resultado será p ∧ ( q ⇒ r ) p

V V V F F F F

q

V F F V V F F

(P ∧ Q)⇒ V V V V V F V V V F V V F F V F V V F F V F F V V F F F V V V F F F V F F F F V

r

R=A

R

p ∧ (q

V

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

F

V

F

F

F

R=B

R=A

V F V V F F F F

V V F F V V F F

⇒r)

V V F V V V F V V

F V F V F V F

R=B

En las dos tablas de verdad, primero se determina el valor de verdad de las proposiciones cerradas en los paréntesis. Cuando en una proposición se utilizan corchetes { } para indicar que una proposición se toma como un todo aunque en ella aparezcan paréntesis junto con otras proposiciones

p∧(q⇒r) Conj. U = A

V p

Con. B

Página 47 de 54

En otros casos si el símbolo de una negación, se encuentra se encuentra en un paréntesis, la negación invierte el valor de la verdad de una proposición, ya sea que este en llaves, corchetes o paréntesis; el resultado será la negación de la combinación proposicional, se tomara como un todo o resultado final: R= Si p es verdadera y q es verdadera, el resultado por la conectiva lógica condicional: Si entonces sera verdadero

~(p⇒q)

p ⇒ q V V

~(

)

F

V

Ejemplo: ~ ( p ⇒ q )

~ R=

V

F

V

V

p

q

V

V

~ ~( p ⇒ q )

V

F

F V V F F

F

V

VF F V V

F

F

FV F V F

V F V V V

F

Después de explicar los pasados ejercicios podemos construir tablas de verdad de proposiciones compuestas más complejas. ~A

B

~A=1

~ A= 2

~B=1

⇒

V V

V

~ (p⇒q) V~p F

V

F F

F

F

F

F

V

F

V F

V V

F

F

V

F

F

F

V

p

q

F

R= A

~

B=2

~ (p⇔ q) ∧ p F

V

F V

V

V

F

V V

V V

V

V

F

V V

V V

V

F

V

F V

A+B

R=C Página 48 de 54

R=B

Pasos para realizar la tabla de verdad 1. Anotar las combinaciones de los valores de verdad de las proposiciones simples con sis componentes 2. Determinar cuál es la conectiva principal, la cual estará sombreada para remarcar el resultado final. 3. Los antecedentes se caracterizan por tener mayor extensión en su conjunto o tienen mayor número de proposiciones simples combinadas; en este caso el antecedente será el conjunto ~ A: ~A=

~

~ (p⇒q) V~p

Para el antecedente hay que determinar el valor de ( p ⇒ q ) Determinar el valor de verdad de ~ ( p ⇒ q ) Determinar el valor de ~ p Conjuntar los valores de verdad de: ~ ( p ⇒ q ) con los valores de ~ p Invertir los valore de verdad hallada en la conjunción para obtener ~ ~ (p⇒q) V~p

El consecuente será el conjunto B, subordinado al conjunto A: B=

~ (p⇔ q) ∧ p

Para obtener el consecuente hay que determinar los valores de verdad de (p⇔ q) Determinar el valor de verdad de ~ ( p ⇔ q ) Determinar el valor de verdad de p en el conjunto B Conjuntar los valores de verdad de ~ ( p ⇔ q ) con los de p Invertir los valores de verdad hallados en la conjunción para obtener ~ (p⇔ q) ∧ p

4. Anotar los valores de verdad de las proposiciones componentes con respecto a la conectiva principal. En este otro ejemplo se expone una oración estructurada con la finalidad de extraer la codificación lógica y realizar la tabla de verdad. p ∧ ~q ∧ Los alumnos del salón 15 cursan lógica y el su maestro no está presente, mas los alumnos ~r V s no saben si les han dejado tarea o es hora libre ( p ∧ ~q ) ∧ ( r V s ) 1 2 3 4 Página 49 de 54

= 2 x 1= 2 x 2 = 4 x 2 = 8 X 2 = 16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Conjunto A

A+B

∧ F F F F V V V V F F F F F F F F

∧ F F F F F F V F F F F F F F F F

1

2

3

4

p V V V V V V V V F F F F F F F f

q V V V V F F F F V V V V F F F F

r V V F F V V F F V V F F V V F F

s ( p V V V F V V V F V V V F V V V F F V F F F V F F F V F F F V F F

Ejemplo:

~q ) F F F F V V V V F F F F V V V V

( ~r F F V V F F V V F F V V F F V V

V F F V F F F V F F F V F F F V F

s ) V F V F V F V F V F V F V F V F

= 2 x 1= 2 x 2 = 4 x 2 = 8 Conjunto A

1 2 3 4 5 6 7 8

Conjunto B

1

2

3

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

A1

~ ( V V F F F F F F R=A

p ∧ V F V F V V V V F F F F F F F F

A+B A2

~q ) V F F F F V V V V F V F V V V V V

Conjunto B B1

r F F F F V V V V

V V V V V F V F V

Página 50 de 54

~ ~p F V F V F V F V V F V V V F V V R=B

B2

⇔ (~p F F F F F F F F V V F V V V F V

⇒ V V V V V F V F

r ) V F V F V F V F

B5. Act_5. Proporcione 5 enunciados donde se aplique una tabla de verdad, de acuerdo a los seis conectivos lógicos combinados. Después de ser evaluado por el maestro, anexa dicha actividad a la carpeta de evidencias.

1) Ejemplo de oración compuesta: ∧

p

q

Se menciona que todo trabajador tiene derecho a un salario digno y ambiente decoroso, más ~r algunos empleados no tienen buenas condiciones de trabajo. p ∧(q ∧r)

1 2 3 4 5 6 7 8

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

p

∧ (

q

∧ r )

2) Realiza siguientes tablas de verdad

~

~p

∧

~(

q

∧ p )

~

~p

∧

~(

p

V `r )

⇔

Página 51 de 54

~

~p

⇒

~(

q

V r )

∧

BIBLIOGRAFÍA Básica.

• • • • • • • • •

CASTAÑEDA, Juan, Habilidades académicas, Editorial Mc Graw Hill. México, 2003. COPI, Irving M., Introducción a la lógica, Editorial Universitaria de Buenos Aries ESCOBAR Valenzuela, Gustavo, Lógica, Editorial Mc Graw Hill. México, 1999 GORSKI D.P., TAVANTS P.V., Lógica, Editorial Grijalbo, México, 1970. GUTIÉRREZ Sáenz, Raúl, Introducción a la lógica, Editorial Esfinge. México, 1998 SAN JOSÉ G., María del Carmen, Lógica, Editorial Esfinge. México, 2001. DE GORTARI, Eli, Iniciación a la lógica, Editorial Grijalbo. México, 1974. ORTEGA, Esteban, Lógica, introducción a la Filosofía y la Ciencia, Editorial Diana. México, 1993. ONTORIA A. et al. Potenciar la capacidad de aprender y pensar, Editorial Nancea. España, 2002.

Complementaria: • • • • • • • • • • • • •

Albarán Vázquez, Mario; Escobar Valenzuela, Gustavo. Metodología de la Investigación, Editorial Cultural, 2003 Aristóteles. Metafísica, Ed. Porrúa,México1969, 1era edición Aristóteles. Tratado de lógica ORGANON. Ed: Porrúa, México 2004 Abbagnan, Nicola. Diccionario de Filosofía; México 1974, Ed. Fondo de Cultura Económica. Baena Paz, Guillermina. Metodología de la investigación, México, Editorial Cultural, 2002, Octava reimpresión 2005. Copi, Irving Marmer; Cohen, Carl. Introducción a la Lógica. 1998, Ed: Limusa, México, segunda edición Baena. 2004. Tamayo, citado por Baena, en Tizcareño Hernández, Jesús Alberto. Metodología de la Investigación. Texto y cuaderno de ejercicios. 2008. COBACH Descarte. Discurso del método. Ed. Aguilar, Buenos Aires, 1961. Colec. Biblioteca iniciación Filosofica, num: 18 Diccionario manual griego, griego clásico – español, Ed. VOX. Gutiérrez Sáenz, Raúl. Introducción a la Filosofía. Ed: Esfinge.2008, México, p. 164 G.A .Kursanov , El materialismo dialéctico y el concepto, Grijalbo, México, 1996 Immanuel Kant, Crítica de la razón pura. Ed. Porrúa. Cap. Analítica trascendental Hernández, Sampieri, Roberto; Fernández Collado, Carlos; Baptista Lucio Pilar.

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•

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Jhon Hessen. Teoría general del conocimiento. Investigación fenomenológica preliminar. Martin Heidegger:Tiempo y Ser, Ediciones del Departamento de Estudios Históricos y Filosóficos, Universidad de Chile, Sede de Valparaíso, Viña del Mar (Chile), 1975 Martin Heidegger: Tiempo y Ser. Alfredo Guzzoni: Protocolo a un Seminario sobre la conferencia Tiempo y Ser. François Fédier et. al.: Protocolo a Seminario de Le Thor, 1969 Metodología de la Investigación, Editorial Mc Graw Hill, Chile 2004. Miguel Bueno. Principios de Lógica, Ed. Patria, México, 1960 Montes de Oca, Francisco. Lógica. México 1993. Editorial Porrúa. Méndez González, Luz del Carmen. Filosofía, México 2002. Ed. Nueva Imagen Ortega y Gasset, José. ¿Qué es filosofía? 1996, México, Ed. Porrúa Steup, Matthias, «Epistemology», en Edward N. Zalta (en inglés), Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2010 Edition) Venn, John (1880). «On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings». The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science

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