Continuidad Matemática 475z23

Función continua (Redirigido desde «Continuidad (matemática)»)

«Continua» redirige aquí. Para otras acepciones, véase continuo. En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo). La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones realesde una variable real. Índice [ocultar]



1 Funciones reales de una variable real o

1.1 Continuidad de una función en un punto

o

1.2 Continuidad lateral

o

1.3 Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b)

o

1.4 Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]



2 Algunas funciones continuas importantes o

2.1 Funciones definidas por intervalos

o

2.2 Función racional



3 Teoremas sobre funciones continuas 3.1 Derivada y continuidad

o

3.1.1 Clase de continuidad

 

4 Funciones continuas en espacios topológicos



5 Funciones continuas sobre los números ordinales



6 Véase también



7 Referencias o

7.1 Bibliografía

Funciones reales de una variable real[editar]

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha. El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe. El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.) El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Continuidad de una función en un punto[editar]

Definición de continuidad en un punto Una función f es continua en un punto x0 en el dominio de la función

si:

tal que para toda x en el dominio de la función:

Esto se puede escribir en términos de límites de la siguiente manera: Si x0 es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en x0 si y sólo si . Cuando x0 no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto. En el caso de aplicaciones de

en

, y de una manera más rigurosa se dice que

una función es continua en un punto x1 si existe f (x1), si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f (x) cuando x tiende haciax1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f (x1). Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:

1. existe el límite por la derecha:

2. existe el límite por la izquierda:

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

6. Existe f(x1):

7. El límite y el valor de la función coinciden:

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que

.

Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.

La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Continuidad lateral[editar]

Una función es continua por la izquierda en el punto si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura. Una función es continua por la derecha en el punto si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:

Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b) [editar] Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b] [editar] Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:

Algunas funciones continuas importantes[e ditar]

Funciones seno y coseno.

Las funciones polinomial es, trigonométricas: seno y coseno, las exponenciales y los logaritmos son continuas en sus respectivos dominios de definición. La parábola, como función polinómica, es un ejemplo de función continua a lo largo de todo el dominio real. En la gráfica se ve la función seno que es periódica, acotada y continua en todo el domino real, dado su carácter periódico, con ver uno solo de los ciclos es suficiente para

comprobar la continuidad, porque el resto de los ciclos son exactamente iguales.

Funciones definidas por intervalos[editar]

Artículo principal: Función

definida a trozos Las funciones definidas para distintos intervalos de x, puede ser discontinua en los puntos de cambio de intervalo, como por ejemplo: 

La Función parte entera de x, E(x), donde E(x) es el mayor número entero inferior o igual a x, tal que:

E(x) ≤ x < E(x) + 1. Su curva es una sucesión de segmentos horizontales a distintas alturas.

Esta función no es continua en los enteros, pues los límites a la izquierda y a la derecha difieren de uno, pero es continua en los segmentos abiertos (n, n+1) donde es constante. 

Otras funciones definidas por intervalos son:

Función escalón unitario Función signo

Funció n racion al[edita r]

Artículo principal:

Función racional Las funcione

s racional es son continua s en un intervalo adecuad o. Un ejemplo de esto es la función inverso de x:

Esta func ión es una hipé rbol a co mpu esta por dos tram os. x< 0 yx > 0. Co mo vem os, efec tiva men te es cont inua en todo eldo mini o

porq ue no está defi nida en x = 0. Si se exti end e el dom inio de la func ión aR (dán dole un valo r arbit rario a f(0)) la func ión será disc onti nua.

Te or em as so br e fu nci on es co nti nu as[ edit ar] Esto s son algu nos de los teor ema s más imp orta ntes sobr e func ione s cont inua s. 1. T e o r e

m a d e W e i e r s t r a s s : S i f e s c o n t i n u a e n

e n t o n c e s p r e s e n t a

m á x i m o s y m í n i m o s a b s o l u t o s . 2. T e o r e m a d e B o l z a n o : S i f e s

c o n t i n u a e n

y

y

, e n t o n c e s

t a l q u e

3. T e o r e m a d e l v

a l o r i n t e r m e d i o : S i f e s c o n t i n u a e n

y

e n t o n c e s

t a l q

u e

4. A c o t a c i ó n : S i f e s u n a f u n c i ó n s o b r e u n c o n j u n t o c o m

p a c t o e n t o n c e s , l a f u n c i ó n t i e n e u n m á x i m o o u n m í n i m o ( s

o b r e u n c o n j u n t o a b i e r t o s e t i e n e e l s i g u i e n t e c o n t r a e j e m

p l o l a f u n c i ó n

e s c o n t i n u a s o b r e

p e r o n o e s a c o t a d a ) .

Der iva da y co nti nui da d[e dita r] Las func ione s deri vabl es son cont inua s. Si una func ión es d eriv able en x = a en tonc es es cont inua en x = a. De mod o que la cont inui dad es una con dició n

nec esar ia para la deri vabil idad .O el conj unto de las func ione s deri vabl es es part e de las func ione s cont inua s.

[Expandir]Demostra

Es imp orta nte nota r que lo recí proc o no es válid o; es deci r que

nad a se pue de afir mar sobr e la d eriv abili dad de una func ión cont inua . Un eje mpl o clar o de esta situ ació n es la func ión valo r abs olut o f(x )= | x| q ue si bien es cont inua en todo su dom inio no es deri vabl e en

x= 0. Incl uso hay func ione s cont inua s en todo p ero no deri vabl es en ning ún punt o (las func ione s del mov imie nto bro wnia no v erifi can esto con prob abili dad 1). Sob re esto con sult ar C alcu lus de Spiv ak.

Clas e de cont inui dad[ edit ar] Una func ión , se dice que: 

e s d e c l a s e

c u a n d o e s c o n t i n u a e n t o d o

e l d o m i n i o . 

e s d e c l a s e

s i e s t á d e f i n i d a e n t o d o e l d o m

i n i o j u n t o c o n s u s d e r i v a d a s h a s t a o r d e n

y t o d a s e l l a s

s o n c o n t i n u a s . 

e s d e c l a s e

s i t i e n e d e r i v a d a s c o n t i n u a s

d e c u a l q u i e r o r d e n . O b s e r v e m o s q u e f u n c i o n e s d e e s t e t i p o

n o s o n n e r c e s a r i a m e n t e a n a l í t i c a s . 

U n a f u n c i ó n e s d e c l a

s e

s i e s l a d e r i v a d a e n e l s e n t i d o d e l a s d i s t r i b u c i o n e s

d e u n a f u n c i ó n d e c l a s e

. 

U n a f u n c i ó n g e n e r a l i z a d a s e d

i c e d e c l a s e

s i e s l a d e r i v a d a k é s i m a e n e l s e n t i d o d e l

a s d i s t r i b u c i o n e s d e u n a f u n c i ó n d e c l a s e

. Se pue de dar eje mpl os que mue stra n

que hay func ione s de clas e pero no lo son de clas e . Los eje mpl os clasi cos son .

Fu nci on es co nti nu as en es pa cio s to po lóg ico s[e dita r] Sea n e dos esp acio s topo lógic os. Una aplic ació n se dice que es c onti

nua si: es un abierto de , cualquiera que sea el abierto de . Esta es la continudad vista globalmente, la que sigue es la continuidad en un punto del dominio. E s t a d e f i n i c i ó n s e r e d u c e a l a d e f i n i c i ó n o r d

i n a r i a d e c o n t i n u i d a d d e u n a f u n c i ó n

s i s o b r e

y

s e

c o n s i d e r a l a t o p o l o g í a i n d u c i d a p o r l a d i s t a n c i a e u c

l í d e a . C o n l a m i s m a n o t a c i ó n a n t e r i o r , s i , d i r e m o s q

u e

e s c o n t i n u a e n

c u a n d o s e o b t i e n e q u e

e s u n e n t

o r n o d e

, c u a l q u i e r a q u e s e a e l e n t o r n o

d e

. E s " i n

m e d i a t o " e n t o n c e s c o m p r o b a r q u e

e s c o n t i n u a s i y s o l o

s i e s c o n t i n u a e n

, c u a l q u i e r a q u e s e a é s t e , e s d e c i

r , c u a n d o s e a c o n t i n u a e n c a d a u n o d e l o s p u n t o s d e

s u d o m i n i o .

F u n c i o n e s c o n t i n u a s s o b r e l o s n ú m e r o

s o r d i n a l e s [ e d i t a r ] E l t é r m i n o f u n c i ó n c o n t i n u a

e n l a p a r t e d e l a t e o r í a d e c o n j u n t o s q u e s e r e f i e r e

a l o s n ú m e r o s o r d i n a l e s t i e n e u n s e n t i d o d i f e r e n t e a l

r e f e r i d o a l a s f u n c i o n e s s o b r e e s p a c i o s t o p o l ó g i c o s .

C o n c r e t a m e n t e u n a f u n c i ó n F d e f i n i d a s o b r e l a c l a s e d

e l o s n ú m e r o s o r d i n a l e s

e s c o n t i n u a s i p a r a c a d a o r d i

n a l l í m i t e γ s e c u m p l e l a s i g u i e n t e p r o p i e d a d :

V é a s e t a m b i é n [ e d i t a r ] 

C l a s i f i c a c i ó n d e d i s c o n t i n

u i d a d e s 

L i s t a d e f u n c i o n e s m a t e m á t i c a s



D e r i v a c i ó n



C o n t i n

u o 

C o n t i n u i d a d u n i f o r m e

R e f e r e n c i a s [ e d i t a r ]

B i b l i o g r a f í a [ e d i t a r ] 

S e r

g e L a n g ( 1 9 9 0 ) : I n t r o d u c c i ó n a l a n á l i s i s M a t e m á t i c o , W i l

m i n g t o n D e l a w a r e . 

J a m e s R . M u n k r e s ( 2 0 0 2 ) : T o p o l o g í a , M a d

r i d .