Matrices.- Ejercicios Resueltos Sobre Ecuaciones Matriciales Y Matriz Inversa 685m36

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ECUACIONES MATRICIALES Y MATRIZ INVERSA EN FORMA MANUAL Y CON LA CALCULADORA CASIO fx 9860 GII SD 1) Sea M =

(−32 −14 )

Remplazando valores en

,yO=

(00 00)

. Sabiendo que

2

M −6 M + kI =O

M 2−6 M + kI =O , halle k

se obtiene:

(−32 −14 ) x (−32 −14 )−6(−32 −14 )+k (10 01)=( 00 00) Realizando los cálculos respectivos: 4+ 3 (−6−12

)(

)( )( )

−2−4 − 12 −6 + k 0 = 0 0 3+16 −18 24 0 k 0 0

12 −6 + k 0 = 0 0 (−187 −619 )−(−18 24 ) ( 0 k ) ( 0 0 )

(−50 −50 )+( k0 0k )=(00 00) (k0 0k )=(00 00)−(−50 −50 ) (k0 0k )=(50 05) k =5

Comprobación

(−32 −14 ) x (−32 −14 )−6(−32 −14 )+5( 10 01)=(00 00) En RUN-MAT

F1 1 Mgs. Mario O. Suárez I.

Digite 2

En n digite 2

Digite EXE

Exit

Repetir el proceso en Mat B para la matriz

(10 01) 2 Mgs. Mario O. Suárez I.

2) Sea la ecuación matricial

(13 25) x X=(10 −13 )

, donde X es una matriz cuadrada

de orden 2. Hallar la suma de los elementos de la diagonal de la matriz X (llamado también traza de la matriz) Remplazando valores se obtiene:

(13 25) x X=(10 −13 ) (13 25) x (ac bd )=( 10 −13 ) Realizando la multiplicación:

(3a+a+52cc

)(

)

b+2 d = 1 3 3b +5 d 0 −1

Formando sistemas de ecuaciones y resolviendo c=1 {3a+2 a+5 c=0

a=

| | | | 1 2 0 5

Δa 5−0 5 = = = =−5 Δ 1 2 5−6 −1 3 5

3 Mgs. Mario O. Suárez I.

| | | |

1 1 Δ c 3 0 0−3 −3 c= = = = =3 Δ 1 2 5−6 −1 3 5

d=3 {3 bb+2 +5 d=−1

b=

| | | | 3 2 −1 5

Δb 15+2 17 = = = =−17 Δ 5−6 −1 1 2 3 5

| | | |

1 Δd 3 d= = Δ 1 3

3 −1 2 5

=

−1−9 −10 = =10 5−6 −1

( )(

X = a b = −5 −17 c d 3 10

)

Traza=−5+ 10=5

4 Mgs. Mario O. Suárez I.

3) Sea

(

x A= 3 −2 −3

)

(a) Halle el valor de x para el cual no exista (b) Sabiendo que

A= A

−1

, halle

A−1

x

Solución: (a) A−1 el determinante debe ser cero, es decir, | A|=0

Para que no exista

Remplazando valores en | A|=0 se obtiene:

|

|

3 x =0 −2 −3

Resolviendo el determinante −9+2 x =0 ⇒ x=

9 2

(b) Remplazando en

(−23 −3x )= A

A= A−1

−1

(−23 −3x )=|A1|(−32 −x3 )

(

−3 1 3 x −3 −x 3 x −9+2 x = ⟹ = −2 −3 −9+ 2 x 2 3 −2 −3 2 −9+2 x

(

)

(

(

−3 3 x = 2 x−9 −2 −3 2 2 x−9

(

)

) (

−x 2 x −9 3 2 x −9

)

−x −9+2 x 3 −9+2 x

)

)

Igualando para formar las ecuaciones 5 Mgs. Mario O. Suárez I.

3=

−3 24 ⇒ 3 (2 x−9 )=−3⇒ 6 x−27=−3 ⇒ 6 x=−3+27 ⇒ 6 x =24 ⇒ x= =4 2 x−9 6

x=

−x 2 2 2 ⇒ x (2 x−9 )=−x ⇒2 x −9 x=−x ⇒2 x −8 x=0 ( ÷ 2 ) ⇒ x −4 x=0 ⇒ 2 x−9

x ( x−4 ) =0 ; x=0 ; x=4

−2=

2 16 ⇒−2 (2 x−9 )=2 ⇒−4 x +18=2⇒ 18−2=4 x ⇒ 16=4 x ⇒ x = =4 2 x−9 4

−3=

−3 ( 2 x−9 ) 3 3 ⇒−3 ( 2 x−9 )=3 ( ÷−3 ) ⇒ = ⇒ 2 x−9=−1 ⇒ 2 x=8 2 x−9 −3 −3

8 x= =4 2 Comprobación con la calculadora

(−23 −3x )= A (−23 −34 )= A

−1

−1

=

=

6 Mgs. Mario O. Suárez I.