Metodo Analitico De Suma Vectorial 6v5k4c

Método Analítico de Suma Vectorial

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL VALLEJO ALUMNA: TORRES REYES DIANA CITLALLI “FISICA” PROFESOR: ROBERTO LAGUNA LUNA “METODO ANALITICO DE SUMA VECTORIAL” VERANO 2009

Presentación. Con frecuencia sobre un cuerpo actúan diversas fuerzas con magnitudes, direcciones y puntos de aplicación diferentes. Las fuerzas que se intersecan en un punto común o que tienen el mismo punto de aplicación se denominan “fuerzas concurrentes”. Cuando tales fuerzas no son perpendiculares entre si, puede ser mas difícil calcular la resultante. Los vectores no siempre se ubican a lo largo de los ejes X o Y. El método analítico para sumar vectores es necesario para resolver este tipo de casos más generales. La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones. Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí. Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, j y k para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y, y z positivas, respectivamente.

CONTENIDO : Estrategia para resolver problemas de suma vectorial. 1.- Dibuje cada vector apartir del cruce de los ejes imaginarios X y Y de cada vector. 2.- Encuentre el de las componentes X y Y de cada vector 3.- Hallar la componente X del resultante, sumando las componentes X de todos los vectores. (Las componentes a la derecha son positivas y las que están a la izquierda son negativas). Rx = Ax + Bx + Cx. 4.- Encontrar la componente Y de la resultante sumando las componentes Y de todos los vectores. (Las componentes hacia arriba son positivas y las que van hacia abajo son negativas). Ry = Ay + By + Cy 5.- Determine la magnitud y dirección de la resultante a partir de los componentes perpendiculares Rx y Ry. R = ( Rx^2 + Ry^2)

Tan

= _Ry_ Rx

EJEMPLO: El primer MAS es la proyección sobre el eje X de un vector de longitud A1 que gira con velocidad angular ω 1. El segundo MAS es la proyección sobre el eje X de un vector de longitud A2 que gira con velocidad angular ω 2. El MAS resultante es la proyección sobre el eje X del vector suma vectorial de los dos vectores.

El módulo del vector resultante no tiene una longitud constante De forma vectorial lo expresamos como

su valor máximo es A1+A2 y su valor mínimo es A1-A2. Se dice entonces que la amplitud es modulada.

Cuando las amplitudes A1=A2 podemos expresar de forma más simple el MAS resultante x= x1+ x2=A1·sen(ω 1·t)+A1·sen(ω 2·t)

Esta ecuación nos dice que se trata de un MAS de frecuencia angular (ω 1+ω 2)/2 y de amplitud

En la figura, en color rojo se muestra la amplitud modulada A y en color azul el resultado x de la composición de los dos MÁS.

COMPONENTES DE UN VECTOR

Operaciones con vectores

EJEMPLO 3. 1.1. Suma de Vectores A menudo es menester sumar dos o más cantidades vectoriales y el proceso debe tener en cuenta los módulos de los vectores como sus direcciones. El vector suma es llamado resultante. Dos métodos son frecuentemente usados para sumar vectores: el método gráfico y el analítico. Empezaremos con el primero. 1.1.1. Suma Gráfica de Vectores El caso más sencillo corresponde a los vectores colineales. Entonces la suma es similar al simple caso de cantidades escalares. El módulo de la resultante es la suma de los módulos de los vectores que s e suman y los tres tienen la misma dirección como la muestra la figura 1.2.

Figura 1.2: Suma de dos vectores colineales Otro coso de frecuencia ocurrencia es el de vectores perpendiculares, como el ilustrado por la figura 1.3 que representa un automóvil que viaja 500 m en dirección este y 300 m en dirección norte. La distancia que lo separa de su punto de partida al final de la jornada se calcula mediante la ley de Pitágoras:

Figura 1.3: Suma de dos vectores perpendiculares En el caso general cuando los vectores no son ni colineales, ni perpendiculares como la figura 1.4, se aplica el mismo procedimiento que consiste empezar el segundo donde termina el primer vector, pero como el triángulo formado n o es rectángulo, es necesario hallar otros métodos para determinar la resultante, por ejemplo midiendo directamente, o utilizando el teorema generalizado de Pitágoras

Figura 1.4: Suma de dos vectores ni colineales ni perpendiculares

1.1.2. Suma de Vectores Mediante el Método Analítico Las componentes de un vector

en le plano x – y son dos vectores perpendiculares y paralelos a los ejes x y y respectivamente y que al sumarse dan como resultante el vector

. Sus módulos se escriben y

; en todos los c&a acute;lculos donde interviene el vector se puede usar sus componentes en su lugar. Para determinar las componentes de un vector que tiene un módulo A y forma un ángulo q con el eje x, se proyecta el vector sobre los ejes respectivos y el result ado es

Esto se puede apreciar en la figura (1.5) que muestra un vector con sus componentes.

Figura 1.5: Descomposición de un vector en sus componentes. Esto se puede fácilmente generalizar al caso tridimensional e incluso al caso n dimensional. Para sumar dos vectores analíticamente, se suma sus componentes para obtener las componentes del vector resultante. Este método se puede usar en la suma y otras operaciones con vectores en todas las situaciones. Su flexibilidad hace del método analítico el favorito en la mayoría de los casos. 1.4. Resta de vectores Para restar dos vectores se procede como en la suma pero entre uno y el inverso del otro:

La figura 1.6 ilustra este procedimiento: restar el vector

del vector

es buscar el vector

tal que

Figura 1.6: Resta de dos vectores: 2.1. Vector de desplazamiento (Regla del paralelogramo) Vamos a empezar por la cantidad vectorial más simple, el desplazamiento, que no es más que el cambio de posición de un punto a otro (Atención este punto puede ser un modelo que representa una partícula o un pequeño cuerpo que se traslada). El desplazamiento es un vector porque no solamente basta decir a qué distancia se movió sino en qué dirección. No es lo mismo salir de la puerta de casa y moverse 2 cuadras hacia la derecha que hacia la izquierda. El desplazamiento no es el mismo.

Un vector es un elemento que consta de: módulo (vector), dirección, sentido y punto de aplicación. La suma vectorial de vectores no sólo suma el módulo, suma también la dirección y sentido, obteniéndose un nuevo vector. La velocidad es una magnitud vectorial. Ejemplo: Una persona que camina con una velocidad de 5 Km/h en un tren que circula a una velocidad de 150 Km/h, es vista desde la estación con una velocidad de 155 Km/h. Podemos sumar vectores de dos maneras: matemáticamente o gráficamente. Supongamos que tenemos los vectores A = (4, 3) , B = (2, 5) . Para conocer el vector suma (A+B) sólo tenemos que sumar, respectivamente, las componentes X y las componentes Y: A+B = (4+2, 3+5) = (6, 8) Si tenemos más de dos vectores procedemos de la misma forma. Por ejemplo vamos a sumar los vectores A= (-1, 4) , B = (3, 6) , C = (-2, -3) y D = (5, 5): A+B+C+D = (-1+3-2+5, 4+6-3+5) = (5, 12) Para sumar vectores gráficamente utilizamos la llamada regla del paralelogramo:

Observa que la regla del paralelogramo es equivalente a unir el origen de un vector con el extremo del otro. Cuando tenemos más de dos vectores para sumar, es mejor hacer esto último.

INFORMACION REELEVANTE

PARAMETROS

Un vector es un elemento Rx que consta de: dirección, Ax sentido y punto de aplicación Bx Cx. Los vectores no siempre se Ry ubican a lo largo de los ejes Ay X o Y. By Cy El desplazamiento, que no es R más que el cambio de posición de un punto a otro Las fuerzas concurrentes son las que se intersecan en un punto común.

Tan

El vector suma es llamado Rx^2 resultante. La velocidad es magnitud vectorial.

una Ry^2

Para sumar vectores gráficamente utilizamos la regla del paralelogramo Un vector es un segmento orientado que tiene un punto A y un punto B.

FORMULAS

Rx = Ax + Bx + Cx.

Ry = Ay + By + Cy

R = ( Rx^2 + Ry^2)

Tan

= _Ry_ Rx

PREGUNTAS : 1.. ¿Que es un vector? 2.. ¿Que es suma vectorial? en le plano x – y son? 3.. ¿Las componentes de un vector 4.. ¿Para conocer el vector suma (A+B) que debemos sumar? 5.. ¿Cuáles son las 2 formas de sumar vectores? 6.. ¿Que es el desplazamiento? 7.. ¿ Para sumar vectores gráficamente que debemos utilizar? 8.. ¿Cuáles son los puntos que un vector puede tener? 9.. ¿Cómo se le llama al vector suma? 10.. ¿Dónde se intersecan las fuerzas concurrentes?

Al fin de determinar el valor de las componentes de manera analítica observemos que se forma un triangulo rectángulo al proyectar una línea hacia el eje de las X y otro al proyectar una línea hacia el eje de las Y. trabajaremos solo con el triangulo rectángulo formado al proyectar la línea hacia el eje de las X. las componentes perpendiculares del vector F serán: para Fx el cateto adyacente y par Fy el cateto opuesto al ángulo de 30º. Por lo tanto debemos calcular cuanto valen estos dos catetos; para ello, utilizaremos las funciones trigonometricas seno y coseno. Calculo de Fy: Sen 30º = cateto opuesto = Fy Hipotenusa F Despejemos Fy: Fy = F sen 30º = 40N x 0.5 = 20N Calculo de Fx: Cos 30º = cateto adyacente = Fx Hipotenusa F Despejemos Fx: Fx = F cos 30º = 40N x 0.8660 = 34.64N

PROBLEMA 2. Una forma de evidenciar la suma de vectores, es imaginarse una caja a la que se aplican dos fuerzas F1 y F2 de igual magnitud, una hacia el norte y otra hacia el este, respectivamente.

Obviamente, la caja se mueve en dirección noreste. Para hacer un análisis más formal, se deben sumar los vectores fuerza, utilizando el método gráfico explicado anteriormente.

La flecha roja indica la dirección en que se mueve la caja: considerando ahora que F2 se aplica en sentido sur, con los siguientes parámetros. En cada uno de ellos la flecha roja indica el sentido del movimiento.

PROBLEMA 3. Dados los vectores A igual a 10 m y forma un ángulo de 45° y el vector B igual a 24 m y forma un ángulo de 30°. Hallar la magnitud y dirección del vector suma resultante R = A +B. Para el vector A:

Ahora, se suman las componentes en X y en Y:

Aplicando el teorema de Pitágoras con los datos anteriores, se halla la magnitud del vector.

Y por último, se encuentra la dirección del vector, así:

PROBLEMA 4 Sumar los siguientes vectores por el método analítico de suma vectorial.. f1: 60 N 130º f2: 120 N -140º F1x = 60 * cos 130 = -38.5673 N F1y = 60 * sen 130 = 45.9627 N F2x = 120* cos(-140) = -91.9253 N F2y = 120 * sen (-140) = -77.1345 N Resultante: Rx = F1x + F2x = -38.5673 + (-91.9253) Rx = -130.4926 N Ry = F1y + F2y = 45.9627 + (-77.1345) Ry = -31.1718 N R = -130.4926 i -31.1718 j Módulo: | R | = raiz(130.4926 ^2 + 31.1718 ^2) | R | = Raiz (18000) = 134.164 N Ángulo = arctan(-31.1718 / -130.4926 ) + 180

Ángulo = 193.43 ° (Tercer cuadrante). Por Pitágoras (sólo el módulo): La diferencia en los ángulos es: 130 - (-140) = 270 equivalente a 90 grados. | R | = raiz ( f1^2 + f2^2) | R | = raiz (60^2 + 120^2) | R | = raiz (18000) = 134.1640787 N PROBLEMA 5 Merli quiere saber donde se encuentra, si ella quiere llegar a su casa. Conociendo que camina 13 km al este; cambiando de rumbo para luego caminar 19 km al este. Hallar el resultado grafico y analíticamente. DATOS V1 = +13 KM V2 = -19 KM

∑ VX = V1 + V2 ∑ VX = 13+(-19) ∑ VX = 13-19 =

-6 2.- Norma quiere saber si la nueva ruta que toma hacia su casa es más corta si camino 15 km. al norte después 10 al sur para de ultimo caminar 12 km. al oeste. ¿Calcularle la distancia o el punto donde Norma se encuentra? 15 km. al norte V1

10 km. al sur V2 12 km. al oeste V3 ∑ƒy = V1 + V2 ∑ƒy = 15 + (-16) ∑ƒy = 5 ∑ƒx = V3 ∑ƒy = .12 a2= b2 + C2 R= (Fy)2 = (Fx)2

R= (Fy)2 + (Fx)2 R= (5)2 + (-12)2 R= 25 + 144 R= 169 R= 13 km.

θ= Tan-1 Fy/Fx = tan-1 5/12= tan-1 0.4166= 22.61°.

BIBLIOGRAFIA: Fisica, Conceptos y aplicaciones. Paul E. Tipens QC21 .2 T55 2001 Mc: Graw Hill. .fortunecity.es/.../image003.gif http://www.educaplus.org/movi/1_4sumavector.html