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Módulo

Estrategias para la resolución de problemas aditivos (PAEV)

Módulo 2 Estrategias para la resolución de problemas aditivos (PAEV)

Estimado(a) profesor(a), te damos la bienvenida al segundo módulo de este curso virtual. En esta ocasión, queremos compartir contigo estrategias que facilitarán tu ejercicio profesional, de modo que descubras nuevas formas de ayudar a tus estudiantes en la resolución de problemas aditivos. Para iniciar, abordaremos algunas definiciones y clasificaciones claves para comprender este módulo; luego, responderemos algunas preguntas sobre la práctica docente en el aula, que nos permitan identificar nuestras oportunidades de mejora; finalmente, desarrollaremos problemas diversos que permitirán profundizar en la estructura aditiva y compartiremos algunas orientaciones para hacer más eficiente este trabajo con los estudiantes, en particular en segundo y cuarto grado de primaria.

- ¿Por qué hablar de problemas aditivos? - ¿Los problemas aditivos son los problemas de adición? - ¿Qué significa PAEV aditivos? Revisemos estos problemas: Juana compró plátanos y manzanas. Fueron 12 manzanas y una mano de plátanos. ¿Cuántas frutas compró Juana?

El problema que la profesora ha presentado a la clase es claramente un problema que podemos resolver mediante una adición, pues al ser frutas tanto manzanas como plátanos, nos piden la cantidad que se forma al juntar los dos tipos de frutas compradas. Es un problema de fácil comprensión, aun en una primera lectura; por ello, la elección de la estrategia a usar es sencilla.

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Veamos un segundo caso: Es muy probable que muchos necesitemos leer al menos dos veces lo que dice Ana, a fin de asegurarnos que hemos comprendido la relación que ella establece entre las edades de sus dos hijos (el hijo es menor que la hija por 5 años) y así poder dar con la respuesta: la edad de su hijo es 10 años. En este caso, muy probablemente, tengamos que emplear una sustracción para dar con la respuesta. Veamos un tercer caso: Tengo dos hijos. Mi hija tiene 15 años y mi hijo es 5 años más joven que mi hija. ¿Cuántos años tiene tu hijo?

Este problema tiene elementos muy parecidos al anterior; pero si leemos con atención, toda la información está en referencia directa a la hija, mientras que la pregunta es por la edad del hijo. Este simple pero importante hecho implica que comprendamos que el hijo es 5 años mayor que su hermana (deducción); establecida esta relación, podemos responder que la edad del hijo de Blanca es 20 años. Yo también tengo dos hijos. Mi hija, que también tiene 15 años, es 5 años más joven que mi hijo. ¿Cuántos años tiene tu hijo?

Todos los casos presentados están dentro de la clasificación de problemas aditivos, aunque al resolverlos empleemos operativamente una adición o una sustracción, y es porque la clasificación se hace sobre la base de las situaciones a las que hacen referencia, y en todos los casos son situaciones relacionadas con acciones de juntar, reunir, agregar, quitar o separar. La literatura sobre

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didáctica de la matemática nos dice que “problemas de estructura aditiva son aquellos que se resuelven con una operación de suma o de resta” (Castro, Rico y Castro, 1995, p. 37). En esta misma línea, autores como Vergnaud y Durand (2002) manifiestan que la estructura aditiva es “la capacidad que se tiene para identificar, comprender y abordar las situaciones en las que tiene aplicabilidad las operaciones de suma y resta”. Los problemas aritméticos elementales1 verbales (PAEV) que revisaremos en este módulo responden al enfoque semántico del enunciado2. Según Rutas del Aprendizaje 2015, los problemas PAEV que se trabajan en el III Ciclo son los siguientes: Grado

Tipo de problema

Primero

Segundo

1

1, 2

1, 2

1, 2, 3, 4

Combinación Cambio Comparación

1, 2

Igualación

1

1, 2

Los problemas PAEV para el IV Ciclo son los presentados a continuación: Problemas aditivos de una etapa de adición o sustracción Cambio (CA)

Combinación (CO)

Comparación (CM)

Igualación (IG)

Cambio 3 (CA3) Cambio 4 (CA4)

3° grado

Cambio 5 (CA5) Cambio 6 (CA6)

4° grado

Combinación 1 (CO1) Combinación 2 (CO2)

3° grado Con cantidades hasta de tres cifras

Comparación 3 (CM3) Comparación 4 (CM4)

3° grado

Comparación 5 (CM5) Comparación 6 (CM6)

4° grado

Igualación 1 (IG1) Igualación 2 (IG2)

3° grado

Igualación 5 (IG5) Igualación 6 (IG6)

4° grado

1 Se dicen elementales porque se trabajan durante la construcción y consolidación de la noción aditiva. 2 La semántica hace referencia al significado de las expresiones utilizadas en los enunciados verbales.

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Problemas aditivos de dos etapas en cuya solución interviene la adición o sustracción en forma consecutiva Problemas aditivos-sustractivos.

Problemas con la misma estructura

Los problemas iten 16 posibilidades. Por ejemplo, se pueden combinar problemas de

Repetida y las operaciones de (+, +) (-; -); (+, -) (-, +).

Cambio-cambio (CA, CA), Cambio-combinación,

3° grado

Tenemos 8 problemas de: (CA, CA); (CO, CO); (CM, CM); (IG, IG)

Cambio-comparación. Cambio-igualación Y en cada problema se dan 4 varianter referidos a las

Problemas donde se combina la estructura y también se combina las operaciones (+, +)(+, -) (-, +) (-, -). Así tenemos 16 problemas para cambio:

operaciones involucradas. Así en el problema de cambio-cambio hay 4 posibilidades de combinar las operaciones: (+, +) (-, +) (-, -).

(CA, CA) y la combinación de las dos operaciones: (+, +)(+, -) (-, +) (-, -). (CA, CO): (+, +) (+, -) (-, +) (-, -). (CA, CM): (+, +) (+, -) (-, +) (-, -). (CA, IG): (+, +) (+, -) (-, +) (-, -). 16 problemas para combinación: (CO, CO) y la combinación de las dos operaciones (+, +)(+, -) (-, +) (-, -). (CO, CA): (+, +) (+, -) (-, +) (-, -). (CO, CM): (+, +) (+, -) (-, +) (-, -). (CO, IG): (+, +) (+, -) (-, +) (-, -).

Problemas aditivo de dos o más etapas o de varias etapas Problemas donde se repite o se combina la estructura

Se combinan la estructura aditiva de tal manera que se repita, por ejjemplo: CA, CA, CA

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4° grado

4° grado

Antes de pasar al siguiente punto, será de mucha utilidad leer el siguiente extracto de la Guía Didáctica de Matemática Para Maestros, elaborada por el programa Edumat-Maestros de la Universidad de Granada en España, bajo la dirección del Dr. Juan Godino: Los niños van dando significado a la suma y la resta a través del planteamiento y resolución de las situaciones aditivas. Pero en un primer momento, el desconocimiento de la tabla de sumar y restar impide a los alumnos resolver estas situaciones mediante sumas o restas, necesitando recurrir al recuento. El hecho, constatado una y otra vez por medio del recuento, de que si tenemos tres objetos y añadimos dos más tendremos cinco objetos en total es lo que permite decir al niño, en una fase posterior y sin necesidad de recuento, que tres más dos son cinco. Ahora bien, el paso del recuento al conocimiento de las tablas no es inmediato, sino que es un proceso paulatino con etapas intermedias que, en el caso de la suma, detallamos a continuación: • Recuento de todos. El niño representa las dos colecciones de objetos de las que habla la situación mediante algún tipo de material (dedos, palotes, fichas, objetos diversos), las junta y lo vuelve a contar todo de nuevo. • Recuento de todos haciendo énfasis en el primer sumando. El niño recita los números hasta llegar al primer sumando (sin construir una colección de objetos que represente ese sumando) y continúa contando la colección de objetos que representa al segundo sumando. • Recuento de todos haciendo énfasis en el sumando mayor. Lo mismo que en el caso anterior, pero eligiendo como primer sumando el sumando mayor. • Recuento a partir del sumando mayor. El niño construye una colección de objetos que representa el sumando menor y la cuenta partiendo del sumando mayor. En el caso de la resta no nos encontramos con una secuencia de estrategias de recuento que evolucionan en el tiempo, pasándose de unas a otras, sino con estrategias de recuento diferentes en función de la situación que se propone y que pueden ser simultáneas: • Recuento de lo que queda. Se utiliza en situaciones de ETE (estado, transformación, estado) en las que al conjunto inicial se le quitan elementos. Consiste en representar mediante objetos el conjunto inicial, quitar los elementos que indica la transformación y volver a contar lo que queda. • Recuento hacia atrás. Se utiliza en las mismas situaciones que el caso anterior y consiste en contar hacia atrás desde el minuendo tantas veces como indica el sustraendo (representado mediante una colección de objetos, frecuentemente dedos). Esta técnica se utiliza poco por la dificultad que supone para los niños contar hacia atrás. • Recuento de la diferencia. En las situaciones de ECE (estado, comparación, estado) en las que la incógnita es el término de comparación, se construyen los

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dos conjuntos, se emparejan y se cuentan los objetos que quedan sin pareja. • Recuento desde el sustraendo hasta el minuendo. Se usa en las mismas situaciones que el caso anterior y consiste en contar desde el sustraendo hasta el minuendo llevando la cuenta con una colección de objetos (generalmente dedos) de las palabras que se dicen. Posteriormente, se cuenta la colección de objetos. Estas estrategias se superan cuando el niño memoriza las tablas o desarrolla técnicas mentales (cálculo de dobles, complemento a cinco o a diez, sumar en vez de restar, etc.) para obtenerlas con rapidez. Godino, J. (2004), pp. 197-198

Este texto resume de manera clara cómo progresa el estudiante en su formalización de la adición y sustracción. Describe cómo la primera aproximación para afrontar estas situaciones aditivas es concreta y, lo que es más importante, resuelve problemas aditivos sin la formalidad del algoritmo, pero sí con la comprensión de la noción aditiva. Luego, se apoya en el recuento más que en la manipulación y es la experiencia iterativa en este tipo de casos lo que le da el dominio conceptual y procedimental de lo que es la adición y la sustracción. Cuando enseñamos estas nociones matemáticas, debemos entonces empezar con problemas, con situaciones reales y de contextos cercanos que permitan al estudiante transitar por el camino descrito hasta la formalización operativa de la noción aditiva, valorando en el proceso sus construcciones, gráficos, simulaciones y demás heurísticas que pueda emplear para resolver cada caso propuesto: Empezar el cálculo sin sentido para pasar después de estas técnicas al mundo real es contrario a lo que sabemos de la manera de pensar de los niños (...) si uno de los fines de la enseñanza de la aritmética es capacitar a los niños para la resolución de problemas de la vida real hemos de animarles a tratar con problemas desde el primer día de entrar en clase. (Kamii, 1985)

Complementario a la lectura de Godino y al análisis hecho de la misma, tenemos el aporte de las investigaciones realizadas por Encarnación y Enrique Castro, bajo la dirección de Luis Rico, que nos señalan las principales dificultades que afrontan los estudiantes al resolver problemas aditivos: (…)

• Las dificultades aumentan a medida que aumentan los números. • Las sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo ofrecen menos dificultad que aquellas en las que el primer sumando es menor que el segundo.

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• Las sumas cuyos sumandos son pares son más sencillas que aquellas que presentan algunos de ellos impar. • El caso de tener los dos sumandos iguales, presenta menos dificultad que en cualquier otro caso.

Antes de continuar, hagamos una pausa para reflexionar e identificar qué aspectos de la progresión en la construcción de la noción aditiva revisados tomamos en cuenta en nuestra práctica docente y cuáles solemos obviar. Compartamos en el foro del curso qué aprendizaje nos está dejando el módulo para nuestra práctica en el aula.

Hemos revisado la clasificación de los PAEV aditivos y cómo estos se trabajan gradualmente en los diferentes grados. Es momento de centrarnos en responder preguntas como estas:

- ¿Cómo empezar a trabajar los PAEV aditivos? - ¿Hay casos más complejos que otros o dependen de las cantidades que se usen? Revisemos algunos PAEV para determinar su mayor o menor complejidad para los estudiantes. Luis tiene 6 camioncitos y José 8 trompos. ¿Cuántos juguetes tienen los dos juntos? Si los juntamos ¿cuántos juguetes habrá en total?

José, yo tengo 6 camioncitos. Yo tengo 8 trompos.

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Tipo de PAEV (información para el/la docente)

Combinación 1 (conocemos las partes, preguntamos por el todo)

Acción a realizar (respuesta que debe brindar el estudiante)

Juntar, unir, reunir

¿Qué estrategias puede usar el estudiante?3

• Usar materiales concretos que representen los dos tipos de juguetes. Empezar a contar los trompos (mayor cantidad) y luego realizar el conteo de los camiones (menor cantidad). • Marcar en una hoja palitos o puntos por cada trompo hasta llegar a 8 y seguir haciendo marcas y contando a continuación del 8 hasta completar los 6 camiones. • Empezar el conteo en 8 (cantidad mayor) y contar seguido hasta que sean seis más por los camiones (cantidad menor). • Sumar 8 + 6. 14 juguetes

Gráficamente se vería así 8 trompos

6 camiones

De acuerdo a lo revisado, hemos descrito en progresión las estrategias que podría utilizar el estudiante. Lo más probable es que si trabajas en segundo grado en estos momentos tus estudiantes ya hayan progresado en el uso de estrategias para la adición, y si aún no muestran progresos es porque necesitan mayor práctica de las estrategias previas (material concreto y recuento). Veamos otro caso y completemos la tabla: Carmen infló 28 globos para una fiesta. Minutos antes de empezar la fiesta, se reventaron 7. ¿Cuántos globos quedaron inflados?

3 Se dicen elementales porque se trabajan durante la construcción y consolidación de la noción aditiva.

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Docente, ¿qué tipo de PAEV es?

Cambio 2

Acción a realizar (propicia esta respuesta en tus estudiantes)

Quitar, reducir.

¿Qué estrategias puede usar el estudiante?

• Usar material concreto (estructurado o no estructurado) que represente los 28 globos y quitar el material que represente los globos que se revientan. Contar los que quedan o contar retrocediendo hasta llegar a 21. Responder el problema. • Representar gráficamente los 28 globos (como globos, círculos o puntos) y tachar los globos que se reventaron; finalmente, contar los que quedaron sin tachar, y responder. • Plantear una operación de sustracción (28 – 7) para responder finalmente.

Gráficamente se vería así

Los casos de combinación 1, cambio 1 y cambio 2 son las estructuras que resultan más sencillas de comprender y resolver para los estudiantes, pues presentan el valor incógnito como resultado final del proceso. Diversas investigaciones corroboran este hecho. Sigamos analizando el grado de complejidad de los PAEV aditivos. Veamos los siguientes casos: Juan tenía 13 figuritas. Su hermano le regaló algunas más, y ahora tiene 34. ¿Cuántas figuritas le regaló su hermano?

En el aula hay 27 estudiantes. Doce son niñas. ¿Cuántos niños hay?

Figura 1

Figura 2

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Completemos la tabla: Problema

Docente, ¿qué tipo de PAEV es? Acción a realizar (propicia esta respuesta en tus estudiantes)

¿Qué estrategias puede usar el estudiante?

Fig. 1

Fig. 2

Cambio 4

Combinación 2

Agregar

Separar

• Simular la situación descrita mediante el uso de material concreto (chapas, papel, etc.) para representar las figuras.

• Usar material concreto para representar a los estudiantes e ir descontando de los 27 a las 12 niñas.

• Representar con puntos las 13 cartas y agregar palitos de 5 en 5 hasta completar 34 en total. Contar los agregados y responder.

• Graficar las 12 niñas e ir aumentando con gráficos a los niños hasta llegar a 27; luego, contar los gráficos de niños (15) y responder el problema.

• Plantear la operación: 34 – 13 = 21

Gráficamente se vería así: Cambio 4

21 figuritas

Gráficamente se vería así: Combinación 2 15 niños

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Si se sigue la secuencia de hechos, veremos que el valor incógnito ya no es el final o el total. Este hecho significa para el estudiante un mayor grado de análisis de la situación; por ello, los PAEV aditivos de combinación 2, cambio 3 y cambio 4 son más complejos que los casos precedentes. De igual complejidad para los estudiantes resultan los siguientes casos: Observa el cartel y responde: ¿Cuántos metros más que el molle mide el eucalipto?

Altura de los árboles Ciprés ........... 5 metros Cedro .......... 4 metros Eucalipto ...... 10 metros Molle ............ 8 metros

Docente, ¿qué tipo de PAEV es?

Comparación 1

Acción a realizar (propicia esta respuesta en tus estudiantes)

Comparar para establecer diferencia.

¿Qué estrategias puede usar el estudiante?

• Usar las regletas de Cuisenaire para representar el eucalipto y el molle y contar las unidades que diferencian ambas regletas. • Graficar en su cuaderno líneas o barras que representen la medida de cada árbol (asumiendo una cuadrícula como 1 m) y establecer las cuadrículas que diferencian ambas medidas. • Plantear una sustracción de 10 – 8 = 2. Responder que el eucalipto mide 2 metros más que el molle. 10

Gráficamente se vería así

8

11

2

Ana tiene 11 fichas y Mariela tiene 6. ¿Cuántas fichas más tiene que ganar Mariela para tener tantas como Ana?

Docente, ¿qué tipo de PAEV es?

Igualación 1

Acción a realizar (propicia esta respuesta en tus estudiantes)

Comparar para igualar.

¿Qué estrategias puede usar el estudiante?

• Comparar uno a uno dos filas de botones en representación de las fichas de Ana y de Mariela. Completar con botones uno a uno la fila de Mariela hasta que sea de igual número que la de Ana. Contar los botones que agregó y responder. • Proponer la siguiente operación: 11 – 6 = 5. Responder que Mariela tiene que ganar 5 fichas para tener tantas como Ana.

Gráficamente, la primera estrategia se vería de la siguiente manera:

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Como hemos visto, los casos de comparación e igualación 1 y 2 son tan complejos para los estudiantes como los casos de combinación 2, cambio 3 y 4. Entonces, ¿qué casos son los más complejos de todo el grupo de PAEV? Los problemas de comparación 3 y 4 Los problemas de cambio 5 y 6 Los problemas de comparación e igualación 5 y 6

Es preciso mencionar que este orden de complejidad se cumple si los PAEV aditivos se presentan en su formato simple, es decir, casos que se pueden resolver en una sola etapa. Esta gradualidad de la complejidad de los PAEV varía si presentamos problemas de dos o más etapas o si se requiere usar más de una estructura de PAEV en un mismo problema. Recordemos, también, que usar cantidades grandes con estudiantes que aún no consolidan la formalización operativa de adición y sustracción, o incluso la noción de orden del sistema de numeración decimal, puede de por sí ser un obstáculo para su buen desempeño aun en las estructuras simples de los PAEV. Revisemos el caso de Rosa, quien debe planchar las 64 sábanas del hotel en el que trabaja. El lunes planchó 26 sábanas. ¿Cuántas le quedan por planchar el martes? Es muy probable que si realizas esta pregunta a tus estudiantes, ellos, al estar familiarizados con la estructura, te digan que deben quitar las 26 sábanas al total de 64 sábanas, con lo que resulta que para el martes tendrá 38 sábanas por planchar. Hasta aquí, este sería un PAEV aditivo de una etapa, pero veamos el problema formulado de la siguiente manera:

Rosa debe planchar las 64 sábanas del hotel en el que trabaja. El lunes planchó 26 sábanas. El martes llegaron 8 sábanas más para planchar. Ese día no pudo planchar. ¿Cuántas sábanas tendrá por planchar el miércoles?

Para responder la pregunta que se formula, debemos, primero, descontar el número de sábanas que plancha el lunes (26) y agregar a esa diferencia (38) el número de sábanas que llega el martes (8). Con ello, obtendríamos como

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respuesta que para el miércoles Rosa tendrá 46 sábanas por planchar. Este problema requirió de dos pasos u operaciones para dar con la respuesta. En casos como este, decimos que estamos ante un PAEV aditivo de dos etapas. Veamos otro caso:

Fernando está leyendo un libro de 50 páginas. El primer día leyó 13 páginas y el segundo día leyó 17 páginas. ¿Cuántas páginas le faltan leer para terminar el libro?

Docente, ¿qué tipo de PAEV es?

Combinación 1 y comparación Cambio 2 (dos veces) 1

Acción a realizar (propicia esta respuesta en tus estudiantes)

Juntar, comparar

¿Qué estrategias puede usar el estudiante?

• Coger 13 cuentas (1.er día) • Coger 50 cuentas o frijoles y y agregarle 17 más (2.° día). retirar 13 (por el 1. er día) y Luego, en el grupo de 50 luego 17 (por el 2.° día). cuentas, separar 30 (total • Esta misma secuencia a de páginas leídas). nivel operativo: • Esta misma secuencia a 50 – 13 = 37; 37 – 17 = 20 nivel operativo: 13 + 17 = 30; 50 – 30 = 20.

Quitar, separar

Descompone para quitar 13, le quedan: Gráficamente se vería así Ahora quita 17 (vuelve a descomponer) y le quedan:

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Antes de compartir estrategias que podrías usar en el aula con los estudiantes, queremos que ingreses al siguiente enlace: http://rpmatematicasegundoprim.blogspot. pe/2012/01/los-problemas-aritmeticoselementales.html

Hemos concluido con la presentación de los distintos casos de PAEV que puedes trabajar con tus estudiantes. En el siguiente punto, nos centraremos en el estudio de las estrategias que puedes emplear para orientarlos y, principalmente, en aquellas que podrían usar con más frecuencia. Esto te ayudará a responder preguntas como las siguientes:

- ¿Qué estrategias metodológicas debo seguir para ayudar a mis estudiantes a resolver PAEV aditivos? - ¿Qué estrategias puede usar el estudiante? - ¿Cuál es la mejor estrategia para resolver PAEV aditivos? Según el enfoque de matemática propuesto en Rutas del Aprendizaje y en el nuevo Diseño Curricular, se apuesta por trabajar en el área de Matemática con el Enfoque Centrado en la Resolución de Problemas. Este enfoque permite al estudiante aprender las nociones matemáticas a partir de situaciones que lo problematizan y hacen necesario en él o en ella el aprendizaje de la noción que deseamos que adquieran. En Rutas del Aprendizaje se propone que ante todo problema desarrollemos las siguientes etapas con los estudiantes: comprensión del problema, diseño o adaptación de una estrategia, ejecución de la estrategia y reflexión sobre el proceso de resolución del problema. Veamos cómo seguir estos pasos en el aula mediante el siguiente problema:

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Observa el cartel y responde: ¿Cuántas gallinas menos que patos hay en la granja?

Animales de la granja Cantidad de animales 8 7 6 5 4 3 2 1 0

gallina

conejo

pato

cuy

Animales

1. Comprensión del problema Esta fase es la más importante de todas, pues si el estudiante no logra comprender cuál es la dificultad planteada, qué datos son relevantes para la solución y qué relación existe entre los datos mostrados, no será capaz de proponer una estrategia válida. Se sugiere empezar con preguntas como estas: ¿Puedes contarme de qué trata el problema sin leerlo exactamente?; ¿existen datos que no serán necesarios usar en el problema?, ¿por qué?; ¿en qué animales debemos fijarnos para responder la pregunta del problema?, ¿por qué?; ¿qué animal existe en mayor cantidad?; ¿qué animal existe en menor cantidad?; ¿cuántas gallinas hay?; ¿cómo preguntarías lo mismo pero con otras palabras?

2. Diseño o adaptación de una estrategia Esta fase —si se desarrolló adecuadamente la primera— se puede recoger mediante lluvia de ideas y en dicha participación los estudiantes muestran entusiasmo, pues se sentirán con la confianza de saber cómo pueden resolver el problema, ya que habrán comprendido qué se pide y qué deben hacer. No obstante, si escuchamos alguna estrategia que sabemos no sería correcta, es

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bueno permitir que el propio estudiante descubra por qué no era adecuada y no decirlo nosotros. En este problema podrían surgir (entre otras) las siguientes estrategias: hacer comparaciones con material concreto, usar el modelo de barras para comparar, efectuar una operación aritmética.

3. Ejecución de la estrategia • Comparaciones con material concreto, haciendo correspondencias uno a uno: patos



1

2

Gallinas

• Comparaciones con el modelo de barras: 7 patos

2 5 Gallinas • Plantear una operación aritmética:

7–5=2 4. Reflexión sobre el proceso de resolución del problema En esta fase, además de verificar si la respuesta cumple con las condiciones del problema, se debe redactar la respuesta con las unidades correspondientes y revisar el proceso seguido, procurando encontrar (si es posible) una mejor estrategia que la utilizada. En estudiantes de primero a tercer grado, por lo general, la mejor estrategia se identifica cuando comparan sus procedimientos con los de otros(as) compañeros(as). Sin embargo, recordemos siempre que la mejor estrategia será aquella que el estudiante domine y que tenga sentido para él. Veamos otro caso:

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Alberto mide 115 cm y su papá mide 178 cm. ¿Cuántos centímetros debe crecer Alberto para ser tan alto como su papá?

1. Comprensión del problema Siempre partamos pidiendo que los estudiantes cuenten de qué trata el problema y qué pide, sin que lo lean. Incluso, podemos sugerirles que hagan una representación de los personajes del problema y así puedan explicar lo que han comprendido: un compañero podría representar a Alberto y otro al papá, y explicar la relación entre las dos estaturas. También, se pueden formular preguntas como estas: ¿Qué personajes nos presenta este problema?, ¿son ambos de la misma talla o estatura?, ¿quién es más alto?; por su estatura, ¿qué edad puede tener Alberto?

2. Diseño o adaptación de una estrategia Comprendido el problema, es decir, las relaciones que existen entre los datos presentados y qué se debe hallar, es sencillo proponer estrategias como las siguientes: igualación con modelo de barras y material base 10, igualación en la recta numérica, plantear una operación aritmética.

3. Ejecución de la estrategia • Igualación con modelo de barras y material base 10:

Alberto

178 cm

115 cm

¿?

115

63 178

Papá

18

Igualación en la recta numérica: 178 100

115

125

135

145

155

165

175

• Plantear una operación aritmética:

178– 115 63

4. Reflexión sobre el proceso de resolución del problema En esta fase, el estudiante revisa su proceso y verifica que la respuesta cumpla con las condiciones del problema, además, debe redactarla y acompañarla con las unidades correspondientes. Se debe propiciar la socialización de distintas estrategias, a fin de que los estudiantes descubran aquellas que son más óptimas y que comprendan plenamente. Es importante mencionar que los nombres de estas estructuras aditivas no son materia de información para los estudiantes, es decir, no es pertinente indicar que están trabajando problemas de igualación o de cambio, y si son del tipo 2 o 3. Esta clasificación solo es importante para ti como docente, porque es parte del conocimiento didáctico que debes tener. A continuación, proponemos otros casos en los que te orientamos con modelos de estrategias que podrían usar tus estudiantes.

1. Claudia tenía varios lápices. Regaló 3 a su hermano y ahora tiene 14. ¿Cuántos lápices tenía Claudia?

19

Tipo de PAEV

Cambio 6

N.° de etapas

Una etapa • Comprensión del problema

¿Conocemos la cantidad inicial de lápices de Claudia? ¿Qué hizo Claudia con los lápices que tenía? ¿Antes tenía más o menos de 14 lápices?

• Diseño o adaptación de la estrategia

Empezar por el final.

• Ejecución de la estrategia Secuencia de resolución del problema

Representa los 14 lápices (con material concreto, los dibuja o escribe en cifras) y agrega los 3 lápices que Claudia regaló a su hermano; luego, cuenta el total (si trabajo con material concreto o gráfico) o suma si trabajó con adición.

• Reflexión sobre el proceso de solución

Revisa su procedimiento y confirma su respuesta: Claudia tenía 17 lápices. Explica su procedimiento a la clase y escucha el de otros(as) compañeros(as). Responde si de las estrategias de sus compañeros(as) hay alguna que le parezca mejor que la que usó.

Esquema de la estrategia de empezar por el final, con cubinúmeros:

2. En un establo hay 34 animales, entre gallinas, vacas y cerdos. Si son 15 gallinas y 8 vacas, ¿cuántos cerdos hay? Tipo de PAEV

Combinación 2

N.° de etapas

Dos etapas

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• Comprensión del problema

¿Qué tipos de animales hay en el establo? ¿La cantidad de qué animales se conoce? ¿Importa para la solución del problema saber si son más cerdos que gallinas o que vacas? ¿Por qué?

• Búsqueda de la estrategia

Operaciones aritméticas

• Selección de la estrategia Secuencia de resolución del problema



Forma a: 15 + 8 = 23; 34 – 23 = 11



Forma b: 34 – 15 = 19; 19 – 8 = 11



Forma c: 34 – (15 + 8) = 34 – 23 = 11

• Visión retrospectiva

Redacta su respuesta indicando que hay 11 cerdos en el establo y comprueba que la suma de los tres tipos de animales da 34. Se socializan las tres formas operativas y expresa sus dudas con preguntas en cada caso; quizá opta por la forma c4.

Los seres humanos han desarrollado tres sistemas paralelos para procesar la información y para representarla: uno, por medio de la manipulación y de la acción; otro, por medio de la organización perceptual y el manejo de imágenes; y otro, por medio del aparato simbólico. (Bruner, 1966, p. 28).

En esa misma línea, en las rutas de aprendizaje se expresa lo siguiente: “Las ideas matemáticas adquieren significado cuando se usan diferentes representaciones y se es capaz de transitar de una representación a otra, de tal forma que se comprende la idea matemática y la función que cumple en diferentes situaciones” (Rutas del aprendizaje 2015: III ciclo, IV ciclo y V ciclo, pág.26).

4 Esta selección dependerá del grado del estudiante (usualmente, 5.° grado o más) y del dominio operativo que posea.

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Por consiguiente, se debe plantear al estudiante actividades que se inicien con la manipulación y la acción; luego, pasar a las actividades de percepción visual, de graficar; y, finalmente, actividades que lleven a la formulación de operaciones simbólicas. Para el aprendizaje de cada nueva noción matemática, se debe respetar esta secuencia de actividades. Determinar el tiempo que estas deben durar dependerá del desarrollo de los estudiantes. Lo cierto es que la evidencia sostiene que cuanto más se tenga la posibilidad de experimentar y manipular, más rápido se irá transitando de un estadio a otro, pues en la experimentación de un problema se empieza a construir la noción matemática. En esta línea, Castro (1995) refiere los siguientes resultados en los estudios sobre dificultades en la iniciación de la resolución de problemas aditivos: • Para los primeros grados es indispensable presentar los problemas con materiales concretos (estructurados o no estructurados) o mediante dibujos. Recordemos que se encuentran en una fase predominantemente concreta de su aprendizaje. • La extensión del enunciado o la complejidad de su redacción, así como la posición de la pregunta, son variables que explican la dificultad del problema para el estudiante. Se sugieren redacciones cortas de sujeto y predicado, evitando los condicionales en los primeros años de primaria. • El tamaño de los números y la presencia de simbología formal incrementa la dificultad del problema, pues son lenguajes que aún están en construcción para el estudiante. • La relación entre el orden de aparición de los datos en el enunciado y el orden en que deben ser colocados a la hora de realizar con ellos una operación formal son también un factor de dificultad. Es decir, los estudiantes tienden a operar con los datos en el orden en el que son presentados, lo que además comunica que no hay una comprensión del problema. Pongamos en práctica los criterios revisados y analicemos las actividades que se proponen en el siguiente texto de 4.° grado de primaria.

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4. Resuelve las siguientes situaciones. a. De Brasil se han importado 734 816 vacunas contra la Fiebre Amarilla y 184 736 vacunas de Hepatitis B de Estados Unidos. ¿Cuántas de estas vacunas se han importado? b. Una empresa casta al año S/. 323 670 en pagar salarios. S/. 178 200 en pago de servicios y S/. 250 090 en mantenimiento de la maquinaria. ¿Cuánto gasta en total?

• ¿Qué estructuras aditivas de los PAEV se presentan? - En ambos casos se trata de problemas aditivos de combinación 1. • ¿Cuántas etapas tiene cada actividad? - Ambos problemas son de una etapa, pues aunque en el segundo caso haya tres sumandos, todo puede resolverse con un mismo proceso operativo: la adición. • ¿Dónde consideras que está la complejidad de estas actividades para el estudiante? - Las estructuras que abordan son las más sencillas según lo que reportan las investigaciones. La dificultad no es de los problemas en sí, sino de las cantidades que se deben sumar (son cantidades de varios dígitos). • ¿Te parecen actividades apropiadas para 4° grado? ¿Por qué? - Considerando que trabajan las estructuras aditivas más simples de comprender y que solo se agrega dificultad por el tamaño de los números que plantean, no son actividades demandantes para estudiantes de 4° grado de primaria, pues no apelan a la comprensión de la estructura aditiva, sino a desarrollar un algoritmo con números grandes. Este tipo de problemas se consideran de baja demanda cognitiva.

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Analicemos una actividad más, también de un texto de 4.° grado de primaria: 3. Completa los esquemas y resuelve. a. Paola tiene 24 años. Ella tiene 13 años más que Hilda. ¿Cuántos años tiene Hilda?

c. Liz tiene S/. 800. Tom tiene S/. 200 menos que Liz. ¿Cuánto dinero tiene Tom?

13

11 Hilda

Hilda tiene

Paola

años.

Tom tiene S/.

a. Renzo tiene 45 años y es 30 años mayor que su hijo. ¿Cuántos años tiene su hijo? Su hijo tiene

.

d. Bruno tiene S/. 5 000, que. son S/. 1 000 mas que los que tiene Diego. ¿Cuánto dinero tiene Diego? años.

Diego tiene S/.

.

• ¿Qué estructuras aditivas de los PAEV se presentan? - Actividad a:

Comparación 3

- Actividad b:

Comparación 3

- Actividad c:

Comparación 4

- Actividad d:

Comparación 3

• ¿Qué estrategia has estructurado para que sea usada por los estudiantes? - En cada actividad, el estudiante debe usar el modelo de barras como estrategia de solución. • ¿Estas actividades permiten desarrollar las fases de resolución de problemas? ¿Por qué?

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- Tal como se presenta cada actividad, no da oportunidad para una real comprensión de cada caso, y es más evidente aún que no permite proponer una estrategia de solución al estudiante, pues ya brinda una estructura a seguir. Este es un típico caso en el cual una estrategia no algorítmica, sino heurística, como el modelo de barras, es reducida a un mecanismo, lo que no ayuda a que el estudiante desarrolle su pensamiento matemático ni su capacidad para resolver problemas. • Lo más propicio sería presentar situaciones y problematizarla, como la que muestra el cuaderno de trabajo de cuarto grado:

Fiesta del Corpus Christi en Cusco 4 de junio de 2015

Cusco. un año más en la plaza de Armas de Cusco y las personas se congregaron para celebrar la fiesta del Corpus Christi. Se congregaron en la plaza 2 305 personas, pero si se hubieran congregado 1 295 personas más, se habría igualado la cantidad de personas que asistieron el año pasado. ¿Cuántas personas asistieron el año pasado?

Este es un problema de Igualación 5, el ámbito numérico alcanza hasta las unidades de millar. El cuaderno de trabajo propone:

a. Comenta, ¿qué datos permiten resolver el problema? Subráyenlos en la noticia. b. Elaboren un esquema y resuelvan con apoyo del material Base Diez. El año pasado asistieron

.

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• Antes de la pregunta de los datos, que debe responder el estudiante, es conveniente que ustedes propongan: Que los estudiantes les cuenten la situación descrita sin mencionar ninguna cifra, esto con la intención de destacar que la cantidad que asistió este año es menor a la cantidad que asistió el año pasado, pues se dice que si hubieran asistido una cantidad más de personas, serían tantos como el año anterior. • Si de primera intención no expresan esta relación, intenta con las preguntas: ¿este año asistieron más o menos personas que el año pasado? ¿Cuántas personas asistieron este año? ¿Qué cantidad de personas igualaría los asistentes de este año con los del año pasado? • Luego de esas preguntas, recién podrías pedir que completen lo que solicita el cuaderno de trabajo, pues habrás cumplido con la fase más importante en la solución de problemas: La comprensión. El cuaderno de trabajo sugiere usar el material base 10, con la finalidad de seguir afianzando la construcción del orden en el SND; sin embargo, se sugiere que luego animes a los estudiantes a buscar y usar otra estrategia y socializarlas en clase. Es muy probable que tus estudiantes opten por una estrategia operativa al tratarse de cifras grandes.

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Referencias bibliográficas Castro, E., Rico, L., & Castro, E. (1995). Estructuras aritméticas elementales y su modelización. Bogotá: Grupo editorial Iberoamérica. Godino, J., & otros. (2004). Didáctica de las matemáticas para maestros. Universidad de Granada. Facultad de Ciencias de la Educación. Recuperado de: http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ Kamii, C. (1985). El niño reinventa la Aritmética. Madrid: Visor. Ministerio de Educación del Perú. (2013). Rutas del Aprendizaje. Fascículo 1, III Ciclo. Dirección de Educación Básica Regular. Lima: Autor. Ministerio de Educación del Perú. (2014). ¿Cómo mejorar el aprendizaje de nuestros estudiantes en Matemática? Informe para el docente. Unidad de Medición de la Calidad Educativa. Lima: Autor. Nesher, P. (1999). El papel de los esquemas en la resolución de problemas de enunciado verbal. Suma, N.° 31, pp. 19-26. Recuperado de: http:// revistasuma.es/IMG/pdf/31/019-026.pdf Nesher, P., & Katriel, T. (1977). A semantic analysis of adition and subtraction word problems in arithmetic. En Nesher, P., & Katriel, T. Educational Studies in Mathematics (pp. 251-269). doi: 10.1007/BF00385925 Puig, L., & Cerdán, F. (1988). Problemas aritméticos escolares. Madrid: Ed. Síntesis.

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