Movimiento Relativo 2b84w

Movimiento relativo Arturo Talledo Fuente: Alonso-Finn

MOVIMIENTO RELATIVO TRASLACIONAL El observador O describe el movimiento de la partícula P por el vector posición r y otro observador O´ por el vector posición r´. La relación entre ambas descripciones es:

Z Z  R O

Y

X

O X

P  r

 r

Y

   r  Rr

MOVIMIENTO RELATIVO TRASLACIONAL El observador O describe el movimiento de la partícula P por el vector posición r y otro observador O´ por el vector posición r´. La relación entre ambas descripciones es:

   r  Rr Derivando con respecto al tiempo miembro a miembro tendremos:

   v V  v    a  A a

MOVIMIENTO RELATIVO TRASLACIONAL UNIFORME En el caso particular que V = constante y que V = Vi

Z

Z

O

 R

Y

X

O X

 r

P

 r

Y

   r V t  r

x  x  V t y  y´ z  z t  t´

A estas 4 ecuaciones se les llama transformaciones de galileo

Esquema de movimiento relativo según Alonso-Finn

Prob 1. Un río tiene un ancho de un kilómetro. La corriente es de 2 km/h. Determinar el tiempo que le tomaría a un hombre remar un bote directamente a través del río y regresar. Comparar esto con el tiempo con el tiempo que le tomaría a un hombre remar un kilómetro aguas arriba y regresar. El hombre siempre rema el bote con una velocidad constante de 4 km/h.

Prob 2. Dado un sistema de coordenadas fijo con respecto a tierra (asumir que la tierra es plana y sin movimiento). Considerar un proyectil con una velocidad de 240 m/s disparado desde la cola de un avión que se mueve con la velocidad de 210 m/s. Describir el movimiento de la bala: (a) en el sistema de coordenadas fijo a tierra (b) en el sistema de coordenadas fijo al avión ( c) calcular el ángulo con el cual debe dispararse el proyectil de modo que su velocidad respecto a tierra no tenga componente horizontal.

Prob 3. La posición de una partícula Q en un sistema de coordenadas O está medido como: r

(6 t

2



 4 t ) i  (3t 3 ) j  3 k m

(a) Determine la velocidad relativa constante del sistema O` con respecto a

O si la posición de Q es medida como:

r 

(6 t

2



 3 t ) i  (3t 3 ) j  3 k m

(b) Demostrar que la aceleración es constante en ambos sistemas.

PROB 4: O y O´ son dos estudiantes que se encuentran en la misma estación. O está parado en la vereda y O´ en el interior de un bus. En un instante que llamamos t = 0, O` suelta una esferita de una altura de 2 metros y en ese mismo instante el bus parte con aceleración constante 5 i m/s2 respecto a O. (a)Según el estudiante O, ¿cuáles son las ecuaciones que describen la velocidad y posición de la esferita? (b)1 punto) Según el estudiante O´, ¿cuáles son las ecuaciones que describen la (c )velocidad y posición de la esferita? (d) (3 puntos) Repita las partes a y b de este problema considerando que la bolita (e) no es soltada por O´ en el instante t = 0 (f) ino en el instante t = 1 segundo, cuando el bus ya estaba en marcha.

PROB 5: La velocidad del sonido según O es 358m/s. Encontrar la velocidad del sonido según O´ que se mueve a 90 km/h respecto de O

MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONAL UNIFORME Si el sistema de referencia OX´Y´rota con velocidad angular constante

iˆ  cos  iˆ  sen  ˆj

Y

yι

ˆj

ˆj   sen  iˆ  cos  ˆj

ˆj 

xι

θ

iˆ θ O

iˆ

X

d iˆ    sen iˆ  cos  ˆj  dt d ˆj    cos iˆ  sen  ˆj  dt

MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONAL UNIFORME

d iˆ    sen iˆ  cos  ˆj  dt d ˆj    cos iˆ  sen  ˆj  dt

Y

yι

ˆj ˆj 

d iˆ   ˆj  dt

xι

θ

iˆ θ O

iˆ

X

d ˆj    iˆ dt

MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONAL UNIFORME

d iˆ   ˆj  dt d ˆj    iˆ dt

Y

yι

ˆj ˆj 

d iˆ   kˆ  iˆ dt

xι

θ

iˆ θ O

iˆ

X

d ˆj   kˆ  ˆj dt

MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONAL UNIFORME

 r  x iˆ  y ˆj  r  x iˆ  y ˆj Y

yι

 r

ˆj ˆj 

P

 dxˆ dy ˆ v i j dt dt

xι

θ

iˆ θ O

iˆ

X

  d x ˆ d y ˆ v  i  j dt dt

MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONAL UNIFORME

 r  x iˆ  y ˆj Y

yι

 r

ˆj ˆj 

 dxˆ dy ˆ v i j dt dt

P xι

θ

iˆ θ O

iˆ

X

  d x ˆ d y ˆ v  i  j dt dt

  d r d  ˆ  ˆ x i  y j  v  dt dt

MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONAL UNIFORME   d x ˆ d y ˆ v  i  j dt dt Y

yι

 r

ˆj ˆj 

  d r d  ˆ  ˆ x i  y j  v  dt dt

P xι

θ

iˆ θ O

iˆ

X

 d r d x d y d iˆ d ˆj   v  iˆ  ˆj   x  y dt dt dt dt dt

MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONAL UNIFORME   d x ˆ d y ˆ v  i  j dt dt

 d r d x d y d iˆ d ˆj   v  iˆ  ˆj   x  y dt dt dt dt dt

d iˆ   kˆ  iˆ dt

d ˆj   kˆ  ˆj dt

  v  v   kˆ  x iˆ  yˆ  ˆj 

    v  v r

MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONAL UNIFORME

    v  v r  d vx ˆ d v y ˆ a i j dt dt   d vx ˆ d vy ˆ a  i  j dt dt

    dv dv  d r a   dt dt dt

MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONAL UNIFORME

    dv dv  d r a   dt dt dt

  d r        v  ω  r  dt d v d v a     v +   r d t dt

MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONAL UNIFORME

d v d v a     v +   r d t dt

 dv  d iˆ d ˆj  a   vx  vy dt dt dt  dv     a     vx iˆ    vy ˆj dt d v  a    v dt

d iˆ   kˆ  iˆ dt d ˆj   kˆ  ˆj dt

MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONAL UNIFORME

d v d v a     v +   r d t dt

d v  a    v dt

     a  a  2  v  ω  ω  r 

MOVIMIENTO RELATIVO ROTACIONAL UNIFORME

 r  x iˆ  y ˆj  r  x iˆ  y ˆj Y

yι

 r

ˆj ˆj 

P

    v  v r

xι

θ

iˆ θ O

iˆ

X

     a  a  2  v  ω  ω  r 

Aceleración de Coriolis

Aceleración Centrípeta

PROB 5: Un estudiante que está de fijo a tierra inmediatamente fuera del borde  de una mesa rotatoria que rota con velocidad angular suelta una esferita de una altura de 2m. Calcular: a)la aceleración de la partícula en el sistema rotante. b)La posición de la partícula en el instante que cae sobre la mesa



Considere que:

 ˆ   k, 10

g  -10kˆ,

r0  2mi

MOVIMIENTO RELATIVO A LA TIERRA

     a  a  2  v  ω  ω  r 

     a  g 0  2  v  ω  ω  r  Aceleración de Coriolis

Aceleración Centrífuga

también

     a  g 0  2  v  ω  ω  r 

Identificación de un punto en la superficie terrestre, latitud Cualquier punto de la superficie de la tierra se identifica con un paralelo y un meridiano. PN

P



PS

Observador rotando con la tierra



 PN

  r 

PS

    r  RT cos

Observador rotando con la tierra



 PN

        r 

  r 

PS

Efectos de la aceleración centrífuga Cuando la velocidad de los cuerpos que se mueven cerca de la superficie de la tierra es pequeña, la única diferencia entre el sistema fijo y el sistema rotante es la aceleración centrífuga.



 PN

        r 

 g0

   a  g 0  ω  ω  r 

  r 

Aceleración Centrífuga

 ω  ω  r    2 RT cos PS

 ω  ω  r   3,34 102 cos

aceleración centrífuga en el hemisferio norte Nótese que el vector aceleración centrífuga está en el plano del meridiano. Se puede descomponer en una componente radial y en una componente norte sur





 ω  ω  r    2 RT cos

 ω  ω  r radial   2 RT cos2 

PN

         r 

 g0

 opuesta a g 0

  r 

       r NS   2 RT cos  sen 

PS

hacia el sur

aceleración centrífuga en el hemisferio sur Nótese que el vector aceleración centrífuga está en el plano del meridiano. Se puede descomponer en una componente radial y en una componente norte sur





 ω  ω  r    2 RT cos

PN

 ω  ω  r radial   2 RT cos2   opuesta a g 0

 g

       r  



0

  r PS

     r NS

  2 RT cos  sen hacia el norte

MOVIMIENTO RELATIVO A LA TIERRA

EFECTOS DE LA ACELERACIÓN DE CORIOLIS

aceleración de coriolis en el hemisferio norte Consideremos un cuerpoen el hemisferio norte que cae en la dirección radial,  entonces los vectores  y v están en el meridiano. Luego:









  2ω  v  hacia el este

 2ω  v   2vsen(90  )   2ω  v   2vcos

PN

    2  v

v

PS

aceleración de coriolis en el hemisferio sur Consideremos un cuerpo en el hemisferio sur que cae en la dirección radial,   entonces los vectores  y v están en el meridiano. Luego:





  2ω  v  hacia el este

PN

 2ω  v   2vsen(90  )  2ω  v   2vcos







v

   2  v PS

DESVIACÓN DE UN CUERPO QUE CAE

Debido a ambos efectos: Coriolis y aceleración centrífuga, un cuerpo que cae en el hemisferio norte se desvía hacia el sur este. El cuerpo que cae en el hemisferio sur se desvía hacia el noreste

aceleración de coriolis en el hemisferio norte Consideremos un cuerpo en el hemisferio norte que se mueve en un plano horizontal ,







 PN

N

S



E

PS

aceleración de coriolis de un cuerpo que se mueve horizontalmene en el hemisferio norte HACIA A DERECHA

aceleración de coriolis en el hemisferio sur Consideremos un cuerpo en el hemisferio norte que se mueve en un plano horizontal ,



 PN





 N





E 90  

S

PS

aceleración de coriolis de un cuerpo que se mueve horizontalmene en el hemisferio sur HACIA LA IZQUIERDA

Remolinos de vientos

Péndulo de Foucalt

Problema 6 Suponga que por un sistema de rieles elevados de 1,6m de largo fijo a tierra se desplaza un carrito con una velocidad de 0,05 m/s d un extremo del riel al otro. Debajo de los rieles se encuentra una mesa circular rotatoria dispuesta de modo que el eje del sistema de rieles coincide con un diámetro de la mesa. Si la velocidad angular de la mesa respecto a u eje perpendicular que pasa por su centro es    / 16 rad/s , dibuje la trayectoria del carrito observada por un observador O´ fijo a la mesa rotatoria.

Problema 7 Calcular la desviación que experimenta un cuerpo que se suelta a una altura h y experimenta caída libre a)Debido a la aceleración de coriolis b)debido a la aceleración centrífuga.