Piaget, Jean 3a2368

22) A hora bien, en el plan o de la lógica de las proposiciones, esta regla vuelve a encontrarse en su form a prenum érica en el cálculo de la doble negación ( regla de M o rg a n ) : “es falso que sea falso = es verdadero”, o bien “lo contrario de lo contrario’r son, por ejem plo, relaciones que todo sujeto norm al com prende a p a rtir del nivel de las operaciones formales. — A hora bien, estos hechos no sólo prueban con to d a evidencia el carácter activo y no perceptüal del núm ero negativo, sino que adem ás verifican incluso la hipótesis de carácter tam bién operatorio del núm ero positivo. En efecto, sería inisible atrib u ir a la percepción de colecciones de objetos el origen de los números positivos, es decir, considerarlos como “abstraídos” a p a rtir de estos objetos, puesto que la ausencia de esta percepción no constituye u n im pedim ento p a ra la formación de los números negativos. Sin duda, esta percepción de las colecciones num eradas desem peña u n papel en cuanto a la facilidad intuitiva de la acción y, en consecuencia, en cuanto a la tom a de conciencia del núm ero positivo y, en este sentido, podemos estar de acuerdo con d ’Alembert, pero las facilidades intuitivas no se confunden con las coordinaciones de la acción y la tom a de conciencia no es la construcción puesto que a veces invierte su orden genético. El descubrim iento histórico tardío del núm ero negativo respecto de la utiliza ción ta n prim itiva, no sólo del núm ero positivo, sino adem ás de las opera ciones inversas que constituyen, en la acción, el equivalente anticipado de los números negativos, no confirm a pues en absoluto el empirismo, o el “sensualismo” : conduce sim plem ente a disociar, desde el p unto de vista

puf,

39 Véase Piaget: Les notions de mouvemeiit y de vitesse chez l’enfant. París, 1946, cap. i.

del desenvolvimiento de la historia de las ideas y desde el de la construcción psicogenética, el papel respectivo de los factores de representación y coordinación presentes en la acción operativa, así como su tom a de con ciencia o su form ulación reflexionada. Sin duda, se po d ría sostener sim ple m ente que el núm ero positivo apareció m ucho antes que el n ú m ero negativo porque es m ás fácil generalizar u n a operación directa que su inversa. Sin em bargo, esta explicación sigue siendo equívoca, porque no h ay operación que sea en sí m ism a inversa: por ejemplo, sería legítimo considerar q u e la separación o sustracción son la operación directa y la reunión o adición su inversa, y así sucede en efecto en u n universo rigurosam ente continuo. Si se em plea el lenguaje contrario y si la sucesión histórica de los descubri m ientos reflexivos se inauguró con el del núm ero positivo, es p orque la tom a de conciencia del m ecanism o de las acciones procede de la periferia al centro y comienza por concentrarse en los objetos sobre los que se ejerce la acción m ás que en sus diversas fases: por lo tanto, resulta más fácil, en el dom inio de lo discontinúo, razonar acerca de los objetos reunidos que sobre el acto mismo de la reunión, y así se explica la prim acía del núm ero positivo puesto que esta representación periférica que facilita la tom a de conciencia n o está presente en las colecciones separadas o negativas. E n resum en, más aún que el núm ero positivo, el núm ero negativo da testim onio de la propiedad operatoria del n ú m e ro : no se puede abstraer de los objetos su p ropia exclusión, corno uno se im agina — si sólo se tiene en cuenta el resultado exterior de la acción de reunir— que puede extraerse de las colecciones ya constituidas su pluralidad positiva. El núm ero nega tivo aparece pues como el modelo de la abstracción a p a rtir de la acción y no del objeto, y esta conclusión confirm a lo que ya nos enseñaron los enteros positivos. Sin em bargo, m ás aún que el núm ero negativo, h ay un núm ero que, de por sí, hubiera podido servirnos como criterio decisivo: se tra ta del núm ero cero, que proporciona el prototipo a la vez de una tom a de conciencia tardía y de u n a imposible abstracción a p a rtir del objeto. E n efecto, constituye uno de los grandes descubrimientos d e la historia de la m a tem ática haber convertido al cero en un núm ero, ya que si el cero lógico ( “ninguno” ) es, sin duda alguna, ta n viejo, como el-lenguaje mismo (y quizás incluso el “no” h a precedido siempre al “sí” ) , fue necesario vencer las mismas dificultades p a ra poder tom ar conciencia del cero arit m ético que en el caso del núm ero negativo. A hora bien, la causa de estas dificultades aparece aquí m uy claram e n te: si la tom a de conciencia se rem onta de la periferia al centro, la últim a de sus etapas consistirá segura m ente en observar que una ausencia de operación sigue siendo un a opera ción. E n tan to se h a buscado el núm ero en el objeto, la sucesión d e los núm eros comenzó, en consecuencia, por 1. T ran sfo rm ar al cero en el prim ero de los núm eros consiste, po r el contrario, en ren u n ciar a abstraer estos núm eros a p a rtir del objeto (el cero lógico basta p a ra expresar su ausencia) y extraerlos únicam ente a p a rtir de las operaciones; y toda operación aditiva com puesta con su inversa culm ina entonces en esta opera ción fundam ental que es la ausencia de toda operación, es decir, la “opera ción idéntica” 0.

N Ú M E R O FR ACCIONARIO Y EL N U M E R O IRR A CIO N A L. Como e l núm ero negativo, el núm ero fraccionario presenta el problem a de las rela ciones entre la acción operatoria y la representación perceptüal y, en consecuencia, entre las dos clases de abstracciones, a p a rtir de la acción o a partir del objeto mismo. Si bien h a aparecido m ás tard e que el núm ero entero positivo, el núm ero fraccionario tam bién vio favorecida su form ación por consideraciones perceptuales fundadas, en este caso, en el fracciona miento de los objetos continuos y los conjuntos discontinuos. E n efecto, la im portancia de la repartición fue decisiva p a ra su descubrim iento y la preponderancia atribuida a m enudo a la partición de los objetos continuos —po r ejemplo u n campo o u n a torta— h a conducido a algunos autores a atribuir al núm ero fraccionario u n origen más espacial que p uram ente aritm ético, y (lo cual no es en absoluto lo m ism o) m ás perceptüal que operatorio. Se tra ta pues de exam inar cómo la consideración de la relación entre las partes en el interior de un mismo todo h a im puesto el concepto de núm ero fraccionario: ¿es en virtud de coordinaciones operacionales a n á logas a las que acabamos de ver obrar en la construcción del núm ero entero positivo o negativo? o bien ¿ la intervención de la percepción y la represen tación intuitiva aparece, en este caso, como siendo necesaria en u n sentido que im plica la abstracción a p a rtir del objeto? E n u n interesante fragm ento de sus Etapas, L. Brunschvicg se opone al esfuerzo realizado por R iquier p a ra justificar la independencia de los fundam entos aritméticos del núm ero fraccionario respecto de las conside raciones físico-aritméticas: “ P ara nosotros, la aritm ética de los números enteros ya es u n a disciplina físico-aritmética, y ello le otorga su valor de ciencia.- A p a rtir de entonces, si queremos conservar este valor, debemos m antener en el dominio de las fracciones el mismo orden de conexión que en el dominio de los núm eros enteros, y concebir que a las transform aciones m entales efectuadas sobre las expresiones fraccionarias corresponden las transformaciones efectuadas sobre las cosas” .40 . R esulta claro que si se entiende por “físico-aritm éticas” l&s operaciones susceptibles de “efectuar transformaciones sobre las cosas” , nos adherim os a la doble tesis de Brunschvicg acerca de la continuidad entre el núm ero entero y el núm ero fraccionario y el carácter operatorio de este tipo de números. Pero no hay porque deducir a p a rtir de ahí que los núm eros fraccionarios se abstraen de los objetos físicos — puesto que consisten en acciones y opera ciones ejercidas sobre estos objetos y, po r lo tanto, se los extrae del m eca nismo de la acción— ni tam poco que la experiencia física es semejante a la operación m atem ática. P or más insensibles que sean las transiciones entre las dos clases de conocimientos, la experiencia física se inicia cuando —además de las operaciones extraídas de la coordinación general de las acciones— interviene u n a abstracción a p a rtir del objeto mismo: el conocimiento físico supone, en efecto, un conjunto de acciones espe ciales, que ya no se lim itan a reunir o separar, en h acer corresponder por asociaciones o en dividir, etc., es decir, en utilizar los aspectos más

i0 L. Brunschvicg: Les étapes de la pjiilosophie niathématique, 2* ed., pág. 492.

generales y la coordinación m ism a de las acciones, sino que se refieren a las cualidades particulares (velocidad, tiem po, fuerza, etc.) que dis tinguen a los objetos como tales. Desde este p u n to de vista, resulta evidente que el núm ero fraccionario sigue siendo, como el núm ero entero, relativo a la coordinación operatoria y no hace intervenir p a ra n ad a estas acciones especiales. N o por ello es m enos cierto que, en el caso de los núm eros fraccionarios así como en el caso de los enteros positivos y negativos, la tom a de con ciencia que h a condicionado la evolución histórica del concepto se concentró, en prim er lugar, en las representaciones perceptuales o im aginadas antes de descubrir el elem ento propiam ente activo .y operatorio que constituye el verdadero m otor de esta generalización del núm ero. P o r ello, se h a atribuido tan a m enudo el origen de los núm eros fraccionarios, por u n a parte, a la experiencia física del fraccionam iento (opuesta a la acción de rep artir) y, por la otra, a consideraciones num éricas: de donde ia hipótesis acerca d e que el núm ero fraccionario es la resultante de preocupaciones espaciales m ás que numéricas. El argum ento m ás frecuentem ente em pleado, en favor del origen espacial de las fracciones, es que la u nidad num érica es indivisible y que sólo las unidades m étricas son divisibles en tanto la m edición se aplica al continuo espacial y al de los objetos físicos. A hora bien, esta cuestión de la divisibilidad de la u n id a d plan tea precisam ente u n problem a genético interesante en cuanto a las relaciones de la m edición espacial y del núm ero y que dom ina, en consecuencia, la problem ática del origen del núm ero fraccionario. E n efecto, como volveremos a verlo en el capítulo 2, sucede que la m edición presenta un m odo de form ación estrictam ente com parable al del núm ero, y ese paralelism o constituye por o tra p arte de por sí un argum ento de peso en favor de la interpretación defendida en el p u n to 6. Todos estarán de acuerdo en itir que la constitución de la unidad m étrica es la resultante de u n a síntesis operatoria entre la partición y el desplazam iento: m edir u n todo m ediante u n a de sus partes consiste en desplazar sucesivamente sobre las otras la p arte elegida corno unidad, de tal modo que se asegure u n a sucesión de igualaciones p o r congruencia, y se reduzca así el todo m edido a u n m últiplo de la unidad reiterada. A hora bien, se percibe de inm ediato que la partición representa, en el terreno de las cantidades continuas, el equivalente de la adición de los elem entos en el dom inio de las clases encajadas, y que el desplazam iento sucesivo equivale por su p arte a la seriación en el dom inio de las relaciones asimé tricas, E n efecto, así com o pueden reunirse, de modo contiguo y dicotómico, objetos discontinuos en clases y estas clases elem entales en clases de orden superior, etc., según la estructura de los “agrupam ientos” cualitativos (o “intensivos” ) descriptos en los puntos 3 y 6, así se p ueden adicionar entre sí los elementos finitos de u n continuo obtenidos por simple partición (por ejem plo los segmentos de u n a re c ta ), y constituir pares contiguos que se encajan cualitativam ente según la m ism a estru ctu ra (A -f- A ’ = B; B -j- B’ = C, etc.). Y a sean encajes de clases elem entales en clases de

rango progresivo, o bien reuniones de partes contiguas en totalidades de orden creciente, se tra ta de dos clases de operaciones semejantes y que aparecen, en el niño, al mismo nivel genético. L a ú n ica diferencia es que el producto de la prim era de estas dos operaciones es u n a clase de elementos discontinuos y el producto de la segunda es u n objeto sin interrupción; entonces el entorno reem plaza a la sem ejanza que constituye el principio d e formación de las clases: puede llam arse “lógico” al prim er conj unto de operaciones que tom an al objeto com o p u n to de partida y culm inan en la clase, e “infralógico” al segundo tipo que culm ina en la construcción del objeto como p unto de llegada y procede de sus elementos o partes. Asimismo, la seriación de las relaciones asim étricas constituye u n “agru p am ien to ” de operaciones lógicas, que conserva el orden (directo o inverso) en tre los elementos seriados, m ientras que el desplazamiento aparece genéticam ente como siendo, en prim er lugar (es decir anterior m ente a to d a m edición), un cambio de orden o em plazam iento, es decir, una operación infralógica constitutiva de un nuevo orden. A bordado bajo este ángulo cualitativo, el sistema de los desplazam ientos tal como lo construye el niño que no puede aú n realizar m edición alguna, constituye entonces, él tam bién en prim er lugar, una simple agrupación cualitativa. A hora bien, a l utilizar al mismo tiempo la partición y el desplazamiento, el sujeto conseguirá igualar (por congruencias concretas) u n a p arte d ad a con las otras partes de un mismo todo y reducir así el todo a u n múltiplo de la u nidad elegida, exactam ente del mismo m odo com o obtiene el número por fusión del encaje de las clases con la seriación de las relaciones asimé tricas : la m edición aparece entonces genéticam ente de la m ism a m anera que el núm ero, y las dos construcciones son sem ejantes en todos sus aspectos salvo uno: u n a es de carácter lógico-aritmético y la o tra infralógico. ¿ E n qué se convierten entonces las cuestiones de la divisibilidad de la unidad y del origen de los núm eros fraccionarios? E l análisis genético p ro porciona, en este sentido, tres clases de resultados. E n prim er lugar, no es cierto que el concepto de fracción se descubra en el terreno infralógico de los objetos continuos antes de que se lo descubra en el de los conjuntos discontinuos de carácter lógico-aritm ético; estas dos clases de fracciones se construyen sin duda sim ultáneam ente. En efecto, al nivel de las opera ciones concretas, la unidad sigue siendo relativa a la realidad enum erada o m edida, de tal modo que en presencia de algunas bolitas o fichas, puede concebirse la unidad tanto como la colección m ism a (el “m o n tó n ”, etc.) o com o el objeto individual: el niño concebirá entonces ta n fácilmente las fracciones simples de la m itad ( 1 / 2 ) , el cuarto o incluso el tercio si decide dividir la colección en dos m itades, en cuatro cuartos, etc., como si se tratase de las dos m itades o los cuatro cuartos de u n a torta. Y si logra de por sí en ambos casos com prender fácilm ente estas fracciones a cierto nivel de desarrollo, las dificultades serán las mismas en los niveles anteriores y te n derán (tam bién en ambos casos) a una incom prensión de las relaciones entre la p a rte fraccionada y las otras, así como entre ella y el todo: “la m itad de la m itad” provocará por ejemplo las mismas oscilaciones

iniciales en el caso de la torta que en el caso de la colección que se h ab rá de repartir, porque se carece de u n esquem a de encajes y com paraciones entre las partes mismas. E n segundo lugar, aun en los casos en que la noción de fracción aparece en el terreno de los objetos continuos y del espacio antes de aplicarse a las colecciones num éricas, el estrecho isomorfismo entre las operaciones iníralógicas y las operaciones lógico-aritméticas, por lo tan to entre la form ación de la m edición y la del núm ero, suprim e to d a oposición epistemológica entre la fracción m étrica y la fracción n u m é rica: am bas suponen el m ism o pasaje entre la acción, acom pañada de intuición p e r ceptual, y la operación reversible concreta y, en ambos casos, la relación expresada po r el fraccionam iento sólo es u n a generalización de las o p era ciones que conform an el núm ero (ya se presente el núm ero como u nidad m étrica o como unidad sim p le). E n tercer lugar, toda diferencia entre las operaciones iníralógicas y lógico-aritm éticas desaparece en el plano form al, y las dos clases de op era ciones se traducen entonces en form a de proposiciones y las relaciones de partición, desplazam iento y m edición se reducen, en el hecho m ism o, a relaciones lógicas o lógico-m atem áticas como las restantes. E n realidad, se puso de manifiesto, en el plano form al, la hom ogeneidad com pleta del núm ero fraccionario y el núm ero entero a través de la teoría de los pares desarrollada por W eierstrass y am pliada a los núm eros complejos por H án k e l: en este esquema, todo núm ero puede representarse p o r u n p a r y ya no existe distinción alguna entre los núm eros fraccionarios y las otras categorías de números. El descubrim iento del núm ero irracional planteó, en u n a form a nueva, el problem a de la oposición ap aren te y el isomorfismo real entre las op era ciones aritm éticas y las operaciones geométricas. E l descubrim iento de esos núm eros — resultado del desarrollo, generalm ente atrib u id o a Teodoro de C irena, de las raíces de enteros que no son potencias perfectas, o bien de la com probación de la inconm ensurabilidad de la relación entre el lado y la diagonal de los cuadrados (en u n cuadrado de lado 1, p o r ejem plo, la diagonal es en virtu d del teorem a de Pitágoras y 2 que es inconm en su rable)— estuvo, como todos sabemos, en el p u n to de p artid a de la crisis del pitagorismo. H ubo que proclam arse el divorcio entre las rela ciones num éricas simples y las relaciones espaciales elem entales: la conti nuidad de esas relaciones espaciales parecía ser irreductible a los núm eros enteros, así como a las fracciones “racionales” —este térm ino señala bas ta n te bien el juicio de valor en nom bre del cual se considera que ú n ica m ente ciertas relaciones agotan la p ropiedad del núm ero— . L a crisis sólo culm inó, en realidad, con el análisis infinitesimal, en prim er lugar, y, en particular, con la doble construcción —geom étrica y aritm ética— de lo continuo. Por u n a parte, W eierstrass proporcionó sim ultáneam ente la expresión del continuo geom étrico y la dem ostración de que los núm eros racionales no pueden corresponder térm ino a térm ino al conjunto de los núm eros reales, porque los primeros- son insuficientes p ara lle n ar el intervalo entre dos núm eros cualesquiera. P or otra parte, D edekind y C an to r anali

zaron el continuo geom étrico m ediante el método de los cortes y los encajes convergentes, y definían en cam bio paralelam ente los núm eros irraciona les, el prim ero m ediante cortes análogos y el segundo m ediante las series cuyos límites son estos núm eros irracionales. Por o tra p arte, sabemos que los números irracionales tienen m últiples propiedades: unos son “algebrai cos” , otros son “trascendentes” , como los números -x y e, cuya significa ción geom étrica conocemos y que no son las raíces de ecuación algebraica finita alguna (por ello, corresponden a los casos previstos p o r Abel y Calois según los cuales las raíces de u n a ecuación entera no son la resultante de simples combinaciones alg eb raicas). E n consecuencia, se acepta concluir que — aun cuando los núm eros irracionales hayan podido ser la resultante de consideraciones geom étricas y, en particular, cuando se ha construido el continuo aritm ético, posible gracias a ellos, p ara que pueda coincidir con el continuo espacial—■ los números irracionales corresponden a un a construcción autónom a. Constituyen entonces el punto de unión entre las operaciones que, genéticam ente, provieneh de ios dos dominios paralelos de lo infralógico y lo lógico-aritm ético e incluso a través de esta función dan u n testimonio del isomorfismo de las construcciones numéricas y las construcciones espaciales. E n resumen, como los núm eros fraccionarios, los núm eros irracionales verifican en realidad la independencia y el paralelismo entre las operaciones aritm éticas y geométricas, au n cuando este paralelism o se presente al comienzo como ausente en el caso de los segundos, m ientras que surge de entrada en el caso de los prim eros (y aunque en am bos casos se hay an podido encontrar objeciones a esta in d epen d en cia). D esde el punto de vista genético, este mismo equilibrio alcanzado por dos sistemas operacionales, independientem ente de las circunstancias que dieron lugar a los descubrimientos o que m otivaron las tom as de conciencia, m uestra de m odo suficiente hasta qué p u n to la coordinación operacional se libera de los objetos a los que se refiere en el p u n to de partida, porque es la resultante de las acciones del sujeto en oposición a los datos perceptuales o las in tu i ciones imaginadas. 10. Los N Ú M E R O S C O M P L E J O S , L O S C U A T E R N IO N E S Y L O S O PE R A D O R ES. Con la construcción de los núm eros imaginarios o complejos, contraria m ente al caso de los núm eros negativos, fraccionarios e irracionales, ya conocido desde la antigüedad, abordam os un a generalización del núm ero que, de entrada, adquirió u n a form a operacional, sin intervención inicial de las contingencias sensibles o incluso geométricas. El problem a consiste entonces en precisar el sentido de estas puras operaciones: ¿h an p erm a necido en el estado de simple simbolismo formal, o bien se reúnen, pero esta vez a posteriori y en consecuencia de m odo imprevisible al comienzo, con las consideraciones geométricas o incluso físicas? El concepto de núm ero im aginario y '- l — aplicación de la operación de extracción de raíz cuadrada a los números negativos (generalización im puesta entre otros motivos p o r la solución’ de las ecuaciones de segundo g ra d o )— proporciona el modelo de una “experiencia m ental” ap aren te

m ente sin objeto alguno, puesto que no existe cuadrado negativo, o puesto que el núm ero negativo no es u n objeto excluido o sustraído del dominio de experiencia considerada. L a experiencia m ental, a la que recurren los em piristas como prueba de la sumisión del espíritu a lo real, es en efecto aquí lo mismo que hemos visto en el casó de la construcción del núm ero entero: la reproducción m ental de u n a acción o ú n a operación, indepen diente de los caracteres del objeto al que se refiere, y no la reproducción d e u n a realidad independiente del acto, puesto que precisam ente el núm ero im aginario com enzó sólo por constituir el esquem a de u n a operación sin objeto. Por cierto, este esquema constituye la prolongación, ’ en lo virtual, de operaciones que en su origen son reales, pero ¿cóm o un a acción, real en su p unto de p artid a, como lo es la extracción de la raíz (caso p articular de la división) puede prolongarse sin objeto de aplicación alguno, si desde este mismo comienzo la operación sólo consiste en algo yuxtapuesto al objeto y no extraído o abstraído de ios objetos? ¿y si entonces el esquema operatorio fu era un esquem a de asimilación (siendo ésta por definición una adjunción al objeto) y no u n a simple acom odación? C uando la física aplica a otra escala (m ayor, o m ás p eq u e ñ a), los conceptos resultantes de u n a abstracción de las cualidades observadas en nuestra escala, esta ex tra polación ilegítim a conduce a to d a clase de dificultades (tiem po absoluto que puede aplicarse a grandes velocidades, concepto de corpúsculos p er m anentes no aplicable a la escala microfísica, etc.) : precisam ente se trata entonces de abstracciones a p a rtir del objeto que no p ueden utilizarse fuera de su contexto de observación. Si la extracción de la raíz cu ad rad a es la resultante de u n a abstracción del mismo tipo que la de u n a cualidad física extraída de la experiencia, su empleo se convierte sim plem ente en un absurdo cuando se va más allá de los límites de lo real. Como genera lización de u n a acción que añade sus efectos al objeto y que, en conse cuencia, puede dejarlo de lado, el símbolo \ / - l es, en cam bio, totalm ente inteligible, así com o lo es el símbolo -|~ 1. Por más “im aginario” que sea el núm ero i = \ / -1, que efectivam ente no proporciona solución real alguna en tanto raíz de u n a ecuación, significa que i~ = — 1. “Sin duda, no es contradictorio hacer que esta proposición se apoye en u n a convención arb itraria. Sin em bargo, quedaría aú n por explicar, como señala p ro fu n dam ente L. Brunschvicg, cómo la can tid ad — 1, resultante del producto de los dos símbolos (i X ¿), pudo identificarse con ¡a can tid ad — 1 que, p a ra nosotros, es el resultado n atu ra l y verdadero de u n a operación como 1 — 2, sin que esta identificación haya com prom etido el equilibrio y la hom ogeneidad del sistema de la ciencia” (Etapas, pág. 543). A hora bien, W eierstrass y D edekínd m ostraron que la existencia de los núm eros com plejos es necesaria p a ra que el álgebra alcance toda su extensión; en cam bio, Gauss los introdujo en la teoría de los números. Se constituyó así u n álgebra de los núm eros com plejos, de form a (a + bi) que conserva las leyes de ccnm utatividad y com pleta necesariam ente al álgebra ordinaria. Sucede algo sorprendente: esta operación sin objeto en su punto de p artid a, el núm ero im aginario, no sólo se incorporó de m odo más estrecho

al sistema de las operaciones aritm éticas v algebraicas referidas a los con juntos de objetos, sino tam bién adquirió una significación geométrica que interviene en el interior de las operaciones que conform an al objeto mismo puesto que la estructura del objeto es, en prim er lugar, espacial. M ás allá de la geometría, intervino incluso, a través del cálculo de vectores y cuaterniones en la construcción de los “operadores”, cuyo empleo se generalizó luego y se reveló como fundam ental p ara la física moderna. P or lo tanto, puede decirse que lo “im aginario” se h a reunido con le real, com o si un sistema de operaciones realizadas sin objeto alguno hubiera constituido un esquema operatorio susceptible de aplicarse ulteriorm ente a las particularidades de los objetos ignoradas p o r las operaciones reales, iniciales. E l principio de la geom etría analítica consiste, todos lo hemos ap ren dido en la escuela, en expresar m ediante núm eros positivos las distancias trasladadas a lo largo de u n a recta fija en uno de los dos sentidos de orientación, y en expresar m ediante números negativos las distancias tras ladadas en sentido contrarío. Lo esencial de la representación geométrica del carácter positivo o negativo de los números consiste pues en que traduce el núm ero en form a de direcciones; y los números, independientem ente de sus signos, representan longitudes. A hora bien, a fines del siglo xvn Wallis ya h ab ía propuesto que se representasen las raíces imposibles o “fingidas” — como se decía en aquel entonces— , de una ecuación cu ad rática pasando fuera de la recta sobre la que se hubieran trasladado los valores de estas raíces si ellas hubieran sido reales. Resulta entonces que, p ara dos ejes rectangulares, las cantidades se suceden durante u n a rotación en el sentido positivo (opuesto al de las agujas de un reloj) en la serie; 1; V - l ! —■1; —■V '!■ “E n esta serie — dice P. G. T a i t 41 (u n alumno de H a m ilto n ) —• cada uno de los términos es deducido a p a rtir del precedente al m ultiplicar este últim o por el facto r V - l . Tenem os así el derecho de concluir que \ / - l es un operador, cuya aplicación opera de m an era análoga a la de u n a manivela que h aría girar u n ángulo de 90 grados en el sentido positivo; todo segmento de recta pasa entonces por el origen y debe moverse en el plano x y” (pág. 2 ). Se com prueba con sorpresa que la operación sin objeto, específica del símbolo de las raíces im aginarias, u n a vez repre sentada én términos de cantidades situadas “fu era” de u n a recta dada, se puede asimilar a la acción de u n a manivela que h aría g irar esta recta. Desde el punto de vista genético, la operación inicial, v acía de todo conte nido, casi podría com pararse con esos esbozos em brionarios que culminan antes de término en la form ación de u n órgano, que sólo en tra rá en funcio nam iento mucho más tarde, a lo largo de la vida de un ser organizado. H ay algo más. Después de los trabajos de M oivre, A rgand, 'Warren y Servois, H am ilton consiguió generalizar el uso geom étrico de la expre41 P. G. Tait: Traite élémentaire des quaterñions. Trad. Plarr. París, GauthierVillars, 1882.

sióñ'' V " 1• M ientras sus predecesores eligen una dirección particular del espacio p a ra representar las cantidades reales y llam an im aginarias a las direcciones orientadas fuera de la prim era, H am ilton consigue to rn ar im agi narias “todas las direcciones sin excepción alguna” (T a it, loe. cit.. pág. 7 ), lo cual equivale a volver geom étricam ente homogéneas estas direcciones y perm ite constituir u n m étodo de cálculo independiente de los ejes de las coordenadas. Se tra ta del cálculo de los cuaterniones, que equivale a m ultiplicar dos birradiales (o relaciones entre dos vectores que tienen un origen com ún), y que se aplica así sobre un conjunto de cuatro términos, uno real y tres imaginarios (Q = Qo + Q i ¿i + Qa ia + Q 3 Í3) ■ U n vector es un símbolo que representa u n a recta de cierta longitud y cierta dirección (lo cual im plica entonces tres n ú m ero s), uno de los dos vectores paralelos puede considerarse como m últiplo del otro p o r u n factor numérico (la relación entre sus longitudes con . signo -j- ó — según que tengan o no el mismo se n tid o ); si no son paralelos, el m ultiplicador necesario p ara o perar el cam bio de uno a otro depende entonces de cuatro números. Este cálculo de los cuaterniones, seguido por el cálculo de la extensión de G rassm ann, presenta, como este últim o, el carácter sorprendente de liberarse de la regla de conm utatividad propia de la m ultiplicación ordinaria (puesto que la adición esférica no es conm utativa, tam poco puede serlo la m u lti plicación de los b irrad iales). Constituyen así una nueva álgebra más com pli cada que la de los números complejos. A hora bien, tanto este fenóm eno de no conm utatividad de estas formas de cálculo, como el carácter de operadores específico de los cuaterniones y de m uchas otras estructuras cuya construcción fue posterior a ellos, ejercieron una im portante influencia sobre el desarrollo de la física, puesto que hoy las álgebras no conm utativas se em plean en microfísica y los operadores y m atrices desem peñan u n papel considerable en la expresión de las leyes cuánticas (véase capítulo 7, en el p u n to 4 ). L a microfísica contem poránea se alim entó entonces en las estructuras operatorias cons truidas desde hacía ya m ucho tiempo, y de ellas tomó un conjunto de conceptos preparados por los m atem áticos y cuya génesis, contem poránea de la teoría de los grupos, m ucho le debe a las álgebras generalizadas por la influencia de los núm eros complejos. Sin embargo, el núm ero im aginario no sólo interviene en los operadores microfísicos: está presente en cualquier transform ación que im plique un juego de vectores. . Por ejemplo, la descripción de u n a corriente alternada po r la proyección d e . las fases sucesivas recurre hábitualm ente al em pleo de los números complejos. G eneralm ente estos números complejos se em plean apenas hay que señalar el vínculo entre elementos cuando uno de ellos perm anece en el exterior del sistema form ado por los otros y al mismo tiempo ejerce un a influencia sobre él. Este destino geométrico y luego propiam ente físico de u n a operación prim itivam ente sin objeto alguno pero que adquiere luego el sentido de un operador vinculado a las direcciones del espacio y las rotaciones y

luego interviene por últim o en el seno de los operadores más esenciales que em plea la física contem poránea, esclarece de m odo más significativo el papel de las operaciones en la construcción del núm ero en general. C ontrariam ente al caso de los núm eros enteros positivos y los números fraccionarios — donde la acción de reunir o dividir parece sugerida por la realidad sensible que constantem ente im ita, p o r sus uniones o sus fraccio nam ientos, la operación h um ana correspondiente—, el núm ero im aginario surgió sin sugerencia alguna de la experiencia perceptüal. Sin embargo, m ientras la sucesión de los núm eros enteros cada vez m ás grandes o de las tracciones cada vez más pequeñas se aleja siempre más de lo real inm ediato en las direcciones x ó 0 — lo cual no im pide, p o r otra p a rte y en absoluto, que sirvan como instrum entos de adaptació n a la experiencia física— , el núm ero im aginario adquiere este papel de instrum ento adaptativo sin conexión ap arente alguna con las circunstancias que m otivaron su cons trucción. ¿ C uál es pues la v erdadera conexión entre esta operación \ / -1 y lo real, disim ulada bajo la ap aren te ausencia de relación? R esulta claro que la operación de extracción de la raíz cu ad rad a de una u n id ad negativa es incom prensible como acción aislada, puesto que se tra ta de u n a acción imposible de ser ejecutada m aterialm ente: esta operación sólo tiene entonces significación en función d e la totalidad de las operaciones num éricas, lo cual equivale a decir que es el resultado de la coordinación de las acciones entre sí y que no constituye u n a acción que pu ed a aislarse. A hora bien, es en esta coordinación donde precisa m ente h ay que buscar el secreto de la adaptación de las operaciones m ate m áticas a lo real. ¿Cóm o explicar que u n a operación inventada de algún modo p a ra la sim etría (del mismo m odo que las falsas ventanas añadidas en los lugares donde se esperan las verdaderas) se reú n a en un momento dado con el cálculo geom étrico e incluso con la física? Si este encuentro producido a posteriori debe explicarse p o r el hecho de que la división siendo la extracción de la raíz cu adrada sólo u n caso p articular de ella, nació a p artir de la experiencia física, ello equivale entonces a afirm ar que la adaptación que se adquiere cuando se divide un cam po o u na torta es lo suficientem ente precisa com o p a ra que las reglas, extraídas a p a rtir de -esta acción, se adapten de antem ano al cálculo de los vectores y los operadores, au n en los casos en que ya no se puedan asignar trayectorias, ni haya objetos perm anentes como en el campo de la microfísica. Por el contrario, afirm ar que el encuentro entre lo real y los núm eros imaginarios (encuentro que se produce m ucho después de la construcción de estos últimos) tiene la m ism a propiedad que la convergencia inm ediata de los números enteros positivos con las realidades elementales — porque ambos se preocupan por la concordancia entre la coordinación de conjunto de las operaciones y las transform aciones físicas fundam entales— consiste simple m ente en suponer que las estructuras de composición reversible alcanzadas por los agrupam ientos y los grupos de operación expresan a la vez las leyes más generales de la coordinación de las acciones del sujeto y las in ter acciones m ás directas entre el sujeto y lo real. Se debe concebir que tanto esta coordinación como estas interacciones, al mismo tiem po que se dife

rencian en el transcurso de la experiencia, no provienen de la experiencia externa, porque son las únicas que la hacen posible, sino que surgen de las condiciones mismas de la organización psicobiológica. L a reflexión acerca de los im aginarios conduce pues a una verificación privilegiada de la interpretación operatoria del núm ero, no sólo porque este tipo de núm ero se vincula con la coordinación de conjunto del sistema, sino tam bién porque culm ina en el descubrim iento del carácter propio de los esquemas de operaciones alejadas de la realidad concreta: el carácter de “operadores” . E n este sentido, necesariam ente tenemos que p reg u n tarnos a p artir de qué m om ento los núm eros constituyen operadores. Es claro que ello se produce no solam ente m ás allá de cierta capacidad p a ra expresar algunas transform aciones geom étricas o físicas, ya que el cálculo de los operadores y las m atrices tiene u n em pleo c.uya generalidad supera s. la geom etría y, en particular, a la física. Puede sostenerse incluso que si, técnicam ente, el térm ino operador debe conservarse p a ra los sistemas de operaciones de grados superiores — es decir, p ara los esquemas que p erm iten operar abstractam ente sobre u n conjunto de operaciones subordinadas— , en realidad el papel de operador puede atribuirse a las operaciones n u m é ricas más elementales. M ás precisam ente, todo núm ero puede ser consi derado como el resultado estático de una operación o como el operador en su dinam ism o form ador: p o r ejem plo en la expresión n ~f- 1 ya pu ed e considerarse a n como u n núm ero estáticam ente dado y a -)•- 1 como el operador que transform a a n en su sucesor. D e modo general, sólo existe pues u n a diferencia de grado o de com plejidad entre las operaciones elementales y los operadores, pero las prim eras se han hecho ta n au to m á ticas que h an perdido su apariencia activa. P or lo tanto, sólo en el caso de los operadores de orden superior, es decir, suficientem ente abstractos como p a ra que la diferencia entre lo dado y la transform ación operatoria sea sensible en cada instante, es que este concepto central adquiere su v erd a dera significación. S in 'e m b a rg o y desde el p u n to de vista genético, no hace sino confirm ar el carácter esencialm ente operatorio del núm ero, ca rácter que pone de m anifiesto desde ia fusión de los encajes de clases y las sucesiones de relaciones asim étricas que, a través d e su síntesis, generan el núm ero entero. 11. L o IN F IN IT O Y E L CARACTER OPERA TO R IO DEL N U M E R O . El proble ma del infinito, actual siempre opuso dei m odo más radical las in terp re taciones realistas y las interpretaciones operatorias del núm ero. No porque resulte contradictorio concebir u n realism o de lo finito, como h a sucedido desde Pitágoras a R enouvier; pero, querer situar un infinito actual en el mundo, de lo real o bien de las ideas, a la m an era en que el realismo concibe los números finitos, presentó, to d a vez que se ha planteado el problem a a lo largo de la historia, u n a serie de dificultades siempre seme jantes. A hora bien, sólo pueden ser evitadas recurriendo, de modo im plícito o explícito, al dinam ism o intelectual de las operaciones, único soporte legítimo de las diversas formas de infinito, porque sustituye la realización actual por la virtualidad de un desenvolvimiento ilim itado. .

Sabemos cóm o la utilización de las seríes indefinidam ente decrecientes por el cálculo infinitesim al planteó el problem a del infinito a lo largo de ios siglos xvii y xviii. U na serie como 1/2 -f- 1 /4 -)- 1 /8 -j-• ■• que tiende a igualar la unidad, ¿ alcanza acaso en algún m om ento esta ig u ald ad . . . = 1, puesto que por ser infinita, es propiam ente inagotable? .Razonando acerca de lo real “operado” y no sobre las operaciones, Zenón tuvo razón en declarar que la Hecha no alcanzaría jam ás su m eta, ya que cuando se quiere recortar efectivam ente una distancia según un a serie, hay que co n tar con to d a la eternidad. Sin em bargo, lo propio de u n a operación intelectual, com o la división por la m itad, radica en poder prolongar las operaciones reales iniciales con operaciones virtuales, cuya validez es el resultado de su posible composición y únicam ente de ella: p o r lo tanto, es legítimo reu n ir en un solo acto global la composición del conjunto de estas op era ciones, repetidas indefinidam ente, y concluir en la igualdad 1/2 -j- 1 /4 -j- 1 / 8 . = 1. Pero, ¿dónde h a de situarse entonces lo infinitam ente pequeño ? ¿Se puede asignar a la fracción 1¡n cierto valor estático porque constituye el últim o elemento antes del 0, es decir, el más pequeño que hay que agregar a la serie p ara que ésta sea igual a l ? D icho de otro m odo, ¿existe u n infinito pequeño actual? Es claro que esta hipótesis es contradictoria, en la concepción operatoria del núm ero, ya que si se tra ta de construir este infinito pequeño actual m ediante u n a operación tam bién actual, po r lo tanto ejecutada como operación distinta de las anteriores, nunca se lo alcanzará; y si se tra ta de contentarse con u n a operación virtual, es decir, precisam ente con esas operaciones que es legítim o reunir en u n todo p ara que la serie sea igual a 1, lo infinita m ente pequeño tam bién es virtual: ahora bien, ello significa — hablando con propiedad— que no es legítim o extraer de la sucesión 1/2 •-(- ■1/4 1/8 - j - . .. = 1 esa operación virtual, ya que su validez sólo es el resultado de la composición de la sucesión y puesto que, al querer actualizar uno de los elementos de la serie, uno se ve obligado a h acer lo mismo con los otros, lo cual nos conduce a una sucesión sin fin. Lo infinitam ente pequeño no puede aislarse en form a actual salvo apoyándose en un a creencia realista o extraoperatoria, obligada además a com pletar la realidad física, siempre finita, con la realidad de números ideales que subsistirían de por sí. L a arbitrariedad de esta hipótesis hizo que, en prim er lugar, se justificara el cálculo infinitesimal m ediante el argum ento p ragm atista de su éxito, p ero la necesidad de esta justificación revela con te d a seguridad un frustrado realismo, com parable al de d ’A lem bert cuando buscaba una realidad que correspondiera al núm ero negativo. E n realidad, la idea de diferencial, que sustituye la relación de las cantidades finitas D x /D y por la relación d x j d y nunca hace intervenir lo infinitam ente pequeño como valor estático o actual, sino únicam ente la relación entre dos cantidades decrecientes indefinidam ente. P o r lo tanto, sólo hay una m anera de evitar los callejones sin salida a donde nos conduce el realismo de lo infinitam ente pequeño: co n siderar con Leibniz — m agníficam ente interpretado p o r L. Brunschvicg— al infinito como la expresión del dinamism o mismo de la construcción operatoria.

. Este problem a volvió a aparecer con el análisis de las funciones indefi nidam ente crecientes, es decir, en el terreno de lo infinitam ente grande. E n estas investigaciones acerca de la “teoría general” de las funciones, que se oponen a la reducción del análisis en el esquema del núm ero entero, Dubois-Reym ond intentó descubrir las condiciones comunes de convergencia y divergencia de diversas operaciones infinitas. Al estudiar las diferentes velocidades de crecimiento, term ina en un “cálculo infinitarlo” que define series de tipos crecientes u órdenes progresivas de infinito. Sin embargo, nuevam ente aquí surge el problem a operatorio: la escala de las funciones ¿alcanza uno o varios infinitos actuales, que trascenderían las operaciones mismas que perm iten alcanzarlas, o sólo se aplica a las operaciones como tales? Precisam ente, procediendo de la operación a sus resultados, G. C antor fundó u n cálculo del “transfinito” sobre la consideración de las relaciones d e correspondencia entre conjuntos. Así, el conjunto de los números enteros corresponde de m odo biunívoco al de sus cuadrados, o al conjunto de los números pares, etc. El conjunto de todos estos conjuntos será pues la clase de los conjuntos enum erables. A hora bien, esta clase no corresponde al conjunto de los núm eros reales ( racionales e irracionales) que es pues u n a potencia superior, o potencia de lo continuo. A dm itido esto, la sucesión de los números enteros es infinita, es decir que es imposible asignarle u n fin, y absurdo buscar, en el interior mismo de este conjunto, un núm ero infinito actual que constituiría el últim o de la serie. En cambio, se puede asignar a esta sucesión u n lím ite que p o r definición será exterior a la serie y a p a rtir de la cual com enzará u n a nueva sucesión: este prim er “ordinal infinito” o> será pues el prim er núm ero que seguirá a la serie de los núm eros enteros sin pertenecerle. G racias a la repetición m ism a de este procedim iento, se obtendrán entonces los transfinitos co -|- 1; co 03

CO

co -f- 2. . . ; co-j-n; 2co; 2 c o 1; 2co-f-2. . .; 3co. . . ; neo; co ; (ü ; etc. Estos ordinales transfinitos constituyen así órdenes. En cuanto a los cardi nales transfinitos, el prim ero es la clase de los conjuntos enum erables N 0. O tro cardinal transfinito notable es la clase de todas las clases que puede extraerse de N 0 por com binación de sus elementos, etc. Sin em bargo, el gran interés de esta realización del infinito, que trasciende así sin cesar las operaciones constructivas p a ra alcanzar u n a sucesión de infinitos actuales encajados unos en los otros, es culm inar de hecho en u n debilitam iento del carácter específicamente num érico de la construcción y m arcar u n retorno parcial a los componentes lógicos del número. E n efecto, los cardinales transfinitos ya no obedecen a la ley aritm ética de iteración sino a las reglas de tautología y absorción: N 0 -)- N 0 = N 0 y N 0 X N 0 = N 0. Ello se com prende de p o r sí, puesto que estos núm eros ya no son a la vez cardinales y ordinales, como los núm eros finitos, sino que la cardinación está disociada de la ordinación: el conjunto de todos los conjuntos enum erables es, en realidad, un a clase lógica fo r m ada po r “ todas” las subclases num erables, o sea u n a clase cualitativa

surgida de u n a simple reunión lógica de las subclases que tienen la pro piedad com ún de ser num erables. Por io tanto, no se tra ta de un núm ero engendrado por una ley de form ación análoga a la que perm ite constituir, poi ejemplo, la sucesión de les números enteros. En efecto, la correspon dencia biunívoca que relaciona cada elem ento individual de las subclases com ponentes con un elem ento determ inado de u n a de las otras subclases (por ejemplo, cada entero a su cuadrado, etc.) es u n a correspondencia “reflexiva’’, es decir que perm ite igualar el todo a la p arte (p o r ejemplo, d conjunto de los núm eros enteros al conjunto de sus cuadrados, los cuales íólo constituyen una parte del prim er conjunto) ; ahora bien, esta corres pondencia no culm ina en u n a equivalencia aditiv a entre el todo y la parte, sino en una equivalencia m ultiplicativa, com parable a la d e las clases multiplicadas entre sí con el esquem a lógico de un cuadro de doble en trad a: Por ejemplo, sean las dos sucesiones: 1 1

2 4

3 9

4 16

5 25

6 36

7 49

8 64

9 81

10. . . 100...

Resulta claro que, p a ra u n núm ero finito n de elementos, la segunda sucesión no puede considerarse como u n a p arte de la prim era, ya que los cuadrados superan la. sucesión de los enteros que les corresponden: así entre los diez primeros cuadrados, únicam ente los tres más pequeños (1, 4 y 9) form an parte de los diez prim eros núm eros enteros, los otros cu a drados superan este conjunto (1 . . . 10). D ecir que el conjunto de los cuadrados es una p arte del conjunto de los números enteros, im plica entonces colocarse desde el p unto de vista de lo infinito, ya que en lo finito, cuanto mayor sea el núm ero más superará el cuadrado n * la suce sión 1 . : . n. Entonces, en esta proposición de que el conjunto de los cuadrados es a la vez u n a p arte (un subconjunto) del de los enteros y un a p arte equivalente al todo, el sentido de las palabras “equivalente” y “p a rte ” debe precisarse del siguiente modo. En prim er lugar, no se tra ta sino de una equivalencia análoga a la de los dos conjuntos finitos que presentan 1?, misma cantidad de elementos, puesto que no puede intervenir la misma “cantidad” perteneciente a la sucesión l . . . n: se tra ta de “todos” los enteros y de “todos” los cuadrados, es decir, de dos clases inagotables, enumerables pero nunca en um eradas:, su equivalencia significa pues simple m ente que estas dos clases se corresponden térm ino a térm ino porque sus elementos presentan la m ism a cualidad de ser “enum erables” , es decir, de constituir dos series de form a 1 . . . n (cada cuadrado es contado como una unidad) ; en segundo lugar, la relación de parte a todo entre la serie de los cuadrados y la de los números enteros significa que la serie de los cuadrados l 2, 22 .. . n- no es la única que goza de esta propiedad, y que muchas otras series tam bién son enum erables en u na form a 1 . . . n. Sucede así que la serie de los enteros figura dos veces en el razonam iento, una vez como u n a de las series o subclases com paradas a las otras (a la de los cuadrados, a la de los núm eros pares, etc., en resumen a todas las subclases enum erables), y la otra como expresión del carácter común al conjunto

de todas estas series, es decir, el carácter de la clase total de todas estas subclases. T a n to la equivalencia entre la p arte y el todo como esa relación m ism a de p arte y todo son pues de carácter m ultiplicativo (en el sentido de la m ultiplicación lógica) y, en consecuencia, son com parables a las correspondencias y particiones que intervienen en el esquema m ultiplicativo de los cuadros lógicos de doble en trad a (por ejemplo, las clases form adas respectivam ente por las piezas del esqueleto de los m am íferos corresponden térm ino a térm ino con las clases form adas respectivam ente p o r las piezas del esqueleto de los rum iantes, etc., siendo esta correspondencia lógica a su vez “reflexiva” p orque es m u ltip lic ativ a).1- E n cuanto a los ordinaies transfinitos, sólo son “tipos de orden” , es decir, sistemas m ultiplicativos de relaciones asimétricas, así como los cardinales transfinitos son clases: de ahí que a u n mismo cardinal transfinito corresponda un a infinidad de ordinales, ya que pueden ordenarse de infinitas m aneras los elementos de un a m ism a clase infinita. E n resumen, los núm eros transfinitos de C an to r disocian entre sí las dos estructuras fundam entales de la clase lógica y la relación asim étrica, que se fusionan en u n solo todo en la construcción de los núm eros enteros finitos. Por ello, si la serie de los ordinales finitos corresponde hiuitívoca*m ente a la de los cardinales finitos, siendo todo núm ero entero necesaria m ente cardinal y ordinal a la vez en el terreno de lo finito, esta correspon dencia term ina en el dominio de lo transfinito. A hora bien, como esta disociación transfinita, entre los dos aspectos ordinal y cardinal del núm ero entero, culm ina en u n retorno a los esquemas operatorios separados de la relación asim étrica y la clase lógica, constituye la m ejor confirm ación de la interpretación operatoria defendida en el p u n to 6 respecto de la génesis del núm ero entero finito. E n efecto, basta qu e se pase, de la ley de form ación de los núm eros finitos que constituye la serie ilim itada 1 . . . n. a la consideración transfinita de su conjunto total, p ara que la clase así. construida a través de “todos” estos núm eros se disocie ipso facto de las relaciones asim étricas que h an servido a su construcción sucesiva: la iteración de la u nidad -f- 1 es pues, entonces, el producto com binado del encaje de las clases y la seriación de las relaciones' asim étricas puesto que, si se' separa uno de estos dos com ponentes del otro, los cardinales ya no se iteran más y dejan de corresponder biunívocam ente a los ordinales. 12. C o n c l u s i ó n : e l p r o b l e m a e p i s t e m o l ó g i c o d e l n ú m e r o . D esde las acciones m ás elementales que perm iten al niño o al prim itivo en u m erar las pequeñas colecciones hasta las generalizaciones negativas, com plejas y transfinitas del núm ero, que parecen no presentar relación alguna con estas acciones concretas, se encuentra de hecho un mismo m ecanism o operatorio que se desarrolla en función de su lógica in terna del m odo m ás continuo y m ejor equilibrado, a pesar de su apariencia a m enudo irregular resultante de las dificultades de la tom a de conciencia. 42 Véase nuestro Traite de logique, punto 21.

Porque, desde las acciones iniciales, la relación entre el sujeto y los objetos es un testimonio de un fenómeno m ucho más com plicado de lo que d ejan suponer las interpretaciones empiristas, aprioristas o convencionalistas com entes. P or lo tanto, volvamos a p artir de la fuente p a ra vincu larla enseguida con las orientaciones observables en el equilibrio móvil final. L a acción de enum erar no puede estar determ inada únicam ente por los objetos, puesto que ella los estructura en función de un esquem a o p era torio, que es asimilación de las cosas al doble acto de reu n ir y ordenar, y puesto que asim ilar significa agregar a los objetos caracteres nuevos que no estaban incluidos anteriorm ente a la acción del su jeto : así, la reunión elem ental 1 — j—1 = 2 añade a cada uno de los objetos contados como unidades 1, 1, la nueva propiedad de constituir u n todo 2. Sin em bargo, ¿ estas acciones surgen únicam ente del sujeto o presuponen u n a acom o dación a los objetos y, en este caso, qué tipo de acom odación? P ara resolver este problem a epistemológico de las relaciones entre la construc ción asim iladora y la experiencia posible conviene llevar a cabo al mismo tiem po el análisis psicológico de las raíces y el exam en del desenvolvimiento histórico de las generalizaciones del núm ero. Desde el p unto de vista psicológico, deben distinguirse dos cuestiones m uy diferentes, dem asiado a m enudo confu n d id as: la de saber si la expe riencia es necesaria para que se organicen las acciones u operaciones de clases, de seriar y num erar, y la de determ inar cuál es el papel del objeto en esta eventual experiencia. Cabe pensar que concuerda con todos los datos conocidos el hecho de que la experiencia sea indispensable al niño (y al prim itivo) p ara descubrir las relaciones aritméticas elementales. El hecho de que 2 + 2 dé siempre 4 (y nunca 3 ó 5) no resulta de por sí evidente p ara un niño, independientem ente de toda definición nom inal y convencional, antes de que haya com prendido que 4 — 2 = 2 y que 4 /2 = 2, es decir, antes de que sus acciones se hayan organizado en operaciones reversibles. El descubrim iento em pírico de que 10 pedregullos contados en cierto orden dan tam bién 10 cuando se los cuenta en un orden diferente, le causó, cuando era niño, gran sorpresa a uno de nuestros amigos m atem áticos, bien conocido por sus trabajos epistemológicos, quien incluso hace rem ontar a esta precoz experiencia su interés por el núm ero. A hora bien, esta verdad de la similitud entre los diversos órdenes posibles en la num eración de los elementos de u n a colección sólo se vuelve deductiva en función de la rever sibilidad (reversibilidad de la seriación lógica o de la ordenación m ism a). Por lo tanto, existe una fase intuitiva y preoperatoria del pensam iento, du ran te la cual es necesaria la experiencia p ara el descubrim iento y la verificación de las verdades aritméticas, y u n a fase operatoria a p artir de la cual la deducción comienza a bastarse a sí misma. Sin em bargo, el hecho de que la experiencia sea psicológicam ente indispensable p a r » la construcción del núm ero, no prueba en absoluto que se extraiga el núm ero a p artir de los objetos, en la form a que sea, ya que u n a cosa es ac tu a r empíricamente y otra abstraer un a relación a p a rtir de

los objetos: la relación establecida entre los objetos puede haber sido agregada po r la acción, aun cuando ésta se inaugure con u n a etapa de tanteo experim ental. E n otros térm inos, u n sujeto que ac tú a de m odo em pírico puede utilizar los objetos como simples soportes, u ocasiones, p a ra la acción, pero en realidad experim entar consigo mismo, es decir, con la coordinación de sus propias acciones m ás que con los objetos sobre los que ellas se apoyan. A hora bien, ¿cuál es el papel de los objetos A, B, C . . . J, cuando el sujeto, después de haber enum erado A, B . . . J = 10, descubre que en otro orden, como J, I, H , G . . . A, la sucesión sigue siendo igual a 10 ? E n prim er lugar, es evidente que este papel es m uy diferente si se tra ta de seriar diez colores o diez pesos, ya que, en este caso, las cualidades mismas de los objetos son las que intervienen en la seriación. E n cambio, en la simple enum eración, el objeto es absolutam ente cualquiera, porque sus cualidades particulares no entran en juego ya que sólo en tra en cuestión el orden m ism o de la enum eración. Es cierto que cuando se tra ta de sólidos discretos, la enum eración resulta más fácil, pero tam bién pueden concebirse diez elementos recortados en un sólido continuo, o incluso en un líquido o u n gas: en este caso la localización es más difícil y la expe riencia sólo culm inará m ucho más tardíam ente, pero la acción de enum erar seguirá siendo posible, al menos en el interior de algunos cam pos perceptüales m om entáneos. E n resumen, en este tipo de experiencia, el objeto sólo desempeña el papel de soporte de la acción. Propiam ente hablando sólo es un indicador: podría realizarse la experiencia con núm eros, es decir, con puros signos o símbolos de objetos; sin em bargo se realiza con objetos reales, pero que p a ra el sujeto sólo tienen el valor de índices perceptuales de sus propias acciones de contar y no son elementos del núm ero. A unque experim ental en su fuente intuitiva, el núm ero se añ ad e a los objetos y en absoluto es extraído a p artir de ellos. Se encuentra en su totalidad en el esquema de asim ilación operatoria. No p o r ello deja de ser menos real la acom odación, pero no es específica respecto de las cualidades distintivas de los objetos considerados: equivale sim plem ente — p ara toda colección de objetos discretos y objetos cualesquiera separados artificialm ente (en acto o en pensam iento)— a que la acción em pírica y la operación reversible desem bocarán en combinaciones adecuadas a los objetos. Así, en el ejemplo analizado, diez objetos contados en cierto o rden seguirán siendo diez en u n orden diferente, ya que los objetos en tanto tales no invalidan la coordinación de las acciones. Por lo tanto, hay equilibrio perm anente entre la asim ilación de los objetos al esquema operatorio y la acom odación de este esquem a a objetos cualesquiera, pero no hay nada, en la estructura definitiva del esquema considerado, que haya sido “abstraído” del objeto; én efecto, p a ra poder abstraer el núm ero de las colecciones de objetos sería necesario poder clasificarlos y ordenarlos, que son acciones del sujeto ejercidas sobre estas colecciones: ahora bien, el esquema del núm ero se reduce precisam ente a estas solas acciones de clasificar y ordenar, sim plem ente agrupadas de m anera diferente.

E n cuanto a la “experiencia interior” hemos visto (punto 2) que tam poco puede obtenerse el núm ero a partir de ella, del mismo modo que M am e de B iran creía p o d er extraer una causalidad totalm ente d ad a a p artir de la lectura de los estados de conciencia relacionados con la propia acción. N i la seriación, ni la clasificación, ni el núm ero están dados sin m ás en la conciencia in te r n a : son la resultante de la coordinación de las acciones sucesivas, es decir, de su agrupam iento, y estos agrupam ientos se aplican tanto a .los datos de la experiencia in te rn a como a los de la expe riencia externa, y no son m ás la resultante de las prim eras que de las segundas, puesto que se tra ta de acciones que se ejercen sobre ellas y no de intuiciones prim eras. E n resumen, si se reem plaza la coordinación de las acciones po r la de los pensamientos, esta coordinación sigue siendo u n a actividad y lo que im porta no es su repercusión sobre la conciencia: es el carácter activo de esta coordinación, condición previa de toda experiencia y fuente de transform aciones que enriquecen tan to los objetos de la expe riencia in tern a como los de la realidad externa. Este carácter p articu lar de las acciones y operaciones que intervienen en la m atem ática (en prim er lugar, em píricas, y luego deductivas, pero en ambos casos independientes de los objetos), explica el hecho de que estes actos y sus composiciones pueden repetirse y generalizarse indefini dam ente. Y a psicológicam ente com probamos que, apenas superado el nivel de las operaciones concretas y desde el m om ento en que los mecanismos formales prolongan la acción posible, la serie de los números accesibles al niño de 11-12 años desborda toda percepción e incluso toda represenr tación particulares y se com prom ete en la dirección de la p u ra construcción. Por ejemplo, decir que “ nun ca se llegará al final de los núm eros” , según la expresión de uno de nuestros sujetos de 11 años, es descubrir el poder infinito de iteración de la operación 1, com parado con un esquema finito y que puede representarse como el de u n núm ero dado, susceptible de reunir efectivam ente los térm inos de una colección concreta de objetos. D icho de otro modo, el núm ero consiste exclusivam ente en u n sistema de acciones u operaciones que se ejercen sobre los objetos, pero que no depen den de las propiedades particulares de estos objetos y la construcción del núm ero puede proseguir indefinidam ente m ás allá de los límites de la percepción e incluso m ás allá de la representación im aginada de las colec ciones form adas por estos objetos, es decir, m ucho más allá de las fronteras del objeto. El empleo de las diversas form as de infinito, indispensables p ara el teórico del núm ero corno p ara el analista y el geóm etra, no es sino'" el testimonio cotidiano de esta liberación de los seres numéricos respecto del objeto, puesto que el objeto de experiencia es necesariam ente finito. E n cuanto a las generalizaciones del núm ero en la dirección de lo negativo, lo imaginario, etc., hemos visto hasta qué punto es más paradójico aún su carácter psicológico de operaciones realizadas con los objetos con u n a precisión cada vez m e jo r diferenciada, pero sin que se p u ed a concebir de qué modo se los hubiera podido extraer a- p artir de ellos. A hora bien, las soluciones habituales de la cuestión de su adecuación a la realidad

física difícilm ente expliquen este doble carácter. Las soluciones aprioristas, según las cuales el núm ero es u n a estructura de origen interno al espíritu (o u n lenguaje convencional p o r él elaborado) e im puesta a la realidad externa, no explican por qué el núm ero converge con esta realidad. E n cuanto a las soluciones em píricas que pretenden, a pesar de todo, extraer directam ente el núm ero a p a rtir de la experiencia, no explican su fecun didad y tam poco su necesidad. Por el contrario, afirm ar que el núm ero deriva de las operaciones o de las acciones ejercidas por el sujeto sobre los objetos sin por ello provenir de estos objetos, perm ite concebir los dife rentes tipos de núm ero como el resultado de coordinaciones progresivas y se evita pensar que el núm ero está dado de en tra d a enteram ente en el espíritu o las cosas. A unque la fuente de las coordinaciones deba buscarse en la actividad del sujeto, las diversas form as de núm ero no se encuentran ya preform adas en el sujeto, sino que. constituyen los estados finales y necesarios del equilibrio de coordinaciones que se inician desde la organi zación de los esquemas sensoriomotores y perceptuales. A hora bien, m ás allá del funcionam iento de estos esquemas psicológicos iniciales, estas coordinaciones se rem ontan h asta las coordinaciones biológicas elementales. E n este caso, la adecuación del núm ero a lo real no puede explicarse por la presión exterior que la realidad ejercería sobre u n espíritu acabado, ni por u n a preform ación in tern a de este espíritu considerada en “acto'’ o en “potencia” , sino precisam ente p o r el hecho de que los mecanismos construc tivos que presiden el desarrollo del espíritu h u n d en sus raíces en la organi zación vital y, en consecuencia, en la realidad física. Por lo tanto, sólo p o r interm edio del organismo y sus mecanismos íntim os, y no p o r la influencia de presiones directas del m edio externo, se com prende la adecuación de las operaciones lógico-aritm éticas a las cosas. D icho de otro modo, hay que buscar en las coordinaciones psicobiológicas que hacen posible la acción — en oposición a lo que los filósofos consideran como estructuras a priori del pensam iento— el secreto de la u nió n entre las construcciones intelectuales fundam entales (agrupam ientos lógicos y agrupam ientos arit méticos) y lo real, y no en la experiencia externa — ni siquiera en la interna— actual.43 Las dos dificultades principales de esta solución consisten en explicar cómo la construcción gradual resultante de la actividad del sujeto desem boca en organizaciones finales necesarias sin que estén preform adas en el 43 Observemos de entrada que esta solución no tiene nada de “realista” , ni sobre todo de materialista, en el sentido dogmático del término, ya que, al mismo .tiempo que la psicología se esfuerza por reducir el número a las coordinaciones de la inteligencia y la biología intenta reducir estas coordinaciones a las coordinaciones orgánicas y la organización vital misma a las leyes físico-químicas, la matemática vuelve a traer las realidades físicas dentro de los marcos del espíritu. Por lo tanto, siempre hay un círculo entre el sujeto y el objeto; pero, en el caso de la matemática, este círculo, en vez de abarcar solamente la experiencia externa, se dilata hasta abarcar el círculo de las ciencias en su conjunto. Este círculo de las ciencias es el objeto de estudio de esta obra en su totalidad, y no corresponde que se lo desarrolle aquí. Sólo convenía observar que la unión del espíritu y lo real asegurada por el intermedio de las coordinaciones psicobiológicas sólo describe la mitad de este círculo y la otra mitad del camino consiste en vincular inversamente lo real con el espíritu por intermedio de la física y la matemática.

espíritu o el organismo, y cómo esta m ism a construcción se diferencia en estructuras m últiples, de algún m odo p read ap tad as al objeto, al mismo tiem po que provienen de coordinaciones iniciales m uy simples y poco numerosas. E n este sentido 110 puede rom perse la solidaridad entre las form as superiores del número y sus form as elementales. K ronecker atribuía a Dios la creación de los enteros positivos y todo lo dem ás a la fabricación hum ana. El lenguaje tradicional expresa lo mismo cuando llam a números “naturales” a 'a sucesión de los enteros positivos como si los otros números fuesen artificiales. E n realidad, no existe oposición alguna entre los proce dim ientos operatorios que generan el núm ero entero y las operaciones generalizadas que generan las estructuras num éricas ulteriores. P or el contrario, únicam ente estas form as generalizadas del núm ero son las que hacen explícitas las particularidades m entales que perm anecen en form a im plícita en la construcción de los núm eros iniciales: tanto los números iniciales com o los números superiores derivan de u n solo y mismo m eca nismo operatorio, cuyas manifestaciones sucesivas no son sino las fases de una gradual coordinación. Surgen entonces los dos problem as que acaba mos de m encionar: ¿por qué culm ina esta coordinación en estructuras necesarias? y ¿cóm o explicar su fecundidad, si sus raíces sólo se h unden en las coordinaciones psicobiológicas elementales? D icho tam bién en otros términos, ¿cóm o conciliar la necesidad final de las construcciones num é ricas con la ausencia de preform ación, y su m ultiplicidad a la vez creadora y p rea d ap ta tiv a con la pobreza de sus fuentes? El problem a de la necesidad final de las estructuras num éricas es el más simple de resolver. A la necesidad d ad a de antem ano en form a de estructuras a priori, el punto de vista genético perm ite, en efecto, oponer la necesidad term inal característica de los estados de equilibrio operatorio móvil y reversible, hacia los que tiende el desarrollo de las acciones consi deradas, y sin que por ello intervenga desde el comienzo la fo rm a de este equilibrio. E n este sentid o, la in terpretación por la cual el n úm ero entero es el producto de una fusión entré las operaciones que utiliza la lógica cualitativa en estado de agrupam ientos aislados (encajes de las clases y seriación de las relaciones asim étricas) perm ite concebir a la vez el carácter de necesidad racional, revestido por la síntesis final, y la continuidad que une esta síntesis term inal con las coordinaciones m ás elementales y menos formales. E n efecto, por una parte, los agrupam ientos lógicos no son sino el resultado interiorizado y equilibrado de las coordinaciones entre acciones; coordinaciones, que, desde sus form as m ás humildes, m uestran ya la p re sencia de relaciones entre movim ientos sucesivos, retornos y rodeos que conducirán a la composición, la reversibilidad y la asociatividad opera torias. P or lo tanto, la lógica está contenida en germ en desde los esquemas de la actividad sensoriomotriz y perceptüal al mismo tiem po que sólo constituye la form a final de equilibrio de estas coordinaciones presentes desde el comienzo.44 Por otra parte, desde las form as más básicas de la 4+ Véase nuestra obra acerca de La psychologie de l’intelligence. Colín, 1946. THay versión castellana: Psicología de la -inteligencia, Buenos Aires. Siglo Veinte, 1966.]

actividad m ental, se observa u n a especie de enum eración intuitiva y p e r ceptual que anuncia ya las coordinaciones ulteriores entre la clasificación y ia seriación y que ya es el resultado de coordinaciones elementales entre simples esquemas clasificatorios y de ordenación de carácter m otor. Así, O tto K óhler pudo dem ostrar la discrim inación de conjuntos de 2 a 6 objetos en los pájaros y tam bién pudo entren ar algunas gallinas p ara que picotearan el segundo grano de u n a fila de diez elementos. Estos números intuitivos o figúrales son ios que están presentes en. el niño pequeño anteriorm ente a la construcción de la sucesión operatoria de los enteros. E n consecuencia y nuevam ente aquí, resulta fácil explicar el pasaje de las coordinaciones elementales no racionales a las formas nece sarias finales, por un proceso de progresivo equilibrio, que localiza la necesidad al final del proceso sin que sea necesario recu rrir a u n a prefor mación estru c tu ral: la articulación progresiva de las configuraciones activas e intuitivas y la reversibilidad que de ella resulta son suficientes, al fin de cuentas, p ara esta explicación sin la intervención de algún a priori. E n cuanto a la fecundidad creciente del concepto de núm ero, com parado con la pobreza de sus fuentes, el carácter sorprendente de esta evolución radica en que, al proceder de las acciones de reu n ir y ordenar sim ultáneam ente que el sujeto ejerce, directam ente sobre los objetos, el núm ero se orienta a la vez en dos direcciones divergentes y co m plem entarias: por u n a parte, se aleja cada vez m ás de la acción experim ental del sujeto p ara com prom eterse en composiciones operatorias sin relación alguna con esta acción inm ediata (lo infinito, lo im aginario, etc.) : pero, por o tra parte, sólo se aleja de la apariencia em pírica de los objetos p a ra m ejor alcanzar, al fin de cuentas, el mecanismo de sus transform aciones íntim as (por ejem plo, la aplicación del infinito al cálculo de las variaciones continuas o del im aginario al cálculo de los vecto res). A hora bien, esta doble evolución, p o r u n a p arte p o r interiorización de las acciones del sujeto y por la otra p o r penetración dentro de las modificaciones posibles del objeto, no se produjo de m odo regular, ni en uno de estos dos aspectos ni en el otro. En lo que se refiere a la interiorización de las operaciones, únicam ente a través de un a deducción simple y rectilínea se realizaron los progresos en la construcción y la teoría de los núm eros: frecuentem ente a través de descubrimientos fortuitos y oscilantes, como si hubiera un sistema de leyes objetivas que. poco a poco se im pusiera al espíritu, pero descubiertas desde adentro y no como reali dades externas. M uchos misterios escapan aú n , por o tra p arte, a esta inves tigación a la vez oscilante y constructiva, como por ejem plo la ley de sucesión de los primeros números. E n cuanto a la adaptación del núm ero al objeto, hemos visto hasta qué punto se asem eja poco a una sumisión gradual del espíritu a la experiencia física, sino que, por el contrario, se trata constantem ente del encuentro a pcsteriori entre esquemas preparados previam ente durante m ucho tiem po y las situaciones qu e perm iten su im prevista utilización. Por lo tanto, si la construcción del núm ero m arca una doble liberación, respecto de la acción directa del sujeto y respecto de las estructuras inm ediatas de los objetos, y un doble desarrollo en la

dirección de las coordinaciones internas de u no y las transform aciones íntim as de los otros, esta doble evolución se presenta a la vez como oscilante, en el prim er caso, y anticipadora en el segundo; es decir que, en ambos casos, el sujeto tom a poco a poco conciencia de un elemento, ya sea de coordinación propia o bien de convergencia con lo real, que supera su actividad constructiva actu al y la condiciona. E n otros térm inos, esta doble liberación se realiza tanto" en provecho de un sujeto unlversalizado com o de u n objeto generalizado: el m ilagro del núm ero reside, en efecto, en el hecho de que a l alejarse cada vez m ás de la acción elem ental que lo engendra, no por ello p en e tra en el m undo de las quim eras como h a sucedido con todos los conceptos físicos que fueron más allá de su contexto inicial de acción experim ental y se generalizaron sin restricción, sino qué concuerda cada vez m ás con las operaciones del espíritu a m edida que se desarrolla y se ad ap ta ca d a vez m ejor al universo a través de sus aparentes m odificaciones. A hora bien, el interés epistem o lógico excepcional de esta concordancia interna y esta adecuación externa radica en el hecho de que, no obstante, parece ser que am bas proceden integralm ente, a pesar de los choques y obstáculos de su desarrollo psico lógico e histórico, de una interacción presente en su totalidad en la acción elem ental del sujeto ejercida sobre los objetos. Entonces, ¿cóm o explicar que simples acciones — como las acciones de seriar y clasificar— p u ed a n desembocar a la vez en este prodigio de construcción coherente y adecuación precisa sin atribuirles de antem ano -—a través de u n preform ism o análogo al de la em briología respecto de los óvulos y de los espermatozoides— todo aquello que el desarrollo ulterior del m undo pone poco a poco de m anifiesto, o sin atrib u ir este desarrollo a factores externos con respecto a esta» acciones iniciales? L a clave del misterio nos parece residir, en p rim er lugar, en el hecho de que el núm ero no procede de acciones particulares, es decir, de u n tipo especial de acciones entre otras, sino que expresa — en un a form a a la vez m entalizada (es decir interiorizada) y que h a alcanzado el estado de equilibrio móvil— la co ordinación. misma de las acciones. R eu n ir y ordenar no son, en efecto, acciones particulares que p uedan com pararse con las acciones de pesar, em pujar, levantar, etc.; son acciones que se coordinan entre sí porque traducen desde el comienzo u n a exigencia de coordinación, es decir, porque son las resultantes de la coordinación de todas las restantes acciones. Q ue estas coordinaciones necesiten al co mienzo de los objetos p ara ejercerse y aplicarse, no presupone en absoluto que su estructura provenga del objeto como ta l: por el contrario, cons truyen estas estructuras a m edida que se desarrolla su funcionam iento, em pezando por los ritmos orgánicos y psicobiológicos, continuando por las regulaciones perceptuales y luego intuitivas y term inando por las opera ciones lógico-aritm éticas: térm ino concreto final de este proceso de equi librio (y punto de p artid a de las posteriores form alizaciones), pero q ue culm ina en u n proceso de coordinación que se h a iniciado con la organi zación y la asimilación psicobiológica. Por lo tanto, el núm ero, ju n to con las operaciones lógicas que supone y cuya síntesis realiza, es la form a

más esencial y más central de la asimilación intelectual, en tanto ella prolonga, p o r in term edio de las form as intuitivas y sensoriomotrices, la asimilación psicobiológica. D e ahi surge su posibilidad de liberación respecto de la acción directa y lo real inm ediato, sin p o r ello afectar la perm anencia de su adecuación con todas las operaciones del espíritu ni con todas las transform aciones de lo real. P orque la acom odación específica de esta fo rm a general de asim ilación sólo puede ser u n a acom odación a la vez anticipadora, en tanto resultante de las cualidades diferenciadas de los objetos, y perm anente u n a vez realizada, puesto que las coordinaciones de las acciones siempre concordarán con lo real si estas coordinaciones no expresan el resultado de experiencias particulares, sino la posibilidad misma de la experiencia, es decir de la acción sobre u n objeto cualquiera. L a construcción del núm ero m a rc a así, en sum a, el pro to tip o de esta asimila ción de lo real al espíritu que realizan todas las clases de m atem ática y que consiste en insertar las transform aciones de lo real en las coordinaciones de las acciones, efectivas o posibles, del sujeto que ac tú a sobre esta realidad. E n segundo lugar, si las operaciones lógico-aritm éticas son el resultado de la coordinación de las acciones, y no de su detalle especializado, la creciente m ultiplicidad de las estructuras num éricas, concebidas como estructuras m entales tardías y no a priori, corresponde entonces a un modo de construcción, p a ra el cual la explicación genética cu e n ta con u n a tercera posición — ta n alejada del preform ism o como del recurso a los factores empíricos— : la coordinación de las acciones no contiene de antem ano a la lógica y tam poco al núm ero, pero como las operaciones lógico-aritméticas son el producto de abstracciones a p a rtir de la acción y no del objeto, esta coordinación proporciona los elem entos de- estas posibles diferenciaciones. E n efecto, la abstracción y la generalización en relación con las acciones son, lo hemos visto (punto 2 ), a la vez construidas y reflexivas, en oposición a la abstracción y la generalización en relación con los objetos. E n otros términos, si abstraem os y generalizam os caracteres del objeto, sólo obte nemos, al fin de cuentas, lo que al comienzo se h a tom ado, salvo que se añ a d an caracteres operatorios provenientes de la activ id ad del sujeto. Si el núm ero y la lógica sólo fueran esquem atizaciones del objeto, no se com prendería entonces cómo lo superan tan librem ente como lo hacen los esquemas lógico-aritméticos. P or el contrario, u n a vez itida esta especie de a priori funcional (funcional y no- estructural, es decir que no contiene estructura a priori alguna) que es la coordinación de las acciones del sujeto (p o r o tra p arte suprim ir esta coordinación equivaldría a con vertir al organism o en u n a tab la rasa respecto de las acciones del medio, lo cual contradice todo lo que nos h a enseñado la biología), las opera ciones lógicas y num éricas se construyen a la vez por abstracción a p artir de la organización sensoriomotriz y po r composiciones generalizadoras de los caracteres así abstraídos, composiciones cada vez m ás dinámicas y reversibles porque ca d a vez m ejor equilibradas. E n efecto, los esquemas sensoriomotores provenientes de la repetición activa de las conductas y que constituyen, en el terreno de la percepción y el hábito motor, la más simple asim ilación m ental de lo real p o r p arte

del sujeto, provienen a su vez de una prim era abstracción á p artir de los ciclos reflejos y orgánicos, que consiste e n . extraer de ellos su capacidad de repetición y extensión generalizadora. Los esquemas sensoriomotores culm inan, po r su parte, en u n a especie de lógica de la acción, cuya coherencia p a rtic u la r consiste por ejemplo en no cum plir, al mismo tiempo que él, un acto contrario a la m eta perseguida por otro, y en aplicar el mismo esquem a de acción a circunstancias análogas aunque nuevas, a o rdenar los m edios y los fines, etc. A hora bien, la construcción de esta lógica sensoriom otriz se apoya en las coordinaciones precedentes p o r la abstracción de su poder de establecimiento de sucesión o clasificación prácticas (discrim inaciones de reconocimiento y generalizaciones p o r trans feren cia). -E l pensam iento intuitivo tom a luego de los esquemas sensoriomotores, a través de nuevas abstracciones, su poder de asim ilar lo real con el doble m ecanism o de la sucesión y la clasificación, pero traduciéndolos en form a de representaciones, es decir, acciones interiorizadas susceptibles de anticipaciones y reconstituciones m ás profundas y m ejor articuladas. Las operaciones concretas abstraen del pensam iento intuitivo estas articulaciones, pero las generalizan en form a móvil y reversible. P or últim o, las opera ciones form ales abstraen estas operaciones de su contexto lim itado para traducirlas en proposiciones independientes de toda acción concreta. Así, las operaciones lógicas y num éricas se construyen p o r etapas, y al mismo tiem po, se sustentan en todos los niveles en los elementos abstraídos de las coordinaciones del nivel anterior. D e este modo, las estructuras lógicoaritm éticas h u n d en sus raíces en las coordinaciones m ás elementales sin por ello estar preform adas y se elaboran en u n doble proceso de abstracción reflexiva (diferenciaciones) y generalizaciones que consisten en nuevas composiciones que integran los elementos de las estructuras precedentes. E n tercer lugar, lo propio de esta estructuración p o r etapas — con diferenciaciones e integraciones correlativas en c a d a 'u n a de ellas— es constituir, no sólo un enriquecim iento y una mayor agilidad gradual de las form as sucesivas de coordinación, sino además, y hasta cierto punto, u n a repetición am pliada de los mismos procesos form adores de un a etapa a la otra, con desajustes en el tiempo. E n efecto, en la etap a sensoriomotriz se ven perfilarse — pero como estados esquemáticos poco diferenciados— las mismas form as de organización que más tarde se desplegarán extensa m ente en la e tap a operatoria. Así, los esquemas sensoriomotores son el equivalente funcional de. las clases (aplicación de u n mismo • esquema a m últiples situaciones), las relaciones (relaciones.de diferencias o seme janzas utilizadas en la acción) e incluso de cierta cuantificación prenum érica por la acción com binada de la semejanza y el orden (repeticiones acum ulativas, por ejemplo con la im itación diversa según se trate de reproducir 1-2 veces ó 4-5 veces el mismo m ovim iento). Al descender de la etap a sensoriomotriz a la etapa instintiva vuelven a encontrarse, en form as au n más elementales y rígidas, procesos análogos, y así seguido, en u n a continuidad funcional com pleta entre lo orgánico y lo mental. Por ello, el núm ero — producto de la coordinación de acciones y no de acciones particulares— produce abstracciones reflexivas sobre las que

se apoyan las composiciones en cada nueva etap a sin discontinuidad funcional con las más lejanas 'y se relaciona a la vez con las actividades más fundam entales del sujeto, sin estar por ello contenido de antem ano en las coordinaciones del p unto de p artid a y constantem ente relacionado con lo real a través de estas coordinaciones, sin p o r ello ser resultante de una abstracción de los objetos como tales.

LA CONSTRUCCION OPERATORIA DEL ESPACIO D u ra n te estos últimos años, cuanto m ás profundo fue el análisis m a te m ático de las relaciones entre el núm ero y el espacio, más se hizo evidente el paralelism o existente entre estas dos clases de realidades. Esta conver gencia resulta tanto más sorprendente en la m edida en que d u ran te m ucho tiem po estuvo de m odo considerar el núm ero como representativo de la m atem ática pura, porque es exclusivam ente intelectual, y el espacio como el prim er dom inio correspondiente a la m atem ática aplicada, porque es de carácter sensible o perceptual. E sta oposición h a desaparecido totalm ente, p ero los motivos de su elim inación son particularm ente instructivos p ara la epistemología genética. Con los trabajos de Weierstrass, G. C antor y D edekind, ya se había puesto de m anifiesto u n a posible traducción entre el continuo geométrico y lo que se ha llam ado el continuo analítico o conjunto de los núm eros reales (racionales e irracionales). L a “potencia del continuo” es, en el lenguaje de la teoría de los conjuntos, la característica num érica equiva lente a las propiedades del continuo espacial. P or ejemplo, C an to r d e term ina po r u n a m ism a construcción de series convergentes los puntos de acum ulación que com ponen el continuo geométrico (se concibe cada uno d e estos puntos com o el lím ite de u n a serie de intervalos encajados) y los núm eros irracionales que llenan los blancos presentes entre los números racionales. Por o tra parte, los progresos de la topología se orientaron en muchos puntos hacia el encuentro con el núm ero. Así, el estudio topológico de los poliedros culm ina en una topología com binatoria y algebraica que casi ya n o difiere de un álgebra p u ra ; algunos grupos discretos y conm utativos — desarrollados recientem ente po r P ontrjagin— realizan u n a síntesis ta n estrecha entre lo topológico y lo algebraico que sus elementos pueden analizarse como m ateria de cálculo algebraico o como puntos vinculados p or un principio de vecindad. P or su parte, la teoría de los espacios abstractos perm ite hablar en lenguaje espacial de conjuntos cualesquiera a condición de determ inar u n a ley de vecindad, pero ella puede alejarse m ucho de las concepciones ordinarias vinculadas con este vocablo: p o r

ejem plo “el espacio de los núm eros racionales” ,1 etc. R ecíprocam ente, la teoría de los conjuntos h ab la de conjuntos abiertos y conjuntos cerrados, de fronteras, de exterioridad o interioridad, etc., en sentidos indiferente m ente geométricos o abstractos. Finalm ente, po r u n a elección convencional se decide, en algunas regiones lim ítrofes, si se ad o p tará el p u n to de vista de la vecindad espacial- o el lenguaje analítico de los conjuntos o los números. Así, u n joven m atem ático — B. E ckm ann— consideró recientem ente el dualism o del núm ero y el espacio como el ejem plo, no de u n a dualidad estática que opone dos propiedades cualitativam ente distintas, sino como un a dualidad “com plem entaria” en el sentido de la microfísica, es decir, precisam ente como dualidad de puntos de vista respecto de dos aspectos igualm ente necesarios de la m ism a realidad.2 A hora bien, desde el p u n to de vista psicológico se p odría pensar a prim era vista en u n a oposición esencial entre el espacio fu n d ad o en las percepciones y la m otricidad m ás elem entales y el núm ero, producto d e operaciones tardías y rápidam ente formalizables. Este contraste aparen te resulta incluso ta n engañador que, p o r ejem plo, K ant- pensaba el espacio y el tiem po como form as a priori de la sensibilidad, m ientras que reservaba p a ra el núm ero el papel de esquem a de unión entre el tiem po y el entendim iento. Sin embargo, confirm ando lo que acabam os de entrever de las opera ciones lógico-aritméticas, que h u n d en sus raíces en las coordinaciones m ás prim itivas de la acción, vam os a com probar que la construcción genética del espacio es, en realidad, exactam ente paralela a la del núm ero, en los diferentes planos, perceptual, sensoriomotor, intuitivo y operatorio, con la única diferencia de que el esquem atism o lógico-aritm ético procede de la acción con elementos discontinuos de lo real y el esquematism o espacial de la acción con elem entos continuos (ambos esquematismos se reúnen luego de m odo ca d a vez m ás estrech o ). E n efecto, si se tiene el cuidado de estudiar la percepción en el niño y no sólo en el ad u lto (donde padece po r reacción toda clase de influencias provenientes de la inteligencia op erato ria), se observa que los mecanismos perceptuales tam poco consiguen construir', de por sí, un espacio coherente, como tam poco culm inan en la construcción de las clases, las relaciones lógicas y los núm eros. Y si seguimos de cerca la construcción del espacio en el pensam iento intuitivo y en el plano de las operaciones concretas anteriorm ente al desarrollo del pensam iento form al, observamos que esta construcción corresponde paso a paso a la de las operaciones lógico-aritm éticas, con la única diferencia de que se tra ta de operaciones infralógicas que se refieren a la elabora ción del objeto, o de los objetos de diversos órdenes, y no de operaciones lógicas o num éricas referidas a los diversos modos de reunión d e objetos discontinuos (en clases, relaciones seriadas o n ú m e ro s). 1 Véase Kuratowski: Topologie. 2 B. Eckmann: Topololgie und algebra. Vierteljahrschriít d, Naturf,, ges,, Zurich, 1944, pág, 26,

Los datos de la construcción genética convergen pues, en vez de divergir, con los resultados de la construcción teórica y la correspondencia es hasta tal p unto exacta que — contrariam ente a las opiniones corrientes acerca de la estructura m étrica euclidiana del espacio original— las rela ciones topológicas son las prim eras en organizarse, de donde surge el p arale lismo en tre los encajes espaciales (así como las relaciones de orden o em plazam iento) y las clasificaciones (así como las seriaciones) lógicas. 1.

C

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de

las

in t e r p r e t a c io n e s

e p is t e m o l ó g ic a s

L a construcción del espacio es solidaria, no sólo de todo el desarrollo m en tal de cada u n a de estas etapas, sino adem ás de to d a la evolución biológica hasta, e incluidos, los procesos elementales de la m orfo génesis vital. E n el extremo superior de este desarrollo, el espacio se genera por las operaciones deductivas de la geometría. Pero estas operaciones form alizadas están precedidas por operaciones concretas que h u n d en sus raíces en intuiciones diversam ente articuladas. Estas intuiciones proceden de un espacio sensoriomotor y perceptüal que se sustenta en u n espacio postural y reflejo, “actuado” antes de ser percibido o concebido. Sin em bargo, todo instinto anim al supone ya una geom etría (véanse las figuras regulares de las células de u n a colm ena o de u n a tela de a r a ñ a ) , y toda la morfogénesis (que en p arte prolonga el instinto) es u n a creación con tinua de “form as” elaboradas en conexión con el medio; Por . lo tanto, es evidente que surgen los mismos problemas epistemológicos a propósito de ca d a u n a de estas etapas, y adem ás con la m ism a posible diversidad de soluciones. Existen en p articular tantas diferencias entre las diversas in ter pretaciones de la percepción espacial — por lo tan to entre las epistemologías que consideran el espacio como u n a “form a de la sensibilidad”— como entre las m últiples teorías acerca de la deducción geom étrica, abordada como actividad del intelecto. L a historia misma de las explicaciones del espacio resulta de por sí extrem adam ente significativa desde este punto de vista. E n efecto, puede decirse que la" interpretación de la geom etría m oderna h a evolucionado, en grandes rasgos, desde u n a concepción que pone todo el acento en la propiedad perceptüal o “sensible” del espacio, hasta u n a concepción que reduce la. geom etría a u n a especie de lógica: ahora bien, en ca d a uno de estos extremos vuelven a encontrarse las mismas oscilaciones entre las formas' innatas y las formas empiristas, y el mismo esfuerzo p o r escapar a estas dos exageraciones contrarias y encontrar relaciones de interdepen dencia entre el sujeto y el objeto. Descartes, al apoyarse en su descubrimiento de la geom etría analítica, ite u n a suerte de paralelismo entre el álgebra y la geom etría, tal que, a las figuras constituidas por las curvas corresponden las ecuaciones del cálculo algebraico y recíprocam ente; pero este paralelism o que se sustenta en el dualismo metafísíco entre la - extensión y el pensam iento no conduce, en su sistema, a u n a unidad real de la construcción operatoria y la intuición espacial. Con K an t, se acentúa -el dualismo entre el espacio concebido (com o el tiem po) como forma a priori de la “sensibilidad” e s p a c io

.

del

y el entendim iento lógico, apareciendo entre ellos el esquem atism o del núm ero que, por o tra parte, se basa en el desenvolvimiento tem poral y no en la extensión. D u ran te casi todo el siglo x ix , la interp retació n del espacio se centraliza en el o perceptual entre el sujeto y. el objeto físico, y oscila entre, por u n a parte, el “innatism o” o apriorism o y, por la otra, diversas form as de “em pirism o” o g e n e tis m o p e r o sieifipre está presente como un trasfondo la idea de una oposición en tre el carácter sensible o intuitivo de la extensión y el aspecto lógico o com binatorio del análisis y el álgebra. E n cambio, tam bién duran te el siglo x ix , se p rep arab a ya la crisis de la geom etría de donde surgieron, en el período contem po ráneo, las interpretaciones del espacio que tienden a desprenderlo de la intuición perceptual o en imágenes, p ara concebirlo en función de un a construcción deductiva que ya no se aplica sim plem ente a posteriori a formas dadas previam ente por la sensibilidad, sino que realm ente las genera (en todas sus partes o gracias a u n a generalización que interviene apenas se produce el o sensoriomotor con el objeto físico). Gomo todos sabemos, esta crisis fue el resultado de la gradual elabo ración de las geometrías no euclidianas, que pusieron de m anifiesto la existencia de u na p luralidad de modelos, entre los cuales sólo uno corres ponde directam ente a nuestra m a n era de percibir el espacio próxim o y práctico. Y la realización acab ad a de las controversias nacidas a p artir de este descubrim iento fundam ental estuvo m arcad a p o r dos aconteci mientos decisivos que liberaron la interpretación del espacio de la intuición sensible: la teoría de la relatividad y el empleo del método axiom ático. En efecto, por u n a parte, la m ecánica einsteiniana mostró que el espacio del m undo físico deja de ser euclidiano a cierta escala y cuando se h a n su perado ciertas velocidades, p rueba que el espacio de nuestra percepción se relaciona con condiciones lim itativas que elim inan su valor -de m arco a priori o expresión adecuada del objeto en general. Por otra p arte, la libre construcción deductiva de u n conjunto indefinido de modelos espa ciales probó sim étricam ente que el espacio intuitivo resulta tam bién inade cuado p ara agotar la actividad operatoria espacializante del sujeto y los caracteres del objeto espacializado. Si queremos clasificar las diferentes posibles interpretaciones del espa cio, nos encontram os en prim er lugar ante u n a heterogeneidad de planos, según se ponga todo el acento en la explicación del espacio perceptual o en la del espacio construido deductivam ente. D esgraciadam ente el papel que se atribuye a la intuición sensible o a la deducción tam bién varían, de m odo considerable, en los . diversos períodos de la historia analizada cuya esquema acabam os de recordar. Entonces el problem a interesante no consiste en despejar la oposición entre u n a teoría de la percepción espacial y u n a teoría de la deducción geométrica, sino en encontrar, en cada uno de los planos que exploraron las diversas epistemologías, en el transcurso del tiempo, las mismas divergencias o las mismas convergencias, expresadas a veces, en térm inos de sensibilidad y otras en térm inos de construcción lógica. A hora bien, estas com paraciones son tanto m ás sugerentes en la m edida en que las etapas, estudiadas respectivam ente en la

sucesión histórica de las doctrinas, corresponden a estadios, todos reales y actuales, del desarrollo psicológico del espacio. En efecto, no es falso itir con K a n t que el espacio es u n a form a de la sensibilidad: existe, 110 hay desacuerdo sobre este punto, u n espacio perceptual qu e de p o r sí plantea todos los problemas epistemológicos; se tra ta solam ente de saber si este espacio perceptual p u ed e d a r cuenta del espacio de la geom etría m oderna, y en este punto la historia m ism a resulta suficiente p a ra reestablecer las posiciones adecuadas. Existe tam bién u n espacio orgánico, u n espacio postural, un espacio sensoriomotor, u n espacio de la intuición en imágenes, u n espacio de las operaciones concretas, u n espacio de las opera ciones formales y u n espacio axiomático. Lo esencial rad ica pues en no confrontar así no m ás las teorías que se refieren a uno de estos planos, sino en poner de manifiesto, respecto de cada uno o respecto de los principales, las posibles variaciones de la interpretación epistemológica. E n este sentido, las principales doctrinas — históricas o actuales— se refieren a las fuentes intuitivas, a la elaboración deductiva, o bien a am bas al mismo tiem po. Por lo ta n to , conviene orientar nu estra clasificación esencialm ente en función de estas posiciones extremas. A h o ra bien, ya se trate de percepción o m otricidad elementales, o bien de construcción intelectual, en ambos casos vuelve a encontrarse el cuadro de posibles com binaciones entre la recurrencia a factores internos y factores externos; com binaciones cuyo núm ero es lim itado pero susceptible de presentar todas las gradaciones interm edias posibles. P ara cada plano existe u n a oposición esencial que separa, en prim er lugar, las teorías que conciben el espacio, perceptual o conceptual, como u n a realidad d ad a ya enteram ente constituida, sin porvenir ni construcción alguna, y las que lo in te rp re tan como u n sistema de relaciones que se elaboran progresivamente. L lam arem os a estas dos clases respectivam ente teorías no genéticas e interpretaciones genéticas. Así, el espacio absoluto de N ew ton y Clarke, concebido como u n sensorium Dei, o el espacio de K an t, form a a priori de la sensibilidad trascendental del hom bre (es decir sensorium hom inis), son modelos de concepciones no genéticas; en cam bio, el espacio concebido — por Poincaré, Brunschvicg o Enriques— como u na coordinación progresiva de los movim ientos y las acciones y luego de las relaciones intelectuales, cualitativas o m étricas, es un a realid ad esencial m ente genética. Sin em bargo, hay otra oposición que recorta la precedente: puede pensarse que la realidad externa im pone el espacio de la geom etría, es decir que hay u n espacio físico que existe independientem ente de nosotros en u n m undo de objetos del cual constituye la red o el continente, o bien se lo puede interp retar como u n a form a de las percepciones o el intelecto del sujeto, im puesta a los fenóm enos objetivos a p artir del o p e r ceptual m ás elemental, o a m edida que se realiza su interpretación racional. Así, entre los puntos de vista no genéticos, el de N ewton es esencialmente realista, m ientras que el de K a n t se apoya en u n a elaboración endógena: del mismo modo, entre los puntos de vista genéticos, el de Enriques se

apoya en el dato' físico interpretado de m odo em pirista y el d e Brunschvicg en la actividad del sujeto. A p a rtir de lo anteriorm ente expuesto, surge entonces u n cuadro de doble entrada. U n a de sus dimensiones es la distinción dicotóm ica entre las teorías no genéticas y genéticas. Las teorías genéticas son susceptibles d e diversos grados, pero no puede concebirse u n p u n to de vista desde el cual se niegue la oposición entre lo genético y lo no genético, puesto que si se quiere suprim ir esta oposición se culm in ará en la negación de la génesis misma. L a otra dim ensión del cuadro com prende, p o r el contrario, tres posibilidades: las interpretaciones basadas en el objeto, en el sujeto, o, entre ellas^' aquellas que niegan todo dualism o radical entre los factores endógenos y exógenos y los conciben, ya sea como fundidos en un solo todo desde el comienzo (puntos de vista no genéticos), o como relacionados por un sistema de interacciones indisociables (puntos de vista genéticos). Se obtienen así seis posibilidades principales; en ellas podem os reconocer las seis posiciones epistemológicas generales descriptas en el p u n to 4 de la Introducción, pero aplicadas ahora al problem a especial del espacio. E n el plano del espacio perceptüal y sensoriomotor, las soluciones no genéticas y las soluciones genéticas llevaron du ran te m ucho tiem po, por una parte, el nom bre de apriorism o e “innatism o” y, p o r la otra, de “empirismo” . Sin em bargo, deben distinguirse muchos matices en cada una de estas dos clases y en estas últimas décadas se ad o p taro n nuevas actitudes que no pueden reducirse a este cuadro clásico. E l térm ino “innatism o” , en p articular, recubre en realidad (al menos desde el punto de vista epistemológico) dos soluciones distintas: la que hace de la percep ción espacial una “facultad” in n a ta que aprehende directam ente desde afuera u n espacio ya enteram ente construido en el m u n d o exterior; y aquella que reduce la percepción del espacio a u n a conciencia de nuestra p ropia organización, que asim ila los datos externos a su estructura interna. U nicam ente esta últim a form a de innatism o pu ed e com pararse con el apriorism o kantiano, siendo su traducción psicológica y fisiológica; en cam bio, la prim era form a de innatism o conduce a un realism o epistemo lógico. E n tercer lugar, en estos últim os años surgió u n a teoría no genética del espacio perceptüal que lleva el nom bre de “teoría de la form a” (vinculada con la epistemología fenom enológica) y que ite un a organización espacial que abarca en u n a sola totalidad los factores internos y los factores externos. E n cuanto a las teorías que d u ran te m ucho tiempo se llam aron “em piristas” , hay que distinguir tam bién dos tipos m uy dife rentes, incluso ta n distintos entre sí que conducen a u n a clara oposición epistem ológica: en efecto, si bien am bas son genéticas, únicam ente la prim era es “em pirista” desde el punto de vista del conocimiento, en cam bio la segunda conduce al reconocim iento de la existencia de una interacción relativista entre el sujeto y el objeto. L a p rim era fu n d a al espacio en las “sensaciones” asociadas entre sí, y la segunda lo sustenta en la acción (a p a rtir de la m otricidad y la actividad sensoriomotriz y p e rc e p tü a l). Además, se intercala entre estas teorías el p u n to de vista

— desconocido en el siglo xix— del convencionalismo, que Poincaré

in tentó fundar a p a rtir de un análisis que tam bién se rem ontaba hasta la coordinación sensoriomotriz. E n resumen, las teorías genéticas del espacio perceptual conducen a u n a prim acía del objeto (empirismo propiam ente d ic h o ), a un a prim acía del sujeto (convencionalism o), o bien a u n a interacción entre ambos (rela tivismo de la acción). Estos tres puntos de vista corresponden así, térm ino a térm ino, con las soluciones no genéticas: p rim acía del objeto (innatismo realista), prim acía del sujeto (apriorism o), e interacción (fenomenología de la “forma” ). Esta correspondencia resulta incluso ta n evidente que se la vuelve a encontrar en muchos grados interm edios entre los dos extremos de cada par: por ejemplo, la teoría de W u n d t se encuentra a m itad de cam ino entre el innatism o de H ering y el em pirism o de H elm holtz; el con vencionalismo de Poincaré se apoya en u n a in terpretación sensoriomotriz de los “grupos de desplazamientos” que no está alejada del innatism o apriorista; por últim o, desde la “teoría de la fo rm a” h asta la del espacio activo y m otor pueden concebirse todas las transiciones que unen u na interpretación estática al dinamismo de la acción. E n cuanto a las interpretaciones del espacio deductivo y, en particular, de las diversas formas de la geom etría axiom ática, se vuelven a encontrar las mismas seis posibilidades pero con u n a transposición im portante de los térm inos presentes. E n el caso del espacio perceptual, el sujeto es el yo que percibe y el objeto está constituido por las form as o las figuras de los cuerpos; en cambio, en el caso del espacio deductivo — y, en particular, de esta deducción depurada que caracteriza a la axiom ática contem po rá n e a — , el sujeto está representado por la actividad deductiva form ali zada, siendo entonces el objeto todo aquello que se considera como exterior a esta actividad form al (o, según los puntos de vista, en interacción con e lla ), es decir que es espacio “intuitivo” como dice el geómetra, ya se conciba esta realidad intuitiva como la expresión d e u n a experiencia física posible, o sim plem ente como un dato externo a la deducción axiomatizada. D e donde surgen las seis combinaciones siguientes. E n prim er lugar, cabe distinguir las concepciones no genéticas de la axiom ática geom étrica — es decir, aquellas que consideran las proposiciones de la geometría deductiva como teniendo u n a consistencia perm anente, independientem ente de su descubrimiento histórico y de las operaciones psicológicas presentes en su elaboración— y las concepciones genéticas — según las cuales la axiom ática m ism a se h alla en constante transform a ción y no se la puede independizar de su propia construcción m ental— . Entre las concepciones no genéticas, se en cu en tra la prim acía del objeto, la del sujeto y la interacción entre ambos. E l objeto y el sujeto se definen del m odo que acabamos de señalar. El realismo del objeto consistirá, en el caso del pensamiento axiom ático, en considerar los p rin cipios. itidos como' axiomas, o las proposiciones construidas m ediante ellos, como la expresión de una facultad que apreh en d e directam ente seres (de' razón o experimentales) exteriores a ella. Así, p a ra los griegos, los axiomas, considerados como verdades evidentes, traducen la existencia de formas exteriores a nosotros. Según Russell expresan a priori, pero de

m odo analítico (y sin construcción sintética inherente al sujeto), la posibi lidad de la experiencia y se h allan en u n a situación com parable a la de los conceptos lógicos en tanto conocimiento inm ediato de los universales 3, etc. Las concepciones caracterizadas por la prim acía del sujeto consistirán, por el contrario, en itir u n a construcción axiom ática (por lo tanto, depu rad a de toda intuición) que se bastará a sí m ism a y no corresponderá a lo real (intuitivo o experim ental) salvo como m arco necesario, com ún al espíritu y a las cosas. Así, D. H ilbert, én un interesante artículo acerca de las relaciones entre la lógica y la realidad, considera que los axiomas de orden y congruencia se aplican a lo real (por ejem plo, a las leyes de la herencia o biología), no porque se los extraiga de las cosas, sino porque provienen de lo que él llam a u n a especie de “arm onía preestablecida” , es decir, u n a preform ación sintética a priori que condiciona a la vez al espíritu que piensa y a lo real pensado po r él.4 P or últim o, el punto de vista de la indisociación entre el espíritu y las cosas está representado p o r las in terp re taciones fenomenológicas que ven en la construcción geom étrica la expre sión de intuiciones racionales de diversos órdenes, escalonadas entre la intuición vulgar y lo que M . W inther h a llam ado tan acertadam ente el conocim iento “transintuitivo” . En cuanto a las interpretaciones genéticas, se encuentran tres posibi lidades: la prim acía del objeto, la prim acía del sujeto y la interacción entre ambos. E l prim ero de estos tres puntos de vista está representado por aquellos autores que explican la construcción de las axiomáticas p o r un a abstracción progresiva a p a rtir'd e los datos sensibles y la experiencia física. Enriques inauguró esta vía en' el campo de la filosofía geom étrica y Gonseth desarrolló u n a teoría del esquematism o que exam inarem os más adelante , (en el p u n to 11) ; según él, el “esquem a” que. caracteriza el arm azón de las axiom áticas es sim ultáneam ente la expresión de las conductas del sujeto y la visión sim plificada o “sum aria” de los caracteres del objeto, pero con u n a tendencia a la acentuación de este segundo aspecto. L a prim acía del sujeto se afirm a, po r el contrario, en las teorías convencionalistas — la más decisiva es la de H . Poincaré— y que vuelven a encontrarse en p arte en algunas de las concepciones de la epistem ología nom inalista del círculo de V iena, cuya concepción de convención. adquiere entonces la fo rm a d e l. “lenguaje” lógico o “tautológico” . Por últim o, la interacción entre el sujeto y el objeto constituye la idea central de las interpretaciones operatorias de la deducción espacial o geom étrica, interpretaciones que vuelven a encontrarse en p arte en Enriques y, en particu lar, en G onseth (a pesar del acento que am bos ponen en el objeto m ás que en la acción) y que hemos de desarrollar en la segunda p arte de este capítulo. A hora, lo im portante, ya que hem os clasificado estos diversos puntos 3 B. Russell: An essay on the foundations of geometry. Cambridge, 1897, y “Sur les axiomes de la géométrie”, Reu. Mét. Mor., 1899, pág. 687: “Lo que puede descubrirse por medio de una operación debe existir independientemente de esta operación: América existía antes de Cristóbal Colón” , 4 D. Hilbert: “La connaissance de la nature et la ique”. Trad. M. Müller. Enseignement math., t. xxx, págs. 22-23, en particular, pígs, 27-30.

de vista, es exam inar sucesivamente (y sin confundirlos) los problem as del espacio perceptüal o sensoriomotor y los problem as de lo que hemos de llam ar el espacio operatorio, confrontando los principales tipos de hipótesis distinguidos h ace un instante con los datos psicogenéticos actualm ente conocidos. 2.

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p ir is m o

E n el m undo externo percibim os formas, suce siones ordenadas, proyecciones, similitudes, distancias (en p articular, en profundidad) m agnitudes bi o tridim ensionales, etc. Cabe pensar en tonces que el espacio se da a través de la percepción del objeto percibido y, en prim er lugar, nada parece más evidente que la tesis em pirista según la cual basta disociar estos caracteres espaciales de las otras cualidades de la realidad sensible p ara obtener, por abstracción, un espacio a la vez expe rim ental e intuitivo (en tanto la im agen prolonga la sensación). Y, sin em bargo, en el terreno mismo de la crítica filosófica, el análisis reflexivo de Berkeley, en su famoso “Ensayo sobre una nueva teoría de la visión” ya dem uestra que ño se “ve” directam ente el espacio y tam poco los objetos en el espacio. D espués que el pensam iento de H um e term inó p o r disolver el soporte sustancial del espacio exterior, K a n t invirtió la relación inicial establecida p o r el empirismo, entre el sujeto que percibe y las cosas, situando el espacio en la sensibilidad a priori del sujeto. H

e r e n c ia

y

s e n s a c ió n

.

Este conflicto entre el empirismo y el apriorism o filosófico ¿puede acaso resolverse en el terreno de la psicología genética? Por cierto, esta psicología sólo alcanza las percepciones espaciales en situaciones en las que el sujeto se encuentra en relación con u n a experiencia, y el exam en de estas percepciones sólo puede realizarse en un orden cualquiera de su cesión; de ahí surge la apariencia de un prejuicio en favor 4de la expe riencia y la génesis progresiva. Sin em bargo, no se trata sino de u n a apariencia. Si el espacio constituye u n a form k a priori que preexiste a la práctica de nuestros órganos sensoriales y a todo o m otor — perceptual o intelectual— entre el sujeto y las cosas, ello sólo puede reconocerse no obstante en el m om ento en que se produce esta p ráctica y este o. Los biólogos están acostum brados a razonar con ciertas variaciones que sólo se producen en u n m edio determ inado, pero sin em bargo tienen como causa la actualización de u n . carácter endógeno latente, y n ad a im pide recurrir a una explicación sem ejante en u n plano p u ram en te m ental p ara d ar cuenta de las organizaciones perceptuales qu e.la experiencia no im pone al sujeto, sino que, por el contrario, em anan únicam ente de él. Es cierto que todo recurso a la herencia no hace sino colocar m ás atrás el problem a epistemológico, y que este problem a debería plantearse desde el prim er o perceptüal entre los organismos ancestrales y el m edio percibido. Pero, a falta de certeza, el análisis psicobiológico podría, sin embargo, proporcionar u n a prueba inductiva de alto grado de probabilidad en favor del apriorismo, si él fuera verdadero. Por el. contrario, si las mismas expe riencias repetidas provocan en sujetos de diferente edad m ental (o m ejor

”.

aú n en estadios sucesivos de desarrollo del m ism o sujeto) reacciones perceptuales que ponen de m anifiesto organizaciones espaciales m uy diferentes, el apriorism o saldría debilitado de esta prueba. E incluso si se form ulara entonces la hipótesis de u n a m aduración endógena de las estructuras a priori, p odría seguirse pensando en la disociación de los factores internos y externos, así como en la de la m aduración y la práctica, puesto q u e ella corresponde a u n a de las tareas actuales de la psicología genética. Por lo tanto y con todo derecho, Jo h an n es M üller, H elm holtz, H ering, K u n d t, Panum , W u n d t y m uchos otros, llevaron la cuestión del empirismo y el apriorism o al terreno de la psicofisiología, y algunas variedades del “innatism o” fueron consideradas como traducciones fisiológicas o psico lógicas de la tesis k antiana que afirm a la existencia de u n a “form a” de sensibilidad trascendental. E n efecto, K a n t n o h a negado n u n ca qu e el espacio genere u n a tom a de conciencia solam ente cuando se produce la experiencia: sim plem ente afirm ó que esta experiencia no explica ai espacio, sino que provoca u n a actualización de form as virtuales anteriores a ella (el razonam iento es susceptible de repetirse en el plano del sensorium an cestral). Ciertos tipos de teoría innatistas afirm an lo mismo pero, como hemos visto en el p u n to 1, no todas ellas son idénticas entre sí desde este p u nto de vista, puesto que atrib u ir a la retin a — con Jo h . M ü ller y H ering— u n poder innato p a ra percibir las distancias y las dimensiones puede ser tom ado en u n sentido kantiano o, p o r el contrario, puede rem itirse a la hipótesis de u n a fa c u lta d . hereditaria, que perm ite leer de modo inm ediato (sin p ráctica n i experiencia algunas) los datos del m undo físico exterior. El gran adversario de las teorías innatistas, H elm holtz, dice en efecto “que ellas atribuyen la localización de las im presiones en el cam po visual a u n a disposición in n ata, ya sea p o rq u e el alm a tiene un conoci m iento directo de las dimensiones de la retina, o bien p o rq u e la excitación de fibras nerviosas determ inadas da lugar a ciertas representaciones de espacio a través de un m ecanism o preestablecido” .3 H elm holtz considera como “u n a extensión de la opinión de K a n t” la teoría de Joh. M üller, de quien cita este sorprendente texto: “no pued e existir sensación alguna fu e ra de la idea de espacio y tiem po. Pero en cuanto a aquello qu e llena el espacio, sólo nos sentimos a nosotros m ism os en el espacio, cuando hablam os de sensación o sentido; el juicio nos perm ite distinguir, en el espacio objetivam ente lleno, solam ente las p a rte s de nosotros mismos que están en estado de afección, sensación aco m pañ ad a de la conciencia de causa externa de la excitación. E n cada cam po visual, la retina ve su p ropia extensión en el estado de afección” , etc.6 Sin em bargo, p a ra otros fisiólogos — y, en particular, en H ering, cuando sustituye la tesis global de su predecesor por u n análisis detallado de las regulaciones fisiológicas presentes en estos mecanismos “innatos”— la percepción del espacio se 5 H. Helmholtz: Optique physiologique. Trad. Javal y Klein. París, Masson, 1867, pág. 1010. 6 Trad. de J. Müller: Zur. vergleichenden Physiologie des Gesichtssinns, pág. 54.

convierte sim plem ente en una facultad de aprehender directam ente los datos externos. A hora bien, e independientem ente de estos diversos matices aprioristas 0 realistas, el innatism o tuvo que enfrentarse con un retorno ofensivo del empirismo, que sostiene la necesidad de la experiencia, y en p a rtic u lar del ejercicio m otor (movimientos de los ojos para las percepciones visuales, etc.), p ara la construcción del espacio perceptual. Sin em bargo, el “em pirismo” mismo se ha presentado, desde el punto de vista episte mológico, en las formas más diversas y a m enudo muy alejadas d e las .que corresponden a este térm ino en el cam po de la teoría del conocimiento en sentido estricto. E n efecto, recurrir a la experiencia y la m otricidad puede conducir a u n a interpretación basada exclusivamente en las sensaciones (visuales, táctiles, etc., o motrices, es decir, kinestésicas) así como a sus asociaciones, pasivam ente sufridas;, nos encontram os entonces en la línea clásica del empirismo. Sin em bargo, con los “signos locales” de Lotze, los “signos locales com plejos” de W undt, y en particular con los signos locales interpretados de entrada m ediante razonamientos inconscientes, como en H elm holtz, nos alejamos cada vez más del empirismo epistem o lógico. G uando H elm holtz escribe que “las' sensaciones son, p ara nuestra conciencia, signos cuya interpretación corresponde a nuestra inteligencia” ,7 y que considera cada percepción espacial como solidaria de toda la expe riencia anterior del sujeto constantem ente interpretada con la ayuda de la m otricidad, “la repetición singular de la asociación de dos representa ciones” se nos im pone entonces “con ta n ta más intensidad y necesidad cuanto más a m enudo se nos ofrece” 8 se convierte en un a fórm ula que, al mismo tiem po que conserva su form a clásicam ente asociacionista, deja entrever m uchos otros desarrollos diferentes de los del empirismo. E n cuanto a 'W undt — que afirm a no ser apriorista ni empirista, pero que H elm holtz clasifica entre los em piristas— sabemos que recurre, en lugar de los “razo namientos inconscientes” del gran fisiólogo, a una síntesis o fusión ( V e r schmelzung) de las sensaciones, unas retinianas (pero sin localización innata y sencillam ente indicadoras de la existencia de posiciones distintas) y las otras relativas a la rotación del ojo.9 W u n d t considera que esta fusión, anterior a la tom a de conciencia, im plica u n a “génesis” del espacio, apoyada en procesos sensoriomotores complejos: u n a base hereditaria sensorial, pero carente de significación espacial de los elementos como tales, y un a síntesis construida en relación con el ejercicio m otor, pero preconsciente. Vemos que el “em pirism o” de W undt, así como el de Helmholtz, deja u n m argen bastante am plio de posibles interpretaciones epistemológicas. H ay dos problem as fundam entales que, pensamos, plantean frecuentes conflictos históricos entre el “innatism o” y el “empirismo” : el de la herencia de los m arcos perceptuales y el de la significación epistemológica de la . 7 Optique physiol. Trad. mencionada,, pág. 1001. 8 Ibíd., pág. 1002. 9 W. Wundt: Grundzüge der Physiologischen Psychologie. Leipzig, Kroner.

“sensación” . Estos dos problem as, por otra parte, son solidarios entre sí. Respecto del prim er punto, hay que distinguir adem ás dos cuestiones: la de la génesis biológica de las formas hereditarias y la de las relaciones entre las estructuras innatas eventuales y el conocim iento actual del sujeto individual (conocim iento tal como se m anifiesta en el transcurso de la psicogénesis). L a discusión de esta segunda cuestión nos conduce al problem a del papel epistemológico de la sensación. R ecurrir a la herencia presenta pues dos clases de cuestiones muy diferentes. A hora bien, desde el p unto de vista epistemológico y en cuanto a la form ación de las estructuras hereditarias, atrib u ir a ciertas estructuras la cualidad de transm itirse hereditariam ente no significa prácticam ente n a d a : sim plem ente se desplaza el problem a y todos los problemas vuelven a encontrarse entonces en el terreno de lo biológico. Si la retin a tiene el poder innato — como quería Joh. M üller— de percibir las distancias por ú n a especie de tom a de conciencia directa de las imágenes que se im prim en en ellas,10 y si toda im presión retiniana im plica — como agregaba H ering— u na sensación de altura, anchura e incluso profu n d id ad (por u n a com bi nación de puntos correspondientes de u n a retina a o tra, que proporcionan de a dos la m ism a localización y son llam ados “idénticos” ), p a ra decidir la significación epistem ológica de estas facultades innatas, se tra ta entonces de averiguar cómo se h a form ado la retina en el transcurso de la serie anim al que culm ina en el hombre. Si por azar la solución lam arckiana que propone u n a lenta adquisición de los órganos en función del hábito y las presiones del m edio fu era verdadera, la conjunción de la hipótesis de la herencia de lo adquirido con el innatism o espacial desembocaría en defi n itiva en u n a justificación del empirismo epistemológico, au n cuando el espacio; inn ato en el hom bre, se im pusiera a p r io ri. en el sujeto. Pero cuando el innatism o se apoya en una preform ación biológica o en una m utación, sustentada en explicaciones puram ente endógenas, de las v aria ciones hereditarias, el recurso al innatism o im plica la negación de las interpretaciones em piristas en el sentido epistemológico. Lo que acabam os de afirm ar p a ra la retin a se aplica naturalm en te a cualquier otro órgano que intervenga en la construcción del espacio, por ejemplo, ios músculos del ojo — cuyos m ovim ientos intervienen, según Lotze, H elm holtz y W undt, en la estim ación de las distancias (y que, según Lotze, están controlados por reflejos q u e ’ se relacionan hereditariam ente con los signos locales) o los órganos de equilibrio mencionados luego por Gyon, etc. E n resum en, si se vincula la génesis del espacio con la estructura innata de u n órgano, sea cual fuere, o del organism o en su totalidad, el problem a epistemológico, en vez de situarse en térm inos de relaciones entre la actividad del sujeto y los objetos dados en la experiencia, debe situarse entonces en el terreno de las relaciones entre la actividad orgánica o morfogenética y el m edio am biente. A hora bien, como veremos m ás d etallad a 10 “j Hering y A. Kundt llegaron a itir que el alma veía directamente las distancias de dos puntos retinianos, no en función del arco retiniano, sino en función de la cuerda.” Helmholtz: loe. cit., pág. 1011.

m ente a propósito de la epistemología biológica, este desplazam iento de los problem as no los hace desaparecer n i tam poco los aten ú a en absoluto, y surgen las mismas soluciones (las seis combinaciones enum eradas en el punto 1 de este capítulo 2, o en el p u n to 4 del capítulo 1) en el dominio de las interpretaciones de la evolución y la variación orgánicas. P or más atrás que nos rem ontem os, y au n si nos colocamos en el p unto de vista totalm ente hipotético del prim er cuerpo vivo microscópico diferenciado de la realidad fisicoquímica que entonces le. sirve como medio, siempre puede concebirse que este m edio se im prim e sobre él a través de las presiones exteriores m encionadas por el em pirism o; pero tam bién puede considerarse que este ser vivo impone a los otros cuerpos sus estructuras endógenas, generadas p o r un m ecanism o que h a regulado su form ación (y que en este caso sería la resultante de relaciones necesarias, que desem peñan u n papel de a priori en relación con los intercam bios ulteriores) ; por últim o, puede reunirse este organism o naciente y su medio, en u n .solo sistema de interacciones que expliquen su evolución después de h aber dado cuenta de su m ism a génesis. R ecurrir a la herencia im plica pues p u ra y sim plem ente rem itir el problem a epistemológico a la biología y no es en absoluto u n a solución de este problem a. Si recurrir a la herencia retrotrae las soluciones m ás que adelantarlas, en cam bio hay un segundo problem a respecto del cual la psicología genética puede proporcionarnos ya algunas enseñanzas, sin p o r ello esperar que se resuelva el problem a biológico de la évolución y la organogénesis: se trata de saber cómo u n a estructura espacial hered itaria se im pone a la percepción o la inteligencia del sujeto. Este segundo problem a, que más atrás hemos distinguido del problem a de la herencia m ism a es, en efecto, m uy diferente y en ciertos sentidos ta n im portante p a ra la epistemología como lo sería la solución del problem a de la herencia biológica: se trata de la ontogénesis, opuesta a la filogénesis y al mismo tiem po, como sabemos, en p arte solidaria de esta últim a. E n este p u n to el conflicto entre el “innatism o” y el “em pirismo” resulta de lo más instructivo cuando se lo exam ina retrospectivam ente y cuando se com para la posición actual de los problem as. Si leemos a Joh. Mül'ler, H ering o a los innatistas m ás recientes — S tum pf o D u n an — , cabe pensar que el sector hereditario de la .percepción espacial tiene la propiedad de explicar el espacio en su totalidad, como si este nivel de las estructuras innatas constituyese la base, am plia y sólida, de un a especie de pirám ide cuyos escalones dism inuirían en dimensión e im portancia a m edida que uno se eleva hasta un extrem o superior exiguo y frágil que correspondería al espacio conceptual o deductivo. Así, las distancias —concebidas según Joh. M üller y H ering como relaciones retinianas here ditarias y ya organizadas en los tres ejes de coordenadas del espacio euclidiano— serían el fundam ento de to d a percepción ulterior y de toda construcción racional de las longitudes, etc. A hora bien, el cuadro que nos sugiere el estado actual de los conocimientos psicogenéticos, en el dominio del espacio, es exactam ente el inverso. Suponiendo que pueda itirse u n a percepción hereditaria de las distancias en las tres dim en-

siones (formulemos por u n instante esta hipótesis) sólo se trataría d e un sector lim itado del espacio próxim o: sobre este pequeño escalón inicial, h ab ría entonces que colocar u n escalón m ás am plio correspondiente a las distancias conquistadas en el transcurso de la actividad sensoriomotriz, y luego de este escalón v en d ría otro aú n m ás im portante constituido por la representación in tu itiv a de las distancias, etc. E n resumen, se obtendría así una pirám ite invertida, que se apoyaría en su vértice y se am pliaría a 'm e d id a que aum ente su altura, es decir, con los niveles de desarrollo cada vez más alejados de lo dad o hereditariam ente. M ás precisam ente, sería necesario recurrir a u n a especie de espiral con círculos cada vez m ás amplios, que se integrarían a los anteriores y cuyo p unto de p artid a sólo m an ten d ría u n o con las estructuras orgánicas innatas. Exam inemos u n ejem plo perteneciente a un dom inio donde el p ap el uc la herencia es m ucho m ás seguro que en el caso de ias distancias entre signos locales retinianos. Existe u n a organización postural que co n tro la las posiciones del propio cuerpo: sea cual fuere el mecanismo hereditario, podem os — incluso desde m uy tem prano— colocarnos en posición re c ta o vertical, y 'e n posición acostada u horizontal. M ucho antes de saber cam inar, el bebé sabe sostener su torso o su cabeza en posición erg u id a y esta postura equilibrada se distingue de u n a serie de otras posibles posturas. Por lo tanto, con todo derecho puede hablarse de un espacio postural p ara designar el conjunto de las coordinaciones entre los m ovim ientos y las posiciones que caracterizan esta form a de actividad orgánica (que desem peña incluso, como lo h a m ostrado W allon, u n papel im p o rtan te en los comienzos de la v id a m ental) y, desde este p u n to de vísta, el cono cim iento práctico de la vertical y la horizontal puede considerarse como siendo hereditario. Por el hecho de que se ita que u n a conducta in n ata im plica estas dos relaciones, ¿será necesario acaso deducir que se en contrarán en todos los otros niveles de la conducta, y qu e u n niño pequeño sabrá percibir los objetos y luego im aginarlos por m edio d e la representación intuitiva, y por últim o com binar operaciones en función de estas mismas relaciones de verticalidad y horizontalidad? D icho de otro modo, la postura erecta hered itaria ¿im plica acaso la existencia de u n a ' percepción in n ata de la vertical y luego u n a intuición in n a ta y, p o r últim o u n a “idea innata” de esta vertical? L a observación m uestra que en absoluto es así. P or más que el niño pued a m antenerse p a ra d o a p a rtir de la segunda m itad del prim er año, y acostado desde su nacim iento, h a b rá que esperar hasta los 7-8 años, y m ás aún, pai'a que pu ed a representarse in tu iti vam ente las verticales y las horizontales y, sobre todo, p a ra que las coordine entre sí en u n sistema operatorio de referencias: cuando se solicita al niño que, por ejemplo, dibuje chim eneas verticales sobre u n techo, postes verti cales sobre la pendiente de u n a colina, el nivel horizontal del agua en un recipiente inclinado, etc. (o que sim plem ente coloque cartones que rep re sentan estos objetos, sin ten er que dibujarlo s), se observa qu e no puede establecer relación alguna entre los objetos en función de los elementos de referencia dados perceptualm ente (la mesa, el soporte del recipiente,

las paredes de la pieza, etc.). Su espacio intuitivo aú n no está estructurado en función de los ejes de coordenadas proporcionados por los objetos verticales y horizontales.11 Aun más, cuando se exam ina la percepción de las inclinaciones — entre los 5 ’y 7 años— , vuelve a encontrarse u n defecto sem ejante de estructuración de conjunto (véase más adelante el p u n to 3 ). El conocimiento práctico de sus propias posturas verticales u horizontales no produce de en tra d a las estructuras perceptuales, intuitivas u operatorias que podrían esperarse. Todo sucede como si existieran muchos niveles sucesivos de actividad, relativam ente independientes en el sentido de que, en cada uno, es necesaria u n a nueva reconstrucción que tom a elementos de los niveles precedentes, pero los in teg ra en u n a totalidad no determ inada por ellos: los elementos hereditarios iniciales están pues lejos de constituir intuiciones o conceptos innatos válidos p a ra todos los niveles; p o r el contrario, sólo culm inan en estructuras ya arm adas en el nivel específico y lim itado que sirve, no como base estática, sino — p o r así decirlo— como tram polín o p latafo rm a de lanzam iento p a ra el conjunto de las ulteriores construcciones. Por lo tanto, si, retornan do a las hipótesis innatistas que se refieren a las distancias en las tres dimensiones, se afirma que la retina es el asiento de u n a estim ación innata de las longitudes, ello no significa en absoluto que ese núcleo p er ceptual hereditario sea capaz de determ inar de p o r sí la construcción de todas las percepciones y todas las intuiciones ulteriores de la distancia. Ello significa a lo sumo que el recién nacido logrará de en trad a distinguir algunas m agnitudes bien diferentes, pero sin p rejuzgar acerca de un desarrollo ulterior de las percepciones ni, en p articular, de la construcción intuitiva y luego operatoria de los coníeptos de m agnitudes elaborados sólo m ucho m ás adelante: de ningún m odo puede considerarse que estas m agnitudes son u n sistema de conceptos innatos, por el solo hecho de que se establece la existencia de un núcleo perceptual hereditario, relativo a cierta escala de espacio próximo. A dm itir que cada uno de estos niveles del desarrollo com prendido entre las prim eras percepciones posnatales y las construcciones form ales que culm inan alrededor de los' 11-12 años, está desencadenado sucesivamente por la activación de alguna función hereditaria, constituye p o r supuesto un problem a totalm ente distinto, ya que es evidente que si la capacidad de form ar intuiciones o conceptos formales, etc., se relaciona con ciertos funcionam ientos nerviosos heredados, ello no significa p a ra n ad a que el detalle de estas imágenes o estos conceptos sea innato. L a hipótesis del innatism o sólo puede defenderse en lo referente a las percepciones y los movimientos elementales, pero — como acabam os de ver-— estos elementos no pueden soportar de por sí todo el peso de las construcciones ulteriores: constituyen u n tram polín inicial y no el nivel cuya estructura determ inaría de antem ano la estructura de todos los niveles ulteriores. 11 cap. xiii.

Véase Piaget e Inhelder:

La refirésentation de l’espace chez l’enfant,

Desembocamos así en el segundo gran problem a epistemológico p la n teado por el conflicto histórico entre el empirismo y el innatism o: el de la significación de la “sensación” . C uando hoy vuelven a leerse los famosos debates de H elm holtz, H ering, etc., no puede dejar de sorprender el papel que atribuyen a las sensaciones elementales, ya se trate de sensaciones visuales consideradas como puram ente retinianas, o de su com binación con sensaciones cinestésicas variadas. Si p a ra los partidarios del innatism o, las sensaciones que tienen u n a estructura hereditaria controlan toda la consti tución del espacio, p ara los “em piristas”, el espacio sensoriomotor parece contener — él tam bién— en su interior (u n a vez construido con ayuda de la experiencia) todo el espacio conceptual ulterior, considerado como u n a sim ple “abstracción” a p a rtir del espacio sensible. En otros térm inos, incluso aquellos autores que, como Lotze, H elm holtz y W undt, reaccionan co ntra la prim acía atribuida de m odo ilegítim o a la sensación visual y conceden un lugar a la actividad en la construcción del espacio, lim itan esta actividad a u n dominio aú n extrem adam ente restringido (el de los movim ientos oculares p ara el espacio visual, etc.), como si las acciones y los desplazam ientos del cuerpo en su totalidad no debieran considerarse en su totalidad, según m ás adelante sostendrá H . Poincaré. E l innatism o puro tiene que ver, en H ering, con lo que podría.llam arse u n a teoría de la sensación-copia; las sensaciones que afectan a la retina te n d rían el poder, por su organización innata, de trad u cir directam ente las diversas clases de extensiones externas (las sensaciones correspondientes a las dos retinas se confundirían entonces en u n a so la ). La retina poseería u n a facultad que innatam ente daría lugar a un a tom a de conciencia d irecta de su propia extensión; este innatism o se duplica así en una especie de realismo de la sensación, que no se distingue del realismo carac terístico del sensualismo sino por ej agregado de un a concepción de arm onía preestablecida entre la facultad hereditaria de percibir el espacio y la realidad percibida. H elm holtz tuvo el m érito de oponer a este realismo de la sensacióncopia, u n a concepción de las sensaciones-signos ( “signos cuya interpretación corresponde a nuestra inteligencia” ). Sí, pero ¿signos de qué y signos utilizados p ara qué? Q uien dice signo, dice que se asim ila la cosa signifi cada a un esquem a de acción cualquiera: ¿de qué actividad se trata entonces en el caso de los “signos locales” o, de m odo general, de las sensaciones espaciales consideradas como signos? E n u n texto extrem adam ente sugerente, J. J. A m pére otorga a su padre, el gran físico A. M . Ampére, la siguiente opinión: “Por parte representativa de u n a sensación (opuesta a la «parte afec tiva»), no hay que com prender, la representación de un objeto externo, ni siquiera la de sus cualidades; ya que la sensación, hablando estrictam ente, no representa n a d a ; nace en nosotros en ocasión de u n a causa que nos es externa; pero esta causa — que es cierta disposición de las moléculas m ateriales— no puede asemejarse a u n a impresión recibida por nuestra alm a, así como tam poco u n a cam pana se asem eja a un sonido. L a filosofía

m oderna rechazó con razón estas pretendidas imágenes de las cosas que so desprenderían de ellas p ara im presionar nuestros sentidos y ap o rtar a nuestra alm a esas semejanzas con los objetos que Lucrecio llam aba simu* lacres o «m em branas». N uestras sensaciones no representan pues las causas de nuestras sensaciones como imágenes de estas causas; las rep re sentan como signos de su acción” . “C onfundir el signo y la cosa significada es uno de los errores más frecuentes del hom bre que no reflexiona. Como decía m i p a d r e : «El cam pesino no puede concebir que el nom bre, que es un signo, no sea inherente a la cosa significada, y que el hierro no se llam e necesariam ente hierro». Así, transform am os nuestras sensaciones en signos de la presencia de los seres que las producen, y ‘a m enudo no las distinguimos de estos seres.” Sin em bargo, p a ra Am pére como p ara M aine de Biran, toda actividad susceptible de utilizar estos signos se reduce a u n esfuerzo voluntario del “yo”, con el doble realismo del sujeto sentido como causa inm ediata y del objeto como resistente. D e donde surgen los conceptos de u n a “tran s ferencia” de la “causalidad interior” sobre las cosas y u n a “ transferencia análoga” de la “yuxtaposición continua” de nuestras sensaciones visuales o táctiles sobre los cuerpos, que generan así el “espacio real” en analogía con la “extensión fenom énica” .18 Pensamos que la actividad que se encuentra en la fuente de la construcción del espacio es m ucho m ás p ro fu n d a: consiste en movim ientos cuyas coordinaciones, inconscientes y autom áticas, en prim er lugar y luego intencionales, se apoyan seguram ente en los “signos” constituidos por los datos sensibles, pero de m odo tal que incorpore los objetos significados en u n a red siempre más com pleja que perm ite seguirlos y volver a encontrarlos. A hora bién, en este punto se pone de m anifiesto la insuficiencia de las prim eras teorías “em piristas” — por más exactos que sean los hechos en los cuales se fu n d ab an — en el dominio dem asiado restringido d e la m otricidad que ellas h an abordado. Según Lotze, la im presión sobre un punto dado de la retin a provoca u n m ovim iento reflejo de dirección d eter m inada, destinado a centrar la im agen en -la zona central de visión c la ra : estos movimientos elementales, asociados a los diversos puntos de la retina, conducirían a que se les atribuyera u n a función de “signo local” , de donde la construcción de u n a intuición general del espacio. Asimismo — según H elm holtz— , los “sentimientos de inervación” vinculados con el funciona m iento de los nervios oculares perm itirían establecer las posiciones de los objetos respecto del cuerpo, por los desplazamientos que estas inervaciones im prim en a las im ágenes.14 Según W undt, lo hemos visto, h a b ría “fusión” — anterior a la conciencia— entre las sensaciones retinianas y las vinculadas con la rotación del ojo, y las percepciones elementales provenientes de 12. Philosophie des deux Ampére, publicado por J. Barthélemy Saint-Hilaire, París, Didier, 1866, 2“ ed., pág. 34. 13 Ibíd., pág. 82. 14 Optique physiol., pág. 1005.

esta síntesis constituirían los “signos locales com plejos” en los que cree este autor. Ebbinghaus, innatista en cuanto a las dimensiones d e la a ltu ra y el ancho, recurre a construcciones análogas p ara la p rofundidad, etcétera. Sin em bargo, p o r m ás exacta que sea la idea de u n a conexión necesaria entre los datos retinianos y los m ovim ientos del ojo, deben señalarse dos reservas fundam entales ante u n a explicación de la génesis del espacio que se apoye esencialm ente en estos mecanismos parciales, y estas reservas son las que conducen a u n a m ayor precisión del problem a epistemológico que esta génesis plantea. L a p rim era es que, d u ran te el período en que se construye del m odo m ás activo el espacio sensoriomotor, es decir, d u ran te el prim er añ o de vida la visión es solidaria de u n a actividad de conjunto de la cual sólo constituye u n elemento restringido. U n ciudadano, que nunca había visto de cerca los Alpes, p reg u n tab a u n día, m ientras m irab a una m o n tañ a en form a de pirám ide bastantes regular y muy poco p u nteaguda, cómo los turistas que volvían de allí hab ían podido encontrar u n lugar en la cima, e incluso cómo podía u n solo individuo sentarse en ella sin pincharse enojosam ente el trasero. P or el contrario cualquier persona que haya escalado alguna vez u n a m o n ta ñ a percibe de otro m odo las m ontañas que el sujeto p a ra el cual estos objetos no corresponden a esquem a de conducta p articu lar alguno. Es evidente que en el caso del bebé sucede forzosamente lo m ism o: los m arcos de referencias visuales que lo rodean no constituyen en absoluto u n espacio antes de que las figuras percibidas se hayan trans form ado en objetos de acciones y antes de que se haya constituido entre estos objetos un sistema de coordinaciones prácticas. P orque u n solo cam po p erceptüal n o es suficiente p a ra determ inar un espacio, puesto que el espacio constituye el tránsito posible de u n cam po a otro. E n cuanto a las percepciones visuales particulares — como por ejem plo las de un juguete, u n a lá m p ara o un rostro— sólo u n a sucesión de acciones de m anipulación, desplazam iento, etc., les p erm itirán organizarse espacialm ente: nuevam ente aq u í el espacio es no sólo la resultante de percepciones m om entáneas, sino en p articu lar de la posible coordinación de las percepciones sucesivas, y esta coordinación no sólo está asegurada po r los movimientos de los músculos del ojo, sino p o r la actividad en su totalid ad . Por cierto, en el plano de la percepción, ya existe ú n a actividad perceptüal que consiste en dirigir las m iradas, com parar, analizar, etc. (volveremos sobre el tem a en el punto 4 ) , pero la constitución del espacio está lejos de depender únicam ente de ella y supone u n a relación con el conjunto de las acciones restantes. Surge entonces la segunda reserva. Si la inversión de objeto es nece saria p a ra asegurarle u n a form a constante en las tres dimensiones, si los desplazam iento en torno a u n objeto fijo son indispensables p ara alcanzar u n a coordinación de las perspectivas que genera, si los movimientos de la m ira d a son la condición de la evaluación de u n a longitud, etc., ¿cóm o h a b rá entonces que caracterizar la función epistém ica esencial del m ovi m iento, o m ás precisam ente de la acción sensoriomotriz? E n este sentido

lo que constituye el instrum ento de conocim iento m ás im portante ¿es la “sensación” anestésica, la im presión m uscular, el “sentim iento de iner vación” (si es que existe), etc.? Si la sensación es u n “signo” es evidente que no. L a “sensación” motriz sólo es u n índice, como lo es la “sensación” visual, etc., y reducir el movim iento a sus índices sensoriales equivale a elim inar su verdadero valor de conocim iento, en provecho de la señal a través de la cual se m anifiesta su presencia o su producción. L o esencial de la actividad sensoriom otriz debe buscarse pues en los “esquem as” de conjunto, que constituyen el anuncio de lo que más tarde serán las operaciones del pensam iento, en oposición a las representaciones im aginadas o simbólicas. Aun cuando lá tom a de conciencia de la acción sólo proceda a partir de su resultado y rem onte luego en contrasentido su curso natural, el esquema dé esta acción explica este resultado y constituye así el elem ento operante del saber, en oposición a los puntos de referencia constituidos por las señales. Por lo tanto, se tra ta en resum en de encontrar u n a teoría de la percepción y la actividad perceptual que evite a la vez reducir, por u n a parte, el objeto sobre el que se realiza la acción a sus índices sensoriales y, por la otra, la actividad sensoriomotriz que se ejerce sobre él únicam ente a las sensaciones internas que ponen de manifiesto s u ' existencia. 3.

. B. L a i n t e r p r e t a c i ó n . “ g u e s t a l t i c a D u ra n te todo d siglo xix, los autores de trabajos experimentales cuyas tesis acabam os de analizar creyeron en la existencia de “sensaciones” que podían aislarse (al menos teóricam ente), ad a p ta ra n una posición “innatista” o “em pirista” . A dem ás todos estu vieron de acuerdo, p ara la interpretación del espacio visual, en otorgar u n a im portancia privilegiada a las imágenes retin ian as; los innatistas puros, como Joh. .M üller y H ering llegaron incluso a adjudicar a la retina una conciencia de su propia extensión, como si la percepción del espacio con sistiera en una lectura directa, sobre la im agen retiniana, de las distancias, las direcciones y las formas. Por el contrario, la teoría de las percepciones espaciales desarrollada por la psicología de la form a (o de la “G estalt” ) se inicia por u n a doble negación de la existencia de las sensaciones aisladas y el privilegio atribuido a la retina. Por o tra parte, esta psicología renovó el problem a de la percepción planteándolo en términos que implican una epistemología im plícita, cuyo interés es evidente. Por lo tan to , vale la pena detenerse en ella de modo especial y precisar, en ocasión de su examen crítico, las posiciones de la epistemología genética respecto de la percepción espacial en general.

de

las

El

form as

e s p a c io

perceptual

g e o m é t r ic a s .

Sabemos muy bien que, desde el p u n to de vista de la psicología de la form a, u n a percepción no se com pone de elementos dados previamente (que corresponderían a las “sensaciones” del asociacionismo atom ístico), sino que constituye de entrada u n a estructu ra total, porque es solidaria del equilibrio del cam po perceptual que se halla com prom etido en su totalidad.

”

A un la percepción de u n solo p u n to aislado constituye esta estructura de conjunto, ya que ese punto es una “figura” que se destaca sobre un “fondo” percibido como un plano o un espacio de tres dimensiones. A hora bien, estas estructuras totales o “G estalten”, que caracterizan p o r lo tanto la to talidad de cada cam po perceptual y toda figura p articu lar percibida en el interior de un cam po, están organizadas según leyes cuya esencia es geom étrica: orden, simetría, regularidad, proporciones, etc. L a teoría de la form a proporciona así u n a nueva concepción de la geom etría per ceptual presente desde el punto de p artid a de la vida m ental, pero que no se vincula con u n a hipótesis innatista y abarca la m otricidad pero sin recurrir a la experiencia em pirista. E n efecto, las estructuras espaciales de conjunto que. controlan toda percepción visual, serían el resultado de un equilibrio, que se establece en cada caso y de modo casi instantáneo, entre los objetos-percibidos — los rayos luminosos que de ellos em anan y afectan luego a la retina— y las corrientes nerviosas que ellos p ro v o can -, la retina ya no es sino uno de los eslabones de este circuito total, y las “form as” percibidas, lejos de confundirse con las imágenes retinianas, serán la resultante de la estructura de este todo indisociable, u na vez que se ha alcanzado el equilibrio. . L a teoría de la form a, que escapa sim ultá neam ente al apriorism o y al empirismo, culm ina entonces en una, fenome nología del espacio, apoyada en u n conjunto im presionante de trabajos experim entales. E n este sentido, es necesario distinguir cuidadosam ente los hechos m encionados y las interpretaciones de estos hechos. Desde el punto de vista de los hechos, el descubrimiento esencial de los psicólogos- “guestaltistas” es la ley de “pregnancia” que expresa que toda estructuración se realiza según las “m ejores” formas, es decir, según las form as m á í equilibradas y más simples posibles. A hora bien, estas “buenas form as” cuyo estudio fue llevado m uy lejos en el dom inio de las estructuraciones perceptuales se hallan determ inadas jaor u n conjunto de criterios espaciales, esencialmente euclidianos. Sucede así que entre las diferentes m aneras, lógicamente equivalentes, de vincular entre sí, m ediante líneas virtuales, elementos dis continuos que se presentan sim ultáneam ente, la percepción construye sus figuras en función de la “proxim idad” de los puntos considerados (esta idea de proxim idad, fundam ental p ara el espacio perceptual, es pensada por casi todos los guestaltistas en el sentido de las distancias euclidianas relativas y no de la “vecindad” topo ló g ica). Asimismo, las figuras simé tricas se im pondrán m ás fácilm ente que las asimétricas, las figuras con relaciones m étricas simples m ás fácilm ente que las irregulares, las propor cionadas más que las desproporcionadas, etc. Se sigue de ello que las percepciones m ás prim itivas serán susceptibles de aprehender las figuras euclidianas elementales — los círculos, cuadrados, rectángulos, etc.— , perci bidas directam ente como form as de conjuntos y no como composiciones que se realizan progresivam ente a p a rtir de sensaciones previas aisladas. U n p unto im portante, que vale la pena señalar en este sentido, es la existencia, en animales de diversos niveles (mam íferos, pájaros e incluso en los insectos), de u n reconocim iento de estas figuras geométricas, con

“abstracción” m ás o menos p ro fu n d a de las form as de u n conjunto dado, según el grado de desarrollo de la especie anim al analizada. Por o tra parte, todo objeto percibido en perspectiva o en profundidad se percibe según ciertas estructuraciones generales, como la constancia de las formas (por ejemplo, u n a ru ta de auto percibida proyectivam ente como una elipse se reconoce sin em bargo de entrada com o siendo circular) y la constancia de las m agnitudes (el objeto alejado se ve en su m agnitud reál, por lo menos hasta cierta d ista n c ia ). Así existiría, en todos los niveles, cierta coordinación de las perspectivas y cierta m étrica perceptüal. Por o tra parte, como todo objeto se percibe en referencia a oíros, o en referencia a su fondo, la percepción im plicaría tam bién u n sistema elem ental de coordenadas, proporcionado p o r las verticales y las horizontales (en ancho y p ro fu n d id a d ). Por último, la “transposición” de las formas (reconoci m iento de las figuras em pequeñecidas o agrandadas) y la percepción de las proporciones constituirían un principio de sim ilitud. E n resumen, la percepción im plicaría desde el p unto de p artid a m ismo cierta geometría, a la vez euclidiana y proyectiva. Si esta descripción de los hechos es exacta y no requiere ser m odificada y atenuada, existe pues en todos los niveles de desarrollo un espacio perceptual ya organizado, análogo al que K a n t y los innatistas m ás resueltos itían, pero no innato y determ inado solam ente p o r las leyes de equi librio que rigen el circuito to tal de las influencias externas y las corrientes nerviosas. ¿E n qué consisten entonces estas leyes de equilibrio? Aquí comienza la interpretación. Por el hecho (de observación y experiencia) de que toda percepción constituye siem pre u n a totalidad y no u n a asociación entre elementos dados de m odo aislado y previam ente, la teoría de la form a deduce que esta totalidad es irreductible a la sum a de sus elementos y que, en consecuencia,. es refractaria a toda composición aditiva. A hora bien, si u n círculo, un cuadrado, u n sistema de coordenadas, u n conjunto de relaciones propor cionales, etc., parecen provenir de este modelo de composición aditiva que constituyen los grupos geométricos (grupo de los desplazamientos, y subgrupo de las rotaciones, mediciones, grupo de las sim ilitudes, etc.) es porque las estructuras, que corresponden a los seres racionales analizados por el geóm etra, están lejos de agotar el espacio perceptüal y sólo constituyen incluso, hablando con propiedad, casos excepcionales dentro del conjunto de las “form as” o “G estalten” ordinariam ente percibidas. Por el contrario, en el dominio de la organización perceptüal, rige la deform ación de las partes en función de la totalidad: por lo tanto, se tra ta del reino de aquello que la psicología clásica ha llam ado erróneam ente las “ilusiones” de la percepción, es decir, precisam ente la m anifestación de las coacciones que la totalidad de la figura ejerce sobre algunas de sus partes. Y entonces, por una p arad o ja en la que convendrá insistir, se encuentra que, si bien las “buenas form as” se confunden a grandes rasgos con las figuras simples y regulares del espacio euclidiano, la inm ensa m ayoría de las “formas” percibidas habitualm ente son form as cuya composición es irreductible a las

leyes de la geometría. Así, los teóricos de la “G estalt” estuvieron de acuerdo en incorporar a su cuadro de hechos, y en em plear en su argum entación a favor de la prim acía de las “totalidades” , fenómenos bien conocidos de “ilusiones” o deformaciones espaciales perceptuales: u n a recta entrecortada con trazos inclinados parece ser m ás larga que la m ism a recta sin esos trazos (ilusión de O ppel-K undt) ; u n a recta que tiene sus extrem os en form a de flecha hacia afuera parece m ás larga que si se o rien tan hacia adentro (M ü lle r-L y er); un círculo inscripto concéntricam ente en otro u n poco m ayor parece tener u n diám etro m ás largo que el mismo círculo cuando contiene u n círculo más pequeño concéntrico (D e lb o e u f); la percepción sobreestima los ángulos agudos y subestim a los ángulos obtusos; el lado pequeño de un trapezoide se sobreestima, etc. Y, en p articu lar, dos m agni tudes sem ejantes sólo se distinguen a p a rtir de cierto u m b ral de igualdad, que es proporcional a las m agnitudes com paradas (ley de W eber) : en este caso, la transposición y la proporcionalidad perceptuales desem peñan un papel en el sentido del error y no de la relatividad objetiva. Asimismo, toda diferencia notable de m agnitudes se halla ac en tu ad a por el efecto de “contraste”, etcétera. Si existe u n espacio percep tu al organizado de en trad a, entonces implica una prim era gran diferencia con el espacio de la geom etría p o r el hecho de que, por lo menos, está sujeto a u n conjunto considerable de deform a ciones sistemáticas. A hora bien, repitám oslo, la am bición p arad ó jica de la teoría de la F orm a consiste en querer explicar, con el mismo principio de las totalidades de composición no aditiva, las form as geom étricas como tales y ¡as deformaciones del espacio perceptual, cuando en realidad la oposición entre estas dos clases de realidades constituye quizás el hecho más significativo que ha de to m a r en cuenta u n a epistemología de la percepción. Sin em bargo, antes de iniciar esta discusión, conviene form ular una reserva más respecto de los datos experim entales en los que se apoya la teoría de la F orm a: no son objetables en este nivel acabado de la evolución de las percepciones que corresponde al hom bre adulto, pero son incom pletos, e incluso a m enudo incorrectos, en lo que se refiere a la evolución de los niños. E n efecto, respecto del probjem a capital de las constancias perceptuales, que dom ina to d a la interpretación d a d a de las estructuras de la percepción espacial, no se h a verificado que la constancia de las m agnitudes aparezca independientem ente del desarrollo.13 Asimismo, la constancia de las form as se elabora du -an te el prim er año en función de los progresos de la m anipulación (inversión del objeto, e tc .).1” El esquema del objeto perm anente es el resultado de u n a construcción y es en función de ella que las constancias de la form a y la m agnitud se adjudican al 15 Véase Piaget y Lambercier: Arch. de Psychol.¿ xxix, 1943, págs. 255-308, y Lambercier: ibíd., x x x i, 1946. 18 Piaget: La construction du réel chez Venfant. Delachaux et Niestlé, caps, i y n. [Hay versión castellana: La construcción de lo real en el niño, Buenos Aires, Proteo, 1970.]

objeto, lo cual muestra suficientemente el papel de la acción en estas cons trucciones.17 En cuanto a la organización general del campo perceptual, existe una gran diferencia entre el niño y el adulto respecto del sistema de las coordenadas: es sin du d a exacto que to d a percepción supone elementos de referencia, pero estos elementos no están organizados en absoluto de entrada según los ejes generales, y se asiste a u n a generalización g radual — hasta alrededor de los 9-10 años— en este dom inio como en otros sectores de la actividad perceptual.,s E n cuanto a las “buenas form as”, el carácter progresivo de su “abstracción” — en el anim al y en el bebé— , así como la muy lenta evolución de su reconocimiento en el interior de figuras entremezcladas o incom pletas,19 m uestra claram ente que tam bién en este caso se está ante un desarrollo. Si pasamos ahora de la descripción de los hechos, así rectificada, a su interpretación, nos- encontram os en presencia.de u n problem a que va m ucho m ás allá de las cuestiones precedentes y que se reúne, pero sin ab an d o n ar el terreno preciso de la percepción espacial, con el de la episte m ología de la percepción en general. P ara la teoría de la form a, cuyos análisis propiam ente psicológicos se h a n prolongado muy rápidam ente en una concepción epistemológica de conjunto, las leyes de organización de la percepción trad u cen u n a geom etría q u e ' es sim ultáneam ente la del m undo físico, al menos en algunos de sus aspectos, y la del organismo mismo: las “gestalten” expresarían, en efecto, las leyes de equilibrio que rigen tanto para todos los sistemas de com po sición no aditiva (es decir, tales que las partes dependen de la estructura del to d o ), como p ara los campos eléctromagnéticos, o los “campos” de co rrientes nerviosas,20 etc. Existirían “formas físicas” 21 tanto como “form as” fisiológicas y psicológicas, y el secreto de la objetividad de nuestra geom etría perceptual se encontrará en la conform idad general de estas “formas” ; sus deform aciones traducirían entonces los caracteres efectivos del espacio real, en aquellos dominios donde la naturaleza de los campos de fuerza produce la existencia de composiciones no aditivas, en oposición a las relaciones simples dadas entre objetos yuxtapuestos._ Esta solución tendría pues u n carácter esencialm ente fenomenológico, y se supone que las formas de equilibrio en juego son independientes de toda construcción y rigen a la vez a los objetos y al sujeto, sea cual fuere su nivel de evolución. Sin embargo, esta interpretación presenta dos clases de objeciones, unas desde el punto de vista que llam am os (vol. I, In tro d , t 11 Piaget: La psychologie de fintelligence. Coll. A. Colin, págs. 130-140. Véase nota 44 del cap. 1. ls H. Wursten: “L'évolution des comparaisons de longueurs de l’enfant á l’adulte”, Arch. Psychol.. xxxn. 1947, págs. 1-144. 19 P. A. Osterrieth: “Le test de copie d’une figure complexe”. Arch. Psychol., xxx. 1945, págs. 205-353. 20 Por ejemplo, los campos polisinápticos, véase Segal: Journ. de Psych., t. xxxvi, 1939, págs. 21-35, - 1 W. Koehler: Die physischen Gestalten. Erlangen, 1920.

p unto 7) la epistemología genética ‘'restringida”, y las otras desde el punto de vista de la epistemología “generalizada” . Desde el punto de vista “restringido” , en prim er lugar, es evidente que la reducción de las form as geom étricas perceptuales a formas de equilibrio de carácter universal no conserva su valor salvo en la m edida en que estas “form as” psicológicas se im pongan independientem ente del desarrollo. Por el contrario, en la m edida en que intervenga u n a cons trucción genética, la actividad del sujeto — inútil en la interpretación “guestaltista”— vuelve a adquirir su valor y conduce a o tra concepción de las relaciones entre el sujeto y el objeto que la de una indiferenciación radical. R ecíprocam ente, el papel de las “form as físicas” pierde m ás su im portancia en la m edida en que las formas perceptuales correspondientes están elaboradas por la actividad del sujeto. Sin em bargo, desde el p u n to de vista “generalizado” , la concepción de “formas físicas” es muy discutible. Sostener que las rectas, los círculos, los cuadrados, etc., percibidos por el sujeto, le son impuestos por las leyes de equilibrio que rigen todos les fenómenos de composición no aditiva, im plicá en efecto itir: 1? la prim acía, en la realidad física, de los sistemas de composición no aditiva (por ejemplo, según K óhler, la distribución de las cargas eléctricas en un conductor homogéneo y aislado), en oposición a los sistemas aditivos (por ejem plo, según K óhler, la composición m ecánica de las fuerzas) ; 2“ la existencia de las “form as físicas” en la realidad misma, independientem ente del pensam iento del físico. A hora bien, respecto del prim er punto, se puede p reg u n tar si la distinción de les dos tipos de. composición — aditiva y no aditiva— en la que se apoya la teoría de la “G estalt”, no descansa sobre una confusión entre dos clases de criterios. U no sería la solidaridad entre las partes y el todo, es decir, el hecho de que el elemento no puede existir sin la totalidad y recíprocam ente; sin em bargo, esta idea de la totalidad puede tam bién aplicarse a sistemas de composición aditiva, como los “grupos” : en el “grupo” de los desplazam ientos, por ejemplo, no puede definirse un desplazamiento particu lar si no es en función del conjunto (es decir, de los seis parám etros que lo d eterm in a n ), sin excluir por ello que dos desplaza mientos puedan sumarse uno a.1 otro en un desplazam iento total, o sus traerse uno del otro.22 El segundo criterio sería la deform ación de las partes en función del todo. A hora bien, esta segunda concepción de la to ta lidad, que corresponde a las totalidades perceptuales, en oposición ,a los “gru pos” y los “ agrupam ientos” operatorios, se aplica efectivam ente a algunos sistemas físicos, pero esencialm ente a aquellos donde interviene una mezcla, es decir el azar. En efecto, cuando se produce una mezcla entre los dife rentes componentes de una totalidad, esta totalidad ya no aparece como una simple resultante de las partes, sino como un a realidad propia suscep tible de alterar estas últim as (véanse las energías de intercam bio, etc.). 22 La cosa es aun: más clara en el “grupo" aditivo de los números enteros posi tivos y negativos: un número no existe independientemente de los otros y, sin embargo, los números se suman entre sí.

Entonces, la realidad propia del todo se relaciona con u n sistema de com pensaciones probables, tales que ninguno de los com ponentes parciales se presentaría del mismo modo independientem ente del sistema total. Por el contrario, en u n a totalidad p o r composición aditiva, como el grupo geom étrico, los elementos son igualm ente solidarios del todo, pero ya no están deform ados p o r él como lo están en el caso de la mezcla. L a confusión entre las dos clases de criterios perm ite a la teoría de la F o rm a explicar sim ultáneam ente, y en nom bre de los mismos principios, las “buenas formas” de la geom etría — que son de hecho productos de la com posición aditiva— y las deformaciones de las ilusiones perceptuales — que son las resultantes, como las “form as físicas” con las cuales se las com para, de composiciones no aditivas— , pero (com o hemos de ver en el p u n to 4) por la intervención del azar. Por el hecho de que eri todos los casos (es decir, sea la composición aditiva o no) hay solidaridad en tre las partes y el todo, la teoría de la F orm a concluye que esta solida rid a d im plica ipso facto la posibilidad de deform aciones: de ahí su facilidad p a r a pasar del espacio perceptual al espacio geom étrico, o a la inversa. E n realidad, el problem a subsiste en su totalidad y lo volveremos a exam inar en el p u n to 4. E n cuanto a las estructuras físicas, tal com o se las conoce actualm ente, el hecho general 'es la solidaridad de los elementos y las totalidades, pero esta solidaridad no determ ina de p o r sí la existencia de “G estalten físicas” , puesto que se aplica tanto a las composiciones aditivas com o a las no aditivas. Los sistemas aditivos están representados por la m ecánica; en cam bio, los sistemas nó aditivos im plican un facto r de mezcla, p o r lo tan to de irreversibilidad y deform ación, m anifestado por “transform aciones no com pensadas” , com o se dice en el lenguaje de la term odinám ica. El , g ran córte que debe introducirse en el seno del m u n d o físico debe buscarse tam bién entre los fenóm enos reversibles y los procesos irreversibles, y estos últim os — que corresponden a las “G estalten físicas” de K ohler— no necesa riam ente constituyen u n hecho prim ero como quisiera la teoría de la Form a, sino que p lantean el problem a de las relaciones entre el azar y la causalidad m ecánica.23 A hora bien, sea cual fuere la solución que se elija p ara este últim o problem a, no se ve de qué m odo las composiciones no aditivas p o d rían explicar la génesis de las “buenas form as” de la g eo m etría: cuando u n a form a simple y regular term ina por resultar de u n juego de mezclas fortuitas, es en virtud de u n juego de compensaciones entre las deform a ciones que im ita, pero no engendra el orden geométrico. Sin em bargo, suceda lo que suceda con esta discusión (que volveremos a encontrar en el p u n to 4 a propósito de la percepción en g en eral), el g ran problem a epistemológico que plan tea la interpretación p ropia de la teoría de la Form a, es saber sí las “formas físicas” existen en la realidad objetiva independientem ente del pensam iento del físico. E n este sentido, es necesario distinguir dos cuestiones que nuevam ente corresponden a las 23 Dedicaremos un capítulo especial a este problema, a propósito de la episte mología física (véase vol. n, cap. m) .

composiciones aditivas y no aditivas. E n el caso de las totalidades resul tantes de u n a mezcla, ¿p o r qué no puede calcularse el todo p o r adiciones de las partes?: porque el azar existe objetivam ente o bien p o rq u e sé tra ta de u n a ignorancia de p arte nuestra en cuanto a los detalles de las causas. Pero, en uno y otro caso, sólo se concibe, sin d u d a alguna, en relación con nuestras operaciones de composición com binatoria. P or lo ta n to , es difícil itir que en prim er lugar hay que rectificar las estructuras físicas no aditivas p a ra extraer luego de ellas la explicación de nuestro espíritu, en vez de explicar sim ultáneam ente estas form as físicas y las de nuestra estructura m ental. Por el m om ento nos interesa saber si es legítimo rectificar las form as geom étricas como form as generales de equilibrio de las cosas p a ra extraer de ellas la explicación de las “G estalten” correspon dientes a nuestras percepciones. A hora bien, aquí el círculo es evidente m ente un círculo vicioso. En efecto, ¿qué querem os decir cuando atrib u i mos a la n aturaleza la posesión de rectas, círculos y otras form as geométricas particulares? C on toda seguridad ellas no existen en el estado d e realización com pleta, puesto que ta n to las emisiones de energías como las estructuras de la m ateria son discontinuas: la horizontal que caracteriza el nivel del agua tran q u ila no se asem eja p a ra n ad a a u n a recta cuando se la exam ina con al microscopio, etc. L as rectas o las elipses, etc., ¿estarán entonces constituidas p o r líneas de fuerzas o bien po r las trayectorias de los cor púsculos desprovistos de estructura geom étrica simple? Pero precisam ente, cuanto m ás avanza el análisis microfísico del espacio m ás se com plica la geom etría de los elementos de la realid ad : esta geom etría no es p o r ejem plo arquim edea, es decir que las form as m étricas elementales no están repre sentadas en ella. E n resumen, las form as geom étricas “simples” que des cubrimos en la naturaleza, como el plano, o la esfera p ro d u cid a p o r un a burb u ja de jabón, los diversos poliedros constituidos p o r los cristales, etc., siempre son relativas a cierta escala de. observación y trad u cen la geom etría del observador asi como las propiedades de la m ateria observada. Si la explicación de las form as perceptuales p o r la hipótesis de las “form as físicas” p lan tea ya dificultades considerables desde el p unto de vista de u n a episte mología genética “restringida” , desde el p u n to de vista de la epistemología genética “generalizada” se encierra en u n verdadero círculo vicioso. 4.

El

C. L a “ a c t i v i d a d p e r c e p t ü a l ” y . L as investigaciones que hemos podido realizar acerca del desarrollo de las percepciones en el niño nos han conducido a oponer a la interpretación “guestaltista” otro sistema de conceptos explicativos, cuya significación epistemológica querem os aclarar ah o ra en lo referente, p o r u n a parte, al espacio perceptüal y, p o r la otra, al valor de conocim iento de la percepción en general. T oda percepción es u n sistema de relaciones, y no ‘hay elem ento que se perciba en estado aislado: éste es el hecho fund am en tal sobre el que insistió la teoría de la F orm a y que podem os retener como p u n to de p artid a de lo que sigue, independientem ente de las interpretaciones rechazadas en el p u nto precedente. e s p a c io

e p is t e m o l o g ía g e n é t ic a

perceptüal

de

la

.

p e r c e p c ió n

' la

¿E n qué consiste esta relatividad prim era inherente a la percepción? Es a la vez m uy sem ejante y muy diferente de la que caracteriza a la inteli gencia. M uy semejante porqué constituye tam bién u n principio de com po sición. Pero muy diferente porque, contrariam ente a u n a relación lógica como A < B, que no deform a los valores de A y B p o r el hecho de com pa rarlos entre, sí, una relación perceptual deform a en principio los valores entre los cuales se establece una relación: la percepción de la relación A < B -4 tendrá como efecto general sobreestim ar B y subestim ar A, dicho de otro m odo, acentuar la diferencia A < B, salvo en el caso de que esta diferencia sea objetivam ente pequeña; en este últim o caso se la subestim ará y se p ercibirá la relación como una ilusoria ig u ald ad A = B (de acuerdo con la ley de W eber). U nicam ente el térm ino de pasaje entre la relación perceptual que acentúa la diferencia A < B y la relación ilusoria A = B producirá entonces u n a percepción exacta de A < B, sin sobreestimación ni subestimación de la desigualdad; pero esta percepción correcta es una excepción porque constituye el punto de transición o com pensación entre dos deformaciones contrarias. Los dos problemas previos del conocimiento perceptual son pues, por una parte, com prender la razón de estas deformaciones sistemáticas y, por la otra, la propiedad de las composiciones perceptuales basadas en este tipo de relaciones. A hora bien, la causa de las deformaciones sistemáticas de la percepción presenta de por sí u n gran interés epistemológico. El conocimiento opera torio o racional intenta proporcionar u n a descripción com pleta de los objetos analizados, desde el p u n to de vista en que los ab o rd a la operación en juego, lo cual culm ina en u n a comprensión sim plificada, puesto que es relativa a un cierto sistema operatorio, pero no por ello es incorrecta. Por el con trario, la percepción es esencialmente probabilística y procede por un a especie de sorteo al azar (de ahí la im portancia de su com paración con los fenómenos de mezcla, sobre la que insistíamos en el punto 3 ). E n efecto, cuando dos líneas A y B se com paran perceptualm ente entre sí, su estimación respectiva no es la misma según el p unto o el segmento que fije la m irad a (extrem idad, medio, etc.), porque los elementos fijados se dilatan y los elementos no fijados se contraen. A hora bien, todos los puntos (o segmentos iguales) de una de las dos líneas A y B p ueden elegirse como centro de fijación de la m irada, y asociarse con todos los puntos (o segmentos iguales) de la otra. Si esta com paración se realiza con todas las asocia ciones posibles, y adem ás en form a sim ultánea, culm inará en un a relación objetiva entre las dos líneas. Sin embargo, sucede que sólo se fijan algunos puntos de u n a y otra línea, y que la com paración se hace entonces por un sorteo al azar entre los posibles puntos de fijación, lo cual produce las deformaciones cuando las líneas com paradas son desiguales (incluso cuando 24 Por ejemplo, bajo .la forma de una comparación entre dos líneas o dos varillas A y B.

los puntos fijados en cada u n a de las dos líneas se en cuentran en posiciones relativas equivalentes: medio, etcétera). Este sorteo al azar obedece entonces a las leyes de la probabilidad cuyos principios son, a grandes rasgos, los siguientes. Por u n a parte, toda fijación “° im plica la sobreestim ación de la zona fijad a y la depreciación de los elementos periféricos: así cuando se com para u n p atró n fijo con m agnitudes variables, basta que se m ire m ás o m ejor el p atró n p a ra que se lo sobreestime.26 Por otra parte, resulta claro que estas dilataciones y contracciones respectivas de las zonas centrales y periféricas alternan sin cesar entre sí, puesto que lo que es central puede hacerse periférico y recíprocam ente a m edida que se realizan los desplazamientos de la m ira d a : la descentración, es decir, el establecimiento de relaciones entre las centraciones diferentes y sucesivas es pues un factor de corrección y regulación, según u n a ley general que volveremos .a encon trar en otras formas y en, m uchos otros dominios diferentes del 'de la percepción. Se sigue entonces que si las líneas com paradas A y B son iguales, la centración sobreestima alternativam ente u n a y luego otra, y si no hay causa alguna que determ ine una m irada preferencial sobre u n a de las dos líneas (por ejemplo, una elegida como p a tró n ), las deform aciones alternativas se com pensarán por descentración. Si, por el contrario, las líneas son desiguales, A < B, y bastante diferentes entre si, los puntos fijados con m ayor p robabilidad serán los correspondientes a la p arte de B que superen a A, y entonces se pro d ucirá un refuerzo de la diferencia A < B.27 Si, por el contrario, la diferencia entre A y B es m ínim a, entonces en la relación objetiva A < B (que es inferior al coeficiente de dilatación de la línea A cuando la m irada se concentra, de donde las visiones sucesivas contradictorias A > B y A < B ), los puntos diferenciales se fijan con tan to menos probabilidad cuanto m enor es esta diferencia, de donde la igualdad ilusoria (A = B, resultante del equilibrio entre las sucesivas visiones A > B y A < B) que caracteriza lo que se h a llam ado el um bral diferencial. A hora bien, como estas probabilidades son función de la relación entre las m agnitudes consi deradas, el um bral diferencial presenta u n a extensión que es proporcional a estas m agnitudes: esta proporcionalidad constante se expresa por la llam ada ley de W eber-Fechner, que constituye entonces un caso particular de la ley de las centraciones relativas e im plica, como esta últim a, una explicación probabilística basada en el cálculo de las com binaciones entre los posibles puntos (o los segmentos) de centraciones.28 A clarado este punto, es claro que si, p o r principio, las relaciones per ceptuales se deform an en virtu d de su propiedad estadística, y no se adecúan rigurosam ente con los datos objetivos que traducen, no p o drían componerse 25 Táctil y visual, etcétera. 26 Véase Piaget y Lambercier: Arch. de Psychol., xxix, 1943, pág. 173. 27 Este refuerzo puede calcularse en función del mecanismo de las “centra ciones relativas”. 28 Véase J. Piaget: “Essai d’interprétation probabiliste de la loi de Weber et de celle des centrations relatives” , Arch. de P s y c h o l xx x , 1944, págs. 95-138.

entre sí en función de leyes lógicas: su composición resultará de com bina ciones probables y ’rio operatorias. Exam inemos, en prim er lugar, en qué consiste esta composición y luego intentarem os despejar la propiedad de la actividad com binatoria de orden perceptual que asegure su realización. Si p a ra caracterizar la estructura de las operaciones de la lógica cualitativa nos referimos a los “agrupam ientos” descriptos en el p u n to 3 del capítulo 1, com probamos, en efecto, que ninguno de los criterios del agrupam iento se aplica a las composiciones de las relaciones perceptuales, lo cual equivale precisam ente a afirm ar lo que siempre h a sostenido la teoría de la F orm a; que las composiciones perceptuales no son transitivas, es decir que la composición de dos de ellas no determ ina unívocam ente u n a tercera: si por ejem plo A y B y luego B y C se confunden en virtud de la ley de W eber, puede tenerse la sucesión A = B; B = C y A < C. Las relaciones perceptuales no son reversibles* puesto que sus mismas defor maciones im plican constantem ente “transform aciones no com pensadas” 29: así u n a sucesión de elementos graduados no produce las mismas estim a ciones perceptuales si se los com para en orden ascendente o descendente. Las relaciones perceptuales tam poco son asociativas, puesto, que la percep ció n final de u n a sucesión de percepciones, sucesivas depende del camino recorrido. Ignoran to d a identidad general puesto que no puede volver a encontrarse del mismo m odo u n a percepción inicial: por ejem plo, la tem peratura de u n a pieza parece m ás elevada, o menos elevada, si se entra en ella después de haber salido u n instante al frío, etc. P o r último, la percepción ignora toda distinción clara entre la tautología y la reitera ción, puesto que la repetición de u n a m ism a percepción la deform a, pero no con relaciones num éricas simples. De m odo general, se ve así que el conocimiento perceptual, incluso lim itado a su dom inio específico — el del o directo con el objeto— es no sólo deform ante, sino adem ás fundam entalm ente irracional en sus composiciones m ás elementales. E n estas condiciones resulta claro que la percepción de las “buenas form as” geom étricas — un círculo, un cua drado, etc.— no constituye un hecho prim ero, sino un caso p articu lar en el cual los mecanismos perceptuales culm inan en relaciones adecuadas al objeto por las relaciones objetivas privilegiadas que se encuentran en juego en estas figuras: la igualdad de los rayos del círculo, la de los lados del cuadrado o la de los ángulos rectos, etc., presentan u n a ocasión p a ra la aparición de descentraciones o compensaciones com pletas; en cam bio en la percepción de un rectángulo o u n a elipse, se puede subestim ar el ancho respecto del largo, etcétera. Sin em bargo, queda aún el problem a de com prender cómo a pesar de sus deformaciones y del ilogicismo de sus composiciones la percepción consigue aprehender form as bien estructuradas. A hora bien, en lo que concierne a este punto, el análisis genético pone de manifiesto u n a clara dualidad que escapa a la observación cuando sólo se experim enta con adultos. C uando se com paran las percepcio.nes especificas con las diferentes 29 Véase La psychologie de l ’intelligence, A. Colín, págs. 83-86.

edades sucesivas, se com prueba que existen algunos efectos qu e sim plem ente evolucionan en el sentido de u n a atenuación progresiva con el desarrollo, mientras que otros se refuerzan constantem ente o incluso se constituyen en el camino, en oposición cualitativa con los precedentes. Los factores cuya im portancia dism inuye con la edad son precisam ente aquellos que acabam os de relacionar con las centraciones simples o relativas. Las deformaciones resultantes de la centración son en principio las mismas p ara todas las edades, pero se aten ú a n con el desarrollo, como si la descen tración adquiriera más im portancia. Ello equivale a decir (puesto que los efectos de centración se traducen en form a de transform ación no com pensadas) que las compensaciones resultantes de las descentraciones aum en tan con la edad, y que la percepción se halla algo com prom etida en la dirección de la reversibilidad operatoria. Sin em bargo, y en oposición con los factores prim arios de centración, hay m uchos efectos cuya im portancia au m en ta con la edad y que son carac terísticos de u n a actividad propiam ente dicha, en oposición con el carácter receptivo de la percepción inicial. Por o tra parte, el térm ino receptivo debe entenderse en u n sentido relativo puesto que la centración (visual, táctil, etc.) ya es de por sí u n a acción, resultante de la exploración, e im plica la elección de los puntos que perm iten ab arcar la m ayor cantidad de posibles relaciones a la vez. Pero si bien es ya activa, lo es menos que las actividades perceptuales que com ienzan con la centración y que consisten en análisis, transportes (espaciales o tem porales), com paraciones (dobles transportes que aplican a cada uno de los dos térm inos q u e se com paran los caracteres percibidos sobre el o tro ), transposiciones ( = transportes de relaciones), anticipaciones, etc., es decir, actividades sensoriomotrices que pueden integrarse cada vez más en los mecanismos de la inteligencia. A hora bien, estas acciones-propiam ente dichas de la percepción son las que cons tituyen la actividad com binatoria de o rden perceptual que conduce a las composiciones de formas, es decir, a las estructuraciones de las relaciones en conjuntos m ás o menos coherentes.30 E n resum en, adem ás de cada percepción actual, es necesario distinguir la acción de las percepciones sucesivas unas sobre las otras: reunim os a este conjunto de acciones bajo la denom inación de “actividad perceptual” . Si aplicamos ah o ra a la construcción del espacio perceptual esta distinción entre la percepción, com o relativam ente receptiva, y la actividad p erceptual resulta claro que la estructuración progresiva del espacio en oposición a las relaciones elementales presentes desde la centración in m ed iata es la resultante de la actividad perceptual. E n efecto, si distinguimos, en el espacio perceptual y en el espacio operatorio, las relaciones de carácter topológico (continuo, proxim idad y separación, envolvimientos con relaPara más detalles acerca de esta “actividad perceptual” véase Piaget: L a psychologie de Vintelligence chez l'enfant, cap. m ; Piaget e Inhelder: La représentation de Vespace chez l’enfant, cap. i ; Piaget y Lambercier: Arch. de Psychol., XXX, 1944, pág. 139.

ciones de exterioridad, interioridad y fro n tera y, por último, orden lineal o cíclico), las relaciones proyectivas (perspectivas, etc.) y las relaciones euclidianas (sim ilitudes, distancias o longitudes, coordenadas y m edición) aparece lo siguiente: 1° únicam ente las relaciones topológicas más simples están presentes desde la centración perceptüal, porque estas relaciones siguen siendo interiores a los elementos centrados y porque se las percibe de próximo en próxim o en virtud de los factores más primitivos de la percepción ( “proxim idad” que genera la vecindad, e tc .); 2‘í las relaciones .proyectivas provienen, por el contrario, de u n a coordinación de puntos de vista sucesivos que suponen una actividad perceptüal estrechamente vincu lada con las. acciones en general y con la m otricidad del sujeto; 39 las relaciones euclidianas implican, por últim o, un a coordinación de las figuras o los objetos, que presupone las actividades com binatorias de transportes, transposiciones, etc., vinculadas a su vez con las manipulaciones y los desplazamientos del sujeto. Com enzando por el final, es fácil m ostrar que las coordenadas percep tuales (horizontal y vertical) — que hem os visto ya, están lejos de estar presentes desde el comienzo— se construyen poco a poco hasta alrededor de los 8-9 años y dependen de toda u n a actividad de com paración- y establecimiento de relaciones (entre los objetos considerados y los elementos de referencia) que va m ucho más allá de la percepción simplemente receptiva. - -Toda percepción de un elem ento cualquiera supone, es cierto y en todos los niveles, u n sistema de referencia, proporcionado por. los. otros objetos del “cam po”, aunque más no fu era por el “fondo” mismo. Sin embargo, de estos sistemas de referencia m om entáneos a un sistema estable — que im plique la perm anencia de los ejes horizontales y verticales— existe u n a serie de etapas que se h an de desarrollar y que corresponden precisam ente a u n a actividad perceptüal siempre m ás rica, que term ina po r integrarse a la inteligencia (véase el p u n to 5 ). Asimismo, la constancia de las m agnitudes que constituye sin d u d a lo específico de las relaciones euclidianas de carácter perceptüal, sólo se adquiere definitivam ente alrede dor de los 9-10. años, y supone desde el punto de p artida un a actividad perceptüal caracterizada por ciertas regulaciones y descentraciones. Si los pequeños subestim an las m agnitudes en profundidades, en cambio la mayor .parte de los adultos las. sobreestiman p o r un mecanismo de supercompensación. Esta es, en efecto, una prueba d e que aquí interviene u n a actividad reguladora, en oposición con la pasividad relativa de la percepción pura. L a constancia de las formas, como p o r o tra p arte la constancia d e las m agnitudes, se elabora en sus formas m ás borrosas durante el prim er año, en función de la construcción del esquem a de los objetos perm anentes, es decir, de la inteligencia sensoriomotriz en su totalidad, cuya actividad perceptual sólo constituye u n caso particular. En cuanto a las relaciones proyectivas construidas por la percepción, resulta claro que tam bién dependen de u n a actividad perceptüal com pleja, puesto que son solidarias de las precedentes: tan to la estimación de las m agnitudes con la distancia — a pesar de la visión proyectiva que disminuye

las proporciones— como las formas en el interior de deformaciones de perspectivas variadas suponen, e n ' efecto, u n a estructuración a la vez euclidiana y proyectiva, que se vincula con el conjunto de las acciones. del sujeto (desplazamientos, y m anipulaciones), es decir tanto a su inteli gencia sensoriomotriz como a su actividad perceptual. E n consecuencia, únicam ente algunas relaciones topológicas elem en tales están presentes en la percepción inm ediata, independientem ente de u n a actividad más com pleja. L a “vecindad” corresponde así a la “proxi m id ad ” , uno de los factores más prim itivos de la percepción; la ^“ sepa ración” corresponde a las distinciones sensoriales y el continuo a la ausencia de distinción de próxim o en próxim o (A = • B; B = C pero A < G ) . Ello no equivale a decir, sin em bargo, que estas relaciones espaciales esenciales estén dadas independientem ente de toda actividad, es decir que las percep ciones más receptivas que las generan sean absolutam ente pasivas: sólo lo son relativam ente a las actividades más profundas que generan las rela ciones proyectivas y euclidianas. Las proxim idades, distinciones y conti nuidades que fu n d an las relaciones espaciales fundam entales dependen, en efecto, de estas acciones iniciales que son las centraciones de la m irada, el tacto, etc., y, e n consecuencia, de la escala de los fenómenos rela tivos a los órganos sensoriales. L as relaciones espaciales m ás prim itivas constituyen pues el testim onio de u n a interacción indisociable entre el sujeto y los objetos y no u n a recepción p u ra del sujeto respecto, de los objetos. Ello nos conduce a la epistemología de la percepción en general. Si consideramos las relaciones entre la percepción en su aspecto más receptivo y la actividad perceptual en su aspecto sensoriornotor, estamos obligados a concluir que la percepción no constituye en absoluto, un conocimiento que se baste a sí mismo. Por otra parte, deben distinguirse dos casos: la percepción de objetos llam ados “significativos” (en el vocabulario guestaltista) — es decir de significación extrínseca y p o r lo tantp relativa a una acción cualquiera (por ejemplo u n m artillo o u n bastón).— y la percepción de las figuras o las form as con significación intrínseca, es decir que no superan el dominio de las relaciones sim plem ente espaciales. E n’ el prim er caso, resulta claro que la percepción no supera el nivel de u n simple ín d ic e: el conocimiento del m artillo o el bastón no está pre sente en la simple figura perceptual o sensible de estos objetos, sino en la acción que los utiliza de u ñ a y o tra m anera, y la percepción sólo cum ple la función de un índice de estas acciones. El elem ento perceptual desem p eña entonces, respecto de la acción, el m ism o papel que la im agen respecto del concepto, es decir, el de u n significante en relación a su significado (a su significación). Pero, en el caso de la im agen, el significante se diferencia como tal y constituye así u n símbolo, m ientras que en el caso de la percepción, el elemento perceptual está menos diferenciado del elem ento m otor y pertenece al mismo esquem a de objeto perceptual y utilizable: la percepción sólo es u n índice, no un símbolo; y este índice se h a de definir precisam ente como un significante relativam ente indiferenciado porque corresponde a un simple aspecto del objeto significado y ' constituye sin más u n a p arte del esquema de este objeto.

A hora bien, en el caso de l^s “ formas” con significación intrínseca y ya no extrínseca, sucede exactam ente lo mismo que ya habían observado A m pére y H elm holtz (véase el punto 3 ) , cuando consideraban la sensación como un “signo” , sin quizás extraer todas las consecuencias que esta afir m ación im plicaba. L a única diferencia es que la acción significativa ya no es una acción cualquiera de utilización, sino u n a actividad perceptual o sensoriomotriz. Pero si se ite lo dicho anteriorm ente en cuanto a las diferencias en tre la percepción simple, vinculada con cada centración, y la actividad p erceptual que consiste en descentraciones, transportes, com paraciones, transposiciones y anticipaciones, es claro que esta actividad consiste esencialm ente en asegurar el pasaje de las percepciones de unas a otras; dicho de otro modo, en establecer las semejanzas y las diferencias entre las relaciones sucesivamente percibidas. Por lo tanto, culm ina en algo distinto a 1a. simple percepción: a la constitución de “esquemas percep tuales” que ya son esquemas de transform ación y no solamente lecturas de relaciones estáticas. A hora bien, es evidente que estos esquemas vuelven a. actuar sobre la percepción misma, en el sentido de que toda percepción que supere el o más prim itivo con el objeto 81 im plica relaciones virtuales que com pletan las relaciones actuales o reales: la percepción habitual es pues u n a percepción de esquem as y no solamente de objetos y estos esquemas constituyen precisam ente el conjunto de las relaciones v ir tuales que la actividad perceptual podría encontrar nuevam ente en el objeto percibido o actualizar en su o con él. Se com prende entonces en qué sentido la percepción constituye esencialm ente u n índice: es el significante de u n esquema perceptual y éste constituye la significación del objeto percibido, y se tra ta adem ás de u n a significación que desborda los elementos sensoriales puesto que se conecta con las relaciones virtuales que podría construir la actividad p erceptu al respecto de la percepción considerada. Por ejem plo, al percibir u n cubo en perspectiva (y sólo se lo puede percibir en p ersp e ctiv a), no necesitam os p a ra “ver” la igualdad de las caras, la de las aristas rectilíneas o la de los ángulos, “transportarlos” respectiva m ente unos sobré los otros, o “transponer” su igualdad par por p ar, ni siquiera desplazar el cubo (o desplazarnos nosotros en torno a él p ara centrar cada cara- en form a sucesiva), etc. L a percepción directa del cubo proporciona de en tra d a el conjunto de las relaciones virtuales que p o d rían actualizarse detallando el objeto a través de sucesivas fijaciones: por lo tanto, constituye u n índice que evoca (del m ismo m odo que la p arte evoca el todo, puesto que el índice es u n aspecto de su propio significado) el esquema del cubo, y este esquema no es sino el conjunto de las posibles percepciones respecto de este cubo, es decir, de las relaciones de igual dad, etc., que pueden percibirse sucesivamente. A hora bien, este esquem a 31 Y además el o sensorial primitivo se halla vinculado de entrada con los reflejos, es decir, nuevamente con la motricidad (véase V , Weizsecker: Der Gestahreis, 1941).

es independiente del lenguaje, la im agen y la representación propiam ente d icha: se construye en función de la sola actividad p erceptüal y constituye sin más la totalidad de los posibles descentraciones, transportes, trdnsposiciones, reconocimientos, etc. Por ello, este esquem a se transform a en fun ción del desarrollo m ental, en oposición con las percepciones simples, es decir, con aquellas presentes en su form a ac tu a l en cada centración. Este carácter de índice de la percepción respecto del esquem a perceptual es tanto m ás evidente en la m edida en que la percepción como tal consiste — como lo hem os visto— en u n sim ple sorteo al azar, en el cual de todos los posibles, puntos sólo se fijan algunos en oposición a todos aquellos que darían lugar a relaciones diferentes. D esde el p u n to de vista epistemo lógico, la percepción está lejos de ser u n a copia fotográfica de los objetos como pensaban los em piristas; perm anece incluso bastante alejada de esa “form a” com ún a las realidades físicas, fisiológicas y psicológicas en las que piensa la fenom enología guestaltista: sólo es un p unto de referencia respecto de la acción real de vincular las form as percibidas en tre sí, es decir, respecto de la actividad perceptüal. E n cuanto a esta actividad, el solo hecho de que proceda po r esquem as m uestra bastante bien que se tra ta de una asim ilación (de los objetos a estos esquemas) así como de una acomodación, como cualquier o tra ac ció n : p o r o tra p arte, los esquemas perceptuales sólo constituyen casos particulares de los esquemas de asimi lación sensoriomotriz, que volveremos a analizar en el p u n to 5 y suponen —como ellos— u n a interacción entre el sujeto y él objeto y no u n a simple copia del objeto por p arte del sujeto., E n resumen, desde el punto de vista epistemológico, la percepción constituye u n sistem a de índices obtenidos p o r u n sorteo al azar que se refiere a relaciones construidas gracias a u n a actividad sensoriomotriz que vincula estos índices atribuyéndoles significaciones ya esquemáticas. Por lo tanto, lo esencial es la m otricidad en la tom a de o con lo real, el elementó sensorial no es sino el significante respecto de las significaciones activas y motrices, es decir, el índice estático de las transform aciones — reales o posibles— aseguradas p o r la actividad sensoriomotriz. Se com prende entonces la verdadera significación del espacio percep-* tual, respecto del c u a l' el sentido com ún es víctim a de tan tas ilusiones, a veces com partidas p o r ciertos m atem áticos: lejos de ser m ás real que el espacio intelectual, el espacio sensible sólo se apoya en índices de la realidad y no en su expresión inm ediata, y estos índices no se traducen en conoci mientos — incluso- en conocimientos sim plem ente perceptuales— salvo por interm edio de u n a actividad sensoriomotriz que supere de en trad a lo sen sible y recurra a la m otricidad, es decir que se com prom eta en u n a dirección que precisam ente es la de la inteligencia .misma. E n efecto, y sin duda en ello consiste la lección más im p o rtan te que im plica el exam en del espacio perceptüal, este espacio se construye de modo análogo al espacio intelectual m ism o; con dos diferencias sin em bargo, y am bas tienen que v er con el hecho de que la percepción es el conocimiento del objeto presente y de que la inteligencia funciona a distancias espacio-

temporales variadas entre el sujeto y los objetos. L a p rim era diferencia es que el índice sensible y la significación motriz corresponden — de m odo más indiferenciado entre sí en el plano perceptual que en el intelectual— a lo que serán, a niveles m ás elevados, la imagen espacial in tu itiv a que sirve de símbolo concreto al razonam iento y las relaciones conceptuales que prolongan las relaciones motrices. L a segunda es que el espacio perceptual es esencialm ente incom pleto y deform ado, en oposición al espacio intelectual siempre m ás completo y resultante de u n conocimiento ca d a vez menos deform ante. El espacio perceptual es esencialm ente incompleto y deform ado (es decir, como se h a observado frecuentem ente, heterogéneo, no isótropo, vinculado con falsos absolutos en vez de ser relativo, etc.) p o r la sencilla razón de que nunca se basta a sí mismo. Ante u n objeto o u n cuadro complejos, la percepción se fija en un p u n to y luego en u n segundo, un tercero, etc. A hora bien, cada una de estas centraciones constituye, p o r una parte, u n a fragm entación de lo real y, por la otra, u n a deform ación de él en función de las leyes estadísticas inherentes al m ecanism o de las centraciones relativas. Y hay algo m á s: para relacionar en tre sí estas diversas centraciones, es indispensable superar las percepciones, puesto que no son sim ultáneas, sino sucesivas, y porque la acción de las -percepciones entre sí en el tiem po ya no corresponde a la percepción simple y supone u n a actividad de establecimiento de relaciones. La existencia de u n a actividad perceptual m arca pues, de por sí, la obligación que tienen las percepciones de superarse como tales p ara vincularse entre sí. Sin em bargo, la actividad perceptual es breve e insuficiente, porque carece de un simbolismo dife renciado y de u n mecanismo propiam ente operatorio. Es cierto que se com prom ete en la dirección en la que se constituirán la intuición represen tativa y la inteligencia operatoria'. Desde el plano sensoriomotor, se integra a u n a inteligencia práctica o sensoriomotriz que pasaremos a an alizar inm e diatam ente. Luego, cuando se com pleta el sistema de acciones — con el espacio m ás extenso y ágil que lo caracteriza (su expresión m ás caracte rística es el “grupo” práctico de los desplazam ientos)— con la aparición del poder representativo, el espacio perceptual se integrará finalm ente en un espacio intelectual, que no se habrá de superponer a él como lo hace u n a imagen de lo real a la realidad, sino como un organismo acabado sucede a la organización em brionaria que lo p rep ara pero que aún no lo iguala. 5. E l CARÉ

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ACERCA

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PROPIEDAD C O N V E N C IO N A L D EL ESPA CIO EU CLID IA N O DE TR ES D IM E N S I O N E S .

E ntre el espacio perceptual — del que acabamos de analizar p o r qué no es suficiente de por sí— y el espacio representativo que culm inará en u n a organización propiam ente operatoria, se inserta una form a de espacio m ás general que l£s estructuras perceptuales — que sólo constituyen u n caso particular— : se tra ta del espacio sensoriomotor, esencialm ente constituido por las m anipulaciones y los desplazamientos d e l. sujeto mismo. Estas acciones elementales, cuya organización se rem onta a los dos prim eros años

de vida, están orientadas por las percepciones, pero proporcionan un conocimiento práctico acerca del espacio que las supera y que form a la subestructura de las futuras operaciones. Y a hemos com probado (en el p u n to 3) cómo la construcción de las constancias perceptuales de la m agnitud y la form a suponía la elaboración de u n esquem a de acción que supera la percepción, el de los objetos p erm a nentes, susceptible de encontrarse nuevam ente fuera del cam po perceptual actual y que conserva, en el interior de este campo, sus propias dimensiones y formas. A hora bien, el objeto perm anente, que proporciona el prim er ejemplo de estos “sólidos invariables” cuya im portancia percibieran todos los geóm etras en cuanto a la form ación de nuestra geometría, constituye el producto m ás auténtico de u n a inteligencia sensoriomotriz, anterior al lenguaje y a las representaciones, estudiado en les monos antropóides y el bebé.3- P or otra parte, es claro que la actividad perceptual, q u e — como acabamos de m ostrar— es la fuente de las construcciones de la percepción, desborda los m arcos de la percepción y corresponde a la inteligencia senso riom otriz que orienta tanto a los m ovim ientos como a las percepciones y regula así la actividad en su totalidad, antes del desarrollo de la inteligencia representativa, p a ra luego conservarse en el plano especializado de la vida perceptual y m otriz del niño m ayor y el adulto. Si el espacio perceptual es de por sí esencialm ente incom pleto, porque es inm anente a cada cam po sucesivo de percepciones, sin coordinación general entre estos campos, la inteligencia sensoriomotriz tiene pues como función vincular entre sí estos sucesivos campos, no aún a través de u n a representación de conjunto (que sólo com enzará con la aparición de la. función sim bólica), sino a través de u n m ecanism o m otor qu e regula el pasaje de un cam po a otro y asegura la continuidad de la acción. E n la m edida en que los esquemas perceptuales (entre los cuales ninguno cons tituye de po r sí u n espacio de conjunto, u n m edio com ún p ara todos los fenómenos percibidos) están vinculados, en efecto, por los desplazamientos del sujeto, es decir que están com pletados por los esquemas sensoriomotores que abarcan no sólo los movim ientos de los órganos de la percepción (m ovim ientos del ojo y la cabeza, o la m ano y el brazo, etc.), sino los de la totalidad del propio cuerpo respecto de los objetos percibidos, se constituye entonces un espacio práctico más general que se apoya en el con ju n to de los esquemas sensoriomotores y perceptuales del sujeto. Por cierto, existe la m ism a continuidad entre este espacio sensoriomotor y el espacio de los esquemas perceptuales, que entre estos últimos y la percepción como tal, pero el espacio sensoriomotor no por ello deja de ser u na realidad de conjunto, cuyo equilibrio final sigue siendo inexplicable p o r las solas leyes de la percépción e incluso de la actividad perceptual.

a2 Véase K oehler: L ’intelligence des singes supérieurs. Trad. Guillaume. Alean y Piaget: La naissance de l'intelligence chez l ’enfant. Delachaux et Niestlé. [Hay versión castellana: El nacimiento de la inteligencia en el niño. Madrid. Aguilar,

1965.]

A hora bien, la lección epistemológica que im plica la necesidad de este sistema de esquem as sensoriomotores p ara coordinar el espacio en u n solo todo — aunque se trate de una totalidad de acciones sucesivas y no de representaciones sim ultáneas— es que el espacio, en tan to medio com ún a ios objetos de acción y percepción, no se percibe en sí mismo: integra las percepciones en u n sistema que ellas solas no p u ed en construís-, y no corresponde a u n a percepción propiam ente dicha. Es u n a “form a” de la conducta y no de la sensibilidad. El gran m érito de H . Poincaré rad ica en haber m ostrado de antem ano lo que la psicología genética está entonces en condiciones de verificar: ni los sentidos, ni la experiencia son suficientes p ara constituir u n espació sin la existencia de u n esquem a que los oriente, perm itiéndoles elegir entre diversas interpretaciones posibles (y esta elección no es im puesta de una vez por todas por los datos .percibidos o experi m entados). ¿ E n qué consiste este esquema? Conviene distinguir aquí, d entro del conjunto de concepciones ta n profundas y decisivas com o las de Poincaré, aquello que sigue siendo esencial e incontestable, u n a vez trad u cid o en térm inos de génesis real de la conducta o el espíritu, y aquello que es solidario de u n a psicología superada por los estudios ulteriores, o de u n convencionalismo refutado por los progresos de la física. P or o tra p arte, n ad a hay más ágil, m atizado y rico en implicaciones, a m enudo difíciles de analizar, que las sucesivas exposiciones de Poincaré acerca del espacio, y las m últiples correcciones que constantem ente h a introducido m uestran bastante bien q u e no puede encerrarse su filosofíá geom étrica en las fórm ulas definitivas de u n nom inalism o pragm atista, como se hizo a veces.33 R esulta claro, en particular, que existe cierto paralelism o entre sus ideas acerca del núm ero, o el razonam iento m atem ático en general, y sus ideas de carácter propiam ente geom étrico. E n ambos casos, se ubicó en un a posición com pleja, uno de cuyos polos no está lejos del apriorism o y el otro sólo se orienta en p arte hacia el convencionalismo. P ara Poincaré, “el concepto general de grupo preexiste en nuestra m ente, al menos en potencia” (Science et H ypoth., pág. 9 0 ). E sta afirm ación corresponde sin du d a, en el terreno geométrico, a sus hipótesis aritmológicas acerca de la intuición racional del “núm ero p u ro ” (vol. I, cap. I, p u n to 5) : es au n m ás cla ram ente así en la m edida en que — como sabemos— el conjunto de los núm eros enteros positivos y negativos constituye u n grupo cuyo elem ento es la operación 1. Existe pues u n estrecho vinculo en tre el razonam iento p o r recurrencia, fundado en esta intuición a priori (en el cual Poincaré localizaba el razonam iento m atem ático po r excelencia) y el papel que el célebre geóm etra atribuía a la idea de grupo en la estructuración espacial progresiva. Sin em bargo, en ambos casos — del núm ero y el espacio— , se otorga igualm ente a la intuición — cuyas raíces se h u n d irían en m arcos preform ados— el poder de prolongarse en com binaciones operatorias siem pre m ás libres: es en esta o tra dirección que se m anifiesta el cónvencio38 L. Roupier: La philósophie- géométrique de Henri Poincaré. Alean, 1920; y Ph, Frank: La Causalité. Flammarion.

nalism o de Poincaré (m ás a m enudo m encionado a propósito de su filosofía geom étrica), au nque apoyado en el mismo apriorism o que en su teoría acerca del núm ero. A hora bien, tanto en sus hipótesis acerca del innatism o del concepto de grupo como en la construcción del esquem a euclidiano de tres dim en siones, Poincaré recurre siempre, al fin de cuentas, al análisis del espacio sensoriomotor en el desarrollo de sus concepciones. Es, p o r lo tanto, en este terreno — cuya im portancia Poincaré tuvo el m érito de percibir a fines del siglo últim o— en oposición al cam po dem asiado estrecho de la percepción p u ra — terreno en el que se habían peleado los innatistas y los em piristas duran te casi todo el siglo xix— donde hay que discutir el problem a de la significación epistemológica de la idea de “g ru p o ” , así como la del papel de la experiencia o la convención en la elaboración del espacio euclidiano. E n efecto, Poincaré hace rem ontar el descubrim iento m ental del espa cio, no a la percepción de la extensión o las formas, sino a la organización sensoriomotriz de los desplazamientos. A todo cambio producido en el medio externo puede corresponder u n a preacción del sujeto que tiende a volver a colocar o a en co n trar las cosas ta l como estaban en la situación an terio r a esta modificación. A hora bien, existe un conjunto de cambios que pueden corregirse por u n simple desplazam iento del propio cuerpo: así u n móvil que sale lateralm ente del cam po visual puede volver a encontrarse como antes con u n a simple rotación de la cabeza, y u n móvil que cam bia de dimensiones aparentes a m edida que se aleja recupera su m ag n itu d cuando uno se acerca nuevam ente a él. Estos cambios constituyen los “cam bios de posición” . Por el contrario, hay transform aciones que no pueden anularse p o r u n m ovim iento correlativo del propio cu e rp o : así la com bustión de u n pedazo de m adera o la disolución del azúcar en el agua. Se tra ta entonces de los “cambios de estado” . Poincaré hace rem o n tar el origen de la cons trucción del espacio a esta distinción considerada com o u n a suerte de hecho p rim e ro : el espacio, como sistema de cambios de posición, será la resultante de las conductas sensoriomotrices m ás elementales. A hora bien, a pesar de las dificultades psicológicas que esta tesis im plica como veremos m ás adelante y a. despecho de su sim plicidad, presenta el g ran interés d e colocar de en tra d a el problem a en el plano de la acción o el m ovim iento, y ya no en el de la percepción. “P ara u n ser com pletam ente inmóvil, dice con vigor Poincaré, no h ab ría ni espacio, ni geom etría” (V al. Se., p ág in a 8 2 ). H ay algo más. ¿C óm o consigue el sujeto organizar sus m ovim ientos de tal m odo que logre corregir los de los objetos? Independientem ente de la form a u n poco lim itada en la que Poincaré se representa el p ap e l de la m otricidad en el conocim iento, introduce aquí u n a hipótesis fundam ental: estos desplazamientos del propio cuerpo form an u n “grupo” . E n efecto, dos “ desplazamientos del cuerpo en bloque” p u ed en coordinarse en u n o solo; cada uno de ellos puede anularse por u n desplazam iento inverso; el p ro ducto entre un desplazam iento directo y su inversa es un desplazam iento nulo y estos desplazam ientos son asociativos. ¿D e dónde proviene entonces

este concepto de grupo? “Seguram ente no de la experiencia -externa, puesto que p a ra descubrir que los movim ientos de los sólidos constituyen un grupo precisam ente hay que coordinar los movimientos propios en este tipo de estructura: distinguiremos los cambios de posición de los cambios de estado a través de la correlación de estas dos clases de desplazamientos. El m ismo razonam iento sería válido en contra de u n a interpretación basada en la experiencia interna, puesto que los elementos del grupo en cuestión son justam ente los “desplazamientos de'l cuerpo en bloque” , es decir, los que se reconocen por el hecho de que son correlatos de los movimientos de los cuerpos externos. El grupo de los desplazamientos — al que Poincaré hace rem ontar la organización del espacio— debe considerarse como u n a especie de ley o de m arco de nuestra p ropia actividad, “preexistente al m enos en potencia” según la fórm ula m encionada más arriba. E n una p alab ra, p ara poder seguii los m ovim ientos del m undo externo, el sujeto debe en efecto coordinar sus movimientos, y esta coordinación es la que im plica la estructura de “grupo” . A dm itido esto, surgen entonces tres consecuencias fundam entales: el grupo de los desplazamientos del propio cuerpo genera la estructuración de los movimientos externos según un modelo correlativo a través de u na m ezcla de convenciones y utilización de la experiencia y luego permite, según el mismo proceso, la atribución a este espacio externo de tres dim en siones y de una estructura euclidiana. R esulta claro que el grupo de los movimientos propios genera la construcción del grupo de los desplazamientos del objeto puesto que las dos estructuras se organizan al mismo tiempo. Sin em bargo, a p artir de la distinción entre los cambios de posición y los cambios de estado, y a p a rtir de la estructuración del grupo constituido p o r los prim eros de estos cambios externos, interviene — según Poincaré— esa m ezcla de formas “preexistentes” — de convención y experiencia— cuya u n ió n es la nota característica de su ta n sutil doctrina. El papel de la experiencia se m anifiesta por la presencia, descubierta en la naturaleza, de estos “notables' cuerpos” llamados sólidos y que pueden desplazarse por traslaciones, ro ta ciones, etc., conservando sus formas y dimensiones. Sin em bargo, esta com probación experim ental no es pura. E n efecto, no existe en lo real despla zam iento alguno carente de deform ación, tal como sucedería p a ra un sólido euclidiano ideal: el calor o el peso pueden alterar el móvil y convenimos entonces, según una prim era disociación convencional, en considerar sepa rad am en te los puros desplazamientos que constituyen un grupo y las altera ciones físicas del objeto. Sin em bargo, esta convención es posible porque —com o acabamos de ver— poseemos el poder preestablecido de construir la idea de grupo. V iene luego la estructuración de este espacio real en tres dimensiones. Sabemos hasta qué punto Poincaré insistía en este problem a y cómo m odi ficó constantem ente su exposición, ta n delicada es la delim itación que intentó realizar entre los papeles respectivos de la experiencia, la convención y, en este punto particular, de las dos clases de ideas preexistentes: el papel de nuestros órganos hereditarios y las intuiciones a priori de nuestro

espíritu. Se introduce la idea de dim ensión en prim er lugar a través de la 'consideración topológica del continuo y los cortes: un continuo sólo tiene una dimensión si está dividido por cortes que son discontinuos (por ejemplo una línea, cortad a por p u n to s), hay dos dimensiones si se lo puede cortar m ediante u n continuo efe u n a dim ensión (por ejemplo, u n a superficie cortada po r u n a línea), etc. A dm itido este punto, ¿cuántas dimensiones tiene el espacio de nuestras actividades prácticas? En prim er lugar, es necesario observar que el continuo perceptüal o físico es contradictorio (véase en el p unto 4 la fórm ula de la ley de W eber: A = B; B — C pero A < G) y que, p a ra resolver la contradicción, los m atem áticos la reem plazan por u n a escala que im plica una infinidad no conm ensurable de. gradaciones. Sin em bargo, este continuo m atem ático es irrepresentable: “sólo podem os representam os continuos físicos y objetos finitos” (Val. Se., pág. 9 8 ). Por o tra parte, “el espacio absoluto carece de sentido y hay que com enzar por relacionarlo con u n sistema de ejes invariablem ente referidos a nuestro cuerpo” (Ib íd ., pág. 9 9 ). Localizar un objeto equivale pues a “representarse los movim ientos que habría que h acer p ara alcan zarlo” (pág. 80 ), ya que “la única cosa que conocíamos directam ente es la posición relativa de los objetos respecto de nuestro cuerpo” (Ibíd., pág. 79). A partir de entonces, p a ra d eterm inar la cantidad de dimensiones del espacio que caracteriza a los objetos que nos rodean, cabe pensar que es suficiente leer los datos de la experiencia física y analizar nuestros proce dimientos de localización visual, táctil, etc., y nuestros propios desplaza. mientos, aplicando a cada uno de estos casos el criterio topológico mencio nado hace un instante y que sirve p ara determ inar la cantidad de dim en siones: Pero se observan entonces dos tipos de circunstancias esenciales: ni nuestros órganos, ni la experiencia nos im ponen u n a respuesta decisiva. Por ejemplo, si no siempre concordaran nuestras sensaciones de conver gencia y acom odación entonces el espacio visual tendría cuatro dimen-. siones. E n cuanto a la experiencia sólo proporciona indicaciones y seacom odaría m uy bien a otros modelos que aquellos que hemos aplicado. E n resumen, el espíritu construye el continuo m atem ático de tres dimen-. siones “pero no lo construye a p a rtir de la nada, requiere diversos m ate riales y modelos. Estos m ateriales y estos modelos preexisten en él. Pero no se le im pone un solo modelo, hay u n a elección; puede elegir, por ejemplo, entre el espacio de tres y el espacio de cuatro dimensiones. ¿C uál es entonces el papel de la experiencia? Proporciona las indicaciones según las cuales el espíritu realiza su elección” (V al. Se., pág. 132). L a estructura euclidiana del espacio práctico im plica u n a explicación análoga. E n prim er lugar, el espacio sensoriomotor es de “carácter cuanti tativo” . p o r causa “del papel que desem peñan en su génesis las series de sensaciones musculares. Son series que pueden repetirse, y el número es la resultante de su repetición; porque puede repetirse indefinidam ente el espacio es infinito” (Ibíd., pág. 133). E sta repetición es, a la vez, fuente de la “relatividad esencial del espacio” (pág. 118) y de la m étrica. Pero, ¿por qué es euclidiana nuestra m étrica espontánea? N uevam ente aquí nuestro espíritu contiene varios modelos, equivalentes entre sí y tales que

p uedan traducirse unos en otros puesto que las relaciones no euclidia nas pueden expresarse m ediante figuras euclidianas y recíprocam ente. Sin em bargo, nuevam ente aquí, la experiencia, p o r u n a parte, y nuestros órganos, por la otra, tienen sus sugerencias que h acer: los desplazamientos de los sólidos naturales se com ponen del mismo m odo que las sustituciones del grupo euclidiano y nuestras acciones más simples presentan la misma estructura. Elegimos entonces el m odelo más cóm odo y aplicamos a lo real el esquema euclidiano, pero n ad a nos im pediría em plear otro lenguaje. Vemos pues cómo desde la elaboración del espacio sensoriomotor in ter viene — según Poincaré— la serie de las elecciones y las situaciones favo rables que luego invoca com o necesarios p ara justificar su convenciona lismo, cuando, en o tra p arte, la organización sensoriomotriz del grupo de los desplazam ientos testim onia la intervención, ya a p a rtir de este nivel elem ental, de las ideas preform adas “preexistentes” a la vez en nuestros órganos y nuestro espíritu. L a epistemología geom étrica de Poincaré plan tea tres problem as: el innatism o de la idea de grupo, la naturaleza de las convenciones prácticas, y las relaciones entre la actividad, — h ereditaria o individual— del sujeto y la experiencia física. Respecto del prim er punto, los resultados del análisis psicogenético proporcionan u n a respuesta detallada. Al estudiar el espacio sensoriomotor d u ran te todo el período que se extiende desde el nacim iento hasta la aparición de la representación (lenguaje e intuición im a g in a d a ), hemos podido confirm ar el papel esencial que Poincaré atribuye a la estructura de g r u p o 34: es perfectam ente exacto, que los desplazamientos del sujeto (no solam ente los “desplazam ientos del cuerpo en bloque” sino tam bién los m ovim ientos de m anipulación, como las rotaciones o las sucesivas trasla ciones im prim idas al objeto, etc.) term inan p o r ad q u irir un a estructura de grupo. P or ejemplo, se puede observar que cerca de la m itad del segundo año de vida, el niño se desplazará d e u n a pieza a otra de su departam ento y de un punto al otro de su jard ín coordinando sus sucesivos movim ientos a través de u n sistema de composiciones reversibles, o volverá a encontrar un objeto oculto com poniendo, con la m ism a estructuradlos desplazam ientos anteriores de este objeto. Se percibe entonces que la noción de “grupo” no es en absoluto u n m odo de descripción artificial que el m atem ático em pleará p a ra analizar desde afuera la conducta del sujeto, sino que expresa realm ente la form a de equilibrio alcanzada p o r sus desplazamientos, o por sus acciones sobre el objeto, u n a vez culm inadas las coordinaciones sensoriomotrices. Así, la composición de dos desplaza m ientos en uno solo expresa la capacidad m ism a de la coordinación, la operación inversa expresa la conducta fundam ental de la posibilidad del retom o, la asociatividad traduce esa o tra conducta esencial que es la cap a 34 Véase La construction du réel chez l’enfant. Delachaux et Niestlé, cap. ii. [Hay versión castellana: La construcción de lo real en el niño. Buenos Aires, Proteo, 1966.]

cidad de recorrido (détour) , y la operación idén tica trad u ce la conser vación desde el p u n to de p a rtid a en el transcurso de la composición de id a y vuelta. E n resumen, el grupo expresa la p ropiedad m ism a de las composiciones reversibles y asociativas que alcanza el sujeto u n a vez term i n ad a la coordinación de sus desplazamientos. Pero si bien Poincaré consiguió despejar m uy p rofundam ente la estruc tu ra m ás im p o rtan te que se halla en la base de la constitución del espacio, tan to desde el p u n tp de vista genético real como desde el p u n to de vista m atem ático abstracto, nos parece que se equivocó cuando localizó esta «strU ctura de grupo en el p u n to de p a rtid a de las conductas sensoriom otrices; en realidad, sólo constituye su p u n to de llegada y la form a de equilibrio final. Por supuesto no se puede exigir a u n m atem ático genial que encuentre el tiem po necesario p ara som eter sus hipótesis psicológicas al control experim ental; es así q u e Poincaré se limitó a reconstituir lógica m ente, si así puede decirse (o introspectivam ente, lo cual equivale a lo m ism o), u n desarrollo conjetural, en vez de describir el desarrollo real: p o r lo tanto, supuso la evidencia de la existencia de u n a distinción elemental entre los cam bios de posición y los cambios de estado y luego construyó su teoría a p a rtir de este dato hipotético. A hora bien, las acciones del niño (y, en p articular, del bebé) son siempre m ás ricas y más im previstas que las reconstituciones genéticas abstractas. P or lo tan to sucede que el niño no distingue de e n tra d a los cambios de posición y estado, sino que necesita unos cuantos meses, y casi u n año, p a ra lograr esta disociación. Es así por u n a razón fundam ental desde el p u n to de vista geom étrico y desde el punto de vista físico: su universo inicial no está form ado p o r objetos perm anentes y todo desplazam iento se le presenta en prim er lugar como u n cam bio de estado. E n efecto, es claro que el grupo de los desplazam ientos es corre lativo a la idea de objeto: no sólo porque el grupo euclidiano se traduce físicam ente en el m ovim iento de los sólidos invariables, sino porque el objeto perm anente — es decir, susceptible de volver a encontrarse— es lo único que puede g arantizar el bu en fundam ento de la reversibilidad. La construcción del grupo de los desplazam ientos es pues solidaria de la del objeto mismo, y sin objetos sólo puede hab er coordinaciones egocéntricas y deform antes, es decir, sistemas de acciones irreversibles. ¿ Cóm o consigue el lactan te construir a la vez el grupo práctico de los desplazam ientos (d e los suyos y de los objetos m am puleados) y el esquema sensoriomotor del objeto perm anente, que puede encontrarse nuevam ente “detrás” de las pantallas, “bajo” otros objetos, etc. (sin re to m a r a los esque m as perceptuales de la constancia de las form as y las dimensiones de este objeto) ? Precisam ente aquí se p la n tean todas las p reguntas acerca del papel de los conceptos “preexistentes” eventuales, el p ap el de la experiencia, el de los elementos facilitadores o convenciones prácticas y de la inter vención de las dos clases de abstracción distinguidas an terio rm en te: a p a rtir del objeto, y a p a rtir de la acción o de sus coordinaciones como tales. A hora bien, así como no hemos podido seguir a Poincaré en su hipó

tesis acerca de una “intuición del núm ero p u ro ” , porque los datos genéticos nos m uestran la existencia de una construcción activa de las -clases, las relaciones y los números, tam bién nos resulta difícil itir la preform ación de la idea de grupo. “E sta idea preexiste, o más bien lo que preexiste en el espíritu, es la potencia de form ar esta idea. L a experiencia sólo constituye p a ra nosotros una ocasión p ara ejercer esta potencia”, afirm a Poincaré.s“ Si sólo se trata de la potencia de form ar la idea, calificarla de preexistente es decir demasiado, ya que entonces sólo p o d ría corresponderle una nece sidad term inal y no inicial (así como hemos señalado más a trá s). Si en cam bio se trata de oponer “preexistente” a em pírico o experim ental, ¿qué entendem os con ello? O bien se considera que la idea de grupo es .a priori, lo cual contradice el solo hecho de su desarrollo genético, y este desarrollo está aú n m uy lejos de haber term inado alrededor de los 1-2 años, ya que, u n a vez adquiridas las composiciones reversibles en el plano de la acción p ráctica, será necesario reconstruirlas en el plano de las operaciones con cretas (7-8 años) y formales (11-12 añ o s); la reversibilidad es entonces el p roducto de una lenta evolución, de la cual sólo constituye el equilibrio final. O bien se entiende que la estructura de grupo no se obtiene a p artir d e la experiencia por u n a simple abstracción a p a rtir del objeto, sino que se la descubre en el transcurso de las experiencias, es decir, de las acciones ejercidas sobre el objeto, pero por abstracción constructiva a p artir de las coordinaciones de la acción. A h o ra bien, el análisis genético nos parece sugerir en efecto esta últim a solución, en completo paralelism o con lo que hemos visto a propósito de las clases, las relaciones y los números. Es necesario com prender que en el terreno de las conductas sensoriomotrices —y Poincaré percibió con m u ch a profundidad que im plican u n a organización espacial que anunciaba, a través del papel de los movimientos, al espacio operatorio y propiam ente intelectual— , el esquematismo del grupo se presenta en form a aún singu larm ente lim itada, y que no va más allá del nivel de lo que son, en esta m ism a etapa, los esquemas puram ente prácticos que ocupan el lugar de las clases, relaciones y cantidades num éricas. Poincaré percibe la cantidad e incluso “el número” en “las series de sensaciones m usculares” provenientes de la repetición de u n m ovim iento, en otros térm inos en la reiteración de las acciones. Desde el p unto de vista psicológico tiene razón, pero resulta claro que esta cuantificación m otriz es del mismo orden que, por ejem plo, la conducta, .que ya puede adquirir p o r entrenam iento u n a gallina y que consiste en picotear únicam ente los granos pares, o impares, de u n a hilera de veinte elementos separados entre sí: el “núm ero” se vincula entonces con cierto ritm o m otor. A hora bien, esté n ú m ero ' sensoriomotor no contiene necesariamente, en el estado preform ado, la serie ilim itada de los núm eros enteros (aquí Poincaré exagera algo cuando habla de infinito a propósito de las sensaciones m usculares), así como tam poco los esquemas sensoriomotores contienen de antem ano la lógica de las clases o la de las 35 Revue de Métaph. et de Morale, 1917, pág. 647.

relaciones. Sin em bargo•—como hemos insistido en señalarlo durante todo el capítulo 1— , las clases, las relaciones asim étricas y sus síntesis numéricas, se construyen progresivamente y en el transcurso de las acciones ejercidas sobre el objeto, pero no se extraen del objeto por abstracción de sus cuali dades, sino que por el contrario son las resultantes de la coordinación de las acciones: po r lo tanto, las clases, las relaciones y los núm eros se elaboran por u n a abstracción a partir dé las acciones coordinadas propias de las etapas anteriores, a través de u n a serie de construcciones propias de cada nueva etapa, y sucede así desde las coordinaciones orgánicas elementales ^hasta las coordinaciones operatorias m ás elevadas y más formales. Las clases, las relaciones y los núm eros no están preform ados y no tienen un origen em pírico; son el producto de sucesivas coordinaciones, cuyos m ate riales provienen de las coordinaciones precedentes, pero que producen nuevas composiciones en el transcurso de las siguientes coordinaciones. L a construcción sim ultánea del esquema del objeto perm anente y el “grupo” práctico de los desplazam ientos es el resultado de u n proceso exactam ente semejante, y la situación de este grupo práctico respecto de las coordinaciones orgánicas anteriores o las coordinaciones operatorias ulte riores es exactam ente la m ism a que ia de las clases, las relaciones y los núm eros. E n efecto, po r u n a parte, la coordinación de los movimientos propios no es suficiente de p o r sí -^-a pesar de lo que d ig a Poincaré— p ara constituir un “grupo”, porque el sujeto construye, en su actuación sobre los objetos, a la vez la idea de objeto y los grupos com plem entarios de los desplazamientos del objeto y los propios desplazam ientos: una larga sucesión de descentraciones a p a rtir de la acción inm ediata se hace n ecesaria, p a ra situar el propio cuerpo en u n m undo de objetos y desplazamientos objetivos respecto de los cuales se ag ru p arán los movim ientos d e este cuerpo. Sin em bargo, por o tra parte, este o estos grupos no provienen del objeto, a pesar de que la experiencia proporciona su confirm ación: son abstraídos a p a rtir de la coordinación de las acciones, a pesar de que estas coordinaciones se producen necesariam ente en el transcurso de acciones aplicadas sobre lo real. Así, aunque el esquem a del objeto perm anente se aplique a los objetos físicos, es el resultado de la organización de los desplazam ientos realizados p o r el- sujeto; y aun q u e esta organización se aplique tam bién a los movimientos físicos, constituye la fo rm a de equilibrio de las coordinaciones cuyos m ateriales provienen de la propia acción. Entonces, el grupo práctico de los desplazam ientos no está preform ado por. las coordinaciones Orgánicas anteriores sino que constituye una nueva síntesis (o form a de equilibrio) de elementos extraídos de ellas por abstrac ción a p a rtir de la acción s6; y si bien no form a de antem ano los grupos operatorios ulteriores, les proporciona los elementos que ellos reorganizarán en el plano de la representación y las operaciones conceptuales, tom án dolos de este grupo sensoriomotor po r u n a nueva abstracción a p artir d e ^ la acción. 36 Véase para mas detalles de esta evolución en: L a construction- du réel ches l’enfant. Delachaux et Niestlé, caps, i y n. Véase nota 34.

T o d o ello nos conduce al problem a de la “convención”, ya que Poin caré hace intervenir, desde la construcción del grupo práctico de los despla zam ientos, los elementos facilitadores que perm iten disociar los cambios de posición de los cambios de estado y, en consecuencia, atrib u ir a los objetos en m ovim iento el esquema del desplazam iento de los “sólidos invariables” , cuando en realidad, los móviles siempre varían en parte. ¿ Q u é es entonces esta “ convención” ? Se confunde precisam ente con el proceso de asimila ción de lo real a los esquemas de la acción. A ctuar sobre el objeto es atribuirle nuevos caracteres. Sin em bargo, Poincaré agrega que la elección de las convenciones siempre está dictada por la “com odidad” . A hora bien, es claro que u n a convención sólo resulta cóm oda en la m ed id a en que facilita el cum plim iento exitoso de la acción. Se puede trad u cir entonces la idea de convención cóm oda por este otro concepto: la acción eficaz. El desplazam iento de los sólidos invariables es, p o r ejemplo, u n esquema al q u e asimilamos los movimientos reales, esquem a extraído de la coordina ción de las acciones ejercidas sobre estos sólidos y no directam ente de ellos m ismos; este esquem a se apíica a los objetos y los enriquece con nuevos caracteres; entre ellos el m ás notable es la reversibilidad: si se quiere se puede calificar este aporte del sujeto al objeto como u n a convención cómoda, pero en prim er lugar es la m anifestación de u n a acción exitosa. E n su p u n to de p artid a, la “convención” se reduce en resum en a la abstracción a p a rtir de la acción. S in em bargo, el térm ino convención adquiere nuevas significaciones cuando se aplica a las tres dimensiones del espacio práctico y, en particular, a su carácter euclidiano; carácter que Poincaré tiende a transform ar en u n a sim ple form a de lenguaje, equivalente d e derecho a los “lenguajes” no euclidianos, pero más “cóm odo” que ellos. E n lo que se refiere a las tres dimensiones, es m uy difícil, a pesar de la gran sutileza de Poincaré, neg ar el papel preponderante de la experiencia externa. Si pudiéram os transform ar ú n guante izquierdo en u n guante derecho, o sacar u n objeto de una caja sin levantar su ta p a y enhebrar u n anillo cerrado en una varilla sin pasar la extrem idad de ésta p o r la a p e rtu ra interior del anillo, la experiencia nos im pondría entonces la cuarta dimensión. E n la práctica, el niño aprende que u n objeto que está dentro de u n a caja no puede salir p o r sí solo de ella y que un anilló no puede pasar a través de u n a varilla rígida (hemos visto cómo u n bebé in ten tab a enfilar u n anillo en u n a varilla aplicándolo sim plem ente contra ella o niños de 4-6 años que pensaban que, d e tres objetos atravesados en el orden ABC por u n alam bre, el objeto B podía ocupar la cabecera, o sea BAG o ACB, po r u n a simple rotación del alam bre) .m Por lo tanto, parece evidente que, desde el p unto de vista psicológico, la experiencia im pone las tres dim en siones, pero no genera sin m ás el grupo de los desplazamientos. ¿E n qué consiste esta coacción de la experiencia? Sólo se tra ta de u n a lim itación; la coordinación de las acciones es la que genera las dimensiones, y esta coordinación puede conducir a 1, 2 . . . n dimensiones. L a experiencia 37 Piaget: Les notions de mouvement. et de' vitesse chez l’enfant,

puf

,

cap,

t.

nos detiene en tres y en este terreno su p oder se reduce a este papel lim ita tivo. L a eventual influencia d e los órganos.hereditarios pertenece tam bién al m ism o orden. L a cuestión del carácter euclidiano de nuestro espacio práctico y del grupo de los desplazamientos físicos es algo diferente, ya qu e interviene aquí u n a colaboración más estrecha de la experiencia y la acción. Vivimos en u n m edio macrocóspico cuya escala es interm edia a la escala microfísica y la escala astronóm ica, y nuestras acciones habituales se realizan sobre objetos que tienen poca velocidad en relación con la tierra tom ada como p u n to de referencia inmóvil. Si existiera u n “observador intra-atóm ico” — como lo h a supuesto L. de Broglie— o bien organismos con actividad interestelar, sus acciones ten d rían velocidades sem ejantes a la de la luz. Podemos ad m itir que las coordinaciones com unes a todas estas diversas acciones bastan p a ra gen erar u n a m étrica general. Sin em bargo, esta m étrica se distinguirá, según los casos, en m étricas euclidianas o no euclr= dianas. L a escala de nuestra acción nos sugiere la m étrica euclidiana, lo cual no significa que sea convencional sino, nuevam ente, que es más ad a p ta d a y eficaz. L a escala de la m ecánica eisteíniana im pone un a m étrica riem aniana que tam poco es la resultante de u n a convención; y podemos afirm ar incluso que el convencionalism o de Poincaré fue el que, sin duda alguna, im pidió que descubriera p o r su cuenta la teoría de la relatividad, a la cual se acercó sin em bargo de m uy cerca. N uevam ente aquí, la' expe riencia im pone una elección, pero en vez de proceder p o r exclusión limi tativa — com o sucede con la ca n tid ad de las dimensiones— , se tra ta más bien de u n a consideración d e escala en relación a nuestra actividad co rriente: esta actividad pued e construir cualquier m étrica, pero procede por aproxim aciones sucesivas en función de las necesidades de la acción, y si bien la m étrica euclidiana resultó suficiente p a ra las actividades com prendidas entre la edad de la p ie d ra tallada, o de las flechas con puntas de sílex, y la edad del autom óvil, la era atóm ica necesitará quizás otras métricas. Llegam os así al térm ino de algunas observaciones genéticas que había que presentar a propósito del espacio p erceptüal y el espacio sensoriomotor. P ara in troducir al análisis del espacio representativo, comenzaremos por p lan tear el problem a de la “intuición” , tom ando com o base p a ra la discu sión el p u n to de vista de H ilbert, d e v i s t a d e D. H i l b e r t y e l p r o b l e m a b e l a “ i n t u i Y a hem os m encionado de qué m odo — tom ando como guía el sentido com ún m ismo— la m ayor p arte d e los autores opusieron durante m ucho tiem po a las operaciones lógico-aritm éticas, concebidas como la expresión más auténtica de la actividad del espíritu, el conocimiento perceptüal e intuitivo del espacio, considerado com o vinculado a la expe riencia o la “sensibilidad” . Sin em bargo, la reflexión acerca de las geome trías no euclidianas, en prim er lugar, y, luego, la doble conquista que representan la geom etrización de la gravitación resultante de la teoría de la relatividad y el descubrim iento del m étodo axiom ático, condujeron a

6.

c ió n

11

El

punto

g e o m é t r ic a .

u n a escisión del espacio en dos realidades distintas: el espacio físico, indisociable de los “cam pos” energéticos y que constituye la expresión de su contextura, y el espacio intelectual, sistema de coordinaciones lógicas que puede com pararse con cualquier otro sistem a' abstracto, p o r ejem plo el sistema de los seres numéricos o analíticos. Sin embargo, surgen entoncés tres problem as: ¿ cómo vincular el espacio físico y el espacio axiom ático P ¿ qué relaciones hay que establecer entre este espacio intelectual y el espacio perceptual o sensoriomotor? y por últim o ¿qué relaciones hay que d eter m inar entre el espacio y las operaciones lógico-aritméticas ? A su m an era H . Poincaré respondió a estas tres p reg u n ta s: el espacio deductivo o axiomático, así como las construcciones formales num éricas o analíticas, es u n a libre construcción “convencional” que se apoya, en su punto de p artid a, en la actividad práctica y sensoriomotriz p ara liberarse lyego de ella; su concordancia con el espacio físico es la resultante de un ajuste progresivo entre las. intuiciones de nuestro espíritu y los datos d e la experiencia. V uelve a establecerse así la u n id ad entre los espacios intelectual y sensible, así como la u nidad entre ellos y el espacio físico. A dem ás, el paralelismo entre las construcciones geométricas y las construcciones n u m é ricas está asegurado puesto que el núm ero tam bién deriva de actividades elementales p ara desplegarse tam bién en elaboraciones convencionales. Ahora bien, sucede que uno de los m atem áticos que más p ro fu n d a m ente fundaron la geom etría axiom ática — D avid H ilbert— tom ó tam bién posición ante estos problem as pero de un modo sensiblemente diferente.38 P or una curiosa inversión de los puntos de vista — respecto de los autores que oponían el espacio, dato intuitivo, al núm ero y la lógica—-, H ilb ert concibe la geom etría axiom ática como una p u ra construcción lógica y que es además a priori, pero p ara arrojar a la geom etría no axiom ática en el terreno de la física. E n otros términos, la disociación que Poincaré inten tab a evitar es totalm ente conservada por D. H ilbert. La interacción entre el espíritu y lo real es, en prim er lugar, reem pla zada por u n a “arm onía preestablecida” . Así, lo real parece obedecer a las mismas leyes que la construcción axiomática. A un en el terreno de la biología — en los estudios de M endel— “los números encontrados de m odo experim ental verifican los axiomas euclidianos de la congruencia y los axiomas relativos al concepto geométrico «situado entre», la ley d e la herencia parece ser así una aplicación de los axiomas de la congruencia lineal, es decir, de los teorem as elementales acerca del transporte de los segmentos” .30 Asimismo, p ara H ilbert los problem as de lo finito y lo infinito se plantean en térm inos análogos para el Universo y p a ra el pensam iento. L a teoría de la relatividad m uestra la adecuación entre la geom etría riem aniana' y la experiencia, etcétera. ¿De dónde proviene entonces'esta “arm onía preestablecida” ? P orque “fuera de la experiencia y la deducción, existe una tercera' fuente de 88 0 . H ilbert: “La connaissance de la nature et la logique”. Trad, Müller. Enseignem ent m a th ., t. xxx, 1931.

39 Ibíd., pág, 24.

conocimientos” : el apriorism o kantiano. “C oncuerdo en que ciertos puntos de vista a priori son necesarios para la construcción de los conjuntos teóricos y se hallan en la base de todo conocimiento. Creo que los conoci* mientos m atem áticos tam bién se fundan, en últim a instancia, en estos puntos de vista intuitivos ( a n s c h a u l i c h ) , que u n cierto residuo intuitivo a priori es u n a base necesaria p a ra la teoría de los núm eros. . . Pienso que así ha sucedido esencialm ente en mis investigaciones acerca de los principios de la m atem ática. El a priori no es ni m ás ni menos que u n a m an era de ver fundam ental, o la expresión de ciertas condiciones prelim inares indispen sables p ara el conocim iento y la experiencia.” 40 Sin em bargo H ilbert no establece las mismas delimitaciones que K an t entre lo a priori y lo ex perim ental: p a ra >él, K a n t se equivocó cuando incluyó el espacio y el tiem po en las formas a priori. “L a geom etría sólo es, en efecto, esta parte de la física que describe las relaciones de posición de los cuerpos sólidos unos respecto de otros en el m undo de las cosas reales. L a experiencia sólo nos asegura que hay cuerpos sólidos en m ovim iento; la proposición que afirm a que la suma de los ángulos de u n triángulo es igual a dos rectos y el axiom a de las paralelas — tal como lo reconoció Gauss— tienen que verificarse o refutarse recurriendo a la experiencia.” 41 “Podemos decir. . . que los puntos de vista de Gauss y H elm holtz respecto del carácter em pírico de la geom etría se h an convertido en un resultado correcto de la ciencia. H oy deben servir como p unto de apoyo p ara toda especulación filosófica que se refiera al espacio y el tiem po.” 42 Vemos entonces cómo uno de los principales creadores de la axiom á tica geom étrica adhiere al empirismo espacial de Gauss, pero apoya, en cambio el núm ero y la lógica sobre un a priori que excluye el espacio. La axiom ática geom étrica se transform a, po r u n a parte, en u n a p u ra lógica, m ientras que, por la otra, el espacio intuitivo y práctico se vincula única m ente con la experiencia. R esulta entonces que el espacio axiom ático se relaciona en efecto con las operaciones lógico-aritméticas, pero al precio de la eliminación del espacio real, arrojado en el terreno de la física, y se produce entonces la ru p tu ra de todo o entre el espacio axiom ático y el espacio perceptual, sensoriomotor o incluso intuitivo. Sin d u d a subsiste un vínculo entre el pensam iento y la naturaleza: “Sólo podemos com prender este acuerdo entre la naturaleza y el pensam iento, entre la expe riencia y la teoría, considerando el elemento form al y el mecanismo que le corresponde, tan to del lado de la naturaleza como del lado de la inteligencia”,43 pero como este elem ento form al se basa en un a priori, el vínculo es u n vínculo “preestablecido” en form a de una “arm onía” dada, y no es la resultante de nuestra actividad. Los problem as cuya solución genética debemos buscar están claram ente 40 Ib íd., págs. 28-29.

41 Ibíd,, pág. 29. 42 Ib íd., pág. 30. 43 Ib íd., pág. 27.

planteados y la divergencia de las opiniones sostenidas por los m atem áticos mismos m úestra hasta qué punto los tres problem as de las relaciones entre el espacio intuitivo y el espacio intelectual, entre ambos y el espacio físico y entre ambos y las operaciones lógico-aritméticas, no provienen únicam ente de la lógica o de su relación con las leyes de la física, sino que suponen un análisis preciso del desarrollo m ental. E n este p u n to es im portante volver a señalar dos observaciones previas, respecto de la intuición geom étrica, e insistir en ellas con cierto vigor p ara no correr el riesgo de volver a caer en las dificultades irresolubles que pesan sobre la m ayor parte de las discusiones acerca de las relaciones entre la axiom ática y el espacio “intuitivo” . El p rim er punto que debe señalarse es que la idea de “intuición” espacial o geom étrica, tal como la em plean los m atem áticos (en particular, cuando la oponen a las ideas form ales y axiom atizadas), n o corresponde a nada que p u ed a definirse y recubre, por el contrario, un cam po esencial m ente heterogéneo, de m odo tal q u e el empleo de la p alab ra “intuitivo” se vuelve frecuentem ente contradictorio. Por otra parte, pu ed e explicarse fácilm ente esta situ ació n : los m atem áticos, que definen todo con precisión, consideran con razón que lo intuitivo es el dominio donde el rigor form al está ausente; sin em bargo, a partir de esta suposición legítim a, extraen la conclusión ilegítim a de que el reino de la intuición constituye un a entidad positiva, como si se pudiera delim itar, o incluso caracterizar, un a realidad positiva con caracteres negativos. Surge una consecuencia grave: se cree decir algo cuando se oponen las ideas de intuitivo y axiomático, cuando en realidad esta dicotom ía equivale simplemente a distinguir las ideas de axiom ática y no axiom ática, recubriendo esta segunda idea u na serié de realidades genéticam ente distintas y aun a m enudo cualitativa m ente opuestas. G onseth mismo, que sin em bargo percibió la gradación de los niveles posibles que habrían de intercalarse entre las form as intuitivas inferiores del espacio y el esquema axiomático, define la intuición de un m odo ta n “somero” que constituye u n débil socorro (véase el p u n to 11) . Por lo tanto, es indispensable, si se quieren tra ta r las relaciones entre el espacio perceptüal sensoriomotor y el espacio axiomático, co n tar con un a clasificación y u n a seriación precisas de los estadios sucesivos del desarrollo real, histórico o genético. L a ausencia de este m arco de referencia de las estructuras psicológicas efectivas del espacio perm ite que H ilb ert m antenga las antítesis que acabamos de exam inar. L a totalidad del problem a de las relaciones entre el espacio concreto y la axiom ática debe retom arse en términos de evolución. E n este sentido distinguiremos tres etapas entre el espacio sensoriomotor y el espacio axiom ático: l 9 un espacio in tu i tivo en el sentido lim itado, caracterizado por la representación im aginada y estática, que aparece al nivel preoperacional com prendido en tre los 2 y 7 años y subsiste hasta la edad ad u lta; po r ejemplo, en la representación de los puntos y las líneas como pequeñas superficies circulares o estrechas bandas'; 29 el espacio de las operaciones concretas, susceptible de com posi ciones reversibles y coherentes, pero únicam ente con los objetos m anipuleables; esta form a de representación se refiere a las transform aciones

resultantes de la acción y aparece en el nivel m en tal com prendido entre los 7-8 y 11-12 años; 3" el espacio de las operaciones formales, que corres ponde a u n a geom etría que ya puede expresarse en proposiciones deductibles, pero cuyo contenido sigue siendo im aginado (es el espacio carac terístico del nivel m ental ulterior a los 11-12 años y que corresponde al m odo de pensam iento utilizado en los Elem entos de E u clid es). Estos tres niveles distintos, reunidos en el espacio sensoriomotor, corresponden a lo que los m atem áticos llam an el espacio “intuitivo” cuando oponen la “intuición” a la axiom ática. E n cam bio, cuando se distingue sim plem ente la intuición de la deducción, se llam a intuitivo a los dos prim eros niveles, unidos al espacio sensoriomotor. Por nuestro lado, llam arem os intuición im aginada únicam ente al prim ero de estos tres niveles y lo distinguirem os a la vez del espacio sensoriomotor (p u n to 5) y del espacio operatorio (niveles 2 y 3 ). L a segunda observación que no puede dejarse de lado, antes de in iciar cualquier análisis de la “intuición” geom étrica, es qu e los mismos niveles genéticos llam ados “intuitivos” , com prendidos entre el espacio sensoriom otor y el espacio axiomático, corresponden a formas lógico-aritm éticas sucesivas de intuiciones im aginadas, y luego de .operaciones. A hora bien, este p u n to es ta n im portante como el anterior. E n efecto, considerar las diferentes form as de la “intuición” espacial como específicas del dom inio geom étrico es falsear com pletam ente las perspectivas con las cuales se las ab o rd a; se llega a oponer así u n a “intuición” del espacio, que en su esencia sería sensible o im aginada (salvo que se la convierta en “transintuitiva” cuando se consideran sus form as superiores y racionales), a la “intuición p u ra ” del núm ero o los mecanismos lógicos, que por el contrario sería de en tra d a intelectual y operatoria. E n realidad, no hay m ayor error psicológico que esta antítesis, que h a viciado casi toda la filosofía geom étrica del siglo xix. L a observación un poco precisa del desarrollo m en tal proporciona p o r el contrario tres enseñanzas com plem entarias, y tam bién significativas unas y otras en cuanto al análisis epistemológico del espacio: . • l 9 Las operaciones concretas, que se intercalan entre la simple intuición im aginada y las operaciones formales (por lo tanto, las operaciones del segundo de los tres niveles distinguidos hace u n instante) n o son o p era ciones que se refieran a u n espacio dado independientem ente de ellas, sino operaciones que generan e’ espacio (en su form a conocida de intuición a d u lta ). Todos iten (salvo los platónicos) que las operaciones lógicas y num éricas no son operaciones que se refieren a seres lógicos — o a n ú meros— dados previam ente, sino que constituyen la fuente m ism a de estos seres (clases o relaciones) y estos números. P or el contrario, cuando se tra ta de las operaciones espaciales — com o las reuniones y particiones, los em plazam ientos y desplazamientos, las mediciones, etc.— se razona como si estas operaciones se aplicasen a un espacio dado anteriorm ente a ellas: ah o ra bien, sólo se tra ta de u n a ilusión resultante del hecho de que como la constitución del espacio “intuitivo” adulto h a culm inado, operam os sobre él como desde afu era; por el contrario, en el niño, las operaciones

son las que engendran el espacio “intuitivo” (en el sentido d e los m ate máticos) , del mismo modo que las operaciones de clasificación engendran las clasificaciones lógicas y que la operación 1 genera la sucesión de los números enteros. 2- Estas operaciones concretas, verdaderas raíces del espacio que los m atem áticos llam an “intuitivo” son isomorfas, y tienen u n desarrollo p ara lelo (con correspondencia sincrónica) a las operaciones lógico-aritméticas. Así, al encaje de las clases corresponde la partición, a la seriación corres ponde el em plazam iento y el desplazam iento; y estas operaciones de p ar tición y orden comienzan por ser cualitativas (en el sentido de intensivas) en el plano espacial y en el plano lógico. Por o tra p arte, así como la síntesis del encaje de las clases y la seriación genera el núm ero, así la partición y el em plazam iento se fusionan en las operaciones de m edición, etcétera. 3? Por últim o, en exacto paralelism o con la intuición espacial pre operatoria (nivel 1) existe una intuición prelógica y p renum érica antes que se constituyan las operaciones lógico-aritm éticas. Lo que perm ite creer que las operaciones espaciales concretas se refieren a u n espacio dado anteriorm ente a su constitución es la existencia de los espacios perceptuales, sensoriomotores y, en particular, de la intuición im aginada, generadora de ciertas figuras simples y estáticas (aún no susceptibles de transform a ciones) : las operaciones concretas se aplican, si se quiere, a estas formas perceptuales e imaginadas, pero esta “aplicación” consiste en realidad en transform arlas en nuevas estructuras que presentan nuevos caracteres, cualitativam ente irreductibles a las anteriores. A hora bien, sucede exacta mente lo mismo con las operaciones lógico-aritm éticas: están precedidas, en prim er lugar (ya lo hemos visto), por los esquemas sensoriomotores que funcionan com o conceptos prácticos o cantidades motrices, luego por verda deras “intuiciones” preoperatorias, en el sentido mismo en que se habla de la intuición espacial im aginada. Sucede así que antes de saber construir números m ediante la operación — (—1 el niño procede p o r configuración de conjunto (véase cap. 1, punto 1), d ando lugar a correspondencias biunívocas ópticas, pero no intelectuales, es decir, sin equivalencia durable una vez que se rom pen los os visuales. Asimismo, antes de saber razonar sobre clases lógicas susceptibles de encajes y desencajes reversibles, intuye colecciones de objetos, sin lograr conservar las totalidades, pero otorgándoles relaciones intuitivas elementales (analogías, e tc .) . E n resumen, todo el pensam iento prelógico y prenum érico es “intuitivo” en el plano lógico aritm ético como en el plano espacial, antes de que las operaciones concretas se transform en en dos dominios a la vez. A hora bien, así como las operaciones lógico-aritméticas no se lim itan a un a sim ple “aplicación” a estos datos intuitivos, sino que los reconstruyen totalm ente y les imponen nuevas estructuras, así las operaciones espaciales concretas? que se consti tuyen alrededor de los 7-8 años, elaboran u n nuevo espacio m ediante datos perceptuales e intuitivos (im aginados) anteriores, y u n espacio que el adulto in te rp re ta enseguida erróneam ente com o la resultante de la per

cepción m ism a; sucede así que la estructuración del espacio con ejes de coordenadas — verticales y horizontales-^- es 1? o bra de las operaciones concretas y no lo es en absoluto de la sola percepción o de las solas intuiciones imaginadas-, y sólo culm ina alrededor de los 9-10 años. Estos sistemas operatorios de coordenadas naturales sólo se fusionan a posteriori con el espacio perceptual y no derivan en absoluto de él. E l análisis genético conduce pues a cuestionar la descripción propuesta por D. H ilb ert acerca de las relaciones entre lo form al y lo intuitivo. En co ntra del apriorism o de H ilbert que establece u n a correspondencia entre lo form al y lo experim ental a través de u n a arm onía preestablecida, el estudio del desarrollo m uestra todas las transiciones existentes entre el espacio intuitivo y el espacio form alizado: resulta entonces inútil recurrir a una preform ación o una razón innata, p a ra d a r cuenta de lo form al, ya que el acuerdo entre las form as racionales y la experiencia se explica por el acuerdo entre las coordinaciones generales de la acción — fuente de la necesidad form al, que aparece al térm ino de la composición que extrae sus m ateriales a p a rtir de ellas— y las acciones particulares que constituyen la experiencia en tanto tal. G onseth percibió claram ente este pasaje gradual de lo intuitivo a lo form al pero, en vez de considerar en este caso a la “intuición” com o un conjunto com plejo de transiciones entre lo sensoriom otor y lo “teórico”, este autor m antiene lo intuitivo en el mismo plano que lo experim ental y lo form al. En u n a de sus últimas publicaciones 44 estos “tres aspectos de la geom etría” son considerados com o p aralelos: “la equivalencia de verdad de los tres aspectos es la idea dom inante de la d octrina previa de la geom etría elem ental” .45 A hora bien, si en vez de m ezclar los niveles heterogéneos de la evolución, o la jerarq u ía de los mecanismos m entales, nos ubicamos en el p unto de vista del desarrollo psicológico y la historia y, en consecuencia, de la construcción efectiva del espacio, no hay duda de que el dom inio de lo “intuitivo” se estrecha a m edida que aparecen los progresos de esta construcción; en cambio, los dominios de lo “experim ental” (el espacio físico) y lo “form al” (la axio m ática) se rep arten siempre m ás com pletam ente los despojos del prim ero: ésta es la m ejor prueba de que la “intuición” no es sino un conjunto de térm inos de tránsito, un com plejo inicial indiferenciado, cuya diferenciación conduce, po r una parte, a la composición reflexiva de las estructuras formales, apoyadas sobre la coordinación de las acciones u operaciones y, por la otra, al establecimiento de relaciones entre los objetos físicos, por medió de las acciones particulares proporcionadas por la experiencia. . 7.

La

IN T U IC IÓ N

IM A G IN A D A Y L A S

O P E R A C IO N E S E SPA C IA L E S C O N C R E

P ara com prender qué es la verdad geomé trica, incluso en su form a puram ente axiom ática, no basta entonces con p asar directam ente del espacio perceptual o de la “intuición” a las cons-

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de

carácter

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t e n s iv o

”.

44 F. Gonseth: La géométrie et le probléme de Vespace, II. Les troú aspects de la géométrie. Neuchátel, Le Griffon, 1946. 45 Jbíd,, pág. 84.

tracciones form alizadas: im porta seguir nivel p o r nivel las etapas de la formación real. Así, en estos puntos 7 y 8, describiremos las elaboraciones propias de los tres niveles distinguidos en el p u n to 6: el de la intuición imaginada, el de las operaciones concretas y, p o r últim o, el de las opera ciones formales. Hemos insistido (en los puntos 4 y 5) sobre el hecho de que el espacio perceptual es esencialm ente incompleto, po r estar siempre vinculado al campo presente y próxim o del sujeto, sin posibilidad de relacionar estos diversos campos en u n espacio único y general. El espacio sensoriomotor proporciona luego y en parte esta posibilidad, pero de m odo p uram ente práctico y m otor, es decir, m ediante anticipaciones breves y sin represen tación de conjunto de la totalidad de los desplazam ientos o caminos recorridos. El “espacio” como medio unificado, com ún a todos los fenó menos, es pues una conquista de la inteligencia representativa, y sigue siendo extraño a la percepción o al movim iento en ta n to tales. Se trata entonces de com prender el mecanismo de su construcción. P ara el empirismo, que cree en la percepción-copia, simple reproduc ción del m undo exterior y que concibe la im agen como u n a prolongación directa de las percepciones, el espacio intuitivo no es sino la reunión de las diversas imágenes, conservadas como recuerdos de las sucesivas percepciones. Sin emb.argo, así como los elementos sensoriales de la percepción como tal sólo constituyen'un sistema de índices que sirve de significante de las diversas actividades perceptuales y motrices, así las imágenes espaciales (imágenes de formas, longitudes, etc.) constituyen símbolos cuyas signifi caciones ya no son sim plem ente actividades perceptuales o movimientos efectivos, sino posibles acciones sobre los objetos. L a natu raleza propia de la intuición espacial im aginada es p o r lo ta n to y de en trad a muy compleja: es a la vez simbólica en su expresión y activa en su contenido, pero en su comienzo se refiere a acciones breves, aisladas y aú n no ag ru padas en operaciones que puedan ser com puestas entre sí de u n m odo coherente. E n prim er lugar, ¿qué es u n a im agen m ental? Es u n a im itación interiorizada que sirve com o simple significante simbólico de las acciones ejercidas sobre los objetos o de estos objetos en ta n to m etas de las acciones. U na im agen auditiva, como una palab ra o u n a m elodía oídas interiorm ente, no es sino u n a im itación interiorizada (es el caso del “lenguaje interior” en general) o u n esbozo de im itación, aún no exteriorizado, de la p alab ra o el canto. U n a im agen visual tiene una propiedad sem ejante: im aginar una form a consiste en poder reproducirla, no sólo porque esta reproducción se apoyará en la evocación im aginada, sino porque esta evocación de por sí ya es u n comienzo de reproducción m o t r i l 0 A hora bien, la im itación es, en sus raíces, la prolongación de la acom odación de los esquemas sensoriomotores; se percibe entonces cómo pueden concebirse las imágenes 48 Véase Piaget: La formation du symbole chez l’enfant. Delachaux et Niestlé, Véase nota 7 del cap. 1. vol. I.

visuales como provenientes, no de la percepción propiam ente dicha, sino de la actividad perceptüal o sensoriomotriz como fuente de la imitación. A un más, porque es el resultado de la acom odación de los esquemas sensoriomotores (im itación) y no de su actividad entera, la im agen desem peña un p ap el de significante simbólico, m ientras que la asim ilación sensoriomotriz, que caracteriza lo esencial de esta actividad, se halla en el p u n to de p artida de la asimilación conceptual, cuando puede apoyarse a la vez en los símbolos im aginados y en los signos verbales. A clarado este punto, es incontestable que la intuición espacial elemen tal se apoya en imágenes, com o lo hace todo pensam iento intuitivo y preoperatorio, pero tam bién resulta claro que estas imágenes no significan n ad a de por sí, sólo significan algo en referencia a posibles acciones, a las que se asim ilan los objetos y que les otorga entonces sus determ ina ciones espaciales. Por ejem plo, solicitemos a niños d e 4 a 6 años que se im aginen la sección de u n volum en de pasta p ara m odelar (por ejemplo, u n cilindro que se co rtará transversal o long itu d in alm en te), o la superficie obtenida cuando se abren los lados de u n cubo, etc., o tam bién simplemente la form a que adquirirá u n n u d o cuando se apriete o se afloje u n poco, etc. Observam os entonces que los niños son incapaces de efectuar la menor anticipación p o r m edio de la im agen antes de que se esboce o inicie la acción real, pero cuando se com ienza a co rta r el cilindro, cuando el volu m en com ienza a desplegarse o cuando se está ap retan d o o aflojando el nudo, el m ovim iento ya esbozado puede prolongarle en la im aginación. E n otros términos, la im agen no precede a la acción, pero u n a vez esbozada la acción real puede prolongarse en im ágenes.47 E n sus comienzos, la intuición geom étrica es u n conjunto de acciones interiorizadas, cuya im agen no es sino el símbolo constituido p o r su acomo dación im itadora. Sin em bargo, como las acciones representadas m ental m ente por la intuición naciente son m ás ricas que las actividades sensoriomotrices (d e las que proceden origin ariam en te), p o r el hecho mismo de que pueden com pletarse sim bólicam ente, rápidam en te dan lugar a coordi naciones que superan el espacio próxim o, y proporcionan así el p u n to de p artid a del espacio representativo como m edio com ún a los diversos fenó menos. A hora bien (situación in te resa n te), estas coordinaciones recorren, o tra vez, pero en este nuevo plano am pliado constituido por el pensamiento, las etapas ya franqueadas en parte, y solam ente en el cam po próximo, por el espacio perceptüal. E n otros térm inos, las prim eras intuiciones espaciales serán de orden topológico, como lo eran las prim eras percep ciones del espacio, y solam ente después se constituirán sim ultáneam ente las intuiciones proyectivas y euclidianas, así como las percepciones espaciales desarrolladas po r la actividad perceptüal se h an convertido, ellas también, y a posteriori, en proyectivas y euclidianas.

puf,

4~ Véase Piaget e Inhelder: La représentalion de Vespace ¿hez Venfant, París, caps, i v , i x y x .

Sucede así que, cuando se exam ina la evolución del dibujo (en el cual L. Brunschvicg ubica el comienzo de la construcción de las formas geomé tricas), observamos que las prim eras relaciones accesibles a los niños son las relaciones topológicas de vecindad y envolvimiento (con distinción de las form as abiertas y cerradas, y de los elementos interiores, exteriores o incluso ubicados en la frontera) : por ejemplo, a una edad en que el niño sólo copia los cuadrados y los triángulos otorgándoles la form a de un círculo (es decir, simples curvas cerradas) sabrá m uy bien cómo hacer p a ra situar u n círculo pequeño sobre la frontera, en el exterior o en el interior de o tra figura. Las relaciones intuitivas de orden son tam bién precoces (pero en una form a a ú n no operatoria, es decir, sin inversión posible, ni com prensión de la sim etría de la relación “situado entre” en el caso de reversiones), etc.48 Por el contrario, las relaciones euclidianas (m agnitudes, proporciones y, en particular, estructuración en un eje de coordenadas) y las proyectivas (elección y coordinación de las perspectivas en oposición a la mezcla de los puntos de vista) sólo aparecen más tarde y correlacionadas entre s í 40: en efecto, en el dominio de la intuición im aginada como en el dominio de la percepción, las relaciones topológicas sólo suponen el establecimiento de relaciones de m anera progresiva que siguen siendo interiores a las figuras o las configuraciones d a d a s ; en cambio, las coordinaciones proyectivas y euclidianas suponen un a ubicación de cada figura respecto de todas las restantes y, en consecuencia, u n a estructuración de conjunto del espacio. A hora bien, si las relaciones euclidianas más simples que intervienen en el dibujo (por ejemplo, de u n cuadrado o u n triángulo) son accesibles a la intuición im aginada (aunque por ejemplo la copia de un rombo ya presenta dificultades muy superiores, porque requiere el establecimiento de la relación de las inclinaciones), las cons trucciones de conjunto que suponen un sistema de coordenadas o una coordinación de perspectivas superan las posibilidades de la simple imagen intuitiva. E n resumen, la intuición espacial específica del nivel que se inserta entre el espacio sensoriomotor y las prim eras operaciones concretas (de 2 a 7 años en prom edio) consiste en acciones im aginadas en sus resultados, pero breves y, al comienzo, con poca posibilidad de composición m utua. Entonces, ella no es suficiente, d u ran te mucho tiempo, p ara poder construir u n espacio de conjunto, por las mismas razones por las que las percep ciones sucesivas tampoco lo lograban, sin la intervención de un a actividad perceptual y sensoriomotriz. Se reproduce el mismo fenómeno en un nivel superior y en la escala de la representación, en oposición con la acción efectiva; sin embargo, las operaciones concretas son las que desem peñarán está vez el papel coordinador y estructu rad o s ¿E n qué consisten estas operaciones? 48 Véase Piaget e Inhelder: h a représentation de l'espace (hez l’enjant, París, p u f , cap. ni.

49 Ibíd., caps, vt-xiv.

Las -acciones — efectivas o m entales— que se encuentran en la raíz de la intuición del espacio siguen orientándose, al nivel de la intuición im aginada inicial, en sentido único hacia su objetivo y no son aú n suscep tibles de composición reversible. Sin embargo, el progreso mismo de estas acciones conduce a u n a gradual articulación de las intuiciones y se com prom ete así en la dirección de la reversibilidad. Las acciones m entalizadas se. constituyen en operaciones apenas su coordinación alcanza el nivel de la composición reversible: las operaciones espaciales concretas representan pues la form a de equilibrio móvil hacia la que tienden las acciones in terio rizadas (intuiciones) iniciales pero que sólo alcanzan después de haber conquistado la m ovilidad necesaria y la capacidad de coordinarse en los dos sentidos del recorrido. A hora bien, apenas se alcanza este nivel de composición reversible, térm ino de la articulación de las acciones al co mienzo breves y rígidas, u n conjunto de caracteres cualitativam ente nuevos opone las operaciones a las acciones de sentido único del nivel precedente: en los hechos mismos surge entonces cierta lógica del espacio, o más preci sam ente el espacio se convierté en u n a lógica del o&jeto, después de h aber sido sim plem ente su representación estática; deja de ser u n a simple des cripción de estados y se prom ueve al rango de sistema de transformaciones. H ay u n buen ejem plo que m uestra a la vez la filiación, de las o p era ciones espaciales, respecto de las acciones intuitivas, y el carácter cu a lita tivam ente nuevo del agrupam iento de estas operaciones: el desarrollo espontáneo de las conductas que anuncian la medición. C uando solicitamos a los niños de diferentes edades que construyan u n a torre que sea tan alta como un m odelo que se encuentra a cierta distancia y colocado a u n nivel diferente, com probam os que los m ás chicos se contentan con com paraciones perceptuales, m ediante la vista o con la ayuda de palitos, p ara relacionar los extremos superiores (sin tener en- cuenta el desajuste de las bases) ; luego, después de haber intentado aproxim ar m aterialm ente los objetos que tienen- que com parar, utilizan m ovim ientos imitativos p ara tran sp o rtar la a ltu ra (gestos de los brazos, puntos de referencias en el propio cuerpo, etc..). Después, piensan en construir u n á tercera torre, que sirva como medio térm ino móvil y, por últim o' (únicam ente alrededor de los. 7. años), con siguen utilizar bastones ó reglas como m edidas comunes. A hora bien, esta últim a conducta transform a las acciones precedentes en operaciones, por el hecho mismo de que se hacen susceptibles de composiciones transitivas, asociativas y reversibles, del tipo A = B; B = C por lo tanto A = C. Vemos de qué .modo este agrupam iento operatorio se distingue cu alitati vam ente de las simples com paraciones perceptuales e intuitivas, al mismo -tiempo que constituye la form a de equilibrio móvil lograda al térm ino de la articulación .de las intuiciones anteriores.50 A hora bien, desde el punto de vista epistemológico, estas prim eras 50 cap. H,

Véase Piaget, Inhelder y Szeminska: La géométrie spontanée de l’enfant,

estructuras propiam ente operatorias del espacio son las más instructivas en cuanto- a las relaciones entre el espacio intuitivo y el espacio formalizado, porque estos prim eros agrupam ientos de operaciones son los que com pletan c intentan reem plazar el espacio percibido o im aginado por un sistema de transform aciones intelectuales m ediante la coordinación de las intuiciones estáticas particulares hasta conseguir englobarlas en u n a estructura de con ju n to (de m odo sem ejante a aquella de la cual io s esquemas sensoriomotores ya han elaborado un sistema práctico al integrarse los simples esquemas perceptuales.: véase el punto 4). Nos parece que en este sentido hay u n a doble com probación que dom ina el conjunto de la cuestión. P or un a p arte, el espacio no aparece en absoluto desde el comienzo como u n a estructura m atem ática ya que, en prim er lugar, se construye po r medio de operaciones cualitativas de carácter “intensivo” (vol. I, cap. I, punto 3) , antes de d ar lugar a una cuantificación m atem ática, es decir, “extensiva” o “m étrica” . Desde este punto de vista, la construcción del espacio es exactam ente p aralela a la del núm ero: así como la elaboración del núm ero está prep arad a p o r operaciones lógicas, aún no num éricas, cuya fusión en nuevas síntesis es la única que constituye las operaciones aritm éticas, así el espacio m atem ático, de carácter extensivo o m étrico, procede de un espacio “intensivo” cuyas transformaciones cuali tativas se fusionan luego en operaciones m atem atizadas. Sin em bargo y por otra parte, las operaciones intensivas que constituyen en prim er lugar el espacio operatorio no son idénticas a las operaciones lógicas de clases y relaciones asimétricas, cuya síntesis culm ina en la form ación del núm ero, sino que, al mismo tiem po que son isomórficas entre sí, siguen teniendo en el plano concreto un carácter distinto que llam arem os “infralógic.o” . Sólo a p a rtir del m om ento en que se las form aliza, es decir, en que se las expresa m ediante simples proposiciones hipotético-deductivas y se las somete al sistema de las operaciones formales — y ya no concretas— , se pueden asim ilar con las operaciones lógicas. Por el contrario, en el plano concreto se distinguen de ellas y la im portancia de esta distinción entre las o p era ciones infralógicas y las operaciones lógico-aritméticas se pone de manifiesto po r el hecho de que un espacio concreto constituye un esquema único, es decir, con u n a sola com ponente o continuo, en oposición a una sucesión de números enteros o racionales, y a un sistema de clases o relaciones, cuyas totalidades no están sujetas a cum plir esta condición. Este carácter es el que provocó durante tanto tiempo la ilusión de que el espacio era más “sensible” que el núm ero, cuando en realidad poseen una propiedad intelectual y operatoria exactam ente com parable (y adem ás con anteriores estadios intuitivos preoperatorios exactam ente sem ejantes), con la única diferencia, precisam ente, de que sus operaciones constitutivas tienen la propiedad de ser “infralógicas” y. no “lógicas” . Entonces, ¿en qué consisten estas operaciones infralógicas constitutivas del espacio intelectual y, como veremos más adelante, del tiempo y las ideas físicas elementales? Son isomorl'as a las operaciones lógicas. Pero m ientras que las operaciones lógicas parten de los objetos como datos inva riantes y se lim itan a reunidos (agrupam ientos aditivos y multiplicativos de

clases) o seriarlos (agrupam ientos aditivos y m ultiplicativos de relaciones), las operaciones iníralógicas se aplican a la construcción m ism a del objeto y tienen el papel de reu n ir y seriar los elementos de este objeto, y ya no los objetos como tales. Al distinguirse un objeto de u n conjunto de objetos precisam ente porque constituye un sistema de u n a sola com ponente, las operaciones iníralógicas no descansan sobre las semejanzas (com o las clases y las relaciones sim étricas de propiedad “lógica” ) , o sobre las diferencias (como las relaciones asim étricas “lógicas” ), sino sobre las relaciones de vecindad o sobre las diferencias de posición. Por lo tanto, estas acciones y operaciones son las form adoras de los objetos que constituyen el espacio (y el tiem po, etc.) ; el espacio no es sino el conjunto de las relaciones d eterm inadas po r las transform aciones de posiciones de los elementos del objeto considerado (abstracción hecha de la velocidad, los desplazamientos, que determ inan el tiem po) ; -en cambio las clases y las relaciones lógicas consisten en vincular los objetos entre sí independientem ente de estas trans formaciones. Pero, repitám oslo, resulta claro que esta distinción se lim ita al dom inio de las operaciones concretas: en el plano form al, n ad a im pide tra ta r un “conjunto de puntos” como u n a clase lógica, un orden de sucesión como u n sistema de relaciones asimétricas, etcétera. Por otra parte, es claro que cuando oponemos de este m odo las opera ciones concretas iníralógicas a las operaciones concretas lógico-aritméticas, no pretendem os generar deductivam ente el espacio, ya que sería un círculo vicioso evidente querer explicar todas las estructuras espaciales p o r las trans form aciones internas del objeto puesto que él im plica ya la extensión. Sim plem ente querem os describir cómo suceden las cosas en la realidad del desarrollo psicológico, e insistir en este sentido en dos aspectos de la génesis real: l 9 que las operaciones iníralógicas prolongan, en tan to se refieran a las transform aciones del objeto, la construcción m ism a del obj.eto ya in iciada po r la percepción y la inteligencia sensoriomotriz (véase punto 4) ; 2" que la construcción operatoria del espacio, en el in terio r de lo que los m atem áticos llam an, de m odo global, “intuición” geom étrica y de lo que ellos consideran así. como un dato previo a la axiom atización, anuncia en realidad esta form alización m ism a y procede de leyes de organización intelectual y de equilibrio gradual, sem ejantes a las leyes que presiden la form ación del núm ero. A clarado este punto, el análisis genético m uestra que, al nivel en que las intuiciones espaciales im aginadas progresivam ente articuladas (entre los 4 y los 6-7 años) se constituyen en operaciones propiam ente d ic h a s— es decir en agrupam ientos caracterizados por sus composiciones reversibles— , hay que distinguir tres grandes sistemas de operaciones espaciales: el prim ero que se constituye (6-8 años) se refiere a las transform aciones de las figuras de m anera progresiva (relaciones topológicas); el segundo (que culm ina alrededor de los 8-9 años solam ente) tiene que. ver con la coordinación de los puntos de vista a p a rtir de los cuales se transform an las figuras (relaciones proyectivas) ; el tercero (correlativo del segundo y que sólo culm ina ju n to con él) tiene que ver con las transform aciones resultantes

d e los desplazamientos y que se refieren a ejes de coordenadas (relaciones euclidianas, incluidas las sim ilitudes). A hora bien, cad a uno de estos tres sistemas consiste, en prim er lugar, en operaciones exclusivamente “inten sivas” en el sentido definido en el cap. 1 (punto 3 ) , a n te s .de producir cuantificaciones extensivas o métricas. N o vamos a volver a presentar aquí la descripción detallada de estas diversas operaciones infralógicas, cuyo interés sólo es genético y no m ate m ático, puesto que ya la hemos expuesto en otra p a rte .91 Nos contenta remos pues con algunos ejemplos destinados a hacer notar, a la vez, el carácter “intensivo” de estos agrupam ientos y su isomorfismo con los agru pam ientos de clases y relaciones lógicas. Los dos agrupam ientos fundam entales de las operaciones topológicas elem entales se refieren a la partición y. el orden. La p artición implica dos operaciones, inversas entre sí; una consiste en separar m ediante co rtes• cualesquiera los elementos de un continuo perceptüal (p o r ejemplo, una línea o u n a superficie)' y la otra en reunir en función de sus vecindades las partes que se h an separado, A hora bien, estas dos operaciones, por más .simples que sean, no están dadas con su reversibilidad en las intuiciones im aginadas preoperatorias: por el contrario, los niños piensan que un c u a d rad o o un triángulo no pueden distribuirse en partes cada vez más pequeñas, y que al mismo tiempo sus elementos últimos sigan siendo siem pre cuadrados o triángulos; y si por acaso se llegara m ás a.llá de estos elem entos últimos, hasta los “puntos” (en el sentido de pequeñas superficies perceptibles), la reunión de estos últimos no produciría nunca una figura continua. Cuando estas operaciones de descomposición y recomposición se constituyen —alrededor de los 7 años— en su form a reversible y culm inan en el resultado fundam ental de la conservación de las totalidades espaciales (véase m ás adelante), resulta claro, por otra parte, que no se tra ta ría de transform aciones infinitas que implicasen un a cuantificación extensiva (como los conceptos m atem áticos de límite, punto de acum ulación, ru p tura, e tc .), ni m étrica (por correspondencia de los segmentos con los núm eros racionales e irracionales). Por lo tanto, la partición y la adición p artitiv a perm anecén durante m ucho tiempo en estado de operaciones “intensivas” finitas cuyo “agrupam iento” es isomorfo a la del encaje de las clases: A -j- A’ = B; B -f- B’ = C, etc. (vol. I, cap. I, punto. 3 ) ; la única ■diferencia es que los elementos A, A’, B’, etc., ya no son objetos reunidos en clases en función de sus semejanzas cualitativas, sino “partes” finitas de objetos, reunidas en “partes” de orden superior (hasta culm inar en el objeto total) en función de sus vecindades.52 En cuanto a las operaciones de orden, que llamaremos “em plazam ientos” 53, corresponden tam bién a intui ciones elementales, pero que sólo se agrupan alrededor de los 6-7 años: proceder desde el orden directo al orden inverso y com prender que la 51 Piaget e Inhelder: La rrésentalion de 1‘espace chez l’enfant. París,

pu f

,

1947.

p u f

.

32 Véase Piaget e Inhelder, loe. c i t cap v. Véase Piaget: Les notions de mouvement et de vitesse chez l’enfant. París, 1946. c a p s .-m i. y Piaget e Inhelder. loe. cit,. c a p . n i.

relación “situado en tre” se conserva independientem ente de las inversiones, supone el mismo m ecanism o de composición reversible que la partición, pero es isomorfo al agrupam iento lógico de la seriación de las relaciones asimétricas (con adición no conm utativa de las relaciones, en oposición a la adición p artitiv a o a la de las clases, am bas co n m u tativ as). P or otra parte, las operaciones de em plazam iento no sólo se aplican a los elementos de las sucesiones lineales sino tam bién a sucesivos envolvimientos (curvas cerradas que envuelven el plano, o cajas que se envuelven entre sí en el esp acio ). E n este sentido, observemos que el concepto de envolvimiento proporciona la intuición psicológicamente más simple de las dimensiones del espacio, antes de cualquier estructuración euclidiana de las coorde nadas.54 ■ , A p a rtir de estas operaciones intensivas que se refieren a las relaciones topológicas, el sujeto pasa a la construcción del espacio proyectivo desde el m om ento en que ellas se realizan en función de un “p unto de vista” considerado como tal, es decir, en función de la coordinación de los “puntos de vista” posibles. N ad a m ás instructivo en este sentido que la construcción operatoria concreta de la recta proyec.tiva o puntual. Es evidente que en el espacio de la percepción la recta es una de las prim eras form as que puede ser reconocida apenas se ha superado el nivel de las prim eras percep ciones sincréticas que sólo se refieran a las relaciones de vecindad y separación. Sin em bargo, si bien la recta perceptual es m uy precoz, no po r ello el niño sabe construir de en trad a una recta entre dos puntos, cuando carece de un sistema perceptual como m arco de referencia o, en particular, en oposición con él. Por ejemplo, si se colocan dos mojones en la extre m idad de una. mesa rectangular y se solicita al niño que coloque otros m ojones que form en u n a línea recta con los dos primeros, el niño consigue hacerlo fácilm ente si esta recta es paralela al borde de la mesa, pero presenta grandes dificultades — aun a los 4-6 años— si la recta que debe construir es oblicua respecto de este borde. Vemos aquí del m odo más claro la carencia de la intuición im aginada preoperatoria: esta form a de representación espacial es incapaz de por sí de an ticip ar. u n a línea recta, cuando ella entra en conflicto con la configuración perceptual. E l pro blem a se resuelve de m odo operatorio (solam ente alrededor de los 7 años) cuando el niño coloca los mojones entre los térm inos límites de tal modo que, colocado en un o de los extremos sólo vea, siempre y cuando enfoque correctam ente, un único m ojón que oculte todos los restantes. Esta ope ración espontánea del enfoque, que genera la recta proyectiva,. corres ponde así a la célebre definición de Platón del Parm énides (137 E ) : “Se llam a recta a la línea cuyo punto m edio se encuentra en el trayecto entre los dos extremos” .00 L a recta proyectiva es pues u n a línea, ordenada topológicamente, pero tal que sus elementos se encuéntren todos unos detrás de los otros si se los enfoca desde cierto “punto de vista” (desde el punto 54 Piaget e Inhelder: La représentation de l’espace chez Cenfant. París, p u f , cap. iv. 55 Citado por Brunschvicg: (Étapes, 2’ ed., pág. 504) precisamente como operación extraída de la práctica cotidiana.

de vista llam ado “de los extremos” ). A hora bien, esta intervención de los “puntos de vista” caracteriza cada una de las operaciones proyectivas concretas, entre otras a aquellas que desembocan en el establecimiento de u n a perspectiva correcta en los dibujos espontáneos. L a más im por ta n te de estas operaciones es, sin d u d a alguna, aquella que coordina los puntos de vista en función de sus reciprocidades (de donde surge la con cepción de sim etría entre puntos de vista opuestos) y así genera un a coordinación cualitativa de conjunto del espacio proyectivo prem atem ático. E n estrecha correlación con este espacio proyectivo, caracterizado asi por la descentración de la s ' intuiciones iniciales egocéntricas (siendo este egocentrismo inicial resultante de la ignorancia de las diferencias entre el p u n to de vista propio y el de los otros observadores) y p o r el estableci m iento de correspondencias entre las relaciones inherentes a los diversos pun to s de vista, se constituye el espacio euclidiano que es la resultante, ya no de la coordinación de los puntos de vista, sino de la de los objetos mismos considerados como partes de u n solo objeto total que es el sistema de los elementos referidos a los ejes de coordenadas. El espacio euclidiano m arca pues la culm inación del espacio operatorio en el plano de las operaciones concretas, y no su p unto de p artid a. Esta aserción puede resultar sorprendente, hasta tal punto es profundo el hábito de considerar las relaciones elementales de la m étrica euclidiana como .relaciones prim itivas desde el punto de vista genético. Esta ilusión es la resultante de dos causas y no parece difícil percibir el carácter erróneo de cada u n a de ellas. L a prim era es que uno se im agina que la génesis real h a de adecuarse a la sucesión histórica de los descubrimientos reflexivos, cuando en realidad esta génesis invierte a m enudo su orden y se encuentra así m ucho más cerca de lo que p odría pensarse de la reconstrucción teórica, e incluso axiom ática, del espacio. Así, la noción de correspondencia biunívoca apareció tarde en la ciencia (con la definición cantoriana de la ■potencia en la teoría de los conjuntos), y sin em bargo — como lo ha m ostrado L. Brunschvicg— interviene ya en el intercam bio uno a uno que constituye el núm ero práctico. Así, las ideas topológicas preceden a las operaciones euclidianas, tanto desde el p unto de vista genético como desde el p u n to de vista axiomático. L a segunda causa que explica la prim acía que se atribuye al espacio euclidiano es la resultante de la confusión entre el espacio perceptual y el espacio representativo clasificados en el mismo térm ino impreciso de espacio intuitivo, del cual se percibe, en este punto quizá más aún que en otros, cuán heterogéneas son las realidades que recubre y cuántas fuentes de contradicciones constituyen. Desde el punto de vista perceptual, las relaciones euclidianas son efectivam ente bastante precoces, pero sin du d a alguna no son prim itivas puesto que sólo se esta blecen con la organización de la constancia perceptual de las m agnitudes (segunda m itad del prim er añ o ). Sin embargo, en el plano representativo (intuición im aginada y luego operaciones concretas) los esquemas ya cons truidos por la percepción y la inteligencia- sensoriomotriz (en particular, el esquema del objeto perm anente, vinculado a la vez con la constancia

perceptual de las m agnitudes y el grupo práctico de ios desplazamientos) deben reconstruirse en su totalidad y su nueva elaboración procede en el mismo orden que en el plano inicial; p o r lo tanto, sólo u n a vez que han culm inado y se h a n agrupado operatoriam ente las intuiciones topológicas se constituyen las operaciones euclidianas en correlación con las operaciones proyectivas. L a m ejor p ru eb a del carácter tardío de las operaciones euclidianas — o tam bién de la oposición cualitativa fundam ental que separa desde el comienzo las intuiciones im aginadas de los mecanismos operatorios concre tos, confundidos en la m ism a denom inación de “intuición” representativa— es que, d u ran te todo el periodo del pensam iento intuitivo com prendido entre los 2-3 y 6-7 años, el sujeto no puede concebir la conservación necesaria de las relaciones fundam entales de distancia, longitud, super ficie, e tc .: ite que la distancia entre dos objetos se m odifica apenas se intercala un tercer objeto entre ellos (por m ás que los prim eros h an perm anecido in m ó v iles); que dos varillas, de las cuales se reconoce que tienen las mismas longitudes cuando sus extrem idades coinciden, dejan de ser iguales cuando se desplaza u n a de ellas y se la ad elan ta unos centí metros respecto de la otra; que u n a superficie cam bia de valor total si se ordenan diferentem ente sus elem entos; que cuando se h an eliminado, en regiones distintas de dos mismas áreas, dos superficies parciales iguales, las superficies restantes no Son equivalentes, etc. Sólo alrededor de los 7-8 años se reconocen como necesarias estas diversas formas de conservación .56 . A hora bien, esta conservación de las longitudes, superficies, etc., no es un resultado de la m edición sino que es, por el contrario, la condición previa de toda operación de m edición: en efecto, es imposible com parar dos m agnitudes — desplazando u n a p a ra aplicarla sobre la o tra— si el m ovim iento m odifica la p rim era y si la igualdad com probada p o r super posición ya no significa n ad a u n a vez que se han separados los térm inos; resulta a u n más imposible com pararlas m ediante u n a m edida com ún, si el m etro que sirve como térm ino m edio se dilata o contrae en el curso de la operación. P or l o . tanto, es necesario itir que la conservación de las m agnitudes euclidianas es u n a construcción an terio r a toda m étrica obtenida únicam ente a p a rtir de las operaciones infralógicas de carácter “intensivo” . Lo cual puede dem ostrarse en la observación: cuando se aprende a reunir las partes en u n todo, por ú n a composición reversible que sólo se apoya en relaciones de p arte a todo (por ejemplo, A -f- A’ = B de donde A < B y A ’ > B, pero sin establecer relaciones cuantitativas entre A y A’), se adquiere la conservación de las m agnitudes; y ello sucede antes que su m atem atización sea posible, es decir, antes que las partes (A y A’) puedan com pararse entre si (en la form a A > A’, A < A’ o A = A’), p o r lo tan to anteriorm ente a toda cu an tifk ació n “extensiva” o m étrica. 56 París,

p u f,

Véase Piaget, Inhelder y Szeminska: La géométrie spontanée de l’enfant, 1948.

E sta necesidad de la previa construcción de las diversas formas de conservación de las m agnitudes constituye de este m odo la m ejor pru eb a de la existencia genética de las operaciones infralógicas de carácter in te n sivo. E n el terreno euclidiano (por lo tanto, en el terreno de la coordi nación de los objetos, en oposición a la coordinación de los puntos de v is ta ), estas operaciones infralógicas intensivas consisten esencialm ente en reu n ir los elem entos en totalidades (aditivas o m ultiplicativas) y en colocar en orden de sucesión (o en varios órdenes sim ultáneos de em plaza m ien to ), pero aplicando estas reuniones o estas relaciones de orden ta n to a los em plazam ientos inmóviles (remitidos a elementos de referencia que se suponen fijos) com o a las m agnitudes móviles. D e donde, surge, en prim er lugar, la construcción de los sistemas elem entales de coordenadas que consisten, anteriorm ente a toda m étrica, en simples correspondencias de particiones ordenadas en dos dimensiones; y, en segundo lugar, la composición .de los “desplazamientos” que aparecen anteriorm ente a su cuantificación m étrica, como simples transform aciones de orden o “em pla zam iento ” .57 8.

La

c o n s titu c ió n

de la

m e d ic ió n y l a

m a te m a tiz a c ió n

d el esp a

Las operaciones concretas infralógicas — cuya descripción precede y que otorgan su form a definida a aquella que los m atem áticos llam an la “intuición” del espacio— son pues totalm ente com parables con las operaciones lógicas concretas, que se refieren a las clases y las relaciones; la única diferencia es que se refieren a las transform aciones del objeto y no a las reuniones o seriaciones de objetos discretos; la adición de las clases adquiere entonces, por este hecho mismo, la form a de la partición y la adición de las partes, y la adición de las relaciones asimétricas la form a de operaciones de em plazam iento y despla zamiento. A hora bien, ya vimos (vol. I, cap. I, p u n to 6 ) de qué m odo el núm ero entero era el resultado de la fusión operatoria de los “ag ru p a m ientos” de clases y las relaciones asimétricas en u n solo “grupo” que presenta, en lo finito, un carácter á la vez cardinal y ordinal. Por lo .tanto, si la correspondencia entre los dos sistemas lógico e infralógico es exacta, puede esperarse que la medición (que equivale en el dom inio espacial a lo que es el núm ero en el terreno de los conjuntos discontinuos) tam bién sea el resultado de u n a fusión entre las operaciones de partición y las de desplazam iento. T am bién cabe pensar que la cuantificación “extensiva” sea el resultado de u n a generalización — que se extiende a las relaciones entre las partes de u n mismo todo— de las relaciones establecidas p o r las operaciones “intensivas” entre las partes y el todo como tal.

c io

p o r c u a n tific a c ió n

e x te n s iv a

y

m é tr ic a .

1. En prim er lugar, ¿qué es, desde el p u n to de vista genético, la m ed i ción de u n a longitud? Tomemos como punto de p artid a uno de los axiomas métricos m ás intuitivam ente evidente y que desde Eudoxio ha 57 Piaget e Inhelder: La représentation de l’enfant chez l’enfant) Piaget, Inhelder y Szeminska: La géométrie spontanée chez l ’enfant, y Piaget: Les notions de mouvement et de vitesse chez l ' e n f a n t París, p u f .

recibido la denom inación de postulado de Arquímedes. Tom em os un segmento de recta AB y u n punto C situado más allá de B; sea cual fuere la posición de. C, Siempre se podrá, transportando sucesivamente cierta can tid ad de veces la longitud AB, ir más allá del punto C. Analicemos si un sujeto, que sólo se halla en posesión de las intuiciones espaciales im aginadas y preoperatorias, o únicam ente en posesión de las operaciones concretas de carácter “intensivo”, descriptas en el p u n to 7, puede entender este axioma. Al nivel de la^s simples intuiciones im aginadas, no puede hacerlo: no sólo los niños pequeños creen que un a longitud desplazada no se conserva, sino que además, al'q u e re r transpo rtar cierta cantidad de veces el segmento AB, construyen por lo general segmentos A’B’ > AB luego A ”B” > A’B’ partiendo de la idea de que estos nuevos intervalos, al sumarse a los anteriores, se hacen mayores. E n cambio, al nivel de las operaciones intensivas concretas pueden verificar p o r superposición la con gruencia de dos longitudes cualesquiera (no sucesivas) A jB i = A 2B 2 y A 2 B2 = A 3 B 3 y extraer la conclusión A 1Bi = A 3 B3. Sin em bargo, este doble descubrim iento de la igualdad por congruencia y la transí ti vidad de las congruencias no basta todavía, desde el p un to de vista psicológico, p ara constituir la m edición: sólo se trata de operaciones iníralógicas “intensivas” que pueden com pararse con las operaciones sim plem ente lógicas siempre y cuando no intervenga la reiteración de u n a linidad como sucede en el axiom a de A rquím edes: AB -|- AB = 2A F; 2AB -f- AB — 3AB; etc. A hora bien, la experiencia m uestra que existe u n desajuste apreciable entre el m om ento en que se hace accesible el em pleo de u n a “m edida com ún” . cualitativa (transitividad de las congruencias) v el transporte de u n segm ento-unidad AB, es decir, de u n a p arte d ad a aplicada sobre las otras partes del mismo todo hasta que se cubra la totalidad que se considera entonces como u n m últiplo de la p arte elegida como unidad. Porque en las operaciones iníralógicas descriptas anteriorm ente sólo interviene u n solo tipo de relaciones cualitativas: las relaciones “intensivas” de p arte a todo ,58 o sea A < B y A ’ < B si B = A - f A’; pero sin cuantificación de la relación entre u n a p arte (A ) y las otras (A’). A p a rtir de entonces, y si nos atenemos a estas relaciones “intensivas” , sólo existen, al comienzo, dos clases de operaciones posibles (m ás aquellas que se obtienen directam ente a p a rtir de ellas, por m ultiplicación, etc.) : la partición, que ■ consiste en descom poner B en A y A’ (o en recom poner B reuniendo A y A’) y el em plazam iento que consiste en situar A antes de A’, o sobre A’, etc. (o el desplazam iento que dispone A después de A’ o bajo A ’, etc,.). Pero no existe agrupam iento operatorio “intensivo” alguno cuyas operaciones puedan generar sim ultáneam ente u n a partición y unos desplazam ientos,, porque la adición partitiva equivale a reunir entre sí algunos elementos de objetos, independientem ente de su orden de sucesión, y porque el desplazamiento consiste (anteriorm ente a tod a m étrica) en m odificar p re cisamente 1&§ relaciones de orden. Por el contrario, m edir el todo B 58 En lo que sigue, el símbolo A representa, por ejemplo, un segmento de recta y el símbolo B u n . segmento mayor que A y que incluye a A.

m ediante la parte A consiste sim ultáneam ente en distribuir el todo en elementos (por lo tanto su parte A ), y en desplazar la .parte A sobre la p arte restante A’, de modo tal que se pueda com parar el elemento A elegido como unidad con la diferencia B — A : de donde resulta entonces la relación B = n A (por ejemplo, B = 2A si A = A’), lo cual' im plica efectivamente una partición y un desplazam iento reunidos, fusionados ambos en una nueva operación. Esta nueva operación no es otra que la com paración entre las partes A y A ’ por desplazam iento de u n a sobre la otra, y esta, com paración difiere a la vez de la simple relación de inclusión A < B y del simple desplazamiento de A respecto de A’, especí ficas de las particiones y em plazam ientos de carácter intensivo. C onstitu tiva de una parte unidad, la com paración m étrica es, en efecto, u n a fuente de reiteración, en oposición a los encajes inmóviles de la partición p u ra y los desplazamientos sin partición alg u n a; y esta reiteración testim onia de por sí la síntesis realizada entre las dos clases de operaciones, operaciones que de entrada son com plem entarias pero que hasta entonces se m antenían diferenciadas. Sin embargo, la construcción de u n a p arte susceptible de reiteración y que sirve así como u n id ad suprim e por ello mismo las cuali dades diferenciales adjudicadas antes a las partes no relacionadas entre sí, resultantes de la partición “intensiva” . Así, vemos hasta qué punto la construcción de la m edición es paralela, lógica y genéticam ente, a la del núm ero mismo, aun q u e esta construcción no sea la resultante de una simple aplicación del núm ero a las m agnitudes espaciales. E n ambos casos, hay en prim er lugar elaboración de las opera ciones cualitativas intensivas: por u n a parte, adición de las clases y las relaciones asim étricas; por la otra, adición partitiv a y adición de los despla zamientos. D e donde surge la posibilidad de composiciones transitivas y reversibles que se traducen en el dom inio lógico p o r las prim eras deduc ciones concretas coherentes (con conservación de los conjuntos conside rados) y, en el dom inio infralógico, p o r la utilización de términos medios que sirven p ara la com paración por congruencia simple (A = B; B = C de donde A = C ). U n a vez constituidos los agrupam ientos lógicos, las corres pondencias num éricas operatorias resultantes de su síntesis aparecen sin m ás (en oposición a los núm eros intuitivos que se producen entre 1 año y 5-6 años y que no son susceptibles de transform aciones operatorias m ien tras se apoyen en simples configuraciones im a g in a d as). E n el dominio de la medición, por el contrario, el pasaje de la transitividad de las congruen cias a la reiteración y al fraccionam iento de la u n id ad ta rd a todavía cierto tiempo, empleado precisam ente en la fusión progresiva de la partición y el desplazam iento: esa dem ora (de l a 2 añcs) de la culm inación acabada de las operaciones propiam ente m étricas respecto de la constitución del núm ero entero operatorio es el resultado de las mayores dificultades in tu i tivas que presenta la concepción de u n continuo form ado por la reiteración de u n a de sus propias partes cuando esta p arte no se h alla delim itada de antem ano por un corte perceptual. E ste desajuste entre los estadios term i nales del desarrollo del núm ero entero y la m edición hace aun más sorpren

dente el paralelism o de los mecanismos form adores, m ostrando así a la vez su relativa independencia y su convergencia final. II. Pero la m atem atización del espacio no consiste solam ente en un a construcción de la cantidad m étrica. E n tre las partes A y A’ de u n mismo todo B, puede hab er com paración sin que se reduzca A’ a u n m últiplo de A, es decir, sin que se constituya A como un a unidad reiterable. Basta entonces establecer las relaciones A < A’ o A’ < A, y que esta diferencia entre A y A ’ sea susceptible de transporte o transform ación reg u lar en el caso de los siguientes encajes (entre B y B’ en el seno de C, luego entre C y C ’ en el interior de D, etc.) : en este caso hablarem os de cuantificación “extensiva” en general (siendo la cantidad m étrica un simple cáso p a r ticular de las cantidades extensivas). A hora bien, él análisis genético m uestra que la cantidad extensiva aparece al mismo tiem po que la cuantificación m étrica del espado, e incluso aparece a m enudo u n poco antes (entre la culm inación de los agrupam ientos intensivos y la constitución de la m edición). El ejemplo más simple lo constituye el dibujo de las líneas verticales de iguales alturas y separadas por distancias iguales, per o vistas en profundidad. E n este caso, los elem en tos presentan las siguientes relaciones (si llam am os A al térm ino m ás alejado y A’, B’, C’, etc., a las diferencias entre A y B, B v C, C y D , etc.) : A < B < G < D . . . y A’ = B’ = C’, etc., o incluso' A ’ < B’ < C ’, etc. (por ejemplo con igualdad de las diferencias entre las d iferencias). Hemos observado, en los mismos niveles genéticos, la aparición de la cuantificación extensiva en el desarrollo de las reacciones ante las situaciones de sim ilitud, transformaciones afines del rom bo, etcétera .59 Sabemos que todas las ram as de la geom etría en las cuales n o in ter viene el m ovim iento (topología, geom etría proveetiva y afín, sim ilitudes) reciben la denom inación de “cualitativas” , ya que las ¡elaciones en juego pueden generarse independientem ente de toda m étrica. E n realidad, no son p ara n ad a cualitativas en el sentido de las operaciones sim plem ente lógicas o infralógicas— cuya cuantificación se reduce a las relaciones “intensivas” entre la p arte y el todo— , y necesariam ente hacen intervenir la cuantificación extensiva resultante de las relaciones entre las partes de un mismo todo, cuya form ación genética acabam os de recordar. Ya se trate de las relaciones no arm ónicas que intervienen en la geom etría proyectiva, de las afinidades y similitudes o de las proporciones, etc., es evidente que su construcción, aun p uram ente gráfica, en el sentido en que V on S taudt opuso los m étodos gráficos cualitativos a los métodos métricos, p re supone relaciones precisas entre las partes. Así, en una proporción como A 1/B 1 = A 2/B 2 no basta con saber que los segmentos parciales A t y A 2 son inferiores a sus totalidades respectivas Bj y Bo, sino que se tra ta de precisar en qué m edida lo son. O bien entonces se traducirá la proposi ción en relaciones métricas, o bien se construirán las semirrectas Bx y B 2 59 c a p s, x i y x ii.

Piaget e Inhelder: La représentation de Vespace chez l’enfant. París,

puf.

a p a rtir de su p u n to de intersección, así como los segmentos sucesivos Ai y A ’i ( = Bi — A i) ; A 2 y A’o ( = B2 — A2) : el segmento Aj. se encon trará, en este caso, en la misma relación respecto de B i, que A 2 respecto de B2, sí las diférencias A’i y A ’2 son igualm ente proporcionales, y esta igualdad de las relaciones se reconoce gráficam ente por el hecho de que las rectas que unen las extremidades de y Ao, así como de A’i y A ’2 son paralelas entre sí.- L a construcción gráfica de las proporciones pone así, ipso facto, a las partes Ai y A 2 en relación con sus partes com plem entarias A’i y A’2; es lo que atestigua la propiedad “extensiva” de las proporciones ,60 en oposición con u n “correlato” lógico intensivo que sólo conoce lás relacio nes de parte a todo, p o r ejemplo “la Isla de F rancia es a F rancia lo que el L atium es a Ita lia ” .. Es evidente que esta cuantificación extensiva vuelve a encontrarse en el terreno de la topología, en la definición de los puntos de condensación ( “todo entorno” en el postulado de Weierstrass significa en tornos cada vez m ás pequeños) ; se encuen tra tam bién en el postulado de los intervalos encajados de Cantor, etcétera. 9. L a s o p e r a c i o n e s f o r m a l e s y l a g e o m e t r í a a x i o m á t i c a . A caba mos de ver (puntos 7 y 8 ) que la idea confusa que los m atem áticos de signan con el nom bre de “intuición” espacial recubre dos realidades muy diferentes: u n a consiste en representaciones im aginadas no aptas p ara tr a ducir las transform aciones y la o tra consiste en operaciones concretas, es decir, en acciones interiorizadas susceptibles de composiciones transitivas, reversibles y asociativas —sea iníralógicas e intensivas (como las opera ciones lógicas) o extensivas y m étricas— . A hora bien, entre estos dos niveles “intuitivos” del conocimiento espacial (uno preoperatorio y el otro operatorio pero concreto) y la geom etría axiom ática en el sentido moderno del térm ino, se intercala además un tercer nivel que, como lo hemos visto en el punto 6 , corresponde a la geom etría deductiva y formal de los griegos, pero que se presenta hoy como u n a construcción que sigue siendo intuitiva aunque en u n sentido superior. Este tercer nivel se caracteriza, desde el punto de vista genético, por la constitución de las operaciones “formales” opuestas a las operaciones “concretas” exam inadas hasta el momento. L as operaciones concretas se refieren directam ente a los objetos m anipuleables, o a sus símbolos representativos, como las figuras que pueden dibujarse y esquematizarse en grados diversos. No por ello d ejan de ser acciones u operaciones del sujeto, y el problem a epistemológico sigue siendo el de saber cuál es la parte qúe en ellas corresponde a.1 sujeto y- aquella que corresponde a la experiencia, así com o determ inar si esta experiencia puede com pararse con la experiencia física o im plica otras relaciones entre el sujeto y el objeto (véase el. punto 12-). Sin embargo, las operaciones concretas'son acciones propiam ente dichas — m ateriales o m entalizadas— , y por ello se les puede otorgar-el calificativo equívoco de “intuitivas” . Por

60 Estas relaciones extensivas son espontáneamente descubiertas por el niño en el nivel de las operaciones concretas, apenas ha culminado la elaboración de las opera ciones intensivas. Véase Piaget e Inhelder: Représentation de Vespace chez fenfant, cap. xn "

el contrario, las operaciones formales se refieren a proposiciones, es decir, a, hipótesis, y ya no a objetos, y cabe p en sar qúe ello m arca, en prim er lugar, un corte m uy claro que corresponde históricam ente a la oposición entre la geom etría deductiva griega — de P itágoras a Euclides— y sus continua dores, y la geom etría llam ada “em pírica” de los agrimensores egipcios. Sin em bargo, tanto el análisis genético como el análisis axiomático tienden a aten u a r esta distinción en tre las operaciones concretas y las operaciones formales iniciales, hasta ta l punto- que cabe pensar que hoy el corte se h a desplazado y separa fundam entalm en te la axiom ática de los antiguos y la de los contem poráneos. Por otra parte, este .cambio de perspectiva es de po r sí de tales características que pone en guardia a la epistemología genética acerca del valor relativo y dinám ico de las antítesis que se consideran en prim er lugar com o siendo definitivas, problem a que analizaremos u n poco m ás adelante. Por el momento, se trata de com prender por qué aparece esta continuidad, que se vuelve a establecer a posteriori, entre las operaciones concretas y las operaciones formales elemen tales. Desde el punto de vista de la axiom ática contem poránea, la de ducción form al de Euclides sigue siendo intuitiva, por la sencilla razón de que las proposiciones que entran com o componentes en el mecanismo deductivo de los razonam ientos son elegidas en función de su significación concreta, es decir, de su contenido con referencia a las figuras reales o posibles. U no de los creadores de la axiom ática m oderna, Pasch, reclam aba desde 1882 procedim ientos de razonam ientos independientes de la signifi cación de los conceptos geométricos, donde sólo intervendrían las relaciones entre estos conceptos: la geom etría deductiva de los griegos, aunque form al en su m ecanism o operatorio, se concentró en cambio en prim er lugar en las significaciones de los conceptos y de ah í su carácter aú n semiintuitivo. Desde el punto de vista genético, el pasaje continuo de las operaciones concretas a las formales no es m enos evidente que desde e l . p u n to de vista histórico y aclara las observaciones precedentes. En efecto, cada una de las operaciones concretas exam inadas en los puntos 7 y 8 se hace suscep tible, alrededor del fin de la infancia (desde más o menos los 12 años) de ser trad u cid a en la form a de simples proposiciones. Esto no quiere decir que estas operaciones, en el nivel de los sistemas concretos (de 7 a 11 años), no fueran ya de algún m odo juicios que expresaran, m ediante proposiciones, posibles acciones exteriores pero interiorizadas en simples esquemas operatorios. Pero se tra ta b a solamente de juicios o proposiciones que intervenían en ocasión de u n a m anipulación real, una. construcción gráfica o u n a representación im agirtada, que simbolizara estas realidades. Por el contrario, las proposiciones sobre las que h a n de referirse las opera ciones formales se desprenden de la acción, aun posible, o, m ás precisamente, com ienzan a superarla indefin id am en te: así la partición de u n continuo desemboca, en el plano concreto, en elem entos finitos ( “puntos” en cantidad lim itada, etc.), en cambio, alrededor de los 12 años, el niño reconocerá la posibilidad de continuar indefinidam ente esta partición y la operación

form al se afirm ará así de entrada como irrealizable y como sustituto del objeto representable por la hipótesis. Por ello, en el p lano formal, des aparece toda distinción entre las operaciones infralógicas, que se refieren al objeto continuo, y las operaciones lógico-aritm éticas, que. se refieren a les objetos discontinuos reunidos en clases, seriados en relaciones asimé tricas: el continuo se hace susceptible de un tratam ien to lógico-aritmético y las relaciones espaciales se insertan en el m arco de las relaciones en general. T odo sucede pues como si el mecanismo o p erato ria constituido por las operaciones concretas, una vez que están suficientem ente articuladas las intuiciones iniciales, se liberase al nivel form al gracias a la nueva m ovi lidad que la form ulación abstracta de la deducción p u ra posibilita. Se tra ta pues de com prender qué es esta lógica de las proposiciones que se superpone, a p a rtir del nivel actual, a la de las operaciones concretas (infralógicas y lógicas), ya que esta lógica de las proposiciones es la que conducirá, por su desarrollo autónom o a la axiom ática propiam ente dicha. A hora bien, la lógica de las proposiciones difiere de la lógica de las operaciones concretas por el hecho de que es doblem ente operatoria; se tra ta de operaciones de segundo grado y operaciones realizadas sobre otras operaciones. E n efecto: l 9 toda proposición es, en su contenido, un a operación (in trap ro p o sicio n alj, pero enunciada verbalm ente en vez de ser ejecutada en la acción — po r ejemplo, los axiomas de Euclides del tipo “dos cantidades iguales a u n a tercera son iguales entre sí (ax. I ) , el todo es m ayor que la p arte (ax. V I H ) , dos m agnitudes que pueden aplicarse una sobre la otra por congruencia son iguales (ax. V ) , dos partes iguales elim inadas de totalidades iguales dejan restos iguales”, etc., son verdades que el niño descubre alrededor de los 7-8 años p o r medio de operaciones concretas (después de haberlas ignorado e incluso negado anteriorm ente, al nivel de las intuiciones im aginadas iniciales) . y que el pensam iento form al enuncia sim plem ente como proposiciones verbales p ara razonar por su interm edio, así como el razonam iento concreto las aplicaba a la acción sin form ularlas explícitam ente— . 29 las proposiciones que son operatorias en sus contenidos respectivos se com binan luego entre sí según un conjunto de operaciones interproposicionales (implicaciones, incom patibilidades, alternativas, etc.) que ya no se refieren a clases y relaciones interiores a cada proposición sino a vínculos de las proposiciones entre sí: se tra ta entonces de operaciones que se refieren (pero en segundo grado) a las operaciones prim arias enunciadas po r las proposiciones. E n prim er lugar, recordemos que estas operaciones interproposicio nales pueden reducirse entre sí gracias, en. p articu lar, al juego de las dis yunciones (v) y las conjunciones ( . ) , es decir, gracias a las “formas nor males” disyuntivas o conjuntivas. Por otra p arte, las dos operaciones 61 Por otra parte, es necesario distinguir el contenido lógico de la proposición, que consiste en operaciones lógicas que se refieren a las clases o las relaciones en juego, y el contenido extralógico al que se refiere este contenido lógico: se trata de las acciones posibles, cuyas operaciones de clases o de relaciones constituyen ¡a interiorización.

fundam entales (p v q) y \ p . q) constituyen la operación directa e inversa del sistema (ley de d u alid ad ). Además, para com prender qué es la im pli cación, basta observar que dos proposiciones que se im plican m utuam ente son equivalentes: si A im plica a B y B implica a A, A y B son equivalentes. Si, p o r lo tanto, A im plica a B sin que la recíproca sea verdadera, A sólo es parcialm ente equivalente a B: al afirm ar B, se afirm a entonces A u o tra cosa. Llamemos A’ a esta otra proposición que B puede im plicar: se sigue que B im plica a A o A’ .y recíprocam ente [B g ( A v A ’)], es decir que B es equivalente a “A o A ’ ” . Por ejemplo, la proposición “x es una elipse” im plica “x es una sección cónica”, pero la proposición “x es una sección cónica” im plica “x es una elipse o u n a sección cónica diferente de la elipse” . L a im plicación entre proposiciones supone pues u n a clasifica ción previa correspondiente a su contenido intraproposicional. Sucede así con las incom patibilidades, etc., y .la m ism a contradicción: “x es a la vez A y A’ ” es contradictoria porque A y A '1 distribuyen a B en dos subclases com plem entarias .62 A p artir de estas observaciones resulta que las proposiciones se encajan unas en las otras como lo hacen las clases lógicas, es decir, por sucesivas divisiones dicotómicas. U n sistema de proposiciones puede disponerse en for m a de “agrupam iento” : A im plica u n a sucesión de proposiciones encajadas B, G, D, . . . etc. y es incom patible con las proposiciones com plem entarias A ’, B’, C ’, . . . etc., respectivam ente encajadas tam bién en B, C, D, . . . U n sistema de proposiciones constituye pues un conjunto o p era to rio 03 cuya operación fundam ental es la im plicación p zd q siempre reductible a la fo rm a: p v p' = q. Se com prende así de qué m odo la lógica de las proposiciones que caracteriza al pensam iento form al es una lógica operatoria, pero de segundo g rado: las proposiciones a las que se refiere no son sino operaciones, isomorfas a las operaciones concretas, pero generalizadas y expresadas por u n conjunto de signos en vez de efectuarse en la acción; y el sistema de las proposiciones es a su vez u n conjunto operatorio, puesto que estas proposiciones están, en tanto proposiciones, vinculadas p o r operaciones interproposicionales, es decir, por operaciones sem ejantes a las que perm iten la construcción de los agrupam ientos de clases o relaciones. Sin embargo, ¿cóm o puede el mecanismo de las operaciones formales — que prolonga, del m odo más continuo, el de las operaciones concretas y que en consecuencia se h a asociado durante ta n to tiem po con proposiciones de contenido “intuitivo” evidente— culm inar al final de cuentas en esa inversión de sentido que m arca la axiom ática contem poránea? L a lógica que em plea la axiom ática m oderna no difiere fundam entalm ente, no digamos de la lógica clásica (lógica de los teóricos) , sino de la lógica formal espontánea y viva, po r lo tanto de esa lógica de las operaciones formales que la logística h a explicitado con el nom bre de cálculo de las proposiciones 62 Véase Gonseth: Fondements, pág. 228. 68 Véase nuestro Traite de logique, punto 39.

y cuyos vínculos con lo concreto acabamos de explicitar: a lo sumo, se h a producido cierto progreso en la formulación, es decir, en la técnica.lógica, pero esta técnica no ha modificado con su funcionam iento el razonam iento lium ano. H a proporcionado una expresión axiom ática en su propio terreno —lo cual es muy diferente—: y, en consecuencia, ha refinado en m ayor grado el análisis lógico, es decir, la reflexión del pensam iento lógico sobre sí mismo. Sin embargo, no hay más separación entre la técrjk a lógica y el razonam iento form al espontáneo de los geómetras que entre este pensa m iento espontáneo y las operaciones concretas. Entonces, ¿cóm o las opera ciones formales produjeron finalm ente la axiom ática geom étrica actual? C om parada con la deducción form al y seudoaxiom ática practicada por Euclides y la geom etría clásica, el método axiomático de los geómetras contem poráneos presenta esencialmente el nuevo carácter de someterse a dem ostrarlo todo deductivam ente procediendo a p artir de axiomas tan 'ele mentales como sea posible y a definir todo pór medio de térm inos adoptados comó indefinibles; no se lim ita ya a seguir las implicaciones en su desenvol vimiento progresivo a p a rtir de proposiciones iniciales intuitivam ente evi dentes, sino que busca analizar regresivamente las implicaciones iniciales disociando cada vez m ás’ entre sí las proposiciones elegidas como axiomas. R em ontando así a la fuente, a través del análisis reflexivo sistemático, tiene que form ular los axiomas, ya no en virtud de su evidencia intrínseca —siendo esta evidencia el último residuo intuitivo heredado de los niveles de pensam iento precedentes— sino en la m edida en que pueden servir como soporte p ara u n a construcción deductiva tal que no haya vínculo alguno que escape a la form ulación. El pensam iento axiom ático n o cons tituye de por sí u n nuevo sistema de operaciones intelectuales: recoge tal cual la herencia de las operaciones formales, pero las aplica en otra dirección, orientada hacia el origen y ya no únicam ente en sentido de la construcción. A hora bien, desde el punto de vista de la psicología del pensam iento y la epistemología genética, debe hacerse u n a com probación im portante respecto de este tem a: esta investigación de disección p uram ente form al de las fuentes, en vez de alejarse de lo que psicológicamente es prim itivo ■■—como p o d ría hacer tem er la técnica aparentem ente artificial de la axio m ática— se acerca m uy po r el contrario m ucho más a ello que la axiom á tica de Euclides basada eri la evidencia, pero en u n a evidencia que constituye en realidad ej producto de un a larga evolución del pensam iento, en oposición a los puntos de partida reales. E n efecto, por u n a parte la lógica de Aristóteles (que L. Brunschvicg com para acertadam ente con la geom etría de Euclides) se encuentra m ucho más alejada de los procedimientos del pensamiento real que la lógica m o derna (que constituye en su propio terreno un a verdadera axiom ática), porque la p rim era sólo se refiere a los conceptos del lenguaje, m ientras qué la segunda alcanza las operaciones form adoras de estos conceptos. Por ello, las leyes de los “agrupam ientos” que pueden form arse m ediante estas operaciones son, al mismo tiempo, las leyes de equilibrio del pensam iento, a p a rtir del nivel de las operaciones concretas, y sucede así en p articu lar

con la reversibilidad que dirige toda ja evolución de la inteligencia desde el nivel sensoriomotor hasta las operaciones interproposicionales (form ales). Por o tra parte, en lo que se refiere a la geometría, los axiomas de Euclides expresan verdades lógicas o m étricas adquiridas al nivel d e las operaciones concretas y carentes de significación general en los dominios anteriores; en cambio, la verdadera axiom ática de los m odernos alcanza las raíces psicológicas del espacio, en particular, en el terren a topológico. En su ¡hermosa obra acerca de la Topología Alexandrof y H opf introducen por ejemplo un conjunto de axiomas sucesivos que conducen, a través de diferentes niveles, desde los conceptos fundam entales h asta un espacio coordinable. A hora bien, resulta sorprendente com probar h asta qué punto esta sucesión corresponde al orden genético: se introducen así en prim er lugar los “B erührungspunkte” , o puntos de o, después de. ellos aparece la “vecindad” , pero aún sin “separación”, luego viene la “separa ción”, etc., como si fu era la reconstrucción de la génesis real del espacio en el nivel perceptüal y en los niveles ulteriores. Por supuesto, subsiste una diferencia esencial: la cuantificación extensiva de estos conceptos se intro duce inm ediatam ente (con la definición de los puntos de acum ulación, etc.), pero, salvo es|a cuantificación, esta axiom ática puede proporcionar u n hilo conductor p a ra la investigación genética; pero las axiom áticas de Euclides, en cam bio,. sirven, a lo sumo y desde el punto de vista psicológico, para detectar las relaciones que yá son evidentes de por sí a p a rtir de cierto nivel m ental y que no lo son en absoluto desde el comienzo. A hora bien, esta relativa convergencia entre el análisis axiomático y el análisis genético resulta bien evidente si, como intentam os m ostrarlo más atrás (vol. I, cap. I, p u n to 7), los térm inos elegidos como indefinibles y-las proposiciones elegidas como indem ostrables (axiomas sobre los que se apoya la construcción axiom ática) constituyen en realidad u n núcleo operatorio irreductible, caracterizado por ciertas implicaciones entre operaciones (en oposición a las implicaciones entre proposiciones) y resultantes, en conse cuencia, de ciertas abstracciones a p a rtir de las coordinaciones inherentes a las acciones del sujeto. Los axiom as geométricos de H ilb ert son en este sgntido ta n reveladores como los axiomas ordinarios de Peano analizados a propósito del núm ero entero. G uando por ejemplo H ilb ert form ula el axiom a de orden según el cual, si B está situado entre A y C tam bién lo está entre C y A, es claro que, au n sin recurrir p ara n ad a a la “intuición” espacial o tem poral y considerando únicam ente esta p u ra sim etría formal de la relación “entre” en oposición con la asim etría de las relaciones de sucesión AG y GA, el axioma en cuestión implica de por sí la posibilidad de distinguir entre dos recorridos de la sucesión ABC: ahora bien, si la orientación de un “recorrido” no corresponde a un m ovim iento en el tiempo o en el espacio supone al menos u n a operación lógica de enum eración, es decir, u n a acción orientada cuyas condiciones pueden explicitarse (y que corresponde a u n a operación concreta bien definida como hemos visto en el p unto 7 ). Asimismo, los axiomas acerca de la congruencia de los seg mentos iten, p o r ejemplo (ax. I I I ) , la posibilidad de transportar, a partir de un p unto determ inado, u n segmento A’B’ congruente con u n

segmento dado AB lo cual im plica la posible reiteración de esta operación; iten tam bién la igualdad de los segmentos totales A’C ’ y AG si los .segmentos parciales de uno A ’B’ y B’C ’ son congruentes con los segmentos parciales del otro AB y BC (ax. I V ) , lo cual implica u n a adición p artitiv a y el establecimiento de u n a posible correspondencia entre los puntos ABC y A’ B’ C 1, así como entre los segmentos com prendidos entre los puntos. A hora bien, p a rtir de la adición de las partes en u n todo, así como de la reitera ción del transporte de u n segmento (que vuelve a aparecer en la axiom ática de Arquímedes, tam bién elegida po r H ilb e rt), es evidentem ente p a rtir desde el comienzo de un conjunto ya muy com plejo de implicaciones entre operaciones; ello es m uy legítimo y no quiebra p ara n ad a el rigor de las proposiciones ulteriores fundado en la im plicación entre las proposiciones, pero ello es suficiente p a ra que se haga indem ostrable, por un método de análisis lógico directo, la com patibilidad de los axiomas itidos, puesto que estos axiomas im plican ya toda la lógica (orden y adición de las partes en un todo) así com o la reiteración. Por lo tanto, es evidente que la axiom ática geom étrica se sustenta en u n previo círculo operatorio, que no rom pe en absoluto la constitución de m etateorías, puesto que ellas in tro ducen nuevos axiomas que se hacen cargo de todas sus implicaciones lógicas p ro p ias: este círculo consiste en un conjunto de implicaciones m utuas entre operaciones (en el sentido del punto 7, vol. I, cap. I) y supone, en conse cuencia, u n a sucesión indefinida de abstracciones a p a rtir de las coordina ciones anteriores de la acción del sujeto. Pero, por o tra parte, es por ello que el análisis axiomático converge, m ucho m ás de lo que podría esperarse, con el análisis genético. A clarado este punto, vemos en qué términos habrá de plantearse, desde el punto de vista genético, el problem a central de las relaciones entre la geom etría axiom ática y aquello que los m atem áticos llam an globalm ente la “intuición” , es decir, el conjunto de niveles com prendidos entre el espacio perceptual y las operaciones formales iniciales. En este sentido, hay que señalar la presencia en los m atem áticos mismos, de tres clases de soluciones. P ara los partidarios exclusivos del método axiomático, este método se ubica en las antípodas de la intuición y no le debe n ad a a ella o al menos se esfuerza, con u n éxito creciente (cuyo pasaje se extrapola al lím ite), p o r no deberle ya nada. P ara los em piristas — com o E. Borel— y los intuicionistas la axiom ática es u n a traducción a posteriori y siempre algo artificial de los resultados obtenidos previam ente por el pensam iento no axiomático, es decir, p o r la “intuición” sensible o “racional” . Por último, para F. Gonseth la axiom ática es u n “esquem a” pero que presenta la p articularidad de encontrarse en germen, en grados diversos, en la intuición misma y, por otra parte, siempre perm anece algo de lo intuitivo, tam bién en grados diversos, en toda axiom ática (al menos, en toda axiom ática “eficaz”, en oposición a por ejemplo la axiom ática de Zermelo que no corresponde a nada en lo rea l). G eneralm ente se opone a la axiom ática la “intuición” considerada m ás o menos en bloque, ya para defenderla o bien subestimarla, o bien p ara ubicarla como ciencia “abstracta” respecto de los métodos intuitivos o experimentales. Gonseth mismo distingue sin d uda demasiado

poco entre los diversos niveles heterogéneos de la intuición y no señala suficientem ente el aspecto operatorio de las form as superiores de este conoci m iento no axiom ático del espacio (véase m ás adelante el p unto 11 ). Ju n to con G onseth aceptam os plenam ente el carácter de “esquem a” de toda axiom ática respecto de la ciencia real correspondiente (ya hemos defendido este p unto de vista en cuanto a las relaciones entre la lógica y los mecanismos del pensam iento, y lo volveremos a encontrar en el vol. I II , cap. I V ) . A unque este térm ino de esquema adquiere todo su sentido respecto de un análisis metodológico, recubre en cambio u n a serie de problem as desde el p u n to de vista genético: en efecto, en la m edida en que — como lo ite el mismo G onseth— existe en la “intuición” una serie de niveles diferentes, se tra ta a la vez de caracterizar en cada uno de ellos, la relación entre las acciones del sujeto y los objetos de esta actividad, y de analizar desde este mismo p unto de vista el mecanismo operatorio que hace así posible cada uno de estos niveles. A hora bien, todo esquem a tismo presenta dos polos: u no de asimilación a la actividad del sujeto y el otro de acom odación a lo real. E n tan to mecanismo asim ilador, lo _ esencial de su construcción rad ic a en u n a abstracción a p artir de las coordi naciones de la acción; en particular, como u n esquema axiomático es tanto reflexivo como constructivo, es decir que se rem onta tanto a las fuentes como reconstruye el conjunto, el problem a consiste entonces en explicar sus conexiones con las coordinaciones anteriores. Por otra parte, como acom o dación con lo real, el esquematism o espacial culm ina en u na adecuación cada vez más general: los esquemas iniciales se centran en la actividad del sujeto y entonces hay que com prender cómo el sujeto logra descentrarlos h asta obtener la construcción de esquemas que se ad ap ten a toda experiencia posible. A hora bien,, si abordam os las relaciones entre cada nivel, analizadas en este capítulo, y su sucesor, se asiste a un doble proceso que periódica m ente se renueva en el curso de cada nuevo pasaje. Se tra ta del doble proceso que culm ina precisam ente, al fin de cuentas, en la construcción del “esquem a” axiomático. Por- u n a parte, como todo sistema de esquemas constituye un círculo de acciones u operaciones interdependientes, se pro duce entonces, en el transcurso de cada pasaje de un nivel determ inado al siguiente, una am pliación y articulación más móvil del círculo anteriorm ente inás estrecho y rígido, y es en esta articulación que tiende hacia la reversi bilidad com pleta donde se encuentra la explicación de la desc.entrac.ión de los esquemas iniciales; po r o tra parte, en el transcurso de cada am pliación de los esquemas anteriores, las nuevas articulaciones resultantes vuelven a ac tu a r sobre las coordinaciones iniciales y las integran en el nuevo círcu lo : p o r ello el proceso evolutivo siem pre es tan reflexivo como constructivo. D e este modo, el p unto de p artid a de ca d a nivel (que nunca tiene un comienzo absoluto, puesto que las coordinaciones orgánicas preceden a las coordinaciones m entales) siem pre está condicionado p o r un círculo — form ado po r los conocimientos o las acciones— al nivel considerado, círculo del cual no puede salir el sujeto y al cual sólo consigue am pliar

y agilizar asimilándole nuevos elementos. Este círculo es el resultado de que el conocimiento necesariam ente es un a asimilación del objeto a las actividades del sujeto, y de que estas actividades constituyen u n todo cerrado como el de la organización refleja y orgánica. Todo o con el medio (hecho que interesa a toda la epistemología y no sólo a la del espacio), desde la m ás simple de las sensaciones a las reconstrucciones más “abstrac tas” , es por lo tanto siempre relativo a u n a acción del sujeto y el esque m atism o de estas acciones, aptas p ara reproducirse y generalizarse, constituye los prim eros esquemas espaciales. L a diferenciación entre los datos de la experiencia nunca es el resultado (en todos los niveles) de u n a acomodación de estos esquemas de asimilación, acom odación cad a vez más precisa y general, sino que al comienzo apenas si se diferencia -de la asimilación misma. Por lo tanto, resulta claro que los e s q u e ja s iniciales se centran en el sujeto mismo y todo el espacio perceptüal, y luego sensoriomotor,.comienza p er corresponder a este egocentrismo espacial. Sin em bargo, después de relacionar todo con su propio cuerpo, el sujeto consigue p o r el contrario ubicarlo “en” un espacio cada vez más descentrado. Esta descentración —-que inaugura el espacio sensoriomotor y ocupa to d a la elaboración representativa de las relaciones espaciales hasta las operaciones concretas y . luego formales— es el producto de la progresiva articulación de los esquemas y la reversibilidad operatoria que m arca su equilibrio. E l esque m a perceptüal es esencialmente rígido y estrecho; agilizado y am pliado, por el esquema sensoriomotor, culm ina en esa prim era descentración que es lá construcción del objeto y el grupo práctico de los desplazamientos. El esquema imaginado es más ám plio, pero aú n estático, antes de que su articulación desemboque en las composiciones móviles, transitivas y rever sibles del esquema operatorio concreto, y antes que el círculo .limitado de estas operaciones concretas conduzca, por últim o, al de las operaciones formales, es decir, al um bral del esquema axiomático. ■ A hora bien, hemos recordado aquí el conjunto de esta sucesión p ara . interp retar la construcción de los esquemas abstractos o axiomáticos porque, asociados por pares, estos niveles de progresiva elaboración del mecanismo operatorio ferm an una especie de sucesión de relaciones' proporcionales y esta sucesión m arca la total continuidad de este proceso general de descen tración y articulación de los esquemas, así como una grad u al am pliación de los círculos constituidos en cada nivel sucesivo. E n efecto, puede decirse que los esquemas axiomáticos son a los esejuemas form ales lo que éstos son a las operaciones concretas; que estas operaciones concretas son a los' esquemas intuitivos im aginados lo que ellos son a los esquemas sensoriomotores, etc.64: todos los segundos términos de estas relaciones constituyen 84 Si estas comparaciones pueden parecer extrañas desde el punto de vista de 1?, duración, cuando sólo se considera el desarrollo individual de los sujetos vivos actualmente en nuestras sociedades, basta pensar en la historia sociológica para encontrar períodos de longitudes homogéneas* si bien la axiomática en sentido estricto

u n equilibrio móvil y agilizado de las totalidades más estrechas y rígidas representadas p o r el prim er térm ino, y .cada pasaje de u n nivel al siguiente m arca u n a liberación del m ecanism o activo y luego operatorio apoyado en las coordinaciones del nivel precedente. Por lo tanto, si bien es cierto — como lo suponíamos al comienzo de este p unto (y del punto 7, vol. I, cap. I ) — que los términos indefinibles y las proposiciones indemostrables que sirven como p unto de p artid a a toda axiom ática funden sus raíces en u n sistema de operaciones cuyas im plica ciones, irreductibles a la form ulación explícita y com pleta, descansan sobre coordinaciones anteriores (como el círculo de las operaciones/ lógicas de com patibilidad indem ostrable, salvo p o r ellas mismas) los vínculos que unen la axiom ática y el pensam iento concreto no deben buscarse en su contenido, es decir, en u n a correspondencia entre lo “ abstracto” y la realidad exterior actual (respecto de la teoría considerada) : el vínculo entre lo abstracto y lo concreto se encuentra en la form a, es decir, en él interior del sujeto y, por lo tanto, en la filiación entre las coordinaciones formales axiom atizadas y las coordinaciones de las que proceden genéticamente, ya que en este caso lo “abstracto” ,es la resultante de u n a abstracción a p artir de las coordi naciones de la acción y no de u n a abstracción a p a rtir del objeto. E n efecto, el proceso de deseentración de los esquemas, en la dirección de la m ovilidad' reversible, obtiene su verdadera significación p o r el hecho de que corresponden a etapas de la construcción genética que acabam os de m encionar, etapas correlativas en el sentido “reflexivo” , es decir, en el sentido de u n a integración de los esquemas del nivel precedente, pero con reestructuración de sus propias conexiones y abstracción de los elementos generalizables de sus propias coordinaciones. E n este p u n to se m arca, lo más claram ente posible, la diferencia entre la idea de un simple “esquem a”, concebido corno u n a adaptación “süm aria” a lo real, y el sistema de los esquemas relativos a la propia actividad del sujeto, ya que, ?. cada nuevo nivel, el papel de esta actividad es cada vez m ayor en el sentido de la necesaria coordinación en oposición a la adecuación experi m ental. A hora bien, esta coordinación —^que se reconoce por la necesidad hipotético-deductiva de las construcciones (esa necesidad que los idealistas consideran u n a priori, cuando en realidad se constituye por u n progresivo equilibrio d u ran te el desarrollo y no está dada en su totalidad desde el com ienzo)— no es sino la coordinación propia de las acciones del sujeto, presente desde la asimilación m ás prim itiva, pero que se descentra, o se hace reversible, por el proceso que acabamos de /exam inar y se hace “reflexiva” p o r el proteso que ahora vamos a describir. E n efecto, nunca u n a acción está aislada; es imposible que el sujeto asimile u n dato nuevo a su actividad sin que intervenga u n a coordinación anterior. E n este sentido, retom em os como punto de p artid a dos d e las es reciente, las operaciones formales provienen sin duda alguna de los griegos; las operaciones concretas aparecen en las» civilizaciones semejantes a la del antiguo ' Egipto; la intuición imaginada es típica de la “mentalidad primitiva” y la inteligencia sensoriomotriz de las sociedades anteriores al lenguaje, como las de los antropoides.

categorías axiom áticas que utiliza H ilbert en su reconstrucción abstracta, del espacio: por u n a parte, los axiomas de orden y el que vinculáham os antes con la adición p artitiv a (si los segmentos A’B’ y B’C ’ que constituyen u n segmento total A ’C’ son respectivam ente iguales a los segmentos AB y BC, el total A’C ’ tam bién es igual al total A C ) . 65 R esulta claro que estos axiomas, aunque indem ostrables en el sistema considerado, es decir, precisam ente elegidos como prim eras proposiciones, se apoyan a su vez, gracias al juego de las “implicaciones no explícitas entre operaciones” (q u e oponíamos a las implicaciones entre proposiciones), en las op era ciones formales de la lógica, de la cual los conceptos de orden y reunión de las partes en un todo son elementos constitutivos necesarios. Sin embargo, las operaciones formales extraen sus materiales, p o r u n a abstracción a p a rtir de las coordinaciones anteriores, de las operaciones concretas, al mismo tiem po que com binan nuevam ente estos m ateriales en un a nueva form a. E n cuanto a las operaciones concretas, ya conocen las composiciones de o rden y adición p artitiv a (véanse puntos 7 y 8 ) que h an form ado p o r un a nueva elaboración de elementos tom ados (tam bién por abstracción a p a rtir de las coordinaciones anteriores) de las intuiciones im aginadas iniciales. Y estas últim as no las inventaron sino que las reelaboraron a p artir de m ateriales tomados (nuevam ente y según el mismo modelo de abstracción im plícita) al orden y la partición sensoriomotrices. E n cuanto a las com posiciones sensoriomotrices, que efectivam ente conocen cierto orden que interviene en las sucesiones de movimientos y ta,mbién cierta partición perceptual, consisten en reconstrucciones, en un nuevo plano, de m ateriales extraídos de las coordinaciones reflejas (que se apoyan en coordinaciones orgánicas de diversos g rad o s). Las operaciones de orden y adición partitiva que intervienen en u n a 'axiom ática tan abstracta como la de H ilbert h unden sus raíces, por im plica ciones previas y abstracción a p a rtir de las coordinaciones anteriores, hasta el funcionam iento m ás elem ental de la vida m ental y orgánica. H ilbert expresa este hecho cuando habla de un residuo a priori irreductible (véase el punto 6 ), pero con ello no se hace sino bautizar la dificultad. E n reali dad, no hay índice genético alguno que nos lleve a considerar los conceptos de orden y partición como preform ados o preexistentes en p unto de p a r tida de las actividades psicobiológicas: sólo se elaboran m uy progresivam ente y hemos visto cuán com plicada es su construcción en el niño (punto 7 ). Sin embargo, no se construyen a p a rtir de la n ad a y sólo consisten en un a reelaboración de m ateriales (form as elementales de orden no reversible, partición im precisa e irreversible, etc.) que son los únicos presentes de antem ano. Además, no se abstraen estos m ateriales a p a rtir de las coordina' cíones anteriores, com o sucede con los caracteres dados abstraídos a p a rtir d.el o b je to : las nuevas composiciones se elaboran en la acción sobre los objetos actuales y utilizan, remodelándolos, los esquemas precedentes así diferenciados; la continuidad de este proceso de asimilación es lo que 85 En lo que sigue sólo analizamos la relación AB + BC — AC, independien temente de las congruencias como tales.

vincula constantem ente las coordinaciones presentes con el esquematismo, anterior. Por lo tanto, hay a la vez construcción no preform ada y asimila ción a u n pasado que vuelve a elaborarse en el transcurso de la construcción, pero no hay u n a priori ni un comienzo actual absoluto. Se concibe entonces cómo el pensam iento axiomático, situado en el . extrem o superior (actual) de la escala, puede caracterizarse p o r un pro greso reflexivo al mismo tiem po que por su m ovilidad constructiva. Aun m ás, se com prende por qué el retorno hacia las fuentes de las axiomáticas m odernas presenta dos aspectos correlativos: por u n a parte, el redescubri m iento de las relaciones espaciales elementales, como p o r ejemplo las relaciones topológicas, prim itivas desde el punto de vista de la génesis y desde el p unto de vista de los axiom as; por la otra, la tom a de conciencia de las coordinaciones lógicas, que se presentan en form a de círculo del cual el sujeto no puede salir, puesto que no se puede dem ostrar lógicamente la com patibilidad de los axiomas de la lógica. En el punto 10 volveremos sobre el retorno a los conceptos iniciales. E n cuanto al círculo lógico, acabam os de ver cómo se apoya de m anera progresiva en el de las coordi naciones m otrices y orgánicas. Si, desde el punto de vista estructural, la lógica no es in n ata sino que se construye de a poco (como lo dem uestra todo el desarrollo del n iñ o ), no por ello es menos cierto que esta progresiva estructuración no es el resultado del objeto físico, sino de las actividades del sujeto que se aplican a u n objeto cualquiera, y que estas actividades son el testimonio, en todos los niveles, de una función inv arian te de coherencia, q u e se inaugura con la morfogénesis orgánica y las coordina ciones m otrices hereditarias, p a ra continuarse a través de la organización de los esquemas sensoriomotores e intuitivos hasta las operaciones concretas y formales. A hora bien, el espacio — lo hemos visto en los puntos 7 y 8— no es sino u n sistema de acciones y operaciones infralógicas que se refieren al objeto como tal y no a las clases de objetos discontinuos y acciones isomorfas a las acciones y operaciones lógicas y numéricas. L a existencia de u n a lógica necesaria de la cual nu n ca se podrá escapar, aunque pueda proseguirse su estructuración y d ar lugar a nuevos progresos, se relaciona con una reflexión acerca de las condiciones de las actividades mismas del sujeto: ahora bien, estas actividades form an u n círculo de esquemas asimi ladores y un círculo que proviene directam ente de todos los círculos ante riores p o r sucesivas am pliaciones. 10.

La

g e n e r a l iz a c ió n

g e o m é t r ic a y

el

orden

de

su c e s ió n

de

El doble proceso constructivo y reflexivo que caracteriza a la construcción del espacio perm ite explicar lo que puede llam arse la p ara d o ja genética de la geom etría: el orden de sucesión de los descubrim ientos históricos es, en efecto, exactam ente la inversa, al menos orientado en sentido inverso, del orden de sucesión de lac etapas psicogenéticas. E n prim er lugar, observemos que esta inversión de sentido entre la génesis y la historia — que p o r otra p arte tam bién se en cu en tra en otros dominios— no es general. E n el terreno del núm ero, p o r ejem plo, puede

d e s c u b r im ie n t o s

h is t ó r ic o s .

los

decirse que la construcción histórica comienza con el núm ero entero positivo antes de descubrir los núm eros fraccionarios y, en p articular, los números negativos, así como él niño construye su aritm ética. Es cierto que la idea de correspondencia biunívoca, que se encuentra en la fuente del núm ero entero, sólo se h a convertido efectivamente en un objeto de reflexión científica muy tardíam ente, lo cual constituye, en este punto particular, una inversión de sentido com parable a la que presenta la historia de la geome tría. Sin embargo, esta inversión se refiere aquí a las coordinaciones operatorias form ado ras del núm ero y n o a los núm eros; en cambio, en el dom inio del espacio, las diferentes estructuras espaciales son las que pro vocan la inversión. En otro dominio, como el de los principios de conser vación física de los cuales hablarem os en el cap. 5, hay tatnhién corres pondencia parcial entre la historia y la génesis: la conservación de la sustancia precede en am bos casos a la del peso, y ésta precede a su . vez a la de los volúmenes corpusculares. P or el contrario, en el dominio del espacio, hemos com probado la prim acía —en el terreno del desarrollo perceptüal y en el terreno de la form ación del pensamiento— de las estructuras topológicas respecto de las estructuras proyectivas y euclidianas; estas dos últimas aparecen en segundo lugar y en solidaridad entre sí. A hora bien, desde el p unto de vista histórico, la geom etría euclidiana precedió por m ucho a la consti tución de la geom etría proyectiva y ésta precedió por m ucho al descubri m iento de la topología. Y a hemos visto por qué el espacio euclidiano se constituye solamente al térm ino de los procesos psicogenéticos. En el terreno de la percepción, supone la constitución de un tipo de m étrica perceptüal fundada en un invariante relativo (elaborado cualitativam ente) : la constancia perceptüal de las magnitudes a pesar del alejam iento. A hora bien, la construcción de esta invariante se vincula con la del objeto y el grupo práctico de los despla zamientos. En el terreno del pensam iento, la estructura euclidiana culm ina en la medición — es decir, en u n a síntesis operatoria de las operaciones de partición y desplazamiento— y se reúne así con el núm ero entero y frac cionario que constituye u n a estructura que culm ina paralelam ente con la de la aritmética. A estas circunstancias se debe, sin duda que la geom etría euclidiana haya obtenido su prim acía histórica en el plano del pensam iento form al socializado y haya producido el florecimiento '• de un a investigación cientí fica colectiva. Sin em bargo, la consideración de la m edición no explica todo y resulta sorprendente que Euclides ni siquiera haya enunciado de modo explícito (sin hablar de los térm inos topológicos de vecindad, orden, continuo, etc.) los axiomas relativos al desplazamiento y a lo que H elm holtz llam aba la “libre m ovilidad” de las figuras. Los griegos se concentraban en el objeto y no en la acción, en la figura más que en la operación, es decir, en el resultado de la construcción y no en la construcción misma. Por ello, hay inversión del orden genético, pero esta inversión, en el caso de las relaciones entre la estructura euclidiana y las estructuras topológicas,

se fortalece por el interés otorgado a las consideraciones m étricas: se concibe la medición como la expresión de las propiedades del objeto. L a geom etría analítica, ya entrevista entre los griegos por Pappus de A lejandría a propósito de su teoría acerca de los lugares, sólo encontró su form a sistemática con la constitución del álgebra, lo cual se entiende claram ente pero plantea respecto del carácter tardío del álgebra misma un problem a que supera el m arco del espacio y que volveremos a encontrar en el cap. 3 a propósito de la tom a de conciencia de las operaciones en general. E n cuanto a la geom etría proyectiva, genéticam ente solidaria del espa cio euclidiano, se la hubiera podido descubrir — si lo anterior es correcto— en la época de los griegos y efectivam ente Apolonio de Perge la percibió de algún m odo en sus trabajos acerca de las secciones cónicas. Su construc ción m ás tardía, vinculada a los comienzos de la geom etría m oderna (siglo xvi y, en particular, siglos x vn y xvm ) es sin d uda alguna el resultado de la prim acía inicial del ob jeto : la perspectiva aparece como u n a deform ación del objeto en función de los diversos puntos de vista del sujeto m ucho antes que las transform aciones vinculadas a los diferentes puntos de vista se consideren como tem a de u n a investigación objetiva como cualquier otra. Aquí hay que agregar adem ás la cuestión de la medición, cuyo alcance es secundario en u n a geom etría que no conserva los ángulos y tam poco las distancias. Por el contrario, desde el punto de vista genético, la coordinación de los puntos de vista del sujeto plantea u n problem a de operaciones concretas ta n im portante como el de la coordinación de los objetos, y la ausencia de m étrica proyectiva accesible al nivel concreto facilita por el contrario el descubrim iento de las relaciones proyectivas (intensivas y extensivas) elementales. P or último, du ran te el siglo xix, aparece el inm enso florecimiento de la geom etría y todos sus aspectos son notables en cuanto a la inversión de sentido entré la historia y la génesis, así como en lo que concierne al pro ceso reflexivo del descubrim iento (proceso cuya prolongación culm ina preci sam ente en las axiomáticas del período co ntem porán eo ). E n prim er lugar, frecuentem ente se h a trazado la historia del descu brim iento de las geometrías no euclidianas. Después de los trabajos de Wallis (1663) que m uestran que el postulado de las paralelas se relaciona con la teoría de las similitudes, de G. Saccheri que intentó probar el postulado m ediante la construcción de u n cuadrilátero (de tres ángulos rectos y del cual quería dem ostrar que el cuarto no p o d ía-ser ni agudo ni obtuso), después de los trabajos de L am bert (4786) acerca del mismo tem a, Gauss, Lobatschevski y Bolyai alrededor de 1830 y luego Riem ann m ostraron el carácter coherente de aquellas geometrías que no itían el quinto postulado de Euclides. ¿ Cuáles fueron entonces los incentivos de estas investigaciones que tuvieron tal repercusión desde el punto de vista de la epistemología científica y desde el p unto de vista de la geometría? Fueron de dos tipos y su correlación efectiva presenta un gran interés genético. El prim ero es la reflexión regresiva acerca de los principios, que se encuentra en el p unto de partida- real de la axiom ática m o d ern a:

el quinto postulado resiste la demostración aun q u e sea impuesto por la percepción a una escala de aproximación no refinada y por la intuición im aginada cuyas fallas son habituales; la inversión reflexiva consistió enton ces en buscar a qué resultados conduciría u n a construcción que lo dejara de lado. A hora bien, a partir de entonces y siguiendo este método, se realizaron muchos descubrimientos resultantes de la eliminación, no sólo de postulados indemostrables, sino de axiomas evidentes: por ejemplo, la geometría no arquim ediana de G. Veronese que descarta la relación m étrica elemental. Sin embargo, el segundo incentivo, al que responden Gauss y Lobatschevski, completa al primero de modo extrem adam ente instructivo: sospechando que existía cierto vínculo entre el postulado de las paralelas y cierta escala de aproxim ación de nuestras percepciones y nuestras represen taciones imaginadas, estos geómetras se preguntaron si u na escala más precisa — proporcionada por mediciones de triangulación en la m ontaña o por la determinación de ángulos interestelares— confirm aría el carácter euclidiano de lo real. E sta preocupación no elimina por supuesto en absoluto el carácter anticipatorio del marco m atem ático no euclidiano respecto de la física m oderna, pero m uestra de modo bastante preciso que la regresión reflexiva en la dirección de los principios es correlativa a un esfuerzo superior de apropiación del objeto. L a constitución de la teoría geom étrica de los grupos (F. Klein, S. Lie, etc.), a través de la tom a de conciencia del carácter operatorio de los desplazamientos y las transformaciones en general, en oposición con las figuras estáticas de los antiguos o con su simple expresión analítica y en particular el análisis de lo continuo, p unto de p artid a de. la topología y el descubrimiento de los aspectos cualitativos elementales del espacio, constituyen varios testimonios sorprendentes de la inversión de sentido entre la génesis real y el orden de sucesión histórico de los descubrimientos. En efecto, resulta imposible com prender por qué la intervención del con cepto de grupo ha aparecido tan tardíam ente, ya que se trata de un concepto prim ero desde el punto de vista de la construcción operatoria real del espacio, y por qué el descubrimiento de los caracteres topológicos ha aparecido luego tantos siglos después en vez de preceder al de las relaciones proyectivas y euclidianas, ya que en realidad son primitivos desde el punto de vista psicológico y axiomático, si no se ite que los procesos formadores de un sistema de conceptos científicos son a la vez constructivos y reflexivos y que la tom a de conciencia regresiva acompaña a toda nueva construcción pero en sentido inverso. Es cierto que queda aún por explicar p o r qué esta inversión es más im portante en el dominio del espacio que en otros dominios: porque (lo hemos visto en el punto 9) la construcción geom étrica supone u n a continua descentración de las estructuras respecto del egocentrismo espacial inicial. A hora bien, el egocentrismo es inconsciente y la descentración supone una inversión de sentido laboriosa, que procede p o r el establecimiento de rela ciones entre los diversos puntos de vista e inserción de las relaciones ap a rentes e. inmediatas en el sistema de las posibles transform aciones; resulta entonces claro que este tránsito desde los falsos absolutos iniciales a Ja

relatividad del espacio desem peña u n papel particularm ente im portante en la p ara d o ja genética que anteriorm ente hemos analizado. Por ello, no puede satisfacernos un sistema de explicación genética que — como el de Enriques— se sustenta en el análisis de las sensaciones y en la abstracción intelectual a p a rtir únicam ente de los datos sensoriales: si la topología corresponde — com o se dice— a las sensaciones táctilm usculares generales, la m étrica al tacto especializado y la geom etría proyectiva a las sensaciones visuales, no se com prende por qué, genética e históricam ente, las tres clases de espacios y geom etrías no se h an desarro llado sim ultáneam ente. P or el contrario, el fenóm eno se explica en función de u n a elaboración activa y operatoria continua, con progresos a la vez constructivos y reflexivos, y descentración indispensable p ara to d a genera lización. H ay algo más. L a sucesión histórica de las grandes etapas del pensa m iento geom étrico revela así la doble naturaleza de u n proceso genético circular, que vincula la articulación siempre más extensa y móvil de ios esquemas operatorios con u n a reflexión que siempre alcanza m ás pro fu n d a m ente a los elementos, en orden inverso al de su in teg ració n : ahora bien, el proceso generalizador como tal, presente en las operaciones geométricas, m anifiesta la existencia del mismo círculo, y ello no debe sorprendernos puesto que los descubrimientos que ja lo n an la historia de la geom etría son precisam ente el resultado de sucesivas generalizaciones. Poincaré, entre otros, ha dem ostrado que se pueden construir geom e trías no euclidianas con los únicos elementos euclidianos; sin em bargo, la geom etría euclidiana no es sino u n caso p articular de este conjunto. La recíproca es verdadera y, basándose en los trabajos de Cay ley y K lein, puede reconstruirse el espacio euclidiano m ediante elementos no euclidianos. “L a p ara d o ja es pues perfectam ente sim étrica, p o r ejem plo G onseth a firm a : si tom am os dos de nuestras geom etrías — sean cuales fueren— cada una parece alternativam ente estar contenida en la otra o contenerla” (F u n d a m entos, pág. 9 3 ). A hora bien, este círculo sería insoportable p a r a la lógica, si no expresara precisam ente el doble proceso de asimilación constructiva e incorporación retroactiva de los m ateriales anteriores en la nueva com po sición, doble proceso que caracteriza a la construcción operatoria. C o n tra riam ente a la generalización simple, que engloba u n a ley espacial en una ley más general, la generalización operatoria procede en efecto del siguiente modo. D espués de generar un prim er sistema, tom a de él algunos elementos p a ra construir m ediante nuevas composiciones u n segunda sistema que desborda al prim ero y lo incluye como caso p a rtic u la r: la recíproca tam bién es verdadera puesto que, m ediante algunos m ateriales del segundo sistema, las operaciones del prim er sistema lo reconstruirán a su vez. Corno no se tra ta de simples implicaciones entre proposiciones, en cuyo caso dos sistemas que se im plicasen m utuam ente se confundirían entre sí, sino de composi ciones efectuadas m ediante elementos que no las im plican de antem ano, estas composiciones form an un círculo tal que se puede pasar de un sistema a otro, según los axiomas que se elijan y sin que sus inclusiones recíprocas desemboquen en u n a fusión.

Por otra parte, este círculo operatorio term ina p o r abarcar toda la geometría. El grupo fundam ental de la topología (grupo de las hom eomorfías) contiene, en efecto, como subgrupo, el grupo fundam ental de la geometría proyectiva (con conservación de l a ' recta y las relaciones ño armónicas) que contiene a su vez como subgrupo el de las afinidades (con conservación de las p a ra le la s); y este último contiene como subgrupo el grupo de las similitudes (con conservación de los ángulos) y, por últim o, éste contiene como subgrupo el de los desplazamientos (con conservación de las distancias). Sin embargo, este grupo fu n d am en tal de la geom etría euclidiana se vincula — como acabamos de recordar— con las geom etrías no euclidianas y, desde este conjunto, podemos rem ontam os al grupo de la “métrica general” que se vincula de modo directo con el de la topología. E l conjunto de los grupos operatorios constitutivos del. espacio form a así u n círculo tal que se puede pasar de uno de los sistemas al otro, ya p o r adjunción o supresión de uno de los invariantes característicos de los subgrupos. Por lo tanto, existe u n a interdependencia com pleta entre todas las posibles transform aciones del espacio y esta interdependencia es la que m anifiesta fuera del círculo las implicaciones entre operaciones previas a toda construcción axiomática. A hora bien, este círculo constituye — lo hemos visto— la form a más evolucionada de las sucesivas coordinaciones alcanzadas po r el análisis genético, del cual es solidaria la axiom ática, pero desde adentro y po r interm edio de los conceptos operatorios iniciales. 11. L a e p i s t e m o l o g í a g e o m é t r i c a d e F. G o n s e t h . L a exposición anterior equivale a atribuir la form ación del espacio y de las operaciones lógico-aritméticas a la coordinación progresiva de las acciones ejercidas p o r el sujeto sobre los objetos. E n vez de proceder p o r construcción de con juntos discontinuos de objetos, fundados en los esquemas lógicos de seme janzas y diferencias (o en los esquemas num éricos que unen en u n solo todo la.clase y la relación asim étrica), las operaciones espaciales encuen tra n su p unto de p artid a en la continuidad de las vecindades y las dife rencias de orden (y luego de 1a medición que reúne la partición y el. em plazam iento), pero se reúne, tarde o tem prano, con las operaciones formales generales que se aplican sim ultáneam ente a la discontinuidad num érica o lógica y al continuo espacial. D e este modo, lo form al que se encuentra en la base de las construcciones axiom áticas se desprende de r. poco de las acciones y operaciones del sujeto y disocia el espacio geom é trico del espacio físico o experim ental superando la “intuición” con la que se relaciona a través de todos los intermediarios. Puede observarse el parentesco existente entre algunas de estas conclu siones y varias de las perspectivas desarrolladas desde hace más de veinte años por F. G onseth. Antes de concluir, nos parece entonces indispensable tem ar posición respecto d'e la filosofía geom étrica y la epistemología en su totalidad de este m atem ático, y señalar sim ultáneam ente las convergencias y puntos de bifurcación posibles. Esta discusión no sólo nos resultará útil p a ra preparar la conclusión de este capítulo sino que nos introducirá al

mismo tiem po al estudio de -los problem as m ás amplios abordados en el capítulo 3, es decir, al análisis del modo de existencia propio de las conexiones m atem áticas. E n efecto, la am bición de G onseth supera el m arco de la epistemología geom étrica. Se tra ta de u n a teoría del conocimiento científico en general que, como antes el positivismo clásico y luego el de M ach, etc., la gnoseología de F. Enriques y la epistemología genética que aquí defendemos, se ubica exclusivamente en el terreno de las ciencias y su desarrollo sin recurrir 8, los previos marcos de las filosofías académ icas o las epistemologías m eta físicas: “concebir en prim er lugar las relaciones entre lo abstracto y lo concreto siguiendo el ejem plo privilegiado de la.m atem ática y su aplicación, extender luego esta concepción a todos los órdenes del pensam iento ” ,68 éste es el cam ino que se h a de seguir. E n cuanto al m étodo, consiste én prim er lugar en descartar dos clases de prejuicios: el de los hechos irreductibles, ya que los progresos del conoci m iento físico renuevan sin cesar nuestras percepciones del objeto (M . R ., pág. 375) y .el de la verdad absoluta (pág. 376), ya que no hay criterio alguno de lo. verdadero que no sea a su vez u n tem a que requiera ser revisado: L a reestructuración de nuestras intuiciones más elementales por 1?, m icrofísica y la crisis de la verdad m atem ática abierta p o r Brouw er son así dos “lecciones” que habían de orientar toda la epistemología, ponién donos sim ultáneam ente en guardia contra el realismo em pirista y el realismo platónico. Los conocimientos iniciales siguen siendo esencialmente “so meros” y el-aum ento de los conocimientos consiste en un tránsito desde lo más somero a lo menos somero: sólo existen conceptos “en transform ación” y “abiertos hacia su porvenir” (M . R ., pág. 28). E sta posición inicial es pues idéntica a la de L. Brunschvicg, por ejemplo (véase más adelante el p u n to 12 y vol. I I , cap. V, punto 7 ), y a la que aquí defendemos. Sin em bargo — situación curiosa— G onseth que recurre constantem ente a la historia de las ciencias y a la psicología del niño, pretende al mismo tiempo rom per con el m étodo histórico-crítico de Brunschvicg y el método p ro p ia m ente psicológico, y ello p o r dos motivos algo sorprendentes ya que parecen contradecirse. El m étodo histórico-crítico es insuficiente porque “hay un elem ento instantáneo que la historia prep ara y sostiene, pero no d eter m ina. . . Por lo tanto es m uy n atu ral preguntarse, antes de recurrir a la historia, cómo se constituyen esos instantáneos cuya sucesión constituye la historia. A hora bien, esto es justam ente lo que- no explica la historia” (M . R ., pág. 4 7 ). Sin em bargo, si Gonseth se niega a ver en los “instan táneos” el producto del desarrollo histórico no piensa, p a ra explicarlos, únicam ente en la psicología; en efecto: “Ella casi se ocupa únicam ente de fenómenos de pensam iento más o menos instantáneos, de ideas simples y breves. E vita las grandes construcciones m entales donde se inscribe todo un pasado de fructuosos esfuerzos” (Ib id ., pág. 29). E l método de G onseth 88 Les mathématiques et la réalité, París, esta obra con la s le t r a s M. R.

p u f , p á g s.

337-338, Designaremos

consistirá entonces en p a rtir del análisis del saber intuitivo, es decir •—si lo com prendem os bien— de los conocimientos elementales ni dem asiado ni dem asiado poco “instantáneos” y buscar cómo se desprende a p a rtir de ahí la abstracción científica. Conviene distinguir desde el comienzo dos aspectos de la epistemología de Gonseth, aspectos cuyo interés respectivo es, por otra parte, m uy dife rente: una investigación de los fundam entos de la m atem ática y el pensa m iento científico, y..un análisis del mecanismo del pensam iento espontáneo o precientífico, es decir, de las fuentes intuitivas. Estas fuentes son caracte rizadas del siguiente m odo: “queremos llam ar a todo ese conjunto de conocimientos fundam entales e imperfectos, todas esas perspectivas ad ecua das, pero sólo de modo aproxim ado, todas esas ideas inacabadas sobre las que se ejerce nuestra actividad m ental los elementos del conocim iento intutitivo” (M . R ., pág. 15). Sin em bargo, la im portancia de la episte mología geom étrica de G onseth justifica u n a discusión de sus ideas acerca del desarrollo mental, ya que en este dom inio todas las sugerencias de un m atem ático, sea cual fuere su grado de conocimiento psicológico, resultan hcy preciosas, tanto más cuanto la filosofía m atem ática ha dado la espalda e. lo concreto, bajo la doble influencia del realismo» platónico y el nom ina lismo lógico. E n su prim era obra ,67 totalm ente consagrada al análisis del pensa m iento m atem ático y fisicomatemático (y que sin d uda alguna constituye lo mejor que ha escrito), Gonseth ya habra form ulado su tesis central. Por u n a p arte , la m atem ática procede de la experiencia: la dem ostración de u n teorem a, como aquel según el cual se puede, por un punto, trazar u n a y sólo u n a perpendicular a u n a recta, es “un a simple descripción apenas idealizada de u n a experiencia físicamente realizable” (F. M ., pág. 4 ) . Ese carácter experim ental de la geom etría elem ental en su conjunto “se hace totalm ente evidente con la reflexión” (pág. 4 ). A un más “no hay dominio de la m atem ática, por m ínim o que sea, donde la axiom ática pu ed a bastarse a sí misma” (pág. 13). Pero inversam ente, la experiencia nun ca puede interpretarse, y en el terreno de la m atem ática menos aú n que en cualquier otro dominio, sin la referencia a un “esquem a” . “Por lo tanto, es imposible probar experim entalm ente que el espacio es euclidiano” (pág. 103), ya que “no se experim enta nunca sin alguna idea preconcebida, así como nuestro cuerpo sólo puede moverse en función de las normas intuitivas inscriptas en nuestros centros nerviosos” (pág. 104) ; estas normas consisten en parte en el grupo experim ental de los desplazamientos descripto por H . Poincaré. E n resumen, “hay, en la base de toda experim entación, un a tram a abstracta sobre la que se construye u n a im agen sem ejante al m undo” , pero “hay, en teda construcción abstracta, un residuo intuitivo imposible de elim inar” (F. M .. pág. 105). Así “la distinción entre lo abstracto y la experiencia sólo es u n a dife rencia de tendencias y no de esencia” (F .M .. pág. 107), y a tftue “nuestra 67 Les fondements des mathématiques. Gauthier-Villars, 1926. que designare, mos con F. M.

intuición no es u n conjunto cristalizado de reglas inm utables” (pág. 109), y la abstracción se desarrolla nivel po r nivel. ¿E n qué consiste esta evolu ción? “T o d a ciencia abstracta sólo puede fundarse en el m étodo axio m á tic o ... Por o tra parte, si uno se rem onta bastante atrás, los mismos axiomas escapan al imperio de la lógica form al” (pág. 204). Por lo tanto, debe buscarse la solución en el análisis del proceso de esquematización que constituirá la fuente de la axiom atización como tal, pero a p a rtir de “esquemas” ya presentes en la intuición. Comienza aquí el análisis contenido en L a M atem ática y la Realidad. L a observación nos pone en prim er lügar ante u n a serie de niveles sucesivos. E n el punto de p artid a están los juicios intuitivos elementales, “esbozos aú n en constante estado de devenir” (pág. 15) y cuyos “criterios de objetividad son, en últim a instancia, la conveniencia de nuestros propios fines y el éxito de nuestras acciones”, ya que “el pensam iento im ita la acción y la acción realiza el pensam iento” (pág. 17), Luego viene la reflexión del pensam iento sobre los conocimientos iniciales, que se convierten a su vez en “objeto de conocim iento” (pág. 18) y a renglón seguido en u n a jerarq u ía de juicios sin fin, pero que “se resuelven, po r una parte, en juicios intuitivos acerca de la validez o la inexactitud sobre los que no puede existir duda alguna” (pág. 23), dentro de los límites naturalm ente de la esfera de la actividad propia de cada uno (pág. 19). Pero, ¿sobre qué se apoya este desarrollo? N o sobre u n a realidad totalm ente d ad a afuera de nosotros, ya que “la realidad tal como la percibimos es una construcción m ás o menos -autónom a de nuestro espíritu, cuyos fines esenciales son la posible, acción” (pág. 54). T am poco sobre estructuras ne vañelur del espíritu, puesto que éste se halla en constante evolución, sino sobre “el proceso m ental” mismo que las genera, en correlación con la “construcción de la realidad” (pág. 53). A hora bien, este proceso m ental consiste en un a esquem atización continua análoga, por ejemplo, a la que constituye la recta, como “im agen somera, esquem ática y provisoria” (pág. 59) extraída de nuestra percepción de las aristas de u n cristal (aristas cuyo exam en microscópico d aría un a visión totalm ente diferente). L a clave del desarrollo m ental debería pues buscarse en la esquernatización. L a esquematización elem ental está constituida por las “form as intuitivas” y veamos cómo G onseth explica la “form a intuitiva relativa a la idea de espacio” . Supongamos un autóm ata que cuenta con u n ap arato que. registra las posiciones luminosas, y un aparato m otor “regulado de acuerdo con el ap arato visual” que posibilite el m ovim iento de la m ano hasta la fuente luminosa. A ñadam os ahora la conciencia hu m an a: “tenemos conciencia de la posición de la fuente lum inosa en el espacio. E l registro visual, así como la práctica m uscular están ambos conectados con u n campo de m om entos de conciencia. Se tra ta de u n a totalidad m ental a la que hay que atribuir u n a existencia objetiva y cierta estructura” (pág. 6 3 ). “E n otros térm inos. . . el espacio de nuestras representaciones es un a realidad puram ente m ental: es algo así c.omo la huella sobre nuestra conciencia actual del cam po virtual de los m om entos de conciencia” (pág. 6 3 ). Y la “form a intuitiva” así construida no es sino el complejo de todos los m om entos

de conciencia actuales o virtuales relativos a la idea del espacio” (pág. 63). Por otra parte, “el complejo de los m om entos de conciencia vinculado al fenómeno color, abordado en su totalidad, tam bién se llam ará form a intuitiva relativa al color” (pág. 64). E n resumen, las formas intuitivas pueden com pararse con “representaciones parciales y esquemáticas de una realidad que, por otra, parte, no se presenta de otro modo. Proveen los p ri meros elementos p a ra la construcción de toda realidad” (pág. 6 5 ). Después de lo cual, “la introducción de los m arcos de referencia m arca el pasaje de lo intuitivo a lo experim ental” (pág. 6 7 ), y las variaciones externas pueden entonces concordar con las variaciones del organismo perceptual, a condición de que el organismo sepa “situar el estado actual de este órgano respecto de la totalidad de sus estados virtuales’* (pág. 70). El “proceso de esquematización” puesto así en m arch a perm ite entonces la conquista de lo r e a l: “Lo concreto nun ca está d ado de por sí. . . Lo real sólo se deja ceñir con la ayuda de lo ideal y lo esquem ático” (pág. 72). L a m ás im portante de estas esquematizaciones es la que genera la geom etría elem ental: “Por ello, llamaremos «esquematización axiom ática» al proceso m ental cuya culm inación la constituyen las ideas geométricas. A xiom ática porque las prim eras relaciones que se perciben en tré los elementos de este esquema son los axiomas de la geom etría” (pág. 77). Después de lo cual “la introducción de las relaciones lógicas no es sino un a nueva esquematizacíón axiom ática” (pág. 82). D e este modo, las concepciones del punto, la. recta, etc., nacidas de la intuición “sólo adquieren su aspecto racional por la axiom atización, es" decir por el acto m ental que culm ina en la creación del esquema abstracto'' (pág. 8 8 ). D e m odo general, “la idea del orden racional y el método deductivo sólo pueden ser vínculos ideales que im itan de m odo esquemático algunos vínculos concretos, algunas leyes profundas ele lo real” (pág. 120 ). G onseth explica por el mismo “proceso m en tal” la idea de núm ero entero y las leyes de la lógica. El núm ero supone la repartición de los objetos “en clases y subclases” (pág. 123) y “cierto orden de sucesión, donde cada objeto sólo interviene u n a vez” (pág. 124), como perm ite afirm arlo la observación del niño. G onseth nos dice que como tal “el núm ero puede com pararse con cualquier otra cualidad sensible, como lo grande, lo am arillo o lo pesado. U n grupo de objetos tiene la cualidad tres, por ejemplo, como uno de ellos tiene quizá la cualidad rojo o la propiedad de ser transparente. En una palab ra: el núm ero, en su significación prim itiva y en su papel intuitivo, ’es una cualidad física de los grupos de objetos” (pág. 127). E n cuanto a la lógica, es “la física del objeto cual quiera” (pág. 155). U n estudio subsecuente de G onseth 68 precisó que no sólo era así sino que además implica un papel normativo, etc. Pero se apoya en su origen en el objeto, es “un abstraído esquem atizante” (pág. 161), es decir, u n a “form a p rim aria” (pág. 169) del conocimiento, pero construida y no impuesta de-m od o definitivo (como lo p ru eb a la m icrofísica). A dm itido esto, las relaciones lógicas elementales son las de 08 Qu’est-ce que la logique? París, Hermann.

los objetos entre s í: no expresan “la necesidad abstracta de u n a lógica d ad a y form ada de antem ano, sino las necesidades tales como las presenta el m u n d o de los objetos físicos, y tales como sé presentan en la idea general de ley natural” (pág. 170). Sin em bargo, adem ás de las “formas m a te m áticas del objeto, el núm ero y el espacio” (pág. 175), las formas intuitivas relativas a las cualidades del objeto conducen a una lógica del objeto cu alitativo: la lógica de las clases de Aristóteles, que se “h a presentado com o una teoría abstracta del ser y las esencias cuando en realidad se tra ta b a de u n esbozo esquemático de u n a teoría de este tipo” (pág. 190). E n suma, la existencia m atem ática p lan tea “el siguiente dilem a: o bien la justificación de las ideas prim eras y sus relaciones es proporcionada p o r su génesis y su evolución; o bien la m atem ática está condenada a fu n d ar su autonom ía sobre lo abstracto” , pero “si se descarta sistem áticam ente el problem a de la ad ecuación. . .en el m om ento en que ella se plantea n a tu ralm ente, es decir, en el curso de la introducción de las ideas fundam entales, las dificultades descartadas — pero no resueltas— vuelven a aparecer bájo o tra fo rm a: la cuestión de las relaciones exteriores que se h a dejado sin respuesta deja sim plem ente lugar a u n a cuestión de política in te rn a” (Pág. 361). Hemos insistido en conceder u n lugar extenso a la exposición d e esVa epistemología m atem ática, porque el p u n to de vista genético al que recurre G onseth p a ra explicar la adecuación del espacio y el núm ero a la realidad física converge en principio con el que aquí defendemos. Por lo tanto, tiene cierta im portancia in te n ta r determ inar si la teoría de la esquematización propuesta basta p a ra cum plir, con el p rogram a trazado, enfpartic.ular, en lo que se refiere a la form ación del espacio. En este sentido, conviene abordar separadam ente las reflexiones que se refieren al fundam ento de la m atem ática en general y las perspectivas de G onseth acerca del proceso genético mismo. E n el prim er terreno, no podem os dejar de estar de acuerdo con el m odo, a la vez sutil y vigoroso, con el que retom ó y desarrolló las tesis de Poincaré y Brunschvicg acerca de la naturaleza psicológica de las ideas científicas iniciales en oposición, a la vez, con el realismo platónico o el form alism o lógico y con el empirismo. Las ideas esenciales según las cuales la abstracción y lo concreto siempre son interdependientes, como lo son el esquem atism o y lo real correspondiente, no pudiendo aislarse ninguno de estos dos térm inos en ningún nivel de desarrollo, y según las cuales la axiom ática m ás depurada no es nunca sino el resultado de un proceso reflexivo que prolonga el esquematismo m ental mismo, h a renovado de modo sorprendente la gran tradición psicogenética respecto de la eterna cuestión acerca del fundam ento d e la m atem ática. Con ello señalamos hasta qué p unto concordamos totalm ente con G onseth en cuanto a su posición del problem a y al pensam iento esencial m ente genético, crítico y antim etafísieo que anim a su epistemología. Sin embargo, ¿puede considerarse que el problem a del origen “intuitivo” queda resuelto por la concepción particu lar de la esquematización y las “form n1-

intuitivas” defendidas por este m atem ático? Este p u n to delicado nos p ro duce cierta incom odidad ya que, después de todo, 110 es la culpa de F. G onseth si en 1926 y 1936 — fecha de la aparición de sus dos principales cbras— la psicología del niño, a la que recurre ta n a menudo,, no podía proporcionarle lo que de ella esperaba en cuanto al desarrollo del espacio, el tiempo, el núm ero y, en particular, las operaciones lógicas. R esulta así interesante observar las fluctuaciones de su pensam iento en cuanto al aporte de la psicología a la epistemología. En 1926 (P . M ., pág. 105) observa, respecto de las relaciones entre lo intuitivo y lo abstracto que “estas cues tiones, cuyas raíces se hunden p o r una parte en la psicología son extrem a dam ente com plejas” . E n 1936, decepcionado sin d u d a por la falta de indicaciones precisas de la psicología experim ental, form ula los desilusio nados propósitos m encionados m ás atrás (M . R . , pág. 2 9 ), como si las investigaciones genéticas evitasen las “grandes construcciones m entales” . E n cam bio, en 1944, tranquilizado por la obtención de algunos resultados, otorga al psicólogo el siguiente codificado que resulta de m ucho valor por provenir de un especialista en axiom ática: “C ierta concordancia de te n dencias, cierto paralelism o de perspectivas entre el genético y el filosofe del conocimiento se convierte así — situación quizás im prevista— en una condición sine qua non de la legitim idad de la sistem ática de.este últim o: la genética se convierte entonces en el juez d e la au tenticidad de la filo sofía ” .89 P or lo .tanto, no deberíam os insistir sobre la psicología de p artid a de F. G onseth, tanto más en la m edida en que se ha m odificado claram ente su punto de vista inicial y que no se le puede pedir a u n m atem ático que sea al mismo tiem po un psicólogo experim ental (por o tra parte, todos sabemos cuán verdadera es la rec íp ro c a). Sin em bargo, p o r m ás amicus Gonseth, magis am ica veritas, se plantea u n problem a de principio en cuanto a los m étodos y el porvenir mismo de 1a. epistemología científica. Y este problem a es el siguiente. U na.vez fu era del m arco de la deduc ción m atem ática y lógica, ¿puede realizarse el análisis del pensam iento intuitivo, la percepción, la m otricidad y todo lo que condiciona el “proceso m ental” que conduce a lo abstracto, por lo tan to a la “esquematización m ism a”, de otro m odo que m ediante los m étodos precisos de la neurología y la psicología genética, sin hab lar de la sociología etnográfica y la historia? Si es así, volvemos a caer inevitablem ente en la p u ra discusión de con cepciones o en el simple análisis reflexivo, y la epistemología científica — que pretendía cuidarse de la filosofía académ ica— se convierte ni m ás ni menos que en u n a filosofía m ás (tememos que G onseth se desliza sobre esta pendiente apenas bautiza su sistema personal, ya que aunque el “idoneísmo” fuera la ausencia de todo sistema, el...solo hecho de m encio narlo despierta la sospecha de que sea lo co n trario ). Si no, hay que dirigirse exclusivamente al estudio de los hechos y no a la construcción tl!) F. Gonseth: “Psychologie et logistique (a propos de l’ouvrage récent de J. Piaget: classes, relations et nombres)”, Archives 'de Psychologie. Ginebra, t. xxx. 1944, pág. 199.

conceptual, por más concreta e inteligente que sea. A hora bien, es muy claro que este estudio experim ental, que la psicología genética convierte en su especialidad, no sólo a p u n ta al análisis de las “grandes construcciones m entales” que constituyen el desarrollo individual y colectivo del pensa m iento, sino adem ás y sobre todo ab a rca tanto lo “instantáneo” como el desarrollo. Por otra parte, ¿ no se tra ta acaso de u n a actitud algo precrítica el querer aislar lo instantáneo? y ¿u n “proceso m en tal” es verdaderam ente una sucesión de estados “instantáneos” ? Si con ello quiere decirse estados de equilibrio, el objeto de la psicología genética consiste precisam ente en darnos u n a descripción de la constitución progresiva. Si simplemente se hace alusión a u n estado cualquiera, la victoria del análisis m oderno sobre los argum entos de Zenón encuentra u n parelelo en el campo de la psicología. D icho esto, una prim era com probación se im pone respecto .de la reconstrucción “esquem ática” del desarrollo m en tal que nos ofrece G onseth: de hecho, ys, está todo presente desde el comienzo y el m odo de construccien al que recurre es más una explicación g rad u al de. lo que im plícita m ente está contenido en lo elem ental que u n a construcción real. E n efecto, ¿qué es la “form a intuitiva” presente en el origen de todo proceso de esquem atización? Es “la huella en nuestra conciencia actual del campo virtual de los diversos m om entos de conciencia” (M . R ., pág. 6 3 ), campo que com prende “la totalidad de sus estados virtuales” (pág. 7 0 ). Sin em bargo, ¡ quien concibe a u n ser suficientem ente bien dotado como p ara tem ar cuenta de todo el cam po p erceptual v irtu al en cada un a de sus p er cepciones está, de antem ano, en estado de resolver el conjunto de los problem as de la deducción y la axiom atización! No por ello deja la fórm ula de presentar interés, ya que es evidente que esta intervención de lo virtual m arca el pasaje de la percepción pura, a la actividad inteligente (sensoriom otriz o reflexiva) ; pero este pasaje, en vez de ser instantáneo, ta rd a cierta cantidad de años, ya que psicológicam ente se tra ta de conquistar poco a poco el control de lo virtual. En el terreno de la percepción visual, p o r ejemplo, es fácil m ostrar que los niños de 5-7 años sólo perciben en grado m ínim o en función de lo virtual, puesto que a veces ven (no juzgan p o r razonam ientos, sino que ven en el sentido estrictam ente perceptual del té r m ino) tres objetos separados entre sí p o r ciertas distancias como si m a n tu vieran sim ultáneam ente las relaciones A = B, B = C y A > C ; estando B situado entre A y C perciben la igualdad A = B, así como la igualdad B = G, pero cuando com paran directam ente A con C perciben la relación A > C sin preocuparse por los desplazam ientos virtuales del medio té r m ino B. E n cuanto a la coordinación entre las localizaciones visuales y la m otricidad aceptada por G onseth — po r o tra p arte con la m ism a gene rosidad que Poincaré— , resulta claro que su significación epistemológica depende esencialm ente de cómo se la elabora: según que se la conciba como in n ata (y en este caso se tra ta ría tam bién de saber si es el resultado de u n a m utación fortuita, p o r influencia del m edio, etc..), como ad q u irid a únicam ente en función de la experiencia, o como resultado de u n a interac ción de elementos innatos y adquiridos se culm in ará en u n a idea totalm ente diferente del esquematismo espacial. P or lo tan to , no basta recurrir a esta

coordinación como hecho com probable p ara extraer de ahí un a teoría de la esquematización, sino que se .trata de determ inar su mecanismo genético. A hora bien, todo parece indicar — en nuestro estado actual de conoci mientos— que el aspecto sensorial desem peña en estas coordinaciones esencialm ente un papel de señalización y, en cambio, el aspecto m otor sería d eterm in a n te: el pasaje de lo m otor a la operación constituye entonces el verdadero problem a de la constitución de la intuición del- espacio y no puede resolverse tu e ra de un análisis psicogenético que describa con pre cisión las etapas reales de este desarrollo. H enos aquí a n te la cuestión central de la epistemología geom étrica de G onseth: ¿cuál es la significación de la idea d e “esquema” ? Fiel a su m étodo de aproxim aciones sucesivas, G onseth tiene cuidado en no encerrarse en u n a definición, y si le preguntáram os por qué no h a circunscripto de m odo lim itativo el empleo de este concepto, sin d u d a nos respondería que pretende respetar el imprevisible porvenir del esquematismo y no caer en u n a construcción conceptual. N os.ubicarem os exclusivamente en el terreno del desarrollo y solicitaremos u n a elección, o u n a conciliación, entre las dos posibles significaciones —genética y epistemológica— m uy diferentes de este- térm ino esencial, que casi aparece en todas las páginas de la obra de G onseth: en efecto, o el “esquem atism o” es u n “esquema” , en el sen tido de u n a estructura inherente a la actividad sensoriomotriz o intelectual del sujeto, o es u n a imagen esquem atizada de un objeto, de un conjunto de de objetos de un sector cualquiera de la realidad, o bien es am bas cosas al mismo tiem po. Sin embargo, si es uno o b ien la otra, no se puede pasar de u n sentido del uno al sentido de la otra, y si es uno y la otra, se tra ta de com prender por qué reúne estos dos sentidos y, en consecuencia, hay que analizar la relación entre los factores que interfieren en su elabo ración. . Por nuestra p a r t e 70 llam am os “esquem a” de acción u operación al producto de la reproducción activa de las acciones de todo tipo, desde la conducta sensoriomotriz hasta la operación interiorizada, y se trate de acciones simples (p o r ejemplo, el esquem a de prensión) o bien de coordina ciones entre acciones (por ejemplo, el esquem a de la reunión o la seriación). D efinido de este m odo en función de la áctividad del sujeto, el papel del “esquema” consiste esencialmente en asegurar la incorporación o la asim ila ción de nuevos objetos a la acción m ism a; y esta acción, por su repetición en condiciones renovadas y generalizadas, adquiere por este hecho mismo un carácter esquemático. El esquema, que necesariam ente se aplica a un a m ateria dada, es adem ás susceptible de acom odación y sus sucesivas acomo daciones producen efectivamente conocimientos “ someros”, sujetos a cons tantes revisiones — como dice en efecto Gonseth— . Este esquematismo asim ilador puede explicar entonces todo aquello que Gonseth atribuye a los “esquemas” , pero a condición de precisar que la acomodación de todo “esquema” a una realidad exterior se apoya en u n a previa asim ilación.. 70

Véase nota 32.

Véase La naissance de l’intelligence ches l’enfant. Delachaux et Niestlé.

A hora bien, si en- el esquema se distinguen estos dos polos :—de asimi lación y acom odación, uno fuente de coordinaciones y el otro d e .aplicación a los datos de la experiencia— , nos encontram os, no solamente a n te ,u n único tipo de abstracción sino ante dos clases m uy distintas de abstracciones,, y pensam os que ellas sch las que precisám ente distinguen todo aquello que opone el “esquem a” (en el sentido de la im agen-tram a de u n a realidad perceptible) al “esquem a” com o ..expresión de la actividad del sujeto. Tenernos, en. prim er lugar, la abstracción a p a rtir del objeto que consiste en extraer, a p a rtir de él, caracteres m ás o m enos generales (el color, etc.) que proporcionar; la m ateria de ese conocim iento sumario y esquemático resultante de la acom odación rflás o menos profunda de los esquemas de asimilación. Sin em bargo hay, en segundo lugar, una abstracción a partir de la actividad del sujeto: este segundo, tipo de abstracción consiste, en la disociación entre aspectos particulares de la acción considerada y ciertos m ecanism os de coordinación generales (por ejemplo, reunir dos acciones en u n a sola, invertir las acciones, etc.) y la construcción de nuevos esquemas a través de los elementos asi extraídos (es d ecir diferenciados) de las acciones com o tales. Vemos de en tra d a la im portancia que adquiere esta distinción respecto de la construcción del espacio, ya que las dificultades propias de la episte mología de G onseth son sin duda alguna el resultado de su constante tránsito de u n sentido al otro, cuando se tra ta en realidad de explicar los “esquemas” lógicos, num éricos 6 específicamente espaciales. C uando G onseth nos dice por ejemplo que la lógica elem ental es, entre otras cosas, una “física del objeto cualquiera”, ¿no se debe acaso precisar antes que J a coordinación de las acciones es la que posibilita la constitución de esta física, dicho de otro modo, que constituye m ás bien u n a “acción sobre el objeto cualquiera” ? A hora bien, la difciencia es apreciable ya que, si bien se construye el concepto de objeto — como sostiene Gonseth— y no está dado de e n tra d a en su totalidad, es claro que las coordinaciones entre las acciones que intervienen en esta construcción constituyen' p ara la lógica un p unto de p artid a anterior a las com binaciones de las relaciones entre los objetos, es decir, a los resultados de esta construcción misma. El objeto es u n “abstraído esquem atizado” antes de ser “esquem atizante” , y se hace necesario recu rrir en prim er lugar a la coordinación de las acciones que han esquem atizado lo real en objetos (lo cual vuelve a llevarnos a las dificul tades señaladas más atrás respecto de la génesis de las “form as intuitivas” ) . H ay algo más. Gonseth establece esa asimilación p arad o jal del nú m ero intuitivo a u n a “cualidád física” —como el color, el peso o la trans parencia-—■ porque no puede distinguir la abstracción del objeto y la abstracción de la acción. C abe pensar que esta sorprendente opinión es el índice de que el sistema de G onseth, proveniente de u na idea del “esquema” sem ejante al “esquem a” de acción pero sin señalar suficientem ente el aspecto activo y operatorio de todo esquem a (en todos los niveles de la evo lució n ), se h a deslizado en dirección del esquem a concebido como imagen sim plificada o como tram a de la realidad exterior. A hora bien, si la psico logía puede prestar u n m ínim o servicio a los matemáticos, es cuando les

dem uestra que la acción de reunir “en clases y en subclases” , así rom o la acción de seriar —acciones a las que G onseth recurre p ara explicar la construcción del núm ero— tienen un carácter muy diferente de la percep ción de un color o un peso: son esencialmente motrices, en oposición a las imágenes cualitativas susceptibles de servirles como señales o símbolos, y no extraen el núm ero a p a rtir del objeto, a sem ejanza de cómo la visión o el acto de levantar pesos extraen del objeto el color y el peso, sino que le im ponen u n esquema de enum eración que, u n a vez convertido en móvil y reversible, genera las operaciones axiomatizables. E n cuanto a lo que sucede entonces con el espacio operatorio mismo, es claro que lo esencial de la oposición entre, por u n a parte, el realismo físico y, por la otra, la actividad deductiva volverá a encontrarse en el interior del concepto de “esquem a” puesto que el esquema geométrico, así como los esquemas num éricos y lógicos, puede considerarse alternativa m ente como una im agen “sum aria” abstraída de los objetos y como un esquema de operaciones, elementales o axiom atizadas, extraída de la coordi nación de las acciones ejercidas sobre estos objetos. E l gran servicio pres tado por la epistemología geom étrica de G onseth consiste en haber atenuado la virulencia de este conflicto entre el em pirismo y el formalismo en el p unto mismo donde parecía constituirse como un obstáculo a toda concilia ción posible, es decir, en el terreno de las estructuras superiores del pensa m iento geométrico. Sin em bargo, solamente se h a desplazado el problem a y se lo encuentra nuevam ente en el dominio del pensam iento “intuitivo”, es decir, de todo el desarrollo intelectual anterior a la etapa final de axiomatización. E n resumen, cabe p ensar que subsisten, en la epistemología de Gonseth, dos dificultades. La p rim era es que, por carecer de u n a posición genética suficientem ente clara, el “esquematism o” sigue siendo dem asiado estático y d eja pasar de lado aquello que constituye lo esencial del funcionam iento de los esquemas sensoriomotores e intelectuales: la transform ación de la acción en operaciones m ediante el juego de las coordinaciones reversibles. De donde surge, en segundo lugar, la asimilación u n poco rápida de lo lógico y lo m atem ático a lo físico, m ientras que el p u n to de vista operatorio conduce a la distinción de dos planos diferentes en las acciones que el sujeto ejerce sobre lo real: las coordinaciones como tales, que generan la lógica y la m atem ática y las acciones particulares, diferenciadas según los diversos campos cualitativos del objeto y que constituyen el p u n to de partid a de los conocimientos físicos. A hora bien, la m ejor prueba de que uno no puede escapar a esta distinción es que el mismo Gonseth se ve obligado a reconocer u n a dualidad entre las “formas m atem áticas” y las cualidades físicas (M . R ., págs. 175-176) y, en particular, entre la “analogía” principio de deducción y la causalidad (pág. 306). “La condi ción p a ra que nuestra intervención sobre el m undo n atu ral sea eficaz radica en que las reglas intrínsecas del entendim iento h an de tener como significación externa la de las leyes naturales” (pág. 307) : el reconoci m iento de este dualismo m uestra suficientemente la necesidad de asegurar su explicación a partir ya de los procesos form adores del esquema de

acción. E n total acuerdo con la epistemología de Gonseth, en la m edida en que vincula la form ación de las axiom áticas con las leyes del desarrollo m ental en su totalidad, pensam os que encontram os u n a explicación de este desarrollo, m ás adecuada al objetivo perseguido, en la teoría de los esquemas de acción y el pasaje de la acción a la operación. A hora bien, esta posición del problem a puede conducir a una total inversión de las relaciones o rd in a riam ente establecidas entre la geom etría y lo real: en la m edida en que las coordinaciones elem entales recurren a mecanismos propiam ente heredi tarios (y Gonseth no niega en absoluto su eventu alid ad ), el vínculo entre las operaciones lógico-m atem áticas y el m undo externo puede asegurarse, en prim er lugar, des(de adentro por interm edio de la organización viva que se halla, a p a rtir de sus formas m ás elementales, en interacción con la realidad física, sin que sea necesario asim ilar la experiencia lógica v m ate m ática a la experiencia física del individuo. E sta conexión interior entre el espíritu y el universo que se establece a través de los mecanismos mas fundam entales de la morfogénesis vital, es la única que sin d uda alguna da cuenta de las posibles anticipaciones del conocim iento lógico-m atem ático respecto del conocimiento físico, y estas anticipaciones seguirían siendo inexplicables si los “esquem as” m atem áticos se construyeran sim plem ente a posteriori, en función del o actual y exterior de la acción con los seres materiales. 12.

C

o n c l u s ió n

:

el

e s p a c io

,

el

núm ero

y

la

e x p e r ie n c ia

:

L. B r u n s c h v i c g . Como recordábam os al comienzo de este capítulo, nada parece m ás diferente del senddo com ún que el espacio y los seres logicoaritméticos, puesto que este sentido com ún localiza el espacio entre los objetos y las clases o porque los núm eros parecen expresar única m ente colecciones de objetos artificialm ente construidas. Q ue el espacio se vincule con el objeto y que las operaciones lógico-aritm éticas se apliquen a lós conjuntos de objetos, es un fenómeno que nos confirm a el análisis genético. Sin em bargo, la gran ilusión del sentido com ún radica en creer que uno se instala en el objeto o que se capta el objeto p o r vías más directas que la construcción de las reuniones de objetos. A hora bien, gené ticam ente, la idea general de objeto se elabora exactam ente del mismo m odo que las colecciones de objetos y esta construcción no es ni m ás fácil ni anterior en un caso que en el otro. El lactante no cuenta con la concep ción de la perm anencia de los objetos como tam poco tiene la de la conser vación de las totalidades de elementos perceptualm ente com probadas, y las etapas de estructuración del objeto espacial com plejo son exactam ente las mismas que las de la estructuración de las operaciones lógicas y el núm ero.

in t e r p r e t a c ió n

de

Al nivel perceptual, no hay espacio único, así como tam poco las colec ciones discontinuas, percibidas como pluralidades m ás o menos ricas, cons tituyen clases lógicas o núm eros. Al nivel sensoriomotor, los desplazamientos unidos a las percepciones perm iten ciertas coordinaciones que se organizan en un espacio próxim o, con conservación práctica del objeto pero sin

la

espacio representativo que vaya más allá de los límites de la acción: asimismo, los esquemas sensoriomotores constituyen el equivalente práctico de los conceptos lógicos, con un esbozo de cuantificación (repeticiones ac u m ulativas, etc., cuyos ritmos permiten algunas estimaciones cuantitativas en la acción), pero también sin representación alguna. Al nivel del pensa m iento intuitivo preoperatorio, se constituyen imágenes espaciales estáticas y la imaginación de algunas acciones relativas a las posibles transforma ciones de los objetos, pero sin conservación ni reversibilidad algunas: desde el punto de vista de la lógica y el número, aparecen también intuiciones preconceptuales y prenuméricas, pero sin conservación de los conjuntos ni posible inversión de las configuraciones. Al nivel de las operaciones con cretas, las primeras operaciones transitivas y reversibles se organizan en el dominio del espacio, en form a totalmente isomorfa a las primeras opera ciones lógico-aritméticas. Por último, al nivel de las operaciones formales u n a lógica formal e hipotético-deductiva abarca simultáneamente las trans formaciones espaciales y numéricas. Este estrecho paralelismo genético conduce a una interpretación muy simple: el espacio es el sistema de las transformaciones interiores al objeto, si por objeto se entiende una totalidad única considerada en función de la vecindad de sus elementos; en cambio, la lógica y el número constituyen el ' sistema de las transformaciones que se aplican a las colecciones de objetos (a las relaciones entre objetos), considerados estos objetos como constantes y caracterizados por sus semejanzas o sus diferencias .indepen dientemente de sus vecindades. Resulta así que desde la acción elemental y desde el punto de vista del número, algunas piedritas son unidades “distintas”, es decir independientes entre sí e invariantes, y las operaciones aritméticas las reúnen y ordenan a la vez (o la clase simplemente las reúne y las relaciones asimétricas las serian ); por. el contrario, desde el punto de vista del espacio las mismas piedritas son los elementos de un objeto único, elementos relacionados por relaciones interiores a la figura que forman en su totalidad: vecindad, separación, etc.; o distancia, posición en función de ejes de referencia, etc.: o también perspectiva, etc. Si las piedritas se desplazan, su cantidad sigue siendo la _misma, pero el objeto total que form an o “figura”, y sus transformaciones constituyen" las rela ciones espaciales como tales. A partir de entonces, si el número aparece como el producto de las operaciones lógico-aritméticas, es decir de las operaciones que se refieren a las semejanzas (clases), o .a las diferencias (relaciones asimétricas), o bien a ambas simultáneamente (clase y rela-“ ciones asimétricas fusionadas en sistemas de unidades num éricas), el espacio debe también concebirse genéticamente como el resultado de las opera ciones infralógicas que sé aplican a las transformaciones del objeto. Sin embargo, estos dos sistemas de operaciones, aunque distintos y aunque sé traduzcan finalmente en un- sistema único de proposiciones axiomatizables, son constantemente isomorfos: la partición del continuo y la reunión de los envolvimientos topológicos corresponde al encaje de las clases lógicas; las operaciones de orden (emplazamiento y desplazamiento) corresponden a

las operaciones de seriación lógica' y la medición, síntesis de las dos prece dentes, se construye paralelam ente al núm ero mismo, síntesis de las ag ru p a ciones de clases y relaciones, asimétricas. Ahora bien, presenta un gran interés comprobar que este estrecho parentesco genético concuerda totalmente con el paralelismo de los con ceptos matemáticos. El número entero, por un lado,, y el continuo espacial, por -el. otro, constituyen los dos polos del pensamiento matemático, polos entre los cuales una serie de intercambios crecientes tejen una serie inextri cable de simetrías y reciprocidades. El número proporcionó al espacio el detalle de su métrica, pero el espacio le ha pagado con el número irracional, destinado a construir numéricamente Un continuo que corresponda al continuo espacial. El cálculo infinitesimal se inspiró en las transformaciones espaciales poco después de que la geom etría analítica h u b iera recibido del álgebra el medio de transformar las curvas en ecuaciones. El dominio del número prestó a la topología el uso de la teoría de los conjuntos, y la topohSgía respondió con u n a prom esa de topologización de la teoría de las funciones. En cuanto a los fundamentos de la matemática, hay una escuela —de Kronecker a Brouwer y a Weyl— cuyo ideal se concentra en la aritmetización de la m atem ática; en cambio, otros autores consideran el continuo espacial como fuente de todos los progresos. En resumen, el continuo y el número entero aparecen como dos realidades independientes, pero cuyas relaciones culminan en una íntim a interacción. Por lo tanto, desde el punto de vista de la embriología de los conoci mientos y desde el punto de vista de su estado de culminación provisoria en el período de la historia de las ciencias que hoy vivimos, nos hallamos ante un dato fundamental que se constituye como testimonio de la unidad del pensamiento matemático en su doble conquista del objeto y las colec ciones posibles de objetos, y de la propiedad esencialmente operatoria y asimiladora del espacio y el número. El paralelismo entre estas dos clases de esquemas operatorios es‘ tal que puede facilitar l a discusión final que debemos ahora abordar en cuanto a la situación del espacio en las interac ciones entre el sujeto y los objetos, en otros términos, en las interacciones entre la construcción activa o deductiva y la experiencia.

Respecto de este punto, podemos partir de las conclusiones de L. Brunschvicg presentadas en su célebre análisis acerca de. las “raíces de la verdad geométrica” .71 Hásta aquí nos hemos referido muy poco a la posi ción que ha tomado este filósofo cuya penetración genética e históricocrítica sólo se iguala con su penetración matemática. Sin embargo, fue así porque nos sentíamos demasiado cerca de sus tesis como p a ra examinarlas desde afu era: el papel fundam ental que nuestro maestro- Brunschvicg atribuye, en la génesis del espacio, a las operaciones concretas —como la práctica del dibujo, que genera la concepción de contorno del objeto y las figuras en general, el enfoque que determina la línea recta, las rota ciones y traslaciones, etc.— desempeña, u n papel importante en la investi 71 L. Brunschvicg: Les étapes de la philosophie mathématiqm, cap. xxu.

gación sistemática que hemos intentado llevar a cabo respecto del desarrollo de las representaciones espaciales en el niño, y sus opiniones acerca de este p unto han mostrado ser m uy concordantes con los resultados de la experiencia. “Es claro que no hay otra percepción efectiva del espacio que la de los cuerpos que lo llenan”, sostiene en prim er lu g ar Brunschvicg (pág. 498), de donde- surge el papel decisivo de la acción: “N uestra acción tiende u n a red de objetividad bajo los estados de conciencia” (pág. 499). La acción constituye así u n a “ red de sensaciones” respecto del movimiento, “y esta red, precisam ente porque es el objetivo logrado, en, oposición a los medios que pone en funcionam iento y a los movimientos voluntarios que se h an realizado, es el objeto” (pág. 500). ¿E n qué consisten entonces estas acciones, form adoras del espacio? En prim er lugar, se trata del dibujo que fija “la indeform abilidad del contorno” (pág. 501) : “por más p ara dójico que este enunciado pueda parecer no es a través de la contem plación del objeto que se ha podido plan tear como regla de verdad la mrnutauilidad del contorno, sino a través de la acción ejercida p ara reconstituir arti ficialm ente su aspecto” (pág. 502). Luego, se trata del enfoque que genera el alineam iento rectilíneo (págs. 503-4), Y en p articu lar se tra ta del despla zamiento — si como decía M ontesquieu, antes de que se trazasen los círculos los radios fueran iguales, es sim plem ente porque “la igualdad de los radios, inherentes al movimiento de rotación de la recta generadora, es constitutiva del círculo” (pág. 505). Asimismo las paralelas se generan por la traslación de u n a varilla recta en el eje de su longitud (pág. 5 0 6 ), etc. “Vemos ahora a través de qué gradaciones ei espíritu posibilita la constitución de la experiencia aritm ético-geom étrica que ha convertido a la ciencia de la m e dición espacial en la base de u n a ciencia universal” (pág. 5 07). Sin embargo, ¿en qué consiste esta “experiencia” ? “L a sugestión de la experiencia es necesaria p a ra la constitución del espacio; pero la expe riencia no es suficiente p ara aportarnos de por sí u n espacio constituido” . Ya que “lo que vemos está en el espacio; pero no vemos el espacio. El lugar de toda intuición no es en absoluto objeto de u n a intuición. El espacio encuentra su raíz en la experiencia; y su culm inación en la razón” (pág. 514). El espacio es entonces el “producto de la colaboración entre el espíritu y las cosas” (pág. 520), pero se tra ta de u n a colaboración en la que “no hay que concebir a los colaboradores fuera de la obra de la colaboración” (pág, 521). Sin embargo, estas fórm ulas, a las que no podemos d ejar de adherir en su totalidad, son consideradas finalm ente por L. Brunschvicg en el sentido de una asimilación com pleta de la experiencia geom étrica a la experiencia física. Nos parece que se trata de concentrar la discusión en este punto y preguntarnos si el papel de la acción y la experiencia necesariam ente genera esa consecuencia realista de aquello que se h a deno minado frecuentem ente el idealismo brurischvicgiano. E n el capítulo 1 tuvimos que itir que las estructuras lógicas y num éricas no se abstraían del objeto del mismo modo que las relaciones físicas, sino que eran el resultado de la coordinación de las acciones del

sujeto ejercidas sobre las colecciones de objetos. E n efecto, en todos los niveles de la conducta las acciones efectuadas sobre los objetos suponen una previa coordinación entre los esquemas de asimilación, así como el organism o no podría asim ilar el m edio externo y, en consecuencia, reaccio n a r sobre él si no fu era él mismo un proceso cíclico que im prim iera su form a a las sustancias y energías externas que con él interactúan. Desde los esquemas sensoriomotores a las operaciones reversibles, esta coordinación de las acciones es la que perm ite las clasificaciones, el establecimiento de relaciones y, en consecuencia, las cuantificaciones y enum eraciones resul tantes de la síntesis de estas dos clases de estructuras. Ello no significa en absoluto que la lógica y el núm ero entero están preform ados de antem ano como estructuras a priori en la constitución m ental del sujeto: no existen estructuras a priori, ya que todas las estructuras son el resultado de un a construcción. Sin em bargo, toda estructuración im plica u n funcionam iento anterior, a ella, ya que si no existe un funcionam iento continuo, vinculado en su p unto de partid a con la organización biológica misma, no hay acción alguna que sea posible (esta organización plantea entonces a su vez un problem a epistemológico que no tratarem os aquí y que volveremos a encon tra r el vol. I I I de esta serie. Este funcionam iento se prosigue a través de estructuras sucesivas; cada u n a de estas estructuras extrae sus elementos po r u n a especie de abstracción de las estructuras precedentes y, al mismo tiempo, los reagrupa en u n a form a de equilibrio superior. E sta abstracción, a través de la cual se extraen los seres lógicos y aritméticos, es una abstrac ción a p a rtir de la acción o incluso de las coordinaciones de la acción y hay que distinguirla cuidadosam ente de la abstracción a p a rtir del objeto, ya que no equivale a considerar la a c c ió n 1como u n objeto sino que se lim ita a extraer del objeto (por la simple continuidad del proceso de asim ilación) sus elementos operativos y no las cualidades, sean las que fueren: así, los esquemas sensoriomotores superiores extraen de los esque m as iniciales (reflejos y perceptuales) sus posibilidades de anticipación y reconstitución parciales, y las prolongan y reagrupan en conductas de rodeos y retornos; así, los esquemas intuitivos retienen de los esquemas sensoriomotores sus asimilaciones y acomodaciones im itativas y las pro longan en representaciones im aginadas articuladas en m ayor o m enor grado y así los esquemas operatorios abstraen de los sensoriomotores sus articu laciones y las prolongan en composiciones reversibles, etc. En resumen, la lógica y el núm ero son el resultado de. las coordinaciones de las acciones del sujeto, y no se extraen del objeto, aunque estas coordinaciones sólo aparezcan por las acciones ejercidas sobre los objetos; y la construcción de las estructuras lógicas y num éricas sucesivas es el resultado sim ultáneo de u n a abstracción a p a rtir del funcionam iento anterior de la acción y de las generalizaciones operatorias que hacen que las composiciones que se aplican a los elementos así abstraídos de la acción (reuniones, seriaciones, etc.) sean cada vez más móviles y reversibles. Los conocimientos físicos son el resultado, p o r el contrario, de las acciones diferenciadas y particulares, en oposición a la coordinación general de las acciones: acciones de levantar pesos, em pujar, acelerar o frenar, etc.,

y abstraen de este modo sus elementos de los. objetos sobre los que estas acciones se aplican .(entendido qué estos objetos siempre se conocen única-, m ente a través de su asimilación con acciones p articu lares), y no de las ccordinaciones de estas mismas acciones, com o la lógica y la aritm ética. Pero, como las acciones particulares —^diferenciadas en función de la acomo dación de los objetos variados— y la coordinación general de las acciones — que se acomoda ‘de modo, perm anente a los objetos cualesquiera— siempre, están unidas y son de hecho indisociables, resulta claro que las operaciones lógico-aritm éticas se vinculan m uy estrecham ente con las operaciones físicas,

sin que se confundan entre si. ¿Q u é sucede entonces con las estructuras ,espaciales o geométricas? ¿ Corresponden- —como la lógica y el núm ero — a las coordinaciones de las acciones, o — como los conocimientos físicos—- a sus contenidos particulares? En este punto dos hechos resultan decisivos: por u n á parte, el estrecho

paralelismo genético entre el desarrollo del espacio y el del número, en particular entre las operaciones constitutivas del primero y las operaciones lógico-aritméticas; por otra parte, la continuidad histórica de una geome tría deductiva indefinidamente fecunda en oposición a la constante sumisión de la deducción física al control de la experiencia. Desde el punto de vista genético, la naturaleza de las acciones y luego la de las operaciones formadoras del espacio muestra ya de modo harto claró que provienen, como las operaciones lógico-aritméticas, de las coordi naciones generales de la acción en oposición a las acciones particulares. La única diferencia entre las relaciones topológicas elementales de envolvi miento o de orden y clases lógicas o los números es que, en estos últimos casos, los elementos se relacionan independientemente de sus vecindades y, en consecuencia, de manera discontinua: mientras que, en el primer caso, los elementos se vinculan en un objeto total gracias a sus vecindades, ordenadas en relaciones continuas. Ahora bien, la vecindad y la continuidad sen caracteres generales de la acción y también lo son del encaje fundado en las semejanzas o la seriación de las diferencias y ambas caracterizan a la asimilación más elemental: la acción procede, en efecto, tanto de manera progresiva y de modo continuo como reúne en totalidades o relaciona entre sí los elementos de las situaciones discontinuas sobre las que actúa. Sólo lenta y muy progresivamente estos caracteres de vecindad y no ve cindad, es decir, los aspectos espaciales y lógico-aritméticos de la acción se diferencian entre sí: de hecho, solamente á partir del nivel de las opera ciones concretas reversibles (7.-8 a ñ o s); en cambio, tod^s las intuiciones imaginadas preoperatorias se refieren a configuraciones en parte espaciales, aun cuando se trate de colecciones ^¡relógicas o prenuméricas (vol. I, cap. I, punto 12). Por otra parte, la fuente psicológica de las “homeomorfías” topológicas debe buscarse en la correspondencia cualitativa que permite discernir semejanzas formales independientemente de la constancia de las dimensiones y las formas ; ahora bien, estas correspondencias están en estrecha relación con las asimilaciones form adoras de las clases lógicas. En cuanto a la coordinación de los puntos de vista —fuente de la geometría proyectiva— y la de los movimientos —fuente de la métrica

euclidiana— tam bién son coordinaciones generales, aunque lo sean en m enor grado que las coordinaciones o asimilaciones topológicas iniciales. Así el espacio — como la lógica y el núm ero — es el resultado de las coordi naciones más elementales de la acción y su evolución procede pues por sucesivas reestructuraciones a través de abstracciones a partir de estas mis m as coordinaciones: ello explica la capacidad que tienen, una vez consti tuidas, las operaciones espaciales p ara generar u na deducción indefinida. Desde el punto de vista histórico, la relativa oposición entre la geome tría y la física habla exactamente en el mismo sentido. Mientras que toda

deducción física pura conduce a indeterminaciones que necesitan recurrir a la experiencia, y mientras la generalización simple que se aplica a carac teres abstractos del objeto desemboca tarde o temprano en teorías quimé ricas e incompatibles con los hechos, la deducción geométrica resulta, en cambio, indefinidamente fecunda y asegurada en su verdad intrínseca. Se responderá que ha precedido a la deducción una fase empírica, en la geometría como en cualquier otro capítulo de la física: pero vimos (vol. I, cap. I, puntos 1-2) que experiencia no necesariamente significa abstracción a partir del objeto y .que el sujeto puede experimentar sobre sus propias acciones por medio de objetos cualesquiera, sin term inar en otra cosa que en el descubrimiento de las coordinaciones necesarias de las primeras, en oposición a los caracteres particulares de los segundos. También se. dirá que la geometría siempre concuerda con la experiencia, lo cual parece otorgarle un carácter físico superior al de la misma física. Sin embargo, precisamente las coordinaciones más generales de la acción, son las que culminan en una acomodación permanente al «Sbjeto cualquiera, uná vez que son susceptibles de composiciones reversibles, puesto >qüe la acción se refiere siempre a objetos y que esta acomodación estable se distingue tanto de las acomodaciones particulares como de las coordinaciones entre acciones diferentes abarcadas en sus diversidades. Si el espacio puede compararse con la lógica y el número, .existe,-sin embargo, una diferencia importante entre las operaciones lógico-aritméticas y las operaciones espaciales desde el punto de vista de sus relaciones respec tivas con la experiencia. Pero esta divergencia es precisamente el resultado — e incluso exclusivamente— .de la intervención de las relaciones de ve cindad en las relaciones espaciales, en oposición a las de semejanzas, dife rencias y equivalencias entre unidades distintas que caracterizan a la lógica y el número. Respecto de cierta escala de observación, los objetos físicos son, en tanto físicos, más o menos vecinos entre sí, exactamente como son más o menos semejantes, diferentes o frecuentes, etc. Ahora bien, por más semejantes, diferentes o enumerables que sean,, no constituyen clases, series o conjuntos enumerados sino después de que realmente el sujeto los haya clasificado, seriado o contado, (la expresión “enumerable” ya señala esta propiedad del objeto de prestarse a una acción virtual de enumeración, sin por ello presentar. de por sí un carácter numérico actual). Por el contrario, dos objetos físicos pueden presentar entre sí una relación de vecindad (o distancia, etc.) en tanto son físicos, independientemente de las estructuras espaciales matemáticas que construimos cuando actuamos sobre

ellos. L a razón es que los objetos actúan unos sobre los otros de próximo en próxim o y, por lo tanto, en función de la vecindad, m ientras que las semejanzas y diferencias no se influyen a distancia (contrariam ente a lo que ite la causalidad mágica) p ara constituir clases, etc., independien tem ente del o espacial. P or lo tanto, junto al espacio m atem ático —resultante de las coordinaciones del sujeto— interviene u n espacio físico o espacio de la experiencia aplicada a los objetos diferenciados por sus caracteres propios. En otros térm inos, entre varias form as resultantes de la actividad del sujeto, unas pueden convenir m ejor que otras a ese sistema de objetos específicos, determ inados po r sus propiedades físicas, es decir, por las acciones particulares que a ellos se aplican (en oposición a las coordinaciones generales de la acción) .7‘Sin embargo, del hecho de que exista u n espacio físico distinto del espacio m atem ático y no exista lógica o núm eros físicos, porque la vecindad interviene en el seno de las relaciones causales y porque las semejanzas, diferencias o equivalencias no actú an a distancia, no se deduce en absoluto que el espacio físico corresponda térm ino a térm ino al espacio m atem ático. En efecto, por u n a parte, el espacio .físico es más pobre que el espacio construido por el sujeto. Por o tra p arte y, en p articu lar (esta segunda razón dom ina, sin duda alguna, la prim era),- toda p ro p ied ad del espacio real es solidaria de las otras cualidades físicas. Así, la m edición de u n a distancia física consiste en el desplazam iento de un m etro en la realidad y no en el pensam iento, y este desplazam iento depende entonces de la m asa de los objetos, del campo de gravitación, e tc .: constituye por ello un movi miento real que presupone el tiem po y la velocidad. El espacio físico no es una propiedad de los objetos que pu ed a sin m ás disociarse de su contexto: no es u n continente, separado y homogéneo, sino que es único en su conte nido heterogéneo. No obstante, p o r el hecho de que todas las operaciones que caracterizan la actividad del sujeto determ inan posibles transform a ciones del objeto, las propiedades del espacio físico p u ed en traducirse en espacio m atem ático. Sin embargo, la recíproca no es verdadera y este espacio sigue siendo más rico que aquél, ya que to d a transform ación lógicam ente posible no es físicamente realizable. Sucede así (como lo hemos visto en el p u n to 7) que la idea de dim en sión aparece genéticam ente en función de las acciones de envolvimiento, y cada sistema de envolvimiento puede generar la liberación de u n elemento interior en u n a nueva dimensión, según que este elem ento atraviese u n punto, u n a línea, un plano, etc., p a ra convertirse en exterior. A hora bien, 1?, experiencia física es la que nos enseña que, en el m undo real de las acciones que están a nuestra escala, el espacio sólo tiene tres dim ensiones: en efecto, no se puede sacar un objeto de una caja cerrada, ni transform ar un 'g u a n te izquierdo en un guante derecho, etc. (lo que nos dem uestra hasta qué punto el espacio físico es m ás pobre que el m atem ático ). Sin 72 Por ejemplo, si la reunión de dos m icroobjetes con otros dos llegara a dar 3 ó 5 microobjetos, se corregiría más bien la concepción de objeto que la relación 2 + 2 = 4; en cambio, si la suma de los tres ángulos de un triángulo no diera dos rectos se adaptaría un espacio no euclidiano a esta comprobación física.

em bargo, estas tres dimensiones son u n a p ropied ad física de los objetos sobre los que se ejercen nuestras acciones particulares y no u n a propiedad de la coordinación general de las acciones. Es posible que intervenga adem ás aquí u n factor de herencia puesto que ni siquiera podem os intuir (en' oposición a percibir o concebir) un espacio de cuatro dimensiones. Pero, si se tra ta entonces de u n fenóm eno hereditario “especial”, es decir, de u n a propiedad cromosómica de los linajes hum anos (o de los m am í feros superiores, etc.) en oposición a la herencia general (herencia citoplasm ática) de los seres vivos: nuevam ente se tra ta ría de acciones particulares respecto de las coordinaciones com unes a todos los organismos. Asimismo, si el espacio físico es euclidiano en la escala de nuestras acciones ordina rias, lo es porque, p ara nuestros instrum entos habituales de medición, los ángulos de un triángulo son iguales a dos rectos. Sin em bargo, la medición de los ángulos en otra escala, como las famosas mediciones del ds~ en física de la relatividad, puede culm inar en la determ inación de otras formas espacio-físicas. E n particular, si en vez de vivir a nuestras bajas velocidades debiéram os ac tu a r cotidianam ente sobre un m undo de altas velocidades, las curvaturas del contenido espacio-tem poral al que deberían acomodarse nuestras acciones serían sin d u d a alguna sensibles a nuestros órganos. P esd e el p u n to de vista de las relaciones entre la actividad, del sujeto y lo real y a p a rtir de esta distinción entre el espacio físico y el espacio m atem ático resulta que,, adem ás de las relaciones espaciales descubiertas gracias a las coordinaciones de la acción, m uchos conocimientos geométricos pueden ser sugeridos por la experiencia física, es decir, por u n a abstracción relativa al objeto y a las acciones particulares que sobre él se ejercen, y no solam ente en relación con las coordinaciones generales de las acciones del sujeto. Sin embargo, lo sorprendente radica en que la experiencia actúa por sugestión m ás que por coacción; en otros térm inos, que la acom odación a los datos externos es más cóm oda que en el caso de u n a ley física cualquiera puesto que podem os reconstruir po r nu estra p ro p ia cuenta, lo que esta experiencia nos propone. E n un célebre pasaje, Poincaré escribió: “El único objeto natural del pensam iento m atem ático es el núm ero entero. El m undo externo nos h a im puesto lo continuo, que sin d u d a alguna es el resultado de u n a invención nuestra, pero forzada p o r el m undo externo” (Val. Se., pág. 149). Por o tra p arte, creemos que lo continuo h u nde en p arte sus raíces en la coordinación de. las acciones, ya que si el grupo de, los desplazamientos em ana de la actividad del sujeto — como ite Poincaré— no se lo puede concebir en el plano sensoriornotor sin la inter vención de la continuidad (por o tra parte, la teoría de la G estalt nos ha enseñado el carácter elem ental que presenta el continuo en las “formas” perceptuales y m otrices). Sin em bargo, si bien la fórm ula de Poincaré es dem asiado restrictiva p a ra el continuo, es v álid a en m uchos otros casos: existen m uchas invenciones geom étricas que la experiencia nos h a forzado a realizar, aunque tam bién podríam os haberlas producido a p artir de los esquemas relativos a la coordinación de nuestras acciones.. Simplemente es necesario decir, en estos ca.sos, que los descubrim ientos realizados sobre el espacio físico h an precedido a las invenciones del espacio matem ático,

mientras que en una cantidad no menor de otros casos, se ha producido la marcha inversa. Por otra parte, lo esencial no radica en este punto: se encuentra en la necesaria convergencia entre las dos clases de estructuras. Ahora bien, esta convergencia resulta clara de por sí, puesto que sólo concebimos los objetos físicos a través de las acciones -particulares que sobre ellos se ejercen (el espacio físico siempre es relativo a la escala de estas acciones), y puesto que las coordinaciones generales de la acción, que generan el espacio matemático, estarán siempre de acuerdo con estas acciones particulares y al mismo tiempo las' superarán. Ahora bien, esta dualidad y esta convergencia del espacio físico y el espacio matemático, comparadas con la unicidad del sistema de las opera ciones lógico-aritméticas, son extremadamente reveladoras en cuanto' a las interacciones entre el sujeto y los objetos. Hemos distinguido las operaciones espaciales de las operaciones lógico-arjtméticas: las primeras son constitu tivas del objeto, en cambio las segundas se refieren a las reuniones o rela ciones entre objetos discontinuos. Resulta entonces evidente que, en tanto se refiere al objeto como totalidad cualquiera de una sola componente, el espacio se refiere al objeto físico al mismo tiempo que traduce la coordi nación de las acciones realizadas sobre él, puesto que este objeto físico siempre está dado en función de las acciones particulares que a él se aplican y puesto que estas acciones particulares son indisociales de sus coordi naciones generales. Sucedería lo mismo con las construcciones lógicoaritméticas si las semejanzas, diferencias o equivalencias entre elementos del conjunto de objetos presentasen una significación física independiente mente del espacio (por lo fanto, de las vecindades, las distancias, etc.), pero carecen de ella — al menos dentro de la física moderna (comparada con la ontologia lógico-física de Aristóteles)— porque los objetos físicos de diversos órdenes (hasta el universo físico en su totalidad, considerado como objeto total) provienen precisamente de las operaciones constitutivas del objeto y no de las operaciones independientes del espacio (salvo, ya lo veremos, en los límites mismos de las acciones particulares, es decir, en el terreno de la microfísica). Resulta entonces que las operaciones espaciales, aunque isomorfas totalmente en su génesis y culminación a las operaciones lógico-aritméticas, aseguran en una forma muy estrecha el o entre el sujeto y el objeto, ya que las “operaciones constitutivas del objeto” que generan el espacio provienen de la coordinación de las acciones del sujeto y el objeto físico con el espacio físico mismo que proviene de las acciones particulares del sujeto sobre los objetos. Esta íntima interacción entre el sujeto y el objeto que asegura así las operaciones lógico-aritméticas, el espacio matemático que les es isomorfo y el espacio físico (solidario del objeto físico en cada uno de sus aspectos), explica entonces del modo más simple el desarrollo, a la vez genético e histórico, del espacio en cuanto a las relaciones entre la deducción y la experiencia. Como hemos visto más atrás (final del punto 6), ya no es posible mantener — con Gonseth— un paralelismo entre los tres aspectos —intuitivo, deductivo y experimental— del espacio porque, desde el punto de vista genético e histórico, el espacio intuitivo que todo lo abarca en

prim er lugar, sólo se reabsorbe de a poco, disociándose en dos dominios cuya im portancia respectiva se increm enta a sus expensas: el espacio form a lizado y el espacio experimental. Ahora bien, la situación se aclara desde el momento en que se plantea el problema en términos de relaciones entre

las acciones particulares —fuentes del conocimiento físico (incluido el espacio físico)— y la coordinación general de las acciones —fuentes del conocimiento lógico-matemático (incluido el espacio geométrico) — partiendo desde el punto de vista de la unión entre estas acciones apenas diferenciadas y las coordinaciones más elementales, el espacio en su génesis psicológica comienza por ser a la vez físico y matemático, es decir, por provenir sim ultáneam ente del objeto y el sujeto (que la intuición confunde masivamente en un bloque indiferenciado) : sin embargo, la evolución de los conceptos espaciales — la única decisiva para una epistemología ge nética— muestra, por el contrario, una gradual disociación entre las opera ciones espaciales (por lo tanto, las operaciones constitutivas del objeto en general provenientes de 'las coordinaciones operatorias del sujeto cada vez más depuradas y formalizadas), y el espacio experimental (por lo tanto, el espacio del objeto físico que proviene de las acciones siempre más dife renciadas por acomodación a la variedad de los objetos y a la multiplicidad de sus cualidades físicas, de la cual es solidario el espacio de la experiencia). Desde el punto de vista histórico, sucede exactamente lo mismo: la geome tría de Euclides quiere ser al mismo tiempo una deducción lógica y una física (por otra parte como la lógica de Aristóteles), en cambio, la geometría axiomática de Hilbert y la geometría de los campos de gravitación de Einstein m arcan la disociación y la convergencia parcial que asegura la diferenciación acabada entre las coordinaciones generales o lógico-matemá ticas de la acción y las acciones particulares sobre las que se apoya el conocimiento ¿físico.

EL CONOCIMIENTO- MATEMATICO Y LA REALIDAD Después de hab er exam inado la génesis de las relaciones num éricas y espaciales, conviene investigar qué dirección de pensam iento prosigue el desarrollo del conocim iento m atem ático. L a epistemología genética no se perm ite juzgar de u n a vez p a ra siempre qué le corresponde al espíritu y qué a la realidad; en consecuencia, sólo puede estudiar la relación entre la m atem ática y esta realidad m ediante el estudio de la dirección que prosigue el conocimiento m atem ático en el transcurso de su evolución histórica y refiriéndose sólo a los diversos tipos de realidades sucesivamente itidas po r el pensam iento científico en cada u n a de sus principales etapas. A hora bien, el m ecanism o que se observa cuando se exam ina la historia de la m atem ática es, sin duda, el de la tom a de conciencia gradual de las operaciones: los geóm etras griegos, en efecto, consideraban que contem plaban sin operar, m ientras que el análisis y la geom etría m odernas se presentan como un estudio de las “ transform aciones” . Ello determ ina el problem a del papel efectivo de. las operaciones, que nos conducirá al problem a del razonam iento m atem ático y, finalm ente, al que corresponde a las relaciones entre el sujeto y el objeto en 1a. construcción operatoria de los entes m atem áticos. c o n c i e n c i a h i s t ó r i c a d e l a s o p e r a c i o n e s . A. L a Se h a señalado a m enudo que, más allá de las filosofías individuales que constituyen, aproxim adam ente, su reflejo, el sentido com ún o, se podría decir quizá, la “conciencia colectiva” de los m atem áticos, se m odificó en form a singular de un siglo a otro, en lo rela cionado con la naturaleza o el objeto de su ciencia. A este respecto, nada es m ás instructivo que m ed itar sobre la oposición fundam ental que separa la concepción m atem ática de los griegos de la de los modernos, incluso si la m etafísica platónica, que el genio griego construyó p ara justificar el realismo de las formas, reaparece periódicam ente en el transcurso de la historia. A hora bien, esta oposición p o d ría originarse en una conciencia insuficiente del papel de las operaciones, la qué caracterizaría la concepción m atem ática de los griegos y. desde el siglo xvm , más bien en una to m a de

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conciencia de los mecanismos operatorios del pensamiento. Si esta tesis es exacta, la historia de la m atem ática griega constituiría la más interesante de las experiencias epistemológicas: la experiencia de un pensam iento que se ignora como constructivo, y que pese a ello construye y que luego, al carecer de este conocim iento de su propio poder, deja de construir. Se conocen en grado suficiente en efecto, ios destinos de la ciencia antigua, que después del “m ilagro” de su aparición (si. hubo m ilagro) y después de la plenitud de u n período de apogeo, dejó, misteriosamente, de ser fecunda p a ra abortar en la decadencia del período alejandrino. A hora bien, las circunstancias sociales no bastan • po r sí solas p ara explicar esta curva histórica, salvo si se logra dem ostrar la m anera en que la ausencia de una conexión suficiente con las técnicas (excepto 'las arquitectónicas) pudo estim ular a los geóm etras griegos en sus tendencias contem plativas y antioperativas. El principio de esta esterilidad final, que m uchos autores in tentaron explicar, ¿se debe a un realismo por negativa, si así puede decirse, a reconocer la actividad del sujeto, m ientras que la fecundidad de la ciencia m oderna se explicaría entonces, po r el dinamism o del mecanismo op era torio, consciente ahora de sus posibilidades internas? Por diversos que hayan sido los problem as abordados por los m atem á ticos griegos en los trabajos en los que se pueden observar los gérm enes de casi todos los grandes descubrimientos modernos, el sector de su ciencia que estuvieron de acuerdo en consagrar o codificar, es sin em bargo m ucho más lim itado, en su cam po, que la m atem ática m oderna: sólo fueron aceptadas la aritm ética y la variedad de la geom etría que en la actualidad llam am os euclidiana (por oposición a la geom etría proyectiva y a la topo lo gía), sin h ab lar de la estática de A rquímedes, cuyo m étodo, pese a que elucida en m uchos aspectos el ideal científico de los griegos, no pertenece a la m atem ática pura. Los griegos, sin em bargo, conocían una especie de álgebra (D iofantes de A lejandría utilizaba signos abreviados p a ra expresar las potencias, etc.) así como un a “logística” o arte del cálculo a las que, sin em bárgo, consider aban como simples técnicas utilitarias y no como ciencias (al igual que la geodesia o m edición geom étrica con creta) . Por o tra parte, se aproxim aron al cálculo infinitesim al, con e! “m étodo de exahustión” de A ntifón y de Eudoxio y, sobre todo, con ios sutiles procedim ientos utilizados por Arquím edes en sus investigaciones relacionados con la evaluación de las áreas y de los volúmenes, pero que él intentó subordinar al m étodo geométrico. D e la m ism a form a, se han com parado a m enudo las famosas paradojas de Zenón de Elea con la intervención de las series infinitas en la m atem ática m oderna. D e todas m aneras, la intención de Zenón era negativa y crítica, pese a que intentó dem ostrar la imposibilidad racional del m ovim iento o sim plem ente su irreductibilidacl frente a u n a plu ralid ad discontinua, m ientras q u e el infinito de los modernos juega .un p apel constructivo. M ás aún, la m ism a geom etría de los griegos se lim itó voluntariam ente, en form a por dem ás curiosa, a u n núm ero de coiiceptos y de figuras más reducido que aquel que los geóm etras conocían efectivamente. Sabemos,, po r ejemplo, que las curvas llam adas “m ecánicas”, tales como la cuadratriz

de Hippias, la concoidea de Nicomedes, la cisoide de Diocles, etc., no figuran en las formas consideradas por la geometría de Euclides, como si existiesen formas racionales y otras que serían ajenas a la razón geomé trica (de la misma forma en que Aristóteles ite una distinción entre los movimientos “naturales” y los movimientos “contra natura” o “vio lentos” ) . Las únicas figuras que esta geometría reconoce, en efecto, son las que se pueden construir mediante la regla y el compás, es decir, mediante rectas o círculos (o rotaciones alrededor de un a recta), por osición a las otras formas, que corresponden, precisamente, a procedi mientos “mecánicos” y, por ello, son pasibles de irracionalidad. Por la misma causa, en la geometría, griega no existe una teoría del desplaza miento, pese a la utilización efectiva que Euclides hace de esta operación en las descomposicione^y las recomposiciones de figuras. Pese al axioma llamado de Arquímedes (por alusión a sus métodos de exhaustión), no se puede hablar tampoco de un análisis sistemático de lo continuo, y esta timidez respecto del continuo se acompaña con una prudencia general en lo que se refiere al infinito en todas sus formas, analíticas o geométricas.1 Cualquiera que sea la oposición fundamental que separa el pensamiento formal de los griegos de las operaciones concretas, en acción en la ciencia utilitaria de los egipcios, en ellos el razonamiento deductivo sigue siendo esencialmente estático. De esta manera, la elección misma de las construc ciones mediante la regla y el compás, excluidos los otros procedimientos constructivos posibles p ara engendrar las figuras, señala, en grado sufi ciente, que la figura es concebida sólo como relativa a la operación que la determina, y que ésta, entonces, no posee el poder lógico de ser genera lizada en sí m ism a: sólo la figura constituye la realidad m atemática objetiva, mientras que la construcción es inherente al sujeto y, en consecuencia, no tiene valor de conocimiento científico. De la misma manera, cuando los pitagóricos descubrieron los números irracionales por generalización de operaciones de raíz cuadrada (en el caso de la diagonal \ / 2 de un cuadrado que tiene una unidad de lado) no llegaron a- la conclusión de la legiti midad de este concepto en tanto generalización operatoria del número, sino que en un principio la dejaron de lado, como un escándalo intelectual y una -especie de herejía: se requirió la reflexión platónica sobre lo con mensurable y lo inconmensurable para que éste pudiese ser aceptado en la geometría. Pero, incluso sin generalizar el número hasta hacerlo corres ponder a un continuo espacial (idea reservada a la ciencia operatoria de los modernos después de la aritmética universal de Newton), los griegos, a partir de la reflexión sobre los inconmensurables, hubiesen podido realizar un estudio cuantitativo de las figuras geométricas. Por el contrario, y tal como lo demostraron L. Brunschvicg y P. Boutroux, los griegos intentaron siempre subordinar el razonamiento a la cualidad, hacer “un estudio cuali 1 L. Brunschvicg señala con justeza (Étapes, pág. 155) que los pasajes curiosos observados por Moritz Cantor en Aristóteles, en relación con lo continuo y lo infinito tienen una significación sólo metafísica y no han dado lugar a ninguna aplicación de orden puramente científico o técnico.

tativo de la cantidad” 3 evitar no sólo el cálculo de las magnitudes concretas, sino también el de las a b s t r a c t a s d e este modo, reemplazaron, por ejemplo, la medición de los ángulos mediante una construcción que conser vase la forma cualitativa de la figura.4 En resumen y tal como lo demostraron todos los especialistas de la historia de las ciencias, el ideal de la matemática griega es esencialmente contemplativo, es decir, realista en el sentido de la primacía del objeto y de la subestimación o incluso la ignorancia casi intencional de la actividad del sujeto. Según Pitágoras, el número está en las cosas, es decir que, hasta el descubrimiento de los inconmensurables, el número entero era considerado como el principio de la realidad espacial (considerada como la más exterior a nosotros). Después de lo cual, subsiste en sí en el mundo de las Ideas o de las Formas, tal como las figuras cuya belleza y- armonía intrínsecas constituyen el objeto del conocimiento racional. El “teorema” es una visión racional, desligada del “problema” y de las construcciones que permiten su demostración. En resumen, el razonamiento estático y cualitativo del matemático griego, en todos sus aspectos, está suspendido de la realidad, independiente de nosotros, propia del objeto. Ahora bien, como se puede observar, la causa de la debilidad y después de la decadencia final de la matemática griega reside en este ideal de perfección teórica: la esterilidad en la que concluyó, después de tantos siglos de brillo, se originó de esta forma en causas internas y no externas, es decir, en los límites que se había impuesto. ¿ Debemos considerar este hecho capital tal como lo hace A. Reym ond,5 como expresión de una lógica más exigente que la nuestra, que renuncia a los conceptos de movi miento y de infinito, y al análisis inagotable del continuo por considerarlos, en función de las aporías de Zenón de Elea, pasibles de contradicción? ¿ Pero por qué el eleatismo pudo determ inar un efecto de inhibición seme jante, mientras -que, en nuestra época, al igual que en los comienzos del análisis infinitesimal, las “crisis” de la matemática afectan sólo la discusión de los fundamentos, sin esterilizar nunca la técnica? Un hecho como éste ríos induciría, por el contrario, a hablar de una lógica más limitada que la de los modernos, por ser más estática y menos apta para asim ilar los datos de lo real, por ser menos conscientemente operatoria. El problema psicológico y genético que plantea la estructura de la m atemática griega, entonces, es el de explicar esta lógica con referencia, por un lado, a las operaciones concretas del cálculo “utilitario” que las precedió y, por el otro, a la lógica de los siglos xvi y xvn. Ahora bien, es probable que las operaciones formales hayan sido las mismas para los griegos que para los modernos y muy diferentes, en ambos casos, de las operaciones concretas del nivel precedente (mediciones y cálculo empí ricos), así como de las operaciones concretas en juego en la construcción 2 L. Brunschvicg: Les ¿tapes de la philosophie mathématique, pág. 97. 3 P. Boutroux: L ’idéal identifique des mathématiciens, pág. 70. * Ibid., págs. 75-76. 8 A. Reymond: Histoire des sciences exactes et naturelles dans l’antiquiti grecoromaine. París, Blanchard.

misma de las figuras. P ara decirlo de o tra m anera, desde el p u n to de vista de la estructura formal, es evidente que la lógica de los m atem áticos griegos es la de las proposiciones e implicaciones pu ram en te deductivas,'5 al igual que la de los geóm etras del siglo xvxi (e independientem ente del hecho de que el contenido de las premisas o de los axiomas sigue siendo intuitivo, por oposición a la axiom atización co n tem porán ea), Pero todo sucede como si, en su descubrim iento del razonam iento form al, los antiguos no hubiesen tom ado conciencia en absoluto de su carácter constructivo u operatorio, p ara decirlo de otra m anera, como si no hubiesen en absoluto establecido la m ism a línea de dem arcación entre el objeto y la actividad del sujeto que la establecida por los fundadores de la geom etría analítica o del cálculo infinitesimal, al carecer de una reflexión sobre esta actividad como tal. Su pensam iento form al no h ab ría alcanzado en absoluto el desarrollo ilim itado que se hubiese podido esperar, a causa de este defecto de tom a de conciencia y, en consecuencia, debido a los límites impuestos por el realismo originado en ello. P ara to d a la epistemología tienen g ran im portancia los problem as de la tom a de conciencia del mecanismo dé la construcción intelectual y el problem a psicológico de la delim itación establecida p o r el pensam iento espontáneo en tre la actividad del sujeto y su objeto. Si el realismo está tanto más arraigado en el sentido com ún que el idealismo, ello se debe, sin duda, a m ecanismos psíquicos elementales cuya dilucidación debemos intentar. A este respecto, la experiencia histórica de los griegos constituye u n hecho crucial que se debe analizar, utilizando p ara ello el m ayor núm ero de referencias posibles. A hora bien, el estudio del desarrollo m en tal dem uestra, con to d a la claridad necesaria, no sólo que la delim itación com únm ente ad m itid a entre el sujeto y el objeto es esencialm ente variable de u n nivel al otro, sino tam bién que ella depende de un fenóm eno constante o constantem ente renovado", la dificultad p ara tom ar conciencia de los mecanismos internos de la actividad intelectual, en particular cuando ésta se presenta bajo formas adquiridas recientem ente. No es necesario recordar que, a nivel perceptual y sensoriomotor, la construcción del objeto práctico, tan lenta y trabajosa, supone u n a fase prelim inar en el transcurso de la que no existe ninguna delim itación entre el sujeto y los objetos; po r lo tanto, ningún objeto perm anente, y, como consecuencia de ello, ningún sujeto consciente de sí mismo en tan to que sujeto: el universo, entonces, es “adualístíco” , como lo señaló con justeza J. M. Baldwin, es decir que todo lo que se siente y percibe es puesto en u n solo y mismo plano, sin distinción entre un mundo, exterior y u n m undo 6 Se debe señalar, sin embargo, cuán a m enudo, en los diálogos de Platón, se tiene la impresión de que los interlocutores tienen un conocimiento, por así decirlo, fresco y reciente del razonam iento form al; ello se observa, por ejemplo, a p a rtir del . hecho de que Sócrates se esmera tanto en explicarles que un herm ano es siempre un herm ano de alguien, o que la inteligencia no ve ninguna contradicción en el hecho de que el núm ero 6 sea a la vez mayor que 4 y m enor que 8.

interior. Este universo indiferenciado inicial comienza a disociarse en una actividad propia y sus objetivos exteriores recién con la construcción de los objetos, por relativa que sea la conciencia de esta actividad propia antes de la aparición del pensamiento. Con los aspectos iniciales del pensam iento, bajo su form a intuitiva y preoperatoria, la diferenciación de los significantes colectivos (signos ver bales) o individuales (imágenes) y de las significaciones elaboradas gracias a ellos, señala naturalm ente un progreso considerable en el sentido tanto de la interiorización del sujeto como de la exteriorización del objeto. Este último es separado entonces en mayor m edida del yo, ya 'que sigue siendo un objeto de pensam iento aun en ausencia de toda acción próxim a. En cuanto al pensam iento, está m ejor interiorizado que la inteligencia sensoriomotriz, ya que se h a convertido en independiente de la acción inm ediata y se aleja, como consecuencia de ello, de la superficie de fricción entre esta acción y las cosas. Pero este doble progreso es pagado de inm ediato por un retorno del realismo, si definimos el realismo como u n a confusión del sujeto y del objeto; este retorno, por o tra parte, se produce sobre el terreno recién conquistado por el pensam iento, es decir, el de los signos y de las significaciones. D e esta m anera, los niños y los prim itivos se im aginan que los núm eros están en las cosas y presentan u n a existencia exterior independiente del sujeto que habla (lo que determ ina los tabúes ligados a algunos núm eros sagrados, etc.) ; los sueños son imágenes dadas m aterial mente, a los que se puede observar de la m ism a form a en que se “ven” los.objetos; el propio pensam iento consiste en aliento y en aire," etc. En resumen, el sujeto y el objeto son separados en form a diferente de lo que lo hace el ad u lto civilizado. A nivel de las operaciones concretas, la adquisición de sistemas opera torios relacionados con las clases, las relaciones y los núm eros señala, al mismo tiem po, u n a nueva etap a de la interiorización del pensam iento, puesto que el sujeto descubre su poder de clasificar, de conectar y de contar; tam bién descubre un nuevo progreso en la exteriorización, puesto que las realidades así coordinadas son m ás estables y objetivas. Pero ello determ ina u n a nueva form a de realismo, al no producirse u n a disociación suficiente entre el sujeto y los objetos: a las clasificaciones o seriaciones se las considera im puestas por el objeto de u n a vez p ara siempre, sin un m argen suficiente de libertad o de elección, y los núm eros son conectados a las cosas com o si al contar el sujeto se lim itase a leer cifras ya constituidas, de la m ism a form a en que com prueba la existencia de propiedades inhe rentes a lo real. Finalm ente, en el m om ento de la aparición de las operaciones formales, no hay n inguna razón p a ra que no ocurra lo mismo. E n efecto, conectar entre sí los juicios o las proposiciones hipotéticas m ediante operaciones que se traduzcan bajo la form a de implicaciones, de alternativas, de incom pa tibilidades, etc., no equivale a tom ar conciencia de la relatividad de estas

puf,

7 Véase nuestro estudio sobre L a représentation du m o n d e ch e z l'en fa n t. París, nueva ed. 1948, caps. i-m.

conexiones en relación con el sistem a-adoptado de los conceptos prim eros y con los axiomas elegidos, es decir, en relación con las construcciones originadas en la actividad formalizadora del pensam iento. Los diversos

grados de axiomatización señalados en el capítulo 2 (punto 9 ), al igual que la oposición entre la axiomática insuficiente, por demasiado intuitiva, de los griegos y la. formalización cada vez más desarrollada de los contem poráneos dependen del grado de esta toma de conciencia, como proceso reflexivo. La proyección del número entero en las cosas, de los pitagóricos, puede ser una herencia del nivel de las operaciones concretas. Sin em bargo, si nos referimos a las transformaciones continuas de los diversos modos de realismo en el transcurso de los niveles precedentes, pese a ser formal, el realismo general del pensamiento de los matemáticos griegos ulteriores com porta la m ás natural de las explicaciones: al ser el realismo la expresión de una indiferenciación entre el sujeto y el objeto y al efectuarse la diferen ciación entre ambos sólo en forma progresiva, cuando alcanza un nuevo grado de elaboración intelectual, el sujeto pensante no considera nunca, en un primer m om ento, que actúa mediante su pensamiento; por el con trario, siempre, antes de aprehender reflexivamente los mecanismos co mienza por tomar conciencia de los resultados de este, pensamiento. Toda la filosofía del conocimiento de los griegos señala esta primacía del objeto, por oposición al cogito que inaugura la reflexión epistemológica m oderna: desde el supuesto “materialismo” de los presocráticos a la reminiscencia platónica de _las' verdades supra sensibles, desde la lógica ontológica de Aristóteles a la intuición platónica, el pensam iento griego ha considerado siempre que aprehendía o contemplaba realidades ya constituidas, sin descubrir que operaba sobre ellas. Sólo los escépticos y los sofistas atri buyeron al sujeto una actividad efectiva en el proceso cognitivo, aunque limitándose a atribuir a las construcciones del pensamiento la relatividad deformante o el error, y no la coherencia necesaria o la objetividad. Se comprende, entonces, la verdadera causa psicológica del carácter estático del razonamiento matemático griego, incluso en sus propios crea dores, cuyo dinamismo intelectual contrasta en forma tan sorprendente con la inmovilidad de la visión de las cosas a la que llegaban. La “lógica” o el álgebra no forman parte, según ellos, de la ciencia propiamente dicha, por ser inherentes a las actividades mentales del sujeto, mientras que el conocimiento aritmético y geométrico se relaciona con objetos ideales desligados del proceso constructivo del pensamiento. La construcción geométrica .se reduce a la de los círculos y de las rectas, ya que a estos objetos se los consideraba independientes de esta construcción, de la misma forma en que las grandes obras del arquitecto entran en el reino de la belleza eterna una vez liberadas de la regla y del compás que permitieron la elaboración del plano. Las curvas mecánicas, por el contrario, no son aceptadas porque siguen dependiendo de esta elaboración activa. Las series infinitas de Zenón no adquieren una significación positiva, porque el dinamismo operatorio que revelan no garantiza su objetividad, al no producirse una toma de conciencia suficiente de su generalidad, y el continuo aparece como una propiedad del objeto ajena a este dinamismo.

Lo inconmensurable es considerado inicialmente como ilegítimo por de pender de la operación que lo ha engendrado, después de lo cual se con vierte en legítim o cuando se lo separa de ella. Por ser inherente a la acción del sujeto, el movimiento no pertenece al m undo de las relaciones matemáticas; las relaciones proyectivas son tam bién ajenas a los entes geométricos, por depender de los puntos de vista que se tiene sobre el objeto y no del objeto como tal. En resumen, en la medida en que se perciben algunos aspectos operatorios de ia construcción intelectual, todo lo que se -experimenta como operatorio se lo disocia del objeto y se lo desvaloriza; por otra parte, en la medida en que esta tom a de conciencia es incompleta, el resultado de las operaciones es disociado del sujeto y proyectado en un objeto al que se considera como subsistente en sí mismo. Este dualismo inherente a una toma de conciencia insuficiente del carácter Operatorio propio del pensamiento formal explica, entonces, tanto el realismo estático de la matemática griega en su apogeo como las causas de su declinación final. 2.

c o n c i e n c i a h i s t ó r i c a d e l a s o p e r a c i o n e s . B. La En su bello libro sobre el “Ideal científico de los matemáticos”, P. Boutroux distingue, después, del “período contem plativo”, característico de los piatemáticos griegos, dos grandes períodos en la historia de la matemática m oderna: el primero se caracterizaría p o r el 'triunfo de las síntesis operatorias, m ientras que el segundo señalaría u n a especie de retom o al objeto, bajo la forma de lo que el autor, en forma muy sugestiva, designa como una “objetividad intrínseca” . Coincidi mos con P. Boutroux en lo que concierne al “período sintetista” , caracte rizado por la constitución del álgebra como ciencia teórica, por la de la geometría analítica y por la del cálculo infinitesimal: según este autor, en efecto, el id e a l. de verdad matemática característico de esta época consistiría en una construcción operatoria indefinida y autónoma, lo que nos permitirá hablar de una toma de conciencia histórica de las operaciones, por oposición a las lagunas de la toma de conciencia que caracterizaban la actitud contemplativa de los griegos. Por el contfario, la manera en que el eminente historiador del pensam iento matemático concibe el último de los tres períodos así diferenciados merece, a nuestro parecer, algunas reservas. Este período, diferenciado ya en el transcurso del siglo xix y que domina aún con vigor nuestra época, se caracteriza por el sentido de la complicación creciente de los caminos posibles y por la necesidad de una elección y de una exploración propiam ente dicha. El problema, sin embargo, consiste eri saber-si esta consistencia o incluso esta resistencia crecientes de la realidad m atem ática a ia.. síntesis operatoria simple su pone la intervención de una especie de dominio transoperatorio, si se nos permite la expresión, o si la complejidad creciente de los entes descubiertos por el matemático traduce sólo la indefinida variedad de las operacio nes posibles. Ahora bien, el problema no se plantea sólo en términos teóricos: presenta un aspecto histórico-crítico y, por ello, genético, cuya existencia aparece en forma evidente en la manera en que dicho “período analítico”, m a te m á tic a

La

to m a

de

m od ern a.

como lo llam a P. Boutroux, se articuia con el “período sintetista” . ¿Debemos considerar, como este autor, que el surgimiento de la teoría de los grupos así como el m ovim iento logístico o “algébrico lógico” son efectos directos del ideal “sintetista” o, por el contrario, que son expresiones reve ladoras de la “objetividad intrínseca” característica del tercer período? Debemos exam inar este problem a; en efecto, según que la filiación de las ideas se determ ine en u n a u otra forma, esta objetividad intrínseca puede aparecer como un retorno al idealismo o si no como el últim o térm ino del vasto desarrollo histórico que conduce de la inconsciencia relativa de las operaciones a su descubrim iento y finalm ente a su coordinación en totali dades resistentes, im poniéndose al espíritu con la misma fuerza de objeti vidad que u n a realidad com pletam ente organizada y constituida. El álgebra, heredada de O riente y que los griegos excluían del cam po de la ciencia, fue, por así decirlo, reincorporada en ella a p a rtir del siglo xvx, cuando Descartes le asigna, po r fin, la situación teórica que corresponde. A hora bien, no cabe ninguna d u d a de que no se puede consi derar que la técnica algebraica constituye u n a disciplina m atem ática — por oposición a un conjunto de simples procedim ientos d e cálculo— salvo si atribuim os a las operaciones como tales u n valor de conocimiento p ro p ia m ente dicho. E n la m atem ática de los antiguos, el núm ero es un a realidad que existe en sí misma, independientem ente de las operaciones que perm iten su formación, y a las operaciones de adición, de duplicación y de división por la m itad se las considera como la expresión de las relaciones que eternam ente existen entre ellos. Estas relaciones perm iten que el m a te m ático las obtenga y corresponden así a u n procedimiento subjetivo de construcción, análogo a los procedim ientos que. intervienen en la de las figuras geométricas. Ni en uno ni en otro caso, sin em bargo, se considera que la operación es constructiva, en el pleno sentido del térm ino: es construcción sin creación, en tanto actividad del sujeto, y creación sin cons trucción, en tanto relación entre los objetos. El álgebra, p o r el con trario, reem plaza el núm ero m ediante una can tid ad abstracta, que corres ponde a números cualesquiera; el acento se pone en las transform aciones de estas cantidades, es decir, en las cantidades como tales. L a utiliza ción de los métodos algebraicos, entonces, supone efectivamente, la tom a de conciencia de las operaciones; ya no se las concibe como relaciones entre objetos, aunque independientes del pensam iento, o como actividad del pensam iento, pero que sim plem ente alcanza y no transform a su objeto: la operación algebraica constituye ambas cosas a la vez, ya que es u n a relación objetiva, pero entre objetos relativos a su propia construcción. Conocemos el modo en que la filosofía reflexiva de Descartes consagra esta tom a de conciencia de la actividad del sujeto. Pero esto no es todo. El descubrim iento de la geom etría analítica extiende este mecanismo operatorio al espacio v revela el paralelismo absoluto de la cantidad algebraica y de la longitud rectilínea. E íta idea había sido entrevista por ios griegos, aunque no la explotaron en forma sistemática faltos, precisam ente, de una justa evaluación de las operaciones

como tales: Descartes, po r el contrario, considera que el álgebra precede a la geom etría analítica y que la geom etría analítica es una aplicación del álgebra a la geom etría. L a construcción geom étrica, gracias a l sistema de las coordenadas cartesianas, se hace operatoria lo que elimina, de este m odo, el conjunto de las restricciones que la ciencia griega im ponía a la construcción de las figuras y a la delim itación de los conceptos utilizados en m atem ática. El m ovim iento, en particular, definido como el hecho de “ que los cuerpos pasan de u n lugar a otro y ocupan sucesivamente todos los espacios que están entre ellos” s se convierte no sólo en u n concepto geom étrico esencial, sino tam bién en uno de los dos conceptos fu ndam en tales de esta m atem ática universal, a la que Descartes sueña con reducir la ciencia en su totalidad. Pese a que Descartes, al igual que los griegos, ite el carácter intuitivo de las verdades m atem áticas, esta intuición ya no es un a contem plación: se trata, po r el contrario, de desarticular las totalidades que proporcionan la intuición reduciéndolas a elementos simples que el álgebra se encarga de recom poner operacionalm ente. “A p a rtir de ese momento, dice P. Boutroux, la ciencia, en lugar de ser, tal como 'lo consideraban los antiguos, una contem plación de objetos ideales, se presentará como u n a construcción del espíritu” (pág. 109). E n lo que se refiere a la geom etría de los indivisibles de Cavalieri, defendida p o r Pascal, y al cálculo infinitesim al de Leibniz y de Nevvton, P. Boutroux tiene sin du d a razón, en cierto sentido, al in te rp re tar su constitución como u n álgebra de lo infinito que prolonga la de lo finito; lo mismo hacen, por o tra parte, el propio N ev to n , E u ler y Lagrange. Por ello interesa el texto de L agrange: “Las funciones representan las diversas operaciones que se deben realizar sobre las cantidades conocidas para obte ner los valores de aquellas que se buscan, y, en realidad, son sólo el últim o resultado de este cálculo” (citado por P. Boutroux, pág. 129). H ay que agregar, sin em bargo, que, al repetir u n a infinidad de veces las com bina ciones del cálculo algebraico, esta prolongación del álgebra en teoría de las series infinitas y en análisis infinitesim al ha apo rtad o una significación renovada a la tom a de conciencia de las operaciones: la del dinamismo intelectual que alcanza el infinito y la co n tin u id a d ; “la realidad últim a, en Leibniz, es la razón concebida como el progreso ilim itado de u n desarrollo ordenado; con esta concepción, el intelectualism o term ina p o r tom ar con ciencia de sí mismo” (L. Brunschvicg, Etapes, pág. 209), A hora bien, si de este m odo la inversión de las perspectivas es total entre u n a m atem ática realista y estática, que culm ina en la contem plación por carencia de tom a de conciencia, y una m atem ática operatoria cuyo dinamism o se continúa incluso en el sueño de una com binatoria universal en la que Leibniz esperaba generalizar los descubrim ientos de su genio. ¿Cóm o explicar, entonces, que la evolución ulterior de la m atem ática no haya seguido esta dirección simple m arcada por el desarrollo de las opera8 Edición Adam-Tannery, xi, pág. 39.

ciones finitas en infinitas formuladas en el siglo xvn? Este es el intere sante problema que plantea P. Boutroujc y cuya solución quisiéramos discutir brevemente. Al ideal que' llama “sintetista”, según el que la matemática sería así la expresión de u n a construcción operatoria de naturaleza “algebraicológica”, P. Boutroux vincula, sucesivamente, el desarrollo de los números complejos, como resultante de la combinación formal de las operaciones algebraicas, el descubrimiento de los grupos de sustitución, el de las geome trías no euclidianas y, por último, el movimiento logístico. Pero no consi- , dera que la culminación histórica de estas diversas corrientes constituye un desarrollo, sino, más bien, una declinación: “Para proporcionar a las teorías matemáticas una estructura sólida, hemos decidido proporcionarle la forma de sistemas lógicos; sin embargo, al comprobar que estos sistemas son artificiales y, por otra parte, que pueden ser diversificados hasta el infinito, comprendemos que no constituyen ni toda la matemática ni lo principal de esta ciencia. Detrás de la forma lógica hay otra cosa. El pensamiento matemático no se limita a deducir y a construir” (pág. 170). Lo que caracterizaría al tercer gran período de la historia de la mate mática sería, según P. Boúti'oux, el descubrimiento de esta otra cosa; este período se caracterizaría por un “ideal” cuyos signos anunciadores pueden percibirse desde los comienzos del siglo xix y cuyas manif esta ci ones típicas son actuales. Ahora bien, la calidad “transoperatoria”, si así se puede decir, que P. Boutroux parece acordarle a este tercer ideal nos parece precisamente, y por el contrario, la manifestación más decisiva de la realidad de las operaciones. El desarrollo de la teoría de las funciones, nos dice P. Boutroux, ha alcanzado una complejidad que desafía al análisis algebraico (p. ej., cuando interviene una infinidad de series convergentes) y que sólo permite la construcción “si así puede decirse, en potencia” (pág. 1 7 5 ) . Comparada con la de las épocas anteriores, la matemática de nuestro tiempo ha perdido su bella simplicidad para comprometerse en lo imprevisto de los rodeos y de los cambios de fronteras. Abel ya demostró la imposibilidad de expresar las raíces de la ecuación del 5° grado en función algebraica de los coeficientes, en lo que se originó la teoría de las ecuaciones formulada por ■Galois y el propio Abel, que “sé dirigía en una nueva dirección y asumía una importancia mayor que nunca”- (pág. 186). De la misma forma, en el campo de las ecuaciones diferenciales los métodos se multiplican y se diversifican en la forma menos previsible: “En un sector de la matemática muy alejado de las ecuaciones diferenciales se buscará un nuevo instru mento de cálculo: la función autom orfa, fuchsiana o kleiniana", cuya exis tencia fue demostrada por Poincaré en 1881, etc., etc. (págs. 188-189). En esto se originaba la idea que tenía Galois sobre el trabajo de los analistas: “no deducen: combinan, comparan; Cuando llegan a la verdad, lo hacen por algo que los sorprendió por casualidad” (pág. 191). La verdad, enton ces, es que el analista moderno tiene más dificultades para escoger que para construir (pág. 192). L a realidad matemática resiste a sus esfuerzos

y según P. Boutroux sólo puede ser considerada “como el resultado puro y simple de sus construcciones” (pág. 193). Surge así la conclusión: para explicar “esta resistencia opuesta por la materia m atemática a la voluntad del sabio, nos vemos obligados a suponer la existencia de hechos m atemáticos independientes de la construcción científica, nos vemos forzados a atribuir una objetividad verdadera a los conceptos matemáticos: objetividad que llamaremos intrínseca para indicar que no se confunde con la objetividad relativa al conocimiento experi m ental” (pág. 203). Las conclusiones de este análisis notable convergen, sin duda, con las convicciones de la mayor parte de los matemáticos cuando éstos no se dejan llevar por la tentación de reducir su ciencia a un simple lenguaje o incluso a una “sintaxis” ; sin embargo, y a nuestro parecer, plantean un problema epistemológico esencial: la “resistencia que encuentra la volun tad del sabio” en el manejo y la elección de sus operaciones, ¿ se presenta más allá de estas operaciones, tal como parece suponerlo P. Boutroux, o en el propio seno del campo operatorio? Hemos hablado de una tom a de conciencia de las operaciones p ara caracterizar la constitución del álgebra, de la geometría analítica y del análisis en sus formas iniciales. Pero esta toma de conciencia se efectúa por etapas, procediendo de la superficie hacia el centro: lo que se percibe, en primer lugar, es el resultado de la actividad del espíritu, independientemente de esta última, de la que está entonces separado (cf. la contemplación helénica); luego se perciben las manifestaciones más simples y directas de esta actividad, en sus aspectos móviles y libres: por ejemplo, las operaciones elementales constitutivas del álgebra y de las series infinitas que la continúan. Si se considera que estas operaciones están sometidas a la “voluntad” propia,, ello se debe a que permanecen aún próximas al límite del campo operatorio, en lugar de penetrar en su interior: esto constituye una prueba suficiente de que no se consideró desde un prim er momento que constituían conjuntos cérrados y articulados bajo la form a de “grupos” . Pero es'norm al que una tercera etapa suceda a esta segunda: nos referimos a la de la tom a de conciencia de los sistemas de conjunto que constituyen las operaciones, es decir, conexiones necesarias entre las transformaciones operatorias por oposición al manejo de algunas operaciones aisladas que, entonces, están al parecer sometidas a la simple “voluntad del sabio” . Si examinamos con atención los criterios invocados por P. Boutroux, esta tercera fase de la toma de conciencia histórica de las operaciones es la-que caracteriza, a nuestro parecer, el tercer período que él señala. Para caracterizar los comienzos de su tercer período, en efecto, P. Boutroux invoca la revolución operada por Galois en la solución de las ecuaciones que van más allá del 49 grado: pero esta solución, precisamente, se basa en la teoría de los grupos; lo mismo ocurre con la función automoría, citada por el autor. Ahora bien, todos los especialistas de este difícil campo coinciden en afirm ar que, en la teoría de los grupos, el espíritu ya no construye “según su voluntad”, sino que explora, de acuerdo con la

descripción de Galois, y se encuentra en presencia de u n a “objetividad intrínseca”, según la feliz fórm ula de P. Boutroux. P ara com probarlo, basta con releer las bellas páginas que G. Juvet consagra a la arm onia interior de los grupos, concepto que, considera, actúa como infraestructura del conjunto de los entes m atem áticos: “L a roca que el espíritu halló p ara fundar sus concepciones es aú n el grupo que entonces, y al parecer, constituye el arquetipo de los entes m atem áticos” .9 Pero, ya que se m enciona como prim er ejem plo de la aparición de este tercer período el m étodo de resolución de las ecuaciones superiores al 4" grado, cabe preguntarse por qué se sitúa la construcción de la teoría de los grupos en el período “sintetista”, es decir, el segundo y no precisa m ente el tercero. E n este punto creemos adivinar en P. Boutroux u n a cierta actitud realista: al no poder negar la naturaleza operatoria de los grupos de sustitución, sitúa su descubrim iento en su segundo período, y luego separa artificialm ente esta adquisición de la de la resolución de la ecuación del 59 grado, es decir, de u n “hecho m atem ático” cuya objetividad intrínseca pertenece al tercer período. T odo parece indicar, p o r el contrario, que justam ente el descubrimiento de la existencia de los grupos de transfor maciones es el que in au g u ra el reino de la “objetividad intrínseca” . Lo mismo ocurre en relación con la construcción de las geom etrías no euclidianas, cuya objetividad intrínseca tam bién se basa en grupos bien definidos. E n lo que se refiere a las axiomáticas, investigaciones técnicas especialmente profundas en la dirección de esta m ism a objetividad, G. Juvet, en un notable artículo postumo, suponía tam bién que su no contradicción está condicionada por su subordinación a “grupos” : “no existe ninguna teoría deductiva que no sea la representación de un cierto grupo” .10 Ni siquiera su puede replicar que incluso en relación con la logística se creyó en su objetividad intrínseca (cf. algunas escuelas, p. ej. la p o la ca ). A hora bien, si las form as.m ás simples y más p u ram en te cualitativas (en el sentido de intensivo) de las operaciones logísticas constituyen ya, como hemos in ten tado dem ostrarlo (cap. 1, puntos 3 y 6 ), sistemas de conjunto bien defi nidos, caracterizados p o r su composición reversible, se observa así, incluso en el terreno de las operaciones lógicas, lo que constituye a nuestro parecer el mecanismo común de las construcciones del tercer período: la coordina ción operatoria bajo la form a de sistema de conjunto cuya coherencia resiste a la “voluntad del sabio” . E n particular, hemos observado en el propio seno de la lógica de las proposiciones el conocido “grupo” de las “cuatro transform aciones” .11 A hora bien, el hecho de que después de haber considerado que podía construir libremente el conjunto de la m atem ática m ediante algunas opera ciones m anejadas a voluntad, el espíritu haya descubierto la existencia de totalidades operatorias que obedecen a sus propias leyes y que se carac terizan por u n a cierta objetividad intrínseca, es un hecho de decisiva imporn G. Juvet: L a stru ctu re des n ouvelles théories physiques, 1933. pág. 60. 10 A ctes d u Congrés In te r n . de P hil. S cien t. París, 1936, vi, pág. 31. 11 Véase nuestro T ra ite de logique, § 31. theor. vi.

tancia p ara la epistemología. P. Boutroux 110 aclara en qué consiste esta objetividad en relación con la actividad del espíritu. En la lógica del concepto de operación se encuentra implícito el hecho de conducir a esta objetividad; en efecto, las operaciones son necesariam ente solidarias unas de la otras, en totalidades de las que el espíritu puede tom ar conciencia en form a trabajosa y no directa, m ediante tanteos sucesivos y proce diendo desde el exterior -hacia el interior, es decir, de los resultados a sus fuentes, siguiendo las leyes de toda tom a de conciencia. Sin em bargo, no sirve prácticam ente de n ad a decir que estas totalidades constituyen la estructura del espíritu, ya que n ad a prueba que la actividad del sujeto esté acabada o, p a ra decirlo m ejor, que consista sim plem ente en extraer sin fin en u n a fuente inagotable va contenida en él. L a tom a de conciencia, y es con ella que debemos concluir, constituye en sí misma, por el contrario, un a construcción: sólo se tom a conciencia de u n m ecanism o interior si se lo reconstruye en u n a nueva form a, que lo desarrolla explicitándoio, y todo proceso reflexivo, por ello mismo, se acom paña con un proceso cons tructivo que continúa, reconstituyéndolo, el mecanismo en relación con el que se produce u n a tom a de conciencia. A hora bien, esta reconstitución no sólo es análoga a la actividad m ediante la cual interpretam os una expe riencia exterior, sino que, tam bién, sólo es posible cuando existe una relación entre la actividad del sujeto y los objetos.' E n ello se origina la dificultad p ara resolver el problem a de la objeti vidad intrínseca de los esquemas m atem áticos. Su centración en la coordi nación operatoria constituye u n a prim era etap a que perm ite, al mismo tiem po, evitar la reducción em pirista de este tipo de objetividad al objeto como tal, y su reducción apriorista a estructuras trascendentales ya cons tituidas. Se debe dem ostrar aún, sin em bargo, la m anera en que las totali dades operatorias, cuya riqueza coherente es suficiente p ara explicar las resistencias que caracterizan esta objetividad intrínseca, se constituyen sin preexistir, en una form a acabada, a su elaboración reflexiva, y se cons truyen sin que por ello esta construcción sea arb itra ria (es decir, depen diente de la voluntad individual del sabio) ni determ inada desde el exterior p o r u n a vía experimental. El análisis del concepto de operación, es decir, del m odo de necesidad inherente a las totalidades operatorias, se encuentra, entonces, en el centro del problem a. P ara continuar esta discusión, utilizaremos a conti nuación este estudio del razonam iento m atem ático, ya que el rigor y la fecundidad de este m odo de razonam iento tienen en cuenta todas las relaciones que se deben investigar entre el sujeto y los objetos. 3. E l r a z o n a m i e n t o m a t e m á t i c o . A. D e P o i n c a r é a G o b l o t . Rigor y fecundidad, en efecto, son los dos aspectos indisociables del razonam iento m atem ático que todos los autores se esforzaron p o r conciliar. Pero si se los intenta arm onizar en principio sin lim itarse a com probar su m u tu a dependencia, se presenta el peligro de sacrificar la fecundidad al rigor, acentuando lo que'corresponde a las prestaciones del sujeto, o de subordinar el rigor a la fecundidad, invocando u n a participación excesiva del objeto.

Nos contentaremos con decir que el problema del razonamiento matemático presenta en su seno todos los problem as relacionados con la naturaleza de las operaciones lógicas o matemáticas, en tanto que las operaciones suponen un sujeto que actúa y objetos sobre las que se efectúan. Por o tra parte, se puede analizar el razonam iento m atem ático desde dos puntos de vista principales; sus parecidos o diferencias respecto del razonam iento lógico no matemático (Poincaré, Goblot y los logísticos consideraron sobre todo este p rim er aspecto), o la regulación que interviene en relación con él

entre los aportes respectivos del espíritu y de lo real (E. Meyerson discute sobre todo este problem a). Pese a que ya hemos estudiado el primero de los dos problemas,1- volveremos a exam inarlo aquí, ya que su solución

condiciona la del segundo. í.

1. L a solución de H . Poincaré. Desde 1894, Poincaré contraponía en ■los siguientes términos la estructura del razonamiento matemático a la de los razonamientos no matemáticos. Estos últimos son de dos tipos: el silogismo, que es riguroso pero estéril, ya que en sus conclusiones descubre sólo lo que estaba incluido en sus premisas, y la inducción experimental, que es fecunda, ya que logra descubrir nuevas conclusiones, pero no rigu rosa, por ser incompleta. El razonamiento matemático, por el contrario, es al mismo tiempo riguroso y fecundo: las conclusiones que obtiene son siempre nuevas y más ricas que las premisas y, sin embargo, son seguras y no simplemente probables. Ello se debe a que procede por recurrencia, de acuerdo con el principio de inducción completa creado por Maurolico: si una propiedad es verdadera de n = 0 (o n — 1) y si se determina que su verdad para n determina su verdad para n -f- 1, entonces es cierta en relación con todos los números enteros. Russell y Goblot objetaron a ello que el razonamiento por recurrencia se basa a su vez en conceptos más simples. Según Russell, deriva, en forma directa, de la definición de los números inductivos o enteros: la herencia que asegura la transferencia de las propiedades de un número al otro traduce, de esta manera, la genera lización de estos números. Goblot, por otra parte, sostiene que el razona miento por recurrencia supone una demostración previa. (la de la transfe rencia de la verdad de la propiedad en el caso de n a su verdad para n — j- 1) y que esta demostración es una construcción. Poincaré, sin embargo, considera que esta intervención de la construcción es evidente; la consi deraba incluso como necesaria, aunque no como suficiente, porque además, luego, se deben conectar las construcciones sucesivas mediante una cons trucción, es decir, precisamente, mediante razonamiento por recurrencia. Como lo dicen con justeza Daval y Guilbaud, él “considera a la recurrencia como una especie de razonamiento sobre el razonamiento, o de razona miento en segundo grado” 13 (lo que queda incluido dentro de la fórmula que dábamos en el cap. 2, punto 9 sobre el pensamiento form al: un 12 Véase nuestro T ra ite de logique, cap. vm. 13 R . Daval y. G. T. Guilbaud: L e raísonnem ent m a th é m a tiq u e . París, p u f,

1945, pág. 18.

sistema de operaciones que se efectúan sobre operaciones). El razona m iento por recurrencia es entonces una construcción operatoria ligada a la construcción de los núm eros y reflejada luego bajo la form a de opera ciones form ales que perm iten condensar estas construcciones en un único todo, sin verse obligado a rehacerlas sucesivamente p ara cada nuevo caso. L a fecundidad del razonam iento m atem ático, en últim o análisis, depen dería, entonces, de la intuición del núm ero puro, en tan to irreductible al silogismo, y su rigor provendría del hecho de que las operaciones construc tivas, iniciales o formalizadas, no se concatenan m ediante u n a serie finita de silogismos, sino m ediante u n a infinidad de silogismos (lo que, señalan D aval y G uilbaud, dirigiéndose a Goblot, no es lo m ism o), es decir, nueva m ente, m ediante la intuición de un poder de repetición que supera al silogismo reduciéndose a la del núm ero puro. E l valor de la solución de Poincaré depende, entonces, del valor de la hipótesis del núm ero puro. A hora bien, esta hipótesis plantea dos pro blemas, que corresponden, precisam ente, a las dos preguntas que el pro blem a del razonam iento m atem ático recu b re: el de la irreductibilidad del núm ero a la lógica y el de la naturaleza del acto m ediante el que aprehen demos el núm ero puro, es decir, un núm ero cualquiera como producto de la iteración ilim itada cuyo poder posee nuestro espíritu. Y a hemos tom ado posición respecto del prim er punto (vol. I, cap. I, § 6) : sin ser reductible a ninguno de los elementos lógicos particulares, el núm ero constituye sin em bargo la síntesis, es decir que está m ucho más próxim o a ellos de lo que lo itía Poincaré. T am bién es cierto que. se puede considerar a las clases y las relaciones asimétricas como resultantes de u n a disociación del núm ero en sus com ponentes, y al núm ero entero como una síntesis de las clases y de las relaciones asim étricas; en ambos casos, sin embargo, no existe una intuición del núm ero radicalm ente distinta de la de las clases o de las relaciones. Para com prender p o r qué el razonam iento m atem ático es más fecundo que el silogismo, se deben com parar entonces las clases de los núm eros o de los entes m atem áticos con las de las clases y de las relaciones lógicas: ahora bien, la cuantificación extensiva y num érica explica p o r sí sola esta diferencia de fecundidad en relación con la cuantificación intensiva de los segundos (en relación con estos tres tipos de cuantificaciones. vol. I, cap. I, § 3) : el núm ero de com binaciones es m ucho m ayor cuando en una serie de encajes se puede com parar a las partes tan to entre sí como con las totalidades sucesivas que si se consideran sólo las relaciones de parte a todo. L a estructura num érica invocada por la recurrencia no tiene otro sentido. Pero el prin cipio tam bién es válido p ara el razonam iento geométrico de carácter extensivo y po r ello su fecundidad es similar. E n cuanto a la intuición del núm ero puro, como poder de represen tarse que “u n a unidad siem pre se puede agregar a u n a colección de unidades”,14 no caben dudas de que el problem a que p lan tea es el del esquem a operatorio. D ad a la operación inicial -j- l, elem ento del grupo I* H. Poincaré: La valeur de la Science, pág. 22.

aditivo de los números enteros, decir que tenemos la intuición del núm ero puro equivale a afirm ar que la serie de las operaciones agrupadas cons tituye u n esquema anticipatorio y que, p a ra aprehender su sucesión posible, no como u n todo estático, sino como u n dinamism o hecho de operaciones virtuales, no es necesario precisar el detalle de las operaciones sucesivas. E n este sentido, la hipótesis de u n a intuición del núm ero puro se reduce a la o tra suposición fundam ental de Poincaré que sostiene que el concepto de grupo está presente a piriori en el espíritu y que, de esa m anera, cons tituye u n a intuición racional (de los desplazamientos en el caso del espacio y de la adición de la unidad en el del núm ero) : ello explica el paralelismo entre ei razonam iento geom étrico y el razonam iento analítico, sin que, p ara razonar en form a rigurosa y fecunda sobre las figuras sea necesario evocar la infinidad de los números. ¿ Pero por qué h a b la r de intuición o de a priori? Por u n a parte, hay construcción genética tanto del grupo de los núm eros como del de los desplazamientos y, p o r la otra, a este acto de la inteligencia, en su núcleo operatorio más esencial, se lo califica entonces como intuitivo, por oposición al desarrollo detallado de las opera ciones particulares. E n relación con este punto, entonces, nos encontramos en el núcleo del problem a de la naturaleza de los objetos matem áticos, y llam ar intuición a esta tom a de posesión de su objetividad intrínseca tiene más el efecto de ocultar la dificultad que de revelarnos el secreto. 2. L a solución de G. Goblot. L a interpretación del razonam iento m atem ático elaborada por Poincaré tiene dos tipos de contradictores: los logísticos y E. Goblot. E n el p unto 5 realizaremos u n atento exam en del análisis de los prim eros, más profundo que el de los segundos. Aquél, en efecto, term ina por sacrificar en form a deliberada la fecundidad en aras del rigor, hasta un punto tal que en la actualidad parece pasado de m oda y que a algunos, incluso, les parece desprovisto de significación plantear au n el problem a de la productividad del razonam iento. Pero incluso si se postula que el problem a ya no se plantea en lo que se refiere a la estruc tura form al de la deducción, resurge tan pronto como se intenta determ inar las relaciones entre esta estructura y la realidad. P or otra parte, si se intenta expresar u n a estructura como ésta en térm inos de operaciones, incluso puram ente proposicionales, ello basta como p ara que se im ponga nuevam ente la diferencia entre las inferencias m atem áticas específicas y la deducción bivalente en general. Por ello debemos señalar, tam bién, la solución de Goblot, cuyas lagunas son instructivas en lo que se refiere p. las exigencias de u n a solución operatoria com pleta: si los logísticos de la escuela de V iena, en efecto, elim inaron la fecundidad en aras del rigor, el esfuerzo de Goblot se realizó esencialm ente en relación con la explicación de la fecundidad; cabe preguntarse si, por su p arte, no dejó entonces excesivamente de lado el rigor. D educir equivale a construir, vuelve a descubrir E. Goblot (señalando, incluso, que este descubrim iento tiene lugar una m añ an a de febrero de 1906, tan decisiva le parece esta ilu m in ació n ). Pero construir es: 1° efectuar operaciones concretas, como construcciones gráficas, etc.; que, según Goblot.

constituyen el aspecto esencial del razonam iento; 29 com binar proposi ciones, en tanto que ellas traducen estas operaciones concretas. ¿Cómo explicar, entonces, que la construcción sea rigurosa y no sim plem ente apro xim ada, como ocurre en el caso de las ciencias experim entales? Ello se debe al hecho de que esta construcción está regu lad a gracias a las propo siciones anteriorm ente aceptadas, m ientras que, en la inducción, las pro posiciones anteriores dejan u n m argen m ás o menos grande de indeterm i nación, que exige recurrir al control empírico. Las reglas de la construcción no son las de la lógica, sin lo cual se debería considerar que las conclusiones están com prendidas de antem ano en las proposiciones anteriores: las reglas se reducen a estas proposiciones, en su contenido, y en tan to que este contenido im pone algunas condiciones restrictivas a construcciones p o r o tra p arte nuevas. Dos autores de talento, D aval y G uilbaud, dem ostraron reciente m ente 10 que el concepto de construcción forjado por G oblot está aún insuficientem ente elaborado, y que, u n a vez que se lo analiza, no agrega n ad a nuevo a la solución de Poincaré, que su continuador com prende mai. E n la teoría de Poincaré, en efecto, tam bién interviene u n a construcción operatoria inicial, fuente de razonam iento de p artid a, luego u n a especie de razonam iento en segundo grado que generaliza esta construcción al reflejarla. E n Poincaré este razonam iento en segundo grado está constituido por el mecanismo de la recurrencia, m ientras que la originalidad de la concepción de G oblot es la de que intenta extraer de las operaciones prim arias la explicación del rigor que caracteriza a la deducción: el razo nam iento deductivo equivaldría, sim plem ente, a someter estas operaciones a u n conjunto de reglas constituidas por las “proposiciones anteriorm ente itidas” . ¿Es suficiente esta determ inación? No le reprocharem os a G oblot el h ab e r llam ado indiferentem ente “construcción” a las operaciones concretas, efectuadas m aterial o m ental m ente, y a las proposiciones que traducen estas acciones. C om o ya lo hemos visto en el cap. 2, ambos constituyen dos niveles sucesivos del pensam iento m atem ático igualm ente esenciales,10 y existe u n a lógica de las operaciones concretas al igual que u n a lógica proposicional. Al afirm ar que la fecun didad del razonam iento m atem ático depende de la construcción de las relaciones iniciales y no de la estructuración de las proposiciones que las expresan, Goblot, incluso, y en cierto sentido, coincide con algunas tesis logísticas recientes; éstas sostienen que la aritm ética y el razonam iento por recurrencia son irreductibles al cálculo de las proposiciones y, desde este punto de vista, recurren a u n mecanismo extralógico de inferencia. D e ■este modo, ta n to la inducción com pleta de Poincaré como las “construc ciones” concretas de G oblot dependerían de la lógica de las clases, de las 15 R. Daval y G. T. Guilbaud: Le raisonnement mathématique. París, p u f , 1945, cap. ni. 18 “En matemática, y sólo en matemática, se puede decir que la reflexión del pensamiento sobre sí mismo es una operación matemática’’, dicen a este respecto Daval y Guilbaud (pág. 73), aserción que aceptaremos con la condición de que se le agregue la logística.

relaciones y de los números, y no de la que corresponde a la deducción pura. E n otras palabras, sería legítimo afirm ar como Goblot que las construc ciones están reguladas por el contenido de las “proposiciones anteriorm ente itidas” y no por las leyes de la lógica considerada como estructura form al de la lógica proposicional. Pero no se resuelve u n problem a esencial y, a nuestro parecer, en la teoría de Goblot subsiste u n a laguna sorprendente en relación con este punto. P or concretas que sean, las operaciones inherentes a la “construc ción” de las relaciones iniciales presuponen tam bién u n a lógica: no la de las proposiciones como tales, sino, precisam ente, la del contenido de las proposiciones, si así puede decirse, ya que este contenido se reduce siempre a un sistema de clases, de relaciones o de números. T an to cuando son m ateriales como cuando son mentales, las operaciones concretas, en efecto, no están reguladas desde afuera y por “proposiciones anteriorm ente i tidas” cualesquiera; por el contrario, lo están desde el interior y por una lógica operatoria que se reduce a agrupam ientos de clases y de relaciones o de los grupos espaciales y numéricos. L a solución de Goblot carece de esta regulación interna de las operaciones, m ientras que en la de Poincaré ella se realiza m ediante el mecanismo de la recurrencia, es decir, en realidad, por el grupo de las operaciones iteradas de adición de la unidad que constituyen la serie de los números. E n efecto, si proposiciones anteriores cualesquiera constituyesen la única regulación de las construcciones nuevas, nos encontraríam os ante la siguiente alternativa: o bien las conclusiones que se obtienen están com prendidas ya en las proposiciones anteriores y existe entonces u n a regulación com pleta, pero estas conclusiones no son nuevas y la deducción no es cons tructiva, o, si no, las conclusiones no son nuevas y la deducción no es constructiva: o si no tam bién, las conclusiones son nuevas, es decir, no con tenidas en las proposiciones anteriores, pero entonces regulan la construc ción sólo en forma incom pleta. P ara decirlo con m ayor precisión: las proposiciones anteriores pueden regular la construcción sólo en la m edida en que los resultados no son nuevos; en la m edida en que la construcción es nueva, po r el contrario, estas proposiciones constituirán como máximo barreras exteriores, que está prohibido franquear, pero en cuyo interior la construcción es contingente y escapa a toda regulación. Al menos el proceso sería así si se tratase de proposiciones cualesquiera, es decir, no elegidas expresamente para lograr el ajuste recíproco de las operaciones. A hora bien, las prim eras “proposiciones aceptadas” , es decir, las defini ciones v los axiomas, constituyen, en realidad, y precisam ente, un sistema de reglas operatorias que determ inan la m anera en que las operaciones se com binarán entre sí. D e este modo, los axiomas de Peano sobre el núm ero entero (vol. I, cap. I, § 7) introducen los conceptos de sucesor o de ■‘siguiente” , de cero v de la igualdad de dos números, de m anera tal que se hace posible engendrar la serie caracterizada por la adición -f- 1 -)- 1. . . : la construcción está entonces regulada ya que las operaciones están compelidas a una composición que no deja lugar a ningún flotamiento. La regulación, entonces, es interna v no externa: lo que la constituye es una

ley de composición y no un sistema de proposiciones anteriores cualesquiera. Si así es, justam ente, ello se debe a que las proposiciones iniciales fueron escogidas con este objeto; las operaciones + 1 , — 1 v 0 constituyen entre ellas un “grupo” y están reguladas así por su propia transitividad y su propia reversibilidad; por ello, los axiomas que d an origen a la construcción están form ulados de m anera tal que perm iten volver a h allar esa estructura y regularla explícita y no ya sólo im plícitam ente. E n resumen, si incluso en el plano de las operaciones concretas, la “construcción” que engendra el razonam iento está regulada desde un prim er m om ento, ello ocurre en virtud de las leyes de composición reversible que caracterizan a las operaciones como tales: esta regulación interna es la que dirige la elección de las proposiciones iniciales. Si se descuida la existencia de esta composición reversible de las operaciones, la solución de G oblot es insuficiente p ara conciliar la fecundidad y el rigor, ya que conduce a confundir las operaciones con acciones m ateriales (o rnentalizadas) cualesquiera. Si volvemos ahora a la lógica, observamos que su modo de proceder es el mismo, incluso sin considerar la formalización característica de la logística proposicional. D educir m ediante silogismos es tam bién “construir” , al igual que cuando se razona m atem áticam ente, y las reglas de esta cons trucción son, nuevam ente, leyes de composición operatoria v no proposi ciones anteriores cualesquiera. Todo silogismo, en efecto, supone un sistema previo de clases o de relaciones encadenadas y este sistema supone una construcción cuyas leyes son las de los “agrupam ientos” . A p artir de ello, la pregunta que, después de Poincaré, plantea Goblot en relación con las razones que determ inan que el razonam iento m atem ático sea más fecundo que el lógico, se presenta de la m anera siguiente, pero desplazada en el terreno de la regulación in te rn a : ¿ Por qué las composiciones reguladas características de la ,m a te m ática son más numerosas que las de la lógica? ¿P or qué un “agrupam iento” lógico conduce sólo a algunas composiciones lim itadas, m ientras que los “grupos” algebraicos o geométricos pueden conducir a un núm ero inagotable de composiciones? La respuesta sólo se puede basar, como se observa, en la propia estructura de las tota lidades operatorias que aseguran sim ultáneam ente la posibilidad y el rigorde las composiciones y no en el concepto, dem asiado vago, de simple “construcción” . 4.

R A Z O N A M IE N T O M A TEM A TIC O . B. La IN T E R I'R E T A C k S n DK E m ILE L a interpretación de conjunto que formuló E. Meyerson en relación con el razonam iento m atem ático merece un examen especial, tanto a causa de la nitidez incisiva de su análisis como debido a la insistencia con la que contrapone sin claudicaciones el espíritu — definido por la identificación— y lo real, reducido a lo “diverso” . Esta antítesis un poco “rígida” , tal como lo ite el propio autor, presenta la g ran v en taja de constituir una solución simple y clara, en relación con la que los hechos psicogenéticos pueden responder con un sí o con un no: ello es tan to más fácil cuanto que el propio E, Meyerson siempre sitúa la discusión en el M eyerson .

El

terreno del pensam iento com ún y real del “curso del pensam iento”, lo que requiere, inm ediatam ente, la verificación genética. ¿ P o r qué el razonam iento m atem ático es al mismo tiem po riguroso y fecundo? se pregunta, a su vez, E. Meyerson. Se puede considerar a la m atem ática como apriorística, lo que explicaría su rigor, pero el pensa m iento racional bajo su form a p u ra y lógica no crea nada, ya que se reduce a la identidad: por sí solo es “aquiescente” . T am bién se puede considerar que la m atem ática se origina en la experiencia, lo que expli caría, entonces, su fecundidad, pero contradiría su rigor. D e esta m anera “parece im ponerse la conclusión de que en este caso no se puede invocar ni el a priori ni el a posteriori, sino que, más bien, debe tratarse de algo interm edio entre ambos o, quizá, de una mezcla bastante difícil de separar entre uno y otro” (C. P.,1T pág. 328). E n efecto, “el núm ero es u n concepto abstraído de lo real” ( C. P,, pág. 322) y la igualdad m atem ática que opera en las ecuaciones no es una p u ra identidad, sino u n a identificación, es decir, u n a identidad sólo parcial (págs. 333-335). L a operación num érica 7 -4- 5 = 12 es u n a sín tesis, com o lo entendía K ant, ya que “se h a creado algo nuevo” (pág. 335) : se debe decir “siete y cinco hacen doce” y la expresión “hacen” designa en realidad “u n verdadero acto realizado” (pág. 336). D e la misma m a nera, “el signo algebraico es el símbolo de u n a operación, de un acto” (pág. 338). Goblot tiene entonces razón contra Poincaré en considerar que la operación es el aspecto esencial del razonam iento (págs. 339-341) y si Bradley pudo hablar de operaciones del espíritu, “la concepción de M. G oblot, en su vigoroso realismo, parece m ucho m ás satisfactoria” (pág. 341) : la m ism a recurre, en efecto, a acciones reales, pero im aginadas, como los “G edanken experim enté” de W undt y de K rom an (págs. 343-344) gracias a la m em oria de las experiencias reales anteriores (págs. 346-347). Pese a que éste es el papel de lo real en la construcción del núm ero (y a fortiori es, al menos, sim ilar en la construcción del espacio: pág. 308), la experiencia no es lo único que im porta, m uy por el contrario. E n la operación, por activa que M eyerson la considere, “el espíritu sólo opera m ediante conceptos abstractos, conceptos que él crea; pero a esta operación sólo la puede observar en lo real, tom arla de lo real. D e todas formas, la operación lógica es la traducción en el pensam iento de un a operación, de u n acto real, que tiene como puntos de p artid a, como substratos, no a objetos reales, sino a conceptos, ideas” (C . P ., pág. 349). Esta es la clave del enigm a, por paradójica que sea esta oscilación entre lo real y el espíritu: l 9 el espíritu crea así conceptos abstractos “aunque, por supuesto, m ediante m ateriales tomados desde afuera, proporcionados por la sensación” (pág. 370) ; 29 “el intelecto posee esta curiosa aptitud (que condiciona, al mismo tiempo, una propensión casi irresistible) a proyectar fuera de sí r, los entes creados por sí m ism o . . . y cam biar así en cosa reales las cosas 17 Con C. P. (Curso de pensamiento) designaremos el Cheminement de la pensée. Alean, 1931,

del pensam iento” (pág. 370), lo que determ ina la proyección del núm ero en lo real, ya que el concepto del núm ero, tam bién, es abstraído de lo real (pág. 370) ; 3? en consecuencia, al operar num éricam ente sobre objetos, piedras por ejemplo, “si observamos con atención, se com prueba entonces que hemos operado sobre este núm ero solo. . ., ya que los objetos reales, las piedras, evidentem ente, sólo representan el concepto abstracto que es el n úm ero” (pág. 350). E n resumen, “hemos creado u n género (pág. 351), el núm ero y lo hemos proyectado como objeto: hem os “hipostasiado este concepto, reubicado lo abstracto en lo real, fingido, si se quiere, que era real, p ara p oder ac tu a r sobre él en form a real, observar cómo se com portaba en lo real” (pág. 353). Por otra parte, hacem os lo mismo en la percepción de u n objeto cualquiera, de un sillón por ej. (pág. 357), que es la proyec ción de u n concepto en la sensación; en efecto, “en todos los instantes de nuestra vida sólo estamos ocupados en buscar las causas exteriores de nuestras sensaciones, es decir, en constituir estas sensaciones en conceptos, en un primer m om ento y luego en objetos” (pág. 362. L a bastardilla es n u e s tra ). “E sta metamorfosis instantánea de un concepto en u n real situado fuera del yo es sin d u d a maravillosa, p arad ó jica” (pág. 361). Todos los números, el entero positivo, el fraccionario, y tam bién el negativo, el irracional e incluso los im aginarios (págs. 370-377) proceden igualm ente de operaciones extendidas indefinidam ente a conceptos abstrac tos. reintroducidos en lo real. Lo mismo sucede en el caso de los hiperespacios (pág. 380), pero los entes así creados m ed ian te la colaboración del espíritu y de lo real “se asem ejan ca d a vez menos a los que conoce el sentido com ún” (pág. 386). Se com prende entonces, al fin de cuentas, la doble natu raleza del razonam iento m atem ático: es fecundo porque reposa en géneros que siem pre son abstraídos de lo real y sobre los que son posibles operaciones activas, pero es riguroso ya que, desde la abstracción inicial hasta las operaciones más complejas, la identidad está en acción. L a m atem ática, de esta m anera, es sólo u n a vasta identificación que procede a través de abstrac ciones, luego de operaciones sobre los conceptos abstractos reubicados en lo real. M ás precisam ente el rigor se debe a que “podem os llevar a cabo u n acto sin p ertu rb ar la identidad entre el antecedente y el consecuente” (pág. 396). Ello es lo que se observa en las operaciones espaciales, al igual que en la reunión inicial que sirve p ara la constitución del núm ero concreto, ya que, en ambos casos, “el acto es u n desplazamiento que no altera entonces la identidad de los objetos desplazados” (pág. 396). P ara exam inar ah o ra el valor de estas diferentes hipótesis, nos perm i tiremos com enzar po r el final p a ra acceder luego a la génesis. E n efecto,' en la tesis de Meyerson todo está bien articulad o ; de este modo, las serias reservas im puestas por los hechos psicogenéticos en lo que se refiere a la form ación presum ida de los esquemas del objeto, del espacio y del núm ero corresponden a dificultades que tam bién se presentan, incluso, en la síntesis de lo idéntico racional y de lo diverso real atribuido al propio razona

m iento m atem ático. P a ra elucidar todo el resto, partirem os, entonces, de esta concepción final. Esta antítesis entre la identidad lógica y la realidad experim ental revela, en efecto,, con notable claridad las causas de la alternativa a la que, según acabamos de com probar (§ 3) conduce la teoría de G oblot: si no se asegura la regulación in te rn a de las operaciones constitutivas del razo nam iento, las conclusiones son rigurosas sólo en la m edida en que las conclusiones nuevas de u n a construcción m atem ática están contenidas de antem ano en las proposiciones iniciales, m ientras que en la medida en que son nuevas las conclusiones escapan a todo rigor. A hora bien, M eyerson ite" una regulación in te rn a de las operaciones, pero la reduce a la identificación sola. Ello determ ina un desplazam iento del problem a en el interior de la construcción operatoria y un refuerzo de la dificultad en la que ya se encerraba la tesis de Goblot. Por u n lado, las operaciones son rigurosas, y ello en la exacta m edida en que se lim itan a “desplazar” algo idéntico en el transcurso de las transform aciones sucesivas que van desde la abstracción inicial hasta las m ás altas cumbres de la d ed u cció n ; pero si el rigor, es decir, la regulación de las operaciones, depende de la sola identidad, aquello que en el mecanismo operatorio es riguroso es tam bién necesariam ente infecundo. P or otra parte, las operaciones crean algo n u ev o ; en efecto, 12 no está contenido en 7 y 5 ni el cuadrado de la hipotenusa es enteram ente “la m ism a cosa” que el cuad rad o de los lados ni tam poco un espacio de 34 dimensiones es idéntico a un espacio tridimensional. Pero si, gracias a la “identidad parcial” la construcción es' en p arte rigu rosa, sólo lo es en parte, y en la única m edida en que n o va más allá de la identidad p u ra : en la m edida en que, por el contrario, hay u n aporte de lo real, es decir, de lo “diverso” o de lo “irracional”, deja de hab er rigor. Sin duda, el m ecanism o que se invoca es m ucho más sutil, ya que con siste en u n a p erpetua oscilación entre lo real y el espíritu: éste tom a de aquél los medios p ara construir entes ideales que luego rem ite para reencon trarlos en sí, etc. Antes de exam inar en detalle este juego delicado, con viene p lantear desde ya los dos problem as esenciales: los elementos que integran la construcción son “desplazados” en un sentido o en otro, y se debe determ inar su origen y si se enriquecen durante el proceso. A hora bien, si el rigor está garantizado por la identidad, ellos pueden provenir sólo de uña fuente ajen a a este rigor — lo real— v enriquecerse en camino sólo a costa de este mismo rigor. Si la razón se deduce, de la identificación, entonces no hay salida: o bien el razonam iento m atem ático es un a serie de identidades puras, y entonces es enteram ente riguroso aunque estéril, o, si no, es fecundo, es decir que es más que un a simple identificación y engloba lo diverso sin reducirse a la identidad pura, pero entonces no es enteram ente riguroso y deja de serlo en la precisa medida en que desborda identidad por sí sola. E. Meyerson apreció en su justa m edida esta dificultad, ya que intentó reducir las operaciones num éricas a los desplazamientos que se producen en la reunión o en la disociación de las unidades, y que el desplazamiento e? el principio de toda explicación racional, ya que el mismo no altera la

naturaleza de los elementos desplazados ( C . P . , pág. 396). P ara decirlo de o tra m anera, la construcción m atem ática tom aría sus elementos de lo real; sin em bargo, seguiría siendo rigurosa, puesto que estos elementos, sim plem ente, serían “ desplazados” . Sólo que, independientem ente del pro blem a de saber si toda operación es reductible a un desplazamiento, de todas m aneras los com ponentes se enriquecen en el transcurso del desarrollo mismo y el problem a del rigor se plantea nuevam ente en el transcurso de la oscilación entre el espíritu y lo real: si 7 objetos colocados en la cercanía dé 5 engendran la novedad que el n úm ero 12 constituye, entonces, la construcción de este núm ero 12 es rigurosa sólo en la m edida en que sus 12 elementos son los mismos que los 12 elementos disociados en colec ciones de 7 y 5; en la m edida en que, por el contrario, el n úm ero 12 es algo diferente de los núm eros 7 y 5, es decir, en la m edida en que el despla zam iento h a agregado algo nuevo a la simple conservación de los elementos, este comienzo de fecundidad escapa ya al rigor, porque va m ás allá de la identidad p u ra (y, efectivam ente, se debe aún aclarar p o r qué 12 es divisible por 2, 3, 4 y 6, m ientras que el “desplazam iento” de 7 v 6 unidades daría el núm ero 13, que es p rim o ), P ara m encionar u n ejemplo menos elem ental y, como consecuencia de ello, más elocuente, sabemos que las geom etrías no euclidianas pueden construirse con m ateriales euclidianos: u n a vez construidas, sin em bargo, ellas incluyen a la geom etría euclidiana como simple caso particular. H ab ría que decir, entonces, si el rigor se debe sólo a la identificación, que los elementos euclidianos que perm anecieron idénticos en el transcurso de las transform aciones son los únicos que garantizan el rigor, m ientras que las nuevas com binaciones de estos elementos son contingentes. A hora bien, la parad o ja sería tanto m ayor cuanto que la situación, en realidad, es recíproca: cada u n a de las geom etrías en juego puede construirse con los m ateriales de u n a de las otras, al mismo tiem po que la incluye como caso específico (vol. I, cap. II, § 10). Al no ser nu n ca el resultado de u n a construcción idéntica a sus m ateriales, es evidente que la identificación p o r sí sola na puede g arantizar el rigor, ya que, sin cesar, se ve desbordada po r la novedad. P ara ser m ás preciso, si lo racional se reduce a lo idéntico y lo diverso em ana de u n real, irracional p o r diverso, el rigor del razonam iento m ate m ático sólo puede ser aproxim ado. Por otra p arte, M eyerson hubiese itido esta consecuencia evidente de su hipótesis c e n tra l: “El razona m iento no puede ser enteram ente racional” , dice de m anera general ( C . P . , pág. 180, § 169). Pero, de ser así, u n razonam iento es tanto menos riguroso cuanto más fec u n d o ; esta relación inversam ente proporcional entre la fecundidad y el rigor constituye la principal dificultad de la tesis de Meyerson. U n a segunda dificultad se agrega entonces, necesariam ente, a la precedente: si la fecundidad de la m atem ática se basa en los elementos que tom a de lo real, esta fecundidad debería ser tanto m ayor cu an to m ás próximos sean los conceptos considerados a la experiencia inicial, y dis m inuir en razón directa de su alejam iento en relación con ella. A hora bien, ¿es así? El ejemplo de las generalizaciones de la geom etría es precisam ente

instructivo a este respecto. A dm itam os que la geom etría euclidiana de tres dimensiones sea tom ada de. lo real percibido m ediante abstracciones y generalizaciones identificatorias. Los “géneros” así constituidos serían en tonces, de acuerdo con la descripción de Meyerson, proyectados nuevam ente en la realidad de la que son abstraídos, y sometidos luego a u n a trituración operatoria p a ra ver “cómo actúan en lo rea l'’; estas combinaciones per m itirían por fin ir más allá de la realidad m ism a y construir esquemas cada vez m ás abstractos. Entonces, sin em bargo, cuanto m ás nos alejamos de lo real m ás debe em pobrecerse el esquem a form al, ya que la razón no crea n ad a y se lim ita a transferir algunos de los datos iniciales en el transcurso de las operaciones, “sin p ertu rb ar la identid ad entre el antecedente y el consecuente” : cuanto m ás “abstracto” es el esquema, m enos datos reales iniciales contiene. A hora bien, se com prueba por el contrario que el esquem a final es m ucho más rico que el esquem a inicial, ya que éste se reduce al nivel de simple caso p a rtic u la r: lo que se com prueba, entonces, esque ei acto operatorio crea algo nuevo en función de las distancias y no de su proxim idad en relación con lo real; p ara decirlo de o tra m a nera, una vez más, que es por cierto irreductible a u n a simple abstracción identificatoria. Volvemos a enfrentarnos aquí con el problem a que, p o r otra parte, ya conocem os18: ¿ Es posible reducir la abstracción, m ed ian te la que creemos extraer de la realidad los núm eros enteros o las form as geomé tricas, etc., a u n a simple abstracción a p a rtir del objeto? A nuestro parecer, el error corriente de las epistemologías realistas, inspiradas en la filosofía aristotélica de los “géneros” , consiste en form ular esta afirm ación. A hora bien, independientem ente de los hechos genéticos que volveremos a exa m inar, el problem a puede ser solucionado directam ente en el terreno m ate m ático cuando se lo p lan tea en la siguiente fo rm a: ¿ U n concepto abstracto es m ás pobre o más rico que la realidad correspondiente? A nuestro p a recer la respuesta no presenta problem as: el concepto abstracto es m ás pobre, en el sentido de que se construye en relación con u ñ p u n to de vista especial descuidando los otros, (p. ej., situándose en el p u n to de vista de la form a y dejando de lado el peso, el color, e tc .) ; desde este p unto de vista especial, por el contrario, es inmediatamente m ás rico que la realidad concreta, ya que la así llam ada abstracción consiste en agregar y no en sacarle algo al objeto, claro que eligiendo el punto de vista al que agrega. D e este modo, al contar algunas bolitas se les agrega un a conexión que no existía entre ellas, en lugar de extraer el núm ero de su colección, y al abstraer u n a recta de la arista de u n cristal se ponen en o las moléculas discontinuas e irregularm ente dispuestas a lo largo de esta arista por u n a línea ideal que ellas no com portaban. L a abstracción, de esta m anera, es u n a articulación, o, si se prefiere, u n a estructuración acorde ccn lo real, y consiste en relaciones nuevas que no estaban aú n contenidas en el dato concreto. A ello se debe que los entes m atem áticos “abstractos” sean infinitam ente más ricos que los entes m atem aticables concretos: éstos i 8 Véase anteriormente en este volumen, cap. I, §§ 2 y 12,

son finitos y aquéllos superan a este finito con todo el poder de las diversas especies de infinitos. Por otra parte, E. Meyerson apreció perfectam ente el probleina y el juego sutil de los conceptos “hipostasiados” en lo real, después de haber sido extraídos de aquél; sólo puede tener la significación de explicar este enriquecim iento de la realidad al que llega finalm ente la así llam ada “abstracción” a p a rtir del objeto. Sólo que, como, según este au to r, la estructuración y las relaciones nuevas que el espíritu ap o rta a lo real se reducen, en definitiva, a la identidad p u ra y simple, m ezclada con los datos extraídos del objeto, es evidente que, desde el p u n to de v ista de la fecundidad, este aporte es nulo y que es válido sólo desde el punto de vista del rigor. L o que acabam os de ver, po r el contrario, lleva a itir qu e en m atem ática (y en lógica, pero en u n grado notablem ente inferior) las operaciones son sim ultáneam ente fuentes de novedades y de rigor, sin que éste últim o se reduzca a la identidad simple. P ara decirlo de o tra m anera, el aporte del espíritu a lo real desborda los m arcos de la identificación. Las estructuras esenciales del pensam iento lógico aritm ético están consti tuidas por las clases, las relaciones asim étricas y los núm eros. U n a clase se caracteriza por la sem ejanza entre los individuos que la in teg ran y, en consecuencia, po r sus cualidades com unes: en este aspecto ac tú a la identi ficación, fuente de la equivalencia cualitativa, etc. L o m ism o ocurre en el caso de las relaciones simétricas, que expresan la copertenencia a u n a m ism a clase. Pero las relaciones asimétricas, por el contrario, expresan la diferencia ordenada entre los objetos y se las puede seriar sólo gracias a estas diferen cias (de tam año, de posición, etc.). ¿Se p u ed e decir, acaso, que la dife rencia es aú n u n “género” , es decir, que el espíritu identifica lo com ún entre las diversas diferencias y extrae de ello el concepto de diferencia? Sin d u d a que sí y de este modo la diferencia se convierte en un concepto como otros y perm ite definir una clase com o o tr a : la clase de las diferencias consideradas como elementos equivalentes entre sí (como copertenecientes a u n a m ism a clase). Pero eso no es todo: en las relaciones asim étricas y en las operaciones de seriación cualitativa, la diferencia juega el mismo papel form al que la sem ejanza en las clases, o las relaciones simétricas, y en sus encajes. Los “agrupam ientos” aditivos y m ultiplicativos de relaciones asimétricas son, incluso, exactam ente isomorfos a los “ agrupam ientos” correspondientes de clases, la única pequeña diferencia es la de que en ellos la adición no es conm utativa debido, precisam ente, a que reúne diferencias ordenadas y no semejanzas. ¿Se puede decir, entonces, qu e la sem ejanza expresa la actividad identificatoria del espíritu, m ientras que las diferencias provienen de lo real, com o resultaría de la antítesis de M eyerson? Sin em bargo, p ara la actividad del espíritu es ta n im portante d iferen ciar como identificar, y estas dos actividades sólo adquieren significación apoyadas una en la otra. Es evidente que am bas suponen u n real a la vez unificable y diversificable, pero u n a y otra son inherentes al sujeto, se ejercen p arale lam ente y determ inan dos tipos de estructuras form ales que se corresponden térm ino a térm ino.

En lo que se refiere al núm ero entero, como ya lo hemos visto (cap. 1, punto 6 ), él es u n a síntesis de la clase y de la relación asim étrica, y entonces de la sem ejanza y de la diferencia; las unidades que lo com ponen son, al mismo tiem po, equivalentes y distintas. Diremos, entonces, ¡ que el número es un producto del espíritu, en la m edida en que hay equiva lencia, y real en la m edida en que las unidades son distintas! P ara decirlo de otro m odo: ¿es la unidad 1 la expresión del espíritu, m ientras que el núm ero dos (1 1) em anaría de lo real, ya que, al adicionarse en él la unidad a sí misma, existe entonces un a diferencia entre estas dos unidades? Desde un p u n to de vista genético, toda relación establecida en tre los objetos resulta así de u n a actividad del espíritu que consiste en diferenciar tanto como en identificar; en consecuencia, todo sistema de operaciones, como “agrupam iento” de relaciones, es constructivo al mismo tiem po que garantiza su propio rigor gracias al modo de composición que constituye. A este respecto la reversibilidad constituye el equivalente genético de la función que E. Meyerson intenta atribuir a la identidad. A hora bien, la reversibilidad, que ese autor intenta a m enudo reducir a la identidad, es mucho más que u n a identificación: consiste en el desarrollo de un acto en ambos sentidos. D e este modo, al mismo tiem po que es constructivo, este acto tiene u n a coherencia interna segura basada en la seguridad de volver a en co n trar su punto de partida: la identidad es entonces el pro ducto de u n a operación directa por su inversa y no se confunde con la reversibilidad com o tal. El espíritu, entonces es actividad, o p o d er de operar, y sí to d a acción o toda operación supone, en su punto de partida, un lazo indisociable entre el sujeto y el objeto, es artificial atrib u ir la id en tid ad sólo al sujeto y la diferencia sólo a la realidad. Es indudable que cuando se reú n en dos elementos concretos, esta adición sólo sería posible si estos elem entos no estuviesen presentes en lo real. ¿ Pero están presentes en estado de distin ción, o de acuerdo con el mismo grado de distinción que introducim os en ellos? Y, de ser así, ¿la realidad es suficiente p a ra explicar la operación, o ésta supone u n acto que vincula? A hora bien, tanto si este acto es un a sustracción que disocia como u n a seriación que m arca las diferencias, la intervención del sujeto en él es tan necesaria como en la identificación. Pero si se renuncia al criterio neto y claro de 1a. identidad p u ra, cabe preguntarse dónde se sitúa el límite exacto entre el sujeto y el objeto. Aquí se revela u n a vez m ás la necesidad del punto de vista genético, que im pone una rectificación continua de las fronteras, m ientras que las filosofías de conjunto sostienen un estado fijo. En efecto, no existe un lím ite estático e inamovible entre el sujeto y el objeto; el espíritu, en efecto, se construye progresivamente y en los diferentes niveles de esta construcción la delim i tación debe entonces rehacerse (por otra parte, en lo que concierne al pensamiento físico, veremos que sucede exactam ente lo mismo con lo “real” como tal, y que el propio M eyerson. form uló los mejores argum entos en favor de un realismo en cierto modo sustitutivo). A nivel de los reflejos

de las prim eras manifestaciones sensoriomotrices, se puede designar como “sujeto” a los movimientos innatos o adquiridos; efectivamente, por su interm edio se m anifiesta la actividad del sujeto considerada desde el ángulo de la conducta. Sin em bargo, desde el punto de vista del propio sujeto, que corresponde a esta conducta, no hay aun ninguna diferencia entre lo subjetivo y lo objetivo, ya que no hay au n ni sujetos exteriores n i sujeto diferente de la realidad que él vive en ca d a instante considerado. A nivel de la inteligencia sensoriomotriz, los prim eros objetos son construidos al mismo tiem po que el sujeto comienza a distinguir entre ellos. E sta elabo ración de lo real prosigue en los diversos niveles intuitivos y operatorios, aunque m edian te instrum entos subjetivos, m oldeados sim ultáneam ente con él; de este modo, en cada etapa sucesiva la delim itación entre sujeto y objeto debe ser reexam inada: la actividad del sujeto se acrecienta con la extensión de las operaciones, m ientras que lo real se objetiva al organi zarse. E n consecuencia, es imposible asignar de una vez p a ra siempre al sujeto o al objeto una estructura definible en térm inos estáticos, en la que de una vez p a ra siempre lo idéntico pertenecería a uno de ellos y lo diverso al otro. Si se los desea contraponer en u n a fórm ula válida para todos los niveles, ésta sólo podría ser funcional y no estructural. L a identificación de Meyerson, entonces, deberá ser reem plazada m ediante una asim ila ción del sujeto al objeto, en prim er lugar sensoriomotriz, luego represen tativa y operatoria, pero que engloba tanto las operaciones de diferen ciación como las de identificación; lo real, por el contrario, sólo puede ser definido en función de acom odaciones variadas, que m odifican los esquemas de asimilación que no se reducen en form a definitiva a lo “diverso” irracional. La verd ad era causa de las dificultades de la tesis de M eyerson, como se puede observar, se origina en la posición antigenética que adoptó y que se revela en especial en su interpretación de los conceptos (o “géneros” ) elementales y antes que n ad a del esquem a del objeto perm anente. Se h a observado la sorprendente com plejidad I y en el estilo mismo, h ab itu al m ente ta n lim pido, del autor) del núcleo de la dem ostración resum ida en el comienzo de este p unto (véase la c ita de la pág. 349 de C. P . ) : el espíritu crea conceptos abstractos extrayéndolos de lo real; luego los vuelve a transform ar en cosas m ediante u n a proyección sui generis; sólo después opera sobre estos abstractos convertidos nuevam ente en concretos, lo que perm ite observar que las operaciones no se efectúan sobre lo real, sino sobre los “géneros” hipostasiados en lo real. El ejemplo m ás simple de este proceso estaría representado por el concepto de objeto: originado en u n a identificación de las sensaciones ( “género” ) que conducen a la idea de perm anencia sustancial, este concepto reubicado en lo real m ediante u n a hipóstasis inm ediata y “paradójica” constituiría el cim iento causal m ás im portante de la mism a. A hora bien, tanto esta tesis general como su aplicación al concepto de objeto (y, com o consecuencia de ello, de espacio, de número, etc.) p lantean las mayores dificultades genéticas desde el m om ento en que se reduce la actividad del sujeto a la identificación. La causa de estas dificultades es evidente. Se origina en el hecho de

que Meyerson, junto con todos los autores de los que nos vimos llevados a separarnos, considera que el espíritu está com puesto p o r sensaciones o percepciones p e r u n lado y p o r u n a inteligencia acabada p o r el otro; entre ambos, y como m áxim o, u n a m em oria y. recuerdos-im ágenes: de esta m anera, sim plem ente, se olvida la acción y la m otricidad, cuyo papel epistemológico en la iorm ación del espacio, sin embargo, advirtió H . P oin caré. A menos que nos equivoquemos, en la obra de E. M eyerson la m otricidad está prácticam ente ausente (con la excepción de algunas obser vaciones en relación con E. Bergson), m ientras que exam ina los aspectos más diversos del pensam iento (incluyendo u n a discusión sobre la m eta física) . A hora bien, lejos de suponer la adopción de u n pragm atism o utilitario, del “em pirismo radical” de Jam es o del bergsonismo, la in ter vención de la acción conduce a u n desplazam iento de los problem as, que se observa tam bién en u n plano infeiior y por ello m ás fácil de analizar. L a acción es una form a de la inteligencia entre otras, y u n a fo rm a que prepara el pensam iento; en efecto, entre la perítepción y la inteligencia reflexiva se sitúan la inteligencia sensoriomotriz, la inteligencia in tu itiv a o interiorización representativa de la acción y todo el sistema de las opera ciones vinculadas con la inteligencia operatoria concreta. A hora bien, la situación se simplifica en form a notable si nos ubicamos en el terreno de la acción y, en especial, en el de la inteligencia sensoriomotriz, fuera de la cual el m ecanism o de las percepciones es incom pren sible. Se observa entonces que el esquem a de M eyerson relativo a los abstractos proyectados en lo real y sobre los que opera la inteligencia corresponde a u n proceso esencial (como todos los esquemas m eyersonianos), pero que perm iten obviar la oscilación dem asiado com pleja, im aginada p o r el filósofo, entre lo real y el espíritu. E n realidad: l 9 toda acción conduce a esquematizaciones, es decir que los movim ientos y las percepciones coordinadas p o r ella constituyen “esquemas sensoriomotores” susceptibles de aplicarse a nuevas situaciones; estos esquemas son el equivalente activo de los conceptos o de los “géneros”, pero se tra ta de conceptos prácticos y no reflexivos; 2? sin ab an d o n ar el terreno de la acción que se ejerce sobre el objeto, y sin necesitar entonces localizarse en el pensam iento p a ra ser luego proyectados en lo real, estos esquemas estructuran los datos asimilándolos a la acción del sujeto; de esta m an era im prim en u n a cierta form a al objeto, lo incorporan a las actividades propias y lo enriquecen así con u n a serie de relaciones n uevas; 3I? al coordinar los esquemas entre sí, la acción constituye, p o r otra parte, el equivalente de lo que luego estará representado p o r las operaciones; éstas derivan entonces de la acción y si, como lo dice M eyerson, se ejercen sebre géneros hipostasiados en el objeto, y no sobre el objeto mismo, ello se debe a que el objeto, desde un comienzo, está estructurado y com pletado por la acción de la que las operaciones proceden. M eyerson 'tiene entonces razón al considerar que el ejercicio de lo real es más am plio de lo que lo real com porta por sí solo, pero la interacción del sujeto y del objeto se explica por un proceso continuo que se ejerce desde la acción más simple hasta la operación m ás form al: no es necesario entonces recurrir a un

sistema de oscilaciones, im aginado p a ra rem ediar la insuficiencia de una definición de la actividad propia m ediante la identificación por sí sola. E n particular, el objeto perm anente se constituye de este m odo activo y no noético. Si la tesis m eyersoniana fuese cierta, siem pre que existe un a percepción debería haber objeto efectivam ente; así lo entiende el autor. A hora bien, el bebé no dispone del concepto de objeto antes de los 8-10 meses, m ientras que percibe perfectam ente bien y reconoce las personas y las cosas; pero ve sólo figuras o cuadros perceptuales, sin atribuirles aun u n a perm anencia sustancial. U n perro que corre u n a liebre tam poco dis pone del concepto de objeto, pese a lo que supone E. M eyerson; en efecto, no puede im aginar la liebre ni situarla en algún lu g ar en el espacio, al m argen del acto mismo de perseguirla y de las percepciones olfativas y visuales relacionadas con él. P o r el contrario, continuando con los esquemas prácticos iniciales, u n a coordinación m ás com pleja de las acciones perm ite constituir el concepto de objeto a p a rtir del m om ento en que los desplaza m ientos com ienzan a ser “agrupados” en sistemas de conjunto que se carac terizan por su composición reversible. Este hecho m uestra por sí solo la filiación de las operaciones espaciales ulteriores en relación con la acción y la inteligencia sensoriomotriz. Sin m encionar el aspecto físico del pro blema, que veremos luego (vol. II, cap. I I , p u n to 1 ), este ejem plo ilustra así las dificultades de u n a tesis de la que está ausente la acción y que está obligada a reem plazar el pasaje de la m otricidad a la operación m ed ian te un com plejo juego de identificaciones racionales y de proyecciones que intervienen desde la percepción. 5. L a IN T E R P R E T A C IÓ N LO G ÍSTIC A D EL R A Z O N A M IE N T O M A T EM A T IC O . L a utilización de este irable instrum ento de disección axiom ática e incluso de crítica epistemológica, el cálculo logístico, h a llevado, en lo que se refiere a la interpretación del razonam iento m atem ático, a tres posiciones esen ciales que corresponden a tres fases diferentes de la historia de la logística. L a prim era y la tercera se caracterizan por descubrim ientos técnicos que h an enriquecido nuestro conocimiento lógico y, como consecuencia de ello, epistemológico; la seguiída es interesante sobre todo p o r 1a. teoría del conoci m iento lógico-m atem ático que perm itió form ular, sin que, por o tra parte, esta teoría esté ligada necesariam ente a la utilización de las técnicas logísticas. Se puede decir, en efecto, que en el transcurso de u n a p rim era fase de la logística se h a elaborado u n a fórm ula del razonam iento por recurrencia que perm ite obviar u n principio especial tal com o el invocado p o r Poincaré y que vincula el axioma de inducción com pleta a la construcción de los núm eros inductivos. Se puede caracterizar este p rim er período con los nombres de M organ (como p recursor), de Peano y de Russell (en sus prim eros escritos). En el transcurso de u n a segunda fase, la asim ilación de la lógica y de la m atem ática condujo a W ittgenstein y a la escuela de V iena a una concepción puram ente tautológica del razonam iento m ate m ático; éste se convirtió en la sintaxis de un lenguaje destinado a expresar sim plem ente “hechos” (físicos o experim entales). En u n a tercera fase, que

se inicia con la teoría de la dem ostración de H ilbert, los progresos de la lógica de las proposiciones perm itieron el descubrim iento de Goedel de una ined u ctib ilid ad entre el sistema constituido por la aritm ética (incluido el razonam iento por recurrencia) y la estructura del cálculo proposicional (bivalente) : tam bién inspiraron la investigación de Heyting y de la escuela polaca (Lukasiewicz, Tarski, etc.), de u na lógica polivalente y general susceptible de responder a las diversas exigencias de las posiciones asum idas en los problemas del fundam ento de la m atem ática. Sin pro fu n dizar la exposición técnica de los trabajos logísticos que caracterizan cada una de estas tres fases, debemos, sin em bargo, dilucidar su alcance en lo que se refiere a la epistemología propiam ente dicha. I. “L a utilización de la inducción m atem ática en las demostraciones, escribe B. R u sse ll19, era, en otra época, u n a especie de misterio. N adie du d ab a de que era un método suficientem ente probante, pero nadie sabía tam poco cómo estaba fu n d ad o . . . Poincaré lo consideraba como u n p rin cipio de la m ayor im portancia, m ediante el cual u n núm ero infinito de silogismos podía condensarse en un razonam iento único. Sabemos en la actualidad que todas estas concepciones son erróneas y que la inducción m atem ática es u n a definición y no u n principio. Se la puede aplicar a algunos núm eros m ientras que hay otros ( los cardinales transfinitos) que no perm iten su utilización. Definimos los «números naturales» como aquellos que se pueden establecer gracias a la inducción m atem ática, es decir que poseen todas las propiedades inductivas. E n consecuencia, estas determ inaciones se pueden utilizar en los números naturales no en razón de alguna intuición misteriosa, de un axiom a o de un principio, sino debido a que se presentan como una simple propiedad literal. Si definimos los «cuadrúpedos» como animales que tienen cuatro patas, se deducirá que todo anim al que tiene cuatro patas es un cu a d rú p ed o ; el caso de los n ú meros sometidos al régimen de la inducción m atem ática es exactam ente el mismo.” Este significativo pasaje de Russell se basa en la definición de las clases “hereditarias” (tales que si n form a parte de ella, n -(- 1 tam bién la in te g ra ), y tam bién en los conceptos de sucesor o de predecesor, de cero y de “posteridad de cero” , etc. (vol. I, cap. 1, p u n to 7, los conceptos prim eros de Peano, que son retom ados y precisados p o r Russell en función de su reducción del número entero a las clases). Ello equivale a decir, y tal es la simplificación esencial que la logística ha introducido en el transcurso de su prim era fase, que el principio de inducción m atem ática se origina en la construcción de los números enteros (fin ito s). T an to cuando se ite la reducción de los cardinales a las clases lógicas como cuando nos lim itamos, como lo hace Peano. a agregar el axioma de induc ción a los que determ inan la sucesión de los números, el razonam iento por 111 B. Russell: Introduction a la philosopkie mathématique. Trad. Moreau, Payot. pág, 41 Orig. inglés,

recurrencia se convierte así en la expresión de la construcción de los enteros finitos. Sin em bargo, si bien éste representa un progreso en relación con la interpretación realizada por Poincaré, B. Russell exagera en algo al com parar la serie de los núm eros con la clase de los cu ad rú p ed o s. . . E n efecto, “ definir” la prim era consiste en engendrarla m ediante un a ley de com posición operatoria que corresponde a un a estructura de grupo, m ientras que “definir” la segunda supone sólo la intervención de una simple reunión de individuos y no de unidades iteradas. Entonces, sin estar obligados a volver a la “intuición del núm ero puro” , el principio particu lar de la inducción com pleta sigue siendo irreductible a la lógica de las clases. D e este modo, el razonam iento por recurrencia es más fecundo que el silogismo: perm ite generalizar de cero, o de uno, a “todos”, propiedades no atribuidas de antem ano a todos los números, m ientras que el silogismo se lim ita a incluir unas en otras clases cuyas partes y el “todo” se originan en simples encajes. Asi, incluso los logísticos, en su m ayor parte, h an reconocido esta fecundidad inherente al razonam iento por recurrencia. II. Sin em bargo, exitoso o fallido (vol. I, cap. I, punto 4) el intento de reducción de los entes m atem áticos a las clases y a las relaciones lógicas p o rtab a en sí u n germ en de justificación que condujo a la segunda fase del análisis logístico. A partir del hecho de que los entes lógicos, conside rados en form a aislada (por oposición a los “agrupam ientos” a los que hem os aludido, punto 3, cap. I, vol. I ) , se reducen a la identidad, y del hecho de que la m atem ática m isma parecía reductible a la lógica pura, hemos llegado a la conclusión del carácter “tautológico” de todo razona m iento logicom atem ático. L a lógica y la m atem ática se lim itarían así a constituir la sintaxis de un lenguaje destinado exclusivamente a expresar “hechos” , es decir, comprobaciones experim entales y serían radicalm ente infecundas po r ser puras sintaxis. Partam os de lo que se designa como “proposiciones elem entales” , por ejem plo “este árbol es verde” , proposición que no com porta ninguna gene ralización y se lim ita a atribuir una propiedad a u n objeto. E n el interior de tales proposiciones, incluso, se puede distinguir lo que Russell llam a “proposiciones atóm icas”, es decir que no se puede descomponer en propo siciones m ás simples (se trata de las “Sachlagen” de W ittgenstein) y que se originan sim plem ente en la aplicación de la negación a ciertos datos inm ediatos ( “esto no es rojo” ). Existirían, entonces, “proposiciones mo leculares” que se originan en la aplicación de las operaciones de incom pa tibilidad a las proposiciones atómicas, y las “proposiciones elementales” , po r definición, se reducirían a proposiciones atóm icas y m oleculares consi deradas en conjunto. Aclarado esto, u n a proposición elem ental puede ser expresada bajo la form a de u n a función proposicional: “x es verde” o “{ { a ) ” y otros objetos, adem ás de “este árbol”, pueden convenir al predicado / ; por o tra parte, “este árbol” mismo puede com portar otros predicados diferentes de /. D e este modo, sin ab an d o n ar nunca el terreno de los hechos, sustituyendo los datos unos a otros en el interior de la

proposición, se p odrá engendrar el cálculo de las clases y de las relaciones y, com binando las proposiciones entre sí, desarrollar el cálculo proposicional. L a “clase” se convierte entonces en la concepción tautológica, una simple yuxtaposición de “argum entos” que satisfacen al mismo “enun ciado” . Al respecto, es interesante señalar la evolución de la lógica en lo que se refiere a los entes abstractos. Todavía en 1911 B. Russell pudo escribir u n capítulo sobre “el m undo de los universales” ,20 cuya teoría im itaba “en gran m edida a la de Platón, con sólo las modificaciones que el tiem po reveló necesarias” (pág. 9 7 ). A firm aba en él que “todas las verdades suponen universales y todo conocimiento de las verdades supone el conocim iento directo de los universales” (pág. 100), y itía, como m áxim o, que la existencia de los universales constituidos p o r las “rela ciones” es m ás fácil de “p ro b ar estrictam ente” que la de las entidades representadas po r adjetivos y sustantivos (pág. 102). Llegaba a la con clusión de que u n a relación como “al norte de” no se encuentra “ni en el espacio ni en el tiempo, no es ni m aterial ni m en tal” (pág. 105) : “subsiste” en lugar de “existir” (pág. 107). E n 1919, p o r el contrario, intenta dem ostrar 21 “p o r qué no se puede considerar a las clases como p arte del m obiliario últim o del m undo” (pág. 216) y piensa que “nos acercaremos m ás netam ente a u n a teoría satisfactoria si intentam os identificar las clases con las funciones preposicionales” (pág. 218). A hora bien, u n a función proposicional es un simple esquema de enunciados posibles: / (x) o (y) f ( x ) . Cuando está saturado por dos variables, constituye una relación, y cuando lo está p o r u n a sola, los valores que transform an las fupciones en proposiciones verdaderas constituyen una clase. Sin em bargo, tanto en estas relaciones como en estas clases sólo se observan enunciados virtuales, que corresponden a datos concretos y direc tam ente com probables: a “hechos” experimentales. El cálculo de las clases y de las relaciones es entonces sólo la sintaxis de un lenguaje que enuncia hechos. E n lo que se refiere a los núm eros cardinales o “clases de clases”, a los números ordinales o “clases de relaciones” y a los diversos tipos de entes m atem áticos, ellos agregan a los hechos sólo los entes lógicos; tam bién ellos, a pesar de su com plejidad aparente, se lim itan a vincular tautológicam ente entre sí esquemas de com probaciones posibles. En lo que se refiere al cálculo de las proposiciones, que com bina entre sí los enunciados tomados en conjunto, ocurre exactam ente lo mismo. U n a im plicación tal como p ZD q significa, simplemente, que, si un objeto cualquiera presenta esta propiedad enunciada por la proposición p, pre sentará tam bién la' propiedad enunciada por la proposición q. Las rela ciones cuantitativas consideradas por lógica clásica y que contraponen 20 B. Russell: L es problém es de la philosophie. Trad. Renauld. Alean, 1923. Obra publicada en inglés en 1911. [Hay versión castellana: L os problem as de la filosofía. Barcelona, Labor, 1965.] 21 B. Russell: In tro d u c tio n a la p h ilosophie m a th ém a tiq u e. Trad. Moreau. Payot. 1928. Orig. inglés.

el “todos” al “algunos” y al “ninguno” se reducen, en el caso de una función proposicional saturada po r ciertas clases de variables, al hecho de ser “siempre” verdadera, “algunas veces” verdadera o “n u n ca” verdadera. E n cuanto al cálculo fundado en las com binaciones de lo verdadero y de lo falso, él no introduce n in g u n a construcción real y se lim ita tam bién a u n a com binatoria que según los modos de razonam iento m atem ático o físico considerados es bivalente o polivalente, pero que se reduce au n a u n a simple sintaxis form al. Carentes de toda fecundidad, podem os decir incluso que las estructuras logicom atem áticas son ajenas a la verdad. R educidas al nivel de puros medios de expresión, perm iten enunciar verdades reales, que son fecundas por ser físicas y experim entales; estas estructuras,, sin em bargo, superan a la realidad física sólo en la m edida en que u n a sintaxis constituye el m arco vacío de los enunciados verdaderos que ta rd e o tem p ran o el lenguaje en acto utilizará. Ests, suit3.xis5 sin diids. sstá rsgpj.l3.dst su virtud d s las proposiciones prim eras y de u n juego de significaciones simbólicas; sin em bargo, según W ittgenstein, las proposiciones prim eras se im ponen con evidencia porque resultan de la elim inación de com binaciones simbólicas posibles. Los símbolos, por su parte, son imágenes, es decir, hechos que se “asem ejan” a otros hechos y el sentido de estas “im ágenes lógicas” resulta tam bién de u n a simple com probación. Así, después de hab er basado la fecundidad de la m atem ática en un universo casi platónico de las ideas generales, la epistemología logística llegó a negarla en form a rad ic al: reduciendo el simbolismo logicomatem ático a u n a vasta tautología, le añade a este nom inalism o u n a asimilación del conocimiento real a la sim ple com probación del d ato sensible; al fin de cuentas, conduce a lo que el propio W ittgenstein designa como u na especie de solipsismo, consecuencia inevitable del “em pirismo lógico” . Es evidente, sin em bargo, que po r precisos y, en algunos aspectos, defi nitivos que sean los descubrim ientos técnicos del cálculo logístico, su utili zación no im plica ipsó f a d o 1a. adopción de la epistemología vienesa. A ceptarem os sin objeciones que esta utilización p u ed a ser fatal p a ra un cierto m odo metafísico de pensar m ediante conceptos inaptos p ara toda form ulación; incluso coincidiremos p o r com pleto con la posición del círculo de V iena cuando lim ita los modos efectivos del conocim iento a sólo dos tipos: la experiencia y la form alización. Pero entre la realidad física y la deducción logística interviene, necesariam ente, el hecho m ental. E n la exacta m edida en la que renunciam os al platonism o inicial de B. Russell, debemos entonces fu n d am e n tar el form alism o lógico en la actividad inte lectual; se p lan tea entonces el problem a de si la psicología de W ittgenstein y de los vieneses perm ite realizar correspondencia. Debemos señalar, en prim er lugar, y de la m an era más neta que, al m argen de su form ulación logística, los vieneses ad o ptaron y construyeron u n a cierta psicología de las funciones intelectuales: el o entre el simbolismo y los “hechos” sólo pudo realizarse m ediante dos tipos de afir maciones, que conciernen las unas al conocimiento (percepción e inteli

gencia) y las otras a la función simbólica (papel del signo, y papel de la "sintaxis” o del lenguaje en g en e ral). A hora bien, pese a que la form ulación lógica es un problem a de puro cálculo o de p u ra axiomatización, estas afirm aciones psicológicas corresponden por el contrario a la experiencia por si sola, es decir, a la experim entación psicológica, y ninguna deducción logística es suficiente p a ra resolver de hecho tales problem as. P ara m edir el valor de la epistemología "vienesa” debemos ubicam os entonces en el terreno de los hechos m entales y distinguir con cuidado este problem a del que corresponde al valor de la logística como tal. A hora bien, podemos in tentar determ inar a qué “hechos” psicológicos corresponden los “enunciados” form ulados por las proposiciones “atóm icas” y las estructuras formales de diversos órdenes; nos vemos obligados a reco nocer, entonces, que no se trata en absoluto de simples com probaciones en el transcurso de las cuales el sujeto registraría los datos exteriores y perm anecería, por su parte, pasivo; por el contrario, se observa constante m ente u n a acción real del sujeto que actúa sobre los datos en lugar de aceptarlos tal cual: se deduce de ello que los “enunciados” corresponden tanto a operaciones psicológicas como a “hechos” físicos y que, en conse cuencia, el m ecanism o operatorio reprim ido de la “tautología” lógica debe integrarse a lo real como enunciado o, si no, ser reintegrado en la interpretación de los símbolos logísticos como enunciantes. ¿E n qué consiste, en efecto, la lectura de un dato inm ediato? Si se tra ta de percepción, se plantea de inm ediato una dificultad ce n tral: tal como intentam os dem ostrarlo en otra parte (vol. I, cap. II, puntos 3-4), la percepción es irreductible a toda form a lógica, ya que las relaciones perceptuales no se pueden com poner entre sí en forma transitiva, son irrever sibles, no asociativas y ajenas a la conservación de las partes y del todo. C ada com paración las m odifica y com portan sólo un modo de composición estadística y no racio n al; por sí solas, las relaciones perceptuales no pueden proporcionar ninguna base a u n a construcción lógica: p ara que p uedan determ inar “enunciados” susceptibles de composición sintáctica, deben estar, en prim er lugar, estructuradas por esquemas sensoriomotores semejantes al del objeto perm anente, y ser luego conceptualizadas por la integración en un sistema simbólico y representativo. A hora bien, am bas transform aciones de lo perceptual en u n esquematismo logieizable supone la acción o la operación. En lo que se refiere al concepto de objeto, esencial p a ra el enunciado de las proposiciones m ás elementales, la creencia de que hay objeto a partir del m om ento en el que hay percepción se basa en u n error psicológico m anifiesto: el concepto de objeto constituye el más simple de los esquemas de conservación; esta conservación, sin embargo, lejos de resultar de un a pu ra identificación intelectual (véase punto preced en te), supone una coordi nación de las acciones de rodeo y de retorno y u n a organización espacial de los desplazamientos (que preanuncia una estructura de grupo o p era torio) . E n relación con el objeto, entonces, la percepción sólo juega un papel de índice y al reconocer un objeto m ediante la vista o el tacto no

nos lim itam os a verlo o a sentirlo: vemos o tocamos sólo u n a p arte de! objeto, la que actú a como índice del todo que se refiere así a u n esquema de conjunto construido y no dado. El “enunciado” lógico m ás simple, la proposición m ás “atóm ica” , tal como “esto. . . rojo”, etc., enuncia de este modo u n a serie de acciones virtuales y no un dato perceptual. Además, la intuición logística a m enudo sorprendente de W ittgenstein es m ucho más profunda que su psicología: cuando este auto r caracteriza los “enun ciados” m ás primitivos m ediante negaciones ( “no rojo” , “no verde” , etc.) ite ya con ello la existencia de la construcción operatoria subyacente a los así llam ados “hechos” que estos enunciados significarían. Si nos referimos ahora a "enunciados” m ás complejos (pese a que caracterizan siempre “proposiciones elem entales” de argum ento individual, • tales como “este árbol es verde” ), en tra en juego un a conceptualización y una simbolización cuyo carácter psicológicamente operatorio y no sim plem ente “dado” es mucho más fácil de percibir. Comencemos por exa m inar el p red ic ad o : “verde” (o “blanco” , e tc .). En la época en que B. Russell e ra platónico, escribió que “ el acto de pensam iento de un hom bre es necesariam ente diferente del acto de pensam iento de otro hom bre; el acto de pensam iento de un hom bre en u n m om ento dado es necesariam ente diferente del acto de pensam iento del mismo hom bre en otro m om ento. En consecuencia, si la blancura fuese así el pensam iento considerado como opuesto a su sujeto, dos hombres diferentes no podrían pensarla y el mismo hom bre no podría pensarla dos veces. El carácter com ún de varios pensa m ientos diferentes de blancura es su objeto, y este objeto es diferente de todas ellas. Los universales, de esta m anera, no son pensamientos, pese a que, cuando se los conoce, sean los objetos de los pensam ientos” .-- Es evidente que estas objeciones de Russell son irrefutables en lo que se refiere a la b lan cu ra perceptual, que, al mismo tiempo, es incom unicable y carece de toda conservación o reversibilidad mentales. Pero tam bién rigen en contra de la perm anencia de la blan cu ra física, ya que las mismas ondas luminosas nunca se reproducen dos veces en las mismas circunstancias. “Pensar” la blancura o el verdor, etc., es, entonces, construir un concepto: si se lo pretende estable y susceptible de articularse en “enunciados” lógicos, debemos recurrir entonces al platonismo, a la inteligencia di vina, etc., si no, si no se es metafísico, reconocer al pensam iento el poder de conservar sus ideas m ediante operaciones reversibles e intercam biarlas p or co-operación social, es decir, nuevam ente, m ediante operaciones rever sibles, pero con correspondencias interindividuales. Sólo en este caso el enunciado “este árbol es verde” ten d rá alguna significación logística. E n lo que se refiere íil tem a o argum ento de la proposición, es evidente que si se le atribuye a un objeto la cualidad de ser un “ árbol”, se lo incorpora tam bién a un esquem a operacional fuera del cual el enunciado pierde to d a significación. Designemos como f (a) la proposición “este árbol (a) es verde ( / ) ” . A hora bien, más aú n que la estabilidad del predicado ( /) , la designación del argum ento (a) supone u n a construcción. - - Les problémes de la philosophie, op. cit., págs. 106-107. Véase nota 20.

D esignar al objeto (a) como árbol, en efecto, supone referirse a otros objetos (b, c, etc.) susceptibles.de presentar ju n to con él algunas funciones proposicionales, es decir, de presentar jun to con él algunas cualidades comunes (estar vivo, tener un tronco, etc.) que definen el concepto de árbol. Al m argen de u n a referencia semejante, im plícita o explícita, no tiene ningún sentido tra ta r este objeto (a) de “árbol” ; esta designación, entonces, supera necesariam ente el dato actual y lo conecta con u n con ju n to de otros “hechos” com parados entre sí. El hecho de que esta com pa ración o estas relaciones se reduzcan, desde u n p u n to de vista logístico, a la posibilidad de sustituir ( b ) o (c) al argum ento, (a) de la proposición / ( a ), no excluye en n a d a el carácter operatorio del acto psicológico que perm ite tales sustituciones: u n a operación de reunión o de puesta en rela ción interviene así en toda función proposicional susceptible de d eterm inar una clase o u n a relación y todo enunciado relacionado con u n objeto conceptualizado supone relaciones semejantes. Debemos resolver au n el aspecto central de u n a interpretación nom i nalista o “sintáctica” de las estructuras lógico-m atem áticas: ¿Q u é es un símbolo y de qué m anera las proposiciones reducidas a u n puro lenguaje simbólico designarán lo real correspondiente? T an to cuando se define el símbolo como una “im agen” , como lo hace W ittgenstein, como cuando consideramos la im agen como u n “hecho” que “ se asemeja” a los hechos que ella significa, no se m odifica en n ad a la naturaleza esencialmente m ental del hecho significante, designado m ediante los símbolos. Incluso si se ite que la lógica es sim plem ente un lenguaje, de todos m odos un lenguaje se construye y no se descubre m ediante simples com probaciones exteriores, y supone sujetos psicológicos capaces de h ab lar entre sí y de representarse alguna cosa m ediante los signos así elaborados. Psicológica mente, la función simbólica (o capacidad de representar m ediante signos e imágenes) explica, si se quiere, el pensam iento, pero además lo supone: más precisam ente, lo explica sólo con la condición de im plicar sus atributos esenciales; si el pensam iento es sólo u n lenguaje, ello se debe a que el lenguaje es u n instrum ento conceptual. Lejos de suprim ir la operación, un sistema simbólico exacto, de este inodo, es doblem ente operatorio: representa m ediante operaciones simbólicas u n a interacción no de realidades ya constituidas, sino de operaciones reales. De. este modo, cuando se reducen las estructuras lógico-m atem áticas a u n a sintaxis no se excluye en n a d a su fecundidad operatoria. Se m antiene, en particular, la oposición notable basada en el hecho de que el lenguaje propiam ente m atem ático, cuyo carácter tautológico se pretende que itam os, es infinitam ente m ás rico que la sintaxis exclusivamente lógica: ¿P or qué, entonces, las “tautologías” de la lógica form al son, pese a todo, ta n cortas, m ientras que las “tau to logías” características de la teoría de los números, del análisis o de la geom etría exigen volúmenes enteros p ara que sea posible transcribirlas y símbolos de invención ininterrum pida p ara su desarrollo? E n resumen, consideram os que es imposible negar que la construcción operatoria, separada de la lógica p u ra de la m atem ática p o r la epistemo-

logia vienesa en el transcurso de este segundo período de la historia de las teorías logísticas, reaparece necesariam ente en el terreno psicológico; ello hace resurgir, necesariam ente, el problem a de su form alización logística. E ntre el símbolo logístico y el “hecho” físico se sitúa u n a acción del sujeto y la operación se presenta así como u n cúm ulo indispensable entre ambos. Por otra parte, los “vieneses” lo iten parcialm ente en lo que se refiere al hecho de conciencia: lógicam ente “tautológica”, la m atem ática, psico lógicam ente, es considerada constructiva y fecunda. ¿P ero se debe consi d erar entonces que este sentim iento es u n a ilusión subjetiva o acaso es epistem ológicam ente necesario conferir al sujeto u n a actividad real para vincular los “hechos” a sus “símbolos” ? T res razones im ponen al parecer este segundo p u n to de vista. La p rim era es la convergencia progresiva entre el análisis psicológico y el análisis logístico. El desarrollo de la inteligencia se reduce en su totalidad a u n pasaje de la acción irreversible a las operaciones reversibles y estas operaciones se constituyen psicológicam ente bajo la form a de sistemas de conjunto bien definidos: ah o ra bien, según las operaciones en juego estos sistemas corresponden a “grupos” m atem áticos (la serie de los números, los desplazamientos en el espacio, etc.) o si no a los “agrupam ientos” más elem entales de clases y relaciones cuya estructura ya vimos (vol. I, cap. I, p u n to 3 ). E sta orientación del pensam iento vivo y de los procesos intelec tuales concretos en la dirección de los sistemas que constituyen sus formas de equilibrio y que, p o r o tra parte, son directam ente axiomatizables en estructuras logísticas constituye u n hecho de gran im p o rtan cia epistemo lógica: si se sostiene la “u n id ad de la ciencia”, p o r oposición a la psico logía u n poco ru dim entaria con que se contenta el em pirism o lógico, estos datos genéticos representan u n a p rueba en favor de ello. E n segundo lugar, desde el p u n to de vista estrictam ente logístico, sólo se podría reducir la .m atem ática y la lógica a u n a vasta tautología si todas las relaciones en juego en las estructuras lógico-m atem áticas fuesen asimi lables a la identidad p u ra. A hora bien, 110 es en absoluto así y la ilusión contraria se originó en u n procedim iento de análisis esencialmente atom ís tico: cuando Russell, p o r ejem plo, reduce la correspondencia biunívoca de u n térm ino a otro a la identidad, om ite los diversos modos posibles de correspondencia considerados como sistemas de conjunto 28 (lo que deter m ina la asimilación del núm ero cardinal a u n a clase de clases). Si se analizan, por el contrario, las totalidades como tales, se com prueba que lo que constituye la relación lógica fundam ental no es la identidad, sino la reversibilidad; la identidad entonces se reduce al p roducto de las rela ciones directas e inversas. A hora bien, la reversibilidad es un concepto esencialm ente operatorio y que converge, como acabam os de ver, con la form a del equilibrio de los procesos m entales correspondientes. L a evolución de los trabajos logísticos a p a rtir del segundo período que consideramos, constituye u n a tercera razón que invita a no reducir la lógica y la m atem ática a u n a p u ra y simple tautología. La hipótesis 33 Véase en este volumen cap. I, § 4.

epistem ológica de la tautología general, característica de las “ sintaxis” lógicom atem áticas, supone, en efecto, como mínimo, la reducción posible de .tojlos los procedimientos de inferencia o de razonam iento al esquem a p ura m ente lógico del cálculo proposicional. Supone como m ínim o la posibilidad de reconstruir la m atem ática como sistema form al único. A hora bien, los trabajos del tercer período, en particular de H ilbert y de Goedel, cuyas repercusiones examinaremos a continuación, cuestionan precisam ente esta unicidad. III. El tercer período de la logística señala u n a renovación tanto desde el p u n to de vista de la reducción de la m atem ática a la lógica como en lo que se refiere a susnaturalezas tautológicas o no. Los trabajos de H ilbert sobre la axiomatización de la aritm ética la p rean u n ciaro n y una crisis propiam ente dicha se produjo en 1929 con los descubrim ientos de G oedel; ella obligó a los antiguos del círculo de V iena a atenuar su posición hasta convertir la lógica en u na sintaxis de todas las sintaxis (como lo sostiene en la actualidad C a rn a p ), por oposición a la lengua elem ental en cuyo nom bre se esperaba, en un prim er m om ento, suprim ir los problem as y “cerrar” las axiomáticas. D espués de dem ostrar la no contradicción de la geom etría, apoyándose en la de la aritm ética, H ilbert intentó dem ostrar desde 1904 la no contra dicción de la aritmética. Las resistencias que encontró, sin em bargo, lo llevaron a m odificar la posición inicial de Russell desarrollada por los vieneses en dos puntos: (1) E n prim er lugar, renunció ráp id am en te a una reducción p u ra y simple de la m atem ática a la lógica; p o r el contrario, pasando de la lógica a la aritm ética y de ésta al análisis, introdujo, en cada caso, nuevas variables y nuevos axiomas. P ara form alizar la aritm é tica, utiliza p o r ejemplo el cálculo de las proposiciones, los axiomas de la igualdad, los axiomas de recurrencia para la adición y la m ultiplicación y un axiom a próxim o al “axiom a de elección” . Y a no se p roduce entonces una reducción de lo superior a lo inferior, por ejem plo del núm ero a la clase o del razonam iento por recurrencia a encadenam ientos p u ram en te lógicos de inclusiones o de relaciones asimétricas: se produce p o r el contrario, una subordinación de la m atem ática simple a la “m etam atem ática” , o sea a u n a disciplina que reconstruye en form a sim ultánea la lógica y la m ate m ática y cuyo objeto es el de dem ostrar la no contradicción y el cum pli m iento de los axiomas de la m atem ática form alizada. (2) E n segundo lugar, y a fortiori, H ilbert renuncia a toda interpretación tautológica de la lógica y de la m atem ática y se encuentra, a pesar suyo en cierta form a, enfrentado nuevam ente con el problem a de la fecundidad. E n efecto, los tres criterios que asigna a to d a axiomática acabada son la independencia de los axiomas, su no contradicción v la saturación, es decir, la posibilidad de dem ostrar todas las consecuencias que se pueden extraer de ellos. A hora bien, se com probó que la independencia de los axiomas era ta n grande que, incluso en el terreno de la aritm ética pura, no logró dem ostrar ni la no contradicción ni la saturación. Es suficiente señalar que, en el terreno propiam ente axiomático, no se podría ya hablar legítim am ente de la n atu

raleza tautológica de las conexiones lógico-m atem áticas: hemos observado (en I I ) la existencia de operaciones que se interponen en form a necesaria entre los “hechos” y los enunciados lógicos; ahora bien, estas operaciones son ta n ricas que hasta el m om ento no se h a podido dem ostrar en absoluto que los axiomas “independientees” propios de la axiom ática aritm ética misma sean com patibles entre sí.24 E n efecto, el problem a planteado por H ilbert m ostró ser m ucho más com plejo de lo que el ilustre inventor del método m etam atem ático lo había supuesto. Sobre este punto, como siempre, la crisis así surgida fue más fecunda que todos los dogmatismos. E ntre 1929 y 1934 los esfuerzos por dem ostrar la no contradicción de la aritm ética y en especial el axiom a general de inducción com pleta, en efecto, se enriquecieron con los trabajos de H erbrand, de Godel y de G entzen que renovaron en m uchos aspectos los problem as, pese a que no lograron los resultados propuestos. E l ensayo de H erbrand 25 consistió en reducir las operaciones de una dem ostración a operaciones progresivam ente más simples, hasta h allar una form a directam ente com probable. Procediendo por discusión finita de tér minos que no contienen más variables, hasta decidir si esta disjunción es una identidad lógica, llega así a dem ostrar un cierto núm ero de com pati bilidades, pero fracasa ante el axiom a general de inducción com pleta, irreductible a este m étodo llam ado de los campos. E n 1929 Gódel realiza un paso decisivo al dilucidar la Causa positiva de estas resistencias. D e un teorema, luego célebre, relacionado con u n sistema de relaciones recurrentes, deduce el resultado esencial de que la no contradicción de una teoría no puede ser dem ostrada sólo m ediante los elementos de esta teoría ni se puede reducir tam poco a la no contradicción de u n a teoría más simple. L a lio contradicción de la aritm ética no es pues dem ostrable lógicam ente y, en el estado actual de los conocimientos, sólo podría basarse en u n a dem ostración m etam atem ática que recurriera a los instrum entos transfinitos. Por ello, la legitim idad de] razonam iento por recurrencia no puede depender de la lógica, no sólo porque carece de una reducción directa posible, sino tam bién porque no puede “satu rar” al sistema de las verdades m atem áticas: p a ra decirlo de otro modo, no se puede dem ostrar sólo m ediante la lógica la verdad o la falsedad de la generalización a todos los núm eros de una propiedad que se com prueba en el caso del 0 y del núm ero siguiente a un núm ero dado. Posteriorm ente Gentzen, en 1934, m ediante un m étodo sim ilar al de H erbrand, logra dem ostrar efectivam ente la no contradicción de la aritm é tica y englobar el axiom a general de inducción; pero incorpora a su razonam iento el transfinito y, como él mismo lo dice, recurre a “medios que van más allá de la aritm ética” .26 24 Ello no impide a algunos partidarios y seguidores de la logística vienesa mantener su concepción tautológica. Aún en 1948, M. Boíl: M a n u e l de logique sc ien tifiq u e, pág. 523, escribía que la aritmética es una “inmensa prolongación de la lógica” y de una lógica concebida como tautología, 23 J. Herbrand: R echerch.es sur la théorie de la dém onstration. Thcse de París, 1930. 2(i Citado por Lautman: L es schém as de getiése. Henriann. 1938, pág. 148,

A hora bien, estos desarrollos de la m etam atem ática hilbertiana p re sentan m uchas enseñanzas lógicas y epistemológicas. El hecho de que no se pu ed a dem ostrar la no contradicción de la aritm ética aplicando el criterio clásico (p . p = 0) sin apoyarse en u n orden de verdades superior a la aritm ética (y que en consecuencia la supone) p ru eb a sin d u d a la insuficiente coherencia de la m atem ática o, si no, la insuficiencia de los procedim ientos con que cuenta actualm ente la íorm alización logística. A hora bien, llam a m ucho la atención que, pese a que en la actualidad es im posible reducirla a u n sistema form al único, nadie cuestiona la coherencia in tern a de la m atem ática. Se debe proceder a perfeccionar la lógica, ya que no se puede dem ostrar la no contradicción de los sistemas operatorios característicos de la aritm ética m ediante sistemas operatorios que carac terizan sólo la lógica clásica. Este reajuste de la lógica ya se h a iniciado y se lo puede considerar de tres m aneras que, p o r o tra parte, quizá confluyan en algún momento. E n prim er lugar, se h a intentado considerar a la lógica clásica, que es bivalente, como un sim ple caso p articular de lógicas m ás generales de tres valores (por. isión de un tercero no excluido), de cuatro valores o incluso de u n a infinidad de valores: el esfuerzo de extensión se realiza entonces sobre el principio del tercero excluido hasta convertirlo en un principio del n 9 excluido, con la idea más o menos explícita de llegar así a u n a lógica del infinito más ad ap tad a a la m atem ática que la de los conjuntos finitos. En segundo lugar , se pueden perfeccionar las m etateorías hasta construir sistemas formales que im itan con precisión cada vez m ayor las teorías m atem áticas, procedim iento que, al fin de cuentas, tiende a convertir la m atem ática en su propia lógica. Por últim o se podría —pero al parecer no se ha in te n ta d o esta tercera solución— am p liar el principio de la no contradicción: ¿p o r qué la expresión p . p ~ 0, que se basa en la simple com plem entariedad de p y de p en el universo del discurso, no basta p a ra asegurar la no contradicción de la aritm ética? ¿ Se deberá acaso a que u n sistema de encajes susceptibles de perm itir u n a inducción com pleta y que se basan en los grupos y el cuerpo de los números reales no puede ser encerrado en un sistem a de encajes sim plem ente intensivos, es decir, definidos por puras com plem entaridades? Estas tres soluciones equivalen así a superar en. tres m odos diferentes el m arco de la lógica bivalente, dada su insuficiencia p ara absorber la matemática, o, incluso, cuando las estruc tu ras lógicas y m atem áticas están sim plem ente intrincadas unas con otras, p a ra proporcionar el criterio de la no contradicción del mixto así cons tituido. Los prim eros ataques contra la lógica bivalente se originaron en el intuicionism o brouw eriano. Resuelto a ad m itir sólo los entes matem áticos efectivam ente construidos, Brouwer se vio llevado a reexam inar el valor de los razonamientos concernientes a los conjuntos finitos y la utilización de las demostraciones p o r el absurdo. D e este modo redujo la lógica a una simple clasificación verbal de los conjuntos finitos y cuestionó resueltam ente el empleo del tercero excluido en el infinito, itiendo la posibilidad de

uñ tertium: lo indem ostrable, situado entre lo verdadero, o efectivamente construido y el absurdo. Después de que W avre dem ostró la posibilidad de form alizar un punto de vista sem ejante, H eyting construyó efectivamente un a lógica trivalente susceptible de adaptarse al intuicionismo. :Además de la lógica probabilista polivalente de R eichenbach y muchos otros ensayos (Gonseth, etc.), la escuela polaca, con Lucasiewicz y T arski, gene ralizó estos intentos y construyó u n principio del n° excluido y una lógica de una infinidad de valores. Este es un esfuerzo de un g ran interés cuyo alcance efectivo, sin duda, no se h a agotado aún. Sin em bargo, h asta el presente dos circunstancias lo lim itan. Por u n lado, pese a que de este modo se prep aran nuevos m arcos que, al parecer, y sobre todo, se podrán ajustar en algún m om ento a los problem as de recurrencia, n inguna aplicación decisiva ha justificado aún esta am pliación; m uchos autores conservan la im presión de u n a reducción posible de la polivalencia a la bivalencia simple. Por o tra parte, una lógica con u n a infinidad de valores no es au n u n a lógica del infinito y no se ha elaborado u n a “lógical general” , subsistiendo po r entero el problem a de determ inar si ella es posible. E n segundo lugar, la am pliación de la lógica se efectúa en el propio seno de las teorías m etam atem áticas. Junto con la lógica p u ram en te inten siva representada po r las clases y las relaciones, independientem ente del núm ero, y po r la lógica de las proposiciones bivalentes, se puede concebir u n a lógica de la m atem ática que consiste en u n a com binación de axiomas estrictam ente lógicos y de axiomas tomados de la aritm ética, del análisis o, sobre todo, de las estructuras transfinitas. Estos agregados, que caracterizan, precisam ente, las teorías m etam atem áticas, pueden recibir perfecciona m ientos indefinidos; por lo general de ellos se espera el cum plim iento de las formalizaciones m atem áticas. Pero, incluso si de este m odo se supera la lógica p u ra y no se reasum e el ideal ilusorio de la reducción simple de lo m atem ático a lo lógico, la no contradicción de los sistemas aritméticos sólo se puede dem ostrar, lo hemos visto, sobre la base de axiomas de orden su perio r: en m ayor grado aún que el fracaso de la reducción russellíana de lo superior a lo inferior, esta resistencia al cum plim iento de la formalización señala entonces, la heterogeneidad de lo lógico y de lo matem ático. Existe así u n a autonom ía relativa de los niveles superiores y, en conse cuencia., u n a necesidad de construir una lógica específica que se adapte cada vez más a ellos m ediante incorporaciones sucesivas de nuevos axiomas ajenos a la lógica pura. A hora bien, cuanto más se desarrolla en el plano m etam atem ático, más im ita esta lógica m ixta a la m atem ática, con un m im etism o creciente. A este respecto se puede h ab lar de u n a asimilación progresiva de lo lógico y de lo m atem ático, pero esta asimilación, en este caso, es recíproca y equivale, como siempre, tanto a enriquecer lo inferior m ediante lo superior como a trad u cir éste en las estructuras de aquél. U n ejemplo perm itirá com prenderlo. H ilbert dem uestra el principio del tercero excluido basándose en u n cierto axiom a de elección transfinita: A. ( íA ) 3 A (a ) significando que si la propiedad A se adecúa al objeto elegido (t A) conviene entonces a todos los (a). El ejem plo presentado en el finito es el siguiente: si A es la propiedad de ser corruptible y el

objeto elegido (t A) es el m ás incorruptible de los hombres, entonces todos los hom bres [a) son corruptibles. A hora bien, es evidente que al otorgarnos la posibilidad de encontrar entre el conjunto de los hombres al más incorruptible de ellos, nos atribuim os con ello el p o d er de seriar a todos los hom bres comparándolos dos a dos (o clases a clases) desde el punto de vista de la relación asim étrica transitiva: “m ás (o m enos) incorruptible” . A plicar este mismo poder a los conjuntos transfinitos significa, entonces, atribuirse el derecho de ordenarlos a todos (no necesariam ente de acuerdo con la relación “bien ordenado” sino de acuerdo con u n orden simple o un juego de intersecciones p rev ia s). E n resumen, in tro d u cir u n axioma como éste equivale a proveerse de más de lo que se necesita p ara logicizar u n sector m atem ático particular, pero, precisam ente, al concederse dem a siado se enriquece con ello lo inferior en lugar de reducir lo superior: en ese punto la lógica am pliada de las m eta teorías deberá duplicar la m atem ática al insertar la lógica en u n a m etalógica, lo que es más proba ble que lo contrario; y esto hasta convertir la m atem ática en su propia lógica. Tam bién en este caso se debe considerai el principio de inducción com pleta como un modo de inferencia específico irreductible a la lógica bivalente. . E n tercer lugar, se podría im aginar u na solución que equivaldría a am pliar el concepto de la no contradicción hasta convertir la no contra dicción característica de la lógica bivalente en un simple caso particular de lo no contradictorio, que caracteriza la lógica de las operaciones rever sibles en general. En efecto, ¿qué significa la expresión clásica p . p . símbolo de la contradicción interproposicional? Sim plem ente lo siguiente, que el universo del discurso (llamémoslo z) está repartido en dos clases , de valores, que algunas de las cuales presentan la proposición p. otras . la proposición p y que estas dos clases correspondientes a p y a p son com plem entarias bajo z. Se tendrá entonces, por d efin ició n : (1) p . p — 0

(2) p v p = j

(3) p = z . J

(4) p = z . p

Si p o r ejemplo p significa “x vive”, todos los x se dividirán en vivos y no vivos (p ) y la no contradicción ( p . p — 0) equivaldrá a afirm ar que nin g ú n x podrá estar al mismo tiem po vivo y no vivo, ya que. por definición, no vivo es com plem entario de vivo. D e ello se deduce que los vivos serán todos los z que no son no.vivos (4) y que los no vivos serán todos los ¿ que no son vivos (3 ). Este criterio, sin embargo, sólo depende de la com plem entaridad sim ple, es decir que su carácter es puram ente intensivo 21 y supone sólo las relaciones de encaje de la parte en el' todo: la única relación conocida entre u n a de las partes (correspondiente a p) v la otra p arte (correspon diente a p ) es, en efecto, una relación de .com plem entariedad, es decir, una En lo que se refiere a las definiciones de lo “intensivo” y de lo “extensivo”, véase en este volumen cap. I, § 3.

relación que se refiere al todo: p — z . p . ¿Acaso debe sorprendernos, entonces, que u n a definición exclusivamente intensiva de la no contra dicción no sea suficiente para explicar la coherencia característica de los sistemas extensivos y numéricos? Por el contrario, es evidente que sistemas de este tipo superan el m arco intensivo y corresponden, en consecuencia, a un criterio de la no contradicción más delicado. Supongamos, por ejemplo, que en virtud de los axiomas escogidos m anteniendo las definiciones ordinarias de los núm eros 2, 4 y 5 se obtenga en un sistema aritm ético una proposición tal que 2 -j- 2 = 5. Si hacemos corresponder 2 + 2 a la proposición p y 5 a la proposición p, se plantea entonces el problem a del por qué de su contradicción. ¿Se debe, u n a vez más, sim plem ente a que el conjunto (infinito) de los números enteros se divide en dos subconjuntos com plem entarios, uno de los cuales com porta las relaciones 0 + 4 = 4; 1 + 3 = 4 ; 2 + 2 = 4; etc., ,y a que el otro con tiene todas las otras relaciones verdaderas concernientes a los 5, 6, 7 . . ., de m anera tal que no existe ninguna ecuación que com porte al mismo tiempo 2 + 2 en un miembro y un núm ero distinto de 4 en el otro miembro? Es evidente que si se razona en form a tan simple, nunca se podrá no sólo dem ostrar sino tampoco asegurar intuitivam ente la no contradicción del sistema. A hora bien, esto es, aproxim adam ente, lo que se pretendió cuando se intentó subordinar la aritm ética a la lógica. La no contradicción arit m ética, por el contrario, depende del hecho de cjue operaciones generadoras de los núm eros enteros positivos y negativos constituyen un grupo tal que la operación directa + 1 es anu lad a por la operación inversa — 1, bajo la form a + 1 — 1 = 0 . E sta composición de la operación directa constituye el correspondiente real, en el plano de los números enteros, de la ecuación lógica p . p — 0. E n consecuencia, será contradictoria toda ecuación num érica en la que las operaciones directas e inversas no se anulen unas a otras.: sea + n — « 3 ; 0. D e ello se deduce que, la no contradicción aritm ética com porta otro criterio, m ucho m ás fino, que la no contradicción simplemente lógica o intensiva, que depende de la complem entaridad. ¿Pero cuál es, entonces, la relación entre estos dos tipos de no contra dicciones? Se refiere, precisam ente, al juego de las operaciones directas e inversas y, de m anera general, se puede definir a la no contradicción por la reversibilidad, aunque diferenciando siempre, los niveles distintos de no contradicciones según la naturaleza de los sistemas operatorios, que se caracterizan todos por su composición reversible. En particular, la no contradicción lógica p . p — 0 es sólo una composición reversible específica que consiste en anular u n a operación directa (o afirm ación) por su inversa (o negación), lo que equivale a la operación idéntica 0. E n efecto, como lo hemos dem ostrado en otra obra,28 sobre la base de la conocida regla de dualidad p v q = p . q y p . q = p v q, toda la lógica de las proposiciones es reductible a u n “agrupam iento” único ( para Tratado de lógica, | 39.

el concepto de “agrupam iento” véase el cap. 1, p u n to 3 ), cuya operación directa es la disyunción p v q y ¡a inversa la negación conjunta p . q. Al ser la operación idéntica general (v) 0 y las idénticas especiales { p ^ p — p) y ( p v z = z ) , se puede extraer to d a la lógica de las proposiciones de las ecuaciones (1) a ( 4 ): p . p — Q ; p v p = z ; p = z . p y p = z . p . A hora bien, el “agrupam iento” constituye el único sistema de composiciones reversibles compatibles con las relaciones puram ente intensivas de inclusión de la parte en el todo y de. com plem entaridad; de ello se deduce que la no contradicción lógica p . p — Q expresa, sim plem ente, la reversibilidad inherente a este sistema. Es evidente, entonces, que p o r sí sola ella no dem uestra la no contradicción de la aritm ética, ya que esta dem ostración equivaldría entonces a reducir las relaciones extensivas (de p arte a p arte) y en especial las relaciones num éricas (iteraciones de la u n id ad e in d u c ción com pleta) a sólo las relaciones intensivas (de com plem entariedad y de inclusión) (!) Por el contrario, si la no contradicción en general se reduce a la rever sibilidad en general, cada conjunto de grupos in teg ra su no contradicción y com porta su criterio específico de contradicción, en relación con la operación idéntica del sistema. T am bién desde este p unto de vista, la lógica de la m atem ática se reduce a las estructuras m atem áticas. . IV . A hora bien, a p artir de las consideraciones que preceden, es posible form ular una interpretación del razonam iento m atem ático que concilie su fecundidad y su rigor, y que lo distinga tam bién del razona miento sim plem ente lógico. El razonam iento lógico ya es fecundo, puesto que dos operaciones lógicas cualesquiera que se com ponen entre sí d a n u n a nueva operación no contenida en los com ponentes. Sea po r ejemplo la conjunción ( p . q) : ella afirm a, simplemente, la verdad de algunas com binaciones de valores que iten en form a sim ultánea p verdadero y q verdadero (por ejemplo p j = x es m am ífero y q = x es v ertebrado). Si, p o r otra parte, afirm am os (P ■q) j itim os la conjunción posible de q con no p (por ejem plo si x es pájaro es a la vez no m am ífero y vertebrado, sea p . q ) . A hora bien,

la reunión de ( p . q) y de p , q bajo la form a [(¡b . q) v (p . q) ] contiene más que ( p . q) y que ( p . q) considerados p o r separado: esta reunión disyuntiva, en efecto, significa que q puede ser afirm ado independiente m ente de la verdad o de la faisedad de p. Agreguemos tam bién la verdad áe p . q (ni m am ífero ni vertebrado) y neguemos la de p . q (m am ífero y no vertebrado) : esta reunión [( p ■q) v (p . q) v ( p . q) ] con exclusión de (P ■q) significa, entonces, que p supone q (sea p zz> q) , es decir, afirm a una relación esencial entre p y q no contenida ni en (p . q) ni en ( p . q ) , ni siquiera en [( p . q) v (p . <¡r)]. D e esta m anera, la fecundidad de la lógica depende de sus composiciones operatorias que supone toda deduc ción. por tautológica que sea en apariencia.

E n lo que se refiere al rigor del razonam iento lógico, él depende de la reversibilidad de las composiciones posibles, ya que (lo acabam os de ver) el criterio de la no contradicción (p . q = 0) no se reduce a la reversibi lidad. El rigor de la lógica de las proposiciones proviene, entonces, del hecho que sus composiciones constituyen no sólo un a red o reticulado, sino, realm ente, u n “agrupam iento” único, es decir, u n reticulado ah o ra reversible gracias a sus com plem entariedades jerárquicas, y cuya “operación idéntica” fundam ental es, precisam ente, (p . p = 0 ). El rigor no depende entonces ni de la identidad simple p = p ni de la no contradicción considerada como una form a estática independiente, sino de la reversibilidad del sistema de conjunto, cuyas composiciones no idénticas, por otra parte, explican la fecundidad.29 Si de la lógica pasamos al razonam iento m atem ático, comprendemos, entonces, por qué su fecundidad se m ultiplica, aunque su rigor se base en u n principio equivalente, pero de aplicación m ás afinada. L a fecundidad del razonam iento m atem ático es m ucho m ayor que la del razonam iento lógico po r la sencilla razón de que en lugar de limitarse a encajar la parte en el todo o de ligar a las partes entre sí sólo por complem entariedad o intersección (siendo ésta, nuevam ente, u n a inclusión), el razonam iento m atem ático construye u n conjunto cada vez más rico de rela ciones entre las partes, consideradas en sí mismas y sin p asar a través del todo (productos, correspondencias biunívocas, e tc .). L a imposibilidad, com probada, de “fundar” el principio general de inducción com pleta sólo en los recursos de la lógica, se debe, en efecto, a que toda recurrencia num érica supone relaciones directas entre las partes de las totalidades considerada^ y a que no es posible reducir tales relaciones a las relaciones entre las partes y el todo (inclusión y com p lem en tarid ad ). En la m edida en que el núm ero desborda la clase intensiva, en esta m ism a m edida y por las mismas causas, el razonam iento p o r recurrencia es irreductible a las composiciones operatorias de la lógica bivalente de las proposicio nes. L a extensión considerable de fecundidad que caracteriza el pasaje de lo lógico a lo m atem ático depende, entonces, de la diferencia que separa los grupos numéricos, algebraicos y geométricos, basados en las relaciones directas de las partes entre sí, del simple “agrupam iento” (o com posición reversible de las relaciones de p arte a tod o ). A hora bien, precisam ente esta estructura fundam ental de grupo es la que perm ite el rigor del razonam iento m atem ático (tan pronto superadas las relaciones elementales de parte a todo que se observan en la teoría de los conjuntos). Si la no contradicción se basa en la reversibilidad, se observará así, a p a rtir de la no contradicción lógica, u n a serie de niveles de no contradicciones ligados a form as de reversibilidad cad a vez más finas en función de la diferenciación de los sistemas. T al como ya lo señaló G. Juvet, sólo el descubrim iento del “grupo fu n dam ental” en el que 29 Este hecho confluye con el esfuerzo de las lógicas actuales llamadas dialéc ticas para superar el punto de vista de la identidad o de la no contradicción simples en beneficio de las transformaciones coa un sistema de conjunto.

se basa u n a teoría perm ite la certeza de su coherencia interna.30 Esto basta p a ra señalar que el rigor del razonamiento m atem ático no se puede separar de su fecundidad: p a ra decirlo con mayor exactitud, la fecundidad depende del carácter ilim itado de las composiciones operatorias cuya rever sibilidad garantiza el rigor. D e este modo, el análisis del razonamiento m atem ático p rep ara y prefigura la solución del problem a de los entes abstractos: en la m edida en que la m atem ática desborda la lógica, la existencia operatoria, en efecto, se m uestra tanto m ás efectiva cuanto que de este m odo es doble m ente irreductible a la tautología pura. 6. L a s t e s i s d e J. C a v a i l l e s y d e A. L a u t m a n . L a evolución de las relaciones entre la logística y la m atem ática en el tercer período que acabam os de distinguir condujo a dos matem áticos filósofos a u n a reflexión de conjunto sobre la naturaleza de las operaciones v de los entes m ate m áticos. A hora bien, la com paración entre las dos obras 31 de estos autores, aparecidas en el mismo año (1938), es sum am ente interesante; en efecto, pese a que inicialmente se orientan en direcciones m uy diferentes, convergen en realidad sobre las afirm aciones esenciales de la especificidad del devenir m atem ático ; también convergen en relación con esta especie de dialéctica operatoria, que uno de ellos m enciona en el plano del desarrollo de la conciencia y el otro en los dos planos correlativos de la historia y de las esencias platónicas, p a ra explicar la conexión de las construcciones genéticas con las form as de equilibrio “globales” .

"P or fecundo que sea, po r íntim am ente unido al pensam iento m ate m ático verdadero, ¿puede el m étodo axiomático fundarlo? Como carac terísticos de un procedim iento operatorio, los axiomas de un sistema sólo lo describen”, dice Cavailles (pág. 79) y pese a las analogías entre el esfuerzo de H ilbert y el logicismo, las resistencias que se presentan en el problem a de la saturación im piden que se las identifique. “D e todas formas, la axiomatización se refiere así, en forma doble, a un d ato : exteriorm ente, dato del sistema del que tom a sus conceptos: interiorm ente, dato de u n a unidad operatoria que se limita a caracterizar” (pág. 88). Este dato interior sería reductible sólo si se lograse probar la saturación. A hora bien, “no se observa en la lógica ordinaria ningún m étodo p ara probarla que le otorgue un sentido efectivo; el que ella posee, en realidad, ha sido tom ado de la intuición de la unidad del proceso operatorio, que se carac teriza por los axiomas” (pág. 89). Sin embargo, desde que H ilbert reconoció la imposibilidad de reducir la aritm ética a la lógica y se limitó a am bicionar tan sólo una “reedificación sim ultánea de la m atem ática y de la lógica” (pág. 9 0), después que el ■ 10 G. Juvet: V axioma'.ique et la théorie des groupes. Actas del Congreso Interno de Filosofía Científica, vi. París, Hermán, 1936. 31 Cavailles: Méthode axiomatique et jormalisme. Hermann, 1938: y A. Laut man: Essai sur les notions de structure et d 1existence en mathématique. Hermann. 1938.

mismo C arnap renunció a la sintaxis única para itir que la “m atem ática exige u n a serie infinita de lenguas cada vez más ricas” (pág. 166), ya no se puede esperar u n a reducción p u ra y simple de lo m atem ático a lo lógico: “el estrecho corset de las reglas de la lógica clásica abarca incóm odam ente las experiencias imprevisibles realizadas sobre las fórm ulas. . . L a form a lización com pleta conduce paradójicam ente a suprim ir las independencias operatorias que el m étodo axiom ático hubiese deseado salvaguardar” (pág. 175). L a lógica, tal como, según Cavaillés, lo estableció Brouw er en form a definitiva, se refiere sólo al discurso y no a los encadenam ientos. En especial, todas las dem ostraciones de no contradicción “fracasan tam bién ante el axiom a general de inducción com pleta” (pág. 143). T an to los resultados de G entzen (con su recurso a u n a inducción transfinita) como los de Gódel (pág. 164-65) im piden a la lógica “fu n d ar” la m a te m ática. Ni siquiera el logicismo que corresponde a la nueva m anera de C arnap “perm ite esperar solución alguna del problem a del fu n d a m ento” (pág. 169). Así, ni la experiencia en sentido físico ni ningún a priori lógico podrían fu n d ar la m atem ática (págs. 179-180). En lo que se refiere al brouvverismo, “el problem a del sentido de u n a operación tal como lo plantean los intuicionistas em ana del prejuicio —de ontología no crítica— que sostiene que el objeto debe ser definido con anterioridad a la operación, m ientras que en realidad es inseparable de ella” (pág. 179). ¿E n qué consiste, entonces, el fundam ento real? En u n a dialéctica, pero que se confunde con el devenir general de la conciencia, es decir, si com prendemos bien, con la génesis y la historia operatoria. N o se debe buscar esta génesis en el análisis de los estadios iniciales: “E n lo que se refiere a la aplicación de la m atem ática a la «realidad», es decir, al sistema de interacciones vitales entre hombres y cosas, es evidente, después de lo que hemos dicho, que ella ya no concierne al problem a del fundam ento de la m atem ática: el niño con su contador es un m atem ático, y todo lo que puede hacer con él es m atem ática” (pág. 180). Se debe recurrir, entonces, a la historia operatoria ulterior, como, por ejem plo, al “triple papel de la generalización. . . : liberación de operaciones de condi ciones extrínsecas de su realización, disociación o identificación de procesos accidentalm ente unidos o diferenciados; por últim o, planteo de nuevos objetos como correlatos de operaciones consideradas autónom as. En todos los casos, la fecundidad del trab ajo efectivo se obtiene m ediante estas ru p turas en el tejido m atem ático, m ediante este pasaje dialéctico de una teoría que lleva en sí m ism a sus límites a u n a teoría superior que la desconoce, pese y debido a que procede de ella” (pág. 172). Y tam bién: “la am plia ción de la conciencia y el desarrollo dialéctico de la experiencia coinci den. D an lugar al surgim iento indefinido de los objetos en lo que designaremos como campo te m á tico : hemos exam inado algunos entre estos procesos de surgimiento, las diferentes especies de generalizaciones, las formalizaciones a las que se agrega la temaúzación propiam ente dicha: transform ación de una operación en elemento de un cam po operatorio

superior, por ejemplo topología de las transform aciones topológicas (fu n d a m entales, en form a general, en la teoría de los g ru p o s). T res especies de m em entos dialécticos. . . la necesidad del surgim iento de u n objeto no es nunca aprehensible, salvo a través de la com probación de un éxito; la existencia en el campo tem ático tiene sentido sólo como correlato de u n acto efectivo” (pág. 177). “E n cuanto al m otor del proceso, parece escapar a to d a investigación. Este es el sentido pleno de la experiencia, diálogo entre la actividad consciente como poder de intentos sometidos a condiciones y estas condi ciones mismas” (pág. 178). “El cam po tem ático, de esta m anera, no está situado fuera del m undo sino que es u n a transform ación de éste: el pensam iento efectivo (que exige u n a conciencia m ás com pleta) de las cosas es pensam iento de sus objetos (el pensam iento adecuado de u n a p lu ralid ad es pensam iento de su n ú m e ro ). Si queda u n elem ento de incertidum bre imposible de elim in a r. . ., su acción no lleva h acia atrás, los gestos realizados en form a efectiva siguen siendo válidos (validez definitiva de los enunciados), sino h ac ia adelante, p a ra u n a transform ación de lo que se p la n tea (m odificación de los conceptos)” (pág. 179). Se puede observar que esta tesis converge en alto grado con la posición genética. H ay sólo u n punto en el que podríam os invocar los hechos contra Cavaillés, aunque en su favor: si en presencia de su contador el niño ya es m atem ático, ello se debe a que sim ultáneam ente construye el núm ero y la lógica entera, puesto que su cam po tem ático es ya l a ‘transfor m ación de un mundo. “No se observa ninguna causa, escribía Frankel en 1928, que explique por qué las leyes de la aritm ética form al deberían corresponder exactam ente .a las experiencias del niño an te su contador” (pág. 168). L a respuesta a este problem a no sólo se debe buscar en el desarrollo de la historia operatoria de los niveles superiores: se la puede h allar a p artir del análisis de las formas m ás simples de la actividad. El único m étodo m atem ático verdadero es, así, el p ro p io m étodo genético. A h o ra bien, por platónico que se considere, A. L au tm an no se opone en absoluto a este genetism o operatorio de Cavaillés, a la m an era en la que Russell (en la época en que creía en los universales) por ejemplo, difería d e Brunschvicg: al reconocim iento del devenir de la conciencia —concebido nuevam ente como u n a génesis esencialm ente operatoria— le agrega, simplemente, el análisis de las formas de equilibrio; es al no poder, situar estas últim as en la interpretación del desarrollo que las basa en u n a especie de devenir suprahistórico, en lu g ar de buscar su explica ción en el mecanismo del proceso genético, hasta sus raíces propiam ente infrahistóricas. E l desarrollo de la m atem ática señala la existencia de u n a cierta reali dad (pág. 7) y Brunschvicg, m ás que cualquier otro autor, desarrolló la idea de que esta “objetividad . . . se debía á la inteligencia en Su esfuerzo por vencer resistencias que le opone la m ateria sobre la que trab aja”

(pág. 9 ). A hora bien, la filosofía m atem ática de Brunschvicg, a la que Lautnaan se refiere así del m odo m ás significativo, no se reducfe en absoluto a u n a psicología de la invención. D eja sim plem ente de lado toda deduc ción a priori. “E n tre la psicología del m atem ático y la deducción lógica debe haber entonces un lugar p a ra u n a caracterización intrínseca de lo real. Este debe p articip ar al mismo tiem po del m ovim iento de la inteligencia y del rigor lógico, sin confundirse ni con uno ni con el otro, y nuestra tarea será la de in te n ta r esta síntesis” (pág. 10). Planteado de este modo, entonces, el problem a consiste en “desarrollar u n a concepción de la realidad m atem ática en la que se un an la inm utabilidad de los conceptos lógicos y el m ovim iento del que viven las teorías” (pág. 12). E n efecto, “las teorías m atem áticas son susceptibles de u n a doble caracterización, relacionada u na con el m ovim iento propio de las teorías y la otra con las conexiones de ideas que se encarnan en este m ovim iento. Estos dos elementos distintos son, en nuestra opinión, los que con su unión constituyen la realidad inherente a la m atem ática” (pág. 147). E sta realidad se m anifiesta en especial en el estado actu al del problem a de la formalización. P ara form alizar el análisis, no sólo debe ser posible aplicar el axiom a debido a variables num éricas, sino tam bién a u n a cate goría más elevada de variables, aquella en la que las variables son fun ciones de números. L a m atem ática se presenta así como síntesis sucesivas en las que cada etap a es irreductible a la anterior. Además, y esto es capital, u n a teoría form alizada de esta m a n era es incapaz de proporcionar la p rueba de su coherencia in te rn a; se le debe superponer u n a m etam atem ática que tom e a la m atem ática form alizada como objeto y la estudie desde el doble punto de vista de la no contradicción y del cum plim iento” (pág. 11). Pero, insiste L autm an, “éste es sólo u n i d e a l . .. y sabemos hasta qué p u n to en la actualidad este ideal parece difícil de alcanzar” (págs. 12-13). Existe entonces u n a dualidad entre la m atem ática y la m etam atem ática, ya que esta últim a tom a en consideración “ algunas estruc turas perfectas, realizables eventualm ente m ediante teorías m atem áticas efectivas, y ello en form a independiente de saber si existen teorías que presentan las propiedades en cuestión” (pág. 13). A hora bien, precisa m ente esta oposición entre lo efectivo en devenir y el ideal que le es superior justifica, según L autm an, la dialéctica "del m ovim iento m atem á tico y de la inm ovilidad lógica. Se debe reconocer, al mismo tiem po “la irreductibilidad de la m atem ática a u n a lógica a priori y su organización alrededor de esquemas lógicos sem ejantes” (págs. 147-48). “Se puede decir, incluso, que u n a dialéctica que se com prom etiera en la determ inación de las soluciones que estos problem as lógicos pueden com portar se vería llevada a constituir todo un conjunto de distinciones sutiles y de artificios de razonam iento que im itaría a tal p u n to a la m atem ática que se confun diría con ella. Esto es lo que ocurre con la lógica m atem ática en sus desarrollos m ás recientes. Es imposible concebir en qué consiste el pro blem a de la no contradicción de la aritm ética sin rehacer to d a la aritm ética, pero a p a rtir del m om ento en el que se in te n ta realizar u n a dem ostración efectiva de su no contradicción, nos vemos obligados a utilizar en esta

dem ostración medios m atem áticos cuya riqueza supera a los de la teoría cuya validez se intenta garantizar. Estos resultados, que debemos a K . Godel, m uestran en form a definitiva que la no contradicción de la aritm ética no se puede reducir a la no contradicción de un a teoría más simple y, en el estado actual de la ciencia, toda dem ostración m etam atem ática de la no contradicción de la aritm ética utiliza, necesariam ente, m étodos transfinitos. Parecía, entonces, que este problem a h ab ía perdido todo interés lógico, hasta el momento en que M. G entzen supo encararlo bajo otro aspecto: «Se puede concebir perfectam ente — escribe— la posi bilidad de dem ostrar la no contradicción de la aritm ética con medios que superen a la aritm ética pero que, sin embargo, pueden p arecer más seguros que las partes discutibles de la aritmética pura». Se observa entonces cómo el problem a de la no contradicción tiene u n sentido, incluso si se ignoran los medios m atem áticos p ara resolverlo” (págs. 148-149). El esquema fundam ental de la interpretación de L au tm an es entonces el de la subordinación del devenir operatorio a u n ideal de conexiones que lo superen. Sin em bargo, antes de asumir, a p a rtir de ello, u n a posición platónica, L au tm an realiza un análisis profundo de los aspectos más generales de las “estructuras” matem áticas y esta caracterización estructural le otorga su sentido real a esa conclusión. A parentem ente, hay u n a dualidad de puntos d e vista entre un método “local” o atomístico^ que va del elemento a la totalidad, y el método “global” , que va del todo a la parte. “El estudio global, p o r el contrario, intenta caracterizar u n a totalidad en form a independiente de todos los elementos que la com ponen; se ocupa, desde un prim er momento, de la estructura de conjunto, asignando así un lugar a los elementos incluso antes de conocer su n atu ra lez a; tiende, sobre todo, a- definir los entes matemáticos por sus propiedades funcionales, ya que considera que el papel que juegan les confiere u n a u nidad m ucho más segura que la que resulta de la reunión de las partes” (pág. 19). El papel de ias totalidades operatorias es así fundam ental en el pensam iento m atem ático actual, en el que constante m ente se plantea la alternativa de p artir de la estru ctu ra total p ara determ inar las condiciones que deben satisfacer los elementos p a ra integrarse en ella o de p a rtir de las propiedades de los elementos e in te n ta r “leer en estas propiedades locales la estructura del conjunto en el que estos elementos pueden ser clasificados” (pág. 29). De ello deriva, en am bos casos, la m anifestación de u n a “influencia organizadora del todo” (pág. 29). A este respecto, L autm an confiesa una preocupación sum am ente reveladora en cuanto a las implicaciones que subyacen a su sistema y tam bién en lo que se refiere al papel de la idea de totalidad en el pensam iento m atem ático contem poráneo: “ Observam os así en m atem ática consideraciones que a prim era vista pueden parecer ajenas a ella y aportarle algo así como el reflejo de ciertas concepciones características de la biología o de la socio logía. Es evidente que el ente matem ático, tal como lo concebimos, presenta analogías con un ser viviente; creemos, sin em bargo, que la idea de una acción organizadora de u n a estructura sobre los elementos de u n conjunto es plenam ente inteligible en m atem ática, incluso si, al ser transportada

desde otros campos, pierde su lim pidez racional’’ (pág. 29). Esta “solidari d ad del todo y de sus partes” se observa en especial en ios conceptos de grupo y de c u e rp o a2: “al proporcionarnos los axiomas a los que obedecen los elementos de un grupo o de un cuerpo nos proporcionam os con ello la totalidad a m enudo infinita de los elementos del grupo o del cuerpo” .3:1 Existe en este caso u n a verdadera “implicación del todo en la p arte” (pág. 30). A hora bien, este papel fundam ental de las totalidades operatorias (así como la distinción entre las “propiedades intrínsecas” de un ente m ate m ático y las “propiedades inducidas” a p a rtir del sistema am biente) renueva el problem a de las relaciones entre la lógica y la m atem ática y perm ite superar, en form a definitiva, el logicismo. “Los lógicos h an pre tendido siempre (desde el descubrim iento de las paradojas russellianas) prohibir las definiciones no predicativas, es decir, aquellas en las que las propiedades de un elem ento son solidarias del conjunto al que pertenece. Los m atem áticos no han itido nunca la legitim idad de esta prohibición, m ostrando, a justo título, la necesidad de recurrir, en algunos casos v para definir algunos elementos de un conjunto, a propiedades globales de este conjunto” (pág. 39 ). L a lógica, “en efecto, es sólo una disciplina m ate m ática entre otras y se pueden com parar las génesis que se m anifiestan en ella con las que observamos en otros campos” (pág. 83). L a relación entre la lógica y la m atem ática asume m ayor precisión, en especial, en el proceso que L au tm an designa como “el ascenso hacia el absoluto” (cap. 3) después de haberlo anunciado m ediante la expresión más precisa: “el ascenso hacia su cum plim iento” (pág. 14). P or ejem plo, en el orden de los grupos algebraicos de Galois, se trata del hecho de que la “im perfección” de un elem ento de base, en relación con el cuerpo dado, se refiere necesariam ente a la estructura de conjunto que es la única. A hora bien, sólo estos “intentos de organización estru c tu ral. . . confieren a los entes m atem áticos un m ovim iento hacia la realización que perm ite decir que ellos existen. Esta existencia, sin em bargo, no se m anifiesta sólo en el hecho de que la estructura de estos entes im ita las estructuras ideales con las que se las puede com parar; se pueden com probar algunos casos en que el cum plim iento de un ente es al mismo tiempo génesis de otros en tes; éstas son relaciones lógicas entre la esencia y la existencia en las que se inscribe el esquema de creaciones nuevas” (pág. 80). De este modo, “las teorías m atem áticas se desarrollan por su propia fuerza, en una íntim a solidaridad recíproca y sin referencia alguna a las Ideas que su m ovim iento aproxim a” (pág. 139). En efecto, “los esquemas lógicos que hemos descripto no son anteriores a su realización en el seno de una teoría” (pág. 149). “El destino del problem a de las relaciones del todo y de la p arte, de la reducción de las propiedades extrínsecas en propiedades intrínsecas, del ascenso en la direc ción del cum plim iento, la constitución de nuevos esquemas de génesis dependen del progreso de la m atem ática; el filósofo no tiene p o r qué 32 U n cuerpo es un sistema de dos grupos, uno aditivo y el otro m ultiplicador. A. L autm an: Essai sur Vunité des Sciences m athém atiq ues , pág. 9.

elaborar leyes ni prever u n a evolución fu tu ra” (pág. 149). “T odo intento lógico que p retendiera dom inar a priori los desarrollos de la m atem ática desconoce entonces la naturaleza esencial de la verdad m atem ática, ya que ésta se relaciona con la actividad creadora del espíritu y particip a de su carácter tem poral” (pág. 147). De esta m anera, se puede aceptar sólo u n a priori: “nos referimos a la posibilidad de investigar acerca de un m odo de conexión entre dos ideas y describir fenom enológicam ente esta intención, independientem ente del hecho de que la conexión buscada sea o no operable” (pág. 149). Pero en relación con este aspecto existe u n a realidad o u n a objetividad m atem ática que trasciende al tiem po y al movimiento. E n esta tesis general L autm an coincide con P. Boutroux, pero sin embargo se separa de él en el punto esencial relacionado con el hecho de que “el problem a de la realidad m atem ática no se plantea ni a nivel de los hechos ni en el de los entes, sino en el de las teorías. E n este nivel, la naturaleza de lo real se desdobla” (págs. 146-147) en u n movim iento característico de las teorías y en conexio nes de ideas que se encarnan en ellas. Pero, repitámoslo, esta encarnación no se origina en u n a preform ación. En este aspecto el platonism o de L autm an, que en cierto modo es dinámico o dialéctico, adquiere m ayor precisión: “más allá de las condi ciones tem porales de la actividad m atem ática, pero en el propio seno de esta actividad, aparecen los contornos de u n a realidad ideal que es dom i nante en relación con u n a m ateria m atem ática que ella anim a y que, sin embargo, sin esta m ateria, no podría revelar to d a la riqueza de su poder form ador” (pág. 150). Esta realidad ideal, p o r su p arte, no sería sin em bargo la sede de u n a progresión sin fin: “L a m etam atem ática qu« se encarna en la generación de las ideas y de los núm eros n o p o d ría p ropor cionarse a su vez u n a m etam atem ática; la regresión se detiene a p a rtir del m om ento en el que el espíritu elabora los esquemas de acuerdo con los cuales se constituye la dialéctica” (pág. 153). De no ser p o r esta posición final, aceptaríam os en form a total el neo platonism o aparente de L autm an, ya que no sólo presenta pocas contradic ciones con el genetismo operatorio, sino que también, adem ás es com ple m entario de la idea de construcción tem poral. Es evidente, en efecto, que todo análisis genético o histórico-crítico revela u n a continua dualidad de planos, sobre la que hemos insistido desde un comienzo (véase introd., punto 5 ), y ta n to en relación con el espacio como con el n ú m ero : el desarrollo real o tem poral de las operaciones y las form as de equilibrio hacia las que él tiende; este equilibrio engloba u n conjunto cada vez más rico de transform aciones virtuales. Si se respetan las dos condiciones seña ladas por el propio L au tm an : ni a priori estructural ni exterioridad del ideal en relación con- el desarrollo real, poco im porta que esta realidad ideal, im plicada en todo equilibrio operatorio, sea descripta en el lenguaje del platonismo. En especial, es notable observar que la argum entación de L autm an traduce, en otro lenguaje, lo que siempre hemos observado en la génesis,

en lo que se refiere al doble papel de las totalidades operatorias. Por un lado, estas totalidades constituyen las condiciones de estructuración real de las operaciones lógico-m atem áticas y representan así sus form as de equilibrio necesarias, en todos los niveles y ya a p artir del nivel concreto: a ello se debe que en m atem ática la com paración de las relaciones de p aite a todo con las totalidades orgánicas sea algo m ás que u n a simple imagen y exprese u n a conexión psicológica fundam ental entre la organización viviente y la organización operatoria. Pero, por o tra p arte, estas totalidades juegan u n papel norm ativo: el del aspecto ideal o virtual, cuya incorpo ración al real es lógicam ente necesaria p a ra su total cum plim iento. C abe preguntarse, entonces, si la tesis de A. L au tm an se encuentra ta n próxim a a lo que nos enseña el análisis genético (desde los niveles más elementales hasta la form alización m e tam ate m ática ), a que se debe que llegue a esta especie de afirm ación final que es la única p arte de platonism o m etafísico que interfiere con lo que se podría designar como platonism o genético del autor. L a intuición de la rem iniscencia y la de la p artici pación son dos intuiciones platónicas fundam entales. Si las totalidades operatorias se encuentran efectivam ente em parentadas con las totalidades orgánicas, se podría trad u cir la rem iniscencia en el lenguaje genético de u n a regresión sin fin a coordinaciones cada ve* más prim itivas, cuyas operaciones abstraerían sus elementos: esto es efectivam ente lo que pensó L autm an. Pero en ese caso la participación, po r su p arte, no tiene p o r qué ser lim itada por u n cum plim iento inm óvil: por el contrario, gracias a una serie de construcciones, de equilibrio creciente, se puede concebir la m archa h acia el ideal. El cum plim iento, entonces, sería sólo el cierre al mismo tiem po regresivo y progresivo del círculo de conocimientos del que A. L au tm an in tentó evadirse en form a excesivamente brusca. Lo dem ostra remos a continuación. 7.

C o n c lu s io n e s :

la

n a tu r a le z a

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de

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opera

D e acuerdo con el principio de la epistemología genética, el problem a de la naturaleza de los entes m atem áticos sólo puede ser resuelto en función de su desarrollo y com p aran d o este últim o con el del pensam iento físico o de la biología. A hora bien, las enseñanzas del estudio de esta evolución y la dirección que él em prendió se pueden resu m ir del siguiente m odo:

c io n e s

m a te m á tic a s .

1. E n su origen, las operaciones lógico-m atem áticas proceden de las acciones m ás generales que podem os ejercer sobre los objetos o sobre los grupos de objetos: ellas consisten en reunir o en disociar, en o rd en ar o en m odificar el orden, en establecer la correspondencia, etc., etc. A hora bien, ya a p a rtir de este nivel de p artid a se pueden distinguir en esas acciones dos polos que, por otra parte, desde el punto de vista del sujeto perm anecen indiferencíados. Por u n lado, estas acciones com portan un aspecto físico, más o menos especializado en función de los objetos mismos: de esta m anera, los actos de reunir o de disociar, de o rd en ar o de cam biar .de orden, .etc., consisten inicialm ente en movimientos reales, efectuados m ate

rialmente o imaginados en pensamiento, etc. Por otra parte, en estas acciones intervienen tam bién coordinaciones generales, que vinculan entre sí los actos que acabamos de exam inar: p a ra reunir o separar objetos, ordenarlos o desplazarlos, etc., es necesario que las acciones que se aplican a estos objetos sean reunidas unas con otras, o disociadas, sean ordenadas, puestas en correspondencia, etc. L a raíz de las operaciones lógico-mate máticas debe ser buscada en este aspecto de actividad coordinadora de las acciones físicas m ism as; si las coordinaciones generales de la acción y de las acciones especializadas son, en un comienzo, indiferenciadas unas de otras, ello no prueba que aquéllas puedan derivarse de éstas. 2. E n efecto, las fases ulteriores del desarrollo genético perm iten obser var una diferenciación creciente y rápida entre las operaciones físicas, cada vez más especializadas en función de los objetos, y las operaciones lógicomatemáticas, cuyo carácter necesario el sujeto aprecia cada vez más a medida que las elabora por medio de elementos tomados de las coordina ciones iniciales de la acción. De este modo, ya a nivel de las operaciones concretas (7-8 a ñ o s), los agrupam ientos lógicos y las estructuras num éricas y espaciales son constituidos en sistemas deductivos diferentes de las opera ciones físicas, de los que a nivel de pensam iento intuitivo perm anecían parcialm ente indiferenciados. 3. A p a rtir del nivel de las operaciones formales, las estructuras m ate máticas no sólo continúan diferenciándose en relación con las operaciones físicas, sino que tam bién desbordan en todos los aspectos la realidad expe rimental. Por un lado, introducen generalizaciones operacionales sin signi ficaciones concretas inm ediatas (generalizaciones del núm ero, e tc .). Por otra parte, y en prolongación de las operaciones concretas, provocan, desde el comienzo de su formalización, una extensión al infinito que caracteriza desde un prim er momento y de la m anera m ás neta la liberación de estas estructuras en relación con la experiencia. 4. Por último, las construcciones axiom áticas que generalizan la cons trucción form al son elaboradas en form a independiente de la experiencia. Consisten, en especial, en elim inar una propiedad operatoria o un a obliga ción de operar que parecen impuestas por la realidad experim ental (p. ej., el quinto postulado de Euclides o el axiom a de A rquím edes), de modo tal que las coordinaciones usuales se conviertan en un simple caso p articu lar de las coordinaciones posibles. A hora bien, a menudo el resultado de este trabajo de depuración conduce a la construcción de estructuras que con fluyen no ya con la experiencia tal como se presenta en los comienzos de la elaboración de los conceptos científicos, sino con la experiencia afinada e imprevisible originada en las técnicas físicas más elaboradas. D eterm inada por estas cuatro regiones, la curva del desarrollo de los entes m atem áticos sigue, entonces, una dirección que al mismo tiempo es neta y p aradójica: originada en la coordinación de las acciones que el sujeto ejerce sobre el objeto, se aleja cada vez más de este objeto inm ediato, pero sigue conservando el poder de reunirse con él, y lo reencuentra en realidad en todos los niveles de profundidad o de extensión a los que puede conducir su análisis físico. Ello da lugar a los dos problemas esenciales

que el pensam iento m atem ático plantea: ¿P or qué este pensam iento es constructivo y por qué, al mismo tiempo que va siempre más allá de lo real, se encuentra sin embargo en constante acuerdo con él? Exam inemos, nuevam ente, para in ten tar resolver estos problemas, (I) los estadios iniciales, (II ) los estadios ulteriores, y luego, (en I I I ) anali zaremos las relaciones de la m atem ática con la física y la biología. I. El pensam iento m atem ático es fecundo porque, al ser u n a asimi lación de lo real a las coordinaciones generales de la acción, es, esencial m ente, operatorio. Es fecundo, antes que nada, debido a que las composiciones de opera ciones constituyen nuevas operaciones y a que estas composiciones, cuyas estructuras son develadas por el razonam iento m atem ático, se confunden en su fuente con la coordinación de las acciones. A este respecto, llama la atención que las estructuras abstractas constituidas por los “ grupos” m atem áticos y los “agrupam ientos” logísticos correspondan a las formas m ás elementales de la coordinación psicológica de las conductas. ¿ Cuáles son, en efecto, las condiciones de equilibrio de u n sistema de conductas, tan to cuando se tra ta de movimientos reales ejecutados por el sujeto o de acciones cualesquiera ejecutadas sobre los objetos? En prim er lugar, la posibilidad de com binar dos acciones o dos movim ientos en uno solo; luego, la de poder regresar al p unto de p artid a (retorno) ; tam bién, la de abstenerse de actu ar (abstención que equivale al producto de un desplaza m iento con su inversa) ; la de poder escoger entre muchos itinerarios que conducen a la m ism a m eta (rodeos) ; por últim o, la de distinguir entre acciones con efecto acum ulativo (por ejemplo, h acer muchos pasos conse cutivos) y aquellas en las que la repetición no m odifica en n ad a la acción inicial (por ejemplo, releer dos veces el diario o volver a decir las mismas p a la b ra s). A hora bien, es evidente que los cuatro primeros de estos cinco caracteres m ás generales de la acción constituyen el aspecto com ún entre los grupos y los agrupam ientos: la composición de dos operaciones en una única operación nueva perteneciente al mismo sistema, la conversión de las operaciones directas en operaciones inversas (retorno) , la operación idéntica general (operación n u la ) , la asociatividad (desvíos) ; en lo que se refiere a la distinción entre las operaciones acum ulativas (en especial la iteración) y la tautología (idénticas especiales), ella, precisam ente, es la que contra pone los grupos m atem áticos a los agrupam ientos lógicos. La reversibilidad, en particular, que constituye la propiedad más característica de las transfor maciones operatorias, m atem áticas y lógicas es, p o r otra parte, la ley de equilibrio esencial que distingue la inteligencia de la percepción o de la m ctricidad elem ental del hábito. T odo el desarrollo de la inteligencia se caracteriza incluso por un pasaje de la irreversibilidad, característica de las acciones prim itivas, a la reversibilidad operatoria que caracteriza el estado de cum plim iento de los procesos intelectuales. P ara situar el mecanismo operatorio lógico-matemático en su contexto genético real, presenta sumo interés la observación de estas convergencias entre las coordinaciones psico

lógicas de la acción (con ¡a reversibilidad como criterio del equilibrio) y las estructuras lógicas y m atem áticas esenciales. U n a operación como ésta, sin em bargo, es ya u n a creación del sujeto, puesto que consiste en u n a acción que éste ejerce sobre las cosas. Es inexacto entonces, decir que la form ación del pensam iento m atem ático se debe a una abstracción a p a rtir del objeto, como si los m ateriales de este pensam iento estuviesen contenidos ya tal cual en la realidad exterior y que bastase con extraerlos p a ra engendrar las relaciones espaciales o numéricas. L a acción, en la que la operación consiste en su origen, agrega, por el contrario, nuevos elementos a la realidad y el comienzo de la creación específica de la m atem ática consiste en esta adjunción. R eunir objetos en una colección o disociarlos de ella es u n enriquecim iento que la acción ap o rta a los objetos; en efecto, si bien la naturaleza por sí sola constituye conjuntos o los disloca, elio no se produce a la m an era de u n a acción libre (libre en el sentido en el que Brouwer caracteriza lo continuo como un a serie de elecciones lib re s), móvil y reversible como las que caracterizan la m anipulación o el pensam iento. D e la m ism a form a, construir o m edir figuras son acciones tales que agregan algo a la realidad, ya que ésta ignora los elementos más simples de ella, como p o r ejemplo las rectas o los planos y, en cierta escala, presenta sólo discontinuidad y fluctuaciones. Pero la realidad exterior perm ite siem pre estas operaciones o estas construcciones; su acuerdo siempre renovado suscita un continuo resurgir del realismo. Este es ei segundo carácter del pensam iento m atem ático: efectivamente, en relación con la realidad física él es creación y le agrega algo a ella, en lugar de abstraer algo o de extraer su m a te ria ; sin embargo, en la m edida en que se aplica a la realidad, a la que, por otra parte, supera en form a considerable (en todos los. aspectos, p o r ejemplo, en los que interviene el in fin ito ), la experiencia coincide con el esquema m atem ático. E sta coincidencia plantea entonces, un segundo problem a que se debe re solver a p a rtir de las operaciones más sim ples; ello perm itirá com prender en qué consiste u n a convergencia sem ejante cuando el pensam iento m ate m ático anticipa experiencias, en algunos casos años antes de que se pro duzcan, y les proporciona marcos antes de que la idea de tales experiencias haya germ inado en el pensam iento. Estos tipos de anticipación, en efecto, m uestran que el encuentro entre las operaciones m atem áticas y lo real no se debe necesariam ente a u n ajuste recíproco, tal c.omo el acuerdo entre u n principio de física m atem ática y los datos experimentales. Investigue mos, entonces, en qué consiste ella en los casos inás elementales, es decir, en aquellos en los que el ajuste recíproco es al parecer evidente, lo que podría ser sólo u n a apariencia: por ejemplo, cuando u n grupo de piedras suma el mismo núm ero 10, cualquiera sea el orden en que se las cuente, o cuando un triángulo rectángulo dibujado sobre un papel presenta, efecti vam ente, una igualdad aproxim ada entre el cuadrado de la hipotenusa y el de los catetos. Las soluciones clásicas de la epistemología filosófica se encerraban en el siguiente dilem a: o bien la realidad m atem ática se im pone a priori a la

realidad física, o bien la p rim e ra se extrae a posteriori de la segunda. La m ayor parte de los contem poráneos, como p o r ejemplo Poincaré o M eyer son, recurren, por el contrario, a u n a tercera solución, que consiste en una mezcla de elementos tom ados de lo real y de construcciones originadas en el sujeto pensante. E n el lím ite de esta posición, los logísticos surgidos del círculo de V iena reducen el aporte del sujeto a sólo la sintaxis del lenguaje destinado a expresar lo real, m ientras que todo lo que supera la tautología p u ra consiste en u n a com probación de la realidad. A hora bien, la hipótesis de u n a asim ilación de lo real a las operaciones surgidas de la acción nos parece com portar u n a cu arta solución, que consiste en no atrib u ir las relaciones m atem áticas sólo al sujeto (apriorism o) ni sólo al objeto (em pirism o), ni a u n a interacción actual entre el sujeto y el objeto exterior a él, sino a una interacción en tre ambos, interior al propio sujeto. U n a im agen p erm itirá com prender la; diferencia entre esta cuarta posibilidad y las otras tres. Supongam os que el objeto, p o r lo tan to el m undo físico, sea diferente de lo que es: ¿la m atem ática y la lógica serían entonces idénticas a lo que son? El apriorism o diría que sí; el em pirismo y las soluciones del tercer tipo, en cambio, responderán que no. ¿P ero por qué no? Porque la experiencia física, ú nica fuente (según el em pirism o) o fuente parcial (según la tercera solución) del conocimiento m atem ático im pondrá a este últim o u n a estructura diferente. L a cuarta solución, por el contrario, consiste en itir que lo que im pondría esta m odificación no es la experiencia física y p o r lo tanto la acción exterior del objeto sobre el sujeto, puesto que la lógica y la m atem ática surgieron de la coordinación de las acciones del sujeto y no de las acciones particulares que lo vinculan con los objetos. A hora bien, si el m undo físico fuese diferente de lo que es, estas coordinaciones serían m odificadas por él a causa de u n a razón m ucho más p rofunda que la de la experiencia física actu al realizada p o r cada sujeto: ello se debería a que en u n m undo diferente, las estru ctu ras m en tales y fisiológicas del sujeto en general serían diferentes y a que la vida m ism a h abría surgido de u n a estructura físico-química d iferente de la nuestra. Es entonces desde el interior, y en la m ed id a en que el sujeto basa su funcionam iento en lo real p o r sus raíces biológicas y físico-químicas, y no en el transcurso del despliegue de sus actividades exteriores, que el sujeto se halla en interacción con el objeto en lo que se refiere a las coordinaciones generales de los actos; así estas coordinaciones concuerdan siempre con lo real del que proceden en su origen. Pero debemos insistir sobre el hecho de que las coordinaciones elementales n o contienen de antem ano toda la m atem ática (lo que verem os luego) y sobre todo q ue ellas intervienen s,ólo en ocasión de las acciones sobre el objeto, es decir, en la m edida en que coordinan las acciones físicas entre sí. P ara com prender m ejor la significación de esta cuarta solución, recor demos tam bién la g ran diferencia que existe entre los planteos del p roblem a que consideran p o r u n lado sólo las sensaciones o por el otro el pensa miento, y la situación que caracteriza a la adap tació n m otriz y operatoria. Si los datos disponibles se dividiesen necesariam ente en sensaciones (o im á genes-recuerdos, etc.) y en pensam iento, es evidente que sería difícil in ter

pretar el surgim iento de un concepto como el de lo continuo espacial, por ej., sin m encionar, a título de m ateriales cuya idea es progresivam ente “abstraída” , el continuo sensible tal como se nos presenta en las p ercep ciones más elem entales: puesto que la sensación está entonces suspendida sólo de sí m ism a o del objeto, surge entonces la hipótesis de que esta percep ción de lo continuo sensible proviene de lo real. Sin em bargo, y ta l como lo afirm aron tantos autores desde H elm holtz hasta Piéron, la sensación es sólo u n índice o u n símbolo, y se debe determ inar entonces lo que ella simboliza. A hora bien, la sensación o la percepción son siempre p arte integrante de u n esquem a sensoriomotor, en el que el elemento sensible constituye el significante, m ientras que el significado, es decir, la signifi cación misma, es determ inada por el elemento m o to r; p ara decirlo de otra m anera, por el fac to r de acción que deja de lado la antítesis sensación X pensam iento. P or ello, el aspecto esencial de lo continuo, por ejemplo, le corresponde al sujeto, ya que el m ovim iento continuo de la m ira d a o de la m ano, etc., que sigue al objeto es u n a acción del sujeto y que esta acción es sim plem ente acom odada al objeto, sin derivar de él en form a directa. C on m ayor razón aún, en las acciones de reunir o de disociar, de ubicar (ordenar) o de desplazar, etc.., la percepción de los objetos como tales proporciona sólo índices acom odatorios, m ientras que lo esencial reside en el acto mismo, en su reversibilidad operatoria. Com probem os nuevam ente ah o ra que las operaciones lógico-m atem áticas son precisam ente acciones cuyo contenido no deriva de los detalles de los objetos: en efecto, no son sólo transformaciones que caracterizan a una “física del objeto cualquiera” , sino “acciones ejercidas sobre el objeto cualquiera”, ya que corresponden a las diversas reuniones discontinuas (lógico-aritm éticas) o continuas (espaciales) que se pueden construir con objetos cualesquiera, incluyendo sus elementos. Como lo dijo Poincaré, lo geom etría com ienza con la distinción de los cambios de posición y de los cambios de estado que corresponden, estos últimos, a la física. A hora bien, pese a que esta distinción debe ser construida, ya que en u n prim er m om ento las coordinaciones generales de la acción no son disociables de las acciones particulares que son coordinadas, ella, sin embargo, señala con nitidez el carácter de las operaciones espaciales, independientes de las tran sfo rm a ciones físicas en la m edida en la que el sujeto logra diferenciar lo que corresponde a sus acciones particulares y lo que se refiere a su coordinación. Esto se produce con mayor razón aún, en el caso de las operaciones lógicoaritm éticas que son independientes tan to de los cambios de posición como de los de estado (salvo que, nuevam ente, desde el punto de vista del sujeto sean en u n principio indiferenciadas de las operaciones espaciales, antes de ser disociadas poco a poco de ellas). D e todas m aneras se deben disipar dos equívocos esenciales: p o r un lado, las coordinaciones elementales se m anifiestan siempre en ocasión de acciones particulares ejercidas sobre los objetos; sin em bargo, el hecho de que estas coordinaciones coordinen entre sí acciones físicas no significa que la coordinación de estas acciones como tal derive de ellas ni de los

objetos coordinados po r su in term ed io ; por otra parte, y consecuentemente, es siempre la experiencia la que le enseña al niño las prim eras verdades de la lógica m atem ática; sin em bargo, la intervención de la experiencia no significa que estas verdades sean extraídas de los objetos, puesto que el resultado de una experiencia no consiste necesariam ente en u n a lectura de propiedades extraídas del objeto y se reduce, por el contrario, en el caso de las experiencias lógico-matemáticas, a descubrir conexiones necesarias características de la coordinación de las acciones del sujeto. T an to cuando se trata de las relaciones entre la coordinación general de los actos y las acciones físicas particulares coordinadas por ella, o entre la experiencia lógico-m atem ática y la experiencia física, el análisis genético nos sitúa en ambos casos ante u n a indiferenciación inicial y an te una diferenciación que por lo tanto es luego cada vez m ayor; sin em bargo, los elementos inicialm ente indiferenciados, y luego diferenciados no derivan p o r ello unos de otros: la coordinación lógico-m atem ática no procede de las acciones físicas ni inversam ente, y la experiencia lógico-m atem ática no deriva de la experiencia física ni inversam ente. Es evidente, en efecto, que d u ran te todos los períodos sensoriomotores e intuitivos (en el sentido en que hem os hablado de intuición p reo p erato ria) la experiencia es necesaria p a ra la constitución de las operaciones. Antes que dichas verdades sean operatorias y deductivas, el niño descubre m ediante la experiencia que seis fichas azules siguen correspondiendo biunívocam ente a seis fichas rojas cuando se desplazan los elementos de una de las colecciones correspondientes (acercándolos o separándolos) y que, si la colección A = la colección B, y si B = C, entonces A = C ; estas experiencias suponen u n desplazam iento de objetos sólidos y con peso, y por lo tan to un “trabajo” ( = desplazam iento de un a fu e rz a ), es decir, u n a acción física que se ejerce en u n cam po gravita torio que se caracteriza, a su vez, por u n cierto espacio solidario de la gravitación como ta!. Sin embargo, al coordinar de este m odo acciones físicas en el transcurso de experiencias propiam ente dichas, el niño no se h a lim itado a descubrir los caracteres físicos de los objetos y de su cam po: se dedicó a leer el resul tado de la coordinación de sus propias acciones. D e este modo, y p o r p aradójica que parezca esta afirm ación, la experiencia no consistió o no consistió sólo en u n aporte del objeto al sujeto, sino en u n a utilización de los objetos por parte del sujeto, en el transcurso de ensayos que él realizó, en realidad, sobre sus propias acciones. Los objetos, esencialm ente, le han enseñado que la coordinación de las operaciones tiene éxito, qu e 6 es siempre 6, y que la relación de igualdad es transitiva, m ientras que investi gando, p o r ejemplo, el m odo en que los cuerpos se com portan bajo el efecto de la gravedad o de u n a fuerza centrífuga, el niño h ab ría extraído rea lm en te. su conocimiento del objeto. C om probar que la composición de las acciones tiene éxito presenta, en efecto, u n a significación com pletam ente diferente de la de inform arse de la existencia de un a propiedad física: ello significa que la realidad coincide con esta composición y no que produce un resultado exterior a las acciones, AI observar las igualdades 6 — 6,

o 6 (A) = 6 (B) = 6 (C ), el sujeto, simplemente, descubre que sus acciones de contar (1, 2, . . . 6 ), o de poner en correspondencia, etc., enriquecen los objetos con relaciones nuevas, a las que ellos se prestan; también, que estas relaciones pueden ser conservadas e incluso compuestas en form a tr a n sitiva, independientem ente de los desplazamientos: de este modo, la expe riencia conduce al sujeto a disociar la coordinación de sus acciones de las propiedades físicas del objeto, m ientras que, al im prim ir u n rápido m ovi m iento de rotación a una m asa de dimensiones medias, descubriría un efecto físico originado en el objeto, como tal. D el mismo m odo, al hacer girar, sucesivamente, en 180° detrás de u n a p an talla u n a varilla de hierro que atraviesa tres objetos A, B y C, el niño, antes de deducirlo, descubre que el orden directo ABC se invierte en CBA, que el orden CBA se invierte a su vez en ABC, y sobre todo, que si A y C se encuentran, alternativam ente, en prim er lugar, nunca sucede lo mismo con B. Así, u n a vez m ás la expe riencia le enseña al sujeto resultados que a p artir de los 7-8 años deducirá bajo la siguiente form a operatoria: la inversión de la operación inversa conduce necesariam ente a la obtención de la operación directa, y, si B está situado entre A y C, tam bién lo está, necesariam ente, entre C y A. Sin embargo, y tam bién en este punto, la experiencia se relaciona en m enor grado con lo real que con la coordinación de las acciones del sujeto, ya que esta coordinación agregó algo a los objetos: la composición reversible; lo real, en efecto, tal como lo señaló D uhem , no es reversible sino tan sólo revertible, y nun ca es necesario sino que está determ inado sólo en grados diversos. P ara enderezar u n a varilla, se requiere la intervención de fuerzas, experim entar u n ligero cam bio de tem peratura (tal que un a p arte d e la energía se disipó en calor), etc., pero la experiencia no se efectuó en rela ción con esos aspectos físicos, parcialm ente irreversibles: ella tuvo como' objeto la coordinación reversible de las acciones del sujeto, a la que lo real en sus grandes líneas se prestó, con la condición de no ser dem asiado exigente; esta coordinación engendró la necesidad de las relaciones cons truidas por ella, ya que n ad a es menos necesario que la cohesión m olecular de sólidos que rodean u n a varilla metálica. T am bién en este punto, entonces, las operaciones constituyen un esquem a de asimilación acom odado con bastante, exactitud a lo real, en u n a cierta escala, pero que no proviene de él. Y a ello se debe que la acción m aterial sea luego innecesaria p a ra el mecanismo operatorio que funcionará, c o n . m ucha m ayor precisión, sim bólicam ente y en pensam iento. Sin em bargo, todos los epistemólogos que reducen el conocimiento a los dos polos del pensam iento y de la sensación, responderán que la acción es exterior al pensam iento y pertenece ya a la realidad exterior:, la acción, se suele decir, es un dato de la experiencia ajeno al pensam iento reflexivo y que se conoce sólo gracias a las sensaciones internas o musculares, es decir que reposan, como la pu ra experiencia física, en puras sensaciones. En este punto, efectivamente, reside el nudo del problem a. Si se descuida el papel esencialmente simbólico de las sensaciones, así como la continuidad entre los movim ientos del organismo y las operaciones del pensam iento, es obvio

que la acción se debe situar en la realidad experim ental y que la m ate m ática proviene en p arte de esta realidad; por el contrario, si se considera que la acción sensoriomotriz es el p u n to de p a rtid a del pensam iento y se distingue el m ovim iento de su significante simbólico constituido p o r la sensación anestésica, poco im porta que conozcamos subjetivam ente nues tros movimientos y su coordinación (del mismo m odo que de n ad a sirve introspeccionar el m ecanism o psicológico de la inteligencia lógica p ara regular su correcto funcionam iento, y el mismo perm anece en p arte “inconsciente” ) : la acción, entonces, es la expresión del sujeto cognoscente y no de las realidades exteriores al pensam iento, y la operación m atem ática es u n esquema' de asimilación activa acom odado sim plem ente a lo real y no extraído de él. E n resumen, en su origen los esquemas coordinadores de acciones son suficientes como p a ra engendrar las operaciones lógicas y m atem áticas, sin to m ar su m aterial del objeto. Sin em bargo, son acom odados constante m ente a lo real, au nque a través de una. acom odación activa y no pasiva, es decir que com pletan la realidad física al proporcionarle u n sistema de relaciones que concuerdan con ella sin ser extraídos de la misma. Si ello es así, se debe a que las operaciones lógico-m atem áticas actúan sobre lo real sin transform ar el estado de los objetos, ya que se lim itan a las m odi ficaciones (reales o virtuales) de posición o de unión, y son independientes de las acciones físicas en juego, sim plem ente coordinadas m ediante tales operaciones y que no son solidarías de esta coordinación. II. U n a vez dicho esto, los mismos dos problem as de la construcción de ios entes lógico-numéricos o geométricos y de su concordancia con lo real se observan en todas las etapas del desarrollo del edificio m atem ático, y no gólo en el p unto de p a rtid a ; sin em bargo, a p a rtir de u n cierto nivel se p lantean en form a m ucho más p arad ó jica; en efecto, esta construcción supera por un lado a lo real cada vez en m ayor m ed id a; p o r otra parte, entre los marcos engendrados de este modo por vía deductiva, se observan algunos que vuelven a encontrar lo real en el m om ento de los progresos ulteriores de la experiencia física, es decir, con u n a anticipación a m enudo considerable del m arco sobre su contenido y sin que ningún hecho exterior haya podido servir de modelo en el m om ento de la creación del prim ero. E n prim er lugar, cabe preguntarse cómo es posible que teniendo como fuente las coordinaciones generales de nuestras acciones, los entes lógicom atem áticos logren superar lo real. Se lo com prende de derecho, ya que pese a que estas coordinaciones conectan entre sí acciones ejercidas sobre la realidad, la coordinación como tal no tom a sus elementos de los objetos mismos, considerados en su carácter físico. El hecho de que, en u n co mienzo, la experiencia sea- necesaria p ara el desarrollo de estas coordina ciones, no prueba, como acabam os de verlo, que el esquema de estas acciones sea extraído de lo real: la experiencia concreta es en realidad indispensable, del mismo m odo en que u n a figura perm ite la com prensión de u n a dem ostración. Pese a que la coordinación lógico-m atem ática cons tituye esquemas de acción eficaces sobre la realidad efectiva, tal como se

lo descubre progresivamente bajo las apariencias sensibles, a este respecto se debe invertir la relación que se suele establecer entre el concepto “abstracto” que constituiría un “esquema”, es decir, un significante, y la realidad sensible que sería el modelo y el significado al que este esquema corresponde: en realidad, lo sensible (en la percepción, la im agen y la repre sentación intuitiva) es lo que constituye el símbolo, es decir, el significante; per su parte, el esquema m otor u operacional que alcanza lo real más allá de lo sensible es el significado mismo. Es natural, entonces, que, habiendo alcanzado u n grado suficiente de elaboración, el sistema de las operaciones pueda funcionar sin simbolismo sensible, es decir, superando las realidades percibidas. Esto es lo que vemos prepararse en todas las etapas del des arrollo operatorio del individuo y que la historia de la m atem ática m uestra en cada nueva etapa de su desarrollo. ¿P ero cóm o explicarse el detalle de esta elaboración operatoria, cada vez m ás diferenciada y com pleja? E n un prim er m om ento, en efecto, las coordinaciones elementales no contienen en absoluto el conjunto de los entes lógico-matemáticos en estado preform ado, y no se pu ed e identificar el núcleo funcional presente en la organización psicofisiológica con un a priori trascendental cuyas estructuras formales estarían todas preparadas, aunque se revelasen sólo en form a progresiva. Las coordinaciones elemen tales de la acción sólo com portan, en efecto, un esquem atism o práctico, fuentes de conceptos o relaciones motrices (si podem os expresarnos de esta m anera, por analogía con los conceptos representativos), de u n a cuantifi cación m uy reducida fundada en el ritm o de la acción y de u na organi zación espacial que tiende hacia la form a de grupo. A p a rtir de estos elementos sensoriomotores, el pensamiento representativo extrae luego un esquematismo de clases v de relaciones, el núm ero entero y algunas estruc turas espaciales. Sin embargo, a p a rtir de este pasaje de lo sensoriomotor a lo conceptual, que precede en m ucho a la producción del pensamiento científico, se observa ya, en form a clara, que las estructuras del nivel superior no están preform adas sobre el nivel inferior: el pensam iento n a ciente extrae de las coordinaciones motrices, exclusivamente, algunas rela ciones funcionales de encaje o de orden, aunque no articu lad as y que sirven como elementos de una nueva construcción. Existe entonces, sim ultánea m ente u n a abstracción reflexiva de m ateriales tom ados del nivel inferior y elaboración de una estructura que los engloba articulándolos y generali zándolos de acuerdo con nuevos modos operatorios. A h o ra bien, este proceso genético de abstracción a p a rtir de la acción, así com o de reflexión (en el sentido propio del térm ino) y de construcción com binadas corres ponde, precisam ente, a lo que se observa en todos los niveles de la genera lización m atem ática. Las generalizaciones del núm ero no están contenidas de antem ano en el núm ero entero, sino que proceden de la organización de las operaciones (-j- y — en el caso del núm ero negativo, X y: en el del fraccionario, n n y y/ en el de los imaginarios, etc.), es decir, de nuevas estructuraciones que se construyen abstrayendo del núm ero entero algunos de sus elementos operativos descubiertos por disección reflexivas. El nú-

m ero entero, por su parte, ha sido abstraído del mismo m odo de las clases y relaciones reunidas y los tres han sido construidos tam bién en forma sim ilar a p a rtir de elementos sensoriomotores. Sería entonces absurdo consi derar que el núm ero complejo (a bi) se encuentra preform ado en los ejercicios reflejos de un recién nacido; sin embargo, un proceso continuo de abstracción reflexiva y de construcción operatoria vincula las coordi naciones motrices iniciales con las estructuraciones lógico-m atem áticas supe riores. Por otra parte, lo que en este cam po del análisis y del número parece paradójico se acepta con m ucha m ayor facilidad en el terreno del espacio; en éste las generalizaciones no euclidianas y la m ultiplicación de las dimensiones deben ser situadas, sin duda, en la prolongación de la organi zación sensoriomotriz inicial. No por ello se debe considerar que los, hiperespacios están preform ados en los movim ientos y las percepciones del feto. >

E n resumen, la construcción inagotablem ente fecu n d a de la m atem á tica se basa en un doble m ovim iento de generalización operatoria que crea las nuevas estructuras m ediante elementos anteriores, y de reflexión o de diferenciación que extrae estos elementos del funcionam iento caracte rístico de los niveles inferiores. R udim entarias y aproxim ativas en su punto do p artid a, las coordinaciones prácticas que se encuentran en el origen del pensam iento se continúan, de este modo, en coordinaciones cada vez m ejor form alizadas y cada vez m ás abstractas; en efecto, la abstracción que las caracteriza es u n a abstracción a partir de las operaciones e incluso de las acciones anteriores y no a p a rtir del objeto. De todos modos, y como es n atu ral, las prim eras coordinaciones se estructuran siempre a p a rtir de u n a acción sobre el objeto y este progreso, tanto reflexivo com o generalizador, no se realiza en virtud de un desarrollo inevitable o de u na sucesión de actos gratuitos. Los actos gratuitos se hacen posibles sólo una vez consti tuida la ciencia. Y tam bién, en la historia de la m atem ática, se produjeron u n a gran cantidad de descubrimientos que se realizaron en función de los problem as concretos planteados al m atem ático por la experiencia física o incluso química, biológica y económica. Es esa conexión ta n frecuente entre las nuevas coordinaciones y la acción experim ental la que proporciona la ilusión de que las estructuras m atem áticas consisten en modelos simplifi cados o esquemas de u n a realidad d ad a; en ciertos casos, efectivamente, la teoría es edificada con el objetivo preciso de construir tales esquemas. Sin em bargo, el hecho de que u n a coordinación intelectual vincule siempre entre sí acciones reales o posibles no quiere decir que la coordinación hava sido extraída de la experiencia; lo que hemos dicho (en I) en relación con la génesis de los entes m atem áticos elementales tiene vigencia, a fortiori, en el caso de los esquemas superiores. C uando el m atem ático encara un problem a de física y se esfuerza por hallar un instrum ento operatorio que se adapte a las transform aciones de lo real de m odo tal que constituya al parecer u n a copia de él, ac tú a del mismo m odo en que lo hace el pintor o el músico al tom ar su inspiración de la re a lid a d : ésta, como se suele decir, “le da ideas” , pero, por realista que sea, él tom a de ella sólo

“ ideas” , es decir, que, en lugar de lim itarse a registrar fotografías o discos sonoros, reconstruye lo real asim ilándolo a él. Esto nos conduce a un segundo problem a: ¿ E n qué se origina esta concordancia perm anente entre las operaciones lógico-m atem áticas y las transform aciones de lo real, h asta el punto en qu e las prim eras puedan im itar las segundas, y cómo puede ser que, en los casos, m ucho más num e rosos aún, en los que el m arco m atem ático supera a lo real actual, éste p ued a ser llenado a posteriori gracias a nuevas experiencias? Pese a esta liberación grad u al respecto de la realidad física, e incluso, se p o d ría decir, a causa de ella, algunas estructuras m atem áticas elaboradas p o r puro deseo deductivo de generalización abstracta, sin ninguna consideración experi m ental, confluyen a posteriori, con la realidad: como dicen los biólogos, están “pread ap tad as” a resultados de experiencia imposibles de prever en el m om ento de su construcción. A nuestro parecer el aspecto esencial de toda interpretación concerniente a la naturaleza de los entes m atem áticos está representado por este problem a crucial de la anticipación de lo real p o r los marcos lógico-matemáticos abstractos, tan próxim o (desde el punto de vista de u n a epistemología genética) del problem a biológico que Guyén o t llamó de “funcionam iento profético” 34 del organism o y C uénot de la “ontogénesis prep arato ria del fu tu ro ” . L a solución habitual de este problem a central consiste en decir que la m atem ática tom a de la experiencia algunos de sus elementos de la génesis de los entes abstractos y es n atu ra l, entonces, que encuentren al fin de cuentas la experiencia. Pero es fácil advertir el carácter superficial de esta respuesta, ya que no se trata, precisam ente, de la m ism a experiencia al comienzo y al final: la experiencia, anticipada sin saberlo, que, a poste riori, ocupa un m arco m atem ático, contradice, en efecto, las experiencias iniciales de las que se pretenden extraer los conceptos primitivos. D e este m odo, la concordancia entre el espacio no arquim ediano y algunos datos microfísicos no puede ser explicada m ediante la hipótesis de que el continuo arquim ediano o m etrizable sería tom ado de la experiencia sensible puesto que, precisam ente, la experiencia microfísica contradice en este p u n to a la experiencia inm ediata. E n efecto, el hecho de que Veronese haya podido construir u n continuo dejando de lado el axiom a de A rquímedes (de acuerdo con el cual, si se transporta un cierto núm ero de veces el segmento AB a lo largo de u n a recta, siempre se dejará atrás en algún m om ento u n punto cualquiera G situado sobre esta línea m ás allá de B ), y de que este modelo haya sido utilizado como representación microscópica, no se debe a que el niño o el sentido com ún hayan tom ado de la experiencia física (m acroscópica) la idea de que toda recta pu ed e ser m edida p o r la iteración de uno de sus segmentos. Por el contrario, el modelo no arq u i m ediano llegó a constituir un m arco preadaptado a u n sector de experiencia que contradecía esta realidad habitual al lograr liberarse de la realidad determ inada. 34 E. Guyénot: “L a vie comme invention”, L ’invention (IX o Semana Intern. de Síntesis). Alean, 1938, pág. 188.

P ara explicar la convergencia, después de anticipaciones involuntarias, entre la m atem ática y lo real, se deben suponer, entonces, entre estos dos términos, relaciones m ucho m ás profundas que aquellas de que dispone la experiencia física de cada sujeto. L a hipótesis se vería aun más debilitada si se apelase a una “herencia de lo adquirido” ; en efecto, au n si se ite que la experiencia geom étrica de los gusanos o de los moluscos se haya transm itido al hom bre (m ediante u n a herencia de lo adquirido poco probable en este caso particu lar) la m ism a nos h ab ría ayudado a concebir solam ente un espacio de dos dimensiones, pero no h ab ría explicado ni a R iem ann ni a Lobatchevski. E n este p unto la indisociable conexión entre el sujeto y el objeto, interior al sujeto, asegura un a conexión entre ambos más sólida que la que se origina sólo en la acom odación. Si se invoca sólo la acom odación a lo real de los esquem as de acciones o de pensa m iento, sería paradójico que la deducción geom étrica, contradiciendo los datos perceptuales y representativos, que h an caracterizado sus acom oda ciones iniciales, term ine por construir m arcos que corresponden a una realidad exterior m ás p ro fu n d a y m ás general que la de nuestro medio con sus aproxim aciones lim itadas. L a acom odación de los esquemas espa ciales, en efecto, corresponde a u n m edio caracterizado p o r un a cierta escala de dimensiones y velocidades: ¿C óm o explicar, entonces, que su generalización, haciéndolos salir de este m arcos-confluya con otra realidad, determ inada p o r otra escala e insospechada en el m o m e n to de las acom o daciones prim itivas? Se lo puede explicar si se ite, p o r el contrario, que el o entre el sujeto y lo real está asegurado desde el comienzo, no gracias a las experiencias individuales ni a u n a problem ática trans misión de la experiencia ancestral, sino debido a que la estructura psicofisiológica del sujeto se origina en la reálidad física, al mismo tiem po que ésta d a origen a las coordinaciones sensoriomotrices y luego intelectuales que culm inan en la deducción lógico-m atem ática. E n lo que concierne a lo real, en efecto, el cerebro y el pensam iento pueden im aginar tanto ideas verdaderas como falsas, al mismo tiem po que, a su vez, están regulados p o r leyes biológicas y físico-químicas; por el contrario, cuando lo que está en juego no es el pensam iento de los objetos particulares sino la aplicación d e los procedim ientos generales de coordinación que caracterizan a toda composición m otriz o m ental, u n a vez que alcanza el estado de equilibrio, es evidente que cuanto más generales sean estas coordinaciones, más se ad a p ta rá n a lo real, ya que em anan de la realidad física p o r interm edio de la realidad biológica. Se responderá sin d u d a que se im pone entonces la alternativa si g uiente: o bien estas coordinaciones, que se entroncan en Jo real a través del interior del sujeto en general y reencuentran lo real en las activi dades exteriores de cada sujeto individual, se reducen a un a priori y a la “arm onía preestablecida” invocada po r H ilb e rt en la solución de este pro blema, o bien estas coordinaciones no contienen de antem ano todas las operaciones lógico-m atem áticas y no explican m ejor, en este caso, la concor dancia final entre la m atem ática y lo real que la hipótesis de una acomo dación individual a la experiencia.

Se recuerda (vol. I, cap. II, punto 6) cómo H ilbert, después de observar que existe un “paralelism o im po rtan te entre la naturaleza y el pensam iento” (art. citado, pág. 26), lo explica m ediante un a arm onía preestablecida: al mismo tiempo que corresponde a las leyes más profundas de lo real, un cierto residuo intuitivo constituiría, de este modo, un a priori p ara el pensam iento: “Se ha observado, p o r ejemplo, que, ya en la vida cotidiana, se emplean métodos y conceptos que exigen m uchas abstrac ciones y que no son comprensibles como aplicación inconsciente del método axiom ático” (ibíd., pág. 25). E n otras palabras, ¿no es acaso lo mismo que afirm am os en lo que se refiere a las coordinaciones psicofisiológicas, que constituyen sim ultáneam ente el punto de unión interior del sujeto y de la “naturaleza” , así como el p unto de p artid a de la construcción lógicom atem ática? Ciertam ente que no, ya que los conceptos de a priori, de arm onía preestablecida y de aplicación inconsciente del m étodo axiomático suponen u n doble realismo estático: la m atem ática y la lógica serían, al mismo tiempo, inm anentes a la realidad física y datos ya constituidos en el p unto de partida de la vida m ental. A hora bien, en nuestra hipótesis, las operaciones lógico-matemáticas se aplican a lo real dado en la expe riencia y lo enriquecen sin estar contenidas en él, y proceden de las coordi naciones mentales y fisiológicas m ediante un proceso al mismo tiempo constructivo y regresivo, sin estar preform adas en un comienzo. Pero reaparece, entonces, la segunda ram a de la altern ativ a: al no estar preform adas en las coordinaciones iniciales, ¿ cómo las generalizaciones m atem áticas superiores, que superan a la realidad percibida o concebida en los estadios inferiores, confluirán con lo real en el caso de experiencias físicas más profundas? Ello se debe, al parecer, a tres razones conjuntas, las dos prim eras de las cuales fueron ya exam inadas en (1 ). L a prim era es que las coordinaciones m entales que engendran las operaciones lógicom atem áticas elementales son el resultado de un a reorganización de elemen tos tom ados de las estructuras elementales, y ello en form a indefinida (continuidad que está asegurada por la de los ciclos asim ilatorios), hasta las interacciones elementales de la morfogénesis orgánica y de la realidad física: el punto de partid a orgánico de la construcción m ental, por inde pendiente que sea de la experiencia individual, se entronca de este modo en el universo físico, sin que, por otra parte, podam os conocer las m oda lidades de ello hasta que no se hayan resuelto los problem as biológicos centrales. L a segunda causa reside en el hecho de que la construcción m atem ática es, al mismo tiempo, constructiva y regresiva, y toda genera lización nueva se apoy.;' en una reelaboración de los axiomas iniciales: ah o ra bien, cuanto más alto rem onta este proceso reflexivo, más converge la reconstrucción axiom ática con el análisis genético. D e este modo, las nuevas construcciones que concuerdan en form a im prevista con las expe riencias físicas se originan en una recom binación de elementos operatorios de más en más primitivos genéticam ente, que las acciones más simples sobre la realidad inm ediata habían conducido inicialm ente a organizar de otro modo. A los dos precedentes se le agrega entonces un tercer factor. \ la vez constructiva y reflexiva, es decir progresiva v regresiva, la elabo

ración de las operaciones o conceptos lógico-matemáticos procede m ediante equilibraciones sucesivas y, si una form a de equilibrio constituida p o r un sistema operatorio superior no está contenida en un sistema inferior más lim itado y menos equilibrado, el pasaje de lo inferior a lo superior, sin em bargo, está condicionado por la necesidad de in teg rar algunos elementos del prim ero en el segundo y de realizar u n equilibrio más am plio y más móvil, al mismo tiem po que rem onte más alto en el análisis de los elementos. T odo nuevo sistema operatorio se caracteriza de este modo por una forma de equilibrio m ás am plio, que engloba nuevas operaciones virtuales (en el sentido en el que se habla de “movimientos virtuales” ) además de las que h a n sido efectivam ente realizadas: sin que este hecho suponga una preform ación de los sistemas nuevos en ios sistemas iniciales, supone, sin em bargo, una cierta línea directriz, determ inada por la obligación de conservar estos últimos a título de. casos particulares y esta línea es recorrida en am bos sentidos de la construcción generalizadora y del análisis regresivo. L a concordancia final con lo real se explica así por una especie de “ortogénesis” , como se dice en biología, aunque imposible de caracterizar de antem ano, salvo po r un aum ento de reversibilidad ; .en efecto, la única regla com ún que se im pone a las nuevas construcciones es la de integrar las precedentes m ediante u n vínculo de reciprocidad (y por lo tanto de reversibilidad), lo que constituye la condición funcional de todo equilibrio. Se com prende, entonces, por qué las operaciones lógico-matemáticas se acom odan en form a perm anente a los objetos, al mismo tiempo que los asimilan al sujeto: ello se debe a que el ciclo de asimilación constituido p o r las coordinaciones iniciales de las que estas operaciones proceden reside en el p unto de unión entre las leyes funcionales más generales del orga nismo y los caracteres más generales de los objetos. El cuerpo propio, en efecto, es, al mismo tiem po, u n objeto como los otros, determ inado por las leyes de lo real y el centro de u n a asimilación de los otros objetos a su actividad. A p artir de ello, en la m edida en que actúa de acuerdo con las form as más elementales de composición (encajes, orden, etc.), sus acciones expresan, al mismo tiempo, las exigencias del universo que lo determ ina desde el interior por su constitución de ser viviente, y la organi zación im puesta por la acción y el pensam iento al universo que. ellas asim ilan: m ientras esta organización operatoria es aplicada al universo exterior en el transcurso de las acciones efectuadas sobre él, las leyes gene rales del universo, de las que, por o tra parte, estas acciones son el producto, son analizadas desde el interior, por la coordinación de los actos y no desde afuera po r la presión de los objetos. Por ello, el conocimiento lógicom atem ático constituye u n a especie ú n ic a : por u n lado consiste en la asimilación de los objetos a la coordinación de las acciones del sujeto, y, por el otro, en u n a acom odación perm anente a los objetos; en efecto, esta coordinación de las acciones del sujeto consiste en acciones generales que convergen con las transform aciones del universo, de las que el cuerpo viviente proviene con sus leyes de asimilación coordinadora. Este proceso no puede presentar u n comienzo absoluto, puesto que la asimilación se caracteriza por la incorporación de los objetos a u n ciclo de acciones esen

cialm ente cerrado y continuo; ello determ ina la abstracción reflexiva o regresiva característica de toda construcción operatoria. Por otra parte, com o el equilibrio entre la asimilación y la acom odación es la fuente de la reversibilidad m ental, la construcción, bajo su aspecto progresivo, es dirigida así p o r esta exigencia de reversibilidad, condición general de todo equilibrio y conexión perm an en te entre el p u n to de llegada de las construcciones y su p u n to de p a rtid a com ún y que se aleja sin cesar. E n resumen, el problem a del o entre la m atem ática y lo real es susceptible así de u n a solución que conectaría su “objetividad intrínseca” con la objetividad física o extrínseca, pero p o r interm edio de las coordi naciones psicofisiológicas interiores al sujeto. Como lo hem os visto (p u n to 2 de este capítulo) la aceptación total de este concepto de objetividad in trín seca no se contradice en n a d a con la interpretación operatoria de la matexnatica. U n a operacion no es u n a acción aislada y arb itraria, que señale sim plem ente la actividad com binatoria del sujeto individual, sino que está siempre conectada con u n sistem a de conjunto q u e posee, entonces, sus propias leyes y su objetividad como sistema. E xplicar el desarrollo de la m atem ática m ediante esquemas de acción que se prolongan en sistemas operatorios equivale, así, a respetar h asta sus límites extrem os la coherencia in te rn a de los principios y de los teorem as de todos los sectores de la m atem ática. Al mismo tiem po, sin em bargo, consiste en conectar esta obje tiv id ad intrínseca con u n principio de equilibrio, es decir, de reversibilidad, que puede vincular la evolución de las operaciones concretas y abstractas al desarrollo m ental mismo, que se caracteriza, en cada u n a de sus fases, por u n pasaje de la irreversibilidad a la reversibilidad. III. Pero, p a ra situar en su v erd ad era perspectiva esta interpretación de las conexiones entre la m atem ática y lo real, p o r interm edio de las estructuras psicobiológicas del sujeto mismo, es necesario d ejar de lado, en form a sim ultánea, tres tipos de realismos posibles, m atem ático, físico y fisiológico, quizás incom patibles entre sí, pero que, por su acción alternada, deform an en g ran m edida toda interpretación de conjunto. P ara concluir, conviene, entonces, ubicarse en el círculo de las ciencias, que, en el trans curso de los próxim os volúmenes, seguiremos analizando en los terrenos físicos y biológicos. ¿Q u é se pretende decir, en prim er lugar, cuando se afirm a la concor d a n c ia entre la m atem ática y la realidad física? Con esta afirm ación se p reten d e expresar el hecho de que las acciones relacionadas con los cambios de posición de los objetos o sobre sus uniones pueden com ponerse entre sí, sin q u e sus composiciones sean contradichas por las com probaciones experi m entales; tam bién, que las acciones relacionadas con los cambios de estado de les objetos pueden, a su vez, ser puestas en correspondencia con las operaciones de desplazam iento o de unión. Ahora bien, lo im portante reside en el hecho de que la realización de este acuerdo, cuyo carácter de m ás en m ás anticipatorio acabam os de recordar, se acom paña siempre con u n a transform ación de lo real. E n efecto, en el caso' de estas conver gencias obtehidas a posteriori tarde o tem prano, se produce en relación con

la realidad m aterial, un proceso esencial, sobre el que insistiremos a pro pósito del conocimiento físico: ello se debe a que el ap arato operatorio se ad a p ta en ta n gran m edida al fenóm eno cuya m edición debe proporcionar que se convierte en parte integrante de éste; el fenóm eno físico se revela, entonces, como indisociable del operador que constituye u n aspecto del mismo. D e esta m anera, entonces, no sólo se produce u n a adecuación del instrum ento intelectual al objeto, incluso cuando el prim ero está pre p ara d o en form a anticipatoria y el segundo es descubierto con retraso en relación con los medios de conocim iento que sirven a posteriori para estructurarlo, sino que tam bién se hace cada vez más difícil conocer la realidad, física fuera de esta estructura m atem ática: se produce un a asimi lación ta n com pleta de lo real a los esquemas operatorios que la realidad física es transform ada poco a poco en relaciones espaciales y m étricas y que, al lím ite del poder de la acción (tal como lo veremos en relación con la m icroíísica), la operación del sujeto se convierte en solidaria del objeto. Sin em bargo, a pesar de este desplazam iento constante de lo real en el sentido de la m atem ática, la m ayor p arte de los físicos están au n convencidos de la existencia objetiva de los entes m ateriales: el objeto es conocido sólo a través de los instrum entos intelectuales del sujeto, pero sigue siendo objeto. Este realismo suscita deslizamientos y variaciones, y se refuerza a m edida que nos aproxim am os a los hechos químicos y biológicos. En efecto, si bien en los sectores extrem os relativos a las escalas astronómicas o microfísicas existen algunos físicos idealistas (Jeans y E d d in g to n ), el realismo se consolida en presencia de las retortas del quím ico y ningún biólogo d u d a de la realidad de los entes organizados. A hora bien, precisam ente en el terreno del organism o vivo se produce, al parecer, u n a segunda cu rv a tu ra notable en la curva que vincula al sujeto con el objeto. Al mismo tiem po que presenta u n a tendencia cons tante a asimilarse a la objetividad extrínseca de la realid ad física, la objetividad intrínseca de la m atem ática encuentra el objeto en el interior del sujeto, si así puede decirse, en la exacta m edida en que los procesos m entales que engendran los entes lógico-m atem áticos están ligados a los procesos fisiológicos que caracterizan la organización vital y de los que las funciones sensoriomotrices dependen. Hemos observado m ás arrib a que la construcción de los entes m ate m áticos es siempre correlativa de u n a tom a de conciencia de las raíces propias de las totalidades operatorias de las que se extraen estos entes. L a teoría de los conjuntos nos lleva, po r ejemplo, a las operaciones elemen tales de correspondencia simple de los prim itivos, del n iñ o e incluso, en un sentido sensoriomotor, tam bién del anim al (véase el ejem plo citado de las gallinas que picotean sólo los granos pares o im pares de u n a serie rectilínea) ; la topología recurre a relaciones de entorno, de frontera, de envolvimiento, etc., que son las m ás simples que conoce la percepción o la acción, y la teoría de los grupos se basa en composiciones operatorias que, bajo su form a más general, corresponden a las coordinaciones más elementales de la acción. Al ser el progreso m atem ático siempre, al mismo tiempo, reflexivo y constructivo, com porta u n factor de análisis regresivo

que rem onta hasta las raíces sensoriomotrices de toda operación. A hora bien, ¿ hasta dónde p enetran estas raíces? E n epistemología, el punto de vista genético se caracteriza por el hecho de que se niega a afirm ar de antem ano un sujeto provisto de una estructura intelectual acabada, y que constituya u n punto de p artid a en sí. Son exac tam ente las mismas razones que im piden acep tar la existencia de objetos planteados de antem anos en sí mismos, independientemente, de las activi dades del sujeto, y que obligan a explicar estas actividades en función de su desarrollo, progresivo y regresivo, lo que equivale a alejar indefinida m ente su p u n to de origen aparente. A hora bien, el sujeto constituye al parecer u n comienzo absoluto, respecto de las estructuras lógicas y m ate m áticas, pero sólo en la m edida en que se interrum pe el análisis regresivo a nivel de la psicología y, más precisamente, en la m edida en que no se cede a las ilusiones de u n a psicología introspectiva, en lugar de ubicarse en el p unto de vista de la conducta. Efectivam ente, la vida m ental no está suspendida en el vacío. R ecurrir a la acción, y singularmente a los movim ientos, p ara explicar la génesis de las operaciones lógico-matemáticas, supone referirse necesariam ente a la vida orgánica y comprometerse enton ces en u n a vía que conduce más acá del sujeto aparen te o consciente, ya que las raíces de la vida orgánica se encuentran en la realidad física. E n la exacta m edida en la que el análisis de las form as de pensamiento supe riores habla en favor del idealismo, al considerar que el objeto es solidario de las actividades del sujeto, el análisis de las fuentes de la inteligencia reduce el sujeto al objeto por interm edio del organismo. La física aclara u n a de las zonas de unión entre el sujeto y el objeto, pero la biología es entonces la que debe proporcionarnos la luz necesaria sobre la zona simé trica, al explicarnos la génesis del sujeto a p a rtir del objeto. De la m isma form a en que la física contradice al empirismo, al dem ostrarnos que el objeto es asim ilado a las operaciones del sujeto, la biología contradice tam bién al apriorism o al vincular las operaciones con los procesos fisio lógicos. Se revela, de este modo, que el em pirismo y el apriorism o se originaron am bos en u n a visión estática de las cosas, como si el sujeto y el objeto estuviesen dados de una vez p ara siem pre: genéticamente, por el contrario, el sujeto y el objeto actuales consisten en porciones singular m ente estrechas en relación con la historia intelectual y biológica en la que los recortam os y, p a ra poder resolver el problem a epistemológico en su form a general, se debería intentar la reconstitución íntegra de esta historia que com prende la de la vida en su totalidad. E n efecto, si reducim os la reversibilidad operatoria a la reversibilidad creciente de los mecanismos mentales, se p lan tea un problem a biológico cuya im portancia es tal que caracteriza por sí solo la historia de las ideas scbre la reversibilidad o la irreversibilidad vitales. T an to si, como muchos autores desde H elm holtz a Ch. E. Guye lo creyeron, la vida escapa a la acción del segundo principio de la. term odinám ica, como si está sometida a éste, al igual que los otros fenómenos físico-químicos, de todas formas se debe vincular la reversibilidad m ental con los mecanismos nerviosos:

o bien esta form a de reversibilidad parecerá estar p rep a ra d a por los procesos vitales m ás generales, o bien, por el contrario, se presentará como una form a de equilibrio particu lar entre el organismo y el medio, imposible de alcanzar en ciertos sectores, aunque realizada por las coordinaciones cognitivas. En este últim o caso, éstas no serían menos solidarias de las coordinaciones orgánicas, que las que representarían un nivel superior de equilibrio. En ambos casos, entonces, cabe preguntarse si las estructuras operatorias más generales no están condicionadas por ciertas necesidades funcionales propias de toda organización viviente. Los encajes y las seriaciones. las composi ciones o coordinaciones, los rodeos y retornos, etc., aun q u e estructurados en form a diferente en los diversos niveles del desarrollo m ental, no p o r ello expresan en m enor grado caracteres comunes a todos los modos de funcio nam iento asim ilatorio: toda asimilación supone la conservación de un ciclo que se cierra sin cesar sobre sí m ism o; es probable que de este funciona m iento, característico de la vida, dependa el secreto de la construcción indefinida de los esquemas m entales y finalm ente lógico-matemáticos, en relación con los que el propio L autm an señaló el parentesco con los con ceptos de totalidad orgánica. M ediante estas observaciones no pretendem os resolver el m enor pro blema positivo, sino m ostrar, simplemente, u n a p arte del program a que se debe cum plir antes de que la epistemología pueda to m ar partido en lo que se refiere a las relaciones entre el sujeto y el objeto, cuando estas relaciones son interiores al organismo y no sólo dadas en la acción exterior de cada sujeto. A este respecto, p ara tra ta r las relaciones entre el sujeto y el objeto sería tan indispensable conocer la relación entre un acto de com prensión inteligente, caracterizada por sus combinaciones reversibles, los m ecanism os nerviosos del cerebro y los procesos físico-químicos o incluso microfísicos que se desarrollan en la sustancia cerebral, como la relación entre el acto de inteligencia y el objeto exterior al organism o sobre el que se efectúa. Pese a que nuestros conocimientos sobre las relaciones entre las estruc turas intelectuales y la vida son aún rudim entarios, sobre todo en lo que concierne a las estructuras lógico-matemáticas, existen pese a ello, algunos hechos, ya analizados, que incitan a la reflexión. D e este modo, la psico logía h u m an a realiza u n gran esfuerzo p ara reducir los elementos del espacio, del núm ero o de las clases y de las relaciones a las conductas sensonomotrices del prim er año o a las estructuras perceptuales, etc. Sin embargo, estas conductas sensoriomotrices, por su parte, están precedidas por m ontajes hereditarios o reflejos, cuyas manifestaciones son integradas con rapidez en el hom bre en las construcciones adquiridas, pero que se desarrollan bajo una form a más pu ra y rica en el instinto anim al. A hora bien, sería nece sario elaborar una geom etría y un análisis lógico-aritm ético de las conductas y de las construcciones instintivas. Desde la cera de u n panal, las figuras m últiples de una tela de arañ a v las relaciones de orden, hasta los encajes de esquemas de acción y las cuantifieacíones que supone la sucesión de las conductas reflejas que caracterizan a todos los instintos constructores, se

podrían encontrar los elementos, no de operaciones lógico-matemáticas, sino de una estructuración sensoriomotriz hereditaria de carácter lógico-m ate m ático bastante desarrollado. Desde u n p unto de vista m atem ático, n ad a sería m ás llam ativo que este estudio de las estructuras prem atem áticas instintivas. A hora bien, cuando ia inteligencia construye “formas” que son las de los diversos sistemas operatorios, éstas parecen inm ateriales, en la m edida en que las conductas características de las operaciones concretas se interio rizan en estructuras formales con base puram ente simbólica. Sin em bargo, al mismo tiem po que form as de conductas, las “formas” elaboradas por el instinto son “form as” ligadas a la estructura de los órganos. El instinto es la lógica de los órganos, y si a su respecto se puede h ab lar de estructura ciones lógico-m atem áticas, se trata de u n a prolongación de las estructuras orgánicas. A hora bien, precisam ente en este p un to la m atem ática encuentra a la biología en la form a m ás directa y n a tu ra l; cabe lam entar que la única m atem ática biológica que existe sea la que se utiliza p ara los requeri mientos de la biom etría aplicada al estudio de la variación o de las leyes de la herencia. Por ello se debe señalar con énfasis el interés del notable estudio del célebre biólogo d ’Arcy T hom son 35 sobre las relaciones geom é tricas que caracterizan la estructura de los organismos m ás diversos, y sobre todo la form a de las especies, géneros o familias vecinas. E n la obra de d’Arcy Thom son se encuentran en p articu lar, las concepciones más sugestivas sobre las transform aciones geom étricas que caracterizan el pasaje de una estructura a otra: p o r ejemplo, de los estiramientos o contracciones topológicas o afines que conectan formas de peces m étricam ente diferentes, pero homeomorfos en lo que se refiere a sus otros aspectos, etc. U n análisis semejante, aplicado no sólo a las form as anatóm icas sino tam bién a las “formas” de conducta hereditaria o instintiva (conducta m otriz o cons trucciones) proporcionaría u n aporte esencial al estudio de la fuente bioló gica de las estructuras m entales y en consecuencia cognitivas, incluyendo estructuras lógico-m atem áticas.36 Sin em bargo, si, como acabamos de verlo, no es quim érico concebir la posibilidad de un análisis regresivo de las actividades del sujeto en el terreno de las conductas instintivas e incluso de la morfogénesis orgánica en general, nos com prom etemos evidentem ente en un círculo. El hecho biológico es una variedad particular de los hechos físico-químicos o físicos y, en la actualidad, se está escribiendo todo u n capítulo de la ciencia en lo que concierne a las relaciones entre la microfísica y la biología. L a m atem ática y la lógica están en un acuerdo constante con la realidad física exterior al sujeto, y explican esta realidad física asim ilándola cada vez más a ellas y las estructuras lógico-m atem áticas podrían parecer u n día condicionadas p o r un funcionam iento orgánico cuyas raíces se encuentren 35 D ’Arcy Thomson: On growth and form. Cambridge, 1942. 38 Respecto del problem a de la ionvergencia entre las formas m atem áticas y las estructuras morfogenéticas, véase la curiosa observación de H ilbert; citado en este volumen, cap. I I , § 6, sobre las leyes de la herencia y los axiomas de congruencia lineal.

en el universo físico-químico. Suponiendo que la explicación biológica logre alguna vez u n carácter de precisión y de construcción teórica rigurosa de los que a ú n carece, nos veríam os, entonces, frente a u n círculo real. E n el estado actual de los conocimientos, p o r el contrario, se trata sólo de un círculo ideal, d ad a la imposibilidad de dom inar las relaciones entre lo m ental y lo biológico, p o r u n lado, y entre lo biológico y lo físico po r el otro (dos tipos de relaciones que algún día p o d rían in terferir). D e todas m aneras, y desde u n p u n to de vista epistemológico, d onde las lagunas mismas de este círculo corresponden a un punto de im portancia capital, las zonas de unión entre el sujeto y el objeto no deben situarse sólo en el terreno lím ite entre la m atem ática y la física, sino tam bién, y sim étricam ente, en el que concierne a las relaciones en tre la biología (o la psicobiología) y la física. A h o ra bien, estas relaciones p ueden presentar las combinaciones m ás diferentes entre el sujeto y el objeto. Al ligar al funcionam iento de la vida los m ecanismos esenciales de la inteligencia y del conocimiento, se aleja sim plem ente el problem a central de las relaciones entre el sujeto y el objeto, convertido en el problem a de la relación éntre el organismo y el medio, pero se deja abierta la serie de las soluciones epistemológicas posibles (én relación con las cuales veremos luego que se corresponden térm ino a térm ino con las soluciones del problem a biológico de la adaptación y de la v a ria c ió n ). E n los conocimientos biológicos con temporáneos, en efecto, n ad a nos obliga a considerar que el organism o se encuentra sometido pasivam ente a las acciones del medio, y n ad a nos obliga, tampoco, a considerarlo como u n a expresión directa de los procesos físicoquímicos conocidos en la actualidad. R ecién el día en que podam os caracterizar las relaciones exactas entre la vida y la m ateria inorgánica, por un lado, y entre el funcionam iento orgánico y el m edio exterior, por el otro, podrem os construir u n a epistemología precisa de las relaciones “interiores” entre el sujeto y el objeto (p o r oposición a las relaciones exte riores entre la actividad operatoria y el m undo físico en el que se efectúan nuestras acciones). El análisis que hemos in ten tad o sobre el conocimiento m atem ático, en esta prim era p arte de nuestra obra, requiere entonces, como com plem ento indispensable, un estudio de las relaciones entre el pensam iento m atem ático y el conocimiento físico (vol. I I ) , pero tam bién una investigación sobre el alcance epistemológico del conocim iento biológico (tercera p arte, vol. I I I ) , antes de poder exam inar, nuevam ente, los problem as específicos del conoci miento psicosociológico (c u a rta parte, vol. I I I ) .

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