Potencia Instantanea Y Promedio 4x1s6d

POTENCIA INSTANTANEA Y PROMEDIO

CIRCUITOS ELÉCTRICOS 2

POTENCIA INSTANTÁNEA

• La potencia instantánea está definida como la potencia entregada a un dispositivo (carga) en cualquier instante de tiempo y se expresa en la forma de la Ley de Watt.

POTENCIA INSTANTÁNEA La potencia instantánea se define como: p(t) = v(t) i(t) Para una resistencia es: p(t) = v(t) i(t) = i2(t)R = v2(t)/R Para una bobina:

Para un capacitor:

t di (t ) 1 p(t ) = v(t )i (t ) = Li (t ) = v(t ) ∫ v(t ' )dt ' −∞ dt L

t dv(t ) 1 p(t ) = v(t )i (t ) = Cv (t ) = i (t ) ∫ i (t ' )dt ' −∞ dt C

POTENCIA EN EL CIRCUITO RL

i (t ) =

V0 ( 1 − e − Rt L )u (t ) R

(

)

(

)

V02 p(t ) = i (t )v(t ) = 1 − e − Rt L u (t ) R 2 V02 pR (t ) = i (t ) R = 1 − e − Rt L u (t ) R 2

(

)

V02 − Rt L pL (t ) = vL (t )i (t ) = e 1 − e − Rt L u (t ) R

POTENCIA DE EXCITACIÓN SENOIDAL La respuesta al estado senoidal es: i(t) = Im cos (ωt – φ) Im =

Vm R 2 + ω2 L2

φ = − tan −1

ωL R

p(t ) = i (t )v(t ) = Vm I m cos(ωt + φ) cos ωt

Usando

cos α cos β = 12 cos( α + β ) + 12 cos( α − β )

Vm I m [ cos(2ωt + φ) + cos φ] 2 Vm I m Vm I m = cos φ + cos(2ωt + φ) 2 2 p(t ) =

Potencia promedio

EJEMPLO EN MATLAB Voltaje

corriente

potencia

%Potencia instantanea % senoidal en un circuito RL w = 1000; Vm = 1; R = 50; L = 100e-3; Im = Vm/sqrt(R*R+w*w*L*L); fi = -atan(w*L/R); t = 0:0.00005:0.01; i = Im*cos(w*t+fi); v = Vm*cos(w*t); p = v.*i; plot(t,v,t,i*100,t,p*100) grid

Factor de escala

Potencia promedio = (1)(0.0089)(cos(–1.107)) = 0.002

EJEMPLO Una fuente de tensión de 40 + 60 u(t) un capacitor de 5 µF y un resistor de 200 están en serie. Determine la potencia que absorbe el resistor y el capacitor en t = 1.2 ms. vC(0–) = vC(0+) = 40 V

La potencia en C es

vR(0+) = 60 V

i(t)vC(t)

por tanto

es fácil ver que

i(0+) = 60/200 = 300 mA

vC(t) = 100 – 60e– t /τ V

i está dada por

vC(1.2m) = 100 – 60e–1.2 V

i(t) = 300e– t /τ mA

= 81.93 V

τ = RC = 1 ms

la potencia es

en t = 1.2 ms i = 90.36 mA

(90.36)(81.93) = 7.403 W

la potencia en R es pR(1.2m) = i2R = 1.633 W

TAREA #1 Una fuente de corriente de 12 cos(2000t) A, un resistor de 200 Ω y un inductor de 0.2 H, están en paralelo. En t = 1ms determine la potencia que absorbe el resistor, el inductor y la fuente senoidal. 13.98 kW, –5.63 kW, –8.35 kW

POTENCIA PROMEDIO

• El valor promedio de una función debe especificarse en el intervalo sobre el cual se calcula dicho promedio.

POTENCIA PROMEDIO O ACTIVA La potencia promedio se define como 1 t2 P= p( t ) dt ∫ t 1 t 2 − t1

Para una función periódica

p(t)

f(t) = f(t + T) 1 t x +T P= ∫ p ( t ) dt t x T

t t1 tx

t1+ T

tx+ T

POTENCIA PROMEDIO O ACTIVA Podemos calcular la potencia promedio como 1 P= nT

∫

t x + nT

tx

p( t ) dt

Si n se hace muy grande y con un intervalo simétrico 1 P = lim n →∞ nT

∫

nT / 2

− nT / 2

p( t ) dt

EJEMPLO Dada la tensión en el domino del tiempo v = 4cos(πt/6) V, determine la potencia promedio y una expresión para la potencia instantánea que se produce cuando la tensión fasorial correspondiente a V = 4/_0° V se aplica a través de una impedancia Z = 2/_60° Ω.

EJEMPLO v(t) = 4cos(πt/6) V

Voltaje

Z = 2 ∠60° Ohm i(t) = 2 cos(πt/6–60°) A

P = ½(4)(2)cos(60°) = 2 W p(t) = 8 cos(πt/6) cos(πt/6–60°) =2 + 4 cos(πt/3–60°) W

corriente

potencia

TAREA #2 Dada la tensión fasorial V = 115√2∠45° V en una impedancia Z = 16.26∠19.3° Ω, obtenga una expresión para la potencia instantánea y calcule la potencia promedio (activa) si ω = 50 rad/s. 767.5 + 813.2 cos(50t + 70.7°)W; 767.5 W

POTENCIA PROMEDIO ABSORBIDA POR UN RESISTOR IDEAL En este caso la diferencia de fase es cero, de modo que: P = ½Im Vm cos(0) = ½Im Vm 2 V PR = 12 I R = m 2R 2 m

POTENCIA PROMEDIO ABSORBIDA POR ELEMENTOS PURAMENTE REACTIVOS En este caso la diferencia de fase es 90° de modo que: P = ½Im Vm cos(90°) = 0 La potencia promedio entregada a una red formada solo de inductores y capacitores es cero.

POTENCIA INSTANTÁNEA Y PROMEDIO PARA ELEMENTOS PASIVOS

TERMINOLOGÍA DE POTENCIA Término Potencia instantánea Potencia promedio Valor eficaz o rms

Símbolo

Unidad

Descripción

p(t)

W

p(t) = v(t)i(t) valor de la potencia en un instante cualquiera

P

W

En el estado senoidal

Vrms o Irms V o A

Senoidal Im/√2

Potencia aparente

|S|

VA

|S| = Vef Ief

Factor de potencia

PF

Ninguna 1 para cargas puramente resistivas y para cargas puramente reactivas

Potencia reactiva

Q

VAR

Para medir flujo de energía en cargas reactivas

Potencia compleja

S

VA

S = P + jQ

AGRADECIMIENTOS E INTEGRANTES • • • • •

Juan Camilo Mejía Alejandro Álzate Arias Cristian Camilo Centeno Carlos Andrés Mejía Jefferson Alexander Henao