Probabilidades 6ur2y

PROBABILIDADES DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD Sea el evento A, el espacio muestral Ω, entonces la probabilidad del evento A

P ( A) 

n( A) N  Elementos.EventoA  n() N  Elementos.EspacioMue stral

es:

PROBABILIDAD CONDICIONAL Sean A y B dos eventos de un espacio muestral la probabilidad de B dado A, es el numero P (B/A) que se define por. Se lee: P( A  B ) “la probabilidad que B ocurra dado que A ha P ( B / A)  , P ( A)  0 Ocurrido” P ( A) Ó“ la probabilidad de B dado A”. PARTICIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL Se denomina partición del espacio muestral , a una colección de k eventos A1,A2,…,AK que sean excluyentes y cuya unión es el espacio muestral , es decir, tales que verifican las siguientes condiciones: 1) P (Ai) > 0 , para cada i = 1, 2, …, k 2) Ai  Aj =  i 

 A1

A2

…

AK

B

Partición de 

TEOREMA (Regla de la probabilidad total) Si k eventos: A1, A2,…, AK, constituyen una partición del espacio muestral , entonces, para cualquier evento B en . k

P (B) =  P (Ai) P (B/Ai)

i=1

TEOREMA (Regla de Bayes) Si los k eventos: A1,A2,…,AK ,constituyen una partición del espacio muestral , entonces, para cualquier evento B de  tal que P(B) 0

P( Ai / B) 

P ( Ai) P ( Bi / Ai) , i  1,2,.., k P ( B)

EJERCICIOS 9: PROBABILIDADES 1. Hallar el Espacio Muestral de los siguientes experimentos: a) Nacimiento de un ser humano en relación al sexo. VARON - MUJER b) Resultado de la evaluación nutricional de un menor de edad. NUTRIDO - DESNUTRIDO c) Resultado del partido de Vóley entre Perú y Brasil. GANAR - PERDER d) Tipo de elasticidad de la demanda del producto “X” ELASTICA – INELASTICA - UNITARIA 2. De una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules se extrae una al azar. Determinar la probabilidad de que sea (a) roja, (b) blanca, (c) azul, (d) no roja (e) roja o blanca (a) P (roja)

= 6/15

(b) P (blanca)

= 4/15

(c) P (azul)

= 5/15

(d) P (no roja)

= 9/15

(e) P (roja o blanca)= 10/15 3. En una muestra aleatoria de 120 pacientes, se encontró que 30 de ellos tienen cáncer. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente elegido al azar: a) ¿Tenga cáncer?

: P(cáncer) = 30/120

b) ¿No tenga cáncer? : P (no cáncer) = 90/120 4. Sea el experimento: “Se lanzan dos monedas simultáneamente”. Hallar: a) El espacio muestral. ¿Son los resultados mutuamente excluyentes? ¿Por qué? El espacio muestral seria cara y sello b) La probabilidad de obtener 2 caras n(b) 1 P(b) = -------- = -------Ω (b) 4 c) La probabilidad de que la primera moneda arroje cara. n(c) 1 P(c) = -------- = -------Ω (c) 2 d) La probabilidad de obtener 1 sello y 1 cara N2CAB25464DFA

n(d) P(d) = -------Ω (d)

=

2 -------4

5. Tres electores elegidos al azar deben expresar su opinión favorable o contraria a un proyecto de ley sobre comercio ambulatorio. Si se designan las opiniones por F (favorable) y C (contrario), hallar: a) El espacio muestral del experimento. ¿Son los resultados mutuamente excluyentes? ¿Por qué? Favorable y contrario b) Probabilidad de que dos electores estén en contra de la propuesta. n(b) 2 P(b) = -------- = -------Ω (b) 8 c) Probabilidad de que los 3 electores estén en contra o los 3 electores están a favor de la propuesta. n(c) 2 P(c) = -------- = -------Ω (c) 8 d) Probabilidad de que por lo menos 1 elector se oponga a la propuesta. n(d) 3 P(d) = -------- = -------Ω (d) 8 6. Una encuesta a 100 personas para determinar la influencia de la televisión en el consumo de conservas enlatadas, arrojó los siguientes resultados: 40 consumían conservas de la marca “X” que propagandizaba la TV; 25 consumían conservas de la marca “Y” que no propagandizaba la TV; y 10 consumían las dos marcas. Si se elige una persona al azar, calcular la probabilidad de que: a) Consuma la marca “X”

40/100

b) Consuma la marca “X” o “Y”

75/100

c) No consuma ninguna marca de conservas

25/100

7. En una muestra de 20 laboratorios químicos, se encontró que 10 de ellos utilizaban sólo insumos importados para la fabricación de sus productos; 5 utilizaban sólo insumos nacionales; y 2 utilizaban tanto insumos importados como nacionales. Si se elige un laboratorio al azar, hallar la probabilidad de que: a) Utilice insumo nacional.

5/20

b) Utilice insumos importados o nacionales. c) No utilice ni insumo nacional ni importado.

17/20 3/20

8. Se llevaron a cabo 200 entrevistas para determinar la influencia de la edad y sexo en la demanda de un producto “X”. Los resultados fueron: EDAD (Ei)

S E X O MASCULINO(M)

FEMENINO (F)

TOTAL

20 – 29 (E1)

40

20

60

30 – 39 (E2)

30

26

56

40 – 49 (E3)

35

24

59

50 – 59 (E4)

20

5

25

TOTAL

125

75

200

Si se selecciona una entrevista al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) Corresponda a una persona de 20 a 29 años de edad?

P( A) 

n( A) 60   0,3 n() 200

b) Corresponda a una persona del sexo masculino?

P( B) 

n( B ) 125   0,625 n() 200

c) Corresponda a una persona entre 20 a 29 años de edad o del sexo masculino?

P (C ) 

n(C ) 40   0,2 n() 200

d) Corresponda a una persona que tenga entre 20 a 29 años de edad o entre 30 y 39 años de edad?

P( D) 

n( D) 116   0,58 n() 200

e) Corresponda a una persona que sea del sexo masculino o femenino?

P ( A)  f)

n( A) 200  1 n() 200

Corresponda a una persona de 40 a 49 años de edad, dado que es del sexo mas

P( A) 

n( A) 35   0,175 n() 200

9. La probabilidad de que un sociólogo entreviste a por lo menos tres familias en un día, es 0,30. ¿Cuál es la probabilidad de que entreviste a 0, 1 ó 2 familias en ese día?.

10. En la Cooperativa de Ahorro y Crédito San Martín, la gerencia sabe por experiencia que la probabilidad de que un socio pague a tiempo su préstamo es de 0,80; además sabe que el 45% de los préstamos pagados a tiempo han sido para financiar compra de artefactos eléctricos y el 65% de los préstamos no pagados a tiempo han sido para el mismo fin. Calcular la probabilidad de que un préstamo que se haya hecho para financiar la compra de un artefacto eléctrico, no se pague a tiempo. 11. La Empresa ALPHA está considerando realizar un seminario de capacitación. De acuerdo con un estudio de mercado, la probabilidad que el seminario tenga éxito es 0,80 si su competencia, la empresa BETA no realiza un seminario similar; en tanto que la probabilidad de éxito es 0,30 si la empresa Beteta realiza un seminario similar. Además, la empresa ALPHA, estima que hay una probabilidad de 0,40 de que la empresa BETA realice el seminario. Dado que el seminario de ALPHA; tuvo éxito, ¿Cuál es la probabilidad que la empresa BETA, haya realizado el seminario?

AUTOEVALUACION 1. Un experimento consiste en elegir tres recién nacidos en un hospital de maternidad, en un día determinado, y observar si son de sexo masculino (M) o femenino (F). a) Enumerar todos los elementos del espacio muestral. A= {(FFF) ;(FFM) ;(FMF) ;(FMM) ;(MFF) ;(MFM) ;(MMF) ;(MMM)} b) Enumerar los elementos contenidos en el suceso que el número de varoncitos nacidos, sea cero. B= {FFF} c) Calcular la probabilidad de encontrar : i) Dos recién nacidos del sexo masculino

P(i )  ii)

n(i ) 3   0,375 n () 8

Por lo menos 1 recién nacido del sexo femenino

P (ii )  iii)

A lo más 1 nacimiento varón

P(iii )  iv)

n(ii ) 3   0,375 n(  ) 8 n(iii ) 3   0,375 n ( ) 8

Ningún recién nacido del sexo femenino

P (iv ) 

n(iv ) 1   0,125 n ( ) 8

2. Se convocó a un concurso para ocupar la plaza de Dirección de Empresas de Educación Continua. A dicho concurso se presentaron 25 especialistas, de las cuales 12 profesionales en Obstetricia, 8 es y 5 profesores. Si se selecciona un profesional al azar para la entrevista. ¿Cuál es la probabilidad que se elija? a) Un .

P( A) 

n( A) 8   0,32 n() 25

b) Un Profesional en Obstetricia o un profesor

P( B) 

n( B) 17   0,68 n() 25

c) Un o un profesor.

P(C ) 

n(C ) 13   0,52 n() 25

3. Se han llevado a cabo numerosos estudios intensivos de la planeación de hacer cursos a distancia, específicamente a niveles técnicos. En uno de estos estudios se le preguntó a 100 jóvenes si estaban planeando acceder a este sistema, los cuales 70 manifestaron que sí estaban planeando. Unos meses después se entrevistó a las mismas personas para ver si realmente accedieron a este sistema, 80 manifestaron que no accedieron a este sistema, sin embargo 10 que no habían planeado, están en estos cursos. Hacer la tabulación cruzada. Total

Total a. Mencione un evento simple y además un evento compuesto. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b. Cuál es el complemento de planear acceder a este sistema de estudios a distancia? ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------c. Cuál es la probabilidad, de que un joven elegido al azar haya planeado acceder a este sistema? ___________________ _____________________ ______________________ d. Cuál es la probabilidad que no haya planeado acceder a este sistema y realmente no haya accedido? ___________________ _____________________ ______________________ e. Si el encuestado planeó acceder a este sistema. Cuál es la probabilidad que realmente haya accedido? ------------------------------------------------------ ----------------------------- ------------------------

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4. Consultores Amazónicos, realiza un estudio de mercado, sobre las tarjetas de crédito a un grupo de 210 personas entre hombres y mujeres en una tarde de mucho movimiento comercial en el centro de la ciudad. 60 manifestaron que tienen tarjetas de crédito bancario del Interbank; 130, mostraron que tienen tarjeta de crédito comercial de La Inmaculada; 60 tienen tarjetas de crédito del Banco de Crédito y de la Inmaculada; 80 tienen tarjeta de crédito del banco Continental, de los cuales el 50%, tiene de tiendas tito`s Market. Total

Total a. Calcular la probabilidad de elegir al azar a un transeúnte y que posea tarjeta de crédito del banco continental. _______________________________________________________________________ b. Calcular la probabilidad de elegir al azar a un entrevistado y que tenga tarjeta comercial de La Inmaculada o de Tito`s. _______________________________________________________________________ c.

Calcular la probabilidad de elegir al azar a un entrevistado y que tenga tarjeta del Interbank o de la Inmaculada. _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

d. Suponga que sabemos que el entrevistado tenga tarjeta de la Inmaculada ¿Cuál es la probabilidad que tenga tarjeta del Continental? _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ e. Si un entrevistado tiene una tarjeta de crédito comercial de Tito´s. ¿Cuál es la probabilidad de no tenga tarjeta del Interbank? _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________