Vigas Gerber 6n4l4n
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ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
TEMA 9:
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
VIGAS GERBER, CONCEPTO Y RESOLUCIÓN
ÍNDICE 1.-
CONCEPTO.
Pág. 2
2.-
APLICACIONES.
Pág. 2
EJEMPLO 1.
Pág. 3
EJEMPLO 2.
Pág. 4
EJEMPLO 3.
Pág. 5
EJEMPLO 4.
Pág. 14
EJEMPLO 5.
Pág. 22
BIBLIOGRAFÍA Para la confección de este capítulo hemos utilizado los siguientes textos. NORMA BÁSICA DE ESTRUTURA DE ACERO. GERE Y TIMOSHENKO. Mecánica de Materiales. TIMOSHENKO. JAMES M. GERE. Resistencia de Materiales. PÁEZ, A. Hormigón Armado. Tomo II. RODRÍGUEZ-AVIAL AZCUNAGA, F. Resistencia de Materiales. ORTIZ BERROCAL, L. Resistencia de Materiales. SCHREYER, C. Estática Gráfica de la Construcción. VALLECILLO CAPILLA, A. y GARMENDIA GARCÍA, J. Problemas Resueltos de Estructuras y Resistencia de Materiales. VALLECILLO CAPILLA, A. y GARMENDIA GARCÍA, J. Prácticas Resueltas de Estructuras I. ZIGNOLI, V. Construcciones Metálicas.
1
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
TEMA 9: VIGAS GERBER, CONCEPTO Y RESOLUCIÓN
1.- CONCEPTO Se conocen como vigas GERBER, concebidas por primera vez en 1878 por el Doctor Ingeniero H. Gerber, continuando con el estudio intuido por Clark y Fowler, a las vigas continuas que, aunque a priori serían hiperestáticas se le intercalan tantas rótulas como grados de hiperestatismo tuviera sin ellas. la localización de estas rótulas se hace de manera que la viga final sea resistente, o lo que es igual que no se configure como un mecanismo. Por cada rótula que colocamos podemos plantear una nueva ecuación: el momento flector en ella es cero; de esta manera, podemos calcular el resto de reacciones aplicando las ecuaciones de equilibrio de la estática y así, determinar las leyes de esfuerzos. La distribución de las articulaciones no se debe hacer de modo arbitrario. Se efectuará de manera que se obtenga una viga geométricamente deformable. En general, cuando el número de tramos es mayor de tres, se organizan las zonas extremas con articulación o sin ella, a voluntad, y en los intermedios se colocan dos o ninguna, de manera alternada.
así, por ejemplo, la viga que se representa es hiperestática de grado tres; si le intercalamos tres rótulas la convertimos en isostática.
2.- APLICACIONES En las vigas Gerber se consigue, con una adecuada colocación de las articulaciones, igualar momentos flectores correspondientes a los apoyos con los máximos momentos de los tramos, y , consecuencia establecer el efecto mínimo debido a la flexión, lo que permite reducir las dimensiones de vigas. La separación de las articulaciones respecto a los puntos de apoyo, así como su disposición en diversos tramos, depende de la clase de carga y de las distribución de los tramos.
los en las los
La aplicación de estas vigas a las construcciones metálicas presenta gran interés, ya que la disminución de peso que con ellas s consigue, compensa el pequeño aumento de mano de obra que suponen la ejecución de las articulaciones. Es preciso, sin embargo, advertir que esta disposición no debe, en general, aplicarse a aquellos elementos principales de la construcción que aseguran su rigidez longitudinal o transversal, como carreras jácenas, etc. Su aplicación más usual es la construcción de correas de cubiertas, cuyo estudio se realiza, empezando por el de una viga Gerber, cuyos campos tienen la misma longitud y que se halla sometida a una carga uniforme de “p” kilogramos por metro lineal.
2
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
EJEMPLO 1 Dibujar sobre la estructura, de forma aproximada, las leyes de momentos flectores, cortantes, axiles , ley de giros y deformada. P
L/2
L
L/2
L/22
L/2
Diagrama de Momentos Flectores
PL/4
Diagrama de esfuerzos Cortantes -P/2
P/2
Deformada recta
recta
recta
recta
Ley de Giros
recta
recta
recta
recta
3
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
EJEMPLO 2 Dibujar sobre la estructura, de forma aproximada, las leyes de Momentos Flectores, Cortantes, Axiles , ley de Giros y Deformada. P
L/2
L
L/2
L/2
L/22
Ley de Momentos Flectores -PL/2
Ley de Cortantes
Deformada
recta
recta
Tramo horizontal
Diagrama de Giros
recta
recta
4
L/2
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
EJEMPLO 3 Dada la viga de la figura, se pide obtener las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes, cuando una carga “α” se coloca alternativamente en los puntos A, B, C, D, E, F y G. Dibujar el diagrama de flectores y de cortantes para cada caso. Estructura:
Datos: α = 4T
e
f A
h
g B
i
C
a
j
D
k
E
b
l G
F
c
d
a = 4m b = 4m c = 6m d = 4m e = 2m f = 2m g = 2m h = 2m i = 3m j =3m k = 2m l= 2m
RESOLUCIÓN CARGA EN A: 4T 2m
2m A
2m B
4m
2m C
3m
3m
D
E
4m
2m F
6m
2m G
4m
Puesto que tenemos rótulas en la estructura podemos plantearnos el equilibrio de los distintos tramos de la estructura que nos definen estas: 4T 2m
∑FH = 0 ; H1 =0 ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×2 + 4V2 = 0
2m
V2= 2 T V1= 2 T
H1 V2
V1 2m
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V5 + V6 = 0 ∑M = 0; 2V6 = 0
V6
V5= 0 V6= 0
V5 4m
6m
2m
∑FH = 0 ; H1 =0 ∑FV = 0 ; V3 + V4 -2T = 0 ∑M = 0; -2×10 + 6V3 = 0
2T
V3
V3= 3´33 T V4= -1´33 T
V4
5
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x) 0 = 2 x
M ( 0) = 0 M ( 2) = 4 Tm
M ( x ) 2 = −2 x + 8
M ( 2) = 4 Tm M (8) = −8 Tm
2
8
M ( x ) 8 = 1´33x − 18´66 14
M ( x ) 14 = 0 18
M (8) = −8 Tm M (14) = 0
M (14) = 0 M (18) = 0
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 2 T 2
Q ( x ) 2 = −2 T 8
Q ( x ) 8 = 1´33 T 14
Q ( x ) 14 = 1 T 18
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 4T
-8 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
4 Tm
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
1´33 T 2T
6
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN CARGA EN B: 4T 2m
2m A
2m B
4m
2m C
3m
3m
D
E
4m
2m F
6m
2m G
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×10 + 6V1 = 0
4m
V1
6m
V1= 6´66 T V2= -2´66 T V2
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x) 0 = 0 4
M ( x ) 4 = −4 x + 16 8
M ( x ) 8 = 2´66 x − 37´24 14
M ( x ) 14 = 0 18
M ( 0) = 0 M ( 4) = 0 M ( 4) = 0 M (8) = −16 Tm
M (8) = −16 Tm M (14) = 0 M (14) = 0 M (18) = 0
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 0 4
Q ( x ) 4 = −4 T 8
14
Q ( x ) 8 = 2´66 T Q ( x ) 14 = 0 18
7
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 4T
-16 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
-4 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
2´66 T
RESOLUCIÓN CARGA EN C:
4T 2m
2m A
2m B
4m
2m C
3m
3m
D
E
4m
2m F
6m
2m G
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×8 + 6V1 = 0
2m
4m
V1
6m
V1= 5´33 T V2= -1´33 T
V2
8
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
MOMENTOS FLECTORES:
M ( 0) = 0
M ( x) 0 = 0 6
M ( 6) = 0 M ( 6) = 0 M (8) = −8 Tm
M ( x ) 6 = −4 x + 24 8
M (8) = −8 Tm
M ( x ) 8 = 1´33x − 18´66 14
M (14) = 0
M (14) = 0 M (18) = 0
M ( x ) 14 = 0 18
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 0 6
Q ( x ) 6 = −4 T 8
Q ( x ) 8 = 1´33 T 14
Q ( x ) 14 = 0 18
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 4T
-8 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
-4 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
1´33 T
9
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN CARGA EN D: 4T 2m
2m A
2m C
B
4m
2m
3m
3m
D
E
4m
4T
2m F
2m G
6m
4m
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; 6V2 = 0
4m
V2=0 V1= 4 T
6m
V1
V2
Luego como no existe ninguna reacción aparte de la producida en el propio apoyo no se producen esfuerzos cortantes ni momentos flectores en el resto de la viga, únicamente existe una reacción puntual.
RESOLUCIÓN CARGA EN E: 2m
2m A
2m
2m C
B
4m
4T 3m
3m
D
E
4m
2m F
2m G
6m
4m
4T 3m
4m
V1
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×3 + 6V2 = 0
3m
6m
V2=2 T V1=2 T V2
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x) 0 = 0 8
M ( x ) 8 = 2 x − 16 11
M ( x ) 11 = −2 x + 28 14
M ( x ) 14 = 0 18
M ( 0) = 0 M (8) = 0 M (8) = 0 M (11) = 6 Tm
M (11) = 6 Tm M (14) = 0 M (14) = 0 M (18) = 0 10
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 0 8
Q( x) 8 = 2 T 11 14
Q ( x ) 11 = −2 T Q ( x ) 14 = 0 18
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 4T
Diagrama de Momentos Flectores
6 Tm -2 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
2T
RESOLUCIÓN CARGA EN F: 4T 2m
2m A
2m B
4m
2m C
3m
3m
D
F
E
4m
2m
6m
2m G
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; 6V1 = 0
4m
V1
6m
V1=0 V2= 4 T V2
En este caso ocurre igual que en el caso D, al tratarse de una carga aplicada sobre un apoyo, la única reacción que aparecerá será la del propio apoyo, con lo cual no se producen momentos flectores ni esfuerzos cortantes en la viga. 11
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN CARGA EN G: 2m
2m
2m
A
B
4m
2m C
4T 3m
3m
D
F
E
4m
2m
6m
2m G
4m 4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×8 -+6V2 = 0
2m
V2= 5´33 T V1=-1´33 T 4m
V1
6m
V2
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x) 0 = 0 8
M ( x ) 8 = −1´33x + 10.664 14
M ( x ) 14 = 4 x − 64 16
M ( x ) 16 = 0 18
M ( 0) = 0 M (8) = 0 M (8) = 0 M (14) = −8 Tm
M (14) = −8 Tm M (16) = 0 M (14) = 0 M (18) = 0
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 0 8
Q ( x ) 8 = −1´33 T 14
Q ( x ) 14 = 4 T 16
Q ( x ) 16 = 0 18
12
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
4T
-8 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
-2 T
2T
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ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
EJEMPLO 4 Dada la viga de la figura, se pide obtener las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes, cuando una carga “α” se coloca alternativamente en los puntos A, B, C, D, E, F y G. Dibujar el diagrama de flectores y de cortantes para cada caso. Estructura:
Datos: α = 4T
e A
f B
h
g C
i
D
a
E
j F
b
k
l
m
G
c
d
a = 4m b = 4m c = 6m d = 4m e = 2m f = 2m g = 2m h = 2m i = 2m j =2m k = 2m l= 2m
RESOLUCIÓN CARGA EN A:
4T 2m
2m
A
B
2m C
D
4m
V1
2m
2m E
2m F
4m
2m
2m
2m
G
6m
4m
La única reacción que aparecerá será V1 = 4T, con lo cual no se producen momentos flectores ni esfuerzos cortantes sobre la viga. RESOLUCIÓN CARGA EN B: 4T 2m A
2m B
2m C
2m D
4m
2m E
4m
2m F
2m
2m
2m
G
6m
4m
Puesto que tenemos rótulas en la estructura podemos plantearnos el equilibrio de los distintos tramos de la estructura que nos definen estas: 4T 2m
∑FH = 0 ; H1 =0 ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×2 + 4V2 = 0
2m
V2= 2 T V1= 2 T
H1 V1
V2
14
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
2m
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V5 + V6 = 0 ∑M = 0; 2V6 = 0
V6
V5= 0 V6= 0
V5
4m
6m
∑FH = 0 ; H1 =0 ∑FV = 0 ; V3 + V4 -2T = 0 ∑M = 0; -2×10 + 6V3 = 0
2m
2T
V3
V3= 3´33 T V4= -1´33 T
V4
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x) 0 = 2 x
M ( 0) = 0 M ( 2) = 4 Tm
M ( x ) 2 = −2 x + 8
M ( 2) = 4 Tm M (8) = −8 Tm
2
8
M ( x ) 8 = 1´33x − 18´66 14
M ( x ) 14 = 0 18
M (8) = −8 Tm M (14) = 0
M (14) = 0 M (18) = 0
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 2 T 2
Q ( x ) 2 = −2 T 8
14
Q ( x ) 8 = 1´33 T Q ( x ) 14 = 1 T 18
15
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 4T
-8 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
4 Tm
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
1´33 T 2T
RESOLUCIÓN CARGA EN C:
4T 2m A
2m B
2m C
4m
2m D
2m E
2m F
4m
2m
2m
2m
G
6m
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×10 + 6V1 = 0
4m
V1
6m
V1= 6´66 T V2= -2´66 T V2
16
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
MOMENTOS FLECTORES:
M ( 0) = 0
M ( x) 0 = 0 4
M ( 4) = 0 M ( 4) = 0 M (8) = −16 Tm
M ( x ) 4 = −4 x + 16 8
M ( x ) 8 = 2´66 x − 37´24 14
M (8) = −16 Tm M (14) = 0 M (14) = 0 M (18) = 0
M ( x ) 14 = 0 18
ESFUERZOS CORTANTES
Q( x) 0 = 0 4
Q ( x ) 4 = −4 T 8
14
Q ( x ) 8 = 2´66 T Q ( x ) 14 = 0 18
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 4T
-16 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
-4 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
2´66 T
17
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN CARGA EN D: 4T 2m
2m
A
2m
B
C
4m
2m D
2m E
2m F
4m
2m
2m
2m
G
6m
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×8 + 6V1 = 0
2m
4m
V1
6m
V1= 5´33 T V2= -1´33 T V2
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x) 0 = 0 6
M ( x ) 6 = −4 x + 24 8
M ( 0) = 0 M ( 6) = 0 M ( 6) = 0 M (8) = −8 Tm
M (8) = −8 Tm M ( x ) 8 = 1´33x − 18´66
M (14) = 0
M ( x ) 14 = 0
M (14) = 0 M (18) = 0
14
18
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 0 6
Q ( x ) 6 = −4 T 8
Q ( x ) 8 = 1´33 T 14
Q ( x ) 14 = 0 18
18
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
4T
-8 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
-4 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
1´33 T
RESOLUCIÓN CARGA EN E: (El dibujo está mal designado, la carga debe estar sobre el apoyo y éste debería designarse por “E”.
2m
2m A
2m
2m
3m
D
B
4m
3m
4m
E
2m F
6m
2m G
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; 6V2 = 0
4m
V1
6m
V2=0 V1= 4 T V2
Luego como no existe ninguna reacción aparte de la producida en el propio apoyo no se producen esfuerzos cortantes ni momentos flectores en el resto de la viga, únicamente existe una reacción puntual.
19
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN CARGA EN F: 2m
2m
A
2m
B
C
2m D
4m
4T 2m
2m
E
F
4m
2m
2m
2m
G
6m
4m
4T 2m
2m
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×2 + 6V2 = 0
2m
V2=1´33 T V1=2´67 T 4m
V1
6m
V2
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x ) 0 = 2´67 x 2
M ( 0) = 0 M ( 2) = 5´34 Tm M ( 2) = 5´34 Tm
M ( x ) 2 = −1´33x + 8 6
M ( 6) = 0 X
ESFUERZOS CORTANTES:
Q ( x ) 0 = 2´67 2
4m
Q ( x ) 2 = −1´33 6
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
6m
4T
Diagrama de Momentos Flectores
5´34 Tm -1´33 T
2´67 T
20
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN CARGA EN G: 4T 2m A
2m B
2m C
2m D
4m
2m E
2m
2m
F
4m
2m
2m
G
6m
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×4+6V1 = 0
4m
4m
V1
V1=0 V2= 4 T
6m
V2
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x ) 0 = 1´33x 4
X
M ( 0) = 0 M ( 4) = 5´34 Tm 4m
6m
M ( 4) = 5´34 Tm
M ( x ) 4 = −2´67 x + 16 6
M ( 6) = 0
ESFUERZOS CORTANTES:
Q ( x ) 0 = 1´33 4
Q ( x ) 4 = −2´67 6
4T
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
Diagrama de Momentos Flectores
5´34 Tm -2´67 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
1´33 T
21
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
EJEMPLO 5 Dada la viga de la figura, se pide obtener las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes, cuando un momento “M” se coloca alternativamente en los puntos A, , C, D, E y G. Dibujar el diagrama de flectores y de cortantes para cada caso. Estructura:
Datos: M = 4Tm
e
f
h
g
A
B
C
a
i
j
D
k
E
b
F
l G
c
d
a = 2m b = 2m c = 4m d = 4m e = 1m f = 1m g = 1m h = 1m i = 2m j =2m k = 2m l= 2m
RESOLUCIÓN MOMENTO EN A: 1m
1m
1m
A
1m
B
C
2m
2m
D
E
2m F
2m G
4Tm 2m
2m
4m
4m
Puesto que tenemos rótulas en la estructura podemos plantearnos el equilibrio de los distintos tramos de la estructura que nos definen estas: M
1m
1m VB A
H1
B
HB
∑FH = 0 ; H1-HB =0; ∑FV = 0 ; V1 – VB = 0; ∑M = 0; -4-M - 2VB = 0
4Tm V1
H1=HB=0 V1=VB=0 M= -4 Tm
2m
2m
2m
VF F
HF
∑FH = 0 ; HF=0 ∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 ∑M = 0; 4V2 = 0
G
4m
1m
V2
1m
V2= 0 VF= 0
2m
2m VF
VB HB
B
C
2m
D
VD
E
F
HF
∑FH = 0 ; HB=HF=0 ∑FV = 0 ; VD+VB+VF = 0 ∑M = 0; 2VD - 6VF = 0 VD=0 VB=0
4m
22
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
MOMENTOS FLECTORES:
ESFUERZOS CORTANTES: 12
Q( x ) 0 = 0
1
M ( x ) 0 = −4Tm 2
M(x) 1 = 0 12
M(x) 2 = 0
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
1m
1m
1m
A
1m
B
C
2m
2m
D
E
2m F
2m G
4Tm 2m
2m
4m
4m
-4 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
RESOLUCIÓN MOMENTO EN C: 1m
1m
1m
A
1m
B
C
2m
2m
D
E
2m F
2m G
4Tm 2m
2m
4m
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 ∑M = 0; 4V2 = 0
2m
2m VF F
4m
G
V2= 0 VF= 0 4m 1m
1m
V2 2m
2m VF
VB B
C
D
E
∑FV = 0 ; VD+VB+VF = 0 ∑M = 0; 2VD +4+4VF = 0
F
VD=2 T VB=-2 T 2m
VD
4m
23
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
M
1m
1m
∑FH = 0 ; H1 =0; ∑FV = 0 ; V1 – VB = 0; ∑M = 0; -M - 2VB = 0
VB A
H1
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
B
4Tm V1
V1=VB=-2 T M= 4 Tm
2m
MOMENTOS FLECTORES: 3
M ( x ) 0 = −2 x + 4
ESFUERZOS CORTANTES: M (0) = 4Tm M ( 2) = 0
Q( x ) 0 = −2T
M (3) = −2Tm
Q( x ) 3 = −2T
3
4
12
Q( x ) 4 = 0
M (3) = 2Tm
4
M ( x ) 3 = −2 x + 8
M ( 4) = 0
12
M(x) 4 = 0
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
1m
1m A
1m
1m
B
C
2m D
2m E
2m F
2m G
4Tm 2m
2m
4m
4m
-2 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
2 Tm
4 Tm
-2 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
24
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN MOMENTO EN D: 1m
1m
1m
A
B
1m C
2m
2m
D
2m
E
2m
F
G
4Tm 2m
2m
2m
4m
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 ∑M = 0; 4V2 = 0
2m
VF F
4m
G
V2= 0 VF= 0 4m
1m
V2
1m
2m
∑FV = 0 ; VD+VB+VF = 0 ∑M = 0; 2VD +4+4VF = 0
2m VF
VB B
C
D
E
F
VD=2 T VB=-2 T
4Tm 2m
M
4m
VD
1m
∑FH = 0 ; H1 =0; ∑FV = 0 ; V1 – VB = 0; ∑M = 0; -M - 2VB = 0
1m VB A
H1
V1
B
V1=VB=-2 T M= 4 Tm
2m
MOMENTOS FLECTORES: 4
M ( x ) 0 = −2 x + 4
ESFUERZOS CORTANTES: M (0) = 4Tm M ( 2) = 0
Q( x ) 0 = −2T
M ( 4) = −4Tm
Q( x ) 4 = 0
4
12
12
M(x) 4 = 0
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 1m
1m A
1m B
1m C
2m D
2m E
2m F
2m G
4Tm 2m
2m
4m
4m
-4 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
4 Tm
25
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
-2 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
RESOLUCIÓN MOMENTO EN E: 1m
1m
1m
A
B
1m C
2m
2m
D
2m
E
2m
F
G
4Tm 2m
2m
2m
4m
2m
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 ∑M = 0; 4V2 = 0
VF F
G
V2= 0 VF= 0
4m
1m
V2
1m
2m
2m VF
VB B
C
D
E
F
2m
4m
VD
1m
1m VB A
H1
B
2m
MOMENTOS FLECTORES: 4
M ( x ) 0 = −2 x + 4
∑FH = 0 ; H1 =0; ∑FV = 0 ; V1 – VB = 0; ∑M = 0; -M - 2VB = 0 V1=VB=-2 T M= 4 Tm
4Tm V1
∑FV = 0 ; VD+VB+VF = 0 ∑M = 0; 2VD +4+4VF = 0 VD=2 T VB=-2 T
4Tm
M
4m
ESFUERZOS CORTANTES: M (0) = 4Tm M ( 2) = 0
Q( x ) 0 = −2T
M ( 4) = −4Tm
Q( x ) 4 = 0
4
12
6
M ( x ) 4 = −4Tm 12
M(x ) 6 = 0
26
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 1m
1m
1m
A
B
1m C
2m
2m
D
E
2m
2m
F
G
4Tm 2m
2m
4m
4m
-4 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
-2 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 4 Tm
RESOLUCIÓN MOMENTO EN G: 1m
1m
1m
A
B
1m C
2m
2m
D
E
2m
2m
F
G 4Tm
2m
2m
2m
4m
4m
2m
VF F
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 ∑M = 0; 4V2 -4= 0
G 4Tm 4m 1m
V2= 1T VF= -1T
V2
1m
2m
2m 1T
VB B
C
2m
M
D
E
1m
1m 2T A
4Tm V1
2m
B
∑FV = 0 ; VD+VB+1T= 0 ∑M = 0; 2VD +6 = 0 VD=-3 T VB=2 T
4m
VD
H1
F
∑FH = 0 ; H1 =0; ∑FV = 0 ; V1 – 2T = 0; ∑M = 0; M +4Tm = 0 V1=2T M= -4 Tm 27
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
MOMENTOS FLECTORES:
ESFUERZOS CORTANTES: 4
Q( x ) 0 = 2T
M (0) = −4Tm M ( 2) = 0
4
M ( x ) 0 = 2x − 4
10
Q( x ) 4 = −1T
M ( 4) = 4Tm
12
Q( x ) 10 = −1T
M ( 4) = 4Tm M (8) = 0
10
M(x ) 4 = −x + 8
M (10) = −2Tm M (10) = 2Tm M (12) = 0
12
M ( x ) 10 = − x + 12
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 1m
1m A
1m B
1m C
2m D
2m E
2m
2m
F
G 4Tm
2m
2m
4m
4m
-4 Tm
-2 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
2 Tm
4 Tm
Diagrama de Esfuerzos Cortantes -1 T
2T
28
TEMA 9:
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
VIGAS GERBER, CONCEPTO Y RESOLUCIÓN
ÍNDICE 1.-
CONCEPTO.
Pág. 2
2.-
APLICACIONES.
Pág. 2
EJEMPLO 1.
Pág. 3
EJEMPLO 2.
Pág. 4
EJEMPLO 3.
Pág. 5
EJEMPLO 4.
Pág. 14
EJEMPLO 5.
Pág. 22
BIBLIOGRAFÍA Para la confección de este capítulo hemos utilizado los siguientes textos. NORMA BÁSICA DE ESTRUTURA DE ACERO. GERE Y TIMOSHENKO. Mecánica de Materiales. TIMOSHENKO. JAMES M. GERE. Resistencia de Materiales. PÁEZ, A. Hormigón Armado. Tomo II. RODRÍGUEZ-AVIAL AZCUNAGA, F. Resistencia de Materiales. ORTIZ BERROCAL, L. Resistencia de Materiales. SCHREYER, C. Estática Gráfica de la Construcción. VALLECILLO CAPILLA, A. y GARMENDIA GARCÍA, J. Problemas Resueltos de Estructuras y Resistencia de Materiales. VALLECILLO CAPILLA, A. y GARMENDIA GARCÍA, J. Prácticas Resueltas de Estructuras I. ZIGNOLI, V. Construcciones Metálicas.
1
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
TEMA 9: VIGAS GERBER, CONCEPTO Y RESOLUCIÓN
1.- CONCEPTO Se conocen como vigas GERBER, concebidas por primera vez en 1878 por el Doctor Ingeniero H. Gerber, continuando con el estudio intuido por Clark y Fowler, a las vigas continuas que, aunque a priori serían hiperestáticas se le intercalan tantas rótulas como grados de hiperestatismo tuviera sin ellas. la localización de estas rótulas se hace de manera que la viga final sea resistente, o lo que es igual que no se configure como un mecanismo. Por cada rótula que colocamos podemos plantear una nueva ecuación: el momento flector en ella es cero; de esta manera, podemos calcular el resto de reacciones aplicando las ecuaciones de equilibrio de la estática y así, determinar las leyes de esfuerzos. La distribución de las articulaciones no se debe hacer de modo arbitrario. Se efectuará de manera que se obtenga una viga geométricamente deformable. En general, cuando el número de tramos es mayor de tres, se organizan las zonas extremas con articulación o sin ella, a voluntad, y en los intermedios se colocan dos o ninguna, de manera alternada.
así, por ejemplo, la viga que se representa es hiperestática de grado tres; si le intercalamos tres rótulas la convertimos en isostática.
2.- APLICACIONES En las vigas Gerber se consigue, con una adecuada colocación de las articulaciones, igualar momentos flectores correspondientes a los apoyos con los máximos momentos de los tramos, y , consecuencia establecer el efecto mínimo debido a la flexión, lo que permite reducir las dimensiones de vigas. La separación de las articulaciones respecto a los puntos de apoyo, así como su disposición en diversos tramos, depende de la clase de carga y de las distribución de los tramos.
los en las los
La aplicación de estas vigas a las construcciones metálicas presenta gran interés, ya que la disminución de peso que con ellas s consigue, compensa el pequeño aumento de mano de obra que suponen la ejecución de las articulaciones. Es preciso, sin embargo, advertir que esta disposición no debe, en general, aplicarse a aquellos elementos principales de la construcción que aseguran su rigidez longitudinal o transversal, como carreras jácenas, etc. Su aplicación más usual es la construcción de correas de cubiertas, cuyo estudio se realiza, empezando por el de una viga Gerber, cuyos campos tienen la misma longitud y que se halla sometida a una carga uniforme de “p” kilogramos por metro lineal.
2
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
EJEMPLO 1 Dibujar sobre la estructura, de forma aproximada, las leyes de momentos flectores, cortantes, axiles , ley de giros y deformada. P
L/2
L
L/2
L/22
L/2
Diagrama de Momentos Flectores
PL/4
Diagrama de esfuerzos Cortantes -P/2
P/2
Deformada recta
recta
recta
recta
Ley de Giros
recta
recta
recta
recta
3
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
EJEMPLO 2 Dibujar sobre la estructura, de forma aproximada, las leyes de Momentos Flectores, Cortantes, Axiles , ley de Giros y Deformada. P
L/2
L
L/2
L/2
L/22
Ley de Momentos Flectores -PL/2
Ley de Cortantes
Deformada
recta
recta
Tramo horizontal
Diagrama de Giros
recta
recta
4
L/2
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
EJEMPLO 3 Dada la viga de la figura, se pide obtener las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes, cuando una carga “α” se coloca alternativamente en los puntos A, B, C, D, E, F y G. Dibujar el diagrama de flectores y de cortantes para cada caso. Estructura:
Datos: α = 4T
e
f A
h
g B
i
C
a
j
D
k
E
b
l G
F
c
d
a = 4m b = 4m c = 6m d = 4m e = 2m f = 2m g = 2m h = 2m i = 3m j =3m k = 2m l= 2m
RESOLUCIÓN CARGA EN A: 4T 2m
2m A
2m B
4m
2m C
3m
3m
D
E
4m
2m F
6m
2m G
4m
Puesto que tenemos rótulas en la estructura podemos plantearnos el equilibrio de los distintos tramos de la estructura que nos definen estas: 4T 2m
∑FH = 0 ; H1 =0 ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×2 + 4V2 = 0
2m
V2= 2 T V1= 2 T
H1 V2
V1 2m
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V5 + V6 = 0 ∑M = 0; 2V6 = 0
V6
V5= 0 V6= 0
V5 4m
6m
2m
∑FH = 0 ; H1 =0 ∑FV = 0 ; V3 + V4 -2T = 0 ∑M = 0; -2×10 + 6V3 = 0
2T
V3
V3= 3´33 T V4= -1´33 T
V4
5
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x) 0 = 2 x
M ( 0) = 0 M ( 2) = 4 Tm
M ( x ) 2 = −2 x + 8
M ( 2) = 4 Tm M (8) = −8 Tm
2
8
M ( x ) 8 = 1´33x − 18´66 14
M ( x ) 14 = 0 18
M (8) = −8 Tm M (14) = 0
M (14) = 0 M (18) = 0
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 2 T 2
Q ( x ) 2 = −2 T 8
Q ( x ) 8 = 1´33 T 14
Q ( x ) 14 = 1 T 18
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 4T
-8 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
4 Tm
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
1´33 T 2T
6
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN CARGA EN B: 4T 2m
2m A
2m B
4m
2m C
3m
3m
D
E
4m
2m F
6m
2m G
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×10 + 6V1 = 0
4m
V1
6m
V1= 6´66 T V2= -2´66 T V2
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x) 0 = 0 4
M ( x ) 4 = −4 x + 16 8
M ( x ) 8 = 2´66 x − 37´24 14
M ( x ) 14 = 0 18
M ( 0) = 0 M ( 4) = 0 M ( 4) = 0 M (8) = −16 Tm
M (8) = −16 Tm M (14) = 0 M (14) = 0 M (18) = 0
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 0 4
Q ( x ) 4 = −4 T 8
14
Q ( x ) 8 = 2´66 T Q ( x ) 14 = 0 18
7
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 4T
-16 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
-4 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
2´66 T
RESOLUCIÓN CARGA EN C:
4T 2m
2m A
2m B
4m
2m C
3m
3m
D
E
4m
2m F
6m
2m G
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×8 + 6V1 = 0
2m
4m
V1
6m
V1= 5´33 T V2= -1´33 T
V2
8
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
MOMENTOS FLECTORES:
M ( 0) = 0
M ( x) 0 = 0 6
M ( 6) = 0 M ( 6) = 0 M (8) = −8 Tm
M ( x ) 6 = −4 x + 24 8
M (8) = −8 Tm
M ( x ) 8 = 1´33x − 18´66 14
M (14) = 0
M (14) = 0 M (18) = 0
M ( x ) 14 = 0 18
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 0 6
Q ( x ) 6 = −4 T 8
Q ( x ) 8 = 1´33 T 14
Q ( x ) 14 = 0 18
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 4T
-8 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
-4 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
1´33 T
9
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN CARGA EN D: 4T 2m
2m A
2m C
B
4m
2m
3m
3m
D
E
4m
4T
2m F
2m G
6m
4m
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; 6V2 = 0
4m
V2=0 V1= 4 T
6m
V1
V2
Luego como no existe ninguna reacción aparte de la producida en el propio apoyo no se producen esfuerzos cortantes ni momentos flectores en el resto de la viga, únicamente existe una reacción puntual.
RESOLUCIÓN CARGA EN E: 2m
2m A
2m
2m C
B
4m
4T 3m
3m
D
E
4m
2m F
2m G
6m
4m
4T 3m
4m
V1
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×3 + 6V2 = 0
3m
6m
V2=2 T V1=2 T V2
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x) 0 = 0 8
M ( x ) 8 = 2 x − 16 11
M ( x ) 11 = −2 x + 28 14
M ( x ) 14 = 0 18
M ( 0) = 0 M (8) = 0 M (8) = 0 M (11) = 6 Tm
M (11) = 6 Tm M (14) = 0 M (14) = 0 M (18) = 0 10
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 0 8
Q( x) 8 = 2 T 11 14
Q ( x ) 11 = −2 T Q ( x ) 14 = 0 18
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 4T
Diagrama de Momentos Flectores
6 Tm -2 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
2T
RESOLUCIÓN CARGA EN F: 4T 2m
2m A
2m B
4m
2m C
3m
3m
D
F
E
4m
2m
6m
2m G
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; 6V1 = 0
4m
V1
6m
V1=0 V2= 4 T V2
En este caso ocurre igual que en el caso D, al tratarse de una carga aplicada sobre un apoyo, la única reacción que aparecerá será la del propio apoyo, con lo cual no se producen momentos flectores ni esfuerzos cortantes en la viga. 11
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN CARGA EN G: 2m
2m
2m
A
B
4m
2m C
4T 3m
3m
D
F
E
4m
2m
6m
2m G
4m 4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×8 -+6V2 = 0
2m
V2= 5´33 T V1=-1´33 T 4m
V1
6m
V2
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x) 0 = 0 8
M ( x ) 8 = −1´33x + 10.664 14
M ( x ) 14 = 4 x − 64 16
M ( x ) 16 = 0 18
M ( 0) = 0 M (8) = 0 M (8) = 0 M (14) = −8 Tm
M (14) = −8 Tm M (16) = 0 M (14) = 0 M (18) = 0
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 0 8
Q ( x ) 8 = −1´33 T 14
Q ( x ) 14 = 4 T 16
Q ( x ) 16 = 0 18
12
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
4T
-8 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
-2 T
2T
13
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
EJEMPLO 4 Dada la viga de la figura, se pide obtener las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes, cuando una carga “α” se coloca alternativamente en los puntos A, B, C, D, E, F y G. Dibujar el diagrama de flectores y de cortantes para cada caso. Estructura:
Datos: α = 4T
e A
f B
h
g C
i
D
a
E
j F
b
k
l
m
G
c
d
a = 4m b = 4m c = 6m d = 4m e = 2m f = 2m g = 2m h = 2m i = 2m j =2m k = 2m l= 2m
RESOLUCIÓN CARGA EN A:
4T 2m
2m
A
B
2m C
D
4m
V1
2m
2m E
2m F
4m
2m
2m
2m
G
6m
4m
La única reacción que aparecerá será V1 = 4T, con lo cual no se producen momentos flectores ni esfuerzos cortantes sobre la viga. RESOLUCIÓN CARGA EN B: 4T 2m A
2m B
2m C
2m D
4m
2m E
4m
2m F
2m
2m
2m
G
6m
4m
Puesto que tenemos rótulas en la estructura podemos plantearnos el equilibrio de los distintos tramos de la estructura que nos definen estas: 4T 2m
∑FH = 0 ; H1 =0 ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×2 + 4V2 = 0
2m
V2= 2 T V1= 2 T
H1 V1
V2
14
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
2m
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V5 + V6 = 0 ∑M = 0; 2V6 = 0
V6
V5= 0 V6= 0
V5
4m
6m
∑FH = 0 ; H1 =0 ∑FV = 0 ; V3 + V4 -2T = 0 ∑M = 0; -2×10 + 6V3 = 0
2m
2T
V3
V3= 3´33 T V4= -1´33 T
V4
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x) 0 = 2 x
M ( 0) = 0 M ( 2) = 4 Tm
M ( x ) 2 = −2 x + 8
M ( 2) = 4 Tm M (8) = −8 Tm
2
8
M ( x ) 8 = 1´33x − 18´66 14
M ( x ) 14 = 0 18
M (8) = −8 Tm M (14) = 0
M (14) = 0 M (18) = 0
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 2 T 2
Q ( x ) 2 = −2 T 8
14
Q ( x ) 8 = 1´33 T Q ( x ) 14 = 1 T 18
15
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 4T
-8 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
4 Tm
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
1´33 T 2T
RESOLUCIÓN CARGA EN C:
4T 2m A
2m B
2m C
4m
2m D
2m E
2m F
4m
2m
2m
2m
G
6m
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×10 + 6V1 = 0
4m
V1
6m
V1= 6´66 T V2= -2´66 T V2
16
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
MOMENTOS FLECTORES:
M ( 0) = 0
M ( x) 0 = 0 4
M ( 4) = 0 M ( 4) = 0 M (8) = −16 Tm
M ( x ) 4 = −4 x + 16 8
M ( x ) 8 = 2´66 x − 37´24 14
M (8) = −16 Tm M (14) = 0 M (14) = 0 M (18) = 0
M ( x ) 14 = 0 18
ESFUERZOS CORTANTES
Q( x) 0 = 0 4
Q ( x ) 4 = −4 T 8
14
Q ( x ) 8 = 2´66 T Q ( x ) 14 = 0 18
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 4T
-16 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
-4 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
2´66 T
17
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN CARGA EN D: 4T 2m
2m
A
2m
B
C
4m
2m D
2m E
2m F
4m
2m
2m
2m
G
6m
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×8 + 6V1 = 0
2m
4m
V1
6m
V1= 5´33 T V2= -1´33 T V2
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x) 0 = 0 6
M ( x ) 6 = −4 x + 24 8
M ( 0) = 0 M ( 6) = 0 M ( 6) = 0 M (8) = −8 Tm
M (8) = −8 Tm M ( x ) 8 = 1´33x − 18´66
M (14) = 0
M ( x ) 14 = 0
M (14) = 0 M (18) = 0
14
18
ESFUERZOS CORTANTES:
Q( x) 0 = 0 6
Q ( x ) 6 = −4 T 8
Q ( x ) 8 = 1´33 T 14
Q ( x ) 14 = 0 18
18
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
4T
-8 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
-4 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
1´33 T
RESOLUCIÓN CARGA EN E: (El dibujo está mal designado, la carga debe estar sobre el apoyo y éste debería designarse por “E”.
2m
2m A
2m
2m
3m
D
B
4m
3m
4m
E
2m F
6m
2m G
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; 6V2 = 0
4m
V1
6m
V2=0 V1= 4 T V2
Luego como no existe ninguna reacción aparte de la producida en el propio apoyo no se producen esfuerzos cortantes ni momentos flectores en el resto de la viga, únicamente existe una reacción puntual.
19
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN CARGA EN F: 2m
2m
A
2m
B
C
2m D
4m
4T 2m
2m
E
F
4m
2m
2m
2m
G
6m
4m
4T 2m
2m
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×2 + 6V2 = 0
2m
V2=1´33 T V1=2´67 T 4m
V1
6m
V2
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x ) 0 = 2´67 x 2
M ( 0) = 0 M ( 2) = 5´34 Tm M ( 2) = 5´34 Tm
M ( x ) 2 = −1´33x + 8 6
M ( 6) = 0 X
ESFUERZOS CORTANTES:
Q ( x ) 0 = 2´67 2
4m
Q ( x ) 2 = −1´33 6
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
6m
4T
Diagrama de Momentos Flectores
5´34 Tm -1´33 T
2´67 T
20
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN CARGA EN G: 4T 2m A
2m B
2m C
2m D
4m
2m E
2m
2m
F
4m
2m
2m
G
6m
4m
4T
∑FH = 0 ; ∑FV = 0 ; V1 + V2 -4T = 0 ∑M = 0; -4×4+6V1 = 0
4m
4m
V1
V1=0 V2= 4 T
6m
V2
MOMENTOS FLECTORES:
M ( x ) 0 = 1´33x 4
X
M ( 0) = 0 M ( 4) = 5´34 Tm 4m
6m
M ( 4) = 5´34 Tm
M ( x ) 4 = −2´67 x + 16 6
M ( 6) = 0
ESFUERZOS CORTANTES:
Q ( x ) 0 = 1´33 4
Q ( x ) 4 = −2´67 6
4T
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
Diagrama de Momentos Flectores
5´34 Tm -2´67 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
1´33 T
21
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
EJEMPLO 5 Dada la viga de la figura, se pide obtener las leyes de momentos flectores y esfuerzos cortantes, cuando un momento “M” se coloca alternativamente en los puntos A, , C, D, E y G. Dibujar el diagrama de flectores y de cortantes para cada caso. Estructura:
Datos: M = 4Tm
e
f
h
g
A
B
C
a
i
j
D
k
E
b
F
l G
c
d
a = 2m b = 2m c = 4m d = 4m e = 1m f = 1m g = 1m h = 1m i = 2m j =2m k = 2m l= 2m
RESOLUCIÓN MOMENTO EN A: 1m
1m
1m
A
1m
B
C
2m
2m
D
E
2m F
2m G
4Tm 2m
2m
4m
4m
Puesto que tenemos rótulas en la estructura podemos plantearnos el equilibrio de los distintos tramos de la estructura que nos definen estas: M
1m
1m VB A
H1
B
HB
∑FH = 0 ; H1-HB =0; ∑FV = 0 ; V1 – VB = 0; ∑M = 0; -4-M - 2VB = 0
4Tm V1
H1=HB=0 V1=VB=0 M= -4 Tm
2m
2m
2m
VF F
HF
∑FH = 0 ; HF=0 ∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 ∑M = 0; 4V2 = 0
G
4m
1m
V2
1m
V2= 0 VF= 0
2m
2m VF
VB HB
B
C
2m
D
VD
E
F
HF
∑FH = 0 ; HB=HF=0 ∑FV = 0 ; VD+VB+VF = 0 ∑M = 0; 2VD - 6VF = 0 VD=0 VB=0
4m
22
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
MOMENTOS FLECTORES:
ESFUERZOS CORTANTES: 12
Q( x ) 0 = 0
1
M ( x ) 0 = −4Tm 2
M(x) 1 = 0 12
M(x) 2 = 0
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
1m
1m
1m
A
1m
B
C
2m
2m
D
E
2m F
2m G
4Tm 2m
2m
4m
4m
-4 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
RESOLUCIÓN MOMENTO EN C: 1m
1m
1m
A
1m
B
C
2m
2m
D
E
2m F
2m G
4Tm 2m
2m
4m
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 ∑M = 0; 4V2 = 0
2m
2m VF F
4m
G
V2= 0 VF= 0 4m 1m
1m
V2 2m
2m VF
VB B
C
D
E
∑FV = 0 ; VD+VB+VF = 0 ∑M = 0; 2VD +4+4VF = 0
F
VD=2 T VB=-2 T 2m
VD
4m
23
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
M
1m
1m
∑FH = 0 ; H1 =0; ∑FV = 0 ; V1 – VB = 0; ∑M = 0; -M - 2VB = 0
VB A
H1
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
B
4Tm V1
V1=VB=-2 T M= 4 Tm
2m
MOMENTOS FLECTORES: 3
M ( x ) 0 = −2 x + 4
ESFUERZOS CORTANTES: M (0) = 4Tm M ( 2) = 0
Q( x ) 0 = −2T
M (3) = −2Tm
Q( x ) 3 = −2T
3
4
12
Q( x ) 4 = 0
M (3) = 2Tm
4
M ( x ) 3 = −2 x + 8
M ( 4) = 0
12
M(x) 4 = 0
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS:
1m
1m A
1m
1m
B
C
2m D
2m E
2m F
2m G
4Tm 2m
2m
4m
4m
-2 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
2 Tm
4 Tm
-2 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
24
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
RESOLUCIÓN MOMENTO EN D: 1m
1m
1m
A
B
1m C
2m
2m
D
2m
E
2m
F
G
4Tm 2m
2m
2m
4m
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 ∑M = 0; 4V2 = 0
2m
VF F
4m
G
V2= 0 VF= 0 4m
1m
V2
1m
2m
∑FV = 0 ; VD+VB+VF = 0 ∑M = 0; 2VD +4+4VF = 0
2m VF
VB B
C
D
E
F
VD=2 T VB=-2 T
4Tm 2m
M
4m
VD
1m
∑FH = 0 ; H1 =0; ∑FV = 0 ; V1 – VB = 0; ∑M = 0; -M - 2VB = 0
1m VB A
H1
V1
B
V1=VB=-2 T M= 4 Tm
2m
MOMENTOS FLECTORES: 4
M ( x ) 0 = −2 x + 4
ESFUERZOS CORTANTES: M (0) = 4Tm M ( 2) = 0
Q( x ) 0 = −2T
M ( 4) = −4Tm
Q( x ) 4 = 0
4
12
12
M(x) 4 = 0
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 1m
1m A
1m B
1m C
2m D
2m E
2m F
2m G
4Tm 2m
2m
4m
4m
-4 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
4 Tm
25
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
-2 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes
RESOLUCIÓN MOMENTO EN E: 1m
1m
1m
A
B
1m C
2m
2m
D
2m
E
2m
F
G
4Tm 2m
2m
2m
4m
2m
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 ∑M = 0; 4V2 = 0
VF F
G
V2= 0 VF= 0
4m
1m
V2
1m
2m
2m VF
VB B
C
D
E
F
2m
4m
VD
1m
1m VB A
H1
B
2m
MOMENTOS FLECTORES: 4
M ( x ) 0 = −2 x + 4
∑FH = 0 ; H1 =0; ∑FV = 0 ; V1 – VB = 0; ∑M = 0; -M - 2VB = 0 V1=VB=-2 T M= 4 Tm
4Tm V1
∑FV = 0 ; VD+VB+VF = 0 ∑M = 0; 2VD +4+4VF = 0 VD=2 T VB=-2 T
4Tm
M
4m
ESFUERZOS CORTANTES: M (0) = 4Tm M ( 2) = 0
Q( x ) 0 = −2T
M ( 4) = −4Tm
Q( x ) 4 = 0
4
12
6
M ( x ) 4 = −4Tm 12
M(x ) 6 = 0
26
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 1m
1m
1m
A
B
1m C
2m
2m
D
E
2m
2m
F
G
4Tm 2m
2m
4m
4m
-4 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
-2 T
Diagrama de Esfuerzos Cortantes 4 Tm
RESOLUCIÓN MOMENTO EN G: 1m
1m
1m
A
B
1m C
2m
2m
D
E
2m
2m
F
G 4Tm
2m
2m
2m
4m
4m
2m
VF F
∑FV = 0 ; VF + V2 = 0 ∑M = 0; 4V2 -4= 0
G 4Tm 4m 1m
V2= 1T VF= -1T
V2
1m
2m
2m 1T
VB B
C
2m
M
D
E
1m
1m 2T A
4Tm V1
2m
B
∑FV = 0 ; VD+VB+1T= 0 ∑M = 0; 2VD +6 = 0 VD=-3 T VB=2 T
4m
VD
H1
F
∑FH = 0 ; H1 =0; ∑FV = 0 ; V1 – 2T = 0; ∑M = 0; M +4Tm = 0 V1=2T M= -4 Tm 27
ESTRUCTURAS I. E. T. S. DE ARQUITCURA. TEMA 9
ÁNGEL VALLECILLO CAPILLA
MOMENTOS FLECTORES:
ESFUERZOS CORTANTES: 4
Q( x ) 0 = 2T
M (0) = −4Tm M ( 2) = 0
4
M ( x ) 0 = 2x − 4
10
Q( x ) 4 = −1T
M ( 4) = 4Tm
12
Q( x ) 10 = −1T
M ( 4) = 4Tm M (8) = 0
10
M(x ) 4 = −x + 8
M (10) = −2Tm M (10) = 2Tm M (12) = 0
12
M ( x ) 10 = − x + 12
DIBUJO DE LOS DIAGRAMAS DE ESFUERZOS: 1m
1m A
1m B
1m C
2m D
2m E
2m
2m
F
G 4Tm
2m
2m
4m
4m
-4 Tm
-2 Tm
Diagrama de Momentos Flectores
2 Tm
4 Tm
Diagrama de Esfuerzos Cortantes -1 T
2T
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