6.02 Propiedades De Las Transformaciones Lineales a2l4i

6.2 PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Teoría Son condiciones que deben cumplir las funciones para que estas sean transformaciones lineales. “En esta sección se desarrollan algunas propiedades básicas de las transformaciones lineales, en particular se demuestra que una vez que se conocen las imágenes de los vectores base bajo una transformación lineal, es posible encontrar las imágenes de los vectores restantes en el espacio”. (Anton, 2005. p.248) Concepto Según el libro de Howard Anton “introducción al algebra lineal” existen 3 propiedades básicas de las transformaciones, las cuales se mencionan a continuación: 1) 𝑻(𝟎) = 𝟎 Definición: Si T: V→W es una transformación lineal, entonces el conjunto de vectores en V que T aplica hacia O se conoce como núcleo (kernel o espacio nulo) de T; este espacio se denota por ker (J). El conjunto de todos los vectores en W que son imágenes bajo T de al menos un vector en V se conoce como recorrido de T; este conjunto se denota por R (J). Ejemplo 1: Supóngase que T V -+ W es la transformación cero. Supuesto que T aplica: todo vector hacia O, ker (T) = V. Ya que O es la única imagen posible bajo T, R (T) consta del vector cero. 2) 𝑻(−𝒗) = −𝑻(𝒗)𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒗 ∈ 𝑽 3) 𝑻 (𝒗 − 𝒘) = 𝑻(𝒗) − 𝑻(𝒘)𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒗, 𝒘 ∈ 𝑽 Pero las más importantes y sobre todo, las que más se utilizarán para definir si es o no una transformación lineal, se verán a continuación: a) 𝑻 (𝒖 + 𝒗) = 𝑻 (𝒖) + 𝑻 (𝒗) 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑢𝑟𝑎. b) 𝑻 (𝒓𝒖) = 𝒓𝒕(𝑼)𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟. Ejemplo 1: Determina sí los siguientes ejemplos son una transformación lineal. 𝑥 Para 𝑇: 𝑅2 → 𝑅; definida como: 𝑇 (𝑈) = 𝑇 [𝑦] = 𝑥 − 𝑦. Para demostrar la primera condición:  Paso 1: se definen 2 vectores: 𝑥 𝑢 = [𝑦 ]

𝑎 ; 𝑣= [ ] ∴𝑟 𝜖𝑅 𝑏

 Paso 2: se debe definir la transformación del segundo vector con las mismas características. 𝑥 𝑎 𝑇(𝑢) = 𝑇 [𝑦] = 𝑥 − 𝑦 ; 𝑇 (𝑣 ) = 𝑇 [ ] = 𝑎 − 𝑏 𝑏  Paso 3: se toman las variables de los vectores (que es el lado izquierdo de la suma de la propiedad a). 𝑥+𝑎 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇 [𝑦 + 𝑏] = 𝑇 [(𝑥 + 𝑎) − (𝑦 + 𝑏)]  Paso 4: se toma (a-b) y (x-y) del paso 2 y esto es el lado derecho de la suma. 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = [(𝑥 + 𝑎) − (𝑦 + 𝑏)]  Paso 5: Sí se demuestra que hay una igualdad, se puede decir que se cumple la condición de linealidad para la cerradura. 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇 [(𝑥 + 𝑎) − (𝑦 + 𝑏)] = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) = [(𝑥 + 𝑎) − (𝑦 + 𝑏)] ∴ 𝑇(𝑥 + 𝑎) − (𝑦 + 𝑏) = 𝑇 (𝑥 + 𝑎) − (𝑦 + 𝑏) Para demostrar si se cumple o no la segunda propiedad 𝑻 (𝒓𝒖) = 𝒓𝒕(𝑼). 𝑥  Paso 1: multiplicar el escalar por (u), teniendo en cuenta que 𝑇 [𝑦 ] = 𝑥 − 𝑦 𝑟𝑥 𝑟(𝑢) = [𝑟𝑦] = 𝑇(𝑟𝑥 − 𝑟𝑦)  Paso 2: Multiplicar el escalar por 𝑇(𝑢) (la transformación de u) que la tenemos en el paso 2 de la primera propiedad. 𝑟(𝑥 − 𝑦) = 𝑇 (𝑟𝑥 − 𝑟𝑦)  Paso 3: demostrar la igualdad para demostrar que se cumple la condición. 𝑇(𝑟𝑥 − 𝑟𝑦) = 𝑇(𝑟𝑥 − 𝑟𝑦) Como se cumplen ambas propiedades con la igualdad, se puede decir que Sí es una transformación lineal.

𝑥 3𝑥 Ejemplo 2: Sea 𝑇: 𝑅3 → 𝑅2 considerando qué: 𝑇(𝑢) = 𝑇 [𝑦] = [𝑥−2𝑧] 𝑧

𝑥 𝑦

a) T(u+v)= T(u)+ T(v)  Paso 1: definir dos vectores con sus respectivas transformaciones con las mismas características. 𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐 ) ; 𝑟 𝜖 𝑅 3𝑥 3𝑎 𝑇 (𝑢 ) = ൤ ൨ 𝑇 (𝑣 ) = ൤ ൨ 𝑦 − 2𝑧 𝑏 − 2𝑐

Teniendo en cuenta que esto es lo mismo de arriba aplicada a la transformación de cada vector.

 Paso 2: se toman las variables de los vectores, recordando que los vectores

son (u) y (v). posteriormente de lado derecho se toman las transformaciones de dichos vectores. 𝑥+𝑎 𝑇 ൥𝑦 + 𝑏 ൩ 𝑧+𝑐

𝑥 𝑦

3𝑥 3𝑎 ൨ + 𝑇൤ ൨ =𝑇 ൤ 𝑦 − 2𝑧 𝑏 − 2𝑐

 Paso 3: se aplica la transformación de lado izquierdo de la suma de la propiedad. 𝑇൤

3𝑥 3𝑎 3(𝑥 + 𝑎) ൨= 𝑇 ൤ ൨ + 𝑇൤ ൨ 𝑦 + 𝑏 − 2(𝑧 + 𝑐) 𝑦 − 2𝑧 𝑏 − 2𝑐

 Paso 4: Se hace la multiplicación de la transformación de lado izquierdo de

la suma y la suma de lado derecho de ésta. 3𝑥 + 3𝑎 3𝑥 + 3𝑎) ൨= 𝑇 ൤ ൨ 𝑇൤ 𝑦 + 𝑏 − 2𝑧 − 2𝑐) 𝑦 + 𝑏 − 2𝑧 − 2𝑐  Paso 5: demostrar la igualdad, sí es que la hay, para probar si es o no una

transformación lineal. 

3𝑥 + 3𝑎 3𝑥 + 3𝑎) ൨= 𝑇 ൤ ൨ 𝑇൤ 𝑦 + 𝑏 − 2𝑧 − 2𝑐) 𝑦 + 𝑏 − 2𝑧 − 2𝑐

b) Tru=rTu 3𝑥

 Paso 1: Multiplicar el escalar “r” por (u) teniendo en cuenta que: 𝑇 [𝑥−2𝑧] 𝑥

𝑥 𝑦

𝑦

𝑥 𝑟𝑢 = 𝑟 [𝑦 ]= (rx, ry, rz) 𝑧  Paso 2: Multiplicar el escalar “r” por T(u) (la transformación de u.

3𝑟𝑥 ൨ 𝑇𝑟𝑢 = ൤ 𝑟𝑦 − 2𝑟𝑧  Paso 3: Aplicar la transformación al resultado de r(u) que se obtuvo en el

paso 1, y demostrar si hay igualdad para verificar si se cumple o no la condición de ésta propiedad. 𝑇൤

3𝑟𝑥 3𝑟𝑥 ൨ = 𝑇൤ ൨ 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 ∴ 𝑆í 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙. 𝑟𝑦 − 2𝑟𝑧 𝑟𝑦 − 2𝑟𝑧

¿Cómo saber cuándo no es una transformación lineal? Cuando no se cumple alguna de las dos condiciones o propiedades mencionadas. 𝑎 Ejemplo 1: Sea 𝑇: 𝑀2∗2 → 𝑀2∗2 una función definida por: 𝑇 [ 𝑏

𝑐 𝑎 ]= [ 𝑑 2

𝑐 ] 𝑑

a) T(A+B)= T(A) + T(B)  Paso 1: Definir los vectores y sus respectivas transformaciones. 𝐴= [

𝑎 𝑏

𝑐 ] 𝑑

𝑒 ; 𝐵 = [𝑓

𝑔 𝑎 (𝐴 ) = [ ] ; 𝑇 ℎ 2

𝑒 𝑐 ] ; 𝑇 (𝐵 ) = [ 𝑑 2

𝑔 ] ℎ

 Paso 2: De lado izquierdo de la suma se toman las variables de los vectores, mientras que de lado derecho se tomarán las transformaciones. 𝑎+𝑒 𝑐+𝑔 𝑒 𝑔 𝑎 𝑐 (𝐴 + 𝐵 ) = ൤ ] ; 𝑇(𝐵 ) = [ ] ൨ = 𝑇 (𝐴 ) = [ 𝑏+𝑓 𝑑+ℎ 2 𝑑 2 ℎ  Paso 3: Se aplica la transformación en ambos lados de la suma. 𝑇 (𝐴 + 𝐵 ) = [

𝑎+𝑒 2

𝑐+𝑔 𝑎+𝑒 ] = 𝑇 (𝐴 ) + 𝑇 (𝐵 ) = [ 𝑑+ℎ 4

∴ 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

𝑐+𝑔 ] 𝑑+ℎ