Ejercicios Resueltos Identidades Trigonometricas y575j

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Antes de comenzar debes tener en cuenta los siguientes consejos: 1. Organiza tu lugar de trabajo. Éste debe ser un lugar despejado, limpio y con buena iluminación. 2. Evita las distracciones: televisor, messenger abierto, facebook… la novia o el novio. 3. A medida que desarrolles tus ejercicios, anota en una columna las dificultades que vas teniendo. Un truco es que no mires el siguiente paso hasta que definitivamente no encuentres el camino a seguir. 4. Identifica si tu dificultad es sobre factorización, racionalización, operaciones con fraccionarios u otros. 5. Analiza el ejercicio, especialmente donde tuviste la dificultad. No memorices el paso puesto que para cada ejercicio es diferente. ANALIZA LOS CASOS Y CUÁNDO SE APLICAN. 6. Es importante estar sereno y tranquilo. Tomarse el tiempo para estudiar, respirar profundamente y nunca darse por vencido.

Primer ejercicio: Establece si la siguiente expresión es o no es identidad

senx cos x  cot x  csc x  senx 1  cos x

senx cos x cos x 1    senx 1  cos x senx senx sen2 x cos x  cos x 1  cos x  1  sen2 x  senx 1  cos x  senx

sen2 x cos x  cos x  cos2 x cos2 x  senx 1  cos x  senx

 sen x cos x  cos x   cos 2

2

1  cos x  senx

cos x  sen 2 x  1  cos 2 x

1  cos x  senx



x



cos 2 x senx

cos 2 x senx

Cambiamos cotx y cscx por sus respectivas equivalencias Realizamos suma de fraccionarios a ambos lados de la igualdad. Efectuamos propiedad distributiva en  cos x 1 cos x 

Analizando el numerador, se debe buscar un modo de eliminar la expresión sen2 x . Esta es una forma, pero pueden existen otras maneras de hacerlo. Aquí agrupamos los dos primeros términos. ¡Se factoriza!, pues existe un FACTOR COMÚN en la expresión del paréntesis arriba.  sen2 x cos x  cos x 

cos x   cos 2 x   cos 2 x

1  cos x  senx

cos 2 x  senx

 cos3 x  cos2 x cos2 x  1  cos x  senx senx cos2 x  cos3 x cos 2 x  1  cos x  senx senx

cos 2 x 1  cos x  cos 2 x  1  cos x  senx senx

cos 2 x cos 2 x  senx senx

2 Cambiamos la expresión sen x  1 por  cos2 x

2 Multiplicamos los dos primeros términos cos x   cos x 

Ordenamos o cambiamos el orden para ver las cosas mejor…

Nuevamente factorizamos el numerador de la izquierda

Y simplificando la expresión anterior, finalmente concluimos que

!!!ES IDENTIDAD¡¡¡

Segundo ejercicio: Establece si la siguiente expresión es o no es identidad

senx  cos x tan x  2 tan x cos x

senx cos x senx  1 1 cos x  2 tan x cos x

senx  senx  2 tan x cos x 2 senx  2 tan x cos x

2 tan x  2 tan x

Cambiamos la expresión tanx por su equivalente

Simplicando la expresión

cos x senx 1 cos x

Sumando…

!!!ES IDENTIDAD¡¡¡

nos queda senx.

Tercer ejercicio. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

3cos x  sen x  2 2

2

3 1  sen2 x   sen2 x  2 3  3sen2 x  sen2 x  2

3  2sen2 x  2 2sen x  2  3 2

2sen2 x  1

2sen2 x  1

Aplicamos la propiedad fundamental sen2 x  cos2 x  1

Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma

Simplificación de términos semejantes Propiedad uniforme. Tratamos de dejar sola la expresión sen2 x Simplificación… Multiplicando por (-1) a ambos lados de la igualdad

sen2 x 

1 2

Despejando…

1 sen x  2 2

Y nos queda…

senx  

2 2

 2 x  sen    2  

 3 5 7 ,

4 4

,

4

,

senx  

1 2

Racionalizando…

1

x

Sacamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad

4

Recordemos que la incógnita es el ángulo x. Aplicamos la inversa…

Como las raíces son positivas y negativas, ¡¡¡éstas son las soluciones!!!

Cuarto ejercicio. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

4cos x  cos x  0 2

cos x  4cos x 1  0

Factorizando: ¡FACTOR COMÚN!

Y nos quedan dos soluciones:

cos x  0



4cos x 1  0

Despejando en ángulo x en cada una, nos darán:

x  cos 1 0 x

 3 2

,

2

cos x 

1 4

1 x  cos 1   4 x  1.3181rad

Quinto ejercicio. Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:

2senx  cos x  0

2senx  cos x

Despejamos 2senx

2sen x  1  sen x 2

2

 2sen x  2

2





1  sen x 2



2

4sen x  sen x  1 2

Y simplificamos…

cos 2 x  1  sen 2 x cos x  1  sen 2 x

Elevamos al cuadrado a ambos lados de la igualdad

4sen2 x  1  sen2 x

Y nos queda… 2

Aplicamos la propiedad fundamental. Pues:

cos 2 x  sen 2 x  1

Juntamos términos semejantes

5sen2 x  1

sen2 x 

senx  

1 5 1 5

 1  x  sen1    5 

Despejando…

Raíz cuadrada a ambos de la igualdad

Despejando la incógnita, es decir, en ángulo x

En este caso, no hay un ángulo notable por lo que necesitamos la ayuda de la calculadora en modo radianes

x  0.46rad , 0.46rad