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EQUIVALENCIAS LÓGICAS Profesor: Widman Gutiérrez
EQUIVALENCIAS LOGICAS Dos proposiciones compuestas o Fórmulas Lógicas P y Q son equivalentes, si unidos por el bicondicional “↔ “, el resultado es una Tautología; es decir que ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
Se denota:
PΞQ o P ↔ Q Se lee: “P es equivalente a Q” o
viceversa Ejemplos: a) [(pq)→ r] ↔ [p → (q→r)] (Exportación) b) (p→q) ↔ [p ↔ (p q)] (Expansión 1) c) (p→q) ↔ [q ↔ (p q)] (Exp. 2) d) p ↔ p (q ~q) (Exp. 3) e) p ↔ p (q ~q) (Exp. 4)
LEYES DE EQUIVALENCIAS
o Conmutativas (Conm.) Leyes
(pq) (q p) (pq) (qp) (p↔q) (q↔p) (p ↮ q) (p ↮ q) o Leyes Asociativas (Asoc.) p(qr) (pq)r p(qr) (pq) r p ↔ (q r) (p ↔ q) ↔ r o Leyes Distributivas (Distrib.) (pq) r (pr) (qr) (pq) r (pr) (qr) p→(qr) (p→q)(q→p) p→(qr) (p→q)(q→p)
LEYES DE EQUIVALENCIAS
o Negación (DN) Doble
~~p p ~~~p ~p o Teoremas de De Morgan (DM) ~(pq) ~p~q ~(pq) ~p~q pq ~(~p~q) pq ~(~p~q) o Idempotencia (Idem.) pp p pp p o Def. del condicional (Def. cond.) p→q ~pq p→q ~(p~q)
LEYES DE EQUIVALENCIAS
o del bicondicional (Def. Def. Bicondicional) p ↔ q (p→q) (q→p) p↔q [ (pq) (~p~q) ] o Absorción (Abs.) p (p q) p p (p q) p p (~p q) pq p (~p q) pq o Transposición (Trans.) p→q ~q→~p p ↔ q (~ q ↔ ~p)
LEYES DE EQUIVALENCIAS
EJEMPLOS
1. Demostrar que: (p→q) ↔ (~q →~p) Solución:
(p→q) ↔ (~q →~p) ↔ ↔ ↔ ↔
~ (~q ) V ~p Ley de la Condicional q ~p p
V ~p Ley de la Doble Negación V q Ley Conmutativa → q Por Definición
2. Simplificar la siguiente proposición: A = (~pq) →(q → p) Solución:
A = ~ (~pq) V (q → p) = ( p v ~q) v (~q v p ) = ( p v ~q) v ( p v ~q) = pv ~q
Ley de la Condicional Ley de Morgan y Condicional Ley Conmutativa Ley Idempotencia
LEYES DE EQUIVALENCIAS
EJERCICIOS
a) p ~q
1.Demostrar que: ~(p → q) b) p (q v ~q) →p c) ~ [~ (p q) →~q ] v q q
2.Simplificar y representar mediante Circuito: a) ~ [ p ↔ ~(q v r) ] b) ~(p) ↔ (p → ~ q) c) (p v q) → [(~p v q) → (p q) ] R: p v ~ q 3.Determinar si a) y b) son proposiciones equivalentes: a) p → (r v ~ q) b) (q → ~p) v ( ~r → ~ p) Nota:
Se puede determinar la equivalencia mediante la tabla de verdad o mediante la simplificación.