Equivalencias Logicas 3p6s2y

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EQUIVALENCIAS LÓGICAS Profesor: Widman Gutiérrez

EQUIVALENCIAS LOGICAS  Dos proposiciones compuestas o Fórmulas Lógicas P y Q son equivalentes, si unidos por el bicondicional “↔ “, el resultado es una Tautología; es decir que ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

 Se denota:

PΞQ o P ↔ Q Se lee: “P es equivalente a Q” o

viceversa Ejemplos: a) [(pq)→ r] ↔ [p → (q→r)] (Exportación) b) (p→q) ↔ [p ↔ (p  q)] (Expansión 1) c) (p→q) ↔ [q ↔ (p  q)] (Exp. 2) d) p ↔ p  (q  ~q) (Exp. 3) e) p ↔ p  (q  ~q) (Exp. 4)

LEYES DE EQUIVALENCIAS

o Conmutativas (Conm.)  Leyes  

(pq) (q  p) (pq) (qp) (p↔q) (q↔p) (p ↮ q) (p ↮ q) o Leyes Asociativas (Asoc.) p(qr) (pq)r p(qr) (pq)  r p ↔ (q r) (p ↔ q) ↔ r o Leyes Distributivas (Distrib.) (pq)  r (pr)  (qr) (pq)  r (pr)  (qr) p→(qr) (p→q)(q→p) p→(qr) (p→q)(q→p)

LEYES DE EQUIVALENCIAS

o Negación (DN)  Doble  

~~p p ~~~p ~p o Teoremas de De Morgan (DM) ~(pq) ~p~q ~(pq) ~p~q pq ~(~p~q) pq ~(~p~q) o Idempotencia (Idem.) pp p pp p o Def. del condicional (Def. cond.) p→q ~pq p→q ~(p~q)

LEYES DE EQUIVALENCIAS

o del bicondicional (Def.  Def.   Bicondicional) p ↔ q (p→q)  (q→p) p↔q [ (pq)  (~p~q) ] o Absorción (Abs.) p  (p  q) p p  (p  q) p p  (~p  q) pq p  (~p  q) pq o Transposición (Trans.) p→q ~q→~p p ↔ q (~ q ↔ ~p)

LEYES DE EQUIVALENCIAS

EJEMPLOS

1. Demostrar que: (p→q) ↔ (~q →~p) Solución:

(p→q) ↔ (~q →~p) ↔ ↔ ↔ ↔

~ (~q ) V ~p Ley de la Condicional q ~p p

V ~p Ley de la Doble Negación V q Ley Conmutativa → q Por Definición

2. Simplificar la siguiente proposición: A = (~pq) →(q → p) Solución:

A = ~ (~pq) V (q → p) = ( p v ~q) v (~q v p ) = ( p v ~q) v ( p v ~q) = pv ~q

Ley de la Condicional Ley de Morgan y Condicional Ley Conmutativa Ley Idempotencia

LEYES DE EQUIVALENCIAS

EJERCICIOS

a) p ~q

1.Demostrar que: ~(p → q) b) p (q v ~q) →p c) ~ [~ (p q) →~q ] v q q

2.Simplificar y representar mediante Circuito: a) ~ [ p ↔ ~(q v r) ] b) ~(p) ↔ (p → ~ q) c) (p v q) → [(~p v q) → (p  q) ] R: p v ~ q 3.Determinar si a) y b) son proposiciones equivalentes: a) p → (r v ~ q) b) (q → ~p) v ( ~r → ~ p) Nota:

Se puede determinar la equivalencia mediante la tabla de verdad o mediante la simplificación.