Multiplicacion Y Division De Polinomios u5ps

Multiplicacion de polinomios

EJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)

A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x B = -5x4

-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5x

X

-5x4

______________________________ 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5

Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es unamultiplicación de potencias de igual base. También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis y luego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltos de las dos maneras.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1 EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)

A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 B = 3x - 6

4x3 - 5x2 + 2x + 1

(el polinomio A ordenado y

completo)

X

3x - 6

(el polinomio B ordenado y

completo) ____________________ -24x3 + 30x2 - 12x - 6 + 12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x _________________________ 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6

A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan también completos y ordenados, y es más fácil encolumnarlos según su grado, porque van

saliendo en orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimiento similar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan" números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila, por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicación de números de varias cifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en la misma columna.

EJEMPLO 3: (Multiplicación de polinomios incompletos y desordenados, completándolos y ordenándolos)

A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2

5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)

X ordenado)

-2x2 + 0x + 3 (polinomio B completo y

______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0

0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x

-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Aunque no es obligatorio, se pueden completar y ordenar los dos polinomios. Así es más fácil ubicar en la columna correspondiente a cada uno de los resultados, porque todo va saliendo en orden de grado. Incluso si se completa con 0 en el segundo polinomio, se puede multiplicar todo el primer polinomio por cero. Esto puede servir cuando uno recién aprende el tema, pero luego cuando se tiene más práctica se preferirá no completar ni multiplicar por cero. En el EJEMPLO 4 se puede ver hecha esta misma multiplicación sin completar los polinomios. En el resultado final ya no se ponen los términos con 0.

B = 3 - 2x2

5x4 - 9x2 + x

(polinomio A incompleto pero

ordenado)

X ordenado)

-2x2 + 3

_____________________ 15x4

- 27x2 + 3x

(polinomio B incompleto pero

-10x6 + 18x4 - 2x3 ____________________________ -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x EJEMPLO 6: (Ordenando y completando el primero; y ordenando pero no completando el segundo)

A = -9x2 + x + 5x4 B = 3 - 2x2

5x4 + 0x3 - 9x2 + x + 0 (polinomio A completo y ordenado)

X ordenado)

-2x2 + 3 (polinomio B completo y

______________________________ 15x4 + 0x3 - 27x2 + 3x + 0

-10x6 + 0x5 + 18x4 - 2x3 + 0x2 ________________________________________ -10x6 + 0x5 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x + 0

A x B = -10x6 + 33x4 - 2x3 - 27x2 + 3x

Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes. La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.

El polinomio unidad es el número 1, pues multiplicando por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el elemento neutro del producto. No existe polinomio inverso de otro, es decir, en el conjunto de los polinomios con una indeterminada no hay elemento inverso.

La multiplicación de polinomios es distributiva respecto a la adición. Cualesquiera que sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica E s o t r o polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes loterales.

Multiplicación de polinomios.

La multiplicación de polinomios es la más general de las multiplicaciones algebraicas en este caso se multiplican un polinomio con otro polinomio su resultado puede ser un polinomio, un número o cero.

Reglas: • Se multiplica cada término del polinomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales. • Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente • Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales.

Ejemplos

División de polinomios La división algebraica es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+

(+)÷(–)=–

(–)÷(+)=–

División de un monomio por otro

Para dividir dos monomios se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

En ocasiones el cociente de dos monomios es fraccionario y, por consiguiente, la división propiamente dicha no puede efectuarse en los siguientes casos:

a) Cuando una letra está elevada a un exponente menor al que se halla elevada dicha letra en el divisor.

b) Cuando el divisor contiene alguna letra que no se halla en el dividendo. División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio por un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes parciales así obtenidos. División de un polinomio por un polinomio.

Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:

1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.

2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente

3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del dividendo y del divisor.

4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.

5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.

6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.

EJEMPLO 5: (Polinomios con dos letras) A = x5 + y5 B=x+y A : B = (x5 + y5):(x + y) El polinomio A completo y ordenado: x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + y5 El opuesto del término independiente del polinomio B: -y A = -(2x3 - x2 + 5) = -2x3 + x2 - 5 -B = -(3 - x) = (-3 + x) = x - 3 (-A):(-B) = (-2x3 + x2 - 5):(x - 3) El polinomio -A completo y ordenado: -2x3 + x2 + 0x - 5 E

l opuesto del término independiente del polinomio -B: -(-3) = 3